Projeksioni vektorial. Boshtet e koordinatave. Projeksioni i pikës. Koordinatat e pikave në bosht. Projeksioni (gjeometrik, algjebrik) i një vektori mbi një bosht. Vetitë e projeksionit Projeksioni i një vektori mbi një bosht dhe koordinatat karteziane

Përkufizimi 1. Në një plan, projeksioni paralel i pikës A në boshtin l është pika - pika e kryqëzimit të boshtit l me një vijë të drejtë të tërhequr përmes pikës A paralele me vektorin që specifikon drejtimin e projeksionit.

Përkufizimi 2. Projeksioni paralel i një vektori në boshtin l (në një vektor) është koordinata e vektorit, në lidhje me bazën boshti l, ku pikat dhe janë projeksione paralele të pikave A dhe B, përkatësisht, mbi boshtin l (Fig. 1).

Sipas përkufizimit, ne kemi

Përkufizimi 3. nëse dhe baza e boshtit l kartezian, pra projeksioni i vektorit në boshtin l quhet ortogonal (Fig. 2).

Në hapësirë, përkufizimi 2 i projeksionit të një vektori mbi një bosht mbetet i vlefshëm, vetëm drejtimi i projeksionit jepet nga dy vektorë jokolinearë (Fig. 3).

Nga përkufizimi i projeksionit të një vektori në një bosht, rrjedh se çdo koordinatë e vektorit është projeksioni i këtij vektori në boshtin e përcaktuar nga vektori bazë përkatës. Në këtë rast, drejtimi i projektimit vendoset nga dy vektorë të tjerë bazë, nëse projektimi kryhet (konsiderohet) në hapësirë, ose nga një vektor tjetër bazë, nëse dizajni konsiderohet në një plan (Fig. 4).

Teorema 1. Projeksioni ortogonal i një vektori në boshtin l është i barabartë me prodhimin e modulit të vektorit dhe kosinusit të këndit ndërmjet drejtimit pozitiv të boshtit l dhe, d.m.th.

Ne anen tjeter

Nga ne gjejmë

Duke zëvendësuar AC në barazinë (2), marrim

Që nga numrat x dhe të së njëjtës shenjë në të dyja rastet e konsideruara ((Fig. 5, a) ; (Fig. 5, b) , atëherë barazia (4) nënkupton

Koment. Në të ardhmen, ne do të shqyrtojmë vetëm projeksionin ortogonal të vektorit në bosht, dhe për këtë arsye fjala "orth" (ortogonal) në shënim do të hiqet.

Ne paraqesim një numër formulash që përdoren në të ardhmen gjatë zgjidhjes së problemeve.

a) Projeksioni i një vektori mbi një bosht.

Nëse, atëherë projeksioni ortogonal në vektor sipas formulës (5) ka formën

c) Largësia nga një pikë në një plan.

Le të jetë b një plan i dhënë me një vektor normal, M një pikë e dhënë,

d - distanca nga pika M në planin b (Fig. 6).

Nëse N është një pikë arbitrare e planit b, dhe dhe janë projeksionet e pikave M dhe N në bosht, atëherë

• G) Distanca midis vijave të kryqëzuara.

Le të jepen a dhe b drejtëza të kryqëzuara, të jetë një vektor pingul me to, A dhe B të jenë pika arbitrare të drejtëzave a dhe b, përkatësisht (Fig. 7), dhe të jenë projeksione të pikave A dhe B mbi to, atëherë

e) Largësia nga një pikë në një vijë.

Le l- drejtëzën e dhënë me vektorin e drejtimit, M - pikën e dhënë,

N - projeksioni i tij në vijë l, pastaj - distanca e dëshiruar (Fig. 8).

Nëse A është një pikë arbitrare në vijë l, atëherë në trekëndëshin kënddrejtë MNA mund të gjendet hipotenuza MA dhe këmbët. Do të thotë,

e) Këndi ndërmjet drejtëzës dhe rrafshit.

Le të jetë vektori i drejtimit të drejtëzës së dhënë l, - vektori normal i rrafshit të dhënë b, - projeksioni i drejtëzës l në planin b (Fig. 9).

Siç e dini, këndi q midis vijës l dhe projeksioni i tij në rrafshin b quhet kënd ndërmjet drejtëzës dhe rrafshit. Ne kemi

Le të japim shembuj të zgjidhjes së problemeve metrike me metodën vektor-koordinata.

Së pari, le të kujtojmë se çfarë është boshti koordinativ, projeksioni i një pike mbi një bosht dhe koordinatat e një pike në bosht.

Boshti i koordinataveështë një vijë e drejtë që i jepet një drejtim. Ju mund ta mendoni atë si një vektor me një modul pafundësisht të madh.

Boshti i koordinatave shënohet me ndonjë shkronjë: X, Y, Z, s, t ... Zakonisht, në bosht zgjidhet një pikë (në mënyrë arbitrare), e cila quhet origjinë dhe, si rregull, shënohet me shkronjën O. Distancat me të tjerat pikat me interes për ne maten nga kjo pikë.

Projeksioni i një pike mbi një bosht- kjo është baza e pingulit të rënë nga kjo pikë në boshtin e dhënë (Fig. 8). Kjo do të thotë, projeksioni i një pike mbi bosht është një pikë.

Koordinata e pikës për boshtështë një numër, vlera absolute e të cilit është e barabartë me gjatësinë e segmentit të boshtit (në shkallën e zgjedhur) të mbyllur midis fillimit të boshtit dhe projeksionit të pikës në këtë bosht. Ky numër merret me shenjë plus nëse projeksioni i pikës ndodhet në drejtim të boshtit nga fillimi i tij dhe me shenjë minus nëse është në drejtim të kundërt.

Projeksioni skalar i një vektori mbi një bosht- kjo është numri, vlera absolute e së cilës është e barabartë me gjatësinë e segmentit të boshtit (në shkallën e zgjedhur) të mbyllur midis projeksioneve të pikës fillestare dhe pikës së fundit të vektorit. E rëndësishme! Zakonisht në vend të shprehjes projeksioni skalar i një vektori mbi një bosht ata thjesht thonë - projeksioni i një vektori në një bosht, pra fjala skalar ulur. Projeksioni vektorial shënohet me të njëjtën shkronjë si vektori i projektuar (në shkrimin normal, jo të trashë), me një nënshkrim (zakonisht) të emrit të boshtit në të cilin projektohet ky vektor. Për shembull, nëse një vektor projektohet në boshtin x a, atëherë projeksioni i tij shënohet x. Kur projektoni të njëjtin vektor në një bosht tjetër, le të themi boshtin Y, projeksioni i tij do të shënohet si y (Fig. 9).

Për të llogaritur projeksioni vektorial në bosht(për shembull, boshti X) është e nevojshme të zbritet koordinata e pikës së fillimit nga koordinata e pikës fundore të saj, d.m.th.

dhe x \u003d x k - x n.

Duhet të kujtojmë: projeksioni skalar i një vektori mbi një bosht (ose, thjesht, projeksioni i një vektori në një bosht) është një numër (jo vektor)! Për më tepër, projeksioni mund të jetë pozitiv nëse vlera x k është më e madhe se vlera x n, negative nëse vlera x k është më e vogël se vlera x n dhe e barabartë me zero nëse x k është e barabartë me x n (Fig. 10).

Projeksioni i një vektori mbi një bosht mund të gjendet gjithashtu duke ditur modulin e vektorit dhe këndin që ai bën me atë bosht.

Figura 11 tregon se a x = a Cos α

Kjo do të thotë, projeksioni i vektorit në bosht është i barabartë me produktin e modulit të vektorit dhe kosinusit të këndit ndërmjet drejtimit të boshtit dhe drejtimit të vektorit. Nëse këndi është akut, atëherë Cos α > 0 dhe a x > 0, dhe nëse është i mpirë, atëherë kosinusi i këndit të mpirë është negativ, dhe projeksioni i vektorit mbi boshtin gjithashtu do të jetë negativ.

Këndet e numëruara nga boshti në drejtim të kundërt të akrepave të orës konsiderohen pozitive, dhe në drejtim - negative. Sidoqoftë, meqenëse kosinusi është një funksion çift, domethënë Cos α = Cos (− α), atëherë kur llogariten projeksionet, këndet mund të numërohen si në drejtim të akrepave të orës ashtu edhe në të kundërt.

Gjatë zgjidhjes së problemave, shpesh do të përdoren këto veti të projeksioneve: nëse

a = b + c +…+ d, pastaj a x = b x + c x +…+ d x (në mënyrë të ngjashme për boshtet e tjera),

a= m b, atëherë a x = mb x (në mënyrë të ngjashme për boshtet e tjera).

Formula a x = a Cos α do të jetë shpeshherë takohen gjatë zgjidhjes së problemeve, ndaj duhet ditur. Duhet të dini rregullin për përcaktimin e projeksionit nga zemra!

Mbani mend!

Për të gjetur projeksionin e një vektori në një bosht, moduli i këtij vektori duhet të shumëzohet me kosinusin e këndit midis drejtimit të boshtit dhe drejtimit të vektorit.

Edhe një herë - FAST!

Një përshkrim vektor i lëvizjes është i dobishëm, pasi në një vizatim gjithmonë mund të përshkruani shumë vektorë të ndryshëm dhe të merrni një "foto" të qartë të lëvizjes para syve tuaj. Megjithatë, sa herë që përdorni një vizore dhe një raportor për të kryer veprime me vektorë, kjo kërkon shumë kohë. Prandaj, këto veprime reduktohen në veprime me numra pozitivë dhe negativë - projeksione të vektorëve.

Projeksioni i vektorit në bosht thirrni një vlerë skalare të barabartë me produktin e modulit të vektorit të projektuar dhe kosinusit të këndit midis drejtimeve të vektorit dhe boshtit të koordinatave të zgjedhura.

Vizatimi i majtë tregon një vektor zhvendosjeje, moduli i të cilit është 50 km, dhe formon drejtimin e tij kënd i mpirë 150° me drejtimin e boshtit X. Duke përdorur përkufizimin, gjejmë projeksionin e zhvendosjes në boshtin X:

sx = s cos(α) = 50 km cos( 150°) = –43 km

Meqenëse këndi ndërmjet boshteve është 90°, është e lehtë të llogaritet se drejtimi i lëvizjes bën një kënd të mprehtë prej 60° me drejtimin e boshtit Y. Duke përdorur përkufizimin, gjejmë projeksionin e zhvendosjes në boshtin Y:

sy = s cos(β) = 50 km cos( 60°) = +25 km

Siç mund ta shihni, nëse drejtimi i vektorit formon një kënd akut me drejtimin e boshtit, projeksioni është pozitiv; nëse drejtimi i vektorit formon një kënd të mpirë me drejtimin e boshtit, projeksioni është negativ.

Vizatimi i duhur tregon vektorin e shpejtësisë, moduli i të cilit është 5 m/s, dhe drejtimi formon një kënd prej 30 ° me drejtimin e boshtit X. Le të gjejmë projeksionet:

υx = υ cos(α) = 5 m/s cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ cos(β) = 5 m/s cos( 120°) = –2,5 m/s

Është shumë më e lehtë për të gjetur projeksionet e vektorëve në boshtet nëse vektorët e projektuar janë paralelë ose pingul me boshtet e zgjedhura. Vini re se për rastin e paralelizmit, dy opsione janë të mundshme: vektori është i bashkëdrejtuar me boshtin dhe vektori është i kundërt me boshtin, dhe për rastin e pingulitetit, ekziston vetëm një opsion.

Projeksioni i një vektori pingul me boshtin është gjithmonë zero (shih sy dhe ay në vizatimin e majtë dhe sx dhe υx në vizatimin e djathtë). Në të vërtetë, për një vektor pingul me boshtin, këndi midis tij dhe boshtit është 90 °, kështu që kosinusi është zero, që do të thotë se projeksioni është zero.

Projeksioni i vektorit të bashkëdrejtuar me boshtin është pozitiv dhe i barabartë me modulin e tij, për shembull, sx = +s (shih vizatimin majtas). Në të vërtetë, për një vektor të bashkëdrejtuar me boshtin, këndi midis tij dhe boshtit është zero, dhe kosinusi i tij është "+1", domethënë, projeksioni është i barabartë me gjatësinë e vektorit: sx = x - xo = +s .

Projeksioni i një vektori përballë boshtit është negativ dhe i barabartë me modulin e tij, i marrë me shenjën minus, për shembull, sy = –s (shih vizatimin djathtas). Në të vërtetë, për një vektor të kundërt me boshtin, këndi midis tij dhe boshtit është 180°, dhe kosinusi i tij është "–1", domethënë, projeksioni është i barabartë me gjatësinë e vektorit, marrë me një shenjë negative: sy = y – yo = –s .

Anët e djathta të të dy vizatimeve tregojnë raste të tjera kur vektorët janë paralel me njërin prej boshteve të koordinatave dhe pingul me tjetrin. Ju ftojmë të shihni vetë se në këto raste respektohen edhe rregullat e formuluara në paragrafët e mëparshëm.

Hyrje……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1. Vlera e një vektori dhe një skalar………………………………………………………………………………………

2. Përkufizimi i projeksionit, boshtit dhe koordinatës së një pike…………………….5

3. Projeksioni i vektorit në bosht……………………………………………………………………………

4. Formula bazë e algjebrës vektoriale……………………………..8

5. Llogaritja e modulit të vektorit nga projeksionet e tij………………………9

përfundimi……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Literatura…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Prezantimi:

Fizika është e lidhur pazgjidhshmërisht me matematikën. Matematika i jep fizikës mjetet dhe teknikat e një shprehjeje të përgjithshme dhe precize të marrëdhënies ndërmjet sasive fizike që zbulohen si rezultat i eksperimentit apo kërkimit teorik.Në fund të fundit, metoda kryesore e kërkimit në fizikë është eksperimentale. Kjo do të thotë se shkencëtari zbulon llogaritjet me ndihmën e matjeve. Tregon lidhjen midis sasive të ndryshme fizike. Më pas, gjithçka përkthehet në gjuhën e matematikës. Një model matematikor po formohet. Fizika është një shkencë që studion ligjet më të thjeshta dhe në të njëjtën kohë më të përgjithshme. Detyra e fizikës është të krijojë në mendjet tona një pamje të tillë të botës fizike që pasqyron më plotësisht vetitë e saj dhe siguron marrëdhënie të tilla midis elementeve të modelit që ekzistojnë midis elementeve.

Pra, fizika krijon një model të botës përreth nesh dhe studion vetitë e saj. Por çdo model është i kufizuar. Kur krijohen modele të një dukurie të caktuar, merren parasysh vetëm vetitë dhe lidhjet që janë thelbësore për një gamë të caktuar fenomenesh. Ky është arti i një shkencëtari - nga e gjithë shumëllojshmëria për të zgjedhur gjënë kryesore.

Modelet fizike janë matematikore, por matematika nuk është baza e tyre. Marrëdhëniet sasiore ndërmjet madhësive fizike sqarohen si rezultat i matjeve, vëzhgimeve dhe studimeve eksperimentale dhe shprehen vetëm në gjuhën e matematikës. Megjithatë, nuk ka gjuhë tjetër për ndërtimin e teorive fizike.

1. Vlera e një vektori dhe një skalar.

Në fizikë dhe matematikë, një vektor është një sasi që karakterizohet nga vlera dhe drejtimi i saj numerik. Në fizikë, ka shumë sasi të rëndësishme që janë vektorë, si forca, pozicioni, shpejtësia, nxitimi, çift rrotullimi, momenti, fushat elektrike dhe magnetike. Ato mund të krahasohen me sasi të tjera, si masa, vëllimi, presioni, temperatura dhe dendësia, të cilat mund të përshkruhen me një numër të zakonshëm dhe quhen " shkallë".

Ato shkruhen ose me shkronja të një fonti të rregullt, ose me numra (a, b, t, G, 5, -7 ....). Skalarët mund të jenë pozitivë ose negativë. Në të njëjtën kohë, disa objekte studimi mund të kenë veti të tilla, për një përshkrim të plotë të të cilave njohuria vetëm e një mase numerike është e pamjaftueshme, është gjithashtu e nevojshme të karakterizohen këto veti nga një drejtim në hapësirë. Vetitë e tilla karakterizohen me sasi vektoriale (vektorë). Vektorët, ndryshe nga skalarët, shënohen me shkronja të trasha: a, b, g, F, C ....
Shpesh, një vektor shënohet me një shkronjë të rregullt (jo të theksuar), por me një shigjetë sipër saj:

Moduli i vektorit, domethënë gjatësia e segmentit të vijës së drejtuar, shënohet me të njëjtat shkronja si vetë vektori, por me shkrimin e zakonshëm (jo të theksuar) dhe pa një shigjetë sipër tyre, ose ashtu si vektori (d.m.th., me shkronja të zeza ose të rregullta, por me shigjetë), por më pas emërtimi i vektorit mbyllet në vija vertikale.
Një vektor është një objekt kompleks që karakterizohet nga madhësia dhe drejtimi në të njëjtën kohë.

Gjithashtu nuk ka vektorë pozitivë dhe negativë. Por vektorët mund të jenë të barabartë me njëri-tjetrin. Kjo ndodh kur, për shembull, a dhe b kanë të njëjtat module dhe drejtohen në të njëjtin drejtim. Në këtë rast, rekordi a= b. Duhet gjithashtu të kihet parasysh se simboli i vektorit mund të paraprihet nga një shenjë minus, për shembull, -c, megjithatë, kjo shenjë simbolikisht tregon se vektori -c ka të njëjtin modul si vektori c, por drejtohet në drejtim i kundërt.

Vektori -c quhet i kundërt (ose i kundërt) i vektorit c.
Sidoqoftë, në fizikë, çdo vektor është i mbushur me përmbajtje specifike, dhe kur krahasohen vektorët e të njëjtit lloj (për shembull, forcat), pikat e zbatimit të tyre gjithashtu mund të kenë një rëndësi të madhe.

2.Përcaktimi i projeksionit, boshtit dhe koordinatës së pikës.

Boshtiështë një vijë e drejtë që i jepet një drejtim.
Boshti tregohet me çdo shkronjë: X, Y, Z, s, t ... Zakonisht, në bosht zgjidhet (në mënyrë arbitrare) një pikë, e cila quhet origjinë dhe, si rregull, tregohet me shkronjën O. Distancat me pikat e tjera me interes për ne maten nga kjo pikë.

projeksioni i pikës në bosht quhet baza e pingulit të rënë nga kjo pikë në boshtin e dhënë. Kjo do të thotë, projeksioni i një pike mbi bosht është një pikë.

koordinata e pikës në një bosht të caktuar quhet një numër vlera absolute e të cilit është e barabartë me gjatësinë e segmentit të boshtit (në shkallën e zgjedhur) të mbyllur midis fillimit të boshtit dhe projeksionit të pikës në këtë bosht. Ky numër merret me shenjë plus nëse projeksioni i pikës ndodhet në drejtim të boshtit nga fillimi i tij dhe me shenjë minus nëse është në drejtim të kundërt.

3.Projeksioni i një vektori mbi një bosht.

Projeksioni i një vektori në një bosht është një vektor që fitohet duke shumëzuar projeksionin skalar të një vektori mbi këtë bosht dhe vektorin njësi të këtij boshti. Për shembull, nëse a x është projeksioni skalar i vektorit a në boshtin X, atëherë a x i është projeksioni i tij vektorial mbi këtë bosht.

Le të shënojmë projeksionin e vektorit në të njëjtën mënyrë si vetë vektori, por me indeksin e boshtit në të cilin projektohet vektori. Pra, projeksioni vektorial i vektorit a në boshtin X shënohet me një x (gërmë të trashë që tregon vektorin dhe nënshkrimin e emrit të boshtit) ose

Projeksion skalar vektor për bosht quhet numri, vlera absolute e së cilës është e barabartë me gjatësinë e segmentit të boshtit (në shkallën e zgjedhur) të mbyllur midis projeksioneve të pikës fillestare dhe pikës fundore të vektorit. Zakonisht në vend të shprehjes projeksion skalar thjesht thuaj - projeksioni. Projeksioni shënohet me të njëjtën shkronjë si vektori i projektuar (në shkrimin normal, jo të trashë), me një nënshkrim (zakonisht) të emrit të boshtit në të cilin projektohet ky vektor. Për shembull, nëse një vektor projektohet në boshtin x a, atëherë projeksioni i tij shënohet x. Kur projektoni të njëjtin vektor në një bosht tjetër, nëse boshti është Y, projeksioni i tij do të shënohet si y.

Për të llogaritur projeksionin vektoriale në një bosht (për shembull, boshti X) është e nevojshme të zbritet koordinata e pikës së fillimit nga koordinata e pikës fundore të saj, d.m.th.

dhe x \u003d x k - x n.

Projeksioni i një vektori në një bosht është një numër. Për më tepër, projeksioni mund të jetë pozitiv nëse vlera e x k është më e madhe se vlera e x n,

negative nëse vlera e x k është më e vogël se vlera e x n

dhe e barabartë me zero nëse x k është e barabartë me x n.

Projeksioni i një vektori mbi një bosht mund të gjendet gjithashtu duke ditur modulin e vektorit dhe këndin që ai bën me atë bosht.

Nga figura mund të shihet se a x = a Cos α

Kjo do të thotë, projeksioni i vektorit në bosht është i barabartë me produktin e modulit të vektorit dhe kosinusit të këndit midis drejtimit të boshtit dhe drejtimi i vektorit. Nëse këndi është akut, atëherë
Cos α > 0 dhe a x > 0, dhe nëse është i mpirë, atëherë kosinusi i një këndi të mpirë është negativ, dhe projeksioni i vektorit në bosht do të jetë gjithashtu negativ.

Këndet e numëruara nga boshti në drejtim të kundërt të akrepave të orës konsiderohen pozitive, dhe në drejtim - negative. Megjithatë, meqenëse kosinusi është një funksion çift, domethënë Cos α = Cos (− α), kur llogariten projeksionet, këndet mund të numërohen si në drejtim të akrepave të orës ashtu edhe në të kundërt.

Për të gjetur projeksionin e një vektori në një bosht, moduli i këtij vektori duhet të shumëzohet me kosinusin e këndit midis drejtimit të boshtit dhe drejtimit të vektorit.

4. Formula bazë e algjebrës vektoriale.

Ne projektojmë një vektor a në boshtet X dhe Y të një sistemi koordinativ drejtkëndor. Gjeni projeksionet vektoriale të vektorit a në këto boshte:

dhe x = a x i, dhe y = a y j.

Por sipas rregullit të mbledhjes së vektorit

a \u003d a x + a y.

a = a x i + a y j.

Kështu, ne kemi shprehur një vektor në termat e projeksioneve të tij dhe orteve të një sistemi koordinativ drejtkëndor (ose në termat e projeksioneve të tij vektoriale).

Projeksionet vektoriale a x dhe a y quhen komponentë ose përbërës të vektorit a. Veprimi që kemi kryer quhet zbërthimi i vektorit përgjatë boshteve të një sistemi koordinativ drejtkëndor.

Nëse vektori është dhënë në hapësirë, atëherë

a = a x i + a y j + a z k.

Kjo formulë quhet formula bazë e algjebrës vektoriale. Sigurisht, mund të shkruhet edhe kështu.

Lërini dy vektorë dhe jepen në hapësirë. Lini mënjanë një pikë arbitrare O vektorët dhe . qoshe ndërmjet vektorëve dhe quhet më i vogli i këndeve. Shënuar .

Konsideroni boshtin l dhe vizatoni një vektor njësi mbi të (domethënë një vektor gjatësia e të cilit është e barabartë me një).

Këndi ndërmjet vektorit dhe boshtit l kuptojnë këndin ndërmjet vektorëve dhe .

Pra le lështë një bosht dhe është një vektor.

Shënoni me A 1 dhe B1 projeksionet në bosht l pikë A dhe B. Le të pretendojmë se A 1 ka një koordinatë x 1, a B1- koordinoj x2 në bosht l.

Pastaj projeksioni vektor për bosht l quhet dallim x 1 – x2 ndërmjet koordinatave të projeksioneve të fundit dhe fillimit të vektorit në këtë bosht.

Projeksioni i një vektori mbi një bosht l do të shënojmë .

Është e qartë se nëse këndi ndërmjet vektorit dhe boshtit l i mprehtë atëherë x2> x 1, dhe projeksioni x2 – x 1> 0; nëse ky kënd është i mpirë, atëherë x2< x 1 dhe projeksioni x2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, pastaj x2= x 1 dhe x2– x 1=0.

Kështu, projeksioni i vektorit në bosht lështë gjatësia e segmentit A 1 B 1 marrë me një shenjë të caktuar. Prandaj, projeksioni i një vektori në një bosht është një numër ose një skalar.

Projeksioni i një vektori në tjetrin përcaktohet në mënyrë të ngjashme. Në këtë rast, projeksionet e skajeve të këtij vektori gjenden në vijën në të cilën shtrihet vektori i 2-të.

Le të shohim disa nga kryesoret vetitë e projeksionit.

SISTEMET LINEARE TË VARUR DHE LINEARË TË PAVARUR TË VEKTORËVE

Le të shqyrtojmë disa vektorë.

Kombinim linear nga këta vektorë është çdo vektor i formës , ku janë disa numra. Numrat quhen koeficientë të kombinimit linear. Thuhet gjithashtu se në këtë rast është shprehur në mënyrë lineare në terma të vektorëve të dhënë, d.m.th. të përftuara prej tyre me veprime lineare.

Për shembull, nëse jepen tre vektorë, atëherë vektorët mund të konsiderohen si kombinimi i tyre linear:

Nëse një vektor paraqitet si një kombinim linear i disa vektorëve, atëherë thuhet se është të zbërthyera përgjatë këtyre vektorëve.

Vektorët quhen varur në mënyrë lineare, nëse ka numra të tillë, jo të gjithë të barabartë me zero, atë . Është e qartë se vektorët e dhënë do të jenë linearisht të varur nëse ndonjë nga këta vektorë shprehet në mënyrë lineare në terma të të tjerëve.

Përndryshe, d.m.th. kur raporti kryhet vetëm kur , quhen këta vektorë i pavarur në mënyrë lineare.

Teorema 1.Çdo dy vektorë janë të varur linearisht nëse dhe vetëm nëse janë kolinear.

Dëshmi:

Teorema e mëposhtme mund të vërtetohet në mënyrë të ngjashme.

Teorema 2. Tre vektorë janë të varur linearisht nëse dhe vetëm nëse janë koplanarë.

Dëshmi.

BAZË

Bazaështë koleksioni i vektorëve të pavarur linearisht jo zero. Elementet e bazës do të shënohen me .

Në nënseksionin e mëparshëm, pamë se dy vektorë jokolinearë në rrafsh janë linearisht të pavarur. Prandaj, sipas Teoremës 1 nga paragrafi i mëparshëm, një bazë në një rrafsh është çdo dy vektorë jokolinearë në këtë plan.

Në mënyrë të ngjashme, çdo tre vektorë jo-koplanarë janë linearisht të pavarur në hapësirë. Prandaj, tre vektorë jo-koplanarë quhen bazë në hapësirë.

Pohimi i mëposhtëm është i vërtetë.

Teorema. Le të jepet një bazë në hapësirë. Atëherë çdo vektor mund të paraqitet si një kombinim linear , ku x, y, z- disa numra. Një dekompozim i tillë është unik.

Dëshmi.

Kështu, baza ju lejon të lidhni në mënyrë unike çdo vektor me një treshe numrash - koeficientët e zgjerimit të këtij vektori për sa i përket vektorëve të bazës: . E kundërta është gjithashtu e vërtetë, çdo trefish i numrave x, y, z duke përdorur bazën, mund të përputheni me vektorin nëse bëni një kombinim linear .

Nëse baza dhe , pastaj numrat x, y, z thirrur koordinatat vektorët në bazën e dhënë. Koordinatat vektoriale shënojnë .

SISTEMI KOORDINATE DEKARTIZAN

Le të jepet një pikë në hapësirë O dhe tre vektorë jokoplanarë.

Sistemi i koordinatave karteziane në hapësirë ​​(në rrafsh) quhet bashkësia e një pike dhe e një baze, d.m.th. grupi i një pike dhe tre vektorëve jokoplanarë (2 vektorë jokolinearë) që dalin nga kjo pikë.

Pika O quhet origjina; vijat e drejta që kalojnë përmes origjinës në drejtim të vektorëve bazë quhen boshtet koordinative - boshti abshisa, ordinata dhe boshti aplikativ. Planet që kalojnë nëpër boshtet koordinative quhen plane koordinative.

Konsideroni një pikë arbitrare në sistemin e zgjedhur të koordinatave M. Le të prezantojmë konceptin e një koordinate pikë M. Vektori që lidh origjinën me pikën M. thirrur vektori i rrezes pikë M.

Një vektor në bazën e zgjedhur mund të shoqërohet me një treshe numrash - koordinatat e tij: .

Koordinatat e vektorit të rrezes së pikës M. thirrur koordinatat e pikës M. në sistemin koordinativ të konsideruar. M(x,y,z). Koordinata e parë quhet abshisa, e dyta është ordinata dhe e treta është aplikative.

Koordinatat karteziane në rrafsh përcaktohen në mënyrë të ngjashme. Këtu pika ka vetëm dy koordinata - abshisa dhe ordinata.

Është e lehtë të shihet se për një sistem të caktuar koordinativ, çdo pikë ka koordinata të caktuara. Nga ana tjetër, për çdo treshe numrash ekziston një pikë e vetme që i ka këto numra si koordinata.

Nëse vektorët e marrë si bazë në sistemin koordinativ të zgjedhur kanë gjatësi njësi dhe janë pingul në çift, atëherë sistemi i koordinatave quhet drejtkëndëshe karteziane.

Është e lehtë ta tregosh këtë.

Kosinuset e drejtimit të një vektori përcaktojnë plotësisht drejtimin e tij, por nuk thonë asgjë për gjatësinë e tij.