Vzdelávací projekt "Rovnice v zadaniach OGE." Riešenie kvadratických rovníc Budem riešiť ge kvadratické rovnice

Kvadratické rovnice sa študujú v 8. ročníku, takže tu nie je nič zložité. Schopnosť ich vyriešiť je absolútne nevyhnutná.

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a, b a c sú ľubovoľné čísla a a ≠ 0.

Pred štúdiom konkrétnych metód riešenia si všimnite, že všetky kvadratické rovnice možno rozdeliť do troch tried:

Nemať korene;
Mať presne jeden koreň;
Majú dva rôzne korene.

Toto je dôležitý rozdiel medzi kvadratickými rovnicami a lineárnymi rovnicami, kde koreň vždy existuje a je jedinečný. Ako určiť, koľko koreňov má rovnica? Je na to úžasná vec - diskriminačný.

Diskriminačný

Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0. Potom je diskriminantom jednoducho číslo D = b 2 − 4ac.

Tento vzorec musíte poznať naspamäť. Odkiaľ pochádza, nie je teraz dôležité. Ďalšia vec je dôležitá: podľa znamienka diskriminantu môžete určiť, koľko koreňov má kvadratická rovnica. menovite:

Ak D< 0, корней нет;
Ak D = 0, existuje práve jeden koreň;
Ak D > 0, budú existovať dva korene.

Upozorňujeme: diskriminant označuje počet koreňov a vôbec nie ich znaky, ako z nejakého dôvodu mnohí ľudia veria. Pozrite si príklady a sami všetko pochopíte:

Úloha. Koľko koreňov majú kvadratické rovnice:

x 2 − 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapíšme si koeficienty pre prvú rovnicu a nájdime diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Takže diskriminant je kladný, takže rovnica má dva rôzne korene. Druhú rovnicu analyzujeme podobným spôsobom:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant je negatívny, neexistujú žiadne korene. Zostáva posledná rovnica:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je nula - koreň bude jedna.

Upozorňujeme, že koeficienty boli zapísané pre každú rovnicu. Áno, je to dlhé, áno, je to únavné, ale nebudete si miešať šance a robiť hlúpe chyby. Vyberte si sami: rýchlosť alebo kvalitu.

Mimochodom, ak na to prídete, po chvíli už nebudete musieť zapisovať všetky koeficienty. Takéto operácie budete vykonávať v hlave. Väčšina ľudí to začne robiť niekde po 50-70 vyriešených rovniciach - vo všeobecnosti nie až tak veľa.

Korene kvadratickej rovnice

Teraz prejdime k samotnému riešeniu. Ak je diskriminant D > 0, korene možno nájsť pomocou vzorcov:

Základný vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Keď D = 0, môžete použiť ktorýkoľvek z týchto vzorcov - dostanete rovnaké číslo, ktoré bude odpoveďou. Nakoniec, ak D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 12 x + 36 = 0.

Prvá rovnica:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ rovnica má dva korene. Poďme ich nájsť:

Druhá rovnica:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ rovnica má opäť dva korene. Poďme ich nájsť

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(zarovnať)\]

Nakoniec tretia rovnica:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnica má jeden koreň. Môže sa použiť akýkoľvek vzorec. Napríklad ten prvý:

Ako vidíte z príkladov, všetko je veľmi jednoduché. Ak poznáte vzorce a viete počítať, nebudú žiadne problémy. Najčastejšie sa chyby vyskytujú pri dosadzovaní záporných koeficientov do vzorca. Aj tu vám pomôže technika opísaná vyššie: pozrite sa na vzorec doslovne, zapíšte si každý krok - a veľmi skoro sa zbavíte chýb.

Neúplné kvadratické rovnice

Stáva sa, že kvadratická rovnica sa mierne líši od toho, čo je uvedené v definícii. Napríklad:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Je ľahké si všimnúť, že v týchto rovniciach chýba jeden z výrazov. Takéto kvadratické rovnice sa riešia ešte ľahšie ako štandardné: nevyžadujú si ani výpočet diskriminantu. Predstavme si teda nový koncept:

Rovnica ax 2 + bx + c = 0 sa nazýva neúplná kvadratická rovnica, ak b = 0 alebo c = 0, t.j. koeficient premennej x alebo voľného prvku sa rovná nule.

Samozrejme, je možný veľmi ťažký prípad, keď sa oba tieto koeficienty rovnajú nule: b = c = 0. V tomto prípade má rovnica tvar ax 2 = 0. Je zrejmé, že takáto rovnica má jeden koreň: x = 0.

Zoberme si zvyšné prípady. Nech b = 0, potom dostaneme neúplnú kvadratickú rovnicu v tvare ax 2 + c = 0. Trochu ju transformujme:

Keďže aritmetická druhá odmocnina existuje len z nezáporného čísla, posledná rovnosť má zmysel len pre (−c /a) ≥ 0. Záver:

Ak je v neúplnej kvadratickej rovnici tvaru ax 2 + c = 0 splnená nerovnosť (−c /a) ≥ 0, budú korene dva. Vzorec je uvedený vyššie;
Ak (-c /a)< 0, корней нет.

Ako vidíte, diskriminant nebol potrebný – v neúplných kvadratických rovniciach neexistujú vôbec žiadne zložité výpočty. V skutočnosti si ani netreba pamätať nerovnosť (−c /a) ≥ 0. Stačí vyjadriť hodnotu x 2 a pozrieť sa, čo je na druhej strane znamienka rovnosti. Ak existuje kladné číslo, budú existovať dva korene. Ak je negatívny, nebudú tam žiadne korene.

Teraz sa pozrime na rovnice tvaru ax 2 + bx = 0, v ktorých sa voľný prvok rovná nule. Všetko je tu jednoduché: vždy budú existovať dva korene. Postačuje rozpočítať polynóm:

Vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek

Súčin je nula, keď je aspoň jeden z faktorov nulový. Odtiaľ pochádzajú korene. Na záver sa pozrime na niektoré z týchto rovníc:

Úloha. Riešte kvadratické rovnice:

x 2 − 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Neexistujú žiadne korene, pretože štvorec sa nemôže rovnať zápornému číslu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

učiteľ : Yurgenson Veronica Alexandrovna

Trieda: 9

Položka: Algebra

Téma lekcie: Prípravná lekcia na OGE v 9. ročníku „Kvadratické rovnice“.

Fáza školenia na túto tému : príprava na OGE.

Typ lekcie: Lekcia zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí

Cieľ:

Aktivita: Formovanie zručností študentov implementovať regulačné metódy konania.

Obsah: - precvičovanie metód riešenia kvadratických rovníc;

Rozvíjanie schopnosti vybrať si najracionálnejšie riešenie;

vývojové: formovať kľúčové kompetencie študentov: informačné (schopnosť analyzovať informácie, porovnávať, vyvodzovať závery), riešiť problémy (schopnosť klásť problémy a pomocou existujúcich vedomostí nájsť východisko zo situácie); komunikatívnosť (schopnosť pracovať v skupine, schopnosť počúvať a počuť iných, akceptovať názory iných)

Úlohy pre učiteľa:

Pomôcť aktualizovať vedomosti študentov o riešení kvadratických rovníc;

Organizovať vzdelávacie aktivity na precvičovanie spôsobov riešenia kvadratických rovníc;

Vytvárať podmienky na formovanie zručností na rozvoj schopnosti vybrať si najracionálnejšie riešenie;

Vytvárať podmienky pre formovanie regulačného UUD: stanovenie cieľov, sebaúcta a sebakontrola, plánovanie.

Technológia: Viacúrovňový tréning

Vyučovacie metódy: Vizuálna, verbálna, metóda vzájomného overovania, metóda spoločného hľadania optimálneho riešenia, brigádnická práca v skupinách, vytváranie problémovej situácie, reproduktívna (návod, názornosť, vysvetlenie, praktický nácvik). Metódy sebakontroly.

Používané formy organizácie kognitívnej činnosti žiakov:

Kolektívna forma práce (frontálne kladenie otázok, ústna práca), skupinová, individuálna práca (samostatná práca), práca vo dvojiciach (vzájomné kladenie otázok).

Vybavenie a hlavné zdroje informácií:

Počítač, projektor, plátno, prezentácia na lekciu na tému „Metódy riešenia kvadratických rovníc“.

Výkonnostný list pre kontrolu a sebakontrolu.

Karty-úlohy pre viacúrovňovú samostatnú prácu

Technologická mapa lekcie:

Aktivita

študent

Organizačné

Pozdrav študentov

Učiteľský pozdrav

Stanovenie cieľov a cieľov lekcie. Motivácia k učebným aktivitám žiakov

Na záverečnej certifikácii sú často úlohy, pri ktorých musíte vedieť riešiť kvadratické rovnice.

Komunikácia účelu lekcie :

Dnes v lekcii zopakujeme, zovšeobecníme a vnesieme do systému študované typy, metódy a techniky riešenia kvadratických rovníc.

Na základe výsledkov svojej práce, teda podľa počtu dosiahnutých bodov, dostane každý známky.

Motto hodiny: „Myslíme, myslíme, pracujeme a pomáhame si“

(Snímka 2 ).

Učitelia počúvajú.

Aktualizácia vedomostí.

Chlapci, lekciu zvyčajne začíname kontrolou domácich úloh.

Kto povie, že bolo treba opakovať o kvadratických rovniciach?

Čo sú kvadratické rovnice?

Čo sú zač?

Aké metódy riešenia kvadratických rovníc poznáte?

Učitelia odpovedajú na otázky a vykonávajú sebahodnotenie svojich vedomostí.

Zovšeobecňovanie a systematizácia poznatkov

1. Úloha vzájomnej kontroly.

Tu sú rovnice (snímka 3)

X 2 + 7 X – 18 = 0;

2 X 2 + 1 = 0;

X 2 –2 X + 9 = 0;

2 r 2 – 3r + 1 = 0;

2 r 2 = 1;

–2 X 2 – X + 1 = 0;

X 2 + 6 X = 0;

4x 2 =0;

– X 2 – 6 x=1

2 x + x 2 – 1=0

Na stole máte kartičku s otázkami, na ktoré musíte odpovedať (príloha 1).

(snímka 4 ) Kontrola výsledkov si vymeňte karty so susedom.

Odpovedať na otázky

2. Frontálna práca s triedou.

Zapnuté(snímka 5) zapisujú sa vzorce s chýbajúcimi prvkami. Úlohou triedy je zistiť, čo je to za vzorec a čo v zápise tohto vzorca chýba.

D = b ² – * a * .

D > 0 , znamená * koreň.

D * 0 , znamená 1 koreň.

D * 0 , znamená * korene.

Odpovedať na otázky

správne vedomosti.

Riešte rovnice z kartičiek. Jeden z členov skupiny ukáže riešenie na tabuli.

Porovnajte svoje odpovede so správnymi, za každú správnu odpoveď - 1 bod

Riešte rovnice

Vysvetlite riešenie.

Frontálna práca s triedou

Povedzte mi, mohli by ste okamžite, bez výpočtov, odpovedať na moju otázku: „Aký je súčet a súčin koreňov kvadratickej rovnice? (Jeden človek pri tabuli zapíše vzorce Vietinho teorému.)

(snímka 6)

Ďalšia úloha: nájdite slovne súčet a rozdiel koreňov rovnice pomocou vety:

(odpovede: 5 a 6; 9 a 20; -3 a 2) Úvod do metódy riešenia niektorých kvadratických rovníc ústne.

Vietov teorém je široko používaný v rovniciach tvaruaX 2 + bx + c = 0.

Použitie určitých vlastností poskytuje významné výhody pre rýchle získanie odpovedí pri riešení kvadratických rovníc.

Zoberme si tieto vlastnosti(snímka 7)

1) a + b+c = 0 x 1 = 1, x 2 = s/a.

5x 2 + 4x – 9 = 0; X 1 =1, x 2 = - 9/2.

2) a -b+ c = 0 x 1 = -1, x 2 = - s/a.

Napríklad: 4x 2 + 11x + 7 = 0; X 1 = -1, x 2 = - 7/4.

(snímka 8)

3) a v +c 0

Riešte rovnicu ústne: x 2 + bx + ac = 0

Jeho korene vydeľte a.

a) 2x 2 – 11x + 5 = 0.

Rovnicu riešime ústne: x 2 – 11x + 10 = 0. Jeho korene sú 1 a 10. Vydeľte 2.

Potom x 1 = , x 2 = 5.

Odpoveď: ; 5.

(snímka 9)

c) 6x 2 –7x – 3 = 0

Rovnicu riešime ústne: x 2 –7x – 18 = 0. Jeho korene sú -2 a 9. Vydeľte číslom 6.

Potom x 1 = -, x 2 = .

Odpoveď: -; .

Odpovedať na otázky. Vyplňte medzery vo vedomostiach

Pracujte vo viacúrovňových skupinách

Recepcia "Compliance"

Technika „chyťte chybu“.

Riešte rovnice pomocou týchto vlastností(snímka 10)

jaskupina.

1) nájdite súčet koreňov rovnice

2x 2 – 3x + 1 = 0

2) Nájdite súčin koreňov rovnice

X 2 +9x +20 = 0

3) vyriešiť rovnicu

10x 2 – 8x – 2= 0

IIskupina.

1) nájdite súčet a súčin koreňov rovnice

3x 2 – 8x + 5 = 0

Riešte rovnice

2)x 2 + 2x -24 = 0

3)2 x 2 -7x +5 = 0

IIIskupina

Vyriešte problémy:

1)x 2 +5x-6=0

2) 5x 2 -7x+2=0

3) 100x 2 -99x-199=0

Riešte rovnice

Skontrolujte riešenie.

Vykonáva sa oprava vedomostí.

2. Priraď kvadratické rovnice a metódy na ich riešenie:

(snímka 11)

2x 2 – 3x + 11 = 0

7 x 2 = 8x

X 2 – 10x + 100 = 0

X 2 –5x –6 = 0

– 2x 2 + x +14= 0

-faktorizácia

- všeobecný vzorec koreňov

-Vietova veta

3. Nájdite chyby pri riešení rovníc =

Chlapci, ktorí dokončia prácu rýchlo, môžu vyriešiť ďalšiu úlohu(snímka 14), napísané na tabuli.

Po vykonaní sa vykoná rýchla kontrola.(snímka 15)

Teraz spočítajte celkový počet bodov a dajte si známku.(snímka 16)

30-24 bodov – skóre 5;

23-18 bodov – skóre 4;

12-17 bodov. skóre 4

A každý dostane od učiteľa známku za aktivitu, odvahu a vytrvalosť. No ak sa dnes niekomu nepodarilo zabodovať za kladné hodnotenie, úspech je ešte pred vami a nabudúce určite bude.

Riešte rovnice

vykonávať sebahodnotenie.

Reflexia.

Kto môže povedať, čo sme si dnes zopakovali v triede?

Páčilo sa vám, ako sme to urobili?

Pokračujte vo frázach:

Teraz už viem určite...

Rozumiem …

Učil som sa …

Môj názor …

Každý má na stole farebné karty.

Ak ste s lekciou spokojní a spokojní, zdvihnite zelenú kartu.

Ak je lekcia zaujímavá a aktívne ste pracovali, dostávate žltú kartu.

vykonávať sebahodnotenie.

Domáca úloha

(snímka 17) Riešte rovnice zo zbierky úloh

Štátna záverečná certifikácia

absolventi 9. ročníka.

A.V. Semenov, A. S. Trepalin, I. V. Jaščenko

podľa úrovní

Vyberte si úlohy podľa svojej úrovne

Rozbor úlohy č.4 na tému: "Riešenie rovníc rôznych typov"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Vzdelávacie pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 9. ročník
Interaktívna príručka „Pravidlá a cvičenia z algebry“ pre 9. ročník
Multimediálna učebnica pre ročník 9 "Algebra za 10 minút"

Úloha č.4 vyžaduje schopnosť riešiť rovnice rôznych typov. Chlapci, mali by ste sa dobre orientovať v metódach správneho riešenia kvadratických rovníc, zlomkových racionálnych rovníc a obyčajných lineárnych rovníc. Mali by ste byť dobrí aj pri vykonávaní operácií s polynómami: násobenie a delenie polynómu polynómom. Potrebujete možnosť vybrať korene rovnice, ktoré sú zahrnuté v oblasti riešenia, a určiť, ktoré korene by sa mali vyhodiť a nebrať do úvahy?

Lekcie, ktoré vám pomôžu pri príprave tejto úlohy:

1.Základné definície a príklady riešenia lineárnych funkcií.
2. Pojem a štandardná forma jednočlena.
3. Polynóm, štandardný tvar, redukcia, transformácia.
4. Príklady na číselné výrazy. Algebraické výrazy s premennými a operácie s nimi.
5. Rovnice, príklady riešenia rovníc.
6. Kvadratické rovnice. Lekcia prebieha.
7. Zlomkové racionálne rovnice. Lekcia prebieha.
8. Druhá odmocnina. Lekcia prebieha.

Prejdime k analýze príkladov riešení.

Príklad 1
Nájdite korene rovnice: $16x^2-1=0$.

Riešenie.
Všimnite si, že sme dostali kvadratickú rovnicu, ale nie úplnú. Koeficient x je nula. Potom sa budeme riadiť pravidlom: „opustíme tie výrazy, v ktorých je x na druhú mocninu vľavo, a presunieme všetky čísla doprava.
Transformujme náš výraz: $16x^2=1$.

Vydeľme obe strany rovnice koeficientom x na druhú: $x^2=\frac(1)(16)$.

Na vyriešenie tejto rovnice potrebujeme znalosť druhej odmocniny. Vyberme koreň, pričom nezabudnime, že musíme vziať do úvahy aj záporné číslo: $x=±\sqrt(\frac(1)(16))=±\frac(1)(4)=±0,25$.
Odpoveď: $ x = ± 0,25 $.

Príklad 2
Vyriešte rovnicu: $x^2=18-7x$.

Riešenie.
Presuňme všetky výrazy na ľavú stranu rovnice: $x^2+7x-18=0$.

Obvyklú kvadratickú rovnicu môžeme vyriešiť dvoma spôsobmi:
1. „čelom“, výpočet diskriminantu;
2. pomocou Viettovho teorému.

1 spôsob.
Zapíšme si všetky koeficienty pre kvadratickú rovnicu: $a=1$, $b=7$, $c=-18$.

Nájdeme diskriminant: $D=b^2-4ac=(7)^2-4*1*(-18)=49+72=121=(11)^2>0$.
Zistili sme, že rovnica má 2 korene.
Musíme len nájsť tieto korene:
$x_1=\frac(-b+\sqrt(D))(2a)=\frac(-7+11)(2)=2$.
$x_2=\frac(-b-\sqrt(D))(2a)=\frac(-7-11)(2)=-9$.

Metóda 2.
Využime Viettovu vetu. Viettov teorém často mnohonásobne zjednodušuje riešenie kvadratických rovníc, najmä keď koeficient $a=1$. V tomto prípade sa súčin koreňov rovnice rovná koeficientu $c$ a súčet koreňov rovnice sa rovná mínus koeficientu $b$:
$x_1+x_2=-\frac(b)(a)$.
$x_1*x_2=\frac(c)(a)$.

V našom príklade $с=-18$ a $b=7$. Začneme triediť dvojice čísel, ktorých súčin sa rovná mínus osemnástim. Prvé čísla, ktoré ma napadnú, sú deväť a dva. Vykonaním niekoľkých jednoduchých násobení a sčítaní môžeme overiť, že korene $x=-9$ a $x=2$ sú pre nás vhodné.
$x_1*x_2=-9*2=-18=\frac(c)(a)$.
x$_1+x_2=-9+2=-7=-\frac(b)(a)$.
Odpoveď: $x=-9$, $x=2$.

Príklad 3
Vyriešte rovnicu: $x-\frac(x)(7)=\frac(15)(7)$.

Riešenie.
Dostali sme obyčajnú lineárnu rovnicu so zlomkovými koeficientmi. Na vyriešenie tejto rovnice musíte správne pracovať s obyčajnými zlomkami.
Prvým krokom je transformácia ľavej strany rovnice a jej zjednodušenie: $x-\frac(x)(7)=\frac(7x)(7)-\frac(x)(7)=\frac(6x ) (7) $.
Dostali sme rovnicu: $\frac(6x)(7)=\frac(15)(7)$.
Rozdeľme pravú stranu rovnice koeficientom x: $x=\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))$.

Uvažujme delenie oddelene: $\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))=\frac(15)(7)*\frac(7)(6)=\frac( 15)(6)=2\frac(3)(6)=2\frac(1)(2)=2,5 USD.

Dostali sme: x = 2,5 $.
Odpoveď: $ x = 2,5 $.

Príklad 4.
Vyriešte rovnicu: $(x+2)^2=(x-4)^2$.

Riešenie.
Metóda 1.
Na druhú mocninu súčtu použijeme vzorec: $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
$(x-4)^2=x^2-8x+16$.
Dostali sme: x^2+4x+4=x^2-8x+16$.
Zjednodušme našu rovnicu:
$x^2+4x-x^2+8x=16-4$.
$12x=$12.
$x=1$.

Metóda 2.
Na vyriešenie tejto rovnice môžeme použiť vzorec rozdielu štvorcov. $(x+2)^2-(x-4)^2=0$.
$(x+2+x-4)(x+2-x+4)=0$.
$(2x-2)*(6)=0$.
$2x-2=0$.
$2x=2$.
$x=1$.
Odpoveď: $x=1$.

Príklad 5.
Vyriešte rovnicu: $\frac(9)(x-14)=\frac(14)(x-9)$.

Riešenie.
Je nám predložená zlomková racionálna rovnica. Pri riešení týchto rovníc je potrebné pamätať na to, že nemôžete deliť nulou. Korene rovnice by sa preto mali vždy kontrolovať ich dosadením do menovateľa pôvodnej rovnice.
Použime pravidlo krížového násobenia: $9(x-9)=14(x-14)$.
Dostali sme lineárnu rovnicu:
$9x-81=14x-196$.
$9x-14x=-196+81$.
$-5x=-115$.
$ x = 23 $.
Po kontrole nášho koreňa sme presvedčení, že menovatele zlomkov pôvodnej rovnice nezmiznú.
Odpoveď: $ x = 23 $.

Príklad 6.
Nájdite riešenia, ktoré vyhovujú systému: $\začiatok (prípady) x^2+9x-22=0, \\ x≤1 \koniec (prípady)$.

Riešenie.
Najprv vyriešme kvadratickú rovnicu pomocou Viettovho teorému. Súčin našich koreňov je $ 22 $ a suma je $ - 9 $.
Vyberieme korene:
$-11*2=-22$.
$-11+2=-9$.
Máme dva korene: $x_1=-11$ a $x_2=2$. Z týchto koreňov je nerovnosť $x≤1$ splnená prvým koreňom a bude odpoveďou.
Odpoveď: $x=-11$.

Príklad 7.
Vyriešte rovnicu: $23x-60-x^2=0$.
Vo svojej odpovedi uveďte modul rozdielu koreňov.

Riešenie.
Vynásobme pôvodnú rovnicu $-1$: $x^2-23x+60=0$.
V tejto podobe vyzerá rovnica oveľa známejšie.
Použime Viettovu vetu a predstavme našu rovnicu ako súčin binomických prvkov:
$(x-20)(x-3)=0$.
Máme dva korene $x_1=20$ a $x_2=3$.
Poďme nájsť rozdielový modul: $|x_1-x_2|=|20-3|=|17|=17$.
odpoveď: 17.

Príklad 8.
Koľko koreňov má rovnica $x^6-x^2=0?$

Riešenie.
Vyberme najmenší stupeň zo zátvoriek: $x^2(x^4-1)=0$.
Teraz použijeme vzorec rozdielu štvorcov:
$x^2 (x^2-1)(x^2+1)=0$.
A znova použijeme rovnaký vzorec:
$x^2 (x-1)(x+1)(x^2+1)=0$.
Táto rovnica je ekvivalentná množine rovníc: Zistili sme, že táto rovnica má tri korene.
odpoveď: 3.

Príklad 9.
Vyriešte rovnicu: $\frac((x-2)(2x+1))(2-x)=0$.
Ak má rovnica viac ako jeden koreň, zapíšte ako odpoveď ten väčší.

Riešenie.
Pôvodná rovnica je ekvivalentná nasledujúcej množine: Vyriešme každú rovnicu: Keďže menovateľ zlomku nemôže byť rovný nule, jedno riešenie odpadá. Dostali sme jeden koreň rovnice $x=-0,5$.
Odpoveď: -0,5.

Alexander Šabalin

! Od teórie k praxi;

! Od jednoduchých po zložité

MAOU "Stredná škola Platoshin",

učiteľka matematiky, Melekhina G.V.

Všeobecný tvar lineárnej rovnice: sekera + b = 0 ,

Kde a A b– čísla (koeficienty).

Ak a = 0 A b = 0, To 0x + 0 = 0 – nekonečne veľa koreňov;
Ak a = 0 A b ≠ 0, To 0x + b = 0– žiadne riešenia;
Ak a ≠ 0 A b = 0 , To sekera + 0 = 0 – jeden koreň, x = 0;
Ak a ≠ 0 A b ≠ 0 , To sekera + b = 0 - jeden koreň,

! Ak je X na prvej mocnine a nie je v menovateli, potom ide o lineárnu rovnicu

! A ak je lineárna rovnica komplexné :

! Výrazy s X idú doľava, bez X - doprava.

! Tieto rovnice sú aj lineárne .

! Hlavná vlastnosť proporcie (naprieč).

! Otvorte zátvorky s X doľava, bez X doprava.

ak koeficient a = 1, potom sa rovnica nazýva daný :

ak koeficient b = 0 alebo/a c = 0, potom sa rovnica nazýva neúplné :

! Základné vzorce

! Viac vzorcov

Bikvadratická rovnica- nazývaná rovnica tvaru sekera 4 +bx 2 + c = 0 .

Bikvadratická rovnica sa redukuje na kvadratická rovnica pomocou substitúcie

Dostaneme kvadratickú rovnicu:

Poďme nájsť korene a vráťme sa k náhrade:

Príklad 1:

Riešte rovnicu x 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Riešenie:

Substitúcia: x 2 = t.

t 2 + 5t – 36 = 0. Korene rovnice sú t 1 = -9 a t 2 = 4.

x 2 = -9 alebo x 2 = 4.

Odpoveď: V prvej rovnici nie sú korene, ale v druhej: x = ±2.

Príklad 2:

Vyriešte rovnicu (2x – 1) 4 – 25 (2x – 1) 2 + 144 = 0.

Riešenie:

Striedanie: (2x – 1) 2 = t.

t 2 – 25t + 144 = 0. Korene rovnice sú t 1 = 9 a t 2 = 16.

(2x – 1) 2 = 9 alebo (2x – 1) 2 = 16.

2x – 1 = ±3 alebo 2x – 1 = ±4.

Prvá rovnica má dva korene: x = 2 a x = -1, druhá má tiež dva korene: x = 2,5 a x = -1,5.

Odpoveď: -1,5; -1; 2; 2.5.

1) X 4 - 9 X 2 = 0; 2) 4 X 4 - x2 = 0;

1) X 4 + x 2 - 2 = 0;

2) X 4 - 3 X 2 - 4 = 0; 3) 9 X 4 + 8 X 2 - 1 = 0; 4) 20 X 4 - X 2 - 1 = 0.

Riešte rovnice výberom z ľavej strany plné námestie :

1) X 4 - 20 X 2 + 64 = 0; 2) X 4 - 13 X 2 + 36 = 0; 3) X 4 - 4 X 2 + 1 = 0; 4) X 4 + 2 X 2 +1 = 0.

! Pamätajte na druhú mocninu súčtu a druhú mocninu rozdielu

Racionálne vyjadrenie je algebraický výraz zložený z čísel a premennej X pomocou operácií sčítania, odčítania, násobenia, delenia a umocňovania s prirodzeným exponentom.

Ak r(x) je racionálny výraz, potom rovnica r(x)=0 nazývaná racionálna rovnica.

Algoritmus na riešenie racionálnej rovnice:

1. Presuňte všetky členy rovnice na jednu stranu.

2. Preveďte túto časť rovnice na algebraický zlomok p(x)/q(x)

3. Vyriešte rovnicu p(x)=0

4. Pre každý koreň rovnice p(x)=0 skontrolujte, či spĺňa podmienku q(x)≠0 alebo nie. Ak áno, potom toto je koreň danej rovnice; ak nie, potom je to cudzí koreň a nemal by byť zahrnutý do odpovede.

! Pripomeňme si riešenie zlomkovej racionálnej rovnice:

! Na riešenie rovníc je užitočné pripomenúť si skrátené vzorce násobenia:

Ak rovnica obsahuje premennú pod znamienkom druhej odmocniny, potom sa rovnica nazýva iracionálne .

Metóda kvadratúry oboch strán rovnice- hlavná metóda riešenia iracionálnych rovníc.

Po vyriešení výslednej racionálnej rovnice je potrebné skontrolovať , odburiňovanie možných cudzích koreňov.

Odpoveď: 5; 4

Ďalší príklad:

Vyšetrenie:

Výraz nemá žiadny význam.

odpoveď:žiadne riešenia.

V termíne „kvadratická rovnica“ je kľúčové slovo „kvadratická“. To znamená, že rovnica musí nevyhnutne obsahovať premennú (to isté x) na druhú a nemali by existovať xes na tretiu (alebo väčšiu) mocninu.

Riešenie mnohých rovníc vedie k riešeniu kvadratických rovníc.

Naučme sa určiť, že toto je kvadratická rovnica a nie nejaká iná rovnica.

Príklad 1

Zbavme sa menovateľa a vynásobme každý člen rovnice

Presuňme všetko na ľavú stranu a usporiadajme pojmy v zostupnom poradí podľa mocniny X

Teraz môžeme s istotou povedať, že táto rovnica je kvadratická!

Príklad 2

Vynásobte ľavú a pravú stranu:

Táto rovnica, hoci v nej pôvodne bola, nie je kvadratická!

Príklad 3

Všetko vynásobme:

desivé? Štvrtý a druhý stupeň... Ak však urobíme náhradu, uvidíme, že máme jednoduchú kvadratickú rovnicu:

Príklad 4.

Zdá sa, že tam je, ale poďme sa na to pozrieť bližšie. Presuňme všetko na ľavú stranu:

Vidíte, je to zmenšené – a teraz je to jednoduchá lineárna rovnica!

Teraz skúste sami určiť, ktoré z nasledujúcich rovníc sú kvadratické a ktoré nie:

Príklady:

Odpovede:

námestie;
námestie;
nie štvorcový;
nie štvorcový;
nie štvorcový;
námestie;
nie štvorcový;
námestie.

Matematici konvenčne rozdeľujú všetky kvadratické rovnice do nasledujúcich typov:

Kompletné kvadratické rovnice- rovnice, v ktorých koeficienty a aj voľný člen c sa nerovnajú nule (ako v príklade). Okrem toho medzi úplnými kvadratickými rovnicami existujú daný- sú to rovnice, v ktorých je koeficient (rovnica z príkladu 1 nielen úplný, ale aj redukovaný!)

Neúplné kvadratické rovnice- rovnice, v ktorých sa koeficient alebo voľný člen c rovnajú nule:
Sú neúplné, pretože im chýba nejaký prvok. Ale rovnica musí vždy obsahovať x na druhú!!! Inak to už nebude kvadratická rovnica, ale nejaká iná rovnica.

Prečo prišli s takýmto rozdelením? Zdalo by sa, že existuje X na druhú a v poriadku. Toto rozdelenie je určené metódami riešenia. Pozrime sa na každú z nich podrobnejšie.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Najprv sa zamerajme na riešenie neúplných kvadratických rovníc – sú oveľa jednoduchšie!

Existujú typy neúplných kvadratických rovníc:

, v tejto rovnici je koeficient rovný.
, v tejto rovnici sa voľný člen rovná.
, v tejto rovnici sa koeficient a voľný člen rovnajú.

1. i. Keďže vieme odmocninu, vyjadrime sa z tejto rovnice

Výraz môže byť negatívny alebo pozitívny. Druhé číslo nemôže byť záporné, pretože pri vynásobení dvoch záporných alebo dvoch kladných čísel bude výsledkom vždy kladné číslo, takže: ak, potom rovnica nemá riešenia.

A ak, potom dostaneme dva korene. Nie je potrebné sa tieto vzorce učiť naspamäť. Hlavná vec je, že musíte vedieť a vždy si pamätať, že to nemôže byť menej.

Skúsme vyriešiť niekoľko príkladov.

Príklad 5:

Vyriešte rovnicu

Teraz zostáva len extrahovať koreň z ľavej a pravej strany. Koniec koncov, pamätáte si, ako extrahovať korene?

odpoveď:

Nikdy nezabudnite na korene so záporným znamienkom!!!

Príklad 6:

Vyriešte rovnicu

odpoveď:

Príklad 7:

Vyriešte rovnicu

Oh! Druhá mocnina čísla nemôže byť záporná, čo znamená, že rovnica

žiadne korene!

Pre takéto rovnice, ktoré nemajú korene, matematici prišli so špeciálnou ikonou - (prázdna množina). A odpoveď môže byť napísaná takto:

odpoveď:

Táto kvadratická rovnica má teda dva korene. Neexistujú žiadne obmedzenia, pretože sme nevyťažili koreň.
Príklad 8:

Vyriešte rovnicu

Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek:

teda

Táto rovnica má dva korene.

odpoveď:

Najjednoduchší typ neúplných kvadratických rovníc (hoci sú všetky jednoduché, však?). Je zrejmé, že táto rovnica má vždy iba jeden koreň:

Tu sa zaobídeme bez príkladov.

Riešenie úplných kvadratických rovníc

Pripomíname, že úplná kvadratická rovnica je rovnica tvaru rovnice kde

Riešenie úplných kvadratických rovníc je o niečo ťažšie (iba o trochu) ako tieto.

zapamätaj si, Každá kvadratická rovnica môže byť vyriešená pomocou diskriminantu! Dokonca neúplné.

Ostatné metódy vám to pomôžu rýchlejšie, ale ak máte problémy s kvadratickými rovnicami, najprv si osvojte riešenie pomocou diskriminantu.

1. Riešenie kvadratických rovníc pomocou diskriminantu.

Riešenie kvadratických rovníc pomocou tejto metódy je veľmi jednoduché, hlavnou vecou je zapamätať si postupnosť akcií a niekoľko vzorcov.

Ak, potom rovnica má koreň. Musíte venovať zvláštnu pozornosť kroku. Diskriminant () nám udáva počet koreňov rovnice.

Ak, potom sa vzorec v kroku zredukuje na. Rovnica teda bude mať iba koreň.
Ak, potom nebudeme môcť extrahovať koreň diskriminantu v kroku. To znamená, že rovnica nemá korene.

Vráťme sa k našim rovniciam a pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklad 9:

Vyriešte rovnicu

Krok 1 preskočíme.

Krok 2.

Nájdeme diskriminačné:

To znamená, že rovnica má dva korene.

Krok 3.

odpoveď:

Príklad 10:

Vyriešte rovnicu

Rovnica je prezentovaná v štandardnej forme, tzv Krok 1 preskočíme.

Krok 2.

Nájdeme diskriminačné:

To znamená, že rovnica má jeden koreň.

odpoveď:

Príklad 11:

Vyriešte rovnicu

Rovnica je prezentovaná v štandardnej forme, tzv Krok 1 preskočíme.

Krok 2.

Nájdeme diskriminačné:

To znamená, že nebudeme môcť extrahovať koreň diskriminantu. Neexistujú žiadne korene rovnice.

Teraz vieme, ako správne zapísať takéto odpovede.

odpoveď:žiadne korene

2. Riešenie kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety.

Ak si pamätáte, existuje typ rovnice, ktorý sa nazýva redukovaný (keď sa koeficient a rovná):

Takéto rovnice sa dajú veľmi ľahko vyriešiť pomocou Vietovej vety:

Súčet koreňov daný kvadratická rovnica sa rovná a súčin koreňov sa rovná.

Príklad 12:

Vyriešte rovnicu

Túto rovnicu možno vyriešiť pomocou Vietovej vety, pretože .

Súčet koreňov rovnice sa rovná, t.j. dostaneme prvú rovnicu:

A produkt sa rovná:

Poďme zostaviť a vyriešiť systém:

A. Suma sa rovná;
A. Suma sa rovná;
A. Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

odpoveď: ; .

Príklad 13:

Vyriešte rovnicu

odpoveď:

Príklad 14:

Vyriešte rovnicu

Je daná rovnica, čo znamená:

odpoveď:

KVADRATICKÉ ROVNICE. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Čo je to kvadratická rovnica?

Inými slovami, kvadratická rovnica je rovnica tvaru, kde - neznáma, - nejaké čísla a.

Číslo sa nazýva najvyššie resp prvý koeficient kvadratická rovnica, - druhý koeficient, A - voľný člen.

prečo? Pretože ak sa rovnica okamžite stane lineárnou, pretože zmizne.

V tomto prípade a môže byť rovný nule. V tejto stoličke sa rovnica nazýva neúplná. Ak sú všetky pojmy na mieste, to znamená, že rovnica je úplná.

Riešenie rôznych typov kvadratických rovníc

Metódy riešenia neúplných kvadratických rovníc:

Najprv sa pozrime na metódy riešenia neúplných kvadratických rovníc – sú jednoduchšie.

Môžeme rozlíšiť nasledujúce typy rovníc:

I., v tejto rovnici sa koeficient a voľný člen rovnajú.

II. , v tejto rovnici je koeficient rovný.

III. , v tejto rovnici sa voľný člen rovná.

Teraz sa pozrime na riešenie každého z týchto podtypov.

Je zrejmé, že táto rovnica má vždy iba jeden koreň:

Druhé číslo nemôže byť záporné, pretože keď vynásobíte dve záporné alebo dve kladné čísla, výsledkom bude vždy kladné číslo. Preto:

ak, potom rovnica nemá riešenia;

ak máme dva korene

Nie je potrebné sa tieto vzorce učiť naspamäť. Hlavná vec na zapamätanie je, že to nemôže byť menej.

Príklady:

Riešenia:

odpoveď:

Nikdy nezabudnite na korene so záporným znamienkom!

Druhá mocnina čísla nemôže byť záporná, čo znamená, že rovnica

žiadne korene.

Na stručné zapísanie, že problém nemá riešenia, použijeme ikonu prázdnej sady.

odpoveď:

Takže táto rovnica má dva korene: a.

odpoveď:

Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek:

Súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. To znamená, že rovnica má riešenie, keď:

Takže táto kvadratická rovnica má dva korene: a.

Príklad:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Vynásobme ľavú stranu rovnice a nájdime korene:

odpoveď:

Metódy riešenia úplných kvadratických rovníc:

1. Diskriminačný

Riešenie kvadratických rovníc týmto spôsobom je jednoduché, hlavnou vecou je zapamätať si postupnosť akcií a niekoľko vzorcov. Pamätajte, že každá kvadratická rovnica môže byť vyriešená pomocou diskriminantu! Dokonca neúplné.

Všimli ste si koreň z diskriminantu vo vzorci pre korene? Ale diskriminant môže byť negatívny. Čo robiť? Osobitnú pozornosť musíme venovať kroku 2. Diskriminant nám hovorí počet koreňov rovnice.

Ak, potom má rovnica korene:
Ak, potom má rovnica rovnaké korene a v skutočnosti jeden koreň:
Takéto korene sa nazývajú dvojité korene.
Ak, potom koreň diskriminantu nie je extrahovaný. To znamená, že rovnica nemá korene.

Prečo sú možné rôzne počty koreňov? Vráťme sa ku geometrickému významu kvadratickej rovnice. Grafom funkcie je parabola:

V špeciálnom prípade, ktorým je kvadratická rovnica, . To znamená, že korene kvadratickej rovnice sú priesečníky s osou x (os). Parabola nemusí pretínať os vôbec, alebo ju môže pretínať v jednom (keď vrchol paraboly leží na osi) alebo dvoch bodoch.

Okrem toho je koeficient zodpovedný za smer vetiev paraboly. Ak, potom vetvy paraboly smerujú nahor a ak, potom nadol.

Príklady:

Riešenia:

odpoveď:

Odpoveď: .

odpoveď:

To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Odpoveď: .

2. Vietova veta

Je veľmi jednoduché použiť Vietovu vetu: stačí si vybrať pár čísel, ktorých súčin sa rovná voľnému členu rovnice a súčet sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom.

Je dôležité si uvedomiť, že Vietovu vetu je možné aplikovať iba v redukované kvadratické rovnice ().

Pozrime sa na niekoľko príkladov:

Príklad č. 1:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Túto rovnicu možno vyriešiť pomocou Vietovej vety, pretože . Ostatné koeficienty: ; .

Súčet koreňov rovnice je:

A produkt sa rovná:

Vyberme dvojice čísel, ktorých súčin sa rovná a skontrolujeme, či sa ich súčet rovná:

A. Suma sa rovná;
A. Suma sa rovná;
A. Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

Tak, a sú korene našej rovnice.

Odpoveď: ; .

Príklad č. 2:

Riešenie:

Vyberme dvojice čísel, ktoré sú v súčine, a potom skontrolujte, či sa ich súčet rovná:

a: dávajú celkom.

a: dávajú celkom. Na získanie stačí jednoducho zmeniť znaky predpokladaných koreňov: a koniec koncov aj produkt.

odpoveď:

Príklad č. 3:

Riešenie:

Voľný člen rovnice je záporný, a preto súčin koreňov je záporné číslo. To je možné len vtedy, ak je jeden z koreňov negatívny a druhý pozitívny. Preto sa súčet koreňov rovná rozdiely ich modulov.

Vyberme dvojice čísel, ktoré sú v súčine a ktorých rozdiel sa rovná:

a: ich rozdiel je rovnaký - nesedí;

a: - nevhodné;

a: - vhodné. Zostáva len pripomenúť, že jeden z koreňov je negatívny. Keďže ich súčet sa musí rovnať, odmocnina s menším modulom musí byť záporná: . Kontrolujeme:

odpoveď:

Príklad č. 4:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Je daná rovnica, čo znamená:

Voľný termín je záporný, a preto súčin koreňov je záporný. A to je možné len vtedy, keď je jeden koreň rovnice záporný a druhý kladný.

Vyberme dvojice čísel, ktorých súčin sa rovná, a potom určme, ktoré korene by mali mať záporné znamienko:

Je zrejmé, že iba korene a sú vhodné pre prvý stav:

odpoveď:

Príklad č. 5:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Je daná rovnica, čo znamená:

Súčet koreňov je záporný, čo znamená, že aspoň jeden z koreňov je záporný. Ale keďže ich produkt je pozitívny, znamená to, že oba korene majú znamienko mínus.

Vyberme dvojice čísel, ktorých súčin sa rovná:

Je zrejmé, že korene sú čísla a.

odpoveď:

Súhlasíte, je veľmi výhodné prísť s koreňmi ústne, namiesto počítania tohto škaredého diskriminátora. Snažte sa používať Vietovu vetu čo najčastejšie.

Ale Vietin teorém je potrebný na uľahčenie a urýchlenie hľadania koreňov. Aby ste z jej používania mali úžitok, musíte akcie zautomatizovať. A preto vyriešte ďalších päť príkladov. Ale nepodvádzajte: nemôžete použiť diskriminant! Iba Vietov teorém:

Riešenia úloh pre samostatnú prácu:

Úloha 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Podľa Vietovej vety:

Ako obvykle, výber začíname kúskom:

Nevhodné, pretože množstvo;

: suma je presne to, čo potrebujete.

Odpoveď: ; .

Úloha 2.

A opäť naša obľúbená Vietova veta: súčet sa musí rovnať a súčin sa musí rovnať.

Ale keďže to musí byť nie, ale, meníme znamienka koreňov: a (celkovo).

Odpoveď: ; .

Úloha 3.

Hmm... Kde to je?

Musíte presunúť všetky výrazy do jednej časti:

Súčet koreňov sa rovná súčinu.

Dobre, prestaň! Rovnica nie je daná. Vietova veta je však použiteľná len v daných rovniciach. Takže najprv musíte dať rovnicu. Ak neviete viesť, vzdajte sa tejto myšlienky a riešte ju iným spôsobom (napríklad cez diskriminant). Dovoľte mi pripomenúť, že dať kvadratickú rovnicu znamená, aby sa vodiaci koeficient rovnal:

Skvelé. Potom sa súčet koreňov rovná a súčin.

Tu je výber také jednoduchý ako lúskanie hrušiek: koniec koncov je to prvočíslo (prepáčte za tautológiu).

Odpoveď: ; .

Úloha 4.

Voľný člen je záporný. Čo je na tom zvláštne? A faktom je, že korene budú mať rôzne znaky. A teraz, počas výberu, nekontrolujeme súčet koreňov, ale rozdiel v ich moduloch: tento rozdiel je rovnaký, ale súčin.

Korene sa teda rovnajú a, ale jeden z nich je mínus. Vietova veta nám hovorí, že súčet koreňov sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom, tzn. To znamená, že menší koreň bude mať mínus: a od.

Odpoveď: ; .

Úloha 5.

Čo by ste mali urobiť ako prvé? Správne, dajte rovnicu:

Opäť: vyberieme faktory čísla a ich rozdiel by sa mal rovnať:

Korene sa rovnajú a, ale jeden z nich je mínus. Ktoré? Ich súčet by sa mal rovnať, čo znamená, že mínus bude mať väčší koreň.

Odpoveď: ; .

Zhrniem:

Vietov teorém sa používa iba v uvedených kvadratických rovniciach.
Pomocou Vietovej vety môžete nájsť korene výberom, ústne.
Ak rovnica nie je daná alebo sa nenájde vhodný pár faktorov voľného člena, potom neexistujú celé korene a musíte to vyriešiť iným spôsobom (napríklad cez diskriminant).

3. Metóda výberu celého štvorca

Ak sú všetky výrazy obsahujúce neznámu reprezentované vo forme výrazov zo skrátených vzorcov násobenia - štvorca súčtu alebo rozdielu - potom po nahradení premenných môže byť rovnica prezentovaná vo forme neúplnej kvadratickej rovnice typu.

Napríklad:

Príklad 1:

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie:

odpoveď:

Príklad 2:

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie:

odpoveď:

Vo všeobecnosti bude transformácia vyzerať takto:

To znamená: .

Nič vám to nepripomína? Toto je diskriminačná vec! Presne tak sme dostali diskriminačný vzorec.

KVADRATICKÉ ROVNICE. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Kvadratická rovnica- ide o rovnicu tvaru, kde - neznáma, - koeficienty kvadratickej rovnice, - voľný člen.

Kompletná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej sa koeficienty nerovnajú nule.

Redukovaná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej je koeficient, teda: .

Neúplná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej sa koeficient alebo voľný člen c rovnajú nule:

ak koeficient, rovnica vyzerá takto:
ak je tam voľný člen, rovnica má tvar: ,
ak a, rovnica vyzerá takto: .

1. Algoritmus riešenia neúplných kvadratických rovníc

1.1. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

1) Vyjadrime neznáme: ,

2) Skontrolujte znamienko výrazu:

ak, potom rovnica nemá riešenia,
ak, tak rovnica má dva korene.

1.2. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

1) Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek: ,

2) Súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Preto má rovnica dva korene:

1.3. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

Táto rovnica má vždy len jeden koreň: .

2. Algoritmus na riešenie úplných kvadratických rovníc v tvare kde

2.1. Riešenie pomocou diskriminantu

1) Uveďme rovnicu do štandardného tvaru: ,

2) Vypočítajme diskriminant pomocou vzorca: , ktorý udáva počet koreňov rovnice:

3) Nájdite korene rovnice:

ak, potom rovnica má korene, ktoré sa nachádzajú podľa vzorca:
ak, potom rovnica má koreň, ktorý sa nachádza podľa vzorca:
ak, potom rovnica nemá korene.

2.2. Riešenie pomocou Vietovej vety

Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice (rovnica tvaru kde) sa rovná a súčin koreňov sa rovná, t.j. , A.

2.3. Riešenie metódou výberu úplného štvorca

Ak má kvadratická rovnica tvaru korene, možno ju zapísať v tvare: .

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Za úspešné absolvovanie Jednotnej štátnej skúšky, za vstup na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE, na celý život.

nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?

ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.

Na skúške od vás nebudú žiadať teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy s časom.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.

Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.

Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.

Aby ste mohli lepšie využívať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku -
Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - Kúpte si učebnicu - 899 RUR

Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný po CELÚ životnosť stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.

„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!