Vysoká škola delostreleckého poľnohospodárstva prezidentská. Kaliningradská vysoká škola obchodu a ekonómie je pobočkou Ruskej akadémie národného hospodárstva a verejnej správy pod vedením prezidenta Ruskej federácie. Maximum a minimum funkcie

História Kaliningradskej vysokej školy obchodu a ekonomiky je stránkou v histórii regiónu, ktorá sa píše od roku 1946. Odvtedy školu vyštudovalo viac ako 25 000 odborníkov.

Od roku 2004 sa kolégium stalo experimentálnou platformou pre Moskovský inštitút pre rozvoj stredného odborného vzdelávania na tému „Šírenie európskych skúseností pri vytváraní a organizácii centier vzdelávania dospelých a centier otvoreného vzdelávania v regióne“. Desať rokov je členom Ruskej marketingovej asociácie, má štatút vysokej školy sociálnej orientácie. Ten bol kolégiu pridelený regionálnou správou na neustálu podporu sociálne slabších študentov, učiteľov, dôchodcov, vojenského personálu a ich rodín, pracujúcich učiteľov a zamestnancov.

Školenie študentov na Kaliningradskej vysokej škole obchodu a ekonomiky prebieha na piatich fakultách: technológia a služby, marketingový manažment, právo, ekonómia a účtovníctvo, netradičné formy vzdelávania. Vzdelávacia oblasť vysokej školy zahŕňa šestnásť odborov. Patria sem technológie varenia, obchod s potravinami, obchod, manažment, marketing, právne účtovníctvo, bankovníctvo, manažment pohostinstva, financie, cestovný ruch a ďalšie.

Vysoká škola má Centrum kariérového poradenstva a vzdelávania uchádzačov. Na fakulte netradičných foriem vzdelávania môžete nielen zlepšiť svoje zručnosti, ale získať aj novú špecializáciu v zamestnaní. Súčasné Centrum otvoreného vzdelávania je zamerané na poskytovanie pomoci pri príprave na povolanie vo viac ako dvadsiatich odboroch. Tu si môžete zdokonaliť svoje zručnosti, absolvovať rekvalifikáciu. Metódy sú veľmi rôznorodé: obchodné hry, školenia, semináre, cvičenia, otvorené stretnutia, konferencie, projektová práca.To všetko umožňuje študentom maximálne osvojiť si navrhovaný materiál.

Spolupráca s Kaliningradskou štátnou univerzitou, Kaliningradskou štátnou technickou univerzitou, Baltskou štátnou akadémiou umožňuje vysokej škole pripravovať odborníkov, ktorých znalosti sa stávajú kapitálom a hlavným zdrojom pre ekonomický rozvoj regiónu. Za roky tejto interakcie získalo vysokoškolské vzdelanie na špeciálnej fakulte so skrátenou dobou štúdia viac ako dvesto absolventov. Všetky sú žiadané ekonomickým komplexom regiónu, mnohí vstúpili medzi elitu podnikateľského zboru regiónu.

Kaliningradská vysoká škola obchodu a ekonomiky nadviazala komunikáciu a aktívne spolupracuje s Dánskom, Švédskom, Nemeckom, Poľskom a Fínskom. Tím sa podieľa na medzinárodných vzdelávacích projektoch. Ich tématika je rôznorodá, zahŕňa také dôležité témy ako „Pomoc kaliningradským orgánom pri rozvoji malého a stredného podnikania“, „Pomoc dôstojníkom a nezamestnaným členom ich rodín pri získavaní civilných špecialít pre následné zamestnanie“, „ Školenie učiteľov v oblasti andragogiky a rozvoj podnikateľských vzdelávacích programov“. aktivity v Kaliningrade“ a podobne.

V roku 1999 bola v rámci medzinárodného projektu vďaka úsiliu Lidie Ivanovny Motolyanets, zástupkyne riaditeľa pre akademické záležitosti, vytvorená imitačná firma - podnikový model, ktorý odráža aktivity skutočnej obchodnej organizácie, efektívna špecializovaná forma pokročilé školenia pre zamestnancov na všetkých úrovniach pracujúcich v oblasti malého podnikania.

Poslanie kolektívu – garantovať vzdelanie, ktoré bude zodpovedať potrebám spoločnosti a prispievať k formovaniu celého človeka – sa v plnej miere napĺňa. Kaliningradská vysoká škola obchodu a ekonómie znamená profesionalitu, zodpovednosť a prestíž.

KTEK
PCC ekonomiky a účtovníctva

15 kópií, 2006

Úvod. štyri

Pojem derivát. 5

Súkromné ​​deriváty. jedenásť

Inflexné body. 16

Cvičenia na riešenie. 17

Test. dvadsať

Odpovede na cvičenia.. 21

Literatúra. 23

Úvod

f(x X, potom zavolal okrajový produkt; ak g(x) g(x) g′(x) volal hraničné náklady.

Napríklad, Nechajte funkciu u=u(t) u počas pracovania t. ∆t=t 1 - t 0:

z porov. =

z porov. pri ∆t→ 0: .

výrobné náklady K X, tak si môžeme písať K=K(x) ∆x K(x+∆x). ∆x ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Limit volal

Pojem derivát

Derivácia funkcie v bode x 0 sa nazýva limita pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu za predpokladu, že prírastok argumentu smeruje k nule.

Zápis derivačnej funkcie:

To. podľa definície:

Algoritmus na nájdenie derivátu:

Nechajte funkciu y=f(x) kontinuálne na segmente , X

1. Nájdite prírastok argumentu:

X je nová hodnota argumentu

x0- pôvodná hodnota

2. Nájdite prírastok funkcie:

f(x) je nová hodnota funkcie

f(x0)- počiatočná hodnota funkcie

3. Nájdite pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu:

4. Nájdite hranicu pomeru nájdeného na

Nájdite deriváciu funkcie na základe definície derivácie.

Riešenie:

Dajme si X prírastok Δx, potom nová hodnota funkcie bude:

Nájdite prírastok funkcie ako rozdiel medzi novou a počiatočnou hodnotou funkcie:

Nájdite pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu:

.

Nájdite hranicu tohto pomeru za predpokladu, že:

Preto podľa definície derivátu: .

Nájdenie derivácie funkcie sa volá diferenciácia.

Funkcia y=f(x) volal diferencovateľné na intervale (a;b), ak má deriváciu v každom bode intervalu.

Veta Ak je funkcia v danom bode diferencovateľná x 0, potom je v tomto bode spojitá.

Opačné tvrdenie nie je pravdivé, pretože existujú funkcie, ktoré sú v určitom bode spojité, ale v tomto bode nie sú diferencovateľné. Napríklad funkcia v bode x 0 = 0.

Nájdite derivácie funkcií

1) .

2) .

Vykonajte identické transformácie funkcie:

Deriváty vyšších rádov

Derivát druhého rádu sa nazýva derivácia prvej derivácie. Označené

derivát n-radu sa nazýva derivácia derivácie (n-1)-tého rádu.

Napríklad,

Parciálne deriváty

súkromný derivát funkcia niekoľkých premenných vzhľadom na jednu z týchto premenných sa nazýva derivácia vzhľadom na túto premennú za predpokladu, že všetky ostatné premenné zostanú konštantné.

Napríklad, za funkciu parciálne deriváty prvého rádu sa budú rovnať:

Maximum a minimum funkcie

Zavolá sa hodnota argumentu, pri ktorej má funkcia najväčšiu hodnotu maximálny bod.

Zavolá sa hodnota argumentu, pri ktorej má funkcia najmenšiu hodnotu minimálny bod.

Maximálny bod funkcie je hraničný bod prechodu funkcie z rastúcej do klesajúcej, minimálny bod funkcie je hraničný bod prechodu z klesajúcej na rastúci..

Funkcia y=f(x) má (miestne) maximálne v bode ak pre všetkých X

Funkcia y=f(x) má (miestne) minimálne v bode ak pre všetkých X, dostatočne blízko k nerovnosti

Maximálne a minimálne hodnoty funkcie majú spoločný názov extrémy a body, v ktorých sú dosiahnuté, sa nazývajú extrémne body.

Veta (nevyhnutná podmienka existencie extrému) Nech je funkcia definovaná na intervale a má najväčšiu (najmenšiu) hodnotu v bode . Potom, ak derivácia tejto funkcie existuje v bode, potom sa rovná nule, t.j. .

dôkaz:

Ak má funkcia v bode x 0 najväčšiu hodnotu, potom pre ľubovoľnú nerovnosť platí: .

Za akýkoľvek bod

Ak x > x 0 , potom , t.j.

Ak x< x 0 , то , т.е.

Pretože existuje , čo je možné iba vtedy, ak sa rovnajú nule, teda .

Dôsledok:

Ak v určitom bode nadobudne diferencovateľná funkcia najväčšiu (najmenšiu) hodnotu, potom je v danom bode dotyčnica ku grafu tejto funkcie rovnobežná s osou Ox.

Volajú sa body, v ktorých sa prvá derivácia rovná nule alebo neexistuje kritický - toto sú možné extrémne body.

Všimnite si, že keďže rovnosť prvej derivácie k nule je len nevyhnutnou podmienkou pre extrém, je potrebné dodatočne preskúmať otázku prítomnosti extrému v každom bode možného extrému.

Veta(dostatočná podmienka pre existenciu extrému)

Nechajte funkciu y = f(x) je spojitý a diferencovateľný v niektorom okolí bodu x0. Ak pri prechode cez bod x0 zľava doprava, prvá derivácia zmení znamienko z plus na mínus (z mínus na plus), potom v bode x0 funkciu y = f(x) má maximum (minimum). Ak prvá derivácia nemení znamienko, potom táto funkcia nemá v bode extrém x 0.

Algoritmus na štúdium funkcie pre extrém:

1.Nájdite prvú deriváciu funkcie.

2. Prirovnajte prvú deriváciu k nule.

3. Vyriešte rovnicu. Nájdené korene rovnice sú kritické body.

4. Nájdené kritické body dajte na číselnú os. Získame množstvo intervalov.

5. Určte znamienko prvej derivácie v každom z intervalov a označte extrémy funkcie.

6. Vytvorenie grafu:

Ø určiť funkčné hodnoty v extrémnych bodoch

Ø nájdite priesečníky so súradnicovými osami

Ø nájsť ďalšie body

Plechovka má tvar okrúhleho valca s polomerom r a výška h. Za predpokladu, že sa na výrobu plechovky použije jasne stanovené množstvo cínu, určite, v akom pomere medzi nimi r a h banka bude mať najväčší objem.

Množstvo použitého cínu sa bude rovnať ploche celého povrchu plechovky, t.j. . (jeden)

Z tejto rovnosti nájdeme:

Potom sa objem môže vypočítať podľa vzorca: . Problém sa zmenší na nájdenie maxima funkcie V(r). Nájdite prvú deriváciu tejto funkcie: . Prirovnajte prvú deriváciu k nule:

. Nájdeme: . (2)

Tento bod je maximálny bod, pretože prvá derivácia je kladná v a záporná v .

Teraz stanovme, v akom pomere medzi polomerom a výškou bude mať banka najväčší objem. Aby sme to dosiahli, vydelíme rovnosť (1) o r2 a použite vzťah (2) na S. Dostaneme: . Takže najväčší objem bude mať nádobu, ktorej výška sa rovná priemeru.

Niekedy je dosť ťažké študovať znamienko prvej derivácie vľavo a vpravo od možného extrémneho bodu, potom môžete použiť druhý dostatočný extrémny stav:

Veta Nechajte funkciu y = f(x) má v pointe x0 možný extrém, posledný druhý derivát. Potom funkcia y = f(x) má v bode x0 maximálne ak , a minimálne ak .

Poznámka Táto veta nerieši problém extrému funkcie v bode, ak sa druhá derivácia funkcie v danom bode rovná nule alebo neexistuje.

Inflexné body

Body krivky, v ktorých sa konvexnosť oddeľuje od konkávnosti, sa nazývajú inflexné body.

Veta (požadovaná podmienka inflexného bodu): Nech graf funkcie má inflexiu v bode a funkcia má spojitú druhú deriváciu v bode x 0, potom

Veta (dostatočná podmienka pre inflexný bod): Nech má funkcia druhú deriváciu v nejakom okolí bodu x 0, ktorý má rôzne znamienka vľavo a vpravo x0. potom má graf funkcie inflexiu v bode .

Algoritmus na nájdenie inflexných bodov:

1. Nájdite druhú deriváciu funkcie.

2. Priraďte druhú deriváciu k nule a vyriešte rovnicu: . Výsledné korene umiestnite na číselnú os. Získame množstvo intervalov.

3. Nájdite znamienko druhej derivácie v každom z intervalov. Ak sú znamienka druhej derivácie v dvoch susedných intervaloch rôzne, potom máme inflexný bod pri danej hodnote odmocniny, ak sú znamienka rovnaké, tak inflexné body neexistujú.

4. Nájdite súradnice inflexných bodov.

Preskúmajte konvexnosť a konkávnosť krivky. Nájdite inflexné body.

1) nájdite druhú deriváciu:

2) Vyriešte nerovnosť 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) Vyriešte nerovnosť 2x>0 x>0 pre x je krivka konkávna

4) Nájdite inflexné body, pre ktoré prirovnáme druhú deriváciu k nule: 2x=0 x=0. Pretože v bode x=0 má druhá derivácia rozdielne znamienka vľavo a vpravo, potom x=0 je úsečka inflexného bodu. Nájdite súradnicu inflexného bodu:

(0;0) inflexný bod.

Cvičenia na riešenie

č. 1 Nájdite derivácie týchto funkcií, vypočítajte hodnotu derivácií pre danú hodnotu argumentu:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

#2 Nájdite deriváty komplexných funkcií:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

Č. 3 Riešenie problémov:

1. Nájdite sklon dotyčnice nakreslenej k parabole v bode x=3.

2. K parabole y \u003d 3x 2 -x v bode x \u003d 1 sa nakreslí dotyčnica a normála. Napíšte ich rovnice.

3. Nájdite súradnice bodu, v ktorom dotyčnica k parabole y=x 2 +3x-10 zviera s osou OX uhol 135°.

4. Zostavte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d 4x-x 2 v priesečníku s osou OX.

5. Pri akých hodnotách x je dotyčnica ku grafu funkcie y \u003d x 3 -x rovnobežná s priamkou y \u003d x.

6. Bod sa pohybuje po priamke podľa zákona S=2t 3 -3t 2 +4. nájdite zrýchlenie a rýchlosť bodu na konci 3. sekundy. V akom časovom bode bude zrýchlenie nulové?

7. Kedy sa rýchlosť pohybu bodu podľa zákona S=t 2 -4t+5 rovná nule?

#4 Preskúmajte funkcie pomocou derivátu:

1. Preskúmajte monotónnosť funkcie y \u003d x 2

2. Nájdite intervaly nárastu a poklesu funkcie .

3. Nájdite intervaly nárastu a poklesu funkcie.

4. Preskúmajte funkciu maxima a minima .

5. Preskúmajte funkciu pre extrém .

6. Preskúmajte funkciu y \u003d x 3 pre extrém

7. Preskúmajte funkciu pre extrém .

8. Rozdeľte číslo 24 na dva pojmy tak, aby ich súčin bol najväčší.

9. Z listu papiera je potrebné vyrezať obdĺžnik s plochou ​​100 cm 2 tak, aby bol obvod tohto obdĺžnika najmenší. Aké by mali byť strany tohto obdĺžnika?

10. Preskúmajte funkciu y=2x 3 -9x 2 +12x-15 pre extrém a zostavte jeho graf.

11. Preskúmajte konkávnosť a konvexnosť krivky.

12. Nájdite intervaly konvexnosti a konkávnosti krivky .

13. Nájdite inflexné body funkcií: a) ; b) .

14. Preskúmajte funkciu a vytvorte jej graf.

15. Preskúmajte funkciu a vytvorte jej graf.

16. Funkcia Preskúmať a naplánovať to.

17. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d x 2 -4x + 3 na segmente

Testovacie otázky a príklady

1. Definujte deriváciu.

2. Čo sa nazýva prírastok argumentu? prírastok funkcie?

3. Aký je geometrický význam derivácie?

4. Čo sa nazýva diferenciácia?

5. Uveďte hlavné vlastnosti derivátu.

6. Ktorá funkcia sa nazýva komplexná? späť?

7. Uveďte pojem derivácie druhého rádu.

8. Formulujte pravidlo na diferenciáciu komplexnej funkcie?

9. Teleso sa pohybuje priamočiaro podľa zákona S=S(t). Čo možno povedať o pohybe, ak:

5. Funkcia rastie na nejakom intervale. Vyplýva z toho, že jeho derivácia je na tomto intervale kladná?

6. Čo sa nazýva extrém funkcie?

7. Musí sa najväčšia hodnota funkcie na určitom intervale nevyhnutne zhodovať s hodnotou funkcie v maximálnom bode?

8. Funkcia je definovaná na . Môže byť bod x=a extrémnym bodom tejto funkcie?

10. Derivácia funkcie v bode x 0 je nulová. Z toho vyplýva, že x 0 je extrémny bod tejto funkcie?

Test

1. Nájdite derivácie týchto funkcií:

a)	e)
b)	a)
s)	h)
e)	a)

2. Napíšte rovnice dotyčníc k parabole y=x 2 -2x-15: a) v bode s os x=0; b) v priesečníku paraboly s osou x.

3. Určte intervaly nárastu a poklesu funkcie

4. Preskúmajte funkciu a zakreslite ju

5. Nájdite v čase t=0 rýchlosť a zrýchlenie pohybujúceho sa bodu podľa zákona s =2e 3 t

Odpovede na cvičenia

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (výsledok sa získa pomocou vzorca pre deriváciu kvocientu). Tento príklad môžete vyriešiť iným spôsobom:

5.

8. Súčin bude najväčší, ak sa každý výraz rovná 12.

9. Obvod obdĺžnika bude najmenší, ak strany obdĺžnika budú mať po 10 cm, t.j. vystrihnúť štvorec.

17. Na segmente má funkcia najväčšiu hodnotu, ktorá sa rovná 3 keď x=0 a najmenšia hodnota rovná –1 at x=2.

Literatúra

KALININGRADSKÉ OBCHODNÉ A HOSPODÁRSKE KOLEKTÍVY

na štúdium témy

"derivát funkcie"

pre študentov odboru 080110 "Ekonomika a účtovníctvo", 080106 "Financie",
080108 "Bankovníctvo", 230103 "Automatizované systémy spracovania a riadenia informácií"

Zostavila Fedorová E.A.

KALININGRAD

Recenzenti: Gorskaya Natalya Vladimirovna, lektor, Kaliningradská vysoká škola obchodu a ekonómie

V tejto príručke sa zvažujú základné pojmy diferenciálneho počtu: pojem derivácie, vlastnosti derivácií, aplikácia v analytickej geometrii a mechanike, sú uvedené základné vzorce pre diferenciáciu, sú uvedené príklady, ktoré ilustrujú teoretický materiál. Príručka je doplnená o cvičenia na samostatnú prácu, odpovede na ne, otázky a vzorové úlohy pre stredne pokročilú kontrolu vedomostí. Určené pre študentov odboru "Matematika" na stredných odborných učilištiach, študujúcich dennú, externú, večernú výučbu, externých študentov alebo s bezplatnou dochádzkou.

KTEK
PCC ekonomiky a účtovníctva

15 kópií, 2006

Úvod. štyri

Požiadavky na vedomosti a zručnosti.. 5

Pojem derivát. 5

Geometrický význam derivátu. 7

Mechanický význam derivátu. 7

Základné pravidlá diferenciácie. osem

Vzorce na diferenciáciu základných funkcií. 9

Derivácia inverznej funkcie. 9

Diferenciácia komplexných funkcií. desať

Deriváty vyšších rádov. jedenásť

Súkromné ​​deriváty. jedenásť

Skúmanie funkcií pomocou derivácií. jedenásť

Zvyšovanie a znižovanie funkcie. jedenásť

Maximum a minimum funkcie. 13

Konvexnosť a konkávnosť krivky. pätnásť

Inflexné body. 16

Všeobecná schéma pre štúdium funkcií a vykresľovanie. 17

Cvičenia na riešenie. 17

Testovacie otázky a príklady.. 20

Test. dvadsať

Odpovede na cvičenia.. 21

Literatúra. 23

Úvod

Matematická analýza poskytuje množstvo základných pojmov, s ktorými ekonóm pracuje - funkcia, limita, derivácia, integrál, diferenciálna rovnica. V ekonomickom výskume sa na označenie derivátov často používa špecifická terminológia. Napríklad, ak f(x) je produkčná funkcia, ktorá vyjadruje závislosť produkcie akéhokoľvek produktu od nákladov na faktor X, potom zavolal okrajový produkt; ak g(x) je nákladová funkcia, t.j. funkciu g(x) vyjadruje závislosť celkových nákladov od objemu výroby x, potom g′(x) volal hraničné náklady.

Marginálna analýza v ekonómii- súbor metód na štúdium meniacich sa hodnôt nákladov alebo výsledkov, keď sa menia objemy výroby, spotreby atď. na základe analýzy ich limitných hodnôt.

Napríklad, nájsť produktivitu. Nechajte funkciu u=u(t), vyjadrujúce množstvo vyrobených produktov u počas pracovania t. Vypočítajme množstvo vyrobeného tovaru za ten čas ∆t=t 1 - t 0:

u=u(ti)-u(to)=u(to +∆t)-u(to).

Priemerná produktivita práce je pomer množstva vyprodukovaného výkonu k vynaloženému času, t.j. z porov. =

Produktivita pracovníkov v momente t 0 sa nazýva limit, do ktorého z porov. pri ∆t→ 0: . Výpočet produktivity práce sa preto redukuje na výpočet derivátu:

výrobné náklady K homogénnych produktov je funkciou množstva produktov X, tak si môžeme písať K=K(x). Predpokladajme, že množstvo produkcie sa zvýši o ∆x. Množstvo výroby x+∆x zodpovedá výrobným nákladom K(x+∆x). Preto prírastok množstva produkcie ∆x zodpovedá zvýšeniu výrobných nákladov ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Priemerný prírastok výrobných nákladov je ∆K/∆x. Ide o prírastok výrobných nákladov na jednotkový prírastok množstva produkcie.

Limit volal hraničné výrobné náklady.