10x - 5r - 3z = - 9,

6 x + 4 r - 5 z = - 1,3 x - 4 r - 6 z = - 23.

Vyrovnáme koeficienty na x v prvej a druhej rovnici, preto vynásobíme obe časti prvej rovnice 6 a druhú rovnicu 10, dostaneme:

60x - 30 r - 18z = - 54,60x + 40 r - 50z = - 10.

Od druhej rovnice výslednej sústavy odčítame prvú rovnicu

dostaneme: 70 r - 32 z = 44, 35 r - 16 z = 22.

Odčítaním tretej rovnice vynásobenej 2 od druhej rovnice pôvodnej sústavy dostaneme: 4 y + 8 y − 5 z + 12 z = − 1 + 46,

12r + 7z = 45.

Teraz riešime nový systém rovníc:

35r − 16z = 22,12r + 7z = 45.

K prvej rovnici nového systému, vynásobenej 7, pridáme druhú rovnicu, vynásobenú 16, dostaneme:

35 7 + 12 16 = 22 7 + 45 16,

Teraz dosadíme y = 2, z = 3 do prvej rovnice pôvodnej sústavy

témy, dostaneme: 10x - 5 2 - 3 3 = - 9, 10x - 10 - 9 = - 9, 10x = 10, x = 1.

Odpoveď: (1; 2; 3) . ▲

§ 3. Riešenie systémov s parametrom a s modulmi

ax + 4y = 2a,

Zvážte sústavu rovníc

x + ay = a.

akademický rok 2010-2011 roč., č.3, 8 buniek. Matematika. Sústavy rovníc.

V tomto systéme v skutočnosti existujú tri premenné, a to: a , x , y . Neznáme sú x a y a a sa nazýva parameter. Pre každú hodnotu parametra a je potrebné nájsť riešenia (x , y ) tohto systému.

Ukážme si, ako sa takéto systémy riešia. Vyjadrime premennú x z druhej rovnice sústavy: x = a − ay . Túto hodnotu dosadíme za x do prvej rovnice systému, dostaneme:

a (a − ay) + 4 y = 2 a,

(2 − a )(2 + a) y = a (2 − a) .

Ak a = 2, dostaneme rovnicu 0 y = 0. Tejto rovnici vyhovuje ľubovoľné číslo y a potom x = 2 − 2 y , teda pre a = 2 dvojica čísel (2 − 2 y ; y ) je riešením systému . Keďže y môže byť

ľubovoľné číslo, potom má sústava pre a = 2 nekonečne veľa riešení.

Ak a = − 2, dostaneme rovnicu 0 y = 8. Táto rovnica nemá riešenie.

Odpoveď: Pre a = 2 má systém nekonečne veľa riešení v tvare (2 − 2 y ; y ), kde y je ľubovoľné číslo;

Tento systém sme vyriešili a stanovili, pre aké hodnoty parametra a má systém jedno riešenie, kedy má nekonečne veľa riešení a pre aké hodnoty parametra a nemá riešenia.

Príklad 1. Riešte sústavu rovníc

© 2010, FZFTSH na MIPT. Zostavila: Yakovleva Tamara Kharitonovna

akademický rok 2010-2011 roč., č.3, 8 buniek. Matematika. Sústavy rovníc.

© 2010, FZFTSH na MIPT. Zostavila: Yakovleva Tamara Kharitonovna

akademický rok 2010-2011 roč., č.3, 8 buniek. Matematika. Sústavy rovníc.

Systém má teda dve riešenia (3;2) a 13 27 ; 13 8 . ▲

§ 4. Riešenie úloh pomocou sústav rovníc

Príklad 1. Auto ide z mesta do dediny za 2,5 hodiny. Ak zvýši rýchlosť o 20 km/h, tak za 2 hodiny prejde vzdialenosť o 15 km väčšiu ako je vzdialenosť z mesta do dediny. Nájdite túto vzdialenosť.

Označte S vzdialenosť medzi mestom a dedinou a V rýchlosť auta. Potom, aby sme našli S, získame systém dvoch rovníc

2,5 V = S

(V + 20)2 = S + 15.

© 2010, FZFTSH na MIPT. Zostavila: Yakovleva Tamara Kharitonovna

akademický rok 2010-2011 roč., č.3, 8 buniek. Matematika. Sústavy rovníc.

Odpoveď: 125 km. ▲

Príklad 2. Súčet číslic dvojciferného čísla je 15. Ak tieto číslice zameníme, dostaneme číslo, ktoré je o 27 väčšie ako pôvodné. Nájdite tieto čísla.

Nech je dané číslo ab , t.j. počet desiatok je a a počet jednotiek je b. Z prvej podmienky úlohy máme: a + b = 15. Ak od čísla ba odčítame číslo ab, dostaneme 27, odtiaľ dostaneme druhú rovnicu: 10 b + a − (10 a + b ) = 27. x

akademický rok 2010-2011 roč., č.3, 8 buniek. Matematika. Sústavy rovníc.

Vynásobením oboch strán rovnice číslom 20 dostaneme: x + 8 y = 840. Aby sme našli x a y, dostali sme sústavu rovníc

Odpoveď: 40 ton, 100 ton ▲

Príklad 4. Počítačový operátor pri práci so študentom spracuje úlohu za 2 hodiny a 24 minút. Ak bude operátor pracovať 2 hodiny a študent 1 hodinu, tak

deti dokončili 2 3 všetkých prác. Ako dlho to bude trvať operátorovi

ru a študent samostatne spracovať úlohu?

Označme všetku prácu ako 1, výkon operátora ako x a výkon študenta ako y . Berieme to do úvahy

2 hodiny 24 minút = 2 5 2 hodiny = 12 5 hodín.

Z prvej podmienky úlohy vyplýva, že (x+y ) 12 5 = 1. Z druhej podmienky úlohy vyplýva, že 2 x + y = 2 3 . Mám systém rovníc

© 2010, FZFTSH na MIPT. Zostavila: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Späť dopredu

Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Účel lekcie. Riešenie rovníc s parametrami a modulmi, aplikácia vlastností funkcií v neočakávaných situáciách a osvojenie si geometrických techník riešenia úloh. Neštandardné rovnice.

Úlohy:

• Vzdelávacie: naučiť riešiť niektoré typy rovníc rovníc s modulmi a parametrami;
• Vzdelávacie: rozvíjať kultúru myslenia, kultúru reči a schopnosť pracovať so zápisníkom a tabuľou.
• Vzdelávacie: vychovávať k samostatnosti a schopnosti prekonávať ťažkosti.

Vybavenie: obrazový materiál na ústne počítanie a vysvetlenie novej témy. Interaktívna tabuľa, multimediálne vybavenie lekcií.

Štruktúra lekcie:

1. Opakovanie preberanej látky (ústne počítanie).
2. Učenie sa nového materiálu.
3. Konsolidácia študovaného materiálu.
4. Zhrnutie lekcie.
5. Domáca úloha.

POČAS VYUČOVANIA

1. Zopakovanie najdôležitejšieho teoretického učiva na témy: "Rovnice obsahujúce modul", "Riešenie rovníc s parametrami"

1) "Rovnice obsahujúce modul"

Absolútna hodnota alebo modul čísla a je číslo a, ak a> 0, číslo - a, ak a < 0, нуль, если a= 0. Or

Z definície vyplýva, že | a | > 0 a | a | > a pre všetkých a€ R .
Nerovnosť | X | < a, (ak a> 0) je ekvivalentná dvojitej nerovnosti a < X < a.
Nerovnosť | X | < a, (ak a < 0) не имеет смысла, так как | х | >0.
Nerovnosť | X | > a, (ak a> 0) sa rovná dvom nerovnostiam
Nerovnosť | X | > a, (ak a < 0) справедливо для любого X R €.

2) "Riešenie rovníc s parametrami"

Vyriešiť rovnicu s parametrami znamená uviesť, pri akých hodnotách parametrov existujú riešenia a aké sú.

a) určiť súbor prípustných hodnôt neznámych a parametrov;

b) pre každý prípustný systém hodnôt parametrov nájdite zodpovedajúce súbory riešení rovnice.

2. Ústne cvičenia

1. Vyriešte rovnicu | X– 2 | = 5; Odpoveď: 7; – 3

| X– 2 | = – 5; Odpoveď: žiadne riešenie

| X– 2 | = x + 5; Odpoveď: žiadne riešenie; 1.5

| X– 2 | = | X+ 5 |; Odpoveď: žiadne riešenie; - 1,5; neexistuje žiadne riešenie; - 1,5;

2. Vyriešte rovnicu: | X+ 3 | + | r– 2 | = 4;

Zvážte štyri prípady

Výsledkom je štvorec, ktorého stred je (-3; 2) a dĺžka uhlopriečky je 8 a uhlopriečky sú rovnobežné so súradnicovými osami.

Z vizuálnych úvah môžeme usúdiť, že rovnica tvaru | X + a | + | pri + b | = s; definuje štvorec v rovine so stredom v bode (– a; – b), uhlopriečky rovnobežné s osami OX a OY a dĺžka každej uhlopriečky je 2 s. Odpoveď: (– 3; 2).

2. Vyriešte rovnicu ax = 1

Odpoveď: ak a = 0, potom neexistuje žiadne riešenie; ak a= 0 teda X = 1/ a

3. Vyriešte rovnicu ( a 2 – 1) X = a + 1.

rozhodnutie.

Je ľahké vidieť, že pri riešení tejto rovnice stačí zvážiť nasledujúce prípady:

1) a= 1; potom rovnica nadobudne tvar OX = 2 a nemá riešenie

2) a= – 1; dostaneme OX = O a samozrejme X- akýkoľvek.

1
3) ak a = + 1, potom X = –––
a – 1

odpoveď:
ak a= – 1 teda X- akýkoľvek;
ak a= 1, potom neexistuje žiadne riešenie;

1
ak a = + 1, potom X = –––
a – 1

3. Riešenie príkladov(z možností C)

1. Pri akej hodnote parametra p rovnica | X 2 – 5X + 6 | + | X 2 – 5X + 4 | = R má štyri korene.

Uvažujme funkciu y = | X 2 – 5X + 6 | + | X 2 – 5X + 4 |

Ako X 2 – 5X + 6 = (X – 2)(X– 3) a X 2 – 5X + 4 = (X – 1)(X– 4), teda r = | (X – 2)(X – 3) | + | (X – 1)(X- 4) |, označíme odmocniny štvorcových trojčlenov na reálnej čiare

1 2 3 4 X

Číselný rad sa potom rozdelí na 5 intervalov

Pre prípad 3) X 0 = – b | 2a = 2, r 0 = 25: 2 + 25 – 10 = 2,5

Takže (2.5; 2.5) sú súradnice vrcholu paraboly r = – 2X 2 + 10X – 10.

Zostrojíme graf funkcie danej rovnosťou

Ako je zrejmé z obrázku, pôvodná rovnica má štyri korene, ak je 2 < a < 2,5

Odpoveď: o 2 < a < 2,5

4. Samostatná práca podľa úrovní

1 úroveň

1. Vyriešte rovnicu X 2 – | X| = 6
2. Pre aké celočíselné hodnoty a má rovnica jedinečné riešenie Oh 2 – (a + 1) + a 2 + a = 0?

2 úroveň

1. Vyriešte rovnicu: | X – 5 | – | 2X + 3 | = 10
a –12) X 2 + 2 = 2(12 – a) má dva odlišné korene?

3 úroveň

1. Vyriešte rovnicu | X – 5 | – | 2X + 3| = 10
2. Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré platí rovnica ( a – 12) X 2 + 2 = 2(12 – a) má dva odlišné korene?

5. Zhrnutie vyučovacej hodiny

1. Definícia modulu.
2. Čo znamená riešiť rovnicu s parametrom?

6. Domáce úlohy. C5 možnosť №11 F.F. Lysenko. Matematika, 2012

1. Sústavy lineárnych rovníc s parametrom

Sústavy lineárnych rovníc s parametrom sa riešia rovnakými základnými metódami ako konvenčné sústavy rovníc: substitučnou metódou, metódou sčítania rovníc a grafickou metódou. Poznanie grafickej interpretácie lineárnych systémov uľahčuje odpoveď na otázku o počte koreňov a ich existencii.

Príklad 1

Nájdite všetky hodnoty pre parameter a, pre ktorý systém rovníc nemá riešenia.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

rozhodnutie.

Pozrime sa na niekoľko spôsobov, ako tento problém vyriešiť.

1 spôsob. Použijeme vlastnosť: sústava nemá riešenia, ak sa pomer koeficientov pred x rovná pomeru koeficientov pred y, ale nerovná sa pomeru voľných členov (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). Potom máme:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 alebo systém

(a 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.

Z prvej rovnice a 2 \u003d 4 teda, berúc do úvahy podmienku, že a ≠ 2, dostaneme odpoveď.

Odpoveď: a = -2.

2 spôsobom. Riešime substitučnou metódou.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Po odstránení spoločného faktora y zo zátvoriek v prvej rovnici dostaneme:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Systém nemá riešenia, ak prvá rovnica nemá riešenia, tj

(a 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.

Je zrejmé, že a = ±2, ale s prihliadnutím na druhú podmienku je daná iba odpoveď s mínusom.

odpoveď: a = -2.

Príklad 2

Nájdite všetky hodnoty pre parameter a, pre ktorý má sústava rovníc nekonečný počet riešení.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

rozhodnutie.

Podľa vlastnosti, ak je pomer koeficientov v x a y rovnaký a rovná sa pomeru voľných členov systému, potom má nekonečný počet riešení (t.j. a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Preto 8/a = a/2 = 2/1. Po vyriešení každej zo získaných rovníc zistíme, že v tomto príklade je odpoveďou a \u003d 4.

odpoveď: a = 4.

2. Sústavy racionálnych rovníc s parametrom

Príklad 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

rozhodnutie.

Vynásobte prvú rovnicu systému 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Odčítaním druhej rovnice od prvej dostaneme 5|х| = 4 – a. Táto rovnica bude mať jedinečné riešenie pre a = 4. V iných prípadoch bude mať táto rovnica dve riešenia (pre a< 4) или ни одного (при а > 4).

Odpoveď: a = 4.

Príklad 4

Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré má systém rovníc jedinečné riešenie.

(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.

rozhodnutie.

Tento systém budeme riešiť pomocou grafickej metódy. Takže grafom druhej rovnice systému je parabola, zdvihnutá pozdĺž osi Oy o jeden jednotkový segment. Prvá rovnica definuje množinu priamok rovnobežných s priamkou y = -x (obrázok 1). Obrázok jasne ukazuje, že systém má riešenie, ak sa priamka y = -x + a dotýka paraboly v bode so súradnicami (-0,5; 1,25). Dosadením týchto súradníc do rovnice priamky namiesto x a y nájdeme hodnotu parametra a:

1,25 = 0,5 + a;

Odpoveď: a = 0,75.

Príklad 5

Substitučnou metódou zistite, pri akej hodnote parametra a má systém unikátne riešenie.

(ax - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2) y = 2.

rozhodnutie.

Vyjadrite y z prvej rovnice a dosaďte ju do druhej:

(y \u003d ah - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) = 2.

Druhú rovnicu privedieme do tvaru kx = b, ktorá bude mať jednoznačné riešenie pre k ≠ 0. Máme:

ax + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

Štvorcová trojčlenka a 2 + 3a + 2 môže byť vyjadrená ako súčin v zátvorkách

(a + 2) (a + 1) a naľavo vyberieme x zo zátvoriek:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Je zrejmé, že a 2 + 3a sa nesmie rovnať nule, preto

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, čo znamená a ≠ 0 a ≠ -3.

odpoveď: a ≠ 0; ≠ -3.

Príklad 6

Pomocou metódy grafického riešenia určite, pri akej hodnote parametra a má systém jedinečné riešenie.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.

rozhodnutie.

Na základe podmienky zostavíme kruh so stredom v počiatku súradníc a polomerom 3 jednotkových segmentov, práve tento kruh stanovuje prvú rovnicu systému

x 2 + y 2 = 9. Druhá rovnica sústavy (y = |x| + a) je prerušovaná čiara. Cez obrázok 2 uvažujeme o všetkých možných prípadoch jeho umiestnenia vzhľadom na kružnicu. Je ľahké vidieť, že a = 3.

Odpoveď: a = 3.

Máte nejaké otázky? Neviete, ako riešiť sústavy rovníc?
Ak chcete získať pomoc od tútora -.
Prvá lekcia je zadarmo!

blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

"Lineárna rovnica s dvoma premennými" - Rovnosť obsahujúca dve premenné sa nazýva rovnica s dvoma premennými. Čo je rovnica s dvoma premennými? Uveďte príklady. Čo je to lineárna rovnica s dvoma premennými? Lineárna rovnica s dvoma premennými. Definícia: Algoritmus, ktorý dokáže, že daný pár čísel je riešením rovnice:

"Riešenie exponenciálnych rovníc" - Redukcia na jeden základ. Bracketing. T. Vieta. Grafický spôsob. Exponenciálna rovnica je rovnica, ktorá obsahuje premennú v exponente. Riešenie exponenciálnych rovníc. ústna práca. ab+ac=a(b+c). Stupne. 2. Vyriešte rovnicu: Vlastnosť. Typy a metódy riešenia exponenciálnych rovníc.

"Grafický spôsob riešenia rovníc" - Odpoveď: jeden koreň, x \u003d -1. Dva korene. Vyriešte graficky rovnicu (x+1)/(x-2)=2. Nakreslite funkciu y=x?+6x+8. Workshop o grafickom riešení rovníc Príprava na test. Vytvárajte grafy funkcií. Nakreslite funkciu y=(x+1)/(x-2). 1. Presuňte 8 na pravú stranu rovnice. Nie sú tam žiadne korene.

„Riešenie celých rovníc“ - „Rovnice, v ktorých sú v dave korene, stupeň, nerovnosti priepasťou. Traja veľkí matematici. Veľa šťastia pri ďalšom štúdiu metód riešenia rovníc. Osová symetria je vlastná väčšine rastlinných a živočíšnych druhov. Centrálne. V živočíšnej ríši existujú 2 typy symetrie. Diktát. Axiálny. Určiť metódy riešenia rovníc.

"Rovnice s logaritmami" - Logaritmické rovnice. Riešte rovnice ústne. Vzorce na prevod logaritmov. Rovnica. Definícia. Tabuľky logaritmov. Definícia logaritmu. Definícia a vlastnosti logaritmu. Logaritmické pravítko. Funkcia. Slúchadlá alebo reproduktory. doména. Prístupy riešenia. Vyriešte rovnicu. Gymnázium.

„Iracionálne rovnice“ - Na kontrolu d/z vyplnili: č. 419 (c, d) Safiullina, č. 418 (c, d) Kulmukhametov, č. 420 (c, d) Shageev. Lekcia 2 Riešenie sústav rovníc. Téma 1. lekcie: Riešenie iracionálnych rovníc. 1. Ktoré z nasledujúcich rovníc sú iracionálne: Ciele: Oboznámiť žiakov s riešeniami niektorých typov iracionálnych rovníc.

V téme je celkovo 49 prezentácií

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušného nástupcu tretej strany.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.