Vzorec pre oblasť krivočiareho lichobežníka. Určitý integrál. Ako vypočítať plochu obrázku. Nájdenie oblasti zakriveného sektora

Definícia. Útvar ohraničený grafom spojitej znamienkovo-konštantnej funkcie f(x), osou x a priamkami x=a, x=b sa nazýva krivočiary lichobežník.

Spôsoby, ako nájsť oblasť krivočiareho lichobežníka

Veta. Ak je f(x) spojitá a nezáporná funkcia na intervale, potom sa plocha zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka rovná prírastku primitívnych prvkov.

Dané: f(x) - spojité na neurčito. funkcia, xO.

Dokážte: S = F(b) - F(a), kde F(x) je primitívna derivácia f(x).

dôkaz:

1) Uvažujme pomocnú funkciu S(x). Každému xO priradíme tú časť krivočiareho lichobežníka, ktorá leží vľavo od priamky (obr. 2), prechádzajúca bodom s touto osou a rovnobežná s osou y.

Preto S(a)=0 a S(b)=Str

Dokážme, že S(a) je primitívna derivácia funkcie f(x).

D(f) = D(S)=

S"(x0)= lim(S(x0+Dx) - S(x0) / Dx), pre Dx®0 DS je obdĺžnik

Dx®0 so stranami Dx a f(x0)

S "(x0) \u003d lim (Dx f (x0) / Dx) \u003d lim f (x0) \u003d f (x0): keďže x0 je bod, potom S (x) -

Dx®0 Dx®0 antiderivát f(x).

Preto podľa vety o všeobecnom tvare primitívnej derivácie platí S(x)=F(x)+C.

Pretože S(a)=0, potom S(a) = F(a)+C

S = S(b)=F(b)+C = F(b)-F(a)

jeden). Rozdeľme segment na n rovnakých častí. Rozdeliť krok (obr. 3)

Dx = (b-a)/n. V tomto prípade Str=lim(f(x0)Dx+f(x1)Dx+...+f(xn))Dx=n®Ґ = lim Dx(f(x0)+f(x1)+...+ f (xn))

Pre n®Ґ dostaneme, že Str= Dx(f(x0)+f(x1)+...+f(xn))

Limita tohto súčtu sa nazýva určitý integrál.

Súčet pod limitom sa nazýva integrálny súčet.

Určitý integrál je limita integrálneho súčtu na segmente ako n®Ґ. Integrálny súčet sa získa ako limit súčtu súčinov dĺžky segmentu získaného rozdelením definičného oboru funkcie v ľubovoľnom bode tohto intervalu.

a - dolná hranica integrácie;

b - vrchol.

Newtonov-Leibnizov vzorec.

Porovnaním vzorcov pre oblasť krivočiareho lichobežníka sme dospeli k záveru:

ak F je primitívna derivácia b na , potom

f(x)dx = F(b)-F(a)

t f(x)dx = F(x) f = F(b) - F(a)

Vlastnosti určitého integrálu.

t f(x)dx = t f(z)dz

tf(x)dx = F(a) - F(a) = 0

t f(x)dx = - t f(x)dx

t f(x)dx = F(a) - F(b) t f(x)dx = F(b) - F(a) = - (F(a) - F(b))

Ak a, b a c sú ľubovoľné body intervalu I, na ktorých má spojitá funkcia f(x) primitívnu funkciu, potom

t f(x)dx = t f(x)dx + t f(x)dx

F(b) - F(a) = F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)

(toto je aditívna vlastnosť určitého integrálu)

Ak l a m sú konštanty, potom

t (lf(x) +m j(x))dx = l t f(x)dx + m tj(x))dx -

Toto je vlastnosť linearity určitého integrálu.

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = t f(x)dx+ t g(x)dx+...+ t h(x)dx

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) - (F(a) + G(a) +...+ H(a) +C = F(b)-F(a)+Cl +G(b)-G(a)+C2+...+H(b)-H (a)+Cn=b b b = t f(x)dx+ t g(x)dx+...+ t h(x)dx

Sada štandardných obrázkov (obr. 4, 5, 6, 7, 8)

Ryža. štyri

Ryža. 6 Ryža. 7

Pretože f(x)<0, то формулу Ньютона-Лейбница составить нельзя, теорема верна только для f(x)і0.

Je potrebné: zvážiť symetriu funkcie vzhľadom na os OX. ABCD®A"B"CD b

S (ABCD) \u003d S (A "B" CD) \u003d t -f (x) dx

S= t f(x)dx = t g(x)dx

S = t(f(x)-g(x))dx+t(g(x)-f(x))dx

S= t (f(x)+m-g(x)-m)dx=

t(f(x)-g(x))dx

t ((f(x)-g(x))dx

S= t (f(x)+m-g(x)-m)dx=

T (f(x)-g(x))dx

Ak je na segmente f(x)іg(x), potom sa plocha medzi týmito grafmi rovná

t ((f(x)-g(x))dx

Funkcie f(x) a g(x) sú ľubovoľné a nezáporné

S=t f(x)dx - t g(x)dx = t (f(x)-g(x))dx

Útvar ohraničený grafom spojitej nezápornej funkcie $f(x)$ na intervale $$ a priamkami $y=0, \ x=a$ a $x=b$ sa nazýva krivočiary lichobežník.

Plocha zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka sa vypočíta podľa vzorca:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Problémy s nájdením oblasti krivočiareho lichobežníka podmienečne rozdelíme na typy 4 $. Zvážme každý typ podrobnejšie.

Typ I: krivočiary lichobežník je uvedený výslovne. Potom okamžite použite vzorec (*).

Napríklad nájdite oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničenú grafom funkcie $y=4-(x-2)^(2)$ a čiarami $y=0, \ x=1$ a $x = 3 doláre.

Nakreslíme tento krivočiary lichobežník.

Použitím vzorca (*) nájdeme oblasť tohto krivočiareho lichobežníka.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\vpravo|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\vľavo((1)^(3)-(-1)^(3)\vpravo) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (jednotka $^(2)$).

Typ II: krivočiary lichobežník je daný implicitne. V tomto prípade priame čiary $x=a, \ x=b$ zvyčajne nie sú špecifikované alebo sú špecifikované čiastočne. V tomto prípade musíte nájsť priesečníky funkcií $y=f(x)$ a $y=0$. Tieto body budú body $a$ a $b$.

Napríklad nájdite oblasť obrázku ohraničenú grafmi funkcií $y=1-x^(2)$ a $y=0$.

Poďme nájsť priesečníky. Aby sme to dosiahli, porovnávame správne časti funkcií.

Takže $a=-1$ a $b=1$. Nakreslíme tento krivočiary lichobežník.

Nájdite oblasť tohto krivočiareho lichobežníka.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (jednotka$^(2)$).

Typ III: plocha obrazca ohraničená priesečníkom dvoch súvislých nezáporných funkcií. Toto číslo nebude krivočiary lichobežník, čo znamená, že pomocou vzorca (*) nemôžete vypočítať jeho plochu. Ako byť? Ukazuje sa, že oblasť tohto obrázku možno nájsť ako rozdiel medzi plochami krivočiarych lichobežníkov ohraničených hornou funkciou a $y=0$ ($S_(uf)$) a dolnou funkciou a $y= 0$ ($S_(lf)$), kde úlohu $x=a, \ x=b$ zohrávajú $x$ súradnice priesečníkov týchto funkcií, t.j.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Najdôležitejšou vecou pri výpočte takýchto plôch je „nevynechať“ výber hornej a dolnej funkcie.

Nájdite napríklad oblasť obrázku ohraničenú funkciami $y=x^(2)$ a $y=x+6$.

Poďme nájsť priesečníky týchto grafov:

Podľa Vietovej vety,

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3,$

To znamená $a=-2, \b=3$. Nakreslíme tvar:

Takže horná funkcia je $y=x+6$ a spodná je $y=x^(2)$. Ďalej nájdite $S_(uf)$ a $S_(lf)$ pomocou vzorca (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\vľavo.\frac(x^(2))(2)\vpravo|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5$ (jednotka $^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\vľavo.\frac(x^(3))(3)\vpravo|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (jednotka $^(2)$).

Náhradník nájdete v (**) a získate:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (jednotka $^(2)$).

Typ IV: oblasť obrazca ohraničená funkciou (funkciami), ktorá nespĺňa podmienku nezápornosti. Aby ste našli oblasť takejto postavy, musíte byť symetrická okolo osi $Ox$ ( inými slovami, dať „mínusy“ pred funkcie) zobrazte oblasť a pomocou metód popísaných v typoch I - III nájdite oblasť zobrazenej oblasti. Táto oblasť bude požadovaná oblasť. Najprv možno budete musieť nájsť priesečníky grafov funkcií.

Napríklad nájdite oblasť obrázku ohraničenú grafmi funkcií $y=x^(2)-1$ a $y=0$.

Nájdite priesečníky funkčných grafov:

tie. $a=-1$ a $b=1$. Nakreslíme oblasť.

Zobrazme oblasť symetricky:

$y=0 \ \Šípka doprava \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Šípka doprava \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Získate krivočiary lichobežník ohraničený grafom funkcie $y=1-x^(2)$ a $y=0$. Toto je problém nájsť krivočiary lichobežník druhého typu. Už sme to vyriešili. Odpoveď bola: $S= 1\frac(1)(3)$ (jednotky $^(2)$). Takže plocha požadovaného krivočiareho lichobežníka sa rovná:

$S=1\frac(1)(3)$ (jednotka$^(2)$).

Tento výraz má iné významy, pozri Trapezium (významy). Trapeze (z iného gréckeho τραπέζιον „stôl“; ... Wikipedia

I Plocha je jednou zo základných veličín spojených s geometrickými tvarmi. V najjednoduchších prípadoch sa meria počtom jednotkových štvorcov vypĺňajúcich plochý obrazec, to znamená štvorcov so stranou rovnajúcou sa jednej dĺžke. Výpočet P ......

Metódy získavania numerických riešení rôznych úloh pomocou grafických konštrukcií. G. c. (grafické násobenie, grafické riešenie rovníc, grafická integrácia atď.) predstavujú systém konštrukcií, ktoré sa opakujú alebo nahrádzajú ... ... Veľká sovietska encyklopédia

Plocha, jedna zo základných veličín spojených s geometrickými tvarmi. V najjednoduchších prípadoch sa meria počtom jednotkových štvorcov vypĺňajúcich plochý obrazec, to znamená štvorcov so stranou rovnajúcou sa jednej dĺžke. Výpočet P. bol už v staroveku ... ... Veľká sovietska encyklopédia

Greenova veta vytvára spojenie medzi krivočiarym integrálom nad uzavretým obrysom C a dvojitým integrálom nad oblasťou D ohraničenou týmto obrysom. V skutočnosti je táto veta špeciálnym prípadom všeobecnejšej Stokesovej vety. Veta je pomenovaná v ... Wikipedia

Časť 4.3 to už bolo poznamenané určitý integrál () z

nezápornej funkcie sa numericky rovná ploche krivočiareho lichobežníka ohraničeného grafom funkcie = (), priamky = , = a = 0.

Príklad 4.24. Vypočítajte plochu čísla uzavretého medzi osou a sínusoidou \u003d sin (obrázok 4.6).

Ak obrazec nie je krivočiary lichobežník, pokúsia sa znázorniť jeho plochu ako súčet alebo rozdiel plôch obrazcov, ktoré sú krivočiarymi lichobežníkmi. Najmä veta je pravdivá.

Veta 4.13. Ak je obrazec zhora a zdola ohraničený grafmi spojitých funkcií = 1 (), = 2 () (nie nevyhnutne nezáporné, ( obrázok 4.7 ), potom jeho plochu možno nájsť podľa vzorca

2 () − 1 () .

Príklad 4.25. Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú krivkou = 4 a priamkami = a = 4.

Časť I. Teória

Kapitola 4. Teória integrácie 4.4. Aplikácie integrálu. Nesprávne integrály

4.4.2. Dĺžka oblúka krivky

Výpočet dĺžok kriviek tiež vedie k integrálom. Nech je funkcia = () spojitá na segmente [ ; ] a je diferencovateľný na intervale (;). Jeho graf predstavuje nejakú krivku, (; ()), (; ()) (obrázok 4.9). Krivku delíme bodmi 0 = , 1 , 2 , . . . , = na ľubovoľných častiach. Spojme dva susedné body −1 a tetivami,= 1, 2, . . . , . Získame -link prerušovanú čiaru vpísanú do krivky. Nechaj

je dĺžka tetivy −1 , = 1, 2, . . . , = max16 6 . Dĺžka lomenej čiary bude vyjadrená vzorcom

Je prirodzené definovať dĺžku krivky ako hraničnú hodnotu dĺžok prerušovaných čiar, keď → 0, t.j.

Potom súradnice bodov sú (; ()) a pomocou vzorec pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi, Nájsť

Preto existuje integrálny súčet pre funkciu √ 1 + (′ ())2 na intervale [ ; ]. Potom na základe rovnosti (4.31) máme:

Riešenie. Zostavme graf zadanej funkcie (obrázok 4.10).

Obrázok 4.10

Späť dopredu

Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Kľúčové slová: integrálny, krivočiary lichobežník, plocha figúrok ohraničená ľaliami

Vybavenie: tabuľa, počítač, multimediálny projektor

Typ lekcie: lekcia-prednáška

Ciele lekcie:

• vzdelávacie: formovať kultúru duševnej práce, vytvárať pre každého študenta situáciu úspechu, formovať pozitívnu motiváciu k učeniu; rozvíjať schopnosť hovoriť a počúvať ostatných.
• vyvíja: formovanie samostatnosti myslenia študenta pri aplikácii vedomostí v rôznych situáciách, schopnosť analyzovať a vyvodzovať závery, rozvoj logiky, rozvoj schopnosti správne klásť otázky a hľadať na ne odpovede. Zlepšenie formovania výpočtových, výpočtových zručností, rozvoj myslenia študentov pri plnení navrhovaných úloh, rozvoj algoritmickej kultúry.
• vzdelávacie: formovať predstavy o krivočiarom lichobežníku, o integráli, osvojiť si zručnosti výpočtu plôch plochých útvarov

Vyučovacia metóda: vysvetľujúce a názorné.

Počas vyučovania

V predchádzajúcich triedach sme sa naučili, ako vypočítať plochy útvarov, ktorých hranice sú prerušované čiary. V matematike existujú metódy, ktoré vám umožňujú vypočítať plochu číslic ohraničenú krivkami. Takéto obrazce sa nazývajú krivočiare lichobežníky a ich plocha sa vypočítava pomocou primitívnych prvkov.

Krivočiary lichobežník ( snímka 1)

Krivočiary lichobežník je útvar ohraničený funkčným grafom, ( w.m.), rovný x = a a x = b a úsečka

Rôzne typy krivočiarych lichobežníkov ( snímka 2)

Zvažujeme rôzne typy krivočiarych lichobežníkov a všimneme si: jedna z čiar je degenerovaná do bodu, úlohu obmedzujúcej funkcie zohráva čiara

Oblasť krivočiareho lichobežníka (snímka 3)

Opravte ľavý koniec intervalu a, a správne X zmeníme, t.j. posunieme pravú stenu krivočiareho lichobežníka a získame meniaci sa obrazec. Plocha premenlivého krivočiareho lichobežníka ohraničeného funkčným grafom je primitívna F pre funkciu f

A v segmente [ a; b] oblasť krivočiareho lichobežníka tvoreného funkciou f, sa rovná prírastku primitívnej funkcie tejto funkcie:

Cvičenie 1:

Nájdite oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničeného grafom funkcie: f(x) = x 2 a priamy y=0, x=1, x=2.

Riešenie: ( podľa algoritmu snímky 3)

Nakreslite graf funkcie a čiar

Nájdite jeden z primitívnych derivátov funkcie f(x) = x 2 :

Samokontrola posúvača

Integrálne

Uvažujme krivočiary lichobežník daný funkciou f na segmente [ a; b]. Rozdeľme tento segment na niekoľko častí. Plocha celého lichobežníka bude rozdelená na súčet plôch menších krivočiarych lichobežníkov. ( snímka 5). Každý takýto lichobežník možno považovať približne za obdĺžnik. Súčet plôch týchto obdĺžnikov dáva približnú predstavu o celej ploche krivočiareho lichobežníka. Čím menší zlomíme segment [ a; b], tým presnejšie vypočítame plochu.

Tieto úvahy zapisujeme vo forme vzorcov.

Rozdeľte segment [ a; b] na n častí s bodkami x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Dĺžka k- th označovať podľa xk = xk - xk-1. Poďme si to zhrnúť

Geometricky je tento súčet oblasťou obrázku vytieňovaného na obrázku ( sh.m.)

Súčty tvaru sa nazývajú integrálne súčty funkcie f. (sch.m.)

Celočíselné súčty udávajú približnú hodnotu plochy. Presná hodnota sa získa prechodom na limit. Predstavte si, že upravíme rozdelenie segmentu [ a; b], takže dĺžky všetkých malých segmentov majú tendenciu k nule. Potom sa plocha zloženej figúry priblíži k oblasti krivočiareho lichobežníka. Môžeme povedať, že plocha krivočiareho lichobežníka sa rovná limitu integrálnych súčtov, Sk.t. (sch.m.) alebo integrálne, t.j.

Definícia:

funkčný integrál f(x) od a predtým b sa nazýva limita integrálnych súčtov

= (sch.m.)

Newtonov-Leibnizov vzorec.

Pamätajte, že limit integrálnych súčtov sa rovná ploche krivočiareho lichobežníka, takže môžeme písať:

Sk.t. = (sch.m.)

Na druhej strane sa plocha krivočiareho lichobežníka vypočíta podľa vzorca

S až. (sch.m.)

Porovnaním týchto vzorcov dostaneme:

Táto rovnosť sa nazýva Newton-Leibnizov vzorec.

Pre pohodlie výpočtov je vzorec napísaný takto:

Úlohy: (sch.m.)

1. Vypočítajte integrál pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca: ( skontrolujte snímku 5)

2. Zostavte integrály podľa nákresu ( skontrolujte na snímke 6)

3. Nájdite plochu obrazca ohraničenú čiarami: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Snímka 7)

Nájdenie oblastí rovinných figúrok ( snímka 8)

Ako nájsť oblasť figúr, ktoré nie sú krivočiarymi lichobežníkmi?

Nech sú uvedené dve funkcie, ktorých grafy vidíte na snímke . (sch.m.) Nájdite oblasť tieňovanej postavy . (sch.m.). Je daný obrazec krivočiary lichobežník? A ako môžete nájsť jeho oblasť pomocou vlastnosti aditívnosti oblasti? Zvážte dva krivočiare lichobežníky a odpočítajte plochu druhého od plochy jedného z nich ( w.m.)

Urobme algoritmus na nájdenie oblasti z animácie na snímke:

1. Funkcie grafu
2. Premietnite priesečníky grafov na os x
3. Vytieňujte obrázok získaný krížením grafov
4. Nájdite krivočiare lichobežníky, ktorých priesečník alebo spojenie je daný obrazec.
5. Vypočítajte plochu každého z nich
6. Nájdite rozdiel alebo súčet oblastí

Ústna úloha: Ako získať oblasť tieňovanej postavy (povedzte pomocou animácie, snímka 8 a 9)

Domáca úloha: Vypracujte abstrakt, č. 353 (a), č. 364 (a).

Bibliografia

1. Algebra a začiatok analýzy: učebnica pre ročníky 9-11 večernej (zmennej) školy / ed. G.D. Glazer. - M: Osvietenie, 1983.
2. Bašmakov M.I. Algebra a začiatok analýzy: učebnica pre ročníky 10-11 strednej školy / Bashmakov M.I. - M: Osvietenstvo, 1991.
3. Bašmakov M.I. Matematika: učebnica pre inštitúcie zač. a priem. Prednášal prof. vzdelanie / M.I. Bašmakov. - M: Akadémia, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra a začiatok analýzy: učebnica pre 10-11 buniek. vzdelávacie inštitúcie / A.N. Kolmogorov. - M: Osvietenie, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Ako urobiť prezentáciu na lekciu? / S.L. Ostrovského. – M.: Prvý september 2010.