8학년 때 이차 방정식을 공부하므로 여기에는 복잡한 것이 없습니다. 이를 해결하는 능력이 반드시 필요합니다.
2차 방정식은 ax 2 + bx + c = 0 형식의 방정식입니다. 여기서 계수 a, b 및 c는 임의의 숫자이고 a ≠ 0입니다.
특정 해법을 연구하기 전에 모든 이차 방정식은 세 가지 클래스로 나눌 수 있다는 점에 유의하세요.
- 뿌리가 없네;
- 정확히 하나의 루트를 가집니다.
- 그들은 두 가지 다른 뿌리를 가지고 있습니다.
이는 근이 항상 존재하고 고유한 이차 방정식과 선형 방정식 간의 중요한 차이점입니다. 방정식에 몇 개의 근이 있는지 확인하는 방법은 무엇입니까? 여기에는 놀라운 일이 있습니다. 판별력이 있는.
판별식
2차 방정식 ax 2 + bx + c = 0이 주어지면 판별식은 단순히 숫자 D = b 2 − 4ac입니다.
이 공식을 외워야 합니다. 그것이 어디서 왔는지는 이제 중요하지 않습니다. 또 다른 중요한 점은 판별식의 부호를 통해 이차 방정식의 근 수를 결정할 수 있다는 것입니다. 즉:
- 만약 D< 0, корней нет;
- D = 0이면 정확히 하나의 근이 있습니다.
- D > 0이면 두 개의 근이 있습니다.
참고 사항: 판별식은 많은 사람들이 믿는 것처럼 루트의 수를 나타내는 것이지 모든 기호를 나타내는 것은 아닙니다. 예제를 살펴보면 모든 것을 스스로 이해할 수 있습니다.
일. 이차 방정식에는 몇 개의 근이 있습니까?
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
첫 번째 방정식의 계수를 작성하고 판별식을 찾아보겠습니다.
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
따라서 판별식은 양수이므로 방정식에는 두 개의 서로 다른 근이 있습니다. 비슷한 방식으로 두 번째 방정식을 분석합니다.
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.
판별식이 음수이고 뿌리가 없습니다. 남은 마지막 방정식은 다음과 같습니다.
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
판별식은 0입니다. 근은 1이 됩니다.
각 방정식에 대한 계수가 기록되어 있습니다. 예, 길고, 지루합니다. 하지만 확률을 혼동하거나 어리석은 실수를 저지르지는 않을 것입니다. 속도나 품질 중에서 직접 선택하세요.
그건 그렇고, 익숙해지면 잠시 후에 모든 계수를 적을 필요가 없습니다. 당신은 당신의 머리 속에서 그러한 작업을 수행하게 될 것입니다. 대부분의 사람들은 50~70개의 방정식을 풀고 나서 이 작업을 시작합니다. 일반적으로 그렇게 많지는 않습니다.
이차 방정식의 근
이제 솔루션 자체로 넘어 갑시다. 판별식 D > 0이면 다음 공식을 사용하여 근을 찾을 수 있습니다.
이차 방정식의 근에 대한 기본 공식
D = 0이면 다음 공식 중 하나를 사용할 수 있습니다. 답이 되는 동일한 숫자를 얻게 됩니다. 마지막으로 만약 D라면< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0.
첫 번째 방정식:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 찾아보자:
두 번째 방정식:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ 방정식에는 다시 두 개의 근이 있습니다. 찾아보자
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(정렬)\]
마지막으로 세 번째 방정식은 다음과 같습니다.
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ 방정식의 근은 1개입니다. 어떤 수식이라도 사용할 수 있습니다. 예를 들어 첫 번째는 다음과 같습니다.
예제에서 볼 수 있듯이 모든 것이 매우 간단합니다. 공식을 알고 셀 수 있다면 문제가 없습니다. 대부분의 경우 음수 계수를 공식에 대체할 때 오류가 발생합니다. 여기서도 위에서 설명한 기술이 도움이 될 것입니다. 공식을 문자 그대로 보고 각 단계를 기록하면 곧 오류가 제거됩니다.
불완전한 이차 방정식
이차 방정식이 정의에 제공된 것과 약간 다른 경우가 있습니다. 예를 들어:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 − 16 = 0.
이 방정식에는 항 중 하나가 누락되어 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 이러한 이차 방정식은 표준 방정식보다 풀기 훨씬 쉽습니다. 판별식을 계산할 필요도 없습니다. 이제 새로운 개념을 소개하겠습니다.
방정식 ax 2 + bx + c = 0은 b = 0 또는 c = 0인 경우 불완전 이차 방정식이라고 합니다. 즉, 변수 x의 계수 또는 자유 요소는 0과 같습니다.
물론, 이 두 계수가 모두 0일 때 매우 어려운 경우가 가능합니다: b = c = 0. 이 경우 방정식은 ax 2 = 0 형식을 취합니다. 분명히 이러한 방정식에는 단일 근이 있습니다. x = 0.
나머지 경우를 고려해 봅시다. b = 0이라고 하면 ax 2 + c = 0 형식의 불완전한 2차 방정식을 얻습니다. 이를 조금 변형해 보겠습니다.
산술 제곱근은 음수가 아닌 숫자로만 존재하므로 마지막 동일성은 (−c /a) ≥ 0인 경우에만 의미가 있습니다. 결론:
- ax 2 + c = 0 형식의 불완전한 2차 방정식에서 부등식(−c /a) ≥ 0이 충족되면 두 개의 근이 있게 됩니다. 공식은 위에 나와 있습니다.
- 만약 (−c /a)< 0, корней нет.
보시다시피 판별식은 필요하지 않습니다. 불완전한 이차 방정식에는 복잡한 계산이 전혀 없습니다. 실제로 부등식 (−c /a) ≥ 0을 기억할 필요조차 없습니다. x 2 값을 표현하고 등호 반대편에 무엇이 있는지 확인하는 것만으로도 충분합니다. 양수가 있으면 두 개의 근이 있습니다. 음수이면 뿌리가 전혀 없습니다.
이제 자유 요소가 0인 ax 2 + bx = 0 형식의 방정식을 살펴보겠습니다. 여기에서는 모든 것이 간단합니다. 항상 두 개의 뿌리가 있습니다. 다항식을 인수분해하는 것으로 충분합니다:
괄호에서 공통인수 빼기요인 중 하나 이상이 0이면 제품은 0입니다. 여기에서 뿌리가 나옵니다. 결론적으로 다음 방정식 중 몇 가지를 살펴보겠습니다.
일. 2차 방정식을 푼다:
- x 2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. 뿌리가 없으니까 정사각형은 음수와 같을 수 없습니다.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.
선생님 : 유르겐손 베로니카 알렉산드로브나
수업: 9
안건: 대수학
수업 주제: 9학년 "2차 방정식"의 OGE 준비 수업입니다.
이 주제에 대한 교육 단계 : OGE 준비.
수업 유형: 지식의 일반화 및 체계화 수업
표적:
활동: 규제 조치 방법을 구현하기 위한 학생의 기술 형성.
콘텐츠: - 2차 방정식을 푸는 방법을 연습합니다.
가장 합리적인 솔루션을 선택하는 능력을 개발합니다.
발달: 학생의 주요 역량 형성: 정보 제공(정보 분석, 비교, 결론 도출 능력), 문제 해결(문제 제기 능력 및 기존 지식을 사용하여 상황에서 벗어날 방법을 찾는 능력) 의사소통 능력(그룹 활동 능력, 다른 사람의 말을 듣고 듣는 능력, 다른 사람의 의견을 수용하는 능력)
교사의 임무:
2차 방정식 풀이에 대한 학생들의 지식을 업데이트하는 데 도움을 주기 위해;
2차 방정식을 푸는 방법을 연습하기 위한 교육 활동을 조직합니다.
가장 합리적인 솔루션을 선택할 수 있는 능력을 개발하기 위한 기술 형성을 위한 조건을 만듭니다.
규제 UUD 형성을 위한 조건 만들기: 목표 설정, 자존감 및 자제력, 계획.
기술: 다단계 훈련
교육 방법: 시각적, 언어적, 상호 검증 방법, 최적의 솔루션을 공동으로 찾는 방법, 그룹의 임시 작업, 문제 상황 생성, 재생산(지도, 일러스트레이션, 설명, 실습). 자제력의 방법.
학생들의 인지 활동을 조직하는 데 사용되는 형태:
작업의 집단 형태(정면 질문, 구두 작업), 그룹, 개인 작업(독립 작업), 쌍 작업(상호 질문).
장비 및 주요 정보 출처:
컴퓨터, 프로젝터, 스크린, "2차 방정식을 푸는 방법" 주제에 대한 강의 프레젠테이션.
통제와 자기통제를 위한 성과지입니다.
다단계 독립 작업을 위한 카드 작업
수업의 기술 지도:
활동학생
조직
학생들에게 인사하기
선생님의 인사말
수업의 목표와 목적을 설정합니다. 학생들의 학습 활동에 대한 동기 부여
최종 인증에서는 이차 방정식을 풀 수 있어야 하는 작업이 종종 있습니다.
수업의 목적을 전달하기 :
오늘 수업에서 우리는 2차 방정식을 풀기 위해 연구한 유형, 방법 및 기법을 반복하고, 일반화하고, 시스템에 도입할 것입니다.
작업 결과, 즉 획득한 점수에 따라 모든 사람이 성적을 받게 됩니다.
수업 좌우명: “우리는 서로 생각하고, 생각하고, 일하고, 돕습니다”
(슬라이드 2 ).
선생님들이 듣고 있어요.
지식을 업데이트 중입니다.
여러분, 우리는 보통 숙제를 확인하면서 수업을 시작합니다.
누가 이차방정식을 반복해야 한다고 말하겠습니까?
이차 방정식이란 무엇입니까?
그들은 무엇인가?
이차방정식을 푸는 어떤 방법을 알고 있나요?
교사는 질문에 답하고 자신의 지식에 대한 자체 평가를 실시합니다.
지식의 일반화 및 체계화
1. 상호 통제 역할.
방정식은 다음과 같습니다. (슬라이드 3)
엑스 2 + 7 엑스 – 18 = 0;
2 엑스 2 + 1 = 0;
엑스 2 –2 엑스 + 9 = 0;
2 와이 2 – 3세 + 1 = 0;
2 와이 2 = 1;
–2 엑스 2 – 엑스 + 1 = 0;
엑스 2 + 6 엑스 = 0;
4배 2 =0;
– 엑스 2 – 6 x=1
2 엑스 + 엑스 2 – 1=0
테이블 위에는 답변해야 할 질문이 적힌 카드가 있습니다(부록 1).
(슬라이드 4 ) 결과를 확인하고, 이웃과 카드를 교환하세요.
질문에 답하기
2. 학급과의 정면 작업.
~에(슬라이드 5) 누락된 요소가 있는 수식이 작성됩니다. 수업의 과제는 이 공식이 무엇인지, 그리고 이 공식 기록에서 누락된 것이 무엇인지 알아내는 것입니다.
디 = 비 ² – * ㅏ * .
디 > 0 , * 루트를 의미합니다.
디 * 0 , 1 루트를 의미합니다.
디 * 0 , 수단 * 뿌리.
질문에 답하기
올바른 지식.
플래시카드에서 방정식을 풀어보세요. 그룹 구성원 중 한 명이 칠판에 해결책을 보여줄 것입니다.
각 정답에 대해 정답과 답변을 비교하세요. - 1점
방정식 풀기
해결책을 설명하세요.
수업과 함께하는 정면 작업
계산을 하지 않고 즉시 내 질문에 대답해 주실 수 있나요? "2차 방정식의 근의 합과 곱은 무엇입니까?" (칠판에 한 사람이 비에타의 정리 공식을 적고 있다.)
(슬라이드6)
다음 작업: 정리를 사용하여 방정식 근의 합과 차이를 구두로 구합니다.
(답변: 5 및 6; 9 및 20; -3 및 2) 일부 이차 방정식을 구두로 푸는 방법을 소개합니다.
비에타의 정리는 다음 형식의 방정식에 널리 사용됩니다.ㅏ엑스 2 + 비x + c = 0.
특정 속성을 사용하면 2차 방정식을 풀 때 신속하게 답을 얻을 수 있는 상당한 이점을 제공합니다.
이러한 속성을 고려해 봅시다(슬라이드7)
1) ㅏ + 비+c = 0x 1 = 1, 엑스 2 = s/a.
5배 2 + 4x – 9 = 0; 엑스 1 =1,x 2 = - 9/2.
2) 가 -비+c = 0x 1 = - 1, x 2 = - s/a.
예: 4x 2 + 11x + 7 = 0; 엑스 1 = - 1, x 2 = - 7/4.
(슬라이드8)
3) 아 +c에서 0
방정식을 구두로 푼다: x 2 + 비x + 교류 = 0
뿌리를 a로 나눕니다.
가) 2배 2 – 11x + 5 = 0.
우리는 방정식을 구두로 푼다: x 2 – 11x + 10 = 0. 근은 1과 10입니다. 2로 나눕니다.
그러면 x 1 = , 엑스 2 = 5.
답변: ; 5.
(슬라이드9)
다) 6배 2 –7х – 3 = 0
우리는 방정식을 구두로 푼다: x 2 –7x – 18 = 0. 근은 -2와 9입니다. 6으로 나눕니다.
그러면 x 1 = - , x 2 = .
답변: -; .
질문에 답하세요. 지식 격차 메우기
다단계 그룹에서 작업
리셉션 "규정 준수"
"실수를 잡아라" 기술
다음 속성을 사용하여 방정식 풀기(슬라이드 10)
나그룹.1) 방정식의 근의 합을 구합니다.
2배 2 – 3x + 1 = 0
2) 방정식의 근의 곱을 구합니다.
엑스 2 +9x +20 = 0
3) 방정식을 푼다
10배 2 – 8x - 2= 0
II그룹.
1) 방정식의 근의 합과 곱을 구합니다.
3배 2 – 8x + 5 = 0
방정식 풀기
2)엑스 2 + 2x -24 = 0
3)2× 2 -7x +5 = 0
III그룹
문제를 해결하십시오:
1)엑스 2 +5x-6=0
2)5배 2 -7x+2=0
3)100배 2 -99x-199=0
방정식 풀기
솔루션을 확인하세요.
지식의 수정이 수행됩니다.
2. 2차 방정식과 해결 방법을 연결하세요.
(슬라이드 11)
2배 2 – 3x + 11 = 07배 2 = 8배
엑스 2 – 10x + 100 = 0
엑스 2 –5x –6 = 0
– 2배 2 +x +14= 0
-채권 차압 통고
- 뿌리의 일반 공식
-비에타의 정리
3. 방정식 풀기 오류 찾기 =
일을 빨리 끝내는 사람은 추가 과제도 해결할 수 있다(슬라이드 14), 칠판에 적혀 있습니다.
실행 후 빠른 점검이 진행됩니다.(슬라이드15)
이제 총점을 세어보고 성적을 매기세요.(슬라이드16)
30-24점 – 점수 5;
23-18점 – 점수 4;
12~17점 –. 점수4
그리고 교사는 모든 사람에게 활동성, 용기, 인내에 대한 점수를 부여합니다. 글쎄, 오늘 누군가가 긍정적인 평가에서 점수를 얻지 못했다면 성공은 여전히 앞에 있으며 다음 번에도 확실히 성공할 것입니다.
방정식 풀기
자가 평가를 실시합니다.
반사.
오늘 수업 시간에 우리가 반복한 내용을 누가 말할 수 있나요?
우리가 한 방식이 마음에 들었나요?
문구를 계속하십시오 :
이제 확실히 알았습니다...
이해합니다 …
나는 배웠다 …
내 의견은…
모두가 테이블 위에 컬러 카드를 가지고 있습니다.
수업에 만족하고 만족하셨다면 영주권을 올려주세요.
수업이 흥미롭고 적극적으로 활동했다면 옐로카드를 올립니다.
자가 평가를 실시합니다.
숙제
(슬라이드 17) 작업 모음에서 방정식 풀기
주 최종 인증
9학년 졸업생.
A.V. Semenov, A.S. Trepalin, I.V. Yashchenko
레벨별
레벨에 따라 과제를 선택하세요
"다양한 유형의 방정식 풀기"주제에 대한 작업 번호 4 분석
추가 자료
친애하는 사용자 여러분, 의견, 리뷰, 희망 사항을 남기는 것을 잊지 마세요! 모든 자료는 바이러스 백신 프로그램으로 검사되었습니다.
9학년을 위한 Integral 온라인 스토어의 교육 보조 장치 및 시뮬레이터
9학년을 위한 대화형 매뉴얼 "대수학의 규칙과 연습"
9학년 멀티미디어 교과서 "10분 안에 대수학"
작업 번호 4에는 다양한 유형의 방정식을 풀 수 있는 능력이 필요합니다. 여러분, 이차 방정식, 분수 유리 방정식, 일반 일차 방정식을 올바르게 푸는 방법을 잘 알아야 합니다. 또한 다항식을 사용한 연산(다항식에 다항식을 곱하고 나누는 것)을 잘 수행해야 합니다. 솔루션 영역에 포함된 방정식의 근을 선택하고 어떤 근을 제외하고 고려하지 않을지 결정하는 기능이 필요합니까?
이 과제를 준비하는 데 도움이 될 교훈:
1. 선형 함수 해의 기본 정의 및 예.2. 단항식의 개념과 표준형.
3. 다항식, 표준형, 축소, 변환.
4. 수치 표현의 예. 변수를 사용한 대수식과 이를 사용한 연산.
5. 방정식, 방정식 풀기의 예.
6. 이차 방정식. 수업이 진행 중입니다.
7. 분수 합리적 방정식. 수업이 진행 중입니다.
8. 제곱근. 수업이 진행 중입니다.
솔루션의 예를 분석해 보겠습니다.
예시 1.
방정식의 근을 구하세요: $16x^2-1=0$.
해결책.
이차방정식은 주어지지만 완전한 방정식은 아닙니다. x의 계수는 0입니다. 그런 다음 규칙에 따라 안내합니다. "왼쪽에 x 제곱이 있는 표현식을 그대로 두고 모든 숫자를 오른쪽으로 이동합니다."
표현식을 $16x^2=1$로 바꿔 보겠습니다.
방정식의 양변을 x 제곱의 계수로 나누어 보겠습니다: $x^2=\frac(1)(16)$.
이 방정식을 풀려면 제곱근에 대한 지식이 필요합니다. 음수도 고려해야 한다는 점을 잊지 말고 근을 추출해 보겠습니다. $x=±\sqrt(\frac(1)(16))=±\frac(1)(4)=±0.25$.
답: $x=±0.25$.
예시 2.
방정식을 푼다: $x^2=18-7x$.
해결책.
모든 표현식을 방정식의 왼쪽으로 이동해 보겠습니다: $x^2+7x-18=0$.
우리는 두 가지 방법으로 일반적인 이차 방정식을 풀 수 있습니다:
1. "정면", 판별식 계산;
2. Viette의 정리를 사용합니다.
1 방향.
이차 방정식의 모든 계수를 적어 보겠습니다: $a=1$, $b=7$, $c=-18$.
판별식을 찾아봅시다: $D=b^2-4ac=(7)^2-4*1*(-18)=49+72=121=(11)^2>0$.
우리는 방정식에 2개의 근이 있다는 것을 발견했습니다.
우리는 다음과 같은 뿌리를 찾으면 됩니다.
$x_1=\frac(-b+\sqrt(D))(2a)=\frac(-7+11)(2)=2$.
$x_2=\frac(-b-\sqrt(D))(2a)=\frac(-7-11)(2)=-9$.
방법 2.
Viette의 정리를 이용해보자. Viette의 정리는 특히 계수 $a=1$일 때 이차 방정식의 해를 여러 번 단순화하는 경우가 많습니다. 이 경우 방정식 근의 곱은 $c$ 계수와 같고 방정식 근의 합은 $b$ 계수를 뺀 값과 같습니다.
$x_1+x_2=-\frac(b)(a)$.
$x_1*x_2=\frac(c)(a)$.
이 예에서는 $с=-18$ 및 $b=7$입니다. 우리는 곱이 -18인 숫자 쌍을 정렬하기 시작합니다. 가장 먼저 떠오르는 숫자는 9와 2입니다. 몇 가지 간단한 곱셈과 덧셈을 수행한 후 근 $x=-9$ 및 $x=2$가 우리에게 적합한지 확인할 수 있습니다.
$x_1*x_2=-9*2=-18=\frac(c)(a)$.
x$_1+x_2=-9+2=-7=-\frac(b)(a)$.
답: $x=-9$, $x=2$.
예시 3.
방정식을 푼다: $x-\frac(x)(7)=\frac(15)(7)$.
해결책.
분수 계수를 갖는 일반적인 선형 방정식이 제공됩니다. 이 방정식을 풀려면 일반 분수를 올바르게 사용해야 합니다.
첫 번째 단계는 방정식의 좌변을 변환하여 단순화하는 것입니다: $x-\frac(x)(7)=\frac(7x)(7)-\frac(x)(7)=\frac(6x )(7)$.
방정식은 다음과 같습니다: $\frac(6x)(7)=\frac(15)(7)$.
방정식의 우변을 x의 계수로 나누어 보겠습니다: $x=\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))$.
나눗셈을 별도로 고려해 봅시다: $\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))=\frac(15)(7)*\frac(7)(6)=\frac( 15 )(6)=2\frac(3)(6)=2\frac(1)(2)=$2.5.
우리는 $x=2.5$를 받았습니다.
답: $x=2.5$.
예시 4.
방정식을 푼다: $(x+2)^2=(x-4)^2$.
해결책.
방법 1.
합의 제곱 공식을 사용해 보겠습니다: $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
$(x-4)^2=x^2-8x+16$.
우리는 $x^2+4x+4=x^2-8x+16$를 받았습니다.
방정식을 단순화해 보겠습니다.
$x^2+4x-x^2+8x=16-4$.
$12x=$12.
$x=1$.
방법 2.
이 방정식을 풀기 위해 제곱의 차이 공식을 사용할 수 있습니다. $(x+2)^2-(x-4)^2=0$.
$(x+2+x-4)(x+2-x+4)=0$.
$(2x-2)*(6)=0$.
$2x-2=0$.
$2x=2$.
$x=1$.
답: $x=1$.
실시예 5.
방정식을 푼다: $\frac(9)(x-14)=\frac(14)(x-9)$.
해결책.
우리는 분수 유리 방정식이 제시됩니다. 이 방정식을 풀 때 0으로 나눌 수 없다는 점을 기억하는 것이 좋습니다. 그러므로 방정식의 근은 항상 원래 방정식의 분모에 대입하여 확인해야 합니다.
교차 곱셈 규칙을 사용해 보겠습니다: $9(x-9)=14(x-14)$.
우리는 선형 방정식을 얻었습니다.
$9x-81=14x-196$.
$9x-14x=-196+81$.
$-5x=-115$.
$x=23$.
근을 확인한 결과 원래 방정식의 분수의 분모가 사라지지 않는다는 것을 확신합니다.
답: $x=23$.
실시예 6.
$\begin (cases) x^2+9x-22=0, \\ x≤1 \end (cases)$ 시스템을 만족하는 해를 찾으세요.
해결책.
먼저, Viette의 정리를 이용하여 이차방정식을 풀어보겠습니다. 우리 근의 곱은 $22$이고, 합은 $-9$입니다.
루트를 선택해 보겠습니다.
$-11*2=-22$.
$-11+2=-9$.
$x_1=-11$ 및 $x_2=2$라는 두 개의 루트가 있습니다. 이 근 중 첫 번째 근이 부등식 $x≤1$을 만족하며 이것이 답이 됩니다.
답: $x=-11$.
실시예 7.
방정식을 푼다: $23x-60-x^2=0$.
답에 근의 차이 계수를 표시하십시오.
해결책.
원래 방정식에 $-1$를 곱해 보겠습니다. $x^2-23x+60=0$.
이 형식에서는 방정식이 훨씬 더 친숙해 보입니다.
Viette의 정리를 사용하여 방정식을 이항식의 곱으로 표현해 보겠습니다.
$(x-20)(x-3)=0$.
우리는 두 개의 루트 $x_1=20$과 $x_2=3$를 얻었습니다.
차이 모듈러스를 찾아봅시다: $|x_1-x_2|=|20-3|=|17|=17$.
답: 17.
실시예 8.
$x^6-x^2=0 방정식에는 근이 몇 개 있습니까?$
해결책.
괄호에서 가장 작은 각도를 취해 봅시다: $x^2(x^4-1)=0$.
이제 제곱의 차이 공식을 사용해 보겠습니다.
$x^2 (x^2-1)(x^2+1)=0$.
그리고 같은 공식을 다시 사용해 보겠습니다.
$x^2 (x-1)(x+1)(x^2+1)=0$.
이 방정식은 일련의 방정식과 동일합니다. 우리는 이 방정식에 세 개의 근이 있음을 발견했습니다.
답: 3.
실시예 9.
방정식을 푼다: $\frac((x-2)(2x+1))(2-x)=0$.
방정식에 근이 두 개 이상 있으면 더 큰 근을 답으로 쓰세요.
해결책.
원래 방정식은 다음 세트와 동일합니다. 
각 방정식을 풀어보겠습니다. 분수의 분모는 0이 될 수 없으므로 하나의 해가 제거됩니다. 우리는 $x=-0.5$ 방정식의 한 근을 얻었습니다.
답: -0.5.
알렉산더 샤발린
! 이론부터 실습까지;
! 단순한 것부터 복잡한 것까지
MAOU "플라토신 중등학교",
수학 교사, Melekhina G.V.
선형 방정식의 일반 형태: 도끼 + 비 = 0 ,
어디 ㅏ그리고 비– 숫자(계수).
- 만약에 a = 0그리고 b = 0, 저것 0x + 0 = 0 – 무한히 많은 뿌리;
- 만약에 a = 0그리고 b ≠ 0, 저것 0x + b = 0– 해결책이 없습니다.
- 만약에 a ≠ 0그리고 비 = 0 , 저것 도끼 + 0 = 0 – 하나의 루트, x = 0;
- 만약에 a ≠ 0그리고 비 ≠ 0 , 저것 도끼 + 비 = 0 – 하나의 루트,
! X가 1제곱이고 분모에 없으면 선형 방정식이 됩니다.
! 그리고 선형 방정식이 다음과 같다면 복잡한 :
! X가 있는 항은 왼쪽으로 이동하고, X가 없는 항은 오른쪽으로 이동합니다.
! 이 방정식은 또한 선형 .
! 비율의 주요 속성(십자형).
! X가 왼쪽으로, X가 오른쪽으로 괄호를 엽니다.
- 계수라면 a = 1, 방정식은 다음과 같이 호출됩니다. 주어진 :
- 계수라면 비 = 0 또는/및 c = 0, 방정식은 다음과 같이 호출됩니다. 불완전한 :
! 기본 공식
! 더 많은 수식
이차방정식- 형식의 방정식이라고 함 도끼 4 +bx 2 +c = 0 .
이차방정식은 다음과 같이 감소합니다. 이차 방정식대체를 사용하여
우리는 이차 방정식을 얻습니다.
뿌리를 찾고 교체로 돌아가자:
예시 1:
방정식 x 풀기 4 + 5배 2 – 36 = 0.
해결책:
대체: x 2 = t.
t 2 + 5t – 36 = 0. 방정식의 근은 t 1 = -9 및 t 2 = 4입니다.
x 2 = -9 또는 x 2 = 4.
답: 첫 번째 방정식에는 근이 없지만 두 번째 방정식에는 x = ±2가 있습니다.
예시 2:
방정식을 풀어보세요 (2х – 1) 4 – 25(2x – 1) 2 + 144 = 0.
해결책:
대체: (2x – 1) 2 = t.
t 2 – 25t + 144 = 0. 방정식의 근은 t 1 = 9 및 t 2 = 16입니다.
(2x – 1) 2 = 9 또는 (2x – 1) 2 = 16.
2x – 1 = ±3 또는 2x – 1 = ±4.
첫 번째 방정식에는 두 개의 근(x = 2 및 x = -1)이 있고 두 번째 방정식에도 두 개의 근(x = 2.5 및 x = -1.5)이 있습니다.
답: -1.5; -1; 2; 2.5.
1) 엑스 4 - 9 엑스 2 = 0; 2) 4 엑스 4 - x 2 = 0;
1) 엑스 4 + 엑스 2 - 2 = 0;
2) 엑스 4 - 3 엑스 2 - 4 = 0; 3) 9 엑스 4 + 8 엑스 2 - 1 = 0; 4) 20 엑스 4 - 엑스 2 - 1 = 0.
왼쪽에서 선택하여 방정식을 풀어보세요 완전한 정사각형 :
1) 엑스 4 - 20 엑스 2 + 64 = 0; 2) 엑스 4 - 13 엑스 2 + 36 = 0; 3) 엑스 4 - 4 엑스 2 + 1 = 0; 4) 엑스 4 + 2 엑스 2 +1 = 0.
! 합의 제곱과 차이의 제곱을 기억하세요
유리식 표현숫자와 변수로 구성된 대수식이다. 엑스덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 자연 지수를 이용한 지수 연산을 사용합니다.
만약에 r(x)가 유리식이면 방정식은 다음과 같습니다. r(x)=0유리 방정식이라고 부른다.
유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘:
1. 방정식의 모든 항을 한쪽으로 옮깁니다.
2. 방정식의 이 부분을 대수 분수로 변환하세요. p(x)/q(x)
3. 방정식을 풀어보세요 p(x)=0
4. 방정식의 각 근에 대해 p(x)=0조건을 만족하는지 확인 q(x)≠0아니면. 그렇다면 이는 주어진 방정식의 근이 됩니다. 그렇지 않은 경우 이는 외부 루트이므로 답변에 포함되어서는 안 됩니다.
! 분수 유리 방정식의 해를 생각해 봅시다.
! 방정식을 풀려면 약식 곱셈 공식을 기억하는 것이 유용합니다.
방정식에 제곱근 기호 아래에 변수가 포함되어 있으면 방정식이 호출됩니다. 비합리적인 .
방정식의 양변을 제곱하는 방법- 비합리 방정식을 푸는 주요 방법.
결과 유리 방정식을 풀고 나면 다음이 필요합니다. 확인하다 , 가능한 외부 뿌리를 제거합니다.
답: 5; 4
다른 예시:
시험:
표현에는 의미가 없습니다.
답변:해결책이 없습니다.
이차 방정식이라는 용어에서 핵심 단어는 '이차'입니다. 이는 방정식이 반드시 제곱된 변수(동일한 x)를 포함해야 하며, 3승(또는 그 이상)의 x가 있어서는 안 된다는 것을 의미합니다.
많은 방정식의 해는 이차 방정식을 푸는 것으로 귀결됩니다.
이것이 다른 방정식이 아니라 이차 방정식인지 확인하는 방법을 배워 보겠습니다.
예시 1.
분모를 제거하고 방정식의 각 항에 다음을 곱해 봅시다.
모든 것을 왼쪽으로 이동하고 X의 거듭제곱이 내림차순으로 항을 정렬해 보겠습니다.
이제 우리는 이 방정식이 이차 방정식이라고 자신있게 말할 수 있습니다!
예시 2.
왼쪽과 오른쪽에 다음을 곱합니다.
이 방정식은 원래 포함되어 있었지만 이차 방정식이 아닙니다!
예시 3.
모든 것에 다음을 곱해 봅시다:
무서운? 4도 및 2도... 그러나 대체하면 간단한 이차 방정식이 있음을 알 수 있습니다.
예시 4.
있는 것 같지만 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 모든 것을 왼쪽으로 이동해 보겠습니다.
보세요, 그것은 줄어들었고 이제 그것은 단순한 선형 방정식이 되었습니다!
이제 다음 방정식 중 어느 것이 2차 방정식이고 어느 방정식이 아닌지 스스로 결정해 보십시오.
예:
답변:
- 정사각형;
- 정사각형;
- 정사각형이 아닙니다.
- 정사각형이 아닙니다.
- 정사각형이 아닙니다.
- 정사각형;
- 정사각형이 아닙니다.
- 정사각형.
수학자들은 전통적으로 모든 이차 방정식을 다음 유형으로 나눕니다.
- 완전한 이차 방정식- 계수와 자유항 c가 0이 아닌 방정식(예제 참조). 또한, 완전한 이차 방정식 중에는 다음이 있습니다. 주어진- 이것은 계수가 있는 방정식입니다(예제 1의 방정식은 완전할 뿐만 아니라 축소되었습니다!).
- 불완전한 이차 방정식- 계수 및/또는 자유항 c가 0인 방정식:
일부 요소가 누락되어 불완전합니다. 하지만 방정식에는 항상 x 제곱이 포함되어야 합니다!!! 그렇지 않으면 더 이상 이차 방정식이 아니라 다른 방정식이 됩니다.
그들은 왜 그런 구분을 생각해 냈습니까? X 제곱이 있는 것 같습니다. 괜찮습니다. 이 구분은 솔루션 방법에 따라 결정됩니다. 각각을 더 자세히 살펴보겠습니다.
불완전한 2차 방정식 풀기
먼저, 불완전한 이차 방정식을 푸는 데 집중하겠습니다. 훨씬 간단합니다!
불완전한 이차 방정식에는 다음과 같은 유형이 있습니다.
- , 이 방정식에서 계수는 동일합니다.
- , 이 방정식에서 자유항은 다음과 같습니다.
- , 이 방정식에서 계수와 자유 항은 동일합니다.
1. 나. 우리는 제곱근을 취하는 방법을 알고 있으므로 이 방정식으로 표현해 보겠습니다.
표현은 음수일 수도 있고 양수일 수도 있습니다. 두 개의 음수 또는 두 개의 양수를 곱할 때 결과는 항상 양수가 되기 때문에 제곱된 숫자는 음수가 될 수 없습니다. 즉, 그렇다면 방정식에는 해가 없습니다.
그리고 만약 그렇다면 우리는 두 개의 뿌리를 얻습니다. 이 공식을 외울 필요는 없습니다. 가장 중요한 것은 그것이 더 적을 수 없다는 것을 알고 항상 기억해야한다는 것입니다.
몇 가지 예를 해결해 봅시다.
예시 5:
방정식을 풀어보세요
이제 남은 것은 왼쪽과 오른쪽에서 루트를 추출하는 것뿐입니다. 결국 뿌리를 추출하는 방법을 기억하십니까?
답변:
음수 기호가 있는 뿌리를 잊지 마세요!!!
예시 6:
방정식을 풀어보세요
답변:
예시 7:
방정식을 풀어보세요
오! 숫자의 제곱은 음수가 될 수 없습니다. 즉, 방정식은 다음과 같습니다.
뿌리가 없어!
뿌리가 없는 방정식의 경우 수학자들은 특별한 아이콘(빈 세트)을 생각해 냈습니다. 그리고 대답은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
답변:
따라서 이 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 루트를 추출하지 않았으므로 여기에는 제한이 없습니다.
예시 8:
방정식을 풀어보세요
괄호에서 공통인수를 빼자:
따라서,
이 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.
답변:
가장 간단한 유형의 불완전 이차 방정식입니다(비록 모두 간단하지만). 분명히 이 방정식에는 항상 단 하나의 근이 있습니다.
여기서는 예제를 생략하겠습니다.
완전한 2차 방정식 풀기
완전한 이차 방정식은 다음과 같은 형태의 방정식이라는 점을 상기시켜 드립니다.
완전한 이차 방정식을 푸는 것은 이것보다 조금 더 어렵습니다.
기억하다, 모든 이차 방정식은 판별식을 사용하여 풀 수 있습니다! 심지어 불완전합니다.
다른 방법을 사용하면 더 빨리 계산할 수 있지만, 2차 방정식에 문제가 있는 경우 먼저 판별식을 사용하여 해법을 익히십시오.
1. 판별식을 사용하여 이차방정식을 푼다.
이 방법을 사용하여 이차 방정식을 푸는 것은 매우 간단하며, 가장 중요한 것은 일련의 동작과 몇 가지 공식을 기억하는 것입니다.
그렇다면 방정식에 근이 있으므로 단계에 특별한 주의를 기울여야 합니다. 판별식()은 방정식의 근 개수를 알려줍니다.
- 그렇다면 단계의 공식은 다음과 같이 축소됩니다. 따라서 방정식에는 근만 있습니다.
- 그렇다면 해당 단계에서는 판별식의 근을 추출할 수 없습니다. 이는 방정식에 근이 없음을 나타냅니다.
방정식으로 돌아가서 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
예시 9:
방정식을 풀어보세요
1 단계우리는 건너뜁니다.
2 단계.
우리는 판별식을 찾습니다:
이는 방정식에 두 개의 근이 있음을 의미합니다.
3단계.
답변:
예시 10:
방정식을 풀어보세요
방정식은 표준 형식으로 표시되므로 1 단계우리는 건너뜁니다.
2 단계.
우리는 판별식을 찾습니다:
이는 방정식의 근이 하나라는 것을 의미합니다.
답변:
예 11:
방정식을 풀어보세요
방정식은 표준 형식으로 표시되므로 1 단계우리는 건너뜁니다.
2 단계.
우리는 판별식을 찾습니다:
이는 판별식의 근을 추출할 수 없음을 의미합니다. 방정식의 뿌리는 없습니다.
이제 우리는 그러한 답변을 올바르게 작성하는 방법을 알고 있습니다.
답변:뿌리가 없다
2. Vieta의 정리를 사용하여 이차방정식을 푼다.
기억하신다면 축소(계수 a가 다음과 같을 때)라고 불리는 방정식 유형이 있습니다.
이러한 방정식은 Vieta의 정리를 사용하여 매우 쉽게 풀 수 있습니다.
뿌리의 합 주어진이차방정식은 같고, 근의 곱은 같습니다.
실시예 12:
방정식을 풀어보세요
이 방정식은 Vieta의 정리를 사용하여 풀 수 있습니다. .
방정식의 근의 합은 같습니다. 즉, 우리는 첫 번째 방정식을 얻습니다.
그리고 제품은 다음과 같습니다.
시스템을 구성하고 해결해 봅시다:
- 그리고. 금액은 다음과 같습니다.
- 그리고. 금액은 다음과 같습니다.
- 그리고. 금액은 동일합니다.
시스템에 대한 솔루션은 다음과 같습니다.
답변: ; .
실시예 13:
방정식을 풀어보세요
답변:
실시예 14:
방정식을 풀어보세요
방정식이 주어지며 이는 다음을 의미합니다.
답변:
이차 방정식. 평균 수준
이차 방정식이란 무엇입니까?
즉, 이차방정식은 다음과 같은 형태의 방정식입니다. 여기서 - 미지수, - 일부 숫자, 그리고.
그 숫자를 최고라고 부르거나 첫 번째 계수이차 방정식, - 두 번째 계수, ㅏ - 무료 회원.
왜? 왜냐하면 방정식이 즉시 선형이 된다면, 왜냐하면 사라질 것이다.
이 경우 및 는 0과 같을 수 있습니다. 이 의자 방정식에서는 불완전이라고 합니다. 모든 항이 제자리에 있으면 방정식이 완성됩니다.
다양한 유형의 이차 방정식에 대한 해법
불완전한 2차 방정식을 푸는 방법:
먼저, 불완전한 이차 방정식을 푸는 방법을 살펴보겠습니다. 이 방법은 더 간단합니다.
다음 유형의 방정식을 구별할 수 있습니다.
I., 이 방정식에서 계수와 자유 항은 동일합니다.
II. , 이 방정식에서 계수는 동일합니다.
III. , 이 방정식에서 자유항은 다음과 같습니다.
이제 이러한 각 하위 유형에 대한 솔루션을 살펴보겠습니다.
분명히 이 방정식에는 항상 단 하나의 근이 있습니다.
두 개의 음수 또는 두 개의 양수를 곱하면 결과는 항상 양수가 되기 때문에 제곱된 숫자는 음수가 될 수 없습니다. 그 이유는 다음과 같습니다.
그렇다면 방정식에는 해가 없습니다.
뿌리가 두 개라면
이 공식을 외울 필요는 없습니다. 기억해야 할 가장 중요한 것은 그보다 적을 수 없다는 것입니다.
예:
솔루션:
답변:
음수 기호가 있는 뿌리를 잊지 마세요!
숫자의 제곱은 음수가 될 수 없습니다. 즉, 방정식은 다음과 같습니다.
뿌리가 없습니다.
문제에 해결책이 없다는 것을 간단히 기록하려면 빈 세트 아이콘을 사용합니다.
답변:
따라서 이 방정식에는 두 가지 근이 있습니다.
답변:
괄호에서 공통인수를 빼자:
요소 중 하나 이상이 0이면 곱은 0과 같습니다. 이는 다음과 같은 경우 방정식에 해가 있음을 의미합니다.
따라서 이 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.
예:
방정식을 풀어보세요.
해결책:
방정식의 좌변을 인수분해하고 근을 찾아보겠습니다.
답변:
완전한 2차 방정식을 푸는 방법:
1. 판별식
이 방법으로 이차 방정식을 푸는 것은 쉽습니다. 가장 중요한 것은 일련의 동작과 몇 가지 공식을 기억하는 것입니다. 모든 이차방정식은 판별식을 사용하여 풀 수 있다는 점을 기억하세요! 심지어 불완전합니다.
근에 대한 공식에서 판별식에서 근이 나오는 것을 보셨나요? 그러나 판별자는 음수가 될 수 있습니다. 무엇을 해야 할까요? 우리는 2단계에 특별한 주의를 기울여야 합니다. 판별식은 방정식의 근의 수를 알려줍니다.
- 그렇다면 방정식에는 뿌리가 있습니다.
- 그렇다면 방정식의 근은 동일하고 실제로는 하나의 근을 갖습니다.
이러한 뿌리를 이중뿌리라고 합니다.
- 그렇다면 판별식의 근은 추출되지 않습니다. 이는 방정식에 근이 없음을 나타냅니다.
왜 뿌리의 개수가 다를 수 있나요? 이차 방정식의 기하학적 의미를 살펴보겠습니다. 함수 그래프는 포물선입니다.
이차방정식인 특별한 경우에는 . 이는 이차 방정식의 근이 가로축(축)과의 교차점임을 의미합니다. 포물선은 축과 전혀 교차하지 않을 수도 있고, 한 점(포물선의 정점이 축 위에 있는 경우)이나 두 점에서 교차할 수도 있습니다.
또한 계수는 포물선 가지의 방향을 담당합니다. 그렇다면 포물선의 가지는 위쪽으로 향하고, 그렇다면 아래쪽으로 향합니다.
예:
솔루션:
답변:
답변: .
답변:
즉, 해결책이 없습니다.
답변: .
2. 비에타의 정리
Vieta의 정리를 사용하는 것은 매우 쉽습니다. 곱이 방정식의 자유항과 같고 그 합이 반대 부호를 사용하여 취한 두 번째 계수와 같은 숫자 쌍을 선택하기만 하면 됩니다.
Vieta의 정리는 다음에만 적용될 수 있다는 점을 기억하는 것이 중요합니다. 축소된 2차 방정식().
몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
예시 #1:
방정식을 풀어보세요.
해결책:
이 방정식은 Vieta의 정리를 사용하여 풀 수 있습니다. . 기타 계수: ; .
방정식의 근의 합은 다음과 같습니다.
그리고 제품은 다음과 같습니다.
곱이 같은 숫자 쌍을 선택하고 그 합이 같은지 확인해 보겠습니다.
- 그리고. 금액은 다음과 같습니다.
- 그리고. 금액은 다음과 같습니다.
- 그리고. 금액은 동일합니다.
시스템에 대한 솔루션은 다음과 같습니다.
따라서 와 는 우리 방정식의 뿌리입니다.
답변: ; .
예시 #2:
해결책:
제품에 제공되는 숫자 쌍을 선택한 다음 그 합계가 같은지 확인하겠습니다.
그리고 : 그들은 전체적으로 제공합니다.
그리고 : 그들은 전체적으로 제공합니다. 얻으려면 가정된 뿌리와 결국 제품의 표시를 간단히 변경하는 것으로 충분합니다.
답변:
예시 #3:
해결책:
방정식의 자유 항은 음수이므로 근의 곱은 음수입니다. 이는 근 중 하나가 음수이고 다른 하나가 양수인 경우에만 가능합니다. 따라서 근의 합은 다음과 같습니다. 모듈의 차이점.
제품에 제공되는 숫자 쌍을 선택하고 그 차이는 다음과 같습니다.
그리고: 그들의 차이는 동일합니다 - 맞지 않습니다.
그리고: - 적합하지 않음;
그리고: - 적합하지 않음;
그리고: - 적합합니다. 남은 것은 뿌리 중 하나가 음수라는 것을 기억하는 것입니다. 그 합은 동일해야 하므로 모듈러스가 더 작은 근은 음수여야 합니다. 우리는 다음을 확인합니다:
답변:
예시 #4:
방정식을 풀어보세요.
해결책:
방정식이 주어지며 이는 다음을 의미합니다.
자유 항은 음수이므로 근의 곱은 음수입니다. 그리고 이는 방정식의 한 근이 음수이고 다른 근이 양수인 경우에만 가능합니다.
곱이 동일한 숫자 쌍을 선택한 다음 음수 부호를 가져야 하는 근을 결정해 보겠습니다.
분명히 뿌리만 첫 번째 조건에 적합합니다.
답변:
예시 #5:
방정식을 풀어보세요.
해결책:
방정식이 주어지며 이는 다음을 의미합니다.
근의 합은 음수입니다. 이는 근 중 적어도 하나가 음수임을 의미합니다. 그러나 그들의 곱이 양수이므로 두 뿌리 모두 마이너스 기호가 있음을 의미합니다.
곱이 다음과 같은 숫자 쌍을 선택해 보겠습니다.
분명히 뿌리는 숫자와입니다.
답변:
이 불쾌한 판별식을 세는 대신 구두로 뿌리를 찾는 것이 매우 편리합니다. 가능한 한 자주 비에타의 정리를 사용해 보십시오.
그러나 근을 찾는 것을 촉진하고 속도를 높이려면 비에타의 정리가 필요합니다. 이를 사용하여 이익을 얻으려면 작업을 자동으로 수행해야 합니다. 이를 위해 다섯 가지 예를 더 풀어보세요. 하지만 속이지 마세요. 판별식을 사용할 수 없습니다! 비에타의 정리만:
독립적인 작업을 위한 작업 솔루션:
작업 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Vieta의 정리에 따르면:
평소와 같이 작품 선택을 시작합니다.
금액이 적당하지 않습니다.
: 딱 필요한 금액입니다.
답변: ; .
작업 2.
그리고 다시 우리가 가장 좋아하는 비에타 정리: 합은 동일해야 하고 곱도 동일해야 합니다.
그러나 그렇지 않아야 하기 때문에 뿌리의 부호를 변경합니다: 그리고 (전체적으로).
답변: ; .
작업 3.
흠... 그게 어디죠?
모든 용어를 하나의 부분으로 이동해야 합니다.
근의 합은 곱과 같습니다.
알았어, 그만해! 방정식은 제공되지 않습니다. 그러나 Vieta의 정리는 주어진 방정식에만 적용 가능합니다. 따라서 먼저 방정식을 제시해야 합니다. 이끌 수 없다면 이 아이디어를 포기하고 다른 방법(예를 들어 판별식을 통해)으로 해결하세요. 이차 방정식을 제공한다는 것은 주요 계수를 동일하게 만드는 것을 의미한다는 것을 상기시켜 드리겠습니다.
엄청난. 그러면 근의 합은 와 곱이 됩니다.
여기서 선택하는 것은 배 껍질을 벗기는 것만큼 쉽습니다. 결국 그것은 소수입니다(동어어가 같아 죄송합니다).
답변: ; .
작업 4.
무료 회원은 부정적입니다. 이것의 특별한 점은 무엇입니까? 그리고 사실 뿌리는 다른 징후를 가질 것입니다. 이제 선택하는 동안 루트의 합이 아니라 모듈의 차이점을 확인합니다. 이 차이는 동일하지만 제품입니다.
따라서 근은 and와 같지만 그 중 하나는 마이너스입니다. 비에타의 정리는 근의 합이 반대 부호를 갖는 두 번째 계수와 같다는 것을 말해줍니다. 이는 더 작은 루트에 마이너스가 있음을 의미합니다.
답변: ; .
작업 5.
먼저 무엇을 해야 할까요? 맞습니다. 방정식을 제시하십시오.
다시 말하지만, 숫자의 요소를 선택하고 그 차이는 다음과 같아야 합니다.
근은 and와 같지만 그 중 하나는 마이너스입니다. 어느? 그 합은 같아야 합니다. 즉, 마이너스의 근이 더 커집니다.
답변: ; .
요약하자면:
- 비에타의 정리는 주어진 이차 방정식에만 사용됩니다.
- Vieta의 정리를 사용하면 구두로 선택하여 근을 찾을 수 있습니다.
- 방정식이 주어지지 않거나 자유 항의 적합한 인수 쌍이 발견되지 않으면 전체 근이 없으므로 다른 방법(예: 판별식을 통해)으로 풀어야 합니다.
3. 완전한 정사각형을 선택하는 방법
미지수를 포함하는 모든 항이 약식 곱셈 공식(합 또는 차이의 제곱)의 항 형식으로 표시되는 경우 변수를 대체한 후 방정식은 해당 유형의 불완전한 이차 방정식 형식으로 표시될 수 있습니다.
예를 들어:
예시 1:
방정식을 푼다: .
해결책:
답변:
예시 2:
방정식을 푼다: .
해결책:
답변:
일반적으로 변환은 다음과 같습니다.
이는 다음을 의미합니다.
아무것도 생각나지 않나요? 이건 차별적인 일이에요! 이것이 바로 우리가 판별 공식을 얻은 방법입니다.
이차 방정식. 주요 사항에 대해 간략하게
이차 방정식- 이것은 다음 형식의 방정식입니다. - 미지수 - 이차 방정식의 계수 - 자유항.
완전한 이차 방정식- 계수가 0이 아닌 방정식.
축소된 이차 방정식- 계수가 다음과 같은 방정식: .
불완전한 이차 방정식- 계수 및/또는 자유항 c가 0인 방정식:
- 계수인 경우 방정식은 다음과 같습니다.
- 자유 항이 있는 경우 방정식의 형식은 다음과 같습니다.
- 만약 그렇다면 방정식은 다음과 같습니다: .
1. 불완전한 2차 방정식을 풀기 위한 알고리즘
1.1. 다음 형식의 불완전한 2차 방정식:
1) 미지수를 표현해보자: ,
2) 표현식의 부호를 확인하십시오.
- 그렇다면 방정식에는 해가 없습니다.
- 그렇다면 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.
1.2. 다음 형식의 불완전한 2차 방정식:
1) 괄호 안의 공통인수를 빼자: ,
2) 요소 중 하나 이상이 0이면 곱은 0과 같습니다. 따라서 방정식에는 두 가지 근이 있습니다.
1.3. 다음 형식의 불완전한 2차 방정식입니다.
이 방정식에는 항상 단 하나의 근만 있습니다: .
2. 다음 형식의 완전한 2차 방정식을 풀기 위한 알고리즘
2.1. 판별식을 이용한 해
1) 방정식을 표준 형식으로 바꾸자: ,
2) 공식을 사용하여 판별식을 계산해 보겠습니다. , 이는 방정식의 근 수를 나타냅니다.
3) 방정식의 근을 찾으십시오.
- 그렇다면 방정식에는 다음 공식으로 찾을 수 있는 근이 있습니다.
- 그렇다면 방정식에는 다음 공식으로 구되는 근이 있습니다.
- 그렇다면 방정식에는 근이 없습니다.
2.2. 비에타의 정리를 이용한 해
축소된 이차 방정식(형태의 방정식)의 근의 합은 같고 근의 곱은 같습니다. 즉 , ㅏ.
2.3. 완전한 정사각형을 선택하는 방법에 의한 해법
형식의 이차 방정식에 근이 있는 경우 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.
자, 주제는 끝났습니다. 이 글을 읽고 있다면 당신이 매우 멋지다는 뜻입니다.
왜냐하면 오직 5%의 사람들만이 스스로 무언가를 마스터할 수 있기 때문입니다. 그리고 끝까지 읽으면 당신은 이 5% 안에 속합니다!
이제 가장 중요한 것입니다.
당신은 이 주제에 대한 이론을 이해했습니다. 그리고 반복합니다. 이건... 정말 최고예요! 당신은 이미 대다수의 동료들보다 더 뛰어납니다.
문제는 이것만으로는 충분하지 않을 수 있다는 것입니다.
무엇을 위해?
통합 주 시험에 성공적으로 합격하고, 예산에 맞춰 대학에 입학하고, 가장 중요한 것은 평생 동안입니다.
아무것도 설득하지 않고 딱 하나만 말씀드리겠습니다...
좋은 교육을 받은 사람은 그렇지 않은 사람보다 훨씬 더 많은 돈을 번다. 이것은 통계입니다.
그러나 이것이 중요한 것은 아닙니다.
가장 중요한 것은 그들이 더 행복하다는 것입니다 (그런 연구가 있습니다). 아마도 그들 앞에 더 많은 기회가 열리고 삶이 더 밝아지기 때문일까요? 모른다...
하지만 스스로 생각해 보세요...
통합 상태 시험에서 다른 사람보다 더 뛰어나고 궁극적으로 더 행복해지려면 무엇이 필요합니까?
이 주제에 대한 문제를 해결하여 손을 잡으십시오.
시험 중에는 이론을 묻지 않습니다.
필요할 것이예요 시간에 맞춰 문제를 해결하다.
그리고 문제를 많이 해결하지 못했다면(많이!) 어딘가에서 어리석은 실수를 저지르거나 시간이 없을 것입니다.
그것은 스포츠와 같습니다. 확실히 승리하려면 여러 번 반복해야 합니다.
원하는 곳 어디에서나 컬렉션을 찾아보세요. 반드시 솔루션, 상세한 분석으로결정하고 결정하고 결정하세요!
우리의 작업(선택 사항)을 사용할 수 있으며 물론 권장됩니다.
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결론적으로...
우리 작업이 마음에 들지 않으면 다른 작업을 찾으십시오. 이론에만 머물지 마세요.
'이해한다'와 '해결할 수 있다'는 완전히 다른 능력이다. 둘 다 필요합니다.
문제를 찾아 해결해보세요!
