Mürəkkəb funksiyaların törəmələrini necə tapmaq olar. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi. Törəmənin həndəsi və fiziki mənası

Tərifə əməl etsək, onda bir nöqtədə funksiyanın törəməsi Δ funksiyasının artım nisbətinin həddidir. yΔ arqumentinin artımına x:

Hər şey aydın görünür. Ancaq bu düsturla, məsələn, funksiyanın törəməsini hesablamağa çalışın f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x günah x. Əgər hər şeyi təriflə etsəniz, bir neçə səhifəlik hesablamalardan sonra sadəcə yuxuya gedəcəksiniz. Buna görə daha sadə və daha təsirli yollar var.

Başlamaq üçün qeyd edək ki, elementar funksiyalar deyilən funksiyaları bütün müxtəlif funksiyalardan ayırmaq olar. Bunlar nisbətən sadə ifadələrdir, törəmələri çoxdan hesablanmış və cədvələ daxil edilmişdir. Bu cür funksiyaları törəmələri ilə birlikdə yadda saxlamaq kifayət qədər asandır.

Elementar funksiyaların törəmələri

Elementar funksiyalar aşağıda sadalanan hər şeydir. Bu funksiyaların törəmələri əzbərdən bilinməlidir. Üstəlik, onları yadda saxlamaq çətin deyil - buna görə də onlar elementardırlar.

Beləliklə, elementar funksiyaların törəmələri:

Elementar funksiya ixtiyari sabitə vurularsa, yeni funksiyanın törəməsi də asanlıqla hesablanır:

(C · f)’ = C · f ’.

Ümumiyyətlə, sabitləri törəmə işarəsindən çıxarmaq olar. Misal üçün:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Aydındır ki, elementar funksiyaları bir-birinə əlavə etmək, çoxaltmaq, bölmək və daha çox şey ola bilər. Artıq çox elementar deyil, həm də müəyyən qaydalara uyğun olaraq fərqləndirilə bilən yeni funksiyalar belə görünəcək. Bu qaydalar aşağıda müzakirə olunur.

Cəm və fərqin törəməsi

Qoy funksiyalar f(x) və g(x), törəmələri bizə məlum olan. Məsələn, yuxarıda müzakirə olunan elementar funksiyaları götürə bilərsiniz. Onda bu funksiyaların cəmi və fərqinin törəməsini tapa bilərsiniz:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deməli, iki funksiyanın cəminin (fərqinin) törəməsi törəmələrin cəminə (fərqinə) bərabərdir. Daha çox şərtlər ola bilər. Misal üçün, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Düzünü desək, cəbrdə “çıxma” anlayışı yoxdur. “Mənfi element” anlayışı var. Buna görə də fərq f − g cəmi kimi yenidən yazıla bilər f+ (−1) g, və sonra yalnız bir düstur qalır - cəminin törəməsi.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksiya f(x) iki elementar funksiyanın cəmidir, ona görə də:

f ’(x) = (x 2+ günah x)’ = (x 2)' + (günah x)’ = 2x+ cosx;

Eyni şəkildə funksiya üçün mübahisə edirik g(x). Yalnız üç termin var (cəbr baxımından):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Cavab:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Məhsulun törəməsi

Riyaziyyat məntiqi bir elmdir, ona görə də bir çox insan hesab edir ki, əgər cəmin törəməsi törəmələrin cəminə bərabərdirsə, məhsulun törəməsi zərbə"\u003e törəmələrin məhsuluna bərabərdir. Amma sizə əncir! Məhsulun törəməsi tamamilə fərqli bir düsturla hesablanır. Yəni:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula sadədir, lakin tez-tez unudulur. Həm də təkcə məktəblilər deyil, həm də tələbələr. Nəticə problemlərin düzgün həll edilməməsidir.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funksiya f(x) iki elementar funksiyanın məhsuludur, ona görə də hər şey sadədir:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' çünki x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−günah x) = x 2 (3 cos x − x günah x)

Funksiya g(x) birinci çarpan bir az daha mürəkkəbdir, lakin ümumi sxem bundan dəyişmir. Aydındır ki, funksiyanın birinci çarpanı g(x) çoxhədlidir və onun törəməsi cəminin törəməsidir. Bizdə:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Cavab:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x günah x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Qeyd edək ki, son mərhələdə törəmə faktorlara bölünür. Formal olaraq, bu lazım deyil, lakin əksər törəmələr öz-özünə hesablanmır, lakin funksiyanı araşdırmaq üçün hesablanır. Bu o deməkdir ki, bundan sonra törəmə sıfıra bərabərləşdiriləcək, onun işarələri tapılacaq və s. Belə bir hal üçün amillərə parçalanmış ifadənin olması daha yaxşıdır.

İki funksiya varsa f(x) və g(x), və g(x) ≠ 0 bizi maraqlandıran çoxluqda yeni funksiya təyin edə bilərik h(x) = f(x)/g(x). Belə bir funksiya üçün törəməni də tapa bilərsiniz:

Zəif deyil, hə? Minus haradan gəldi? Niyə g 2? Amma belə! Bu, ən mürəkkəb düsturlardan biridir - bir şüşə olmadan başa düşə bilməzsiniz. Ona görə də onu konkret misallarla öyrənmək daha yaxşıdır.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın:

Hər bir kəsrin pay və məxrəcində elementar funksiyalar var, ona görə də bizə lazım olan tək şey hissənin törəməsi üçün düsturdur:

Ənənəyə görə, biz sayacı amillərə daxil edirik - bu cavabı çox sadələşdirəcək:

Mürəkkəb bir funksiya mütləq yarım kilometr uzunluğunda bir düstur deyil. Məsələn, funksiyanı götürmək kifayətdir f(x) = günah x və dəyişəni əvəz edin x, deyin, açıq x 2+ln x. Çıxır f(x) = günah ( x 2+ln x) mürəkkəb funksiyadır. Onun da bir törəməsi var, lakin yuxarıda müzakirə olunan qaydalara uyğun olaraq onu tapmaq işləməyəcək.

Necə olmaq? Belə hallarda dəyişənin dəyişdirilməsi və mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düstur kömək edir:

f ’(x) = f ’(t) · t', əgər x ilə əvəz olunur t(x).

Bir qayda olaraq, bu düsturun başa düşülməsi ilə bağlı vəziyyət bölmənin törəməsi ilə müqayisədə daha kədərlidir. Buna görə də, hər bir addımın ətraflı təsviri ilə konkret misallarla izah etmək daha yaxşıdır.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = günah ( x 2+ln x)

Qeyd edək ki, əgər funksiyadadırsa f(x) ifadə 2 əvəzinə x+ 3 asan olacaq x, onda elementar funksiya alırıq f(x) = e x. Buna görə də bir əvəz edirik: qoy 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Kompleks funksiyanın törəməsini düsturla axtarırıq:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

İndi - diqqət! Əks əvəzetmənin həyata keçirilməsi: t = 2x+ 3. Alırıq:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

İndi funksiyaya baxaq g(x). Aydındır ki, dəyişdirilməlidir. x 2+ln x = t. Bizdə:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (günah t)’ · t' = cos t · t ’

Əks dəyişdirmə: t = x 2+ln x. Sonra:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Hamısı budur! Sonuncu ifadədən də göründüyü kimi, bütün məsələ cəminin törəməsinin hesablanmasına endirilib.

Cavab:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) çünki ( x 2+ln x).

Dərslərimdə çox vaxt “törəmə” ifadəsi əvəzinə “vuruş” sözündən istifadə edirəm. Məsələn, cəminin vuruşu vuruşların cəminə bərabərdir. Bu daha aydındır? Əla, bu yaxşıdır.

Beləliklə, törəmənin hesablanması yuxarıda müzakirə olunan qaydalara uyğun olaraq bu vuruşlardan xilas olmaq üçün gəlir. Son nümunə olaraq, rasional göstərici ilə törəmə gücə qayıdaq:

(x n)’ = n · x n − 1

Bunu rolda az adam bilir n kəsr sayı ola bilər. Məsələn, kök x 0.5. Bəs kökün altında çətin bir şey varsa nə etməli? Yenə də mürəkkəb bir funksiya ortaya çıxacaq - onlar testlərdə və imtahanlarda belə konstruksiyalar verməyi sevirlər.

Tapşırıq. Funksiyanın törəməsini tapın:

Əvvəlcə kökü rasional göstəricisi olan bir güc kimi yenidən yazaq:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

İndi bir əvəz edirik: icazə verin x 2 + 8x − 7 = t. Törəməni düsturla tapırıq:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Biz tərs əvəz edirik: t = x 2 + 8x− 7. Bizdə:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Nəhayət, köklərə qayıdaq:

Bunun üzərində ən sadə törəmələri təhlil etdik, həmçinin diferensiallaşdırma qaydaları və törəmələrin tapılmasının bəzi üsulları ilə tanış olduq. Beləliklə, əgər siz funksiyaların törəmələri ilə çox yaxşı deyilsinizsə və ya bu məqalənin bəzi məqamları tam aydın deyilsə, əvvəlcə yuxarıdakı dərsi oxuyun. Zəhmət olmasa ciddi əhval-ruhiyyəyə uyğunlaşın - material asan deyil, amma yenə də onu sadə və aydın şəkildə təqdim etməyə çalışacağam.

Təcrübədə mürəkkəb funksiyanın törəməsi ilə çox tez-tez məşğul olmalısan, hətta demək olar ki, həmişə deyərdim ki, sənə törəmələri tapmaq üçün tapşırıqlar veriləndə.

Mürəkkəb funksiyanı diferensiallaşdırmaq üçün qaydada (№ 5) cədvələ baxırıq:

Biz başa düşürük. İlk öncə nota nəzər salaq. Burada iki funksiyamız var - və , və funksiya, məcazi mənada desək, funksiyada yuvalanıb. Bu cür funksiyaya (bir funksiya digərinin içində yerləşdikdə) mürəkkəb funksiya adlanır.

Funksiyanı çağıracağam xarici funksiya, və funksiyası – daxili (və ya iç-içə) funksiya.

! Bu təriflər nəzəri deyil və tapşırıqların yekun tərtibatında əks olunmamalıdır. Mən “xarici funksiya”, “daxili” funksiya kimi qeyri-rəsmi ifadələrdən yalnız materialı başa düşməyinizi asanlaşdırmaq üçün istifadə edirəm.

Vəziyyəti aydınlaşdırmaq üçün düşünün:

Misal 1

Funksiyanın törəməsini tapın

Sinusun altında bizdə təkcə "x" hərfi deyil, bütün ifadə var, ona görə də dərhal cədvəldən törəməni tapmaq işləməyəcək. Onu da görürük ki, burada ilk dörd qaydanı tətbiq etmək qeyri-mümkündür, görünür, fərq var, amma fakt budur ki, sinusunu “parçalamaq” mümkün deyil:

Bu misalda, artıq mənim izahatlarımdan intuitiv olaraq aydın olur ki, funksiya mürəkkəb funksiyadır, çoxhədli isə daxili funksiya (yerləşdirmə) və xarici funksiyadır.

İlk addım, mürəkkəb funksiyanın törəməsi tapılarkən yerinə yetirilməli olan to hansı funksiyanın daxili, hansının xarici olduğunu anlayın.

Sadə misallarda polinomun sinusun altında yerləşdiyi aydın görünür. Bəs aydın deyilsə? Hansı funksiyanın xarici, hansının daxili olduğunu dəqiq necə müəyyən etmək olar? Bunu etmək üçün zehni olaraq və ya qaralama üzərində həyata keçirilə bilən aşağıdakı texnikadan istifadə etməyi təklif edirəm.

Təsəvvür edək ki, ifadənin dəyərini kalkulyatorla hesablamalıyıq (bir əvəzinə istənilən rəqəm ola bilər).

Əvvəlcə nəyi hesablayırıq? İlk növbədə aşağıdakı hərəkəti yerinə yetirməli olacaqsınız: , beləliklə, polinom daxili funksiya olacaq:

İkincisi tapmaq lazımdır, buna görə də sinus - xarici funksiya olacaq:

Bizdən sonra ANLAYIN daxili və xarici funksiyalarla, mürəkkəb funksiyaların diferensiasiya qaydasını tətbiq etməyin vaxtıdır .

Qərar verməyə başlayırıq. Dərsdən Törəməni necə tapmaq olar? hər hansı bir törəmənin həllinin dizaynının həmişə belə başladığını xatırlayırıq - ifadəni mötərizələrə daxil edirik və yuxarı sağda bir vuruş qoyuruq:

Əvvəlcə xarici funksiyanın (sinus) törəməsini tapırıq, elementar funksiyaların törəmələri cədvəlinə baxırıq və qeyd edirik ki, . Bütün cədvəl düsturları hətta "x" mürəkkəb ifadə ilə əvəz edilsə belə tətbiq olunur, bu halda:

Qeyd edək ki, daxili funksiya dəyişməyib, toxunmuruq.

Bax, bu, tamamilə aydındır

Düsturun tətbiqinin nəticəsi təmiz belə görünür:

Sabit amil adətən ifadənin əvvəlində yerləşdirilir:

Hər hansı bir anlaşılmazlıq olarsa, qərarı kağıza yazın və izahatları yenidən oxuyun.

Misal 2

Funksiyanın törəməsini tapın

Misal 3

Funksiyanın törəməsini tapın

Həmişə olduğu kimi yazırıq:

Xarici funksiyanın harada olduğunu və daxili funksiyanın harada olduğunu anlayırıq. Bunun üçün biz (zehni və ya qaralama üzərində) üçün ifadənin dəyərini hesablamağa çalışırıq. Əvvəlcə nə etmək lazımdır? Hər şeydən əvvəl, bazanın nəyə bərabər olduğunu hesablamalısınız:, yəni polinom daxili funksiyadır:

Və yalnız bundan sonra eksponentasiya həyata keçirilir, buna görə də güc funksiyası xarici funksiyadır:

Formula görə , əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini, bu halda dərəcəsini tapmaq lazımdır. Cədvəldə istədiyiniz düsturu axtarırıq:. Bir daha təkrar edirik: istənilən cədvəl formul təkcə “x” üçün deyil, həm də mürəkkəb ifadə üçün etibarlıdır. Beləliklə, mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasının tətbiqinin nəticəsi sonrakı:

Bir daha vurğulayıram ki, xarici funksiyanın törəməsini götürəndə daxili funksiya dəyişmir:

İndi daxili funksiyanın çox sadə törəməsini tapmaq və nəticəni bir az "daraqlamaq" qalır:

Misal 4

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

Mürəkkəb bir funksiyanın törəməsi haqqında anlayışı möhkəmləndirmək üçün şərhsiz bir nümunə verəcəyəm, bunu özünüz anlamağa çalışın, səbəb, xarici və daxili funksiya haradadır, niyə vəzifələr bu şəkildə həll olunur?

Misal 5

a) Funksiyanın törəməsini tapın

b) funksiyanın törəməsini tapın

Misal 6

Funksiyanın törəməsini tapın

Burada kökümüz var və kökü fərqləndirmək üçün o, dərəcə kimi göstərilməlidir. Beləliklə, diferensiallaşma üçün əvvəlcə funksiyanı düzgün formaya gətiririk:

Funksiyanı təhlil edərək belə nəticəyə gəlirik ki, üç həddin cəmi daxili funksiya, eksponentasiya isə xarici funksiyadır. Mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasını tətbiq edirik :

Dərəcə yenidən radikal (kök) kimi təmsil olunur və daxili funksiyanın törəməsi üçün cəmini fərqləndirmək üçün sadə bir qayda tətbiq edirik:

Hazır. Siz həmçinin ifadəni mötərizədə ortaq məxrəcə gətirə və hər şeyi bir kəsr kimi yaza bilərsiniz. Bu, əlbəttə ki, gözəldir, lakin çətin uzun törəmələr əldə edildikdə, bunu etməmək daha yaxşıdır (çaşmaq, lazımsız səhv etmək asandır və müəllimin yoxlaması əlverişsiz olacaq).

Misal 7

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

Maraqlıdır ki, bəzən mürəkkəb funksiyanı diferensiasiya etmək qaydası əvəzinə, bölməni fərqləndirmək qaydasından istifadə etmək olar. , lakin belə bir həll qeyri-adi bir pozğunluq kimi görünəcək. Budur tipik bir nümunə:

Misal 8

Funksiyanın törəməsini tapın

Burada əmsalın fərqləndirmə qaydasından istifadə edə bilərsiniz , lakin törəməni mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırma qaydası ilə tapmaq daha sərfəlidir:

Funksiyanı diferensiasiya üçün hazırlayırıq - törəmənin mənfi işarəsini çıxarırıq və kosinusu paylayıcıya qaldırırıq:

Kosinus daxili funksiyadır, eksponentasiya xarici funksiyadır.
Qaydamızdan istifadə edək :

Daxili funksiyanın törəməsini tapırıq, kosinusu geri qaytarırıq:

Hazır. Baxılan nümunədə işarələrdə çaşqınlıq yaratmamaq vacibdir. Yeri gəlmişkən, bunu qayda ilə həll etməyə çalışın , cavablar uyğun olmalıdır.

Misal 9

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

İndiyə qədər mürəkkəb bir funksiyada yalnız bir yuva qurduğumuz halları nəzərdən keçirdik. Praktik tapşırıqlarda siz tez-tez törəmələrə rast gələ bilərsiniz, burada yuva quran kuklalar kimi, biri digərinin içərisində, 3 və ya hətta 4-5 funksiya eyni anda yuvalanır.

Misal 10

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu funksiyanın əlavələrini başa düşürük. Eksperimental dəyərdən istifadə edərək ifadəni qiymətləndirməyə çalışırıq. Bir kalkulyatora necə güvənə bilərik?

Əvvəlcə tapmaq lazımdır, yəni arcsine ən dərin yuvadır:

Bu birlik qövsünün kvadratı alınmalıdır:

Və nəhayət, yeddini gücə qaldırırıq:

Yəni, bu nümunədə üç fərqli funksiya və iki yuva var, ən daxili funksiya arksinus, ən xarici funksiya isə eksponensial funksiyadır.

Qərar verməyə başlayırıq

Qaydaya görə əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini götürməlisiniz. Törəmələr cədvəlinə baxırıq və eksponensial funksiyanın törəməsini tapırıq: Yeganə fərq ondadır ki, “x” əvəzinə kompleks ifadəmiz var ki, bu da bu düsturun etibarlılığını inkar etmir. Deməli, mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasının tətbiqinin nəticəsi növbəti.

Siz bura gəldiyiniz üçün yəqin ki, dərslikdə bu düsturla tanış olmusunuz

və belə bir üz düzəldin:

Dostum, narahat olma! Əslində, hər şeyi rüsvay etmək sadədir. Siz mütləq hər şeyi başa düşəcəksiniz. Yalnız bir xahiş - məqaləni oxuyun yavaş-yavaş hər addımını anlamağa çalışın. Mümkün qədər sadə və aydın şəkildə yazdım, amma yenə də fikri dərinləşdirmək lazımdır. Və məqalədəki vəzifələri həll etməyinizə əmin olun.

Mürəkkəb funksiya nədir?

Təsəvvür edin ki, başqa mənzilə köçürsünüz və buna görə də əşyalarınızı böyük qutulara yığırsınız. Bəzi kiçik əşyaları, məsələn, məktəb dəftərxana ləvazimatlarını toplamaq lazım olsun. Onları nəhəng bir qutuya atsanız, başqa şeylər arasında itəcəklər. Bunun qarşısını almaq üçün əvvəlcə onları, məsələn, bir çantaya qoyursunuz, sonra böyük bir qutuya qoyursunuz, sonra onu möhürləyirsiniz. Bu "ən çətin" proses aşağıdakı diaqramda göstərilmişdir:

Deyəsən, riyaziyyat haradadır? Üstəlik, kompleks funksiya TAM EYNİ şəkildə əmələ gəlir! Fərqli "paketlər" və "qutular" xidmət edərkən, yalnız biz dəftər və qələmləri deyil, \ (x \) "paketləyirik".

Məsələn, x götürək və onu bir funksiyaya "paketlə" edək:

Nəticədə, əlbəttə ki, \(\cos⁡x\) alırıq. Bu bizim "əşya çantamız"dır. İndi biz onu "qutuya" qoyuruq - məsələn, kub funksiyasına yığırıq.

Axırda nə olacaq? Bəli, düzdür, “qutuda əşyalar olan paket”, yəni “x kubunun kosinusu” olacaq.

Yaranan tikinti mürəkkəb bir funksiyadır. Sadədən bununla fərqlənir Bir X-ə bir neçə “təsir” (paketlər) tətbiq olunur və belə çıxır ki, "funksiyadan bir funksiya" - "paketdəki paket".

Məktəb kursunda eyni "paketlərin" çox az növü var, yalnız dördü:

Gəlin indi x-i əvvəlcə 7 bazası olan eksponensial funksiyaya, sonra isə triqonometrik funksiyaya “paketləyək”. Biz əldə edirik:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

İndi gəlin x-i iki dəfə triqonometrik funksiyalara “paketləyək”, əvvəlcə daxil, sonra isə:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Sadə, elə deyilmi?

İndi funksiyaları özünüz yazın, burada x:
- əvvəlcə kosinusa, sonra isə \(3\) bazası olan eksponensial funksiyaya “toplanır”;
- əvvəlcə beşinci gücə, sonra isə tangensə;
- birinci əsas loqarifmə \(4\) , sonra gücə \(-2\).

Bu sualın cavablarına məqalənin sonunda baxın.

Bəs biz x iki yox, üç dəfə “paket” edə bilərikmi? Problem deyil! Və dörd, beş və iyirmi beş dəfə. Burada, məsələn, x-in \(4\) dəfə "qablaşdırıldığı" funksiyadır:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Amma məktəb praktikasında belə formullara rast gəlinməyəcək (şagirdlər daha şanslıdır - onlar daha çətin ola bilər☺).

Mürəkkəb bir funksiyanı "açmaq"

Əvvəlki funksiyaya yenidən baxın. "Qablaşdırma" ardıcıllığını anlaya bilərsinizmi? Əvvəlcə nə X dolduruldu, sonra nə və s. sona qədər. Yəni hansı funksiya hansının içində yerləşib? Bir kağız parçası götürün və düşündüyünüzü yazın. Bunu yuxarıda yazdığımız kimi oxlar zənciri ilə və ya başqa bir şəkildə edə bilərsiniz.

İndi düzgün cavab belədir: əvvəlcə x \(4\)-cü qüvvəyə “qablaşdırıldı”, sonra nəticə sinusa yığıldı, o da öz növbəsində loqarifm bazasına \(2\) və sonunda bütün tikinti güc beşlərinə itələdi.

Yəni, TƏRKİ SERTİFİLƏ ardıcıllığı açmaq lazımdır. Və burada bunu daha asan etmək üçün bir ipucu var: sadəcə X-ə baxın - ondan rəqs etməlisiniz. Gəlin bir neçə nümunəyə baxaq.

Məsələn, burada bir funksiya var: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). X-ə baxırıq - əvvəlcə ona nə olur? Ondan alınıb. Daha sonra? Nəticənin tangensi alınır. Və ardıcıllıq eyni olacaq:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Başqa bir misal: \(y=\cos⁡((x^3))\). Təhlil edirik - əvvəlcə x kublaşdırıldı, sonra isə nəticədən kosinus götürüldü. Beləliklə, ardıcıllıq belə olacaq: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Diqqət yetirin, funksiya ilkin funksiyaya bənzəyir (şəkillərlə birlikdə). Ancaq bu, tamamilə fərqli bir funksiyadır: burada x kubunda (yəni \(\cos⁡((x x x)))\), orada isə kubda kosinus \(x\) (yəni \(\) cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Bu fərq müxtəlif "qablaşdırma" ardıcıllığından yaranır.

Sonuncu misal (içində vacib məlumatla): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Aydındır ki, burada əvvəlcə x ilə hesab əməliyyatları apardıq, sonra nəticədən sinus götürüldü: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Bu da vacib bir məqamdır: arifmetik əməliyyatların özlüyündə funksiya olmamasına baxmayaraq, burada onlar həm də “qablaşdırma” üsulu kimi çıxış edirlər. Gəlin bu incəliyi bir az daha dərindən araşdıraq.

Yuxarıda dediyim kimi, sadə funksiyalarda x bir dəfə, mürəkkəb funksiyalarda isə iki və ya daha çox “qablaşdırılır”. Üstəlik, sadə funksiyaların hər hansı birləşməsi (yəni onların cəmi, fərqi, vurma və ya bölmə) həm də sadə funksiyadır. Məsələn, \(x^7\) sadə funksiyadır və \(ctg x\). Beləliklə, onların bütün birləşmələri sadə funksiyalardır:

\(x^7+ ctg x\) - sadə,
\(x^7 ctg x\) sadədir,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) sadədir və s.

Bununla belə, belə birləşməyə daha bir funksiya tətbiq edilərsə, o, artıq mürəkkəb funksiya olacaq, çünki iki “paket” olacaq. Diaqrama baxın:

Yaxşı, indi bununla davam edək. "Qablaşdırma" funksiyalarının ardıcıllığını yazın:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Cavablar yenə məqalənin sonundadır.

Daxili və xarici funksiyalar

Funksiya yuvasını niyə başa düşməliyik? Bu bizə nə verir? Məsələ burasındadır ki, belə təhlil olmadan biz yuxarıda müzakirə olunan funksiyaların törəmələrini etibarlı şəkildə tapa bilməyəcəyik.

Və davam etmək üçün bizə daha iki anlayış lazım olacaq: daxili və xarici funksiyalar. Bu, çox sadə bir şeydir, üstəlik, əslində, biz onları yuxarıda təhlil etmişik: bənzətməmizi əvvəldən xatırlasaq, daxili funksiya “paket”, xarici funksiya isə “qutu”dur. Bunlar. X-in əvvəlcə “büküldüyü” daxili funksiyadır, daxilinin isə “büküldüyü” artıq xaricidir. Yaxşı, niyə başa düşüləndir - kənardadır, xarici deməkdir.

Bu nümunədə: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), \(\log_2⁡x\) funksiyası daxilidir və
- xarici.

Və burada: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) daxilidir və
- xarici.

Mürəkkəb funksiyaların təhlilinin son təcrübəsini yerinə yetirin və nəhayət, hər şeyin başladığı nöqtəyə keçək - mürəkkəb funksiyaların törəmələrini tapacağıq:

Cədvəldəki boşluqları doldurun:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Bravo, biz hələ də bu mövzunun "bos"una - əslində mürəkkəb funksiyanın törəməsinə və konkret olaraq məqalənin əvvəlindən o çox dəhşətli düstura çatdıq.☺

\((f(g(x))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Bu formula belə oxunur:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi xarici funksiyanın daimi daxili funksiyaya görə törəməsi ilə daxili funksiyanın törəməsinin hasilinə bərabərdir.

Və nə ilə əlaqəli olduğunu anlamaq üçün dərhal "sözlərlə" təhlil sxeminə baxın:

Ümid edirəm ki, "törəmə" və "məhsul" terminləri çətinlik yaratmaz. "Kompleks funksiya" - biz artıq sökdük. Tutma “daxili sabitə münasibətdə xarici funksiyanın törəməsi”ndədir. Bu nədir?

Cavab: bu, xarici funksiyanın adi törəməsidir, burada yalnız xarici funksiya dəyişir, daxili isə dəyişməz qalır. Hələ də aydın deyil? Yaxşı, bir nümunə götürək.

Tutaq ki, \(y=\sin⁡(x^3)\) funksiyamız var. Aydındır ki, burada daxili funksiya \(x^3\), xarici funksiyadır
. İndi xaricinin daimi daxili ilə bağlı törəməsini tapaq.

Əgər a g(x) və f(u) nöqtələrdə müvafiq olaraq onların arqumentlərinin diferensiallana bilən funksiyalarıdır x və u= g(x), onda kompleks funksiya da nöqtədə diferensiallaşır x və düsturla tapılır

Törəmələrlə bağlı məsələlərin həllində tipik səhv sadə funksiyaların mürəkkəb funksiyalara diferensiallaşdırılması qaydalarının avtomatik ötürülməsidir. Bu səhvdən qaçmağı öyrənəcəyik.

Misal 2 Funksiyanın törəməsini tapın

Səhv həll: Mötərizədə hər bir terminin natural loqarifmini hesablayın və törəmələrin cəmini tapın:

Düzgün həll: yenə də “alma”nın, “qiymənin” harada olduğunu müəyyən edirik. Burada mötərizədəki ifadənin natural loqarifmi “alma”, yəni ara arqumentdəki funksiyadır. u, və mötərizədə ifadə "qiymə", yəni ara arqumentdir u müstəqil dəyişən ilə x.

Sonra (törəmələr cədvəlindən 14-cü düsturdan istifadə etməklə)

Bir çox real məsələlərdə loqarifmlə ifadə bir qədər mürəkkəbdir, buna görə də dərs var.

Misal 3 Funksiyanın törəməsini tapın

Səhv həll:

Düzgün həll. Bir daha müəyyən edirik ki, “alma” harada, “qiymə” haradadır. Burada mötərizədə ifadənin kosinusu (törəmələr cədvəlində düstur 7) "alma"dır, o, yalnız ona təsir edən 1-ci rejimdə hazırlanır və mötərizədə olan ifadə (dərəcənin törəməsi - 3 nömrəli) törəmələr cədvəli) "qiymə ətdir", 2-ci rejimdə bişirilir, yalnız ona təsir edir. Həmişə olduğu kimi, iki törəməni məhsul işarəsi ilə birləşdiririk. Nəticə:

Mürəkkəb loqarifmik funksiyanın törəməsi testlərdə tez-tez rast gəlinən tapşırıqdır, ona görə də “Loqarifmik funksiyanın törəməsi” dərsinə baş çəkməyinizi şiddətlə tövsiyə edirik.

İlk nümunələr müstəqil dəyişən üzərində ara arqumentin sadə funksiya olduğu mürəkkəb funksiyalar üçün idi. Lakin praktiki tapşırıqlarda çox vaxt mürəkkəb funksiyanın törəməsini tapmaq tələb olunur, burada aralıq arqument ya özü mürəkkəb funksiyadır, ya da belə funksiyanı ehtiva edir. Belə hallarda nə etməli? Cədvəllərdən və diferensiasiya qaydalarından istifadə edərək belə funksiyaların törəmələrini tapın. Aralıq arqumentin törəməsi tapıldıqda, o, sadəcə olaraq düsturda düzgün yerdə əvəz olunur. Aşağıda bunun necə edildiyinə dair iki nümunə verilmişdir.

Bundan əlavə, aşağıdakıları bilmək faydalıdır. Mürəkkəb bir funksiyanı üç funksiya zənciri kimi təqdim etmək olarsa

onda onun törəməsi bu funksiyaların hər birinin törəmələrinin hasili kimi tapılmalıdır:

Ev tapşırığınızın bir çoxu sizdən dərslikləri yeni pəncərələrdə açmağınızı tələb edə bilər. Gücləri və kökləri olan hərəkətlər və Kəsrlərlə hərəkətlər .

Misal 4 Funksiyanın törəməsini tapın

Törəmələrin nəticə məhsulunda müstəqil dəyişənə münasibətdə aralıq arqumentin olduğunu unutmadan mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq edirik. x dəyişmir:

Məhsulun ikinci amilini hazırlayırıq və cəmini fərqləndirmək qaydasını tətbiq edirik:

İkinci termin kökdür, yəni

Beləliklə, cəmi olan ara arqumentin terminlərdən biri kimi mürəkkəb funksiya ehtiva etdiyi alındı: eksponentasiya mürəkkəb funksiyadır, gücə qaldırılan isə müstəqil dəyişən tərəfindən ara arqumentdir. x.

Buna görə də, yenidən mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasını tətbiq edirik:

Birinci amilin dərəcəsini kökə çeviririk və ikinci amili fərqləndirərək, sabitin törəməsinin sıfıra bərabər olduğunu unutmuruq:

İndi biz məsələnin şərtində tələb olunan kompleks funksiyanın törəməsini hesablamaq üçün lazım olan ara arqumentin törəməsini tapa bilərik. y:

Misal 5 Funksiyanın törəməsini tapın

Əvvəlcə cəminin diferensiallaşdırılması qaydasından istifadə edirik:

İki mürəkkəb funksiyanın törəmələrinin cəmini alın. Birincisini tapın:

Burada sinusun gücə yüksəldilməsi mürəkkəb bir funksiyadır və sinusun özü müstəqil dəyişəndə ​​ara arqumentdir. x. Buna görə də, mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasından istifadə edirik çarpanı mötərizədən çıxarmaq :

İndi funksiyanın törəməsini təşkil edənlərdən ikinci termini tapırıq y:

Burada kosinusu bir gücə yüksəltmək mürəkkəb bir funksiyadır f, və kosinusun özü müstəqil dəyişənə münasibətdə ara arqumentdir x. Yenə də mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasından istifadə edirik:

Nəticə tələb olunan törəmədir:

Bəzi mürəkkəb funksiyaların törəmələri cədvəli

Mürəkkəb funksiyalar üçün mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasına əsaslanaraq, sadə funksiyanın törəməsinin düsturu fərqli forma alır.

1. Mürəkkəb güc funksiyasının törəməsi, burada u x
2. İfadə kökünün törəməsi
3. Eksponensial funksiyanın törəməsi
4. Eksponensial funksiyanın xüsusi halı
5. İxtiyari müsbət əsaslı loqarifmik funksiyanın törəməsi a
6. Mürəkkəb loqarifmik funksiyanın törəməsi, burada u arqumentin diferensiallana bilən funksiyasıdır x
7. Sinus törəməsi
8. Kosinus törəməsi
9. Tangens törəməsi
10. Kotangensin törəməsi
11. Arksinusun törəməsi
12. Qövs kosinusunun törəməsi
13. Qövs tangensinin törəməsi
14. Tərs tangensin törəməsi

Bu dərsdə necə tapacağımızı öyrənəcəyik mürəkkəb funksiyanın törəməsi. Dərs dərsin məntiqi davamıdır Törəməni necə tapmaq olar?, bunun üzərində ən sadə törəmələri təhlil etdik, həmçinin diferensiallaşdırma qaydaları və törəmələrin tapılmasının bəzi texniki üsulları ilə tanış olduq. Beləliklə, əgər siz funksiyaların törəmələri ilə çox yaxşı deyilsinizsə və ya bu məqalənin bəzi məqamları tam aydın deyilsə, əvvəlcə yuxarıdakı dərsi oxuyun. Zəhmət olmasa ciddi əhval-ruhiyyəyə uyğunlaşın - material asan deyil, amma yenə də onu sadə və aydın şəkildə təqdim etməyə çalışacağam.

Təcrübədə mürəkkəb funksiyanın törəməsi ilə çox tez-tez məşğul olmalısan, hətta demək olar ki, həmişə deyərdim ki, sənə törəmələri tapmaq üçün tapşırıqlar veriləndə.

Mürəkkəb funksiyanı diferensiallaşdırmaq üçün qaydada (№ 5) cədvələ baxırıq:

Biz başa düşürük. İlk öncə nota nəzər salaq. Burada iki funksiyamız var - və , və funksiya, məcazi mənada desək, funksiyada yuvalanıb. Bu cür funksiyaya (bir funksiya digərinin içində yerləşdikdə) mürəkkəb funksiya adlanır.

Funksiyanı çağıracağam xarici funksiya, və funksiyası – daxili (və ya iç-içə) funksiya.

! Bu təriflər nəzəri deyil və tapşırıqların yekun tərtibatında əks olunmamalıdır. Mən “xarici funksiya”, “daxili” funksiya kimi qeyri-rəsmi ifadələrdən yalnız materialı başa düşməyinizi asanlaşdırmaq üçün istifadə edirəm.

Vəziyyəti aydınlaşdırmaq üçün düşünün:

Misal 1

Funksiyanın törəməsini tapın

Sinusun altında bizdə təkcə "x" hərfi deyil, bütün ifadə var, ona görə də dərhal cədvəldən törəməni tapmaq işləməyəcək. Onu da görürük ki, burada ilk dörd qaydanı tətbiq etmək qeyri-mümkündür, görünür, fərq var, amma fakt budur ki, sinusunu “parçalamaq” mümkün deyil:

Bu misalda, artıq mənim izahatlarımdan intuitiv olaraq aydın olur ki, funksiya mürəkkəb funksiyadır, çoxhədli isə daxili funksiya (yerləşdirmə) və xarici funksiyadır.

İlk addım, mürəkkəb funksiyanın törəməsi tapılarkən yerinə yetirilməli olan to hansı funksiyanın daxili, hansının xarici olduğunu anlayın.

Sadə misallarda polinomun sinusun altında yerləşdiyi aydın görünür. Bəs aydın deyilsə? Hansı funksiyanın xarici, hansının daxili olduğunu dəqiq necə müəyyən etmək olar? Bunu etmək üçün zehni olaraq və ya qaralama üzərində həyata keçirilə bilən aşağıdakı texnikadan istifadə etməyi təklif edirəm.

Təsəvvür edək ki, ifadənin dəyərini kalkulyatorla hesablamalıyıq (bir əvəzinə istənilən rəqəm ola bilər).

Əvvəlcə nəyi hesablayırıq? İlk növbədə aşağıdakı hərəkəti yerinə yetirməli olacaqsınız: , beləliklə, polinom daxili funksiya olacaq:

İkincisi tapmaq lazımdır, buna görə də sinus - xarici funksiya olacaq:

Bizdən sonra ANLAYIN Daxili və xarici funksiyalarla mürəkkəb funksiyaların fərqləndirmə qaydasını tətbiq etməyin vaxtı gəldi.

Qərar verməyə başlayırıq. Dərsdən Törəməni necə tapmaq olar? hər hansı bir törəmənin həllinin dizaynının həmişə belə başladığını xatırlayırıq - ifadəni mötərizələrə daxil edirik və yuxarı sağda bir vuruş qoyuruq:

Əvvəlcə xarici funksiyanın (sinus) törəməsini tapırıq, elementar funksiyaların törəmələri cədvəlinə baxırıq və qeyd edirik ki, . Bütün cədvəl düsturları hətta "x" mürəkkəb ifadə ilə əvəz edilsə belə tətbiq olunur, bu halda:

Qeyd edək ki, daxili funksiya dəyişməyib, toxunmuruq.

Bax, bu, tamamilə aydındır

Düsturun tətbiqinin son nəticəsi belə görünür:

Sabit amil adətən ifadənin əvvəlində yerləşdirilir:

Hər hansı bir anlaşılmazlıq olarsa, qərarı kağıza yazın və izahatları yenidən oxuyun.

Misal 2

Funksiyanın törəməsini tapın

Misal 3

Funksiyanın törəməsini tapın

Həmişə olduğu kimi yazırıq:

Xarici funksiyanın harada olduğunu və daxili funksiyanın harada olduğunu anlayırıq. Bunun üçün biz (zehni və ya qaralama üzərində) üçün ifadənin dəyərini hesablamağa çalışırıq. Əvvəlcə nə etmək lazımdır? Hər şeydən əvvəl, bazanın nəyə bərabər olduğunu hesablamalısınız:, yəni polinom daxili funksiyadır:

Və yalnız bundan sonra eksponentasiya həyata keçirilir, buna görə də güc funksiyası xarici funksiyadır:

Formula görə əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini, bu halda dərəcəsini tapmaq lazımdır. Cədvəldə istədiyiniz düsturu axtarırıq:. Bir daha təkrar edirik: istənilən cədvəl formul təkcə “x” üçün deyil, həm də mürəkkəb ifadə üçün etibarlıdır. Beləliklə, mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasının tətbiqinin nəticəsi aşağıdakı kimi olur:

Bir daha vurğulayıram ki, xarici funksiyanın törəməsini götürəndə daxili funksiya dəyişmir:

İndi daxili funksiyanın çox sadə törəməsini tapmaq və nəticəni bir az "daraqlamaq" qalır:

Misal 4

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

Mürəkkəb bir funksiyanın törəməsi haqqında anlayışı möhkəmləndirmək üçün şərhsiz bir nümunə verəcəyəm, bunu özünüz anlamağa çalışın, səbəb, xarici və daxili funksiya haradadır, niyə vəzifələr bu şəkildə həll olunur?

Misal 5

a) Funksiyanın törəməsini tapın

b) funksiyanın törəməsini tapın

Misal 6

Funksiyanın törəməsini tapın

Burada kökümüz var və kökü fərqləndirmək üçün o, dərəcə kimi göstərilməlidir. Beləliklə, diferensiallaşma üçün əvvəlcə funksiyanı düzgün formaya gətiririk:

Funksiyanı təhlil edərək belə nəticəyə gəlirik ki, üç həddin cəmi daxili funksiya, eksponentasiya isə xarici funksiyadır. Mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq edirik:

Dərəcə yenidən radikal (kök) kimi təmsil olunur və daxili funksiyanın törəməsi üçün cəmini fərqləndirmək üçün sadə bir qayda tətbiq edirik:

Hazır. Siz həmçinin ifadəni mötərizədə ortaq məxrəcə gətirə və hər şeyi bir kəsr kimi yaza bilərsiniz. Bu, əlbəttə ki, gözəldir, lakin çətin uzun törəmələr əldə edildikdə, bunu etməmək daha yaxşıdır (çaşmaq, lazımsız səhv etmək asandır və müəllimin yoxlaması əlverişsiz olacaq).

Misal 7

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

Maraqlıdır ki, bəzən mürəkkəb funksiyanı diferensiasiya etmək qaydası əvəzinə, bölməni fərqləndirmək qaydasından istifadə etmək olar. , lakin belə bir həll komik bir pozğunluq kimi görünür. Budur tipik bir nümunə:

Misal 8

Funksiyanın törəməsini tapın

Burada əmsalın fərqləndirmə qaydasından istifadə edə bilərsiniz , lakin törəməni mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırma qaydası ilə tapmaq daha sərfəlidir:

Funksiyanı diferensiasiya üçün hazırlayırıq - törəmənin mənfi işarəsini çıxarırıq və kosinusu paylayıcıya qaldırırıq:

Kosinus daxili funksiyadır, eksponentasiya xarici funksiyadır.
Qaydamızdan istifadə edək:

Daxili funksiyanın törəməsini tapırıq, kosinusu geri qaytarırıq:

Hazır. Baxılan nümunədə işarələrdə çaşqınlıq yaratmamaq vacibdir. Yeri gəlmişkən, bunu qayda ilə həll etməyə çalışın , cavablar uyğun olmalıdır.

Misal 9

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

İndiyə qədər mürəkkəb bir funksiyada yalnız bir yuva qurduğumuz halları nəzərdən keçirdik. Praktik tapşırıqlarda siz tez-tez törəmələrə rast gələ bilərsiniz, burada yuva quran kuklalar kimi, biri digərinin içərisində, 3 və ya hətta 4-5 funksiya eyni anda yuvalanır.

Misal 10

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu funksiyanın əlavələrini başa düşürük. Eksperimental dəyərdən istifadə edərək ifadəni qiymətləndirməyə çalışırıq. Bir kalkulyatora necə güvənə bilərik?

Əvvəlcə tapmaq lazımdır, yəni arcsine ən dərin yuvadır:

Bu birlik qövsünün kvadratı alınmalıdır:

Və nəhayət, yeddini gücə qaldırırıq:

Yəni, bu nümunədə üç fərqli funksiya və iki yuva var, ən daxili funksiya arksinus, ən xarici funksiya isə eksponensial funksiyadır.

Qərar verməyə başlayırıq

Qaydaya görə, əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini götürməlisiniz. Törəmələr cədvəlinə baxırıq və eksponensial funksiyanın törəməsini tapırıq: Yeganə fərq ondadır ki, “x” əvəzinə kompleks ifadəmiz var ki, bu da bu düsturun etibarlılığını inkar etmir. Beləliklə, mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasının tətbiqinin nəticəsi aşağıdakı kimidir:

Çizgi altında yenə çətin bir funksiyamız var! Amma artıq daha asandır. Daxili funksiyanın arksinüs, xarici funksiyanın isə dərəcə olduğunu görmək asandır. Mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasına görə əvvəlcə dərəcənin törəməsini götürmək lazımdır.