x-in f funksiyası nə deməkdir. Funksiya nədir və onun xüsusiyyətləri. X oxu boyunca tərcümə

1) Funksiya əhatə dairəsi və funksiya diapazonu.

Funksiyanın əhatə dairəsi arqumentin bütün etibarlı dəyərlərinin məcmusudur x(dəyişən x) funksiyası üçün y = f(x) müəyyən edilmişdir. Funksiya diapazonu bütün real dəyərlərin məcmusudur y funksiyanın qəbul etdiyi.

İbtidai riyaziyyatda funksiyalar yalnız həqiqi ədədlər çoxluğunda öyrənilir.

2) Funksiya sıfırları.

Funksiyanın sıfırı, funksiyanın dəyərinin sıfıra bərabər olduğu arqumentin qiymətidir.

3) Funksiyanın işarə sabitliyinin intervalları.

Bir funksiyanın sabit işarəsinin intervalları, funksiyanın dəyərləri yalnız müsbət və ya yalnız mənfi olan arqument dəyərlərinin dəstləridir.

4) funksiyanın monotonluğu.

Artan funksiya (müəyyən intervalda) bu intervaldan arqumentin daha böyük dəyərinin funksiyanın daha böyük dəyərinə uyğun gələn funksiyadır.

Azalan funksiya (bəzi intervalda) - bu intervaldan arqumentin daha böyük qiymətinin funksiyanın daha kiçik dəyərinə uyğun gəldiyi funksiya.

5) Cüt (tək) funksiyalar.

Cüt funksiya hər hansı bir mənşəyə və hər hansı bir funksiyaya görə təyinetmə sahəsi simmetrik olan funksiyadır X tərif sahəsindən bərabərlik f(-x) = f(x). Cüt funksiyanın qrafiki y oxuna görə simmetrikdir.

Tək funksiya hər hansı bir mənbəyə və təyinat sahəsinə görə simmetrik olan funksiyadır X tərif sahəsindən bərabərlik f(-x) = - f(x). Tək funksiyanın qrafiki mənşəyinə görə simmetrikdir.

6) Məhdud və qeyri-məhdud funksiyalar.

|f(x)| olan müsbət M ədədi varsa, funksiya məhdud adlanır Bütün x dəyərləri üçün ≤ M. Əgər belə bir nömrə yoxdursa, funksiya qeyri-məhduddur.

7) funksiyanın dövriliyi.

f(x) funksiyası dövri xarakter daşıyır, əgər sıfırdan fərqli T ədədi varsa, funksiyanın oblastından istənilən x üçün f(x+T) = f(x). Bu ən kiçik ədədə funksiyanın dövrü deyilir. Bütün triqonometrik funksiyalar dövri xarakter daşıyır. (Triqonometrik düsturlar).

19. Əsas elementar funksiyalar, onların xassələri və qrafikləri. İqtisadiyyatda funksiyaların tətbiqi.

Əsas elementar funksiyalar. Onların xassələri və qrafikləri

1. Xətti funksiya.

Xətti funksiya formasının funksiyası adlanır, burada x dəyişən, b isə həqiqi ədədlərdir.

Nömrə a düz xəttin mailliyi adlanır, bu düz xəttin x oxunun müsbət istiqamətinə meyl bucağının tangensinə bərabərdir. Xətti funksiyanın qrafiki düz xəttdir. İki nöqtə ilə müəyyən edilir.

Xətti Funksiya Xüsusiyyətləri

1. Tərif sahəsi - bütün həqiqi ədədlərin çoxluğu: D (y) \u003d R

2. Qiymətlər çoxluğu bütün həqiqi ədədlərin çoxluğudur: E(y)=R

3. Funksiya və ya üçün sıfır qiymət alır.

4. Funksiya bütün tərif sahəsi üzrə artır (azalır).

5. Xətti funksiya bütün təyinetmə sahəsində davamlıdır, diferensiallanır və .

2. Kvadrat funksiya.

X-in dəyişən, a, b, c əmsallarının həqiqi ədədlər olduğu formanın funksiyası adlanır. kvadratik.

Funksiya y=f(x) x dəyişəninin hər bir etibarlı dəyəri y dəyişəninin vahid qiymətinə uyğun olduqda y dəyişəninin x dəyişənindən belə asılılığıdır.

Funksiya əhatə dairəsi D(f) x dəyişəninin bütün mümkün qiymətlərinin çoxluğudur.

Funksiya diapazonu E(f) y dəyişəninin bütün etibarlı dəyərlərinin çoxluğudur.

Funksiya Qrafiki y=f(x) koordinatları verilmiş funksional asılılığı ödəyən müstəvi nöqtələr çoxluğudur, yəni M (x; f(x)) formalı nöqtələr . Funksiya qrafiki müstəvidə olan xəttdir.

Əgər b=0 olarsa, onda funksiya y=kx formasını alacaq və çağırılacaq birbaşa mütənasiblik.

D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R

Xətti funksiyanın qrafiki düz xəttdir.

y=kx+b düz xəttinin k meyli aşağıdakı düsturla hesablanır:

k= tg \alpha , burada \alpha düz xəttin Ox oxunun müsbət istiqamətinə meyl bucağıdır.

1) k > 0 üçün funksiya monoton şəkildə artır.

Məsələn: y=x+1

2) Funksiya k kimi monoton şəkildə azalır< 0 .

Məsələn: y=-x+1

3) Əgər k=0 olarsa, onda b ixtiyari qiymətlər verilsə, Ox oxuna paralel düz xətlər ailəsi alarıq.

Məsələn: y=-1

Tərs mütənasiblik

Tərs mütənasiblik formanın funksiyası adlanır y=\frac (k)(x), burada k sıfırdan fərqli real ədəddir

D(f) : x \in \sol \( R/x \neq 0 \sağ \); \: E(f) : y \in \sol \(R/y \neq 0 \sağ \).

Funksiya Qrafiki y=\frac (k)(x) hiperboladır.

1) Əgər k > 0 olarsa, onda funksiyanın qrafiki koordinat müstəvisinin birinci və üçüncü rübündə yerləşəcəkdir.

Misal üçün: y=\frac(1)(x)

2) Əgər k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Misal üçün: y=-\frac(1)(x)

Güc funksiyası

Güc funksiyası y=x^n formasının funksiyasıdır, burada n sıfırdan fərqli real ədəddir

1) Əgər n=2 , onda y=x^2 . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in; T=2 \pi funksiyasının əsas dövrü

Bəzi alimlərin fikrincə, qrafiklərin əsas məqsədi onların evristik fəaliyyətlər üçün əhəmiyyətidir - nəzəriyyənin təqdimatı üçün illüstrasiyalar və hər şeydən əvvəl funksiyaların müxtəlif xassələri arasındakı əlaqələri sübut etmək və ya təkzib etmək üçün misalların və əks nümunələrin göstərilməsi, yəni. “ikidilli” təfəkkür standartının tələblərinə uyğun işlənmiş riyazi ikidilliliyin istifadəsi.

Loqarifmik funksiya geniş tətbiq tapmışdır astronomiyada : Məsələn, ulduzların parlaqlığı onun boyu dəyişir, əgər gözlə və alətlərin köməyi ilə qeyd olunan parlaqlığın xüsusiyyətlərini müqayisə etsək, onda aşağıdakı qrafiki tərtib edə bilərik: Burada şaquli ox boyunca biz qrafiki tərtib edirik. Hipparx vahidlərində ulduzların parlaqlığı (ulduzların subyektiv xüsusiyyətlərinə görə (gözlə) 6 qrupa bölünməsi) və üfüqi - alət oxunuşlarında. Qrafik göstərir ki, obyektiv və subyektiv xüsusiyyətlər mütənasib deyil və cihaz parlaqlığın eyni miqdarda deyil, 2,5 dəfə artımını qeyd edir. Bu asılılıq loqarifmik funksiya ilə ifadə edilir.

Onların necə qurulduğunu düşünün.

Təyyarədə düzbucaqlı bir koordinat sistemi seçirik və arqumentin dəyərlərini absis oxuna çəkirik. X, və y oxunda - funksiyanın dəyərləri y = f(x) .

Funksiya Qrafiki y = f(x) bütün nöqtələrin çoxluğu çağırılır, bunun üçün absislər funksiyanın təyinat sahəsinə aiddir və ordinatlar funksiyanın müvafiq qiymətlərinə bərabərdir.

Başqa sözlə, y \u003d f (x) funksiyasının qrafiki müstəvidəki bütün nöqtələrin, koordinatların dəstidir. X, saat münasibəti təmin edən y = f(x) .

Əncirdə. 45 və 46 funksiyaların qrafikləridir y = 2x + 1 və y \u003d x 2 - 2x .

Düzünü desək, bir funksiyanın qrafiki (dəqiq riyazi tərifi yuxarıda verilmişdir) ilə həmişə qrafikin yalnız az və ya çox dəqiq eskizini verən (və hətta bir qayda olaraq) çəkilmiş əyri arasında fərq qoymaq lazımdır. bütün qrafikin deyil, yalnız müstəvinin son hissələrində yerləşən hissəsinin). Bununla belə, bundan sonra biz adətən "diaqram eskizinə" deyil, "diaqrama" istinad edəcəyik.

Qrafikdən istifadə edərək, bir nöqtədə funksiyanın dəyərini tapa bilərsiniz. Məhz, əgər nöqtə x = a funksiyasının əhatə dairəsinə aiddir y = f(x), sonra nömrəni tapmaq üçün f(a)(yəni nöqtədəki funksiya dəyərləri x = a) belə etməlidir. Bir absis ilə bir nöqtə vasitəsilə lazımdır x = a y oxuna paralel düz xətt çəkmək; bu xətt funksiyanın qrafiki ilə kəsişir y = f(x) bir nöqtədə; bu nöqtənin ordinatı qrafikin tərifinə görə bərabər olacaqdır f(a)(Şəkil 47).

Məsələn, funksiya üçün f (x) \u003d x 2 - 2x qrafikdən (şəkil 46) istifadə edərək f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 və s.

Funksiya qrafiki funksiyanın davranışını və xassələrini əyani şəkildə göstərir. Məsələn, Şəklin nəzərdən keçirilməsindən. 46 funksiyası olduğu aydındır y \u003d x 2 - 2x zaman müsbət dəyərlər alır X< 0 və at x > 2, mənfi - 0-da< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x qəbul edir x = 1 .

Funksiyanı çəkmək üçün f(x) təyyarənin bütün nöqtələrini, koordinatlarını tapmaq lazımdır X , saat tənliyi təmin edən y = f(x). Əksər hallarda bu mümkün deyil, çünki belə məqamlar sonsuzdur. Buna görə də, funksiyanın qrafiki təxminən təsvir edilmişdir - daha çox və ya daha az dəqiqliklə. Ən sadəsi çox nöqtəli planlama üsuludur. Bu, arqumentin olmasından ibarətdir X sonlu sayda dəyərlər verin - deyək ki, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k və funksiyanın seçilmiş qiymətlərini ehtiva edən cədvəl yaradın.

Cədvəl belə görünür:

x	x 1	x2	x 3	...	x k
y	f(x1)	f(x2)	f(x3)	...	f(xk)

Belə bir cədvəl tərtib edərək, funksiyanın qrafikində bir neçə nöqtəni qeyd edə bilərik y = f(x). Sonra bu nöqtələri hamar bir xətt ilə birləşdirərək, funksiyanın qrafikinin təxmini görünüşünü alırıq y = f(x).

Bununla belə, qeyd etmək lazımdır ki, çox nöqtəli qrafik metodu çox etibarsızdır. Əslində, qrafikin işarələnmiş nöqtələr arasındakı davranışı və alınan ekstremal nöqtələr arasındakı seqmentdən kənar davranışı naməlum olaraq qalır.

Misal 1. Funksiyanı çəkmək üçün y = f(x) kimsə arqument və funksiya dəyərləri cədvəlini tərtib etdi:

x	-2	-1	0	1	2
y	-1	0	1	2	3

Müvafiq beş nöqtə Şəkildə göstərilmişdir. 48.

Bu nöqtələrin yerləşdiyi yerə əsaslanaraq o, belə nəticəyə gəldi ki, funksiyanın qrafiki düz xəttdir (şəkil 48-də nöqtəli xəttlə göstərilmişdir). Bu qənaəti etibarlı hesab etmək olarmı? Bu qənaəti dəstəkləmək üçün əlavə mülahizələr olmasa, onu etibarlı hesab etmək çətin ki. etibarlı.

Təsdiqimizi əsaslandırmaq üçün funksiyanı nəzərdən keçirək

Hesablamalar göstərir ki, bu funksiyanın -2, -1, 0, 1, 2 nöqtələrindəki dəyərləri yuxarıdakı cədvəldə təsvir edilmişdir. Lakin bu funksiyanın qrafiki heç də düz xətt deyil (şəkil 49-da göstərilmişdir). Başqa bir nümunə funksiyadır y = x + l + sinx; onun mənaları da yuxarıdakı cədvəldə təsvir edilmişdir.

Bu misallar göstərir ki, onun “saf” formasında çoxnöqtəli planlar metodu etibarsızdır. Beləliklə, verilmiş funksiyanın qrafikini çəkmək üçün, adətən aşağıdakı kimi davam edin. Əvvəlcə bu funksiyanın xassələri öyrənilir, onun köməyi ilə qrafikin eskizini qurmaq mümkündür. Sonra funksiyanın qiymətlərini bir neçə nöqtədə hesablayaraq (seçimi funksiyanın təyin olunmuş xassələrindən asılıdır) qrafikin uyğun nöqtələri tapılır. Və nəhayət, bu funksiyanın xassələrindən istifadə edərək qurulmuş nöqtələr vasitəsilə əyri çəkilir.

Qrafikin eskizini tapmaq üçün istifadə edilən funksiyaların bəzi (ən sadə və tez-tez istifadə olunan) xassələrini daha sonra nəzərdən keçirəcəyik, lakin indi biz qrafiklərin tərtibi üçün bəzi tez-tez istifadə olunan üsulları təhlil edəcəyik.

y = | funksiyasının qrafiki f(x) |.

Çox vaxt funksiyanın qrafikini çəkmək lazımdır y = |f(x)|, harada f(x) - verilmiş funksiya. Bunun necə edildiyini xatırlayın. Ədədin mütləq dəyərinin tərifi ilə yazmaq olar

Bu o deməkdir ki, funksiyanın qrafiki y= | f(x) | qrafikdən, funksiyalardan əldə etmək olar y = f(x) aşağıdakı kimi: funksiyanın qrafikinin bütün nöqtələri y = f(x) ordinatları mənfi olmayan , dəyişməz qalmalıdır; daha sonra, funksiyanın qrafikinin nöqtələri əvəzinə y = f(x), mənfi koordinatları olan funksiyanın qrafikinin müvafiq nöqtələrini qurmaq lazımdır y = -f(x)(yəni funksiya qrafikinin bir hissəsi
y = f(x), oxun altında yerləşir X, ox ətrafında simmetrik şəkildə əks olunmalıdır X).

Misal 2 Funksiya qrafası y = |x|.

Funksiyanın qrafikini götürürük y = x(Şəkil 50, a) və bu qrafikin bir hissəsi ilə X< 0 (oxun altında uzanır X) ox ətrafında simmetrik əks olunur X. Nəticədə funksiyanın qrafikini alırıq y = |x|(Şəkil 50, b).

Misal 3. Funksiya qrafası y = |x 2 - 2x|.

Əvvəlcə funksiyanın qrafikini çəkirik y = x 2 - 2x. Bu funksiyanın qrafiki paraboladır, budaqları yuxarıya doğru yönəldilir, parabolanın yuxarı hissəsi koordinatlara malikdir (1; -1), onun qrafiki absis oxunu 0 və 2 nöqtələrində kəsir. (0; 2) intervalında ) funksiya mənfi qiymətlər alır, ona görə də qrafikin bu hissəsi x oxuna simmetrik olaraq əks olunur. Şəkil 51-də funksiyanın qrafiki göstərilir y \u003d |x 2 -2x |, funksiyanın qrafiki əsasında y \u003d x 2 - 2x

y = f(x) + g(x) funksiyasının qrafiki

Funksiyanın qrafikini tərtib etmək problemini nəzərdən keçirək y = f(x) + g(x). funksiyaların qrafikləri verilmişdirsə y = f(x) və y = g(x) .

Qeyd edək ki, y = |f(x) + g(х)| funksiyasının oblastı hər iki y = f(x) və y = g(x) funksiyalarının təyin olunduğu x-in bütün qiymətlərinin çoxluğudur, yəni bu tərif sahəsi tərif sahələrinin, f(x) funksiyalarının kəsişməsidir. ) və g(x).

Qoy xallar (x 0, y 1) və (x 0, y 2) müvafiq olaraq funksiya qrafiklərinə aiddir y = f(x) və y = g(x), yəni y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Onda (x0;. y1 + y2) nöqtəsi funksiyanın qrafikinə aiddir y = f(x) + g(x)(üçün f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. və funksiyanın qrafikinin istənilən nöqtəsi y = f(x) + g(x) bu yolla əldə etmək olar. Beləliklə, funksiyanın qrafiki y = f(x) + g(x) funksiya qrafiklərindən əldə etmək olar y = f(x). və y = g(x) hər bir nöqtəni əvəz etməklə ( x n, y 1) funksional qrafika y = f(x) nöqtə (x n, y 1 + y 2), harada y 2 = g(x n), yəni hər bir nöqtəni dəyişdirərək ( x n, y 1) funksiya qrafiki y = f(x) ox boyunca saat məbləğinə görə y 1 \u003d g (x n). Bu halda yalnız belə məqamlar nəzərə alınır. X hər iki funksiyanın müəyyən edildiyi n y = f(x) və y = g(x) .

Funksiya qrafikinin qurulmasının bu üsulu y = f(x) + g(x) funksiyaların qrafiklərinin toplanması adlanır y = f(x) və y = g(x)

Misal 4. Şəkildə, qrafiklərin əlavə edilməsi üsulu ilə funksiyanın qrafiki qurulur
y = x + sinx .

Bir funksiyanın qrafikini qurarkən y = x + sinx biz bunu güman etdik f(x) = x, a g(x) = sinx. Funksiya qrafikini qurmaq üçün absisləri -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5, , 1.5, 2 olan nöqtələri seçirik. Dəyərlər f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx seçilmiş nöqtələrdə hesablayacağıq və nəticələri cədvələ yerləşdirəcəyik.

x	-1,5	-	-0,5	0,5		1,5	2
f(x) = x	-1,5	-	-0,5	0,5		1,5	2
g(x) = sinx	1	0	-1	1	0	-1	0
y = x + sinx	1-1,5	-	-1-0,5	1+0,5		1+1,5	2

Alınan nəticələrə əsasən, hamar əyri ilə birləşdirəcəyimiz nöqtələri quracağıq ki, bu da funksiyanın qrafikinin eskizi olacaq. y = x + sinx .

Funksiya qrafiklərini yalnız əl ilə nöqtələr üzərində deyil, həm də müxtəlif proqramların (excel, maple), həmçinin Paskalda proqramlaşdırmanın köməyi ilə qurmaq olar. Paskal dilini öyrəndikdən sonra siz eyni vaxtda kompüter elmləri üzrə biliklərinizi təkmilləşdirəcəksiniz, həm də tez bir zamanda müxtəlif funksiyaların qrafiklərini qura biləcəksiniz. Paskalda funksiya nümunələri sizə dilin sintaksisini başa düşməyə və ilk qrafikləri özünüz qurmağa kömək edəcək.

Funksiyaların əsas xassələri.

1) Funksiya əhatə dairəsi və funksiya diapazonu .

Funksiyanın əhatə dairəsi arqumentin bütün etibarlı dəyərlərinin məcmusudur x(dəyişən x) funksiyası üçün y = f(x) müəyyən edilmişdir.
Funksiya diapazonu bütün real dəyərlərin məcmusudur y funksiyanın qəbul etdiyi.

İbtidai riyaziyyatda funksiyalar yalnız həqiqi ədədlər çoxluğunda öyrənilir.

2) Funksiya sıfırları .

Sıfır funksiyası, funksiyanın dəyərinin sıfıra bərabər olduğu arqumentin qiymətidir.

3) Funksiyanın işarə sabitliyinin intervalları .

Funksiya sabit işarəsi intervalları funksiya dəyərləri yalnız müsbət və ya yalnız mənfi olan arqument dəyərlərinin dəstləridir.

4) funksiyanın monotonluğu .

Artan funksiya (bəzi intervalda) - bu intervaldan arqumentin daha böyük dəyərinin funksiyanın daha böyük dəyərinə uyğun olduğu funksiya.

Azalan funksiya (bəzi intervalda) - bu intervaldan arqumentin daha böyük qiymətinin funksiyanın daha kiçik dəyərinə uyğun gəldiyi funksiya.

5) Cüt (tək) funksiyalar .

6) Məhdud və qeyri-məhdud funksiyalar .

|f(x)| olan müsbət M ədədi varsa, funksiya məhdud adlanır Bütün x dəyərləri üçün ≤ M. Əgər belə bir nömrə yoxdursa, funksiya qeyri-məhduddur.

7) funksiyanın dövriliyi .

Əgər nömrələr toplusu verilirsə X və yol f, hər bir dəyər üçün XЄ X yalnız bir rəqəmə uyğun gəlir saat. Sonra nəzərə alınır verilmiş funksiya y = f(X), hansı domen X(adətən istinad edilir D(f) = X). Bir dəstə Y bütün dəyərlər saat, bunun üçün ən azı bir dəyər var XЄ X, belə y = f(X), belə bir çoxluq deyilir dəyərlər toplusu funksiyaları f(ən çox istinad edilir E(f)= Y).

Və ya tək dəyişən asılılıq saat başqasından X, bunun üçün dəyişənin hər bir dəyəri X müəyyən dəstdən D dəyişənin vahid dəyərinə uyğun gəlir saat, adlanır funksiyası.

Dəyişən y-nin x-dən funksional asılılığı çox vaxt y-nin x-dən oxuduğu y(x) qeydi ilə vurğulanır.

domen funksiyaları saat(X), yəni onun arqumentinin dəyərlər toplusu X, simvolu ilə işarələnir D(y), y-dən de oxunur.

Dəyərlər diapazonu funksiyaları saat(X), yəni y funksiyasının qəbul etdiyi dəyərlər toplusu simvolla işarələnir. E(saat), Y-dən e oxuyan.

Funksiyanı təyin etməyin əsas yolları bunlardır:

a) analitik(düsturu istifadə edərək y = f(X)). Bu üsula funksiyanın tənliklər sistemi ilə verildiyi hallar da daxildir. Funksiya düsturla verilirsə, onun tərif sahəsi düsturun sağ tərəfində yazılmış ifadənin dəyərlərə malik olduğu arqumentin bütün qiymətləridir.

b) cədvəlli(müvafiq dəyərlər cədvəlindən istifadə etməklə X və saat). Bu şəkildə, temperatur rejimi və ya valyuta məzənnələri tez-tez müəyyən edilir, lakin bu üsul növbəti kimi aydın deyil;

in) qrafik(diaqramdan istifadə etməklə). Bu, funksiya təyin etməyin ən vizual üsullarından biridir, çünki dəyişikliklər qrafikə uyğun olaraq dərhal "oxunur". Əgər funksiyası saat(X) qrafiki, sonra onun təyinetmə sahəsi ilə verilir D(y) qrafikin x oxuna proyeksiyası və qiymət diapazonudur E(saat) - qrafikin y oxuna proyeksiyası (şəklə bax).

G) şifahi. Bu üsul tez-tez problemlərdə, daha doğrusu, onların şərtlərinin təsvirində istifadə olunur. Adətən bu üsul yuxarıda göstərilənlərdən biri ilə əvəz olunur.

Funksiyalar y = f(X), xЄ X, və y = g(X), xЄ X, adlandırılır eyni dərəcədə bərabərdir alt çoxluqda M ilə X hər biri üçün əgər x 0 Є Mədalətli bərabərlik f(X 0) = g(X 0).

Funksiya Qrafiki y = f(X) belə nöqtələr toplusu kimi təmsil oluna bilər ( X; f(X)) koordinat müstəvisində, burada X ixtiyari dəyişəndir, -dən D(f). Əgər a f(X 0) = 0, burada X 0 sonra koordinatları olan nöqtə ( x 0; 0) funksiyanın qrafikinin olduğu nöqtədir y = f(X) O oxu ilə kəsişir x. Əgər 0Є D(f), sonra nöqtə (0; f(0)) funksiyanın qrafikinin olduğu nöqtədir saat = f(x) O oxu ilə kəsişir saat.

Nömrə X 0-dan D(f) funksiyaları y = f(X) funksiyanın sıfırıdır, zaman f(X 0) = 0.

Boşluq M ilə D(f) Bu sabitlik intervalı funksiyaları y = f(X) əgər hər hansı bir ixtiyari üçün xЄ M sağ f(X) > 0 və ya ixtiyari üçün XЄ M sağ f(X) < 0.

var məişət texnikası, kəmiyyətlər arasında asılılıqların qrafiklərini çəkən. Bunlar baroqraflar - atmosfer təzyiqinin vaxtından asılılığını təyin etmək üçün cihazlar, termoqraflar - temperaturun zamandan asılılığını təyin etmək üçün cihazlar, kardioqraflar - ürəyin fəaliyyətinin qrafik qeydi üçün cihazlar. Termoqrafın barabanı var, bərabər şəkildə fırlanır. Nağara sarılmış kağıza yazıcı toxunur, temperaturdan asılı olaraq qalxıb enir və kağız üzərində müəyyən xətt çəkir.

Funksiyanın düsturla təsvirindən onun cədvəl və qrafikdə təsvirinə keçə bilərsiniz.

Riyaziyyatı öyrənərkən funksiyanın nə olduğunu, onun sahələrini və mənalarını başa düşmək çox vacibdir. Funksiyaların ifrata qədər öyrənilməsinin köməyi ilə cəbrin bir çox problemini həll etmək olar. Hətta həndəsədəki problemlər bəzən müstəvidə həndəsi fiqurların tənliklərini nəzərdən keçirməklə nəticələnir.

Paralel köçürmə.

Y oxu boyunca köçürmə

f(x) => f(x) - b
y \u003d f (x) - b funksiyasının qrafikini çəkmək tələb olunsun. Bu qrafikin ordinatlarının bütün x qiymətləri üçün |b|-də olduğunu görmək asandır b>0 və |b| üçün y = f(x) funksiyaları qrafikinin müvafiq ordinatlarından vahid kiçikdir. vahidlər daha çox - b-də 0 və ya yuxarıda b y + b = f(x) funksiyasının qrafikini çəkmək üçün y = f(x) funksiyasının qrafikini çəkin və x oxunu |b| b>0 üçün və ya |b| ilə artır b-də vahidlər

X OX BOYUNDA KÖÇÜR

f(x) => f(x + a)
y = f(x + a) funksiyasının qrafikini çəkmək tələb olunsun. y = f(x) funksiyasını nəzərdən keçirək, hansısa nöqtədə x = x1 y1 = f(x1) qiymətini alır. Aydındır ki, y = f(x + a) funksiyası x2 nöqtəsində eyni qiyməti alacaq, koordinatı x2 + a = x1 bərabərliyindən müəyyən edilir, yəni. x2 = x1 - a və nəzərdən keçirilən bərabərlik funksiya sahəsindən bütün dəyərlərin cəmi üçün etibarlıdır. Buna görə də y = f(x + a) funksiyasının qrafikini y = f(x) funksiyasının qrafikini x oxu boyunca |a| ilə paralel yerdəyişdirməklə almaq olar. a > 0 üçün olanlar və ya |a| ilə sağa a üçün vahidlər y = f(x + a) funksiyasının qrafikini çəkmək üçün y = f(x) funksiyasının qrafikini çəkin və y oxunu |a|-a köçürün. a>0 və ya |a| üçün sağa vahidlər a üçün sola vahidlər

Nümunələr:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Refleksiya.

GÖRÜNÜŞ FUNKSİYASININ QRƏFİ Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Aydındır ki, y = f(-x) və y = f(x) funksiyaları absisləri mütləq qiymətinə bərabər, işarəsi əksinə olan nöqtələrdə bərabər qiymətlər alır. Başqa sözlə, x-in müsbət (mənfi) qiymətləri bölgəsində y = f(-x) funksiyasının qrafikinin ordinatları y = f(x) funksiyasının qrafikinin ordinatlarına bərabər olacaqdır. mütləq dəyərə uyğun gələn mənfi (müsbət) x dəyərləri ilə. Beləliklə, aşağıdakı qaydanı alırıq.
y = f(-x) funksiyasının qrafikini çəkmək üçün y = f(x) funksiyasını çəkmək və onu y oxu boyunca əks etdirmək lazımdır. Alınan qrafik y = f(-x) funksiyasının qrafikidir.

GÖRÜNÜŞ FUNKSİYASININ QRƏFİ Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Arqumentin bütün qiymətləri üçün y = - f(x) funksiyasının qrafikinin ordinatları mütləq qiymətdə bərabərdir, lakin y = f(x) funksiyasının qrafikinin işarəsi ilə əksinədir. arqumentin eyni dəyərləri. Beləliklə, aşağıdakı qaydanı alırıq.
y = - f(x) funksiyasının qrafikini çəkmək üçün y = f(x) funksiyasını çəkmək və onu x oxu ətrafında əks etdirmək lazımdır.

Nümunələr:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformasiya.

QRAFIN Y oxu BOYUNDA DEFORMASYASI

f(x) => kf(x)
y = k f(x) formasının funksiyasını nəzərdən keçirək, burada k > 0. Arqumentin bərabər qiymətləri üçün bu funksiyanın qrafikinin ordinatlarının ordinatlarından k dəfə böyük olacağını görmək asandır. k > 1 üçün y = f(x) funksiyasının qrafiki və ya k ) üçün y = f(x) funksiyasının qrafikinin ordinatlarından 1/k dəfə az və ya k üçün ordinatlarını 1/k dəfə azaldın.
k > 1- Ox oxundan uzanan
0 - OX oxuna sıxılma

X OX BOYUNDA QRAF DEFORMASYASI

f(x) => f(kx)
y = f(kx) funksiyasının qrafikini çəkmək tələb olunsun, burada k>0. İxtiyari x = x1 nöqtəsində y1 = f(x1) qiymətini alan y = f(x) funksiyasını nəzərdən keçirək. Aydındır ki, y = f(kx) funksiyası x = x2 nöqtəsində eyni qiyməti alır, koordinatı x1 = kx2 bərabərliyi ilə müəyyən edilir və bu bərabərlik x-in bütün qiymətlərinin cəmi üçün etibarlıdır. funksiyanın domeni. Deməli, y = f(kx) funksiyasının qrafiki y = f(x) funksiyasının qrafikinə nisbətən absis oxu boyunca sıxılır (k 1 üçün). Beləliklə, qaydanı əldə edirik.
y = f(kx) funksiyasının qrafikini çəkmək üçün y = f(x) funksiyasını çəkmək və k>1 üçün onun absissasını k dəfə azaltmaq (absis boyunca qrafiki kiçilmək) və ya k üçün absissini 1/k dəfə artırmaq lazımdır.
k > 1- Oy oxuna sıxılma
0 - OY oxundan uzanan