Əyrixətti trapezoidin sahəsi üçün düstur. Müəyyən inteqral. Fiqurun sahəsini necə hesablamaq olar. Əyri sektorun sahəsinin tapılması

Tərif. Davamlı, işarəli sabit f(x) funksiyasının, absis oxunun və x=a, x=b düz xətlərinin qrafiki ilə məhdudlaşan fiqur əyrixətti trapesiya adlanır.

Əyrixətli trapezoidin sahəsini tapmaq yolları

teorem. Əgər f(x) intervalda davamlı və qeyri-mənfi funksiyadırsa, onda müvafiq əyrixətti trapezoidin sahəsi antitörəmələrin artımına bərabərdir.

Verilmişdir: f(x) - qeyri-müəyyən fasiləsiz. funksiyası, x0.

Sübut edin: S = F(b) - F(a), burada F(x) f(x)-in əks törəməsidir.

Sübut:

1) S(x) köməkçi funksiyasını nəzərdən keçirək. Biz hər bir xO-ya əyrixətti trapezoidin düz xəttin solunda yerləşən hissəsini təyin edirik (şəkil 2), bu absis ilə nöqtədən keçən və y oxuna paralel.

Beləliklə, S(a)=0 və S(b)=Str

Sübut edək ki, S(a) f(x)-in əks törəməsidir.

D(f) = D(S) =

S"(x0)= lim(S(x0+Dx) - S(x0) / Dx), Dx®0 üçün DS düzbucaqlıdır

Dx və f(x0) tərəfləri ilə Dx®0

S "(x0) \u003d lim (Dx f (x0) / Dx) \u003d lim f (x0) \u003d f (x0): x0 nöqtə olduğundan, S (x) -

Dx®0 Dx®0 antitörəmə f(x).

Deməli, əks törəmənin ümumi forması haqqında teoremlə S(x)=F(x)+C.

Çünki S(a)=0, onda S(a) = F(a)+C

S = S(b)=F(b)+C = F(b)-F(a)

bir). Seqmenti n bərabər hissəyə bölək. Ayırma addımı (Şəkil 3)

Dx=(b-a)/n. Bu halda Str=lim(f(x0)Dx+f(x1)Dx+...+f(xn))Dx=n®Ґ = lim Dx(f(x0)+f(x1)+...+ f (xn))

n®Ґ üçün alırıq ki, Str= Dx(f(x0)+f(x1)+...+f(xn))

Bu məbləğin həddi müəyyən inteqral adlanır.

Limit altında olan məbləğə inteqral cəmi deyilir.

Müəyyən inteqral n®Ґ kimi seqmentdəki inteqral cəminin həddidir. İnteqral cəmi bu intervalın istənilən nöqtəsində funksiyanın təyinat sahəsinin bölünməsi ilə alınan seqmentin uzunluğunun hasilləri cəminin həddi kimi alınır.

a - inteqrasiyanın aşağı həddi;

b - üst.

Nyuton-Leybnits düsturu.

Əyrixətti trapezoidin sahəsi üçün düsturları müqayisə edərək belə nəticəyə gəlirik:

əgər F b-nin əks törəməsidirsə, onda

f(x)dx = F(b)-F(a)

t f(x)dx = F(x) f = F(b) - F(a)

Müəyyən inteqralın xassələri.

t f(x)dx = t f(z)dz

t f(x)dx = F(a) - F(a) = 0

t f(x)dx = - t f(x)dx

t f(x)dx = F(a) - F(b) t f(x)dx = F(b) - F(a) = - (F(a) - F(b))

Əgər a, b və c fasiləsiz f(x) funksiyasının əks törəmə olduğu I intervalının istənilən nöqtəsidirsə, onda

t f(x)dx = t f(x)dx + t f(x)dx

F(b) - F(a) = F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)

(bu müəyyən inteqralın əlavə xüsusiyyətidir)

Əgər l və m sabitlərdirsə, onda

t (lf(x) +m j(x))dx = l t f(x)dx + m tj(x))dx -

Bu, müəyyən inteqralın xətti xüsusiyyətidir.

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = t f(x)dx+ t g(x)dx+...+ t h(x)dx

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) - (F(a) + G(a) +...+ H(a)) +C = F(b)-F(a)+C1 +G(b)-G(a)+C2+...+H(b)-H (a)+Cn=b b b = t f(x)dx+ t g(x)dx+...+ t h(x)dx

Standart şəkillər toplusu (şək. 4, 5, 6, 7, 8)

düyü. 4

düyü. 6 düyü. 7

Çünki f(x)<0, то формулу Ньютона-Лейбница составить нельзя, теорема верна только для f(x)і0.

Lazımdır: OX oxuna görə funksiyanın simmetriyasını nəzərə almaq. ABCD®A"B"CD b

S (ABCD) \u003d S (A "B" CD) \u003d t -f (x) dx

S= t f(x)dx = t g(x)dx

S = t(f(x)-g(x))dx+t(g(x)-f(x))dx

S= t (f(x)+m-g(x)-m)dx =

t (f(x)-g(x))dx

t ((f(x)-g(x))dx

S= t (f(x)+m-g(x)-m)dx =

T (f(x)- g(x))dx

Əgər f(x)іg(x) seqmentindədirsə, onda bu qrafiklər arasındakı sahə bərabərdir

t ((f(x)-g(x))dx

f(x) və g(x) funksiyaları ixtiyari və qeyri-mənfidir

S=t f(x)dx - t g(x)dx = t (f(x)-g(x))dx

$$ intervalı və $y=0, \ x=a$ və $x=b$ xətləri üzərində $f(x)$ davamlı qeyri-mənfi funksiyasının qrafiki ilə məhdudlaşan fiqur əyrixətti trapesiya adlanır.

Müvafiq əyrixətti trapezoidin sahəsi düsturla hesablanır:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Əyrixətti trapezoidin sahəsini tapmaq problemlərini şərti olaraq 4$-lıq növlərə ayıracağıq. Hər bir növü daha ətraflı nəzərdən keçirək.

Tip I: əyrixətli trapesiya açıq şəkildə verilir. Sonra dərhal (*) düsturu tətbiq edin.

Məsələn, $y=4-(x-2)^(2)$ funksiyasının qrafiki və $y=0, \ x=1$ və $x xətləri ilə məhdudlaşan əyrixətti trapezoidin sahəsini tapın. =3$.

Gəlin bu əyrixətti trapesiyanı çəkək.

(*) düsturu tətbiq edərək, bu əyri xətti trapezoidin sahəsini tapırıq.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\sağ|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\sol((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\sağ)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\sol((1)^(3)-(-1)^(3)\sağ) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (vahid$^(2)$).

II tip: əyrixətli trapesiya üstüörtülü şəkildə verilir. Bu halda $x=a, \ x=b$ düz xətləri adətən göstərilmir və ya qismən təyin olunur. Bu halda $y=f(x)$ və $y=0$ funksiyalarının kəsişmə nöqtələrini tapmaq lazımdır. Bu xallar $a$ və $b$ nöqtələri olacaq.

Məsələn, $y=1-x^(2)$ və $y=0$ funksiyalarının qrafikləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın.

Gəlin kəsişmə nöqtələrini tapaq. Bunun üçün funksiyaların düzgün hissələrini bərabərləşdiririk.

Beləliklə, $a=-1$ və $b=1$. Gəlin bu əyrixətti trapesiyanı çəkək.

Bu əyrixətti trapezoidin sahəsini tapın.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\sol(1-x^(2)\sağ)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limitlər_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \sol.\frac(x^(3))(3)\sağ|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\sağ)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (vahid$^(2)$).

III tip: iki davamlı qeyri-mənfi funksiyanın kəsişməsi ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsi. Bu rəqəm əyri xətti trapesiya olmayacaq, yəni (*) düsturundan istifadə edərək onun sahəsini hesablaya bilməzsiniz. Necə olmaq? Məlum olub ki, bu rəqəmin sahəsini yuxarı funksiya və $y=0$ ($S_(uf)$) və aşağı funksiya və $y= ilə məhdudlaşan əyrixətti trapezoidlərin sahələri arasındakı fərq kimi tapmaq olar. 0$ ($S_(lf)$), burada $x=a, \ x=b$ rolunu bu funksiyaların kəsişmə nöqtələrinin $x$ koordinatları oynayır, yəni.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Belə sahələri hesablayarkən ən vacib şey yuxarı və aşağı funksiyaların seçimi ilə "qaçırılmamaq"dır.

Məsələn, $y=x^(2)$ və $y=x+6$ funksiyaları ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın.

Bu qrafiklərin kəsişmə nöqtələrini tapaq:

Vyeta teoreminə görə,

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$

Yəni $a=-2, \ b=3$. Bir forma çəkək:

Beləliklə, yuxarı funksiya $y=x+6$, aşağı funksiya isə $y=x^(2)$-dır. Sonra (*) düsturu ilə $S_(uf)$ və $S_(lf)$ tapın.

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2) )^(3)(6dx)=\sol.\frac(x^(2))(2)\sağ|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5$ (vahid $^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\sol.\frac(x^(3))(3)\sağ|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (vahid$^(2)$).

(**) bəndində əvəz edin və əldə edin:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (vahid $^(2)$).

IV tip: qeyri-mənfilik şərtini təmin etməyən funksiya(lar)la məhdudlaşan fiqurun sahəsi. Belə bir fiqurun sahəsini tapmaq üçün $Ox$ oxuna simmetrik olmalısınız ( başqa sözlə, funksiyaların qarşısına "mənfilər" qoyun) ərazini göstərin və I - III növlərində təsvir olunan üsullardan istifadə edərək göstərilən sahənin sahəsini tapın. Bu sahə tələb olunan sahə olacaq. Əvvəlcə funksiya qrafiklərinin kəsişmə nöqtələrini tapmalı ola bilərsiniz.

Məsələn, $y=x^(2)-1$ və $y=0$ funksiyalarının qrafikləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın.

Funksiya qrafiklərinin kəsişmə nöqtələrini tapaq:

olanlar. $a=-1$ və $b=1$. Ərazini çəkək.

Ərazini simmetrik olaraq göstərək:

$y=0 \ \Sağ ox \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Sağ ox \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Siz $y=1-x^(2)$ və $y=0$ funksiyasının qrafiki ilə məhdudlaşan əyrixətti trapesiya alırsınız. Bu, ikinci tip əyri xətti trapesiya tapmaq problemidir. Artıq həll etdik. Cavab belə idi: $S= 1\frac(1)(3)$ (vahid $^(2)$). Beləliklə, istədiyiniz əyri xətti trapezoidin sahəsi bərabərdir:

$S=1\frac(1)(3)$ (vahid $^(2)$).

Bu terminin başqa mənaları da var, bax Trapezium (mənalar). Trapesiya (digər yunan τραπέζιον "masa"dan; ... Wikipedia

I Sahə həndəsi fiqurlarla əlaqəli əsas kəmiyyətlərdən biridir. Ən sadə hallarda, düz bir rəqəmi dolduran vahid kvadratların sayı ilə ölçülür, yəni tərəfi bir uzunluğa bərabər olan kvadratlar. Hesablama P.......

Qrafik konstruksiyalar vasitəsilə müxtəlif məsələlərin ədədi həllinin alınması üsulları. G. c. (qrafik vurma, tənliklərin qrafik həlli, qrafik inteqrasiya və s.) təkrarlanan və ya əvəz edən konstruksiyalar sistemini təmsil edir ... ... Böyük Sovet Ensiklopediyası

Sahə, həndəsi fiqurlarla əlaqəli əsas kəmiyyətlərdən biridir. Ən sadə hallarda, düz bir rəqəmi dolduran vahid kvadratların sayı ilə ölçülür, yəni tərəfi bir uzunluğa bərabər olan kvadratlar. P.-nin hesablanması artıq antik dövrdə idi ... ... Böyük Sovet Ensiklopediyası

Qrin teoremi qapalı kontur C üzərində olan əyrixətti inteqral ilə bu konturla məhdudlaşan D bölgəsi üzərindəki qoşa inteqral arasında əlaqə qurur. Əslində, bu teorem daha ümumi Stokes teoreminin xüsusi halıdır. Teorem ... Vikipediyada adlandırılmışdır

Bölmə 4.3 artıq qeyd olunub-nin müəyyən inteqralı ().

qeyri-mənfi funksiyanın = (), düz xətləri = , = və = 0 ilə məhdudlaşan əyri xətti trapezoidin sahəsinə ədədi olaraq bərabərdir.

Misal 4.24. Ox və sinusoid \u003d günah arasında olan fiqurun sahəsini hesablayın (şəkil 4.6).

Əgər fiqur əyrixətti trapesiya deyilsə, onda onun sahəsini əyrixətti trapesiya olan fiqurların sahələrinin cəmi və ya fərqi kimi təqdim etməyə çalışırlar. Xüsusilə, teorem doğrudur.

Teorem 4.13. Şəkil yuxarıdan və aşağıdan davamlı funksiyaların qrafikləri ilə məhdudlaşırsa = 1 (), = 2 () (mütləq mənfi deyil, (şəkil 4.7 ), onda onun sahəsi düsturla tapıla bilər

2 () − 1 () .

Misal 4.25. Əyri = 4 və düz xətlərlə = və = 4 ilə məhdudlaşan bir fiqurun sahəsini hesablayın.

I hissə. Nəzəriyyə

Fəsil 4. İnteqrasiya Nəzəriyyəsi 4.4. İnteqralın tətbiqləri. Yanlış inteqrallar

4.4.2. Əyri qövs uzunluğu

Əyri uzunluqlarının hesablanması da inteqrallara gətirib çıxarır. = () funksiyası [ seqmentində kəsilməz olsun; ] və (;) intervalında diferensiallanır. Onun qrafiki bəzi əyriləri göstərir, (; ()), (; ()) (şəkil 4.9). Əyrini 0 = , 1 , 2 , nöqtələri ilə bölürük. . . , = ixtiyari hissələrdə. İki qonşu nöqtəni −1 və akkordlarla birləşdirək,= 1, 2, . . . , . Əyridə yazılmış bir -link qırıq xətti alırıq. Qoy olsun

akkordun uzunluğu -1 , = 1, 2, . . . , = max16 6 . Polixəttin uzunluğu düsturla ifadə olunacaq

→ 0 olduqda əyrinin uzunluğunu qırıq xətlərin uzunluqlarının məhdudlaşdırıcı dəyəri kimi təyin etmək təbiidir, yəni.

Sonra nöqtələrin koordinatları (; ()) və istifadə olunur iki nöqtə arasındakı məsafənin düsturu, tapın

Deməli, [ intervalında √ 1 + (′ ())2 funksiyası üçün inteqral cəmi var; ]. Onda bərabərliklər əsasında (4.31) əldə edirik:

Qərar. Göstərilən funksiyanın qrafikini quraq (şəkil 4.10).

Şəkil 4.10

Geri irəli

Diqqət! Slayda baxış yalnız məlumat məqsədi daşıyır və təqdimatın tam həcmini əks etdirməyə bilər. Əgər bu işlə maraqlanırsınızsa, tam versiyanı yükləyin.

Açar sözlər: inteqral, əyri trapesiya, zanbaqlarla məhdudlaşan fiqurların sahəsi

Avadanlıq: lövhə, kompüter, multimedia proyektoru

Dərs növü: dərs-mühazirə

Dərsin Məqsədləri:

• təhsil:əqli əmək mədəniyyətini formalaşdırmaq, hər bir şagird üçün uğur situasiyası yaratmaq, öyrənməyə müsbət motivasiya formalaşdırmaq; danışmaq və başqalarını dinləmək bacarığını inkişaf etdirmək.
• inkişaf edir: müxtəlif situasiyalarda biliklərin tətbiqində şagirdin təfəkkürünün müstəqilliyinin formalaşdırılması, təhlil və nəticə çıxarmaq bacarığı, məntiqin inkişafı, sualları düzgün qoymaq və onlara cavab tapmaq bacarığının inkişafı. Hesablama, hesablama bacarıqlarının formalaşdırılmasının təkmilləşdirilməsi, təklif olunan tapşırıqların yerinə yetirilməsi zamanı şagirdlərin təfəkkürünün inkişafı, alqoritmik mədəniyyətin formalaşdırılması.
• maarifləndirici: əyrixətti trapesiya haqqında, inteqral haqqında anlayışlar formalaşdırmaq, yastı fiqurların sahələrini hesablamaq vərdişlərinə yiyələnmək.

Tədris metodu: izahedici və illüstrativ.

Dərslər zamanı

Əvvəlki dərslərdə sərhədləri qırıq xətlər olan fiqurların sahələrini hesablamağı öyrəndik. Riyaziyyatda əyrilərlə məhdudlaşan fiqurların sahəsini hesablamağa imkan verən üsullar var. Belə fiqurlara əyrixətti trapesiya deyilir və onların sahəsi antitörəmələrdən istifadə etməklə hesablanır.

Əyrixətti trapesiya ( slayd 1)

Əyrixətti trapesiya funksiya qrafiki ilə məhdudlaşan fiqurdur, ( w.m.), düz x = a və x = b və absis

Müxtəlif növ əyrixətli trapezoidlər ( slayd 2)

Biz əyrixətti trapesiyaların müxtəlif növlərini nəzərdən keçiririk və qeyd edirik: xətlərdən biri nöqtəyə çevrilir, məhdudlaşdırıcı funksiya rolunu xətt oynayır.

Əyrixətti trapezoidin sahəsi (slayd 3)

Aralığın sol ucunu düzəldin a, və sağ X biz dəyişəcəyik, yəni əyri xətti trapezoidin sağ divarını hərəkət etdirərək dəyişən bir rəqəm alırıq. Funksiya qrafiki ilə məhdudlaşan dəyişən əyri xətti trapezoidin sahəsi antitörəmədir. F funksiyası üçün f

Və seqmentdə [ a; b] funksiyası ilə əmələ gələn əyrixətti trapezoidin sahəsi f, bu funksiyanın əks törəməsinin artımına bərabərdir:

Məşq 1:

Funksiya qrafiki ilə məhdudlaşan əyri xətti trapezoidin sahəsini tapın: f(x) = x 2 və birbaşa y=0, x=1, x=2.

Qərar: ( slayd 3 alqoritminə uyğun olaraq)

Funksiya və xətlərin qrafikini çəkin

Funksiyanın əks törəmələrindən birini tapın f(x) = x 2 :

Slaydın özünü yoxlayın

İnteqral

Funksiya ilə verilmiş əyrixətti trapesiyanı nəzərdən keçirək f seqmentdə [ a; b]. Bu seqmenti bir neçə hissəyə bölək. Bütün trapezoidin sahəsi daha kiçik əyrixətli trapezoidlərin sahələrinin cəminə bölünəcəkdir. ( slayd 5). Hər bir belə trapesiya təxminən düzbucaqlı hesab edilə bilər. Bu düzbucaqlıların sahələrinin cəmi əyrixətli trapezoidin bütün sahəsi haqqında təxmini fikir verir. Seqmenti nə qədər kiçik qırırıq [ a; b], sahəni daha dəqiq hesablayırıq.

Bu mülahizələri düsturlar şəklində yazırıq.

Seqmenti bölün [ a; b] nöqtələrlə n hissəyə bölün x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Uzunluq k- ci ilə işarələmək xk = xk - xk-1. Gəlin yekunlaşdıraq

Həndəsi olaraq bu məbləğ şəkildə kölgələnmiş fiqurun sahəsidir ( sh.m.)

Formanın cəminə funksiya üçün inteqral cəmlər deyilir f. (sch.m.)

İnteqral cəmlər sahənin təxmini qiymətini verir. Dəqiq qiymət limitə keçməklə əldə edilir. Təsəvvür edin ki, seqmentin bölməsini dəqiqləşdiririk [ a; b] belə ki, bütün kiçik seqmentlərin uzunluqları sıfıra meyllidir. Sonra tərtib edilmiş fiqurun sahəsi əyri xətti trapezoid sahəsinə yaxınlaşacaqdır. Əyrixətli trapezoidin sahəsinin inteqral cəmlərin həddinə bərabər olduğunu söyləyə bilərik, Sk.t. (sch.m.) və ya inteqral, yəni,

Tərif:

funksiya inteqralı f(x)-dan aəvvəl b inteqral cəmlərin həddi adlanır

= (sch.m.)

Nyuton-Leybnits düsturu.

Unutmayın ki, inteqral cəmlərin həddi əyrixətti trapezoidin sahəsinə bərabərdir, buna görə yaza bilərik:

Sk.t. = (sch.m.)

Digər tərəfdən, əyri bir trapezoidin sahəsi düsturla hesablanır

S-dən t. (sch.m.)

Bu düsturları müqayisə edərək əldə edirik:

Bu bərabərliyə Nyuton-Leybniz düsturu deyilir.

Hesablamaların rahatlığı üçün düstur belə yazılır:

Tapşırıqlar: (sch.m.)

1. Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək inteqralı hesablayın: ( 5-ci slaydı yoxlayın)

2. Rəsmə uyğun olaraq inteqralları tərtib edin ( 6-cı slaydda yoxlayın)

3. Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Slayd 7)

Müstəvi fiqurların sahələrinin tapılması ( slayd 8)

Əyri xətti trapesiya olmayan fiqurların sahəsini necə tapmaq olar?

Qrafiklərini slaydda gördüyünüz iki funksiya verilsin . (sch.m.) Kölgəli fiqurun sahəsini tapın . (sch.m.). Sözügedən fiqur əyrixətti trapesiyadırmı? Və ərazinin əlavə xüsusiyyətindən istifadə edərək onun sahəsini necə tapmaq olar? İki əyrixətti trapesiyaya nəzər salın və onlardan birinin sahəsindən digərinin sahəsini çıxarın ( w.m.)

Slayddakı animasiyadan ərazini tapmaq üçün alqoritm yaradaq:

1. Süjet funksiyaları
2. Qrafiklərin kəsişmə nöqtələrini x oxuna proyeksiya edin
3. Qrafikləri keçməklə əldə edilən rəqəmə kölgə salın
4. Kəsişi və ya birləşməsi verilmiş rəqəm olan əyrixətti trapesiyaları tapın.
5. Hər birinin sahəsini hesablayın
6. Sahələrin fərqini və ya cəmini tapın

Şifahi tapşırıq: kölgəli bir fiqurun sahəsini necə əldə etmək olar (animasiyadan istifadə edərək deyin, slayd 8 və 9)

Ev tapşırığı: Avtoreferatı işləyin, № 353 (a), № 364 (a).

Biblioqrafiya

1. Cəbr və təhlilin başlanğıcı: axşam (növbəli) məktəbin 9-11-ci sinifləri üçün dərslik / red. G.D. Qleyzer. - M: Maarifçilik, 1983.
2. Başmaqov M.İ. Cəbr və təhlilin başlanğıcı: orta məktəbin 10-11-ci sinifləri üçün dərslik / Başmaqov M.I. - M: Maarifçilik, 1991.
3. Başmaqov M.İ. Riyaziyyat: başlayan müəssisələr üçün dərslik. və orta. prof. təhsil / M.I. Başmaqov. - M: Akademiya, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Cəbr və təhlilin başlanğıcı: 10-11 hüceyrə üçün dərslik. təhsil müəssisələri / A.N. Kolmogorov. - M: Maarifçilik, 2010.
5. Ostrovski S.L. Dərs üçün təqdimatı necə etmək olar? / S.L. Ostrovski. – M.: 1 sentyabr, 2010-cu il.