Müəyyən inteqralın həndəsi və mexaniki tətbiqləri. Müəyyən inteqralın həndəsi tətbiqləri. İnqilab bədəninin səth sahəsi

Bir funksiyanın qrafiki ilə yuxarıdan məhdudlaşan əyri xətti trapezoidin sahəsi y=f(x), sol və sağ - düz x=a və x=b müvafiq olaraq, aşağıdan - ox öküz, düsturu ilə hesablanır

Bir funksiyanın qrafiki ilə sağdan məhdud olan əyri xətti trapezoidin sahəsi x=φ(y), yuxarı və aşağı - düz y=d və y=c müvafiq olaraq, solda - ox ay:

Bir funksiyanın qrafiki ilə yuxarıdan məhdudlaşan əyri bir fiqurun sahəsi y 2 \u003d f 2 (x), aşağıda - funksiyanın qrafiki y 1 \u003d f 1 (x), sol və sağ - düz x=a və x=b:

Funksiya qrafikləri ilə sağdan və soldan məhdud olan əyri xəttin sahəsi x 1 \u003d φ 1 (y) və x 2 \u003d φ 2 (y), yuxarı və aşağı - düz y=d və y=c müvafiq olaraq:

Əyrixətti trapesiyanı yuxarıdan məhdudlaşdıran xəttin parametrik tənliklərlə verildiyi halı nəzərdən keçirək. x = φ 1 (t), y \u003d φ 2 (t), harada α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Bu tənliklər bəzi funksiyaları müəyyənləşdirir y=f(x) seqmentdə [ a, b]. Əyri xətti trapezoidin sahəsi düsturla hesablanır

Gəlin yeni dəyişənə keçək x = φ 1 (t), sonra dx = φ" 1 (t) dt, a y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), deməli \begin(displaymath)

Qütb koordinatlarında sahə

Əyri xətti sektoru nəzərdən keçirək OAB, tənliklə verilən xətt ilə məhdudlaşır ρ=ρ(φ) qütb koordinatlarında, iki şüa OA və OB, hansı üçün φ=α , φ=β .

Sektoru elementar sektorlara bölürük OM k-1 M k ( k=1, …, n, M 0 =A, Mn=B). ilə işarələyin Δφ kşüalar arasındakı bucaq OM k-1 və OM k qütb oxu ilə bucaqlar əmələ gətirir φk-1 və φk müvafiq olaraq. Elementar sektorların hər biri OM k-1 M k radiuslu dairəvi sektorla əvəz edin ρ k \u003d ρ (φ "k), harada φ" k- bucaq dəyəri φ intervaldan [ φk-1 , φk] və mərkəzi bucaq Δφ k. Son sektorun sahəsi düsturla ifadə edilir .

verilmiş sektoru təqribən əvəz edən “pillələnmiş” sektorun sahəsini ifadə edir OAB.

Sektor sahəsi OAB at "addım" sektorunun sahəsinin həddi adlanır n→∞ və λ=max Δφ k → 0:

kimi , sonra

Əyri qövs uzunluğu

Seqmentə qoyun [ a, b] diferensiallanan funksiya verilir y=f(x), kimin qrafiki qövsdür . Xətt seqmenti [ a,b] bölün n hissələrin nöqtələri x 1, x2, …, xn-1. Bu nöqtələr nöqtələrə uyğun olacaq M1, M2, …, Mn-1 qövslər, onları qövsə yazılmış qırıq xətt adlanan qırıq bir xətt ilə birləşdirin. Bu qırıq xəttin perimetri ilə işarələnir s n, yəni

Tərif. Xəttin qövsünün uzunluğu, keçidlərin sayı olduqda, içərisində yazılmış polixəttin perimetrinin həddidir. M k-1 M k qeyri-müəyyən olaraq artır və onlardan ən böyüyünün uzunluğu sıfıra meyllidir:

burada λ ən böyük bağın uzunluğudur.

Qövsün uzunluğunu onun bəzi nöqtələrindən sayacağıq, məsələn, A. Qoy nöqtədə M(x,y) qövs uzunluğudur s, və nöqtədə M"(x+Δx,y+Δy) qövs uzunluğudur s+Δs, burada, i>Δs - qövs uzunluğu. Üçbucaqdan MNM" akkordun uzunluğunu tapın: .

Həndəsi mülahizələrdən belə nəticə çıxır

yəni xəttin sonsuz kiçik qövsü və ona tabe olan akkord ekvivalentdir.

Akkordun uzunluğunu ifadə edən düsturu çevirək:

Bu bərabərlikdə həddinə keçərək, funksiyanın törəməsi üçün düstur alırıq s=s(x):

haradan tapırıq

Bu düstur müstəvi əyrisinin qövsünün diferensialını ifadə edir və sadədir həndəsi məna: sonsuz kiçik üçbucaq üçün Pifaqor teoremini ifadə edir MTN (ds=MT, ).

Kosmos əyrisinin qövsünün diferensialı ilə verilir

Parametrik tənliklərlə verilən fəza xəttinin qövsünü nəzərdən keçirək

harada α ≤ t ≤ β, φ i (t) (i=1, 2, 3) arqumentin diferensiallana bilən funksiyalarıdır t, sonra

Bu bərabərliyin [ intervalı üzərində inteqrasiyası α, β ], bu xətt qövsünün uzunluğunu hesablamaq üçün bir düstur alırıq

Xətt bir müstəvidə yerləşirsə Oksi, sonra z=0 hamı üçün t∈[α, β], Buna görə də

Düz xəttin tənliklə verildiyi halda y=f(x) (a≤x≤b), harada f(x) diferensiallanan funksiyadır, sonuncu düstur formasını alır

Düz xətt tənliklə verilsin ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) qütb koordinatlarında. Bu halda xəttin parametrik tənliklərinə sahibik x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, burada qütb bucağı parametr kimi qəbul edilir φ . kimi

sonra xəttin qövsünün uzunluğunu ifadə edən düstur ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) qütb koordinatlarında formaya malikdir

bədən həcmi

Müəyyən bir istiqamətə perpendikulyar olan bu cismin hər hansı bir kəsişməsinin sahəsi məlumdursa, cismin həcmini tapaq.

Bu cismi oxa perpendikulyar müstəvilərlə elementar təbəqələrə ayıraq öküz və tənliklərlə müəyyən edilir x=const. Hər hansı bir sabit üçün x∈ məlum ərazi S=S(x) bu bədənin en kəsiyi.

Təyyarələr tərəfindən kəsilmiş elementar təbəqə x=x k-1, x=x k (k=1, …, n, x 0 =a, xn=b), hündürlüyü olan bir silindrlə əvəz edirik ∆x k =x k -x k-1 və baza sahəsi S(ξk), ξ k ∈.

Göstərilən elementar silindrin həcmi düsturla ifadə edilir Δvk =E(ξk)Δxk. Bütün bu cür məhsulları ümumiləşdirək

verilmiş funksiya üçün inteqral cəmidir S=S(x) seqmentdə [ a, b]. Elementar silindrlərdən ibarət olan və verilmiş gövdəni təxminən əvəz edən pilləli gövdənin həcmini ifadə edir.

Verilmiş bir cismin həcmi müəyyən edilmiş pilləli cismin həcminin həddidir λ→0 , harada λ - elementar seqmentlərin ən böyüyünün uzunluğu ∆x k. ilə işarələyin V verilmiş cismin həcmi, sonra təriflə

Digər tərəfdə,

Buna görə də, verilmiş kəsiklər üçün bədənin həcmi düsturla hesablanır

Bədən bir ox ətrafında fırlanma ilə əmələ gəlirsə öküz yuxarıdan davamlı xəttin qövsü ilə məhdudlaşan əyrixətli trapesiya y=f(x), harada a≤x≤b, sonra S(x)=πf 2 (x) və son düstur belə olur:

Şərh. Funksiya qrafiki ilə sağdan məhdud olan əyrixətti trapesiyanı fırlatmaqla əldə edilən cismin həcmi x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), ox ətrafında ay düsturla hesablanır

Səthin fırlanma sahəsi

Xəttin qövsünün fırlanması ilə əldə edilən səthi nəzərdən keçirin y=f(x) (a≤x≤b) ox ətrafında öküz(fərz edək ki, funksiya y=f(x) davamlı törəmə var). Dəyəri təyin edirik x∈, funksiya arqumenti artırılacaq dx, elementar qövsün fırlanması ilə əldə edilən "elementar üzük"ə uyğundur Δl. Bu "halqa" silindrik bir üzük ilə əvəz olunur - qövsün diferensialına bərabər olan bir düzbucağın fırlanması ilə yaranan bədənin yan səthi dl, və hündürlük h=f(x). Son halqanı kəsib açaraq, eni olan bir zolaq alırıq dl və uzunluq 2πy, harada y=f(x).

Buna görə də səth sahəsinin diferensialı düsturla ifadə edilir

Bu düstur xəttin qövsünün fırlanması ilə əldə edilən səth sahəsini ifadə edir y=f(x) (a≤x≤b) ox ətrafında öküz.

Mühazirə 21 Müəyyən inteqralın tətbiqi (2 saat)

Həndəsi Tətbiqlər

a) fiqur sahəsi

Artıq 19-cu mühazirədə qeyd edildiyi kimi, əyri ilə məhdudlaşan əyrixətli trapezoidin sahəsinə ədədi olaraq bərabərdir. saat = f(x), düz xətlər X = a, X = b və seqment [ a, b] OX oxunun. Eyni zamanda, əgər f(x) £ 0-da [ a, b], onda inteqral mənfi işarəsi ilə qəbul edilməlidir.

Əgər verilmiş intervalda funksiya saat = f(x) işarəsini dəyişdirir, sonra bu funksiyanın qrafiki ilə OX oxu arasında olan fiqurun sahəsini hesablamaq üçün seqmenti hər birində funksiya öz işarəsini saxlayan hissələrə bölmək və sahəsini tapmaq lazımdır. fiqurun hər bir hissəsi. Bu halda arzu olunan sahə bu seqmentlər üzərindəki inteqralların cəbri cəmidir və funksiyanın mənfi qiymətlərinə uyğun gələn inteqrallar bu cəmdə mənfi işarə ilə alınır.

Əgər rəqəm iki əyri ilə məhdudlaşırsa saat = f 1 (x) və saat = f 2 (x), f 1 (x)£ f 2 (x), onda Şəkil 9-dan aşağıdakı kimi onun sahəsi əyrixətti trapesiyaların sahələri arasındakı fərqə bərabərdir. a Günəş b və a AD b, hər biri ədədi olaraq inteqrala bərabərdir. O deməkdir ki,

Qeyd edək ki, Şəkil 10, a-da göstərilən rəqəmin sahəsi eyni düsturla tapılır: S = (Sübut et!). Şəkil 10, b-də göstərilən rəqəmin sahəsini necə hesablamaq barədə düşünün?

Biz ancaq OX oxuna bitişik olan əyrixətti trapesiyalardan danışdıq. Lakin oxşar düsturlar y oxuna bitişik rəqəmlər üçün də keçərlidir. Məsələn, Şəkil 11-də göstərilən rəqəmin sahəsi düsturla tapılır

Qoy xətt y=f(x) əyrixətti trapesiyanı məhdudlaşdıran parametrik tənliklərlə verilə bilər, tО , və j(a)= a, j(b) = b, yəni. saat=. Sonra bu əyri xətti trapezoidin sahəsi

b) Əyri qövs uzunluğu

Bir döngə olsun saat = f(x). Dəyişikliyə uyğun gələn bu əyrinin qövsünü nəzərdən keçirək X seqmentdə [ a, b]. Bu qövsün uzunluğunu tapaq. Bunun üçün AB qövsünü bölürük P A \u003d M 0, M 1, M 2, ..., M nöqtələri olan hissələr P= B (şək. 14), nöqtələrə uyğundur X 1 , X 2 , ..., x n Î [ a, b].

D qeyd edin l i qövs uzunluğu, sonra l=. Qövsün uzunluğu D olarsa l i kifayət qədər kiçikdirlər, onda onlar M nöqtələrini birləşdirən müvafiq seqmentlərin uzunluqlarına təxminən bərabər hesab edilə bilər i-1,M i. Bu nöqtələr M koordinatlarına malikdir i -1 (x i -1, f (x i-1)), M i(x i, f(x i)). Sonra seqmentlərin uzunluqları müvafiq olaraq bərabərdir

Burada Laqranj düsturu istifadə olunur. qoyaq x i – x i-1=D x i, alırıq

Sonra l = , harada

l = .

Beləliklə, əyrinin qövs uzunluğu saat = f(x) dəyişikliyə uyğundur X seqmentdə [ a, b], düsturu ilə tapılır

l = , (1)

Əgər əyri parametrik olaraq verilirsə, tО, yəni. y(t) = f(x(t)), onda (1) düsturundan əldə edirik:

l=
.

Deməli, əyri parametrik verilirsə, onda dəyişikliyə uyğun gələn bu əyrinin qövsünün uzunluğu tн, düsturla tapılır

in) İnqilabın bədəninin həcmi.

Şəkil 15

Əyrixətli trapesiyaya nəzər salın a AB b, xətt ilə məhdudlaşır saat = f(x), düz X = a, X = b və seqment [ a,b] OX oxunun (şək. 15). Qoy bu trapesiya OX oxu ətrafında dönsün, nəticədə inqilab bədəni olacaq. Bu cismin həcminin bərabər olacağını sübut etmək olar

Eynilə, funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan əyrixətti trapezoidin y oxu ətrafında fırlanması ilə alınan cismin həcmi üçün düstur çıxara bilərsiniz. X= j( saat), düz y = c , y = d və seqment [ c,d] y oxu (Şəkil 15):

Müəyyən inteqralın fiziki tətbiqləri

19-cu mühazirədə sübut etdik ki, fiziki nöqteyi-nəzərdən inteqral ədədi olaraq düzxətli nazik qeyri-bərabər uzunluqlu çubuğun kütləsinə bərabərdir. l= b – a, dəyişən xətti sıxlığı ilə r = f(x), f(x) ³ 0, burada Xçubuq nöqtəsindən onun sol ucuna qədər olan məsafədir.

Müəyyən inteqralın digər fiziki tətbiqlərini nəzərdən keçirək.

Tapşırıq 1. Hündürlüyü H və əsas radiusu R olan şaquli silindrik çəndən nefti vurmaq üçün lazım olan işi tapın. Yağın sıxlığı r-dir.

Qərar. Bu problemin riyazi modelini quraq. OX oxu hündürlüyü H və radiusu R olan silindrin simmetriya oxu boyunca, başlanğıcı - silindrin yuxarı əsasının mərkəzində keçsin (şək. 17). Gəlin silindrini parçalayaq P kiçik üfüqi hissələr. Sonra hara Ai- nasos işi i ci qat. Silindrinin bu bölməsi təbəqənin hündürlüyünün dəyişməsi seqmentinin bölməsinə uyğundur P hissələri. Bir məsafədə yerləşən bu təbəqələrdən birini nəzərdən keçirin x i səthdən, eni D X(və ya dərhal dx). Bu təbəqənin nasosla çıxarılması təbəqənin hündürlüyə "qaldırılması" hesab edilə bilər x i.

Sonra bu təbəqəni çıxarmaq üçün görülən iş bərabərdir

Ai“R i x i, ,

harada P i=rgV i= rgpR 2 dx, R i- çəki, V i təbəqənin həcmidir. Sonra Ai"R i x i= rgpR 2 dx.x i, harada

, və deməli .

Tapşırıq 2. Ətalət momentini tapın

a) onun simmetriya oxundan keçən ox ətrafında olan içi boş nazik divarlı silindr;

b) onun simmetriya oxundan keçən ox ətrafında bərk silindr;

c) nazik çubuq uzunluğu l onun ortasından keçən ox haqqında;

d) nazik çubuq uzunluğu l onun sol ucundan keçən ox haqqında.

Qərar. Bildiyiniz kimi, bir nöqtənin ox ətrafında ətalət momenti bərabərdir J=Cənab 2 və nöqtələr sistemləri.

a) Silindr nazik divarlıdır, yəni divarın qalınlığına laqeyd yanaşmaq olar. Silindr əsasının radiusu R, hündürlüyü H və divarlardakı kütlə sıxlığı r-ə bərabər olsun.

Gəlin silindrini parçalayaq P hissələri və harada tapın J i- ətalət anı i--ci bölmə elementi.

düşünün i--ci bölmə elementi (sonsuz kiçik silindr). Onun bütün nöqtələri oxundan R məsafəsindədir l. Bu silindrin kütləsi olsun t i, sonra t i= rV i» rs yan= 2prR dx i, harada x i O. Sonra J i» R 2 prR dx i, harada

Əgər r sabitdirsə, onda J= 2prR 3 N və silindrin kütləsi M = 2prRН olduğundan, onda J= MR 2.

b) Silindr bərkdirsə (doldurulur), onda biz onu bölürük P vlo nazik silindrlər bir-birinin içərisində yerləşmişdir. Əgər a P böyük, bu silindrlərin hər biri nazik divarlı hesab edilə bilər. Bu bölmə seqmentin bölünməsinə uyğundur P R nöqtələrinə görə hissələr i. Kütləni tapaq i-ci nazik divarlı silindr: t i= rV i, harada

V i=pR i 2 H - pR mən- 1 2 H \u003d pH (R i 2-R i -1 2) =

PH(R i-R i-1)(R i+R i -1).

Silindr divarları nazik olduğundan, hesab edə bilərik ki, R i+R i-1 » 2R i, və R i-R i-1=DR i, sonra V i» pH2R i DR i, harada t i»rpН×2R i DR i,

Sonra nəhayət

c) Uzunluğu olan bir çubuq düşünün l Kütləvi sıxlığı r-ə bərabər olan. Fırlanma oxu onun ortasından keçsin.

Çubuğu OX oxunun seqmenti kimi modelləşdiririk, sonra çubuğun fırlanma oxu OY oxudur. Bir elementar seqmenti nəzərdən keçirin, onun kütləsi, oxa olan məsafə təxminən bərabər hesab edilə bilər r i= x i. Onda bu hissənin ətalət anı , bütün çubuğun ətalət anı buradandır . Çubuğun kütləsinin , onda olduğunu nəzərə alsaq

d) İndi fırlanma oxu çubuğun sol ucundan keçsin, yəni. çubuq modeli OX oxunun seqmentidir. Sonra eyni şəkildə, r i= x i, , harada və o vaxtdan bəri .

Tapşırıq 3. Ayaqları olan düzbucaqlı üçbucaqda sıxlığı r olan mayenin təzyiq qüvvəsini tapın a və b, şaquli olaraq bir mayeyə batırılır ki, ayaq a mayenin səthindədir.

Qərar.

Gəlin tapşırıq modelini yaradaq. Üçbucağın düz bucağının təpəsi başlanğıcda, ayaqda olsun a OY oxunun seqmenti ilə üst-üstə düşür (OY oxu mayenin səthini təyin edir), OX oxu aşağıya doğru yönəldilir, ayaq b bu oxun seqmenti ilə üst-üstə düşür. Bu üçbucağın hipotenuzası tənliyinə malikdir və ya .

Məlumdur ki, əgər ərazinin üfüqi sahəsində S, sıxlığı r olan mayeyə batırılmış, hündürlüyü olan maye sütunu ilə sıxılır. h, onda təzyiq qüvvəsi (Paskal qanunu) bərabərdir. Gəlin bu qanundan istifadə edək.

Dəyişən qüvvə işi

Maddi M nöqtəsi bu oxa paralel yönəldilmiş F = F(x) dəyişən qüvvənin təsiri altında Ox oxu boyunca hərəkət etsin. M nöqtəsini x \u003d a mövqeyindən x \u003d b mövqeyinə köçürərkən qüvvənin gördüyü iş (a)< b), находится по формуле (см. п. 36).

Misal 41.10 Yayı 0,05 m uzatmaq üçün 100 N qüvvə yayı 0,01 m uzatdıqda nə qədər iş görülməlidir?

Həlli: Huk qanununa görə, yayın uzanan elastik qüvvə bu uzanma x ilə mütənasibdir, yəni F = kx, burada k mütənasiblik əmsalıdır. Məsələnin şərtinə görə F = 100 N qüvvəsi yayı x = 0,01 m uzadır; buna görə də 100 = k*0,01, buradan k = 10000; deməli, F = 10000x.

(41.10) düsturu əsasında istədiyiniz iş bərabərdir

Misal 41.11. Hm hündürlüyündə və əsas radiusu Rm olan şaquli silindrik çənin kənarından mayenin vurulması üçün sərf edilməli olan işi tapın.

Həlli: p çəkisi olan cismi h hündürlüyünə qaldırmaq üçün görülən iş p h-ə bərabərdir. Lakin rezervuardakı mayenin müxtəlif təbəqələri müxtəlif dərinliklərdə olur və müxtəlif təbəqələrin qalxma hündürlüyü (layn kənarına) eyni deyil.

Problemi həll etmək üçün II sxemi (diferensial üsul) tətbiq edirik. Şəkil 193-də göstərildiyi kimi koordinat sistemini təqdim edək.

1. Qalınlığı x (0 !!!) olan maye qatının laydan çıxarılmasına sərf olunan iş< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А0).

2. x Δх = dx dəyişdikdə ΔА artımının əsas hissəsini tapırıq, yəni A(х) funksiyasının dA diferensialını tapırıq.

dx-nin kiçikliyini nəzərə alaraq, "elementar" maye təbəqəsinin eyni x dərinliyində (layn kənarından) olduğunu güman edirik (bax şək. 193). Onda dA = dp*x, burada dp bu təbəqənin çəkisidir; bərabərdir g*gdv, burada g - sərbəst düşmə sürəti, g - mayenin sıxlığı, dv - "elementar" maye qatının həcmi (şəkildə vurğulanır), yəni. dp=ggdv. Bu maye təbəqənin həcmi açıq şəkildə bərabərdir πR2 dx, burada dx silindrin (qatın) hündürlüyüdür, πR2 onun əsasının sahəsidir, yəni. dv=πR2 dx.

Beləliklə, dp=ggπR2 dx və dA = ggπR2dx*x.

3) Yaranan bərabərliyi x \u003d 0-dan x \u003d H aralığında birləşdirərək tapırıq

Bədənin keçdiyi yol

Maddi nöqtə dəyişən sürət v=v(t) ilə düz xətt boyunca hərəkət etsin. t1-dən t2-ə qədər olan zaman intervalında onun keçdiyi S yolunu tapaq.

Həlli: Törəmənin fiziki mənasından məlum olur ki, nöqtə bir istiqamətdə hərəkət etdikdə “düzxətli hərəkətin sürəti zaman üzrə yolun törəməsinə bərabərdir”, yəni. Bu o deməkdir ki, dS = v(t)dt. Nəticədə bərabərliyi t1-dən t2-ə qədər olan sərhədlər daxilində inteqrasiya edərək, əldə edirik

Qeyd edək ki, eyni düstur müəyyən inteqralın tətbiqi I və ya II sxemindən istifadə etməklə əldə edilə bilər.

Misal 41.12. Bədənin sürəti v(t) = 10t + 2 (m/s) olarsa, hərəkətin başlanğıcından 4 saniyə ərzində bədənin keçdiyi yolu tapın.

Həlli: v(t)=10t+2 (m/s) olarsa, cismin hərəkətin başlanğıcından (t=0) 4-cü saniyənin sonuna qədər keçdiyi yol bərabərdir.

Şaquli boşqabda maye təzyiqi

Paskal qanununa görə mayenin üfüqi boşqab üzərindəki təzyiqi bu mayenin sütununun çəkisinə bərabərdir ki, onun bazasında boşqab vardır, hündürlüyü isə onun mayenin sərbəst səthindən batırılma dərinliyinə bərabərdir. , yəni P \u003d g * g * S * h, burada g - sərbəst düşmənin sürətlənməsi, g - mayenin sıxlığı, S - boşqabın sahəsi, h - suya batırılma dərinliyi.

Bu düsturdan istifadə edərək, mayenin təzyiqini şaquli şəkildə batırılmış boşqabda axtarmaq mümkün deyil, çünki onun müxtəlif nöqtələri müxtəlif dərinliklərdə yerləşir.

x = a, x = b, y1 = f1(x) və y2=ƒ2(x) xətləri ilə hüdudlanan boşqab şaquli olaraq mayeyə batırılsın; koordinat sistemi Şəkil 194-də göstərildiyi kimi seçilir.Bu lövhədə mayenin P təzyiqini tapmaq üçün II sxemi (diferensial üsul) tətbiq edirik.

1. İstənilən P dəyərinin hissəsi x-in funksiyası olsun: p=p(x), yəni p=p(x) - lövhənin seqmentinə uyğun olan hissəsinə təzyiq [a; x] dəyişənin x dəyərləri, burada x = [a; b] (p(a)=0, p(b) = P).

2. X arqumentinə Δх = dx artımını verək. p(x) funksiyası Δp artımını alacaq (şəkildə dx qalınlığında zolaq təbəqəsi). Bu funksiyanın diferensial dp-ni tapaq. Dx-nin kiçikliyini nəzərə alaraq, şeridi təxminən bir düzbucaqlı kimi nəzərdən keçirəcəyik, bütün nöqtələri eyni x dərinliyindədir, yəni bu lövhə üfüqidir.

Sonra Paskal qanununa görə

3. X = a-dan x = B diapazonunda yaranan bərabərliyi inteqral edərək, alırıq

Misal 41.13. Mayeyə şaquli şəkildə batırılmış yarımdairə üzərində suyun təzyiqinin miqdarını müəyyən edin, əgər onun radiusu R, mərkəzi O isə suyun sərbəst səthindədirsə (bax. Şəkil 195).

Həlli: Şaquli lövhədə mayenin təzyiqini tapmaq üçün alınan düsturdan istifadə edək. Bu halda, lövhə x = 0, x = R xətləri ilə məhdudlaşır. Belə ki

Müstəvi əyrisinin ağırlıq mərkəzinin statik momentlərinin və koordinatlarının hesablanması Oxy üzərində müvafiq olaraq m1, m2,... ...,mn kütlələri olan M1 (x1; y1), M2(x2; y2),..., Mn(xn; yn) maddi nöqtələr sistemi verilsin. təyyarə.

Ox oxuna nisbətən maddi nöqtələr sisteminin statik momenti Sx bu nöqtələrin kütlələrinin və onların ordinatlarının (yəni, bu nöqtələrin Ox oxundan məsafələri) məhsullarının cəmidir:

Bu sistemin oxa nisbətən statik momenti Sy eyni şəkildə müəyyən edilir

Kütlələr hansısa əyri boyunca davamlı olaraq paylanırsa, onda statik anı ifadə etmək üçün inteqrasiya lazımdır.

AB maddi əyrisinin tənliyi y = ƒ(x) (a≤x≤b) olsun. Sabit xətti sıxlığı g (g = const) ilə homojen hesab edəcəyik.

İxtiyari x є [a; b] AB əyrisində koordinatları (x; y) olan nöqtə var. Gəlin əyri üzərində (x; y) nöqtəsi olan dl uzunluğunda elementar seqmenti ayıraq. Onda bu hissənin kütləsi g dl-ə bərabərdir. Bu dl seqmentini təxminən x oxundan y məsafədə yerləşən nöqtə kimi götürək. Onda dSx (“elementar an”) statik momentinin diferensialı gdly-ə bərabər olacaqdır, yəni dSx = gdly (bax. Şəkil 196).

Buradan belə nəticə çıxır ki, AB əyrisinin Ox oxuna nisbətən Sx statik momenti bərabərdir

Eynilə, Sy-ni tapırıq:

Əyrinin statik momentləri Sx və Sy onun ağırlıq mərkəzinin (kütlənin mərkəzi) mövqeyini təyin etməyi asanlaşdırır.

Maddi müstəvi əyrisinin ağırlıq mərkəzi y \u003d ƒ (x), x Î təyyarənin aşağıdakı xüsusiyyətə malik nöqtəsidir: əgər verilmiş əyrinin bütün kütləsi m bu nöqtədə cəmləşibsə, onda statik an bu nöqtənin hər hansı bir koordinat oxuna nisbətən eyni ox ətrafında bütün əyri y \u003d ƒ (x) statik anına bərabər olacaqdır. AB əyrisinin ağırlıq mərkəzini C(xc;us) ilə işarələyin.

Ağırlıq mərkəzinin tərifi bərabərlikləri nəzərdə tutur Buradan və ya

Misal 41.14. Birinci koordinat kvadrantında yerləşən bircins dairəvi qövsün ağırlıq mərkəzini tapın x^2+y^2=R^2 (bax şək. 197).

Həlli: Aydındır ki, göstərilən dairəvi qövsün uzunluğu πR/2-ə bərabərdir, yəni l=πR/2. Onun Ox oxuna nisbətən statik momentini tapaq. Qövs tənliyi olduğundan

Yəni,

Bu qövs birinci koordinat bucağının bissektrisasına nisbətən simmetrik olduğundan, onda xc=us=2R/π olar. Beləliklə, ağırlıq mərkəzinin koordinatları var

Müstəvi fiqurun ağırlıq mərkəzinin statik momentlərinin və koordinatlarının hesablanması

y = ƒ(x) 0 əyrisi və y = 0, x = a, x = b düz xətləri ilə məhdudlaşan maddi müstəvi fiqur (lövhə) verilsin (bax. Şəkil 198).

Biz plitənin səthi sıxlığının sabit olduğunu qəbul edirik (g = const). Sonra “bütün boşqabın kütləsi g * S-ə bərabərdir, yəni. Plitənin elementar hissəsini sonsuz dar bir şaquli zolaq şəklində ayırırıq və onu təxminən düzbucaqlı hesab edəcəyik.

Onda onun kütləsi gydx-ə bərabərdir. Düzbucaqlının ağırlıq mərkəzi C düzbucağın diaqonallarının kəsişməsində yerləşir. Bu C nöqtəsi Ox oxundan 1/2*y, Oy oxundan isə x (təxminən; daha dəqiq desək, x+1/2∆x məsafəsində). Sonra Ox və Oy oxları haqqında elementar statik anlar üçün münasibətlər

Beləliklə,

Düz əyri ilə bənzətmə yolu ilə düz bir fiqurun (boşqabın) ağırlıq mərkəzinin koordinatlarını qeyd etməklə əldə edirik. C(xs; us), nə m xc=Sy, m us=Sx. Buradan

Misal 41.15. x yarımdairəsinin ağırlıq mərkəzinin koordinatlarını tapın ^2+y^2≤R^2, y≥0 (g=sabit)(şək. 199-a bax).

Həlli: Xc = 0 olduğu aydındır (şəklin Oy oxuna nisbətən simmetriyasına görə). Yarımdairənin sahəsi tap Sx-dir:

Yəni,

Beləliklə, ağırlıq mərkəzinin koordinatları var

41.1. Müəyyən inteqralın tətbiqi sxemləri

Hər hansı bir həndəsi və ya fiziki kəmiyyətin (şəklin sahəsi, cismin həcmi, şaquli lövhədə maye təzyiqi və s.) dəyərini tapmaq tələb olunsun. müstəqil dəyişən x. Güman edilir ki, bu A kəmiyyəti əlavədir, yəni elə seqment [a; b] [a] hissəsində є (a; b) ilə nöqtə; s] və [s; b] bütün seqmentə uyğun olan A dəyəri [a; b], [a-a uyğun gələn dəyərlərinin cəminə bərabərdir; s] və [s; b].

Bu A dəyərini tapmaq üçün siz iki sxemdən birini rəhbər tuta bilərsiniz: I sxem (və ya inteqral cəmlər üsulu) və II sxem (yaxud diferensial üsul).

Birinci sxem müəyyən inteqralın tərifinə əsaslanır.

1. X 0 = a, x 1 ,..., x n = b nöqtələri ilə [a; b] seqmentini n hissəyə bölün. Buna uyğun olaraq, bizi maraqlandıran A dəyəri n "elementar şərtlərə" bölünəcək ΔAi (i = 1,...,n): A = ΔA 1 + ΔA 2 +...+ ΔA n .

2. Hər bir “elementar hədd”i uzunluğuna görə müvafiq seqmentin ixtiyari nöqtəsində hesablanmış hansısa funksiyanın hasili (məsələnin şərtindən müəyyən edilir) kimi təqdim edin: ΔA i ≈ ƒ(c i)Δx i.

ΔA i-nin təxmini dəyərini taparkən, bəzi sadələşdirmələr məqbuldur: kiçik bir sahədə bir qövs uclarını sıxan bir akkord ilə əvəz edilə bilər; kiçik bir ərazidə dəyişən sürət təxminən sabit hesab edilə bilər və s.

A-nın təxmini qiymətini inteqral cəm şəklində alaq:

3. İstədiyiniz dəyər A inteqral cəminin həddinə bərabərdir, yəni.

Göstərilən “cəmlər üsulu”, gördüyümüz kimi, inteqralın sonsuz sayda sonsuz kiçik hədlərin cəmi kimi təqdim edilməsinə əsaslanır.

I sxem müəyyən inteqralın həndəsi və fiziki mənasını aydınlaşdırmaq üçün tətbiq edilmişdir.

İkinci sxem bir qədər dəyişdirilmiş I sxemdir və "differensial üsul" və ya "sonsuz kiçik yüksək sifarişlərin ləğvi üsulu" adlanır:

1) [a;b] seqmentində x-in ixtiyari qiymətini seçirik və dəyişən seqmenti [a; X]. Bu seqmentdə A dəyəri x-in funksiyasına çevrilir: A \u003d A (x), yəni biz hesab edirik ki, istənilən A dəyərinin bir hissəsi naməlum A (x) funksiyasıdır, burada x parametrin parametrlərindən biridir. dəyəri A;

2) x az miqdarda Δх = dx dəyişdikdə ΔА artımının əsas hissəsini tapırıq, yəni A = А(х) funksiyasının dA diferensialını tapırıq: dA = ƒ(х) dx, burada ƒ(х) ) məsələnin şərtindən müəyyən edilir , x dəyişəninin funksiyası (burada müxtəlif sadələşdirmələr də mümkündür);

3) Δх → 0-da dA ≈ ΔА olduğunu fərz etsək, dA-nı a-dan b-ə qədər diapazonda birləşdirərək istənilən dəyəri tapırıq:

41.2. Təyyarə fiqurlarının sahəsinin hesablanması

Düzbucaqlı koordinatlar

Artıq müəyyən edildiyi kimi ("müəyyən inteqralın həndəsi mənası"na baxın), absis oxunun "yuxarısında" yerləşən əyrixətti trapezoidin sahəsi (ƒ(x) ≥ 0) müvafiq müəyyən inteqrala bərabərdir:

(41.1) düsturu I sxemi - cəmi metodunu tətbiq etməklə alınır. II sxemdən istifadə edərək (41.1) düsturu əsaslandırırıq. Əyrixətti trapesiya y \u003d ƒ (x) ≥ 0, x \u003d a, x \u003d b, y \u003d 0 xətləri ilə məhdudlaşdırılsın (bax Şəkil 174).

Bu trapezoidin S sahəsini tapmaq üçün aşağıdakı əməliyyatları yerinə yetiririk:

1. İxtiyari x О [а; b] və hesab edin ki, S = S(x).

2. X arqumentinə Δх = dx artımını verək (х + Δх є [а; b]). S = S(x) funksiyası "elementar əyrixətti trapesiya" sahəsi olan ΔS artımını alacaq (şəkildə vurğulanıb).

Sahə diferensialı dS Δx-də ΔS artımının əsas hissəsidir → 0 və açıq-aydın dx bazası və hündürlüyü y olan düzbucaqlının sahəsinə bərabərdir: dS = y dx.

3. Yaranan bərabərliyi x \u003d a-dan x \u003d b-ə qədər olan diapazonda birləşdirərək, alırıq

Qeyd edək ki, əyrixətti trapesiya Ox oxundan “aşağıda” yerləşirsə (ƒ(x))< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

(41.1) və (41.2) düsturları birinə birləşdirilə bilər:

y \u003d fι (x) və y \u003d ƒg (x), düz xətlər x \u003d a və x \u003d b (ƒ 2 (x) ≥ ƒ) əyriləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsi 1 (x)) (bax. Şəkil 175) , düsturdan istifadə etməklə tapıla bilər

Düz fiqurun “mürəkkəb” forması varsa (bax. Şəkil 176), onda Oy oxuna paralel düz xətlərlə onu hissələrə bölmək lazımdır ki, artıq məlum düsturlar tətbiq olunsun.

Əyrixətti trapesiya y \u003d c və y \u003d d, Oy oxu və davamlı əyri x \u003d φ (y) ≥ 0 düz xətləri ilə məhdudlaşırsa (bax. Şəkil 177), onda onun sahəsi düsturla tapılır.

Və nəhayət, əgər əyrixətti trapesiya parametrik olaraq verilmiş əyri ilə məhdudlaşırsa

düz xətlər x \u003d aix \u003d b və oxu Ox, sonra onun sahəsi düsturla tapılır

burada a və β x(a) = a və x(β) =b bərabərliklərindən müəyyən edilir.

Misal 41.1. Ox oxu ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini və x є-də y \u003d x 2 - 2x funksiyasının qrafikini tapın.

Həlli: Fiqur Şəkil 178-də göstərilən formaya malikdir. Onun S sahəsini tapın:

Misal 41.2. X \u003d a cos t, y \u003d b sin t ellips ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.

Həlli: Əvvəlcə S sahəsinin 1/4 hissəsini tapırıq. Burada x 0-dan a-ya dəyişir, buna görə də t 0-dan 0-a dəyişir (bax. Şəkil 179). Tapdıq:

Beləliklə . Beləliklə, S = π aB.

Qütb koordinatları

Əyrixətti sektorun S sahəsini, yəni kəsilməz r=r(φ) xətti və iki şüa φ=a və φ=β (a) ilə məhdudlaşan düz fiqurunu tapın.< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - diferensial üsul.

1. İstənilən S sahəsinin hissəsini φ bucağının funksiyası kimi nəzərdən keçirəcəyik, yəni S = S(φ), burada a ≤ φ ≤ β (φ = a, onda S(a) = 0, φ=β olarsa, S(β) = S).

2. Əgər cari qütb bucağı φ artırılırsa Δφ = dφ, onda AS sahəsi artımı "elementar əyrixətti sektor" OAB sahəsinə bərabərdir.

Diferensial dS dφ-də ΔS artımının əsas hissəsidir → 0 və mərkəzi bucağı dφ olan r radiusunun OАS dairəvi sektorunun sahəsinə bərabərdir (şəkildə kölgədədir). Belə ki

3. Alınan bərabərliyi φ = a-dan φ = β diapazonuna inteqrasiya edərək, istədiyimiz sahəni alırıq.

Misal 41.3. "Üç ləçəkli qızılgül" ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın r = acos3φ (bax Şəkil 181).

Həll yolu: Əvvəlcə bir qızılgül ləçəkinin yarısının sahəsini, yəni fiqurun bütün sahəsinin 1/6 hissəsini tapırıq:

yəni buna görə də

Düz bir fiqurun "mürəkkəb" bir forması varsa, qütbdən çıxan şüalara görə, sahəni tapmaq üçün nəticədə alınan düstur tətbiq edilməli olan əyri sektorlara bölünməlidir. Beləliklə, Şəkil 182-də göstərilən rəqəm üçün biz var:

41.3. Planar əyrinin Qövs Uzunluğunun Hesablanması

Düzbucaqlı koordinatlar

Düzbucaqlı koordinatlarda AB müstəvi əyrisi verilsin, onun tənliyi y=ƒ(x), burada a≤x≤b.

AB qövsünün uzunluğu dedikdə, qırıq xəttin həlqələrinin sayı qeyri-müəyyən artdıqda və onun ən böyük halqasının uzunluğu sıfıra meyl etdikdə bu qövsə daxil edilmiş qırıq xəttin uzunluğunun meyl etdiyi həddi başa düşülür. Göstərək ki, y \u003d ƒ (x) funksiyası və onun törəməsi y "\u003d ƒ" (x) seqmentdə kəsilməzdirsə [a; b], onda AB əyrisi bərabər uzunluğa malikdir

Biz sxem I tətbiq edirik (cəm üsulu).

1. X 0 = a, x 1 ..., x n = b nöqtələri (x 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ. Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n , длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,..., ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ... M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1 + ΔL 2 +...+ ΔL n =

2. Akkordun (və ya qırıq xəttin həlqəsinin) ΔL 1 uzunluğunu ayaqları Δx i və Δу i olan üçbucaqdan Pifaqor teoremindən istifadə etməklə tapmaq olar:

Δу i \u003d ƒ "(c i) Δх i, burada ci є (x i-1; x i) funksiyasının sonlu artımı haqqında Laqranj teoreminə görə. Buna görə də.

və bütün polyline uzunluğu M 0 M 1 ... M n bərabərdir

3. Uzunluq l AB əyrisi tərifinə görə bərabərdir

Qeyd edək ki, ΔL i üçün → 0 həmçinin Δx i → 0 ΔLi = və nəticədə, |Δx i |<ΔL i).

Funksiya seqment üzrə davamlı [a; b], çünki şərtə görə ƒ "(x) funksiyası davamlıdır. Buna görə də max Δx i olduqda inteqral cəminin (41.4) həddi var. → 0 :

Beləliklə, və ya qısaldılmış formada l =

AB əyri tənliyi parametrik formada verilirsə

burada x(t) və y(t) davamlı törəmələri olan fasiləsiz funksiyalardır və x(a) = a, x(β) = b, onda uzunluq l AB əyrisi düsturla tapılır

(41.5) düsturu (41.3) düsturundan x = x(t),dx = x"(t)dt əvəz etməklə əldə edilə bilər,

Misal 41.4. Radiusu R olan dairənin çevrəsini tapın.

Həlli: (0; R) nöqtəsindən (R; 0) nöqtəsinə qədər onun uzunluğunun 1/4 hissəsini tapın (bax şək. 184). kimi sonra

O deməkdir ki, l= 2π R. Əgər dairə tənliyi x=Rcost, y = Rsint (0≤t≤2π) parametrik formada yazılıbsa, onda

Qövs uzunluğunun hesablanması diferensial metodun tətbiqinə əsaslana bilər. II sxemi (diferensial üsul) tətbiq etməklə (41.3) düsturunun necə alınacağını göstərək.

1. İxtiyari x є [a; b] və [a;x] dəyişən seqmentini nəzərdən keçirin. Bunun üzərinə dəyər l x-in funksiyasına çevrilir, yəni. l = l(X) ( l(a) = 0 və l(b) = l).

2. Diferensialın tapılması dl funksiyaları l = l(x) x az miqdarda Δх = dx dəyişdikdə: dl = l"(x)dx. Tapın l"(x), sonsuz kiçik qövs MN-ni Δ akkordu ilə əvəz edir l, bu qövsün daralması (bax. Şəkil 185):

3. dl-ni a-dan b-yə inteqrasiya edərək, alırıq

Bərabərlik düzbucaqlı koordinatlarda qövs diferensial düsturu adlanır.

Y "x \u003d -dy / dx olduğundan

Sonuncu düstur sonsuz kiçik üçbucaq MST üçün Pifaqor teoremidir (bax. Şəkil 186).

Qütb koordinatları

Qütb koordinatlarında r = r(φ), a≤φ≤β tənliyi ilə AB əyrisi verilsin. Tutaq ki, [a;β] seqmentində r(φ) və r"(φ) kəsilməzdir.

Əgər x = rcosφ, y = rsinφ bərabərliklərində qütb və kartezian koordinatları ilə əlaqəlidirsə, φ bucağı parametr hesab edilirsə, onda AB əyrisini parametrik təyin etmək olar.

(41.5) düsturu tətbiq edərək əldə edirik

Misal 41.5. Kardioidin uzunluğunu tapın r = = a(1 + cosφ).

Həlli: Kardioid r \u003d a (1 + cosφ) Şəkil 187-də göstərilən formaya malikdir. Qütb oxuna görə simmetrikdir. Kardioidin yarısını tapın:

Beləliklə, 1/2l= 4a. Beləliklə, l = 8a.

41.4. Bədən həcminin hesablanması

Paralel kəsiklərin məlum sahələrindən bədən həcminin hesablanması

Bədənin V həcmini tapmaq tələb olunsun və bu cismin kəsiklərinin S sahələri hansısa oxa perpendikulyar olan müstəvilərlə məlum olsun, məsələn, Ox oxu: S = S(x), a ≤ x ≤ b.

1. İxtiyari x є nöqtəsi vasitəsilə Ox oxuna perpendikulyar ∏ müstəvisini çəkirik (bax şək. 188). Bu müstəvi ilə bədənin kəsik sahəsini S(x) ilə işarələyin; S(x)-in məlum olduğu və x dəyişdikcə davamlı olaraq dəyişdiyi qəbul edilir. Bədənin P müstəvisinin solunda yerləşən hissəsinin həcmini v(x) ilə işarə edirik. Fərz edək ki, seqmentdə [a; x] v kəmiyyəti x-in funksiyasıdır, yəni v = v(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2. v = v(x) funksiyasının dV diferensialını tapın. O, x və x + Δx nöqtələrində Ox oxunu kəsən paralel müstəvilər arasında qapalı cismin "elementar təbəqəsidir" və onu təqribən əsası S(x) və hündürlüyü dx olan silindr kimi qəbul etmək olar. Buna görə də həcm diferensialı dV = S(x) dx.

3. dA-nı a-dan B-ə qədər olan diapazonda birləşdirməklə istənilən dəyəri V tapırıq:

Alınan düstur paralel kəsiklərin sahəsi baxımından cismin həcminin düsturu adlanır.

Misal 41.6. Ellipsoidin həcmini tapın

Həlli: Oyz müstəvisinə paralel və ondan x məsafədə olan müstəvi ilə ellipsoidin kəsilməsi (-a). ≤х≤ a), biz ellips alırıq (bax. Şəkil 189):

Bu ellipsin sahəsi

Buna görə də (41.6) düsturuna görə bizdə var

İnqilab bədəninin həcmi

Davamlı y \u003d ƒ (x) 0, a ≤ x ≤ b seqmenti və x \u003d a və x \u003d b düz xətləri ilə məhdudlaşan əyrixətli trapezoid Ox oxu ətrafında dönsün (bax. Şəkil 190). Fırlanmadan alınan rəqəmə fırlanma gövdəsi deyilir. Bu cismin Ox oxunun ixtiyari x nöqtəsindən keçən Ox oxuna perpendikulyar müstəvi ilə kəsisi (x) Î [a; b]), radiusu y= ƒ(x) olan dairə var. Buna görə də S(x)= π y 2.

Paralel kəsiklərin sahəsi baxımından bədənin həcminin düsturunu (41.6) tətbiq edərək, əldə edirik.

Əyrixətti trapesiya x = φ (y) ≥ 0 və x \u003d 0, y \u003d c düz xətləri ilə davamlı funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşırsa,

y = d (ilə< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен

Misal 41.7. Oy oxu ətrafında xətlərlə hüdudlanmış fiqurun fırlanması ilə əmələ gələn cismin həcmini tapın (bax şək. 191).

Həlli: (41.8) düsturuna əsasən tapırıq:

41.5. İnqilabın səth sahəsinin hesablanması

AB əyrisi y \u003d ƒ (x) ≥ 0 funksiyasının qrafiki olsun, burada x є [a; b] və y \u003d ƒ (x) funksiyası və onun törəməsi y "= ƒ" (x) bu seqmentdə davamlıdır.

AB əyrisinin Ox oxu ətrafında fırlanması nəticəsində yaranan səthin S sahəsini tapaq.

II sxemi (diferensial üsul) tətbiq edirik.

1. İxtiyari x є nöqtəsi vasitəsilə [a; b] x oxuna perpendikulyar ∏ müstəvisi çəkin. ∏ müstəvisi radiusu y = ƒ(x) olan dairədə inqilab səthi ilə kəsişir (bax şək. 192). İnqilab fiqurunun müstəvidən solunda yerləşən hissəsinin səthinin S qiyməti x funksiyasıdır, yəni s=s(x) (s(a)=0 və s(b)=S).

2. X arqumentinə Δх = dx artımını verək. x + dx є nöqtəsi vasitəsilə [a; b] həmçinin x oxuna perpendikulyar müstəvi çəkin. s=s(x) funksiyası şəkildə "kəmər" kimi göstərilən Az ilə artırılacaq.

Bölmələr arasında əmələ gələn fiquru generatrisi bərabər olan kəsilmiş konusla əvəz edərək ds sahəsinin diferensialını tapaq. dl, və əsasların radiusları y və y + dy-ə bərabərdir. Yan səthinin sahəsi ds=-ə bərabərdir π (y+y+ dy) dl=2π saat dl + π dydl. Dydl məhsulunu ds-dən sonsuz kiçik daha yüksək sıra kimi atsaq, ds=2 alırıq. π saat dl, və ya, bəri

3. Nəticə bərabərliyi x = a-dan x = b diapazonuna inteqrasiya edərək, əldə edirik

Əgər AB əyrisi x \u003d x (t), y \u003d y (t), t 1 ≤ t ≤ t 2 parametrik tənlikləri ilə verilirsə, onda səthinin sahəsi üçün düstur (41.9) fırlanma formasını alır

Misal 41.8. Radiusu R olan sferanın səth sahəsini tapın.

Misal 41.9. Dana sikloid

X oxu ətrafında fırlanması nəticəsində yaranan səthin sahəsini tapın.

Həlli: Sikloid qövsün yarısı Ox oxu ətrafında fırlananda fırlanma səthinin sahəsi bərabər olur.

41.6. Müəyyən inteqralın mexaniki tətbiqləri

Dəyişən qüvvə işi

Misal 41.10 Yayı 0,05 m uzatmaq üçün 100 N qüvvə yayı 0,01 m uzatdıqda nə qədər iş görülməlidir?

(41.10) düsturu əsasında istədiyiniz iş bərabərdir

Misal 41.11. Hm hündürlüyündə və əsas radiusu Rm olan şaquli silindrik çənin kənarından mayenin vurulması üçün sərf edilməli olan işi tapın.

Problemi həll etmək üçün II sxemi (diferensial üsul) tətbiq edirik. Şəkil 193-də göstərildiyi kimi koordinat sistemini təqdim edək.

1. Qalınlığı x (0 !!!) olan maye qatının laydan çıxarılmasına sərf olunan iş< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А 0).

2. x Δх = dx dəyişdikdə ΔА artımının əsas hissəsini tapırıq, yəni A(х) funksiyasının dA diferensialını tapırıq.

dx-nin kiçikliyini nəzərə alaraq, "elementar" maye təbəqəsinin eyni x dərinliyində (layn kənarından) olduğunu güman edirik (bax şək. 193). Onda dA = dp*x, burada dp bu təbəqənin çəkisidir; g *g dv-ə bərabərdir, burada g - sərbəst düşmə sürəti, g - mayenin sıxlığı, dv - "elementar" maye qatının həcmi (şəkildə vurğulanır), yəni dp = gg dv. . Bu maye təbəqənin həcmi açıq şəkildə bərabərdir π R 2 dx, burada dx silindrin (qatın) hündürlüyüdür, π R 2 - bazanın sahəsi, yəni dv \u003d π R2dx.

Beləliklə, dp = gg π R 2 dx və dA = gg π R2dx*x.

3) Yaranan bərabərliyi x \u003d 0-dan x \u003d H aralığında birləşdirərək tapırıq

Bədənin keçdiyi yol

Maddi nöqtə dəyişən sürət v=v(t) ilə düz xətt boyunca hərəkət etsin. t 1-dən t 2-ə qədər olan zaman intervalında keçdiyi S yolunu tapaq.

Həlli: Törəmənin fiziki mənasından məlum olur ki, nöqtə bir istiqamətdə hərəkət etdikdə “düzxətli hərəkətin sürəti yolun zaman törəməsinə bərabərdir”, yəni dS = v(t)dt olur. . Nəticədə bərabərliyi t 1-dən t 2-ə qədər diapazonda birləşdirərək əldə edirik

Qeyd edək ki, eyni düstur müəyyən inteqralın tətbiqi I və ya II sxemindən istifadə etməklə əldə edilə bilər.

Misal 41.12. Bədənin sürəti v(t) = 10t + 2 (m/s) olarsa, hərəkətin başlanğıcından 4 saniyə ərzində bədənin keçdiyi yolu tapın.

Həlli: v(t)=10t+2 (m/s) olarsa, cismin hərəkətin başlanğıcından (t=0) 4-cü saniyənin sonuna qədər keçdiyi yol bərabərdir.

Şaquli boşqabda maye təzyiqi

Bu düsturdan istifadə edərək, mayenin təzyiqini şaquli şəkildə batırılmış boşqabda axtarmaq mümkün deyil, çünki onun müxtəlif nöqtələri müxtəlif dərinliklərdə yerləşir.

x = a, x = b, y 1 = f 1 (x) və y 2 =ƒ 2 (x) xətləri ilə hüdudlanan boşqab şaquli olaraq mayeyə batırılsın; koordinat sistemi Şəkil 194-də göstərildiyi kimi seçilir.Bu lövhədə mayenin P təzyiqini tapmaq üçün II sxemi (diferensial üsul) tətbiq edirik.

Sonra Paskal qanununa görə

3. X = a-dan x = B diapazonunda yaranan bərabərliyi inteqral edərək, alırıq

Eynilə, bu sistemin statik momenti S y oxa nisbətən müəyyən edilir

Kütlələr hansısa əyri boyunca davamlı olaraq paylanırsa, onda statik anı ifadə etmək üçün inteqrasiya lazımdır.

AB maddi əyrisinin tənliyi y = ƒ(x) (a≤ x≤ b) olsun. Sabit xətti sıxlığı g (g = const) ilə homojen hesab edəcəyik.

İxtiyari x є [a; b] AB əyrisində koordinatları (x; y) olan nöqtə var. Gəlin əyri üzərində (x; y) nöqtəsi olan dl uzunluğunda elementar seqmenti ayıraq. Onda bu hissənin kütləsi g dl-ə bərabərdir. Bu dl seqmentini təxminən x oxundan y məsafədə yerləşən nöqtə kimi götürək. Onda dS x (“elementar an”) statik momentinin diferensialı g dly, yəni dS x = g dly-ə bərabər olacaqdır (bax. Şəkil 196).

Buradan belə nəticə çıxır ki, AB əyrisinin Ox oxuna nisbətən S x statik momenti bərabərdir

Eynilə, S y tapırıq:

Əyrinin statik momentləri S x və S y onun ağırlıq mərkəzinin (kütlənin mərkəzi) mövqeyini təyin etməyi asanlaşdırır.

Ağırlıq mərkəzinin tərifi bərabərlikləri nəzərdə tutur Buradan

Müstəvi fiqurun ağırlıq mərkəzinin statik momentlərinin və koordinatlarının hesablanması

y = ƒ(x) 0 əyrisi və y = 0, x = a, x = b düz xətləri ilə məhdudlaşan maddi müstəvi fiqur (lövhə) verilsin (bax. Şəkil 198).

Onda onun kütləsi g ydx-dir. Düzbucaqlının ağırlıq mərkəzi C düzbucağın diaqonallarının kəsişməsində yerləşir. Bu C nöqtəsi Ox oxundan 1/2*y, Oy oxundan isə x (təxminən; daha dəqiq desək, x + 1/2 ∆x məsafəsində). Sonra Ox və Oy oxları haqqında elementar statik anlar üçün münasibətlər

Beləliklə, ağırlıq mərkəzinin koordinatları var