Сплайн

Существуют локальные методы построения сплайнов Бесселя и Акими, B - сплайны . В основном, когда речь идет о сплайнах, то имеют в виду сплайны, построенные из алгебраических полиномов. Именно к ним относится приведенное выше определение. Именно эти сплайны являются наиболее изученными. Однако сплайн может состоять из фрагментов функций любого класса. В рассмотрено построение таких сплайнов и исследуются их свойства. Автор не дает общего определения построенных сплайнов. Очевидно, что для любых классов функций, из которых состоит сплайн, приведенное в начале статьи определение не совсем подходит. Если, например, сплайн состоит из отрезков экспоненты, то понятие дефекта сплайна теряет смысл. Хотя количество непрерывных производных останется важной характеристикой. Построение сплайна, фрагментами которого являются разрывные функции (рациональные функции, функции Паде), несколько выходит за рамки сплайновой идеи, поскольку одним из основных преимуществ сплайнов является их гладкость. Если произвольно расширять такие конструкции, то стираются различия сплайнов от кусковых функций. Другим преимуществом сплайнов является эффективность вычислений. Чрезмерное усложнение фрагментов существенно снижает преимущество сплайнов перед классическими функциями.

Для сплайнов характерны следующие признаки: сплайн состоит из фрагментов - функций одного класса, которые отличаются только своими параметрами, на соседние фрагменты в точках стыковки накладываются определенные условия, которые сводятся к непрерывности значений и некоторых первых производных. Сплайны - направление прикладной математики, которое интенсивно развивается. В Интернете содержится обширная библиография по сплайнов (Spline Bibliography Database (SBD)) .

Классификация сплайнов

Как отмечалось выше, существует большое количество конструкций, которые называют сплайнами. Поэтому необходимо внести определенную классификацию в это многообразие, имея целью выделить те признаки, которые позволят выбрать сплайны годные для конкретной прикладной задачи.

Вид фрагментов сплайна . То, что сплайн состоит из фрагментов одинакового вида, является одним из ключевых признаков, что отличает его от других кусковых функций.

Самые известные сплайны - состоящие из фрагментов - алгебраических полиномов не выше заданной степени. Как правило, это кубические полиномы, или полиномы нечётных степеней: первой, третьей (кубический), пятой степени. Более высокие степени применяют редко из-за усложнения расчетов и сложностей, описанных в предыдущем разделе. Основным их преимуществом является простота расчетов и анализа. Недостатком является то, что относительно мало реальных физических процессов соответствуют этой зависимости.

Экспоненциальные сплайны. Если гибкую металлическую линейку, зафиксированную в узлах, натянуть, то решением дифференциального уравнения будет не алгебраический полином, а экспонента . Поэтому такие сплайны называют также напряженными . Экспонента описывает многие физические процессы в динамических системах. Недостатком является трудоёмкость расчета.

Тригонометрическими являются сплайны, фрагменты которых описываются тригонометрическими полиномами. Имеют достаточно сложные расчетные выражения. Более пятидесяти различных по виду фрагментов сплайнов описаны в работах Б. А. Попова.

Также существуют рациональные сплайны и сплайны Паде. Их особенностью является возможность разрыва производных на фрагментах, при непрерывности в узлах. М. Ансерме строит фракциональные сплайны, где фрагменты заданы с помощью гамма-функции.

Целесообразность применения фрагментов определенного вида основана на конкретных условиях задачи и ограничениях реализации. Как правило, основное требование - это достижение заданной точности интерполяции при приемлемых затратах времени и ресурсов на реализацию. Удачный выбор фрагментов, который соответствует характеру процесса, позволяет сократить время вычислений и требуемый объём памяти.

Число фрагментов . Очевидно, что минимальное число фрагментов - один. Классическое определение сплайна ограничивает число фрагментов определенным числом на конечном отрезке. Однако можно строить сплайны и с бесконечным числом фрагментов, а реально эти методы и алгоритмы, которые не нуждаются в информации об определенном количестве фрагментов. Представителями этих сплайнов являются кардинальные сплайны, исследованные Шенбергом. Для построения сплайнов с неограниченным числом фрагментов лучше подходят локальные сплайны.

Ширина фрагментов . Следует выделить сплайны с равной шириной фрагментов. Это позволяет значительно упростить расчетные выражения, ускорить работу алгоритмов и снизить затраты на реализацию. Определенного упрощения можно достичь за счёт применения фрагментов с кратной шириной. Существуют сплайны с нулевой шириной фрагментов (Де Бур). Это приводит к кратности узлов и возможности приближать сплайны с неразрывными фрагментами разрывных функций. Расчетные выражения получают в результате предельных переходов. Сплайны могут иметь также фрагменты с бесконечной шириной. Эти фрагменты должны быть крайними. Иногда это позволяет естественно задать краевые условия.

Условия стыковки фрагментов . Еще один важный признак, что отличает сплайны. Когда идет речь о сплайнах, как правило, считают, что фрагменты стыкуются гладко. То есть обеспечивается непрерывность значений и первой производной. Понятие дефекта сплайна связано с числом непрерывных производных, которые имеет функция-фрагмент определенного вида и числом производных, непрерывность которых гарантирована в узлах. Экспонента , синусоида имеют бесконечное число производных. Для них это понятие не имеет смысла. Поэтому удобнее говорить прямо о числе производных, непрерывность которых гарантирована в узлах сплайна. Практически речь идет о непрерывности значений и первой, максимум второй производной. Разрыв второй и высших производных визуально не заметно, поэтому учитывается редко. Понятно, что первая производная в точках стыка может задаваться по-разному. Наиболее распространены два приёма. Значение первой производной выбирается так, чтобы обеспечить непрерывность второй (глобальные кубические сплайны минимального дефекта). Первая производная равняется первой производной интерполируемой функции (возможно приближенно) в эрмитовых сплайнах.

Краевые условия . Если сплайны имеют ограниченное число фрагментов, то, естественно, у них отсутствуют крайние фрагменты слева и справа, поэтому крайние узлы не с чем стыковать. Исключением являются лишь периодические сплайны, которые имеют естественное продолжение. Иногда естественными называют краевые условия с нулевой производной, хотя никаких оснований считать их более естественными, чем другие, нет. Если сплайн имеет фрагменты одинаковой ширины, считают недостающие фрагменты той же ширины. Другой вариант - это считать недостающие фрагменты продлёнными в бесконечность. Преимущество такого подхода в возможности экстраполяции . Можно считать ширину фрагментов нулевой. Расчетные выражения получают предельными переходами. Если взглянуть на краевые условия с точки зрения формирования сплайна из базисных функций, то они сводятся к продолжению соответствующих локальных базисных функций. Ширина соседних фрагментов влияет на их форму. А простое обрезание часто приводит к осцилляции и росту погрешности на краях. Важное значение краевые условия имеют при обработке изображений и в задачах с экстраполяцией.

Дополнительные ограничения . Они чаще всего касаются производных в узлах. Иногда они вытекают из физики процесса. Условия: неотъемлемость значений, равенство моментов, площадей, условия нормирования. Дополнительные условия иногда упрощают анализ свойств сплайнов, но могут серьезно затруднять построение и затраты реализации.

Сетка точек интерполяции. Может существенно влиять на эффективность расчетов. Важны случаи равномерной сетки и равномерной сетки, с расстоянием между точками, кратным расстоянию между узлами сплайна.

Локальные свойства базисных функций . Сплайн можно представить как сумму взвешенных базисных сплайнов. Существенным является ширина этих базисных функций. Так, в глобальных сплайнах базисные сплайны ненулевые на всём отрезке интерполяции. Хотя стоит заметить, что с определенной точностью (достаточной для многих технических расчетов) их можно считать локальными. У локальных сплайнов ширина базисных функций невелика (четыре фрагмента у кубических эрмитовых сплайнов). Это существенно влияет на эффективность расчетов и затраты реализации.

Форма представления . Функции, задающие фрагменты сплайна, как правило, зависят от множества параметров, благодаря которым они меняют свою форму. Значения параметров на каждом из фрагментов индивидуальны. Эти параметры могут задавать конкретный сплайн. Для полиномиальных сплайнов это полиномиальные коэффициенты. Так, сплайн можно представить множеством параметров функций на каждом из фрагментов. Назовем это представление пофрагментным. Такое представление является наглядным, часто имеет явный физический смысл. Но число параметров является чрезмерным. Так, для кубического сплайна необходимо иметь 4 * (r-1) параметров (r - число узлов сплайна). Значительно более компактным является представление сплайна в виде полинома, через базисные сплайн-функции в виде:

где - базисные сплайн-функции (как правило локальные), - числовые коэффициенты, задающие вес базисных функций при формировании сплайна. Число параметров, задающих сплайн, равно числу узлов сплайна. Между параметрами функции на фрагменте и коэффициентами полинома-сплайна существует зависимость, что позволяет с одними коэффициентами находить другие, хотя формулы могут иметь достаточно сложный вид.

Содержание коэффициентов сплайна . Как отмечалось в предыдущем пункте, содержание параметров сплайна при пофрагментном представлении определяется типом функции. При полиномиальном представлении следует выделить случай, когда коэффициенты имеют тот же физический смысл, что и входные данные. То есть, коэффициенты являются значениями сплайна в узлах. Такую форму называют Лагранжевой, по аналогии с полиномом Лагранжа. Следует заметить, что базисные сплайны этой формы равны единице в центральном узле и нулю во всех остальных.

Особые сплайны . В ряде случаев рассматривают функции, которые находятся близко к границе между сплайнами и обычными функциями, а также сплайнами и кусковыми функциями. К примеру, это сплайны, состоящие из двух фрагментов. Имеют упрощенный вариант построения, но особое внимание следует уделять краевым условиям.

Литература

• Роджерс Д.,Адамс Дж. Математические основы машинной графики. - М .: Мир, 2001. - ISBN 5-03-002143-4
• Лившиц Евгений Давидович. Непрерывные E-выборки для приближения полиномиальными и рациональными сплайнами: Дис. … канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 Москва, 2005 90 с. РГБ ОД, 61:06-1/42
• Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. - Теория сплайнов и ее приложения
• Винниченко Л. Ф. Экспоненциальные гистосплайны: предпосылки введения// Publishing house Education and Science s.r.o., конференция «Европейская наука XXI века», 2009
• Корнейчук, Н. П. , Бабенко, В. Ф., Лигун, А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов / отв. ред. А. И. Степанец; ред. С. Д. Кошис, О. Д. Мельник, АН Украины, Ин-т математики. - К. : Наукова думка, 1992. - 304 с. - ISBN 5-12-002210-3
• Вершинин В. В., Завьялов Ю. С, Павлов Н. Н. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания. - Новосибирск: Наука, 1988, УДК 519.651
• Роженко Александр Иосифович. Теория и алгоритмы вариационной сплайн-аппроксимации: Дис. … д-ра физ.-мат. наук: 01.01.07: Новосибирск, 2003 231 c. РГБ ОД, 71:05-1/136
• Шикин Е. В., Плис Л. И. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. - М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996. - 240 с. ISBN 5-86404-080-0 , УДК 681.3 Ш57
• Хакимов Б.В. Моделирование корреляционных зависимостей сплайнами на примерах в геологии и экологии. - С-Пб.: НЕВА, 2003. - 144 с. - ISBN 5-211-04588-2

См. также

• Идеальный сплайн
• Интерполяционный сплайн
• L-сплайн (Дробно-линейная функция)
• Локальный сплайн
• Атомарные функции

Примечания

Ссылки

• Интерактивный расчет сплайна с помощью Mathcad/Maple Application Server

Кривые
Определения
Преобразованные
Неплоские
Плоские алгебраические
Конические сечения

Любой более или менее сложный чертеж состоит не только из отрезков прямых линий, окружностей и их дуг, но также и из набора кривых линий. Гладкие кривые удобно строить при помощи метода сглаживания кривой типа В-сплайна. B-сплайн — это гладкая кривая или, точнее, кривая с непрерывными старшими производными до n-ой, где n — порядок сплайна. Заметим, что линия, составленная из В-сплайнов, не будет проходить точно через заданные точки. Подобную кривую составляют из дуг полиномов третьей степени, так как такой полином обеспечивает необходимую непрерывность. Построение линии происходит с помощью итерационной процедуры.

Рассмотрим построение кубического сплайна. Пусть нам даны две соседние точки, через которые проведем кубический полином, но у полинома — 4 коэффициента, следовательно нужно еще два дополнительных условия или точки. Для этого прихватим еще две соседние точки. Чем более плавной мы хотим видеть линию, тем сложнее пройти точно через точки. Если в формуле x = q 3 , то достаточно плавности 3.

Гладкость диктуется физическими задачами, и здесь часто приходится искать компромисс между гладкостью и точностью. Например, гидродинамика работает с поверхностями, которые описываются уравнениями четвертой степени (такой высокий порядок необходим, чтобы повысить гладкость различного рода физических устройств, рассчитанных с помощью этих уравнений, и таким образом избежать завихрений). Но с повышением порядка (то есть гладкости) сплайна точность уменьшается.

Рассмотрим . Пусть t — параметр, по которому пробегаем от точки P i к точке P i+1 . При t = 0 мы находимся в точке P i , при t = 1 — в точке P i+1 . Если 0 < t < 1, то мы находимся между P i и P i+1 .

Эта линия в каждой точке имеет систему:

x(t) = ((a 3 t + a 2)t + a 1)t + a 0 , для 0 <= t <= 1

y(t) = ((b 3 t + b 2)t + b 1)t + b 0 , для 0 <= t <= 1 a 3 = (-x i-1 + 3x i - 3x i+1 + x i+2)/6

A 2 = (x i-1 - 2x i + x i+1)/2

A 1 = (-x i-1 + x i+1)/2

A 0 = (x i-1 + 4x i + x i+1)/6

Точки b 3 - b 0 расписывают так же, но вместо x подставляют у. Между P i и P i+1 точки а и b не меняются. Если после последней точки указать первую точку, то система замкнет контур.

Достоинства В-сплайна: между точками коэффициенты постоянны; локальное изменение не влечет за собой вычисление заново всего сплайна. Недостатки: могут возникать проблемы при аппроксимации прямой, имеющей разрывы вторых производных (например, сопряжения прямой линии и дуги окружности); с точки зрения эстетики не всегда приемлемы, так как кривизна поверхности, сконструированной с помощью сплайнов, изменяется иногда неравномерно, что приводит к искажениям (например, причудливые искажения предметов, отраженных от кузова автомобиля).

Следствия

Сглаживание B-сплайнами

Математическое представление тела, составленного из простых геометрических форм (сфер, цилиндров или конусов) несложно. Но очень часто это не так; кузова автомобилей, поверхности самолетов, флюзеляжи и многое другое не так-то просто описать. Процедура, обычно используемая в этих случаях, состоит обычно в следующем:

• поверхность покрывается двумя воображаемыми группами линий; первая идет в продольном направлении, вторая — трансверсальна к первой. Эта сетка линий определяет множество ячеек, каждая из которых (в случае гладкой поверхности), будет ограничена четырьмя гладкими кривыми;
• координаты узлов этой воображаемой сетки измеряются на модели или на наборе чертежей поперечных сечений поверхности;
• с помощью интерполяции (усреднения) математически описываются эти две группы линий, образующие сетку.

Можно строить достаточно гладкие кривые и поверхности с использованием полиномов. Допустим, что мы хотим построить поверхность в виде графика функции z = z(x, y). Линия y = const на этой поверхности будет представлена линией z = z(x), она будет проходить через последовательность точек (x 0 , z 0), ..., (x i , z i), ..., (x n , z n) с x 0 < ... < x i < ... < x n . Наша цель — провести через эти точки составную кривую f(x), имеющую следующие свойства:

• на каждом подынтервале x i-1 <= x <= x i , i = 1, 2, ..., n функция f(x) является кубическим полиномом;
• ее первые и вторые производные непрерывны в узлах.

Полученная гладкая кривая называется кубическим сплайном. Термин «сплайн» возник по аналогии: это название чертежного инструмента — тонкой металлической линейки, которая может изгибаться так, чтобы проходить через заданные точки. Физически такая кривая минимизирует энергию внутренних напряжений. Математически — имеет минимальную среднеквадратичную кривизну, то есть она наиболее гладкая. Сплайны имеют много приложений в конструировании криволинейных форм. Однако они имеют и некоторые ограничения:

• локальное изменение влечет за собой вычисление заново всего сплайна;
• могут возникать проблемы при аппроксимации прямой, имеющей разрывы вторых производных (например, сопряжения прямой линии и дуги окружности);
• с точки зрения эстетики не всегда приемлемы, так как кривизна поверхности, сконструированной с помощью сплайнов, изменяется иногда неравномерно, что приводит к искажениям (например, причудливые искажения предметов, отраженных от кузова автомобиля).

Первое ограничение можно устранить с помощью B-сплайна. Общая форма полученной в этом случае кривой показана на .

На этом рисунке сплайн продолжен от его конечных точек x i-4 , x i прямыми линиями, идущими вдоль оси x. В результате получается кубический сплайн на любом числе отрезков, но он не равен нулю только на четырех из них. Такая функция называется B-сплайном (или фундаментальным сплайном) четвертого порядка (или третьей степени). Про него говорят, что он имеет минимальный носитель (носитель — это число отрезков, на которых сплайн отличен от нуля).

Заметим, что кубический B-сплайн полностью определяется множеством узлов, на которых он определен, и только одной заданной величиной z. В более общем виде B-сплайн M mi (x) порядка m (или степени m - 1) на данном множестве узлов везде равен нулю, кроме m последовательных отрезков x i-m < x < x i . Опять-таки M mi (x) определяется множеством узлов и одной величиной z. Принято исключать последнюю степень свободы и фиксировать амплитуду B-сплайна некоторым стандартным образом.

Часто удобно для вычислений использовать нормализованный B-сплайн N mi (x), связанный с M mi (x) соотношением N mi (x) = (x i - x i-m)M mi (x).

Любой сплайн порядка m на множестве узлов x 0 , x 1 , ..., x n может быть выражен в виде линейной комбинации B-сплайнов, определенных на том же множестве узлов, расширенном (m - 1) дополнительными узлами на каждом из концов интервала, которые можно выбрать произвольно: x -m+1 , x -m+2 , ..., x -1 и x n+1 , ..., x n+m-1 . Можно построить m + n - 1 последовательных B-сплайнов на расширенном множестве узлов, каждый из которых отличен от нуля на m последовательных отрезках. Поэтому можно записать:
j (x) = S c i * M mi (x),
где j (x) — любой сплайн степени (m - 1) на первоначальном множестве узлов и M mi (x) есть B-сплайн на расширенном множестве узлов, отличный от нуля при x i-m < x < x i ; c i суть числовые коэффициенты; суммирование ведется по i = 1, ..., m + n - 1.

Если имеется множество векторов r 0 , r 1 , ..., r n , то можно использовать их: r(u) = S r i * N 4, i+1 (u) (суммирование ведется по i = 0, ..., n). Так как имеется (n + 1) векторных коэффициентов, то необходим набор из (n + 1) B-сплайнов. Последняя формула для 0 <= u <= n - 2 является уравнением кривой, образованной кубическими B-сплайнами.

Свойства

Некоторые простейшие свойства следуют из тождества S N 4, i+1 = 1, 0 <= u <= n - 2, i = 0..n. При u = 0 следует: r(0) = N 42 (0)(r 1 - r 0). Из этого следует, что если r 0 , r 1 , .., r n — вершины некоторой замкнутой ломанной, то кривая, построенная на основе B-сплайна, начинается в r 0 и ее касательная в этой точке имеет направление (r 1 - r 0). Аналогичное утверждение верно и для другого конца. Главное преимущество этого сплайна заключается в том, что изменение одной из вершин влечет за собой изменение только четырех отрезков кривой. Далее, мы также можем построить кривую, аппроксимирующую ломанную с любым желаемым числом сторон. Отрезок сплайна всегда лежит в выпуклой оболочке:

Важным следствием этой выпуклой оболочки является вырождение ее в прямую линию, если 4 последовательные вершины ломанной коллинеарны, значит соответствующий сегмент кривой должен быть прямолинейным.

Имеется еще 2 полезных факта:

• кривая проходит вблизи средней точки каждой стороны, за исключением 1-ой и последней точками;
• при k = 2, ..., n - 2 кривая проходит через точки: 1/6r k-1 + 2/3r k + 1/6r k+1 = 2/3r k + 1/3(1/2(r k-1 + r k+1))

Эти точки, как показано на , лежат на 1/3 расстояния от r k на прямой, соединяющей r k с серединой отрезка между r k-1 и r k+1 .

И уже почти год с того момента, как пришла в голову идея для второй. В силу многих обстоятельств (в первую очередь – лени и забывчивости), эта идея так и не была реализована ранее, но сейчас я собрался, написал весь этот материал и готов представить его вашему вниманию.

Начну с небольшой вводной. Будучи студентом 4-го, на тот момент, курса бакалавриата, я изучал курс «Компьютерная графика». Много там было разных интересных (и не очень) заданий, но одно прямо особо запало мне в душу: интерполяция кубическими сплайнами с заданными первыми производными на концах интервала. Пользователь должен был задавать значения первых производных, а программа - считать и выводить на экран интерполяционную кривую. Особенность и основная сложность задания заключена в том, что задаются именно первые производные, а не вторые, как в классической постановке сплайн-интерполяции.
Как я ее решал, и к чему оно в итоге пришло, я как раз и изложу в этой статье. И да, если по описанию задачи вы не поняли ни в чем ее смысл, ни в чем сложность, не переживайте, все это я также постараюсь раскрыть. Итак, поехали.

А, нет, погодите один момент. Вот вам два числовых ряда:
a) 2, 4, 6, 8, ?
b) 1, 3, ? , 7, 9

Какие числа должны стоять на месте вопросов и почему? Вы действительно уверены в своем ответе?

Интерполяция

Интерполяция, интерполирование (от лат. inter-polis – «разглаженный, подновлённый, обновлённый; преобразованный») – в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. (с) Википедия

Поясню на примерах. Существуют задачи, когда нам требуется узнать, условно, «закон распределения» (взял в кавычки, так как это, вообще говоря, термин из другой области математики) некого параметра по нескольким известным его значениям. Чаще всего речь идет об изменении некого параметра во времени: координаты движущегося тела, температуры объекта, колебания курса валюты, etc. При этом в силу каких-либо обстоятельств у нас не было возможности наблюдать за этим параметром непрерывно, мы могли узнавать его значения лишь в какие-то отдельные моменты времени. Исходными данными в таком случае у нас является множество точек вида value(time) , а целью задачи – восстановить кривую, проходящую через эти точки и непрерывно описывающую изменение этого параметра.

Следует понимать, что невозможность постоянного наблюдения за соответствующим параметром – это обычно какого-либо рода технологическое ограничение. С развитием техники таких ситуаций становится все меньше и меньше. Из современных задач такого плана – траектория движения, например, марсохода. Поддерживать непрерывный сеанс связи (пока что) все еще не представляется возможным, а контролировать его перемещение и рисовать красивые траектории хочется. Получается, что конкретные координаты можно узнать только в те моменты, когда связь все-таки налажена, а траекторию целиком приходится восстанавливать по полученным таким образом время от времени точкам.
Другой вариант применения интерполяции. Некоторые современные телевизоры показывают изображение с частотой обновления картинки до >=1000Гц (хотя это все еще запредельные значения). Большинство телевизоров так не умеет, но даже так многие отображают картинку на частоте 100Гц - такая величина уже вполне себе классика. А если верить википедии, то в кинематографе «частота 24 кадра в секунду является общемировым стандартом». Для того, чтобы превратить 24 кадра в секунду исходного видеопотока в 100 кадров в секунду результата, телевизор использует интерполяцию. А именно какие-нибудь алгоритмы в стиле «взять два соседних кадра 1 и 2, посчитать разницу между ними и сформировать из нее 3 дополнительных кадра, которые надо впихнуть между теми двумя изначальными» -> получаются кадры 1, 1_1 , 1_2 , 1_3 , 2

Для дальнейших рассуждений возьмем более простой пример. Представим себе, например, лабораторную работу по географии в каком-нибудь 6-ом классе (кстати, у меня когда-то и правда была такая). Необходимо каждые 3 часа измерять температуру воздуха и записывать данные, а потом сдать учителю график изменения температуры от времени суток. Допустим, по результатам измерений у нас получилась вот такая табличка (данные придуманы случайным образом и никак не претендуют на какую-либо правдоподобность):

Отобразим полученные данные на графике:

Собственно, данные записаны и отражены на графике. Мы вплотную подошли к задаче интерполяции – как по имеющимся точкам восстановить плавную кривую?

Количество условий и степень интерполирующего полинома

Можем ли мы вообще гарантировать, что такая функция, которая соединяет все заданные точки, вообще существует?

Да, такая функция гарантированно существует, и более того, таких функций будет бесконечно много. Для любого набора точек можно будет придумать сколько угодно много функций, которые через них будут проходить. И вот несколько примеров того, как две точки можно соединить разными способами:

Однако есть и способ задать интерполяционную кривую однозначно. В самом классическом случае, в качестве интерполяционной кривой берут полином:

Для того, чтобы провести через имеющиеся точки такой полином единственным образом, необходимо и достаточно, чтобы степень полинома была на 1 меньше, чем количество условий (я специально выделил это слово, потому что в конце этого раздела я вернусь к этой формулировке). Пока что, простоты ради, условием будут являться координаты точки. Говоря человеческим языком, через 2 точки однозначным образом можно провести прямую (полином 1-ой степени), через 3 точки – параболу (полином 2-ой степени) и т.д.

Возвращаясь к нашей задаче с температурой – в ней мы определили 6 точек, значит, для того, чтобы провести полином единственным образом, он должен быть 5-ой степени

Интерполирующий полином тогда будет выглядеть так:

$inline$-\frac{x^5}{14580}+\frac{13x^4}{1944}-\frac{41x^3}{162}+\frac{983x^2}{216}-\frac{2273x}{60}+117$inline$

А сейчас следует сделать важное замечание и пояснить, что я имел ввиду под «условием» . Полином можно задать не только координатами точек, через которые он проходит, условиями могут быть любые параметры этого полинома. В простейшем случае это действительно координаты точек. Но в качестве условия можно взять, например, первую производную этого полинома в какой-либо из точек. Вторую производную. Третью производную. В общем, любую возможную производную в любой из точек, в которой этот полином существует. Поясню на примере:
Прямую можно задать однозначно, как я уже говорил, двумя точками:

Ту же прямую, с другой стороны, можно определить координатой одной точки и углом наклона альфа к горизонтали:

С полиномами более высоких степеней можно использовать и более сложные условия (вторая производная, третья производная, etc.), и каждый такой параметр будет идти в общий счет количества условий, которые однозначным образом определят этот полином. Чтобы не быть голословным, вот еще пример:

Пусть нам заданы такие три условия:

Условий три, значит, мы хотим получить полином второй степени:

Подставляем

Считаем первую производную и считаем

Считаем вторую производную и считаем

Отсюда получаем, что наш полином выглядит так:

Интерполяция кубическими сплайнами

Вот, по тиху, мы и подбираемся к моей задаче. Полиномиальная интерполяция – не единственно возможный способ интерполяции. Среди всех прочих методов существует метод интерполяции кубическими сплайнами.

Принципиальное отличие идеи сплайн-интерполяции от интерполяции полиномом состоит в том, что полином один, а сплайн состоит из нескольких полиномов, а именно их количество равно количеству инервалов, внутри которых мы производим интерполяцию. В примере с нашей температурой воздуха, в которой у нас определено 6 точек, у нас будет 5 интервалов – соответственно, у нас будут 5 полиномов, каждый на своем интервале.

Каждый из этих полиномов – это полином третьей степени (строго говоря, степени не выше третьей, так как на каком-то из интервалов интерполирующая кривая может становиться квадратичной параболой или даже линейной функцией, но в общем случае это все-таки полином именно третьей степени). Записывая вышесказанное формульно, получим что все наши точки будут соединены некоей кривой , где каждый – это полином третьей степени, а именно:

Возвращаясь к рассказанному в предыдущем пункте, для того, чтобы однозначно задать один полином 3-ей степени, необходимо 4 условия. В этой задаче у нас 5 полиномов, то есть, чтобы задать их все, нам нужно суммарно 5∙4=20 условий. И вот как они получаются:

1) Первый полином определен на первой и второй точках – это два условия. Второй полином определен на второй и третьей точках – еще два условия. Третий полином, четвертый, пятый – каждый из них определен на 2-х точках – суммарно это дает 10 условий.

2) Для каждой промежуточной точки из множества (а это 4 точки с временами 12:00, 15:00, 18:00, 21:00) должно выполняться условие, что первые и вторые производные для левого и правого полиномов должны совпадать. Формульно:

По два таких условия на каждую из промежуточных точек дает еще 8 условий. Следует добавить, что мы задаем только сам факт равенства, а какое конкретно значение они при этом принимают – это совершенно иная задача и считается она довольно сложно.

3) Остаются два условия, которые пока еще не определены. Это так называемые «граничные условия», от задания которых и зависит, какой именно сплайн получится. Обычно задают вторые производные на концах интервала равными 0:

Если сделать так, то мы получим так называемый «естественный сплайн». Для вычисления таких сплайнов написано уже огромное количество библиотек, бери и используй любую.

Отличие моего задания от классической постановки задачи, мои размышления над заданием и само решение

И вот мы подошли к условию моей задачи. Преподаватель придумал такое задание, что задаваться должны первые производные и на левом и правом концах интервала, а программа должна считать интерполирующую кривую. А для такого требования готовых алгоритмов я не нашел…
Я, разумеется, не стану описывать весь твой «творческий» путь от момента, когда я услышал задание, до того, как я его сдал. Расскажу лишь саму идею и покажу ее реализацию.

Сложность задания состоит в том, что, задавая первые производные на концах интервала, да, мы задаем этот сплайн. Теоретически. А вот посчитать его на практике – задача довольно сложная и совершенно неочевидная (желающие могут посмотреть код нахождения естественного сплайна на Вики – ru.wikipedia.org/wiki/Кубический_сплайн – и попробовать его понять хотя бы). Разумеется, я совершенно не хотел провести кучу времени, закопавшись в матан и пытаясь вывести нужные мне формулы. Я хотел более простое и элегантное решение. И я его нашел.
Рассмотрим наш сплайн и возьмем первый из его интервалов. На этом интервале уже заданы 3 условия:

Задается пользователем

Для того, чтобы однозначно задать кубический полином на этом интервале, нам не хватает еще лишь одного условия. Но мы можем его просто придумать! Возьмем вторую производную и положим ее равной, например, 0:

Ничем не обоснованное предположение

Таким образом, зная эти 4 условия, мы полностью определяем этот полином. Зная все параметры этого полинома, мы можем вычислить значения первой и второй производных на второй точке, и поскольку они совпадают со значениями первой и второй производной для полинома на втором интервале, это приводит к тому, что мы также определяем и второй полином:

Вычисляется из

Вычисляется из

Аналогично мы считаем третий полином, четвертый, пятый и так далее, сколько бы их ни было. То есть, по факту, воссоздаем весь сплайн. Но поскольку мы взяли совершенно случайным образом, это приведет к тому, что производная , заданная пользователем на правом конце сплайна, не будет совпадать с производной , которая получилась у нас в ходе таких вычислений. Но получается, что значение производной на правом конце сплайна – это функция, зависящая от значения второй производной на левом конце:

А поскольку такой сплайн, который бы удовлетворял заданным условиям, гарантированно существует, и существует в единственном экземпляре, это значит, что мы можем рассмотреть разность:

И попытаться найти такое значение , при котором обращалась бы в 0 – и это будет тем самым правильным значением , которое строит искомый пользователем сплайн:

Самое замечательное в моей идее то, что эта зависимость оказалась линейной (вне зависимости от количества точек, через которые мы проводим сплайн. Этот факт доказан теоретическими подсчетами), а значит можно случайным образом взять любые два начальные значения и , посчитать и , и сразу же посчитать то самое верное значение, которое построит нам искомый сплайн:

Итого, мы гарантированно находим искомый сплайн за 3 прогонки таких вычислений.

Немного кода и скриншотов программы

class CPoint { public int X { get; } public int Y { get; } public double Df { get; set; } public double Ddf { get; set; } public CPoint(int x, int y) { X = x; Y = y; } }

Class CSplineSubinterval { public double A { get; } public double B { get; } public double C { get; } public double D { get; } private readonly CPoint _p1; private readonly CPoint _p2; public CSplineSubinterval(CPoint p1, CPoint p2, double df, double ddf) { _p1 = p1; _p2 = p2; B = ddf; C = df; D = p1.Y; A = (_p2.Y - B * Math.Pow(_p2.X - _p1.X, 2) - C * (_p2.X - _p1.X) - D) / Math.Pow(_p2.X - _p1.X, 3); } public double F(int x) { return A * Math.Pow(x - _p1.X, 3) + B * Math.Pow(x - _p1.X, 2) + C * (x - _p1.X) + D; } public double Df(int x) { return 3 * A * Math.Pow(x - _p1.X, 2) + 2 * B * (x - _p1.X) + C; } public double Ddf(int x) { return 6 * A * (x - _p1.X) + 2 * B; } }

Class CSpline { private readonly CPoint _points; private readonly CSplineSubinterval _splines; public double Df1 { get { return _points.Df; } set { _points.Df = value; } } public double Ddf1 { get { return _points.Ddf; } set { _points.Ddf = value; } } public double Dfn { get { return _points[_points.Length - 1].Df; } set { _points[_points.Length - 1].Df = value; } } public double Ddfn { get { return _points[_points.Length - 1].Ddf; } set { _points[_points.Length - 1].Ddf = value; } } public CSpline(CPoint points) { _points = points; _splines = new CSplineSubinterval; } public void GenerateSplines() { const double x1 = 0; var y1 = BuildSplines(x1); const double x2 = 10; var y2 = BuildSplines(x2); _points.Ddf = -y1 * (x2 - x1) / (y2 - y1); BuildSplines(_points.Ddf); _points[_points.Length - 1].Ddf = _splines[_splines.Length - 1].Ddf(_points[_points.Length - 1].X); } private double BuildSplines(double ddf1) { double df = _points.Df, ddf = ddf1; for (var i = 0; i < _splines.Length; i++) { _splines[i] = new CSplineSubinterval(_points[i], _points, df, ddf); df = _splines[i].Df(_points.X); ddf = _splines[i].Ddf(_points.X); if (i < _splines.Length - 1) { _points.Df = df; _points.Ddf = ddf; } } return df - Dfn; } }

Синие отрезки - это первые производные сплайна в соответствующих его точках. Добавил такой вот графический элемент для большей наглядности.

Достоинства и недостатки алгоритма

Признаюсь честно, я не проводил сколь-либо серьезного анализа. По-хорошему стоило бы написать тесты, проверить, как оно работает в разных условиях (мало/много точек интерполяции, равное/произвольное между точками, линейные/квадратные/кубические/тригонометрические/etc. функции и так далее), но я этого не сделал, простите:)

Навскидку можно сказать, что сложность алгоритма - O(N), так как, как я уже говорил, вне зависимости от количества точек, достаточно двух прогонов вычислений, чтобы получить правильное значение второй производной на левом конце интервала, и еще одного, чтобы построить сплайн.

Впрочем, если кому-то захочется покопаться в коде и провести какой-нибудь более подробный анализ этого алгоритма, я буду только рад. Напишите мне разве что о результатах, мне было бы интересно.

Так а в чем провинились тесты IQ?

В самом начале статьи я написал два числовых ряда и попросил их продолжить. Это довольно частый вопрос во всяких IQ тестах. В принципе, вопрос как вопрос, но если копнуть чуть глубже, окажется, что он довольно бредовый, потому что при некотором желании можно доказать, что «правильного» ответа на него не имеется.

Рассмотрим для начала ряд «2, 4, 6, 8, ?»
Представим себе этот числовой ряд как множество пар значений :

Где в качестве мы берем само число, а в качестве – порядковый номер этого числа. Какое значение должно быть на месте ?

Мысль, к которой я стараюсь плавно подвести – это то, что мы можем подставить абсолютно любое значение. Ведь что по факту проверяют такие задачи? Способность человека найти некое правило, которое связывает все имеющиеся числа, и по этому правилу вывести следующее число в последовательности. Говоря научным языком, здесь стоит задача экстраполяции (задача интерполяции состоит в том, чтобы найти кривую, проходящую через все точки внутри некоторого интервала, а задача экстраполяции – продолжить эту кривую за пределы интервала, «предсказав» таким образом поведение кривой в дальнейшем). Так вот, экстраполяция не имеет однозначного решения. Вообще. Никогда. Если бы было иначе, люди давным-давно бы предсказали прогноз погоды на всю историю человечества вперед, а скачки курса рубля никогда не были бы неожиданностью.

Разумеется, предполагается, что верный ответ в этой задаче все-таки есть и он равен 10, и тогда «закон», связывающий все эти числа, – это Добавить метки

Кривые и поверхности, встречающиеся в практических задачах, часто имеют довольно сложную форму, не допускающую универсального аналитического задания в целом при помощи элементарных функций. Поэтому их собирают из сравнительно простых гладких фрагментов - отрезков (кривых) или вырезков (поверхностей), каждый из которых может быть вполне удовлетворительно описан при помощи элементарных функций одной или двух переменных. При этом вполне естественно потребовать, чтобы гладкие функции, которые используются для построения частичных кривых или поверхностей, имели схожую природу, например, были бы многочленами одинаковой степени. А чтобы получающаяся в результате кривая или поверхность оказалась достаточно гладкой, необходимо быть особенно внимательным в местах стыковки соответствующих фрагментов. Степень многочленов выбирается из простых геометрических соображений и, как правило, невелика. Для гладкого изменения касательной вдоль всей составной кривой достаточно описывать стыкуемые кривые при помощи много-членов третьей степени, кубических многочленов. Коэффициенты таких многочленов всегда можно подобратьтак, чтобы кривизна соответствующей составной кривой была непрерывной. Кубические сплайны, возникающие при решении одномерных задач, можно приспособить к посгрое нию фрагментов составных поверхностей. И здесь вполне естественно появляются бикубические сплайны, описываемые при помощи многочленов третьей степени по каждой из двух переменных. Работа с такими сплайнами требует уже значительно большего объема вычислений. Но правильно организованный процесс позволитучесть непрерывно нарастающие возможности вычислительной техники в максимальной степени. Сплайн-функции Пусть на отрезке , то есть Замечание. Индекс (t) у чисел а^ указывает на то. что набор коэффициентов, которым определяется функция 5(х), на каждом частичном отрезке Д, свой. На каждом из отрезков Д1, сплайн 5(х) является многочленом степени р и определяется на этом отрезке р + 1 коэффициентом. Всего частичных отрезков - то. Значит, для того, чтобы полностью определить сплайн, необходимо найти (р + 1)то чисел Условие) означает непрерывность функции 5(ж) и ее производных во всех внутренних узлах сетки ш. Число таких узлов m - 1. Тем самым, для отыскания коэффициентов всех многочленов получается р(т - 1) условий (уравнений). Для полного определения сплайна недостает (условий (уравнений). Выбор дополнительных условий определяется характером рассматриваемой задачи, а иногда и просто - желанием пользователя. ТЕОРИЯ СПЛАЙНОВ примеры решения Наиболее часто рассматриваются задачи интерполяции и сглаживания, когда требуется построить тот или иной сплайн по заданному массиву точек на плоскости В задачах интерполяции требуется, чтобы график сплайна проходил через точки что накладывает на его коэффициенты m + 1 дополнительных условий (уравнений). Остальные р - 1 условий (уравнений) для однозначного построения сплайна чаще всего задают в виде значений младших производных сплайна на концах рассматриваемого отрезка [а, 6] - граничных (краевых) условий. Возможность выбора различных граничных условий позволяет строить сплайны, обладающие самыми разными свойствами. В задачах сглаживания сплайн строят так, чтобы его график проходил вблизи точек (я»» У»), * = 0, 1,... , т, а не через них. Меру этой близости можно определять по-разному, что приводит к значительному разнообразию сглаживающих сплайнов. Описанные возможности выбора при построении сплайн-функций далеко не исчерпывают всего их многообразия. И если первоначально рассматривались только кусочно полиномиальные сплайн-функции, то по мере расширения сферы их приложений стали возникать сплайны, «склеенные» и из других элементарных функций. Интерполяционные кубические сплайны Постановка задачи интерполяции Пусть на отрезке [а, 6) задана сетка ш Рассмотрим набор чисел Задача. Построить гладкую на отрезке (а, 6] функцию которая принимает в узлах сетки о» заданные значения, то есть Замечание. Сформулированная задача интерполяции состоит в восстановлении гладкой функции, заданной таблично (рис. 2). Ясно, что такая задача имеет множество различных решений. Накладывая на конструируемую функцию дополнительные условия, можно добиться необходимой однозначности. В приложениях часто возникает необходимость приблизить функцию, заданную аналитически, при помощи функции с предписанными достаточно хорошими свойствами. Например, в тех случаях, когда вычисление значений заданной функции /(х) в точках отрезка [а, 6] связано со значительными трудностями и/или заданная функция /(х) не обладает требуемой гладкостью, удобно воспользоваться другой функцией, которая достаточно хорошо приближала бы заданную функцию и была лишена отмеченных ее недостатков. Задача интерполяции функции. Построить на отрезке [а, 6] гладкую функцию а(х), совпадающую в узлах сетки ш с заданной функцией /(х). Определение интерполяционного кубического сплайна Интерполяционным кубическим сплайном S(x) на сетке ш называется функция, которая 1) на каждом из отрезков, представляет собой многочлен третьей степени, 2) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [а, Ь], то есть принадлежит классу С2[а, 6], и 3) удовлетворяет условиям На каждом из отрезков сплайн S(x) является многочленом третьей степени и определяется на этом отрезке четырьмя коэффициентами. Всего отрезков - т. Значит, для того, чтобы полностью определить сплайн, необходимо найти 4т чисел Условие означает непрерывность функции S(x) и ее производных S"(x) и 5"(х) во всех внутренних узлах сетки ш. Число таких узлов - m - 1. Тем самым, для отыскания коэффициентов всех многочленов получается еще 3(m - 1) условий (уравнений). Вместе с условиями (2) получается условия (уравнения). Граничные (краевые) условия Два недостающих условия задаются в виде ограничений на значения сплайна и/или его производных на концах промежутка [а, 6]. При построении интерполяционного кубического сплайна наиболее часто используются краевые условия следующих четырех типов. A. Краевые условия 1-го типа. - наконцах промежутка [а, Ь] задаются значения первой производной искомой функции. Б. Краевые условия 2-го типа. - наконцах промежутка (а, 6) задаются значения второй производной искомой функции. B. Краевые условия 3-го типа. называются периодическими. Выполнения этих условий естественно требовать в тех случаях, когда интерполируемая функция является периодической с периодом Т = Ь-а. Г. Краевые условия 4-го типа. требуют особого комментария. Комментарий. Во внутренних узлах сепси третья производная функции S(x), вообще говоря, разрывна. Однако число разрывов третьей производной можно уменьшить при помоши условий 4-го типа. В этом случае построенный сплайн будет трижды непрерывно дифференцируем на промежутках Построение интерполяционного кубического сплайна Опишем способ вычисления коэффициентов кубического сплайна, при котором число величин, подлежащих определению, равно. На каждом из промежутков интерполяционная сплайн-функция ищется в следующем виде Здесь ТЕОРИЯ СПЛАЙНОВ примеры решения а числа являются решением системы линейных алгебраических уравнений, вид которой зависит от типа краевых условий. Для краевых условий 1-го и 2-го типов эта система имеет следующий вид где Коэффициенты зависят от выбора краевых условий. Краевые условия 1-го типа: Краевые услоемв 2-го типа: В случае краевых условий 3-го типа система для определения чисел записывается так Число неизвестных в последней системе равно тп, так как изусловия периодичности вытекает, что по = пт. Для краевых условий 4-го типа система для определения чисел, имеет вид где По найденному решению системы числа по и пт можно определить при помощи формул Важное замечание. Матрицы всех трех линейных алгебраических систем являются матрицами с диагональным преобладавшем. Тамие матрицы не вырождены, и потому каждая из этих систем имеет единственное решение. Теорема. Интерполяционный кубический сплайн, удовлетворяющий условиям (2) и краевому условию одного из перечисленных четырех типов, существует и единствен. Таким образом, построить интерполяционный кубический сплайн - это значит найти его коэффициенты Когда коэффициенты сплайна найдены, значение сплайна S(x) в произвольной точке отрезка [а, Ь] можно найти г!о формуле (3). Однако для практических вычислений больше подходит следующий алгоритм нахождения величины 5(ж). Пусть х 6 [х», Сначала вычисляются величины А и В по формулам а затем находится величина 5(ж): Применение этого алгоритма существенно сокращает вычислительные затраты на определение величины Советы пользователю Выбор граничных (краевых) условий и узлов интерполяции позволяет в известной степени управлять свойствами интерполяционных сплайнов. А. Выбор граничных (краевых) условий. Выбор граничных условий является одной из центральных проблем при интерполяции функций. Он приобретает особую важность в том случае, когда необходимо обеспечить высокую точность аппроксимации функции f(x) сплайном 5(ж) вблизи концов отрезка [а, 6). Граничные значения оказывают заметное влияние на поведение сплайна 5(ж) вблизи точек а и Ь, и это влияние по мере удаления от них быстро ослабевает. Выбор граничных условий часто определяется наличием дополнительных сведений о поведении аппроксимируемой функции f(x). Если на концах отрезка (а, 6] известны значения первой производной f"(x), то естественно воспользоваться краевыми условиями 1-го типа. Если на концах отрезка [а, 6) известны значения второй производной f"(x), то естественно воспользоваться краевыми условиями 2-го типа. Если есть возможность выбора между краевыми условиями 1-го и 2-го типов, то предпочтение следует отдать условиям 1- го типа. Если f(x) - периодическая функция, то следует остановиться накраевых условиях 3-го типа. В случае, если никакой дополнительной информации о поведении аппроксимируемой функции нет, часто используют так называемые естественные граничные условия Однако следует иметь ввиду, что при таком выборе граничны*условий точность аппроксимации функции f(x) сплайном S(x) вблизи концов отрезка (а, ft] резко снижается. Иногда используются краевые условия 1-го или 2-го типа, но не с точными значениями соответствующих производных, а с их разностными аппроксимациями. Точность такого подхода невысока. Практический опыт расчетов показывает, что в рассматриваемой ситуации наиболее целесообразным является выбор граничных условий 4-го типа. Б. Выбор узлов интерполяции. Если третья производная f""(x) функции терпитразрыв в не которыхточках отрезка [а, Ь], то для улучшения качества аппроксимации эти точки следует включить в число узлов интерполяции. Если разрывна вторая производная /"(х), то для того, чтобы избежать осцилляции сплайна вблизи точек разрыва, необходимо принять специальные меры. Обычно узлы интерполяции выбирают так, чтобы точки разрыва второй производной попадали внутрь промежутка \xif), такого, что. Величину а можно выбрать путем численного эксперимента (часто достаточно положить а =0,01). Существует набор рецептов по преодолению трудностей, возникающих при разрывной первой производной f"{x). В качестве одного из самых простых можно предложить такой: разбить отрезок аппроксимации на промежутки, где производная непрерывна, и на каждом из этих промежутков построить сплайн. Выбор интерполяционной функции (плюсы и минусы) Подход 1-й. Интерполяционный многочлен Лагранжа По заданному массиву ТЕОРИЯ СПЛАЙНОВ примеры решения (рис.3) интерполяционный многочлен Лагранжа определяется формулой Свойства интерполяционного многочленаЛагранжа целесообразно рассматривать с двух противоположных позиций, обсуждая основные достоинства отдельно от недостатков. Основные достоинства 1 -го подхода: 1) график интерполяционного многочлена Лагранжа проходит через каждую точку массива, 2) конструируемая функция легко описывается (число подлежащих определению коэффициентов интерполяционного многочлена Лагранжа на сетке и> равно m + 1), 3) построенная функция имеет непрерывные производные любого порядка, 4) заданным массивом интерполяционный многочлен определен однозначно. Основные недостатки 1 -го подхода: 1) степень интерполяционного многочлена Лагранжа зависит от числа узлов сетки, и чем больше это число, тем выше степень интерполяционного многочлена и, значит, тем больше требуется вычислений, 2) изменение хотя бы одной точки в массиве требует полного пересчета коэффициентов интерполяционного многочлена Лагранжа, 3) добавление новой точки в массив увеличивает степень интерполяционного многочлена Лагранжа на единицу и таиже приводит к полному пересчету его коэффициентов, 4) при неограниченном измельчении сетки степень интерполяционного многочлена Лагранжа неограниченно возрастает. Поведение интерполяционного многочлена Лагранжа при неограниченном измельчении сетки вообше требует особого внимания. Комментарии А. О приближении непрерывной функции многочленом. Известно (Вейерштрасс, 1885 год), что всякая непрерывная (а тем более гладкая) на отрезке функция может быть как угодно хорошо приближена на этом отрезке многочленом. Опишем этот факт на языке формул. Пусть f(x) - функция, непрерывная на отрезке [а, 6]. Тогдадл я любого е > 0 найдется такой многочлен Р„(х),чтодля любого х из промежутка [а, 6] будет выполняться неравенство (рис. 4) Отметим, что многочленов даже одной степени, приближающих функцию f(x) с указанной точностью, существует бесконечно много. Построим наотрезке [а, 6] сетку w. Ясно, что ее узлы, вообще говоря, не совпадают с точками пересечения графиков многочлена Рп(х) и функции f(x) (рис. 5). Поэтому для взятой сетки многочлен Рп(х) не является интерполяционным. При аппроксимации непрерывной функции интерполяционным многочленом Jla-гракжа его график не только не обязан быть близким графику функции f(x) в каждой точке отрезка [а, Ь), но может уклоняться от этой функции как угодно сильно. Приведем два примера. Пример 1 (Рунг, 1901 год). При неограниченном увеличении числа узлов для функции на отрезке [-1, 1] выполняется предельное равенство (рис.6) Пример 2 (Бериштейн, 1912год). Последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа построенных на равномерных сетках шт для непрерывной функции /(х) = |х| на отрезке с возрастанием числе узлов т не стремится к функции /(х) (рис.7). Подход 2-й. Кусочно-лииейнм интерполяция При отказе от гладкости интерполируемой функции соотношение между числом достоинств и числом недостатков можно заметно изменить в сторону первых. Построим кусочно-линейную функцию путем последовательного соединения точек (xit у,) прямолинейными отрезками (рис. 8). Основные достоинства 2 -го подхода: 1) график кусочно-линейной функции проходит через каждую точку массива, 2) конструируемая функция легко описывается (число подлежащих определению коэффициентов соответствующих линейных функций для сетки (1) равно 2т), 3) заданным массивом построенная функция определена однозначно, 4) степень многочленов, используемых для описания интерполяционной функции, не зависит от числа узлов сетки (равна 1), 5) изменение одной точки в массиве требует вычисления четырех чисел (коэффициентов двух прямолинейных звеньев, исходящих из новой точки), 6) добавление дополнительной точки в массив требует вычисления четырех коэффициентов. Кусочно-линейная функция достаточно хорошо ведет себя и при измельчении сетки. я Основной недостаток 2-гоподхода: аппроксимирующая кусочно-линейная функция не является гладкой: первые производи ые терпят разрыв в узлах сетки (ушах интерполяции). Подход 3-й. Сплайн-интерполяция Предложенные подходы можно объединить так, чтобы число перечисленных достоинств обоих подходов сохранилось при одновременном уменьшении числа недостатков. Это можно сделать путем построения гладкой интерполяционной сплайн-функции степени р. Основные достоинства 3 -го подхода: 1) график построенной функции проходит через каждую точку массива, 2) конструируемая функция сравнительно легко описывается (число подлежащих определению коэффициентов соответствующих многочленов для сетки (1) равно 3) заданным массивом построенная функция определена однозначно, 4) степень многочленов не зависит от числа узлов сетки и, следовательно, не изменяется при его увеличении, 5) построенная функция имеет непрерывные производные до порядка р - 1 включительно, 6) построенная функция обладает хорошими аппроксимационными свойствами. Краткая справка. Предложенное название - сплайн - не является случайным - введенные нами гладкие ку-сочно-полиномиальныефункции и чертежные сплайны тесно связаны. Рассмотрим гибкую идеально тон кую линейку, проходящую через расположенные на плоскости (х, у) опорные точки массива. Согласно закону Бернулли-Эйлера линеаризованное уравнение изогнутой линейки имеет вид где S(x) - изгиб, М(х) - изменяющийся линейно от опоры к опоре изгибающий момент, Е1 - жесткость линейки. Функция S(x), описывающая формулинейки, является многочленом третьей степени между каждым и двумя соседними точками массива (опорами) и дважды непрерывно дифференцируема на всем промежутке (а, 6). Комментарий. 06 интерполировании непрерывной функции В отличие от интерполяционных многочленов Лагранжа, последовательность интерполяционных кубических сплайнов на равномерной сетке всегдасходится к интерполируемой непрерывной функции, причем с улучшением дифференциальных свойств этой функции скорость сходимости повышается. Пример. Для функции кубический сплайн на сетке с числом узлов m = 6 дает погрешность аппроксимации того же порядка, что и интерполяционный многочлен Ls(z), а на сетке с числом узлов m = 21 эта погрешность настолько мала, что в масштабе обычного книжного рисунка просто не может быть показана (рис.10) (интерполяционный многочлен 1>2о(г) дает в этом случае погрешность около 10 000 Ж). Свойства имтерполяцкокного кубического сплайна А. Алпроксимационмые свойства кубического сплайна. Аппроксимационные свойства интерполяционного сплайна зависят от гладкости функции f(x) - чем выше гладкость интерполируемой функции, тем выше порядок аппроксимации и при измельчении сетки тем выше скорость сходимости. Если интерполируемая функция f(x) непрерывна на отрезке Если интерполируемая функция f{x) имеет на отрезке [а, 6] непрерывную первую производную, то есть интерполяционный сплайн, удовлетворяющий граничным условиям 1-го или 3-го типа, то при h О имеем В этом случае не только сплайн сходится к интерполируемой функции, но и производная сплайна сходится к производной этой функции. В случае, если сплайн S(x) аппроксимирует на отрезке [а, Ь] функцию f(x), а его первая и вторая производные аппроксимируют соответственно функции Б. Экстремальное свойство кубического сплайна. Интерполяционный кубический сплайн обладает еще одним полезным свойством. Рассмотрим следующий пример. ример. Построить функцию/(х), минимизирующую функционал на классе функций из пространства С2, графики которых проходят через точки массива Среди всех функций, проходящих через опорные точки (х;, /(х,)) и принадлежащих указанному пространству, именно кубический сплайн 5(х), удовлетворяющий краевым условиям доставляет Экстремум (минимум) функционалу Замечание 1. Часто именно это экстремальное свойство берут в качестве определения интерполяционного кубического сплайна. Замечание 2. Интересно отметить, что интерполяционный кубический сплайн обладает описанным выше экстремальным свойством на очень широком классе функций, а именно, на классе |о, 5 ]. 1.2. Сглаживающие кубические сплайны О постановке задачи сглаживания Пусть заданы сетка и набор чисел Комментарий к исходным данным На практике часто приходится иметь дело со случаем, когда значения у, в массиве заданы с некоторой погрешностью. Фактически это означает, что для каждого указан интервал и любое число из этого интервала может быть взято в качестве значения у, . Величины у, удобно интерпретировать, например, как результаты измерений некоторой функции у(х) при заданных значениях переменной х, содержащие случайную погрешность. При решении задачи восстановления функции по таким ее «экспериментальным» значениям вряд ли целесообразно использовать интерполяцию, поскольку интерполяционная функция будет послушно воспроизводить причудливые осцилляции, обусловленные случайной компонентой в массиве {у,}. Более естественным является подход, основанный на процедуре сглаживания, призванной как-то уменьшить элемент случайности в результате измерений. Обычно в таких задачах требуется найти функцию, значения которой при х = ж, * = 0, 1,.... т, попадали бы в соответствующие интервалы и которая обладала бы, кроме того, достаточно хорошими свойствами. Например, имела бы непрерывные первые и вторые производные, или же ее график был бы не слишком сильно искривлен, то есть не имел бы сильных осцилляций. Задача подобного рода возникает и тогда, когда по заданному (точно) массиву требуется построить функцию, которая проходилабы нечереззаданныеточки, а вблизи них и к тому же изменялась достаточно плавно. Другими словами, искомая функция как бы сглаживала заданный массив, а не интерполировала его. Пусть заданы сетка ш и два набора чисел ТЕОРИЯ СПЛАЙНОВ примеры решения Задача. Построить гладкую на отрезке [а, А] функцию, значения которой в узлах сетки и» отличались от чисел у,- на заданные величины -Зшочтио. Сформулированная задача сглаживания состоит в восстановлении гладкой функции, заданной таблично. Ясно, что такая задача имеет множество различных решений. Накладывая на конструируемую функцию дополнительные условия, можно добиться необходимой однозначности. Определение сглаживающего кубического сплайна Сглаживающим кубическим сплайном S(x) на сетке ш называется функция, которая 1) на каждом из отрезков представляет собой многочлен третьей степени, 2) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [а, 6], то есть принадлежит классу С2 [а, Ь], 3) доставляет минимум функционалу где - заданные числа, 4) удовлетворяет граничным условиям одного из трех указанных ниже типов. Граничные (краевые) условия Граничные условия задаются в виде ограничений на значения сплайна и его производных в граничных узлах сетки ш. А. Граничные условия 1-го типа. - наконцах промежутка [а, Ь) задаются значения первой производной искомой функции. Граничные условия 2-го типа. - вторые производные искомой функции на концах промежутка (а, Ь] равны нулю. В. Граничные условия 3-го типа. называются периодическими. Теорема. Кубический сплайн S(x), минимизирующий функционал (4) и удовлетворяющий краевым условиям одного из указанных трех типов, определен однозначно. Определение. Кубический сплайн, минимизирующий функционал J(f) и удовлетворяющий граничным условиям i-готипа, называется сглаживающим сплайном i-готипа. Замечание. На каждом изотрезков(,сплайн 5(х) является миоючасном третьей степени и определяется на этом отрезке четырьмя коэффициентами. Всего отрезков - т. Значит, для того, чтобы полностью определять сплайн, необходимо найти 4т чисел Условие означает непрерывность функции 5(аг) и се производных во всех внутреннж узлах сетки о». Число таких узлов - m - 1. Тем самым, для отысивния коэффициентов всех многочленов получается 3(m - 1) условий (уравнений). Построение сглаживающего кубического сплайна Опишем способвычисления коэффициентов кубическогосплайна, при котором число величин, подлежащих определению, равно 2т + 2. На каждом из промежутков сглаживающая сплайн-функция ищется в следующем виде Здесь а числа и, являются решением системы линейных алгебраических уравнений, вид которой зависитот типа краевых условий. Опишем сначала, как находятся величины п*. Для краевых условий 1-го и 2-го типов система линейных уравнений для определения величин Hi записывается в следующем виде где известные числа). Коэффициенты зависят от выбора граничных условий. Граничные условия 1-го типа: Граничные условия 2-го типа: В случае граничных условий 3-го типа система для определения чисел записывается так: причем все коэффициенты вычисляются по формулам (5) (величины с индексами к и т + к считают я равными: Важно* замечание. Матрицы систем не вы рождены и потому каждая из этих систем имеет единственное решение. Если числа п,- найдены, то величины легко определяются по формулам где В случае периодических граничных условий Выбор еесоеш коэффициентов Выбор весовых коэффициентов р,-, входящих в функционал (4), позволяете известной степени управлять свойствами сглаживающих сплайнов. Если все и сглаживающий сплайн оказывается интерполяционным. Это, в частности, означает, что чем точнее заданы величины, тем меньше дошкн ы быть соотпетствуюшие весовые коэффициенты. Если же необходимо, чтобы сплайн прошел через точку (х^, Ук), то отвечающий ем у весовой множитель р\ следует поломить равным нулю. В практический вычислениях наиболее важым является выбор величин pi-Пусть Д, - погрешность измерения величины у,. Тогда естественно потребовать, чтобы сглаживающий сплайн удовлетворял условию или, что то же, В простейшем случае весовые коэффициенты pi можно задать, например, форму- где с - некоторая достаточно малая постоянная. Однако такой выбор весов р, не позволяет использовать «коридор», обусловленный погрешностями величин у,-. Более рациональный, но и более трудоемкий алгоритм определения величин р,- может выглядеть следующим образом. Если на fc-й итерации величины найдены,то полагают где е - малое число, которое выбирается экспериментально с учетом разрядной сетки компьютера, значений Д, и точности решения системы линейных алгебраических уравнений. Если на fc-й итерации в точке я, нарушилось условие (6), то последняя формула обеспечит уменьшение соответствующего весового коэффициента р,. Если же то на следующей итерации Увеличение р, приводит к более полному использованию «коридора» (6) и, в конечном счете, более плавно изменяющемуся сплайну. Немного теории А. Обоснование формул для вычисления коэффициентов интерполяционного кубического сплайна. Введем обозначения где m, - неизвестные пока величины. Их число равно m + 1. Сплайн, записанный в форме, где удовлетворяет условиям интерполяции и непрерывен на всем промежутке [а, Ь\: положив в формуле, получим соответственно Кроме того, он имеет на промежутке [а, 6] непрерывную первую производную: продифференцировав соотношение (7) и положив, пОлучим соответ-. ственно. Покажем, что числа т, можно выбрать так, чтобы сплайн-функция (7) имела на отрезке [а, 6] непрерывную вторую производную. Вычислим на промежутке вторую производную сплайна: В точке х, - 0 (при t = 1) имеем Вычислим на промежутке вторую производную сплайна В точке имеем Из условия непрерывности второй производной во внутренних узлах сетки а; получаем m - 1 соотношение где Добавляя к этим т - 1 уравнениям еще два, вытекающих и з краевых условий, получаем систему из m+ 1 линейного алгебраического уравнения с т + I неизвестной miy i = 0, 1. ... , m. Система уравнений для вычисления величин гщ в случае краевых условий 1-го и 2-го типов имеет вид где (краевые условия 1 -го типа), (краевые условия 2 -го типа). Для периодических краевых условий (краевыеусловия 3-го типа) сетку о; удлиняют еще на один узел и полагают Тогда система для определения величин го* будет иметь вид Для того чтобы получить систему уравнений для определения чисел го, в случае краевых условий 4-го типа, найдем на отрезке [ третью производную сплайна (7) и потребуем ее непрерывности во втором и (го - !)-м узлах сетки. Имеем Из последних двух соотношений получаем недостающие два уравнения, отвечающие краевым условиям 4 -го типа: Исключая из уравнений неизвестное гоо, а из уравнений неизвестное пц, в результате получим систему уравнений Отметим, что число неизвестных в этой системе равно го - I. 6. Обоснование формул дм вычисления юэффиие кто« сглаживающего субичессого сплайна. Введем обозначения где Zi и nj - неизвестные пока величины. Их число равно 2т + 2. Сплайн-функиия, записанная в форме непрерывна на всем промежутке (а, 6]: положив в этой формуле, получим соответственно Покажем, что числа z, и п, можно выбратьтак, чтобы сплайн, записанный в форме (8), имел на промежутке [а, 6] непрерывную первую производную. Вычислим первую производную сплайна S(x) на промежутке : В точке х^ - 0 (при t = 1) имеем Вычислим первую производаую сплайна 5(х) на промежутке : В точке имеем Из условия непрерывности первой производой сплайна во внутренних узлах сетки и --> получаем m - 1 соотношение Эту связь удобно записать в матричной форме Здесь использованы следующие обозначения Кроме того, сплайн на промежутке [а, 6} имеет непрерывную вторую производную: продифференцировав соотношение (8) и положив, получим соответственно Еше олю матричное соотношение получается из условия минимума функционала (4). Имеем Два последних матричных равенства можно рассматривать как линейную систему 2т+2 линейных алгебраических уравнений относительно 2т + 2 неизвестных. Заменяя в первом равенстве столбец г его выражением, полученным из соотношения (9), приходим к матричному уравнению ТЕОРИЯ СПЛАЙНОВ примеры решения для определения столбца М. Это уравнение имеет единственное решение вследствие того, что матрица A + 6HRH7 всегда невырождена. НаЙдяего, мылегко определяем г. Эамсшине. Элементы трелдмаголальн ых матриц А и Н определяющие я только параметрами сетки и (сс шагами hi) и не зависят от величин у^. Линейное пространство кубических сплайн-функций Множество кубических сплайнов, построенных на отрезке [а, 6) по сетке wcra+l узлом, является линейным пространством размерности т + 3: 1) сумма двух кубических сплайнов, построенных по сетке и>, и произведение кубического сплайна, построенного по сетке и>, на произвольное число тайнее являются кубическими сплайнами, построенными по этой сетке, 2) любой кубический сплайн, построенный по сетке и из узла, полностью определяется т + 1 значением величин у» в этих узлах и двумя граничными условиями - всего то + 3 параметрами. Выбрав в этом пространстве базис, состоящий из m + 3 линейно независимых сплайнов, мы можем записать произвольный кубический сплайн а(х) в виде их линейной комбинации причем единственным образом. Замечание. Подобное задание сплайна широко распространено в вычислительной практике. Особенно удобным является базнс, состоящий из так называемых кубических В -сплайнов (базовых, или фундаментальных, сплайнов). Применение Д-сплайнов позволяет существенно снизить требования к объему памяти компьютера. Л-сплайны. В -сплайномнулевой степени, построенным на числовой прямой по сетке ш, называется функция вила В -сплайн степени к ^ I, построенный на числовой прямой по сетке иг, определяется посредством рекуррентной формулы Графики В -сплайнов первой В,-1"(ж) и второй в\7\х) степеней представлены на рис. 11 и 12 соответственно. В-сплайн произвольной степени к может быть отличен от нуля только на некотором отрезке (определяемом к + 2 узлами). Кубические В-сплайны удобнее нумеровать так, чтобы сплайн В,-3* (я) был отличен от нуля на отрезке яг,-+2]. Приведем формулу для кубического сплайна третьей степени для случая равномерной сетки (с шагом Л). Имеем в остальных случаях. Типичный график кубического В-сплайна представлен на рис. 13. Займами*. функция а) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке то есть принадлежат классу С2[а, »}, к б) отлична от нуля толь ко на четырех последовательных отрезках (Дополним сетку ш вспомогательными узлами взятыми совершенно произвольно. По расширенной сетке ш* можно построить семейство из m + 3 кубических В -сплайнов: Это семейство образует базис в пространстве кубических сплайнов на отрезке (а, Ь]. Тем самым, произвольный кубический сплайн S(z), построенный на отрезке |в, 6] посетке о; изт+1 узла, может быть представлен наэтом отрезке в виде линейной комбинации Условиями задачи коэффициенты ft, этого разложения определяются однозначно. ... В случае, когда заданы значения у* функции в узлах сетки и значения у о и Ут первой производной функции на концах сетки"(задача интерполяций с граничными условиями первого рода), эти коэффициенты вычисляются из системы следующего вида После исключения величин б-i и &m+i получается линейная система с неизвестными 5q, ... , Ьт и трех диаюнальной матрицей. Условие обеспечивает диагональное преобладание и, значит, возможность применения метода прогонки для ее разрешения. 3ММЧМЮ 1. Линейные системы аналогичного вида возникают лрн рассмотрении и других задач интерполяции. Зммчнм* 2. В сравнении с алгоритмами, описанными в раздеде 1.1, применение Я-сплайн в * задачах интерполяции позволяет уменьшит* объем хранимой информации, то есть сушественно снизить требования к объему памяти компьютере, хотя и приводит к увеличению числа операций. Построение сплайноаых кривых при помощи сплайн-функций Выше рассматривались массивы, точки которых были занумерованы так, что их абсциссы образовывали строго возрастающую последовательность. Например, случай, изображенный на рис. 14, когда у разных точек массива одинаковые абсциссы, не допускался. Это обстоятельств о определяло и выбор класса аппроксимирующих кривых (трафики функций), и способ их построения. Однако предложенный выше метод позволяет достаточно успешно строить интерполяционную кривую и в более общем случае, когда нумерация точек массива и их расположение на плоскости, как правило, не связаны (рис. 15). Более того, ставя задачу построения интерполяционной кривой, можно считать заданный массив неплоски м, то есть Ясно, что для решения этой общей задачи необходимо существенно расширить класс допусти мых кривых, включив в него и замкнутые кривые, и кривые, имеющие точки самопересечения, и пространственные кривые. Такие кривые удобно описывать при помощи параметрических уравнений Потребуем. дополнительно, чтобы функции обладали достаточной гладкостью, например, принадлежали классу С1 [а, /0] или классу Для отыскания параметрических уравнений кривой, последовательно проходящей через все точки массива, поступают следующим образом. 1-й шаг. На произвольно взятом отрезке }