Лекция: Позиционные и непозиционные системы счисления. Доклад: Позиционная система счисления. Двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная Позиционные и непозиционные системы счисления кратко

Тема: Системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления.

Цель: познакомить с историей возникновения и развития систем счисления, указать на основные недостатки и преимущества непозиционных систем счисления.

Программно-дидактическое обеспечение урока: ПК, раздаточный материал, плакаты.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Постановка целей урока.

1. «Все есть число». Что имели в виду древние пифагорейцы?

2. Сколько существует систем развития? Какая была самой первой и по­чему?

3. Римское число CXXVII. Какую величину оно выражает?

4. Системы счисления, основанные на позиционном принципе, воз­никли независимо одна от другой в древнем Междуречье (Вавилон), у племени Майя и, наконец, в Индии. Все это говорит о том, что возникновение позиционного принципа не было случайностью. Каковы же были предпосылки для его создания? Что привело людей к этому замечательному открытию?

5. 3FA4 - это число?

6. Кто и когда считал пятерками и дюжинами?

III. Изложение нового материала.

1. Системы счисления.

Лозунг «Все есть число»

Так говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. Современный человек каждый день запоми­нает номера машин и телефонов, в магазине подсчитывает стоимость поку­пок, ведет семейный бюджет и т. д. и т. п. Числа, цифры... они с нами везде.

Люди всегда считали и записывали числа, даже пять тысяч лет назад. Но записывали они их совершенно по-другому, по другим правилам. Но в лю­бом случае число изображалось с помощью любого или нескольких симво­лов, которые называются цифрами.

Цифры - это символы, участвующие в записи числа и составляющие не­который алфавит .

Что же такое тогда число?

Первоначально число было привязано к тем предметам, которые пересчитывались. Но с появлением письменности число отделилось от пред­метов пересчета и появилось понятие натурального числа. Дробные числа появились в связи с тем, что человеку потребовалось что-то измерять и единица измерения (эталон) не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Далее понятие числа развивалось в математике и сегодня считается фундаментальным понятием не только математики, но и информатики.

Число - это некоторая величина.

Числа складываются из цифр по особым правилам. На разных этапах раз­вития человечества, у разных народов эти правила были различны и сегодня мы их называем системами счисления.

Система счисления - это способ записи чисел с помощью цифр.

Все известные системы счисления делятся на позиционные и непозици­онные. Непозиционные системы счисления возникли раньше позицион­ных. Последние являются в свою очередь результатом длительного истори­ческого развития непозиционных систем счисления.

2. Непозиционные системы счисления.

Непозиционной называется такая система счисления, у которой коли­чественный эквивалент («вес») цифры не зависит от ее местоположения в записи числа.

1) Единичная система счисления.

В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Количество предметов, например, мешков, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: кам­не, глине, дереве (до изобретения бумаги было еще очень далеко). Каждому мешку в такой записи соответствовала одна черточка. Археологами найде­ны такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к перио­ду палеолита (10-11 тысяч лет до н. э.).

Ученые назвали этот способ записи чисел единичной или унарной систе­мой счисления. Неудобства такой системы счисления очевидны: чем боль­шее число надо записать, тем больше палочек. При записи большого числа легко ошибиться - нанести лишнее количество палочек или, наоборот, не дописать палочки.

Поэтому позже эти значки стали объединять в группы по 3,5 и 10 палочек. Таким образом, возникали уже более удобные системы счисления. Отголос­ки единичной системы счисления встречаются и сегодня. Например, сами того не осознавая, малыши на пальцах показывают свой возраст, а счетные палочки использовали для обучения счету учеников 1 класса .

2) Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система возникла во вто­рой половине третьего тысячелетия до н. э. Бумагу заменяла глиняная до­щечка, и именно поэтому цифры имеют такое начертание.

В этой системе счисления использовали в качестве цифр ключевые числа 1, 10, 100, 1000 и т. д. и записывались они при помощи специальных иероглифов.

Именно из комбинации таких «цифр» записывались числа и каждая «цифра» повторялось не более девяти раз.

Почему? (Так как десять подряд идущих одинаковых цифр можно заме­нить одним числом, но на разряд старше .) Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи обычного сложения. Вначале писали число высшего порядка, а затем низшего.

Число 2346 «рисовалось» так:

Два цветка лотоса (две тысячи);

Три свернутых пальмовых листа (три сотни);

Четыре дуги (четыре десятка);

Два шеста (две единицы).

Умножение и деление египтяне производили путем последовательного удвоения чисел - особая роль отводилась двойке.

Египтяне вычисляли 19×31 так: они последовательно удваивали число 31. В правом столбце записывали результаты удвоения, а в левой - соответс­твующую степень двойки.

https://pandia.ru/text/78/014/images/image002_94.gif" width="14 height=14" height="14">Славяне, как и греки, умели записывать числа и больше 1000. Для этого к алфавитной системе добавляли новые обозначения. Так, например, числа 1000, 2000, 3000...записывали теми же «цифрами», что и 1,2, 3..., толь­ко перед «цифрой» ставили слева снизу специальный знак.

Число 10000 обозначалось той же буквой, что и 1, только без титла, ее обводили кружком. Называлось это число «тьмой». Отсюда и произошло выражение «тьма народу».

Таким образом, для обозначения «тем» (множественное число от слова тьма) первые 9 «цифр» обводились кружками.

10 тем, или, было единицей высшего разряда. Ее называли «леги­он». 10 легионов составляли «леорд». Самая большая из величин, имеющих свое обозначение, называлась «колода», она равнялась 1050. Считалось, что «боле сего несть человеческому уму разумевати».

Такой способ записи чисел, как в алфавитной системе, можно рас­сматривать как зачатки позиционной системы, так как в нем для обоз­начения единиц разных разрядов применялись одни и те же символы, к которым лишь добавлялись специальные знаки для определения значе­ния разряда.

Алфавитные системы счисления были мало пригодны для оперирования с большими числами. В ходе развития человеческого общества эти системы уступили место позиционным системам.

3. Переход от непозиционных систем счисления к позиционным.

Каковы недостатки непозиционных систем счисления? (В записи больших чисел участвует большое количество цифр. Неудобно выполнять арифметические действия. Невозможно представлять отрицательные и дробные числа.)

В связи с вышеназванными недостатками непозиционные системы счис­ления постепенно уступили место позиционным системам счисления.

Индийская мультипликативная система

Системы счисления, основанные на позиционном принципе, возникли независимо одна от другой в древнем Междуречье (Вавилон), у племени Майя и, наконец, в Индии. Все это говорит о том, что возникновение пози­ционного принципа не было случайностью.

Каковы же были предпосылки для его создания? Что привело людей к этому замечательному открытию?

Чтобы ответить на эти вопросы, мы снова обратимся к истории о древнем Китае, Индии, и в некоторых других странах существовали системы записи, построенные на мультипликативном принципе.

Пусть, например, десятки обозначаются символом X, а сотни - Y. Тогда запись числа 323 схематично будет выглядеть так: 3Y 2Х 3. В таких системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч применя­ются одни и те же символы, но после каждого символа пишется название соответствующего разряда. С использованием введенных обозначений чис­ло 100 можно записать в виде 1Y.

Следующей ступенью к позиционному принципу было опускание назва­ний разрядов при письме подобно тому, как мы говорим «три двадцать», а не «три рубля двадцать копеек ». Но при записи чисел по такой системе очень часто требовался символ для обозначения отсутствующего разряда.

Современная десятичная система счисления возникла приблизительно в V веке н. э. в Индии. Возникновение этой системы стало возможно после величайшего открытия - цифры «0» для обозначения отсутствующей ве­личины.

Как же появился нуль?

Кто ознакомился с вавилонской системой счисления, тот помнит, что уже вавилоняне употребляли специальный символ для обозначения нулевого разряда. Примерно во II веке до н. э. с астрономическими наблюдениями ва­вилонян познакомились греческие ученые. Вместе с их вычислительными таблицами они переняли и вавилонскую систему счисления, но числа от 1 до 59 они записывали не клиньями, а в своей алфавитной нумерации. Но са­мое замечательное было то, что для обозначения нулевого разряда греческие астрономы стали использовать символ «О» (первая буква греческого слова Ouden - ничто). Этот знак, по-видимому, и был прообразом нашего нуля.

Индийцы познакомились с греческой астрономией между II и VI вв. н. э., это видно из того, что они переняли общие теоретические положения этой науки и многие греческие термины. В это время в Индии использовалась мультипликативная система счисления. По утверждению историков при­мерно в это время индийцы познакомились и с вавилонской системой счисления, и с греческим нулем. Индийцы соединили свою десятичную мультипликативную систему с принципами нумерации чисел греческих астрономов. Это и был завершающий шаг в создании нашей десятичной сис­темы счисления.

В современной десятичной системе счисления, которая является позици­онной, используются 10 арабских цифр. Почему мы называем наши цифры арабскими? С возникшей в Индии десятичной системой счисления первы­ми познакомились арабы. Они по достоинству ее оценили и начали использовать при расчетах в торговых операциях. Именно арабы завезли эту систе­му счисления в Европу. С начала XII века эта десятичная система счисления получила распространение по всей Европе под названием арабской. Будучи проще и удобнее остальных систем, она достаточно быстро вытеснила все другие способы записи чисел. С тех пор цифры, используемые для записи чисел в десятичной системе счисления, называются арабскими.

4. Позиционные системы счисления.

Позиционной называется такая система счисления, в которой количест­венный эквивалент («вес») цифры зависит от ее местоположения в записи числа.

Пример.

Рассмотрим число 222.

В записи этого числа используется трижды цифра 2. Но вклад каждой цифры в величину числа разный. Первая 2 означает число сотен, вторая - число десятков, третья - число единиц. Если сравнить «вес» каждой цифры в этом числе, то получиться, что первая 2 «больше» второй в 10 раз и «боль­ше» третьей в 100 раз. Этот принцип отсутствует в непозиционных системах счисления.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления:

1. простота выполнения арифметических операций;

2. ограниченное количество символов, необходимых для записи числа.

Позиционная система записи чисел удобна и экономична не только для за­писи чисел знаками на бумаге и для выполнения над ними арифметических действий. Она удобна и для механического представления чисел. Вспомним, например, счеты. Каждому разряду числа (единицам, десяткам, сотням, ты­сячам и т. д.) на счетах соответствует своя проволока. Костяшки на этой про­волоке могут занимать десять различных положений (одиннадцатое поло­жение - когда все десять косточек находятся с левой стороны - допускается лишь в середине вычислений, а в конце их является запретным: все десять косточек должны быть переброшены направо, а на следующей по старшинс­тву проволоке одна косточка переброшена справа налево).

Разряд - это позиция цифры в числе.

Основание (базис) позиционной системы счисления - это количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел в данной системе счисления.

Позиционных систем очень много, так как за основание системы счисле­ния можно принять любое число не меньшее 2.

Данные о некоторых системах счисления запишем в таблицу.

Вспомните, как кодируется информация в компьютере? (С помощью двоичного кодирования, т. е. любая информация представляется в виде после­довательности 0 и 1.)

VI. Закрепление изученного.

Решите задачи:

№1. Какие числа записаны с помощью римских цифр: ММIV, LXV, CMLXIIV?

№2. Запишите число 555:

A) в древнеегипетской системе счисления;

Б) в римской системе счисления;

B) в древнеславянской системе счисления.

№3. Запишите числа от 15 до 25 в старославянской системе счисления.

V. Итог урока.

Что такое система счисления?

Какие бывают системы счисления?

Домашнее задание.

§2.6, вопросы с.92, запишите с помощью известных вам непозиционных систем счисления дату своего рождения, придумайте свою непозиционную систему счисления, указав при этом: какие знаки используются в качестве цифр и правила, по которым формируются из этих цифр числа. Запишите в ней числа 352, 2004, 25.

В непозиционных системах счисления величина, обозначающая цифру, не зависит от положения в числе. К тому же, система может накладывать ограничения на расстановку цифр, например , чтобы цифры располагались по убыванию.

Существуют такие непозиционные системы счисления:

Единичная система счисления,

Пятеричная система счисления (Счёт на пятки́),

Древнеегипетская система счисления,

Вавилонская система счисления,

Алфавитные системы счисления,

Еврейская система счисления,

Греческая система счисления,

Римская система счисления,

Система счисления майя,

Кипу инков,

Рассмотрим некоторые из, приведенных выше, систем счисления.

Единичная система счисления.

С первых попыток научиться считать у людей возникла необходимость записи чисел. Сначала это было легко — зарубка либо черточка на любой поверхности отвечала за один предмет. Таким образом возникла первая система счисления — единичная .

Число в единичной системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.

В более позднее время для упрощения восприятия больших чисел, эти знаки стали группировать по три или по пять. Далее равнообъёмные группы знаков начали заменять новым знаком — так возникли прообразы современных цифр.

У данной системы есть значительные недостатки — чем больше число, тем длиннее строка из палочек. Кроме того, существует большая вероятность в записи числа, пропустив или случайно дописав палочку.

Изначально в счете использовали пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная система счисления.

В Древнем Египте использовали свои символы (цифры) для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107 . Вот некоторые из них:

Почему мы ее называем десятичной? Как указано выше — люди начали группировать символы. В Египте — решили группировать по 10, оставив без изменений цифру “1”. Здесь, число 10 называется основанием десятичной системы счисления , а все символы — представление числа 10 в определенной степени.

Числа в древнеегипетской системе счисления записывали, в виде комбинаций таких символов, и все они повторялись не больше 9 раз. Результатом было сумма элементов числа. Этот метод получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Для примера посмотрите на запись числа 345:

Вавилонская шестидесятеричная система счисления.

В вавилонской системе счисления использовали только 2 символа: “прямой” клин — для единиц и “лежащий” — для десятков. Для определения значения числа нужно изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. Для примера посмотрим на число 32:

Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной системы счисления .

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а значения больше 59 — в позиционной с основанием 60. Например, число 92:

Запись числа была не конкретной, так как не было цифры, которая обозначала бы нуль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32 , но и, например, 3632=3600+32 . Для определения абсолютного значения числа они ввели новый символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа:

Значит, число 3632 записывают так:

Шестидесятеричная вавилонская система — первая система счисления, которая частично основана на позиционном принципе . Эту систему счисления используют и сейчас, например , для определения времени — час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.

Римская система счисления.

Римская система счисления немного похожа с египетской. Здесь для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используют заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления — это набор стоящих подряд цифр.

Способы определения значения числа:

• Значение числа соответствует сумме значений его цифр. Например , число 32 в римской системе счисления записывается так XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
• Когда слева от большей цифры стоит меньшая, то значение это разность между большей и меньшей цифрами. Кроме того, левая цифра может быть меньше правой максимум на 1 порядок: т.е. перед L(50) и С(100) из «младших» может быть лишь X(10) , перед D(500) и M(1000) — только C(100) , перед V(5) — только I(1) ; число 444 в римской системе счисления выглядит так:

CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.

• Значение равно сумме значений групп и цифр, не подходящих под 1 и 2 пункты.

Wikispaces was founded in 2005 and has since been used by educators, companies and individuals across the globe.

Unfortunately, the time has come where we have had to make the difficult business decision to end the Wikispaces service.

We first announced the site closure in January 2018, through a site-wide banner that appeared to all logged-in users and needed to be clicked on to dismiss

During the closure period a range of banners were shown to users, including a countdown banner in the final month. Additionally, the home page of Wikispaces.com became a blog, detailing the reasons for the closure. Private Label Site Administrators were contacted separately regarding the closure

Why has Wikispaces closed?

Approximately 18 months ago, we completed a technical review of the infrastructure and software we used to serve Wikispaces users. As part of the review, it became apparent that the required investment to bring the infrastructure and code in line with modern standards was very substantial. We explored all possible options for keeping Wikispaces running but had to conclude that it was no longer viable to continue to run the service in the long term. So, sadly, we had to close the site - but we have been touched by the messages from users all over the world who began creating wikis with it and now running them on new platforms.

We would like to take this opportunity to thank you for your support over the years.

Системой счисления называется совокупность приемов и правил представления чисел с помощью цифровых знаков.

Непозиционной называется такая система счисления, в которой значение любой цифры не зависит от положения (позиции) в ряду цифр, изображающих это число.

Например , в числе ХХХ, записанном в римской системе счисления, каждый разряд означает 10 единиц.

Задача 1. Записать числа в римской нумерации: а) 193; б) 564; в) 2708.

Решение: а) 193 - это сто (С) + девяносто, т.е. сто без десятка (ХС) + три (III). Следовательно, 193 запишется как СХСIII .

б) 564 - это пятьсот (D) + пятьдесят (L) + десять (Х) + четыре (IV), т.е. число 564 запишется как DLХIV.

в) 2708 - это две тысячи (ММ) + плюс пятьсот (D) + сто (С) + сто (С) + пять (V) + три (III). Следовательно, число 2708 записывается так: ММDCCVIII.

Позиционной называется такая система счисления, в которой значение любой цифры зависит от ее положения (позиции) в ряду цифр, изображающих это число.

Например, цифра 3 в числе 723, записанном в десятичной системе счисления, означает три единицы, а в числе 325 – три сотни. К позиционным СС можно отнести шестидесятиричную вавилонскую и десятичную системы счисления.

Под основанием системы счисления понимается определенное постоянное для данной системы счисления отношение единиц соседних разрядов.

Основанием системы счисления может быть любое натуральное число большее 1.

Система счисления с основанием равным 1 называется унарной .

Для записи чисел в позиционной системе счисления используются цифры, количество которых соответствует основанию системы.

Десятичная система счисления, запись чисел в ней

В практике установилась десятичная система счисления. Как известно, в десятичной СС для записи чисел используются 10 знаков (цифр): 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Из них образуются конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 3745 является краткой записью числа .

Определение 4.Десятичной записью натурального числа x называется его представление в виде:

где коэффициенты a n , a n-1 , …, a 1 , a 0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и

Сумму в краткой форме принято записывать последовательностью цифр с чертой наверху, чтобы отличать от произведения чисел:

Так как понятие числа и его записи нетождественны, то существование и единственность десятичной записи натуральной записи надо доказывать.

Теорема 1 . Любое натуральное число х можно представить в виде:

где коэффициенты a n , a n-1 , …, a 1 , a 0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

и такая запись единственная.

Десятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том, какое из них меньше.

Теорема 2. Пусть х и у – натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:

Тогда число х меньше числа у , если выполнено одно из условий:

а) n;