Процесс гибели и размножения. Процесс чистого размножения Процессы гибели и размножения несколько типов частиц

В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов – так называемый процесс гибели и размножения. Название этого процесса связано с рядом биологических задач, где он является математической моделью изменения численности биологических популяций.

Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 15.4.

Рис. 15.4

Рассмотрим упорядоченное множество состояний системыПереходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояниявозможны переходы только либо в состояние, либо в состояние .

Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностямиили

По графу, представленному на рис. 15.4, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности числа состояний).

В соответствии с правилом составления таких уравнений (см. 15.10) получим: для состояния S 0

для состояния S,

Которое с учетом (15.12) приводится к виду

Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:

(15.14)

к которой добавляется нормировочное условие

Решая систему (15.14), (15.15), можно получить

(15.16)

Легко заметить, что в формулах (15.17) для коэффициенты при есть слагаемые, стоящие после единицы в формуле (15.16). Числители этих коэффициентов представляют произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо до данного состояния , а знаменатели – произведение всех интенсивностей,стоящих у стрелок, ведущих справа налево из состояниядо.

15.4. Процесс гибели и размножения представлен графом (рис. 15.5). Найти предельные вероятности состояний.

Рис. 15.5

Решение. По формуле (15.16) найдем

по (15.17) т.е. в установившемся, стационарном режиме в среднем 70,6% времени система будет находиться в состоянии 5(), 17,6% – в состоянии 5, и 11,8% – в состоянии S2.

СМО с отказами

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

А – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q – относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

Р тк – вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

k – среднее число запятых каналов (для многоканальной системы).

Одноканальная система с отказами. Рассмотрим задачу.

Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система 5 (СМО) имеет два состояния: 50 – канал свободен, 5, – канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 15.6.

При установлении в СМО предельного, стационарного режима процесса система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид (см. правило составления таких уравнений на с. 370):

т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие р 0+р х = 1, найдем из (15.18) предельные вероятности состояний

(15.19)

которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии 50 (когда канал свободен) и 5, (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность Q системы и вероятность отказа:

Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока заявок

15.5. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью λ, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефонумин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

Решение. Имеем λ = 90 (1 /ч),мин. Интенсивность потока обслуживании μ = 1/ίο6 = 1/2 = 0,5 (1/мин) = = 30 (1/ч). По (15.20) относительная пропускная способность СМО Q = 30/(90 + 30) = 0,25, т.е. в среднем только 25% поступающих заявок составят переговоры по телефону. Соответственно, вероятность отказа в обслуживании составит Р тк = 0,75 (см. (15.21)). Абсолютная пропускная способность СМО но (15.22) А = 90 ∙ 0,25 = 22,5, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

Многоканальная система с отказами. Рассмотрим классическую задачу Эрланга.

Имеется п каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний каждого канала имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе):

где– состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 15.7.

Рис. 15.7

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью λ. Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S., (два канала заняты), то она может перейти в состояние 5, (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживаний будет 2μ. Аналогично суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния 53 (три канала заняты) в 52, будет иметь интенсивность 3μ, т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.

В формуле (15.16) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния

(15.23)

где члены разложениябудут представлять собой коэффициенты при р а в вы́ражениях для предельных вероятностейВеличина

называется приведенной интенсивностью потока заявок, или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь

(15.25)

Формулы (15.25) и (15.26) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все п каналов системы будут заняты, т.е.

Относительная пропускная способность – вероятность того, что заявка будет обслужена:

(15.28)

Абсолютная пропускная способность:

(15.29)

Среднее число (математическое ожидание числа) занятых каналов:

где/;, – предельные вероятности состояний, определяемых но формулам (15.25), (15.26).

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы А есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем μ заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов

или, учитывая (15.29), (15.24):

15.6. В условиях задачи 15.5 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок нс менее 90 заявок на переговоры.

Решение. Интенсивность нагрузки канала по формуле (15.24) р = 90/30 = 3, т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора 7об = 2 мин поступает в среднем 3 заявки на переговоры.

Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) п = 2, 3, 4, ... и определим по формулам (15.25–15.29) для получаемой и-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при п = 2 р 0 = = (1 + 3 + 32/2!)“" =0,118 ≈ 0,12; Q = 1 – (з2/2l) – 0,118 = 0,47. А = 90 ∙ 0,47 = 42,3 и т.д. Значения характеристик СМО сведем в табл. 15.1.

Таблица 15.1

По условию оптимальности Q > 0,9, следовательно, в телевизионном ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае Q = 0,90 – см. табл. 15.1). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок (А = 80,1), а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) по формуле (15.30) к = 80,1/30 = 2,67.

15.7. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

Решение. По условию п = 3, λ = 0,25 (1 /ч),^ = 3 (ч). Интенсивность потока обслуживаний μ=1/ίο6 =1/3 = = 0,33. Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (15.24) р = 0,25/0,33 = 0,75. Найдем предельные вероятности состояний:

по формуле (15.25) р0 = (1 + 0,75 + 0,752/2!+ 0,753/3!) = 0,476;

по формуле (15.26) р, =0,75 0,476 = 0,357; р 2 = (θ,752/2ΐ)χ хО,476 = 0,134; р 3 = (θ,753/3ΐ) 0,476 = 0,033, т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% – имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% – две заявки (две ЭВМ), 3,3% – три заявки (заняты три ЭВМ).

Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, Ртк = р 3 = 0,033.

По формуле (15.28) относительная пропускная способность центра <2= 1 – 0,033 = 0,967, т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.

По формуле (15.29) абсолютная пропускная способность центра А = 0,25-0,967 = 0,242, т.е. в один час в среднем обслуживается 0,242 заявки.

По формуле (15.30) среднее число занятых ЭВМ к = = 0,242/0,33 = 0,725, т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на 72,5/3 = 24,2%.

При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны – значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.

Простейшее обобщение пуассоновского процесса получается при предположении, что вероятности скачков могут зависеть от текущего состояния системы. Это приводит нас к следующим требованиям.

Постулаты. (i) Непосредственный переход из состояния возможен только в состояние .(ii) Если в момент времени система находится в состоянии , то (условная) вероятность одного скачка в последующем коротком интервале времени между и равна тогда как (условная) вероятность более чем одного скачка в этом интервале есть .

Отличительная черта этого предположения заключается в том, что время, которое система проводит в любом конкретном состоянии, не играет никакой роли; возможны внезапные изменения состояния, однако, пока система находится в одном состоянии, она не стареет.

Пусть снова будет вероятностью того, что в момент времени система находится в состоянии . Эти функции удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, которую можно вывести при помощи рассуждений предыдущего параграфа с тем лишь изменением, что (5) в предыдущем параграфе заменяется на

Таким образом, мы получим основную систему дифференциальных уравнений

(2)

В пуассоновском процессе было естественно предполагать, что в момент времени 0 система выходит из начального состояния . Теперь мы можем допустить более общий случай, когда система выходит из произвольного начального состояния . Тогда получаем, что

Эти начальные условия единственным образом определяют решение системы (2). (В частности, ). Явные формулы для выводились независимо многими авторами, однако для нас они не представляют интереса.

Пример. Радиоактивный распад. В результате испускания частиц или -лучей радиоактивный атом, скажем урана, может превратиться в атом другого вида. Каждый вид представляет собой возможное состояние, и, когда процесс протекает, мы получаем последовательность переходов . Согласно принятым физическим теориям, вероятность перехода остается неизменной, пока атом находится в состоянии , и эта гипотеза находит выражение в нашем исходном предположении. Стало быть, этот процесс описывается дифференциальными уравнениями (2) (факт, хорошо известный физикам). Если – конечное состояние, из которого невозможны никакие другие переходы, то и система (2) обрывается при . (При мы автоматически получаем ).

5. Процессы размножения и гибели.

Процессы размножения и гибели являются частным случаем марковских случайных процессов, которые тем не менее находят весьма широкое применение при исследовании дискретных систем со стохастическим характером функционирования. Процесс размножения и гибели представляет собой марковский случайный процесс, в котором переходы из состояния E i допустимы только в соседние состояния E i- 1 , E i и E i+1 . Процесс размножения и гибели является адекватной моделью для описания изменений, происходящих в объеме биологических популяций. Следуя этой модели, говорят, что процесс находится в состоянии E i , если объем популяции равен i членам. При это переход из состояния E i в состояние E i +1 соответствует рождению, а переход из E i в E i-1 - гибели, предполагая, что объем популяции может изменяться не более чем на единицу; это означает, что для процессов размножения и гибели не допускаются многократные одновременные рождения и/или гибели.

Дискретные процессы размножения и гибели менее интересны, чем непрерывные, поэтому в дальнейшем они подробно не рассматриваются и основное внимание уделяется непрерывным процессам. Однако следует отметить, что для дискретных процессов проходят почти параллельные выкладки. Переход процесса размножения и гибели из состояния E i обратно в состояние E i представляет непосредственный интерес только для дискретных цепей Маркова; в непрерывном случае интенсивность, с которой процесс возвращается в текущее состояние, равна бесконечности, и эта бесконечность была исключена согласно определению (13).

В случае процесса размножения и гибели с дискретным временем вероятности переходов между состояниями

Здесь d i - вероятность того, что на следующем шаге (в терминах биологической популяции) произойдет одна гибель, уменьшающая объем популяции до i -1 при условии, что на данном шаге объем популяции равен i . Аналогично, b i - вероятность рождения на следующем шаге, приводящего к увеличению объема популяции до i +1; 1-d i -b i представляет собой вероятность того, что ни одно из этих событий не произойдет и на следующем шаге объем популяции не изменится. Допускаются только эти три возможности. Ясно, что d 0 =0, так как гибель не может наступить, если некому погибать.

Однако в противовес интуиции допускается, что b 0 >0, что соответствует возможности рождения, когда в популяции нет ни одного члена. Хотя это можно расценивать как спонтанное рождение или божественное творение, но в теории дискретных систем такая модель представляет собой вполне осмысленное допущение. А именно, модель такова: популяция представляет собой поток требований, находящихся в системе, гибель означает уход требования из системы, а рождение соответствует поступлению в систему нового требования. Ясно, что в такой модели вполне возможно поступление нового требования (рождение) в свободную систему. Матрица вероятностей переходов для общего процесса размножения и гибели имеет следующий вид:

Матрица T содержит нулевые члены только на главной и двух ближайших к ней диагоналях. Из-за такого частного вида матрицы T естественно ожидать, что анализ процесса размножения и гибели не должен вызывать трудностей.

Далее будем рассматривать только непрерывные процессы размножения и гибели, в которых переходы из состояния E i возможны только в соседние состояния E i-1 (гибель) и E i+1 (рождение). Обозначим через l i интенсивность размножения; она описывает скорость, с которой происходит размножение в популяции объема i . Аналогично, через m i обозначим интенсивность гибели, задающую скорость с которой происходит гибель в популяции объема i . Заметим, что введенные интенсивности размножения и гибели не зависят от времени, а зависят только от состояния E i , следовательно, получаем непрерывную однородную цепь Маркова типа размножения и гибели. Эти специальные обозначения введены потому, что они непосредственно приводят к обозначениям, принятым в теории дискретных систем. В зависимости от ранее введенных обозначений имеем:

l i = q i , i +1 и m i = q i , i -1 .

Требование о допустимости переходов только в ближайшие соседние состояния означает, что исходя из (14), q ii =-(m i + l i ). Таким образом, матрица интенсивностей переходов общего однородного процесса размножения и гибели принимает вид

Заметим, что за исключением главной и соседних с ней снизу и сверху диагоналей все элементы матрицы равны нулю. Соответствующий граф интенсивностей переходов представлен на рис. 4.

Более точное определение непрерывного процесса размножения и гибели состоит в следующем: некоторый процесс представляет собой процесс размножения и гибели, если он является однородной цепью Маркова с множеством состояний {E 0 , E 1 , E 2 , …}, если рождение и гибель являются независимыми событиями (это вытекает непосредственно из марковского свойства) и если выполняют следующие условия:

1) Pr [точно 1 рождение в промежутке времени (t ,t + Δt )| объем популяции равен i ]= ;

2) Pr [точно 1 гибель в промежутке времени (t ,t + Δt )| объем популяции равен i ]= ;

3) Pr [точно 0 рождений в промежутке времени (t ,t + Δt )| объем популяции равен i ]= ;

4) Pr [точно 0 гибелей в промежутке времени (t ,t + Δt )| объем популяции равен i ]= .

Согласно этим предположениям кратные рождения, кратные гибели и одновременные рождения и гибели в течение малого промежутка времени (t , t + Δt ) запрещены в том смысле, что вероятность таких кратких событий имеет порядок о (Δt ).

Вероятность того, что непрерывный процесс размножения и гибели в момент времени t находится в состоянии E i (объем популяции равен i ) определяется напрямую из (16) в виде

Для решения полученной системы дифференциальных уравнений в нестационарном случае, когда вероятности P i (t ), i =0,1,2,…, зависят от времени, необходимо задать распределение начальных вероятностей P i (0), i =0,1,2,…, при t =0. Кроме того, должно удовлетворяться нормировочное условие.

Рис.4. Граф интенсивностей переходов для процесса размножения и гибели.

Рассмотрим теперь простейший процесс чистого размножения, который определяется как процесс, для которого m i = 0 при всех i . Кроме того, для еще большего упрощения задачи предположим, что l i =l для всех i =0,1,2,... . Подставляя эти значения в уравнения (18) получим

Для простоты предположим также, что процесс начинается в нулевой момент при нуле членов, то есть:

Отсюда для P 0 (t ) получаем решение

P 0 (t )=e - l t .

Подставляя это решение в уравнение (19) при i = 1, приходим к уравнению

Решение этого дифференциального уравнения, очевидно, имеет вид

P 1 (t )= l te - l t .

Это знакомое нам распределение Пуассона. Таким образом, процесс чистого размножения с постоянной интенсивностью l приводит к последовательности рождений, образующей пуассоновский процесс.

Наибольший интерес в практическом плане представляют вероятности состояний процесса размножения и гибели в установившемся режиме. Предполагая, что процесс обладает эргодическим свойством, т.е. существуют пределы перейдем к определению предельных вероятностей P i .

Уравнения для определения вероятностей стационарного режима можно получить непосредственно из (18), учитывая, что dP i (t )/dt = 0 при :

Полученная система уравнений решается с учетом нормировочного условия

Систему уравнений (21) для установившегося режима процесса размножения и гибели можно составить непосредственно по графу интенсивностей переходов на рис.4, применяя принцип равенства потоков вероятностей к отдельным состоянием процесса. Например, если рассмотреть состояние E i в установившемся режиме, то:

интенсивность потока вероятностей в и

интенсивность потока вероятностей из .

В состоянии равновесия эти два потока должны быть равны, и поэтому непосредственно получаем

Но это как раз и есть первое равенство в системе (21). Аналогично можно получить и второе равенство системы. Те же самые рассуждения о сохранении потока, которые были приведены ранее, могут быть применены к потоку вероятностей через любую замкнутую границу. Например, вместо того, чтобы выделять каждое состояние и составлять для него уравнение, можно выбрать последовательность контуров, первый из которых охватывает состояние E 0 , второй - состояние E 0 и E 1 , и т.д., включая каждый раз в новую границу очередное состояние. Тогда для i -го контура (окружающего состояния E 0 , E 1 , ..., E i -1 ) условие сохранения потока вероятностей можно записать в следующем простом виде:

Полученная система уравнений эквивалентна выведенной ранее. Для составления последней системы уравнений нужно провести вертикальную линию, разделяющую соседние состояния, и приравнять потоки через образовавшуюся границу.

Решение системы (23) можно найти методом математической индукции.

При i =1 имеем:

при i =2:

при i =3:

и т.д.

Вид полученных равенств показывает, что общее решение системы уравнений (23) имеет вид

или, учитывая, что, по определению, произведение по пустому множеству равно единице

Таким образом, все вероятности P i для установившегося режима выражаются через единственную неизвестную константу P 0 . Равенство (22) дает дополнительное условие, позволяющее определить P 0 . Тогда, суммируя по всем i , для P 0 получим:

Обратимся к вопросу о существовании стационарных вероятностей P i . Для того, чтобы полученные выражения задавали вероятности, обычно накладывается требование, чтобы P 0 > 0. Это, очевидно, налагает ограничение на коэффициенты размножения и гибели в соответствующих уравнениях. По существу требуется, чтобы система иногда опустошалась; это условие стабильности представляется весьма резонным, если обратиться к примерам реальной жизни. Определим следующие две суммы:

Все состояния E i рассматриваемого процесса размножения и гибели будут эргодическими тогда и только тогда, когда S 1 < и S 2 = . Только эргодический случай приводит к установившимся вероятностям P i , i = 0, 1, 2, …, и именно этот случай представляет интерес. Заметим, что условия эргодичности выполняются только тогда, когда, начиная с некоторого i , все члены последовательности {} ограничены единицей, т.е. тогда, когда существует некоторое i 0 (и некоторое С <1) такое, что для всех ii 0 выполняется неравенство:

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра экономической кибернетики и теории вероятностей

Курсовой проект

Стационарные характеристики процессов размножения и гибели

Исполнитель:

Буховец Виктория

Александровна

Научный руководитель:

заведующий кафедрой,

Малинковский Юрий

Владимирович

Гомель 2011

Введение

Процессы размножения и гибели

Примеры процессов размножения и гибели в случае простейших систем массового обслуживания

3 Определение математического ожидания для системы массового обслуживания M/M/n

4 Определение математического ожидания для системы массового обслуживания M/M/n/N

Определение математического ожидания для некоторых процессов размножения и гибели

2 Процесс размножения и гибели с линейно растущей интенсивностью рождения и квадратично растущей интенсивностью гибели

4 Дополнительный поток и бесконечное число приборов

5 Система с ограничением на время пребывания заявки

6 Система с ограничением на время пребывания заявки, дополнительный поток и бесконечное число приборов

Заключение

массовый обслуживание математический ожидание

Введение

В данной работе будет рассмотрена схема непрерывных марковских цепей - так называемая "схема гибели и размножения"

Процесс размножения и гибели - это случайный процесс со счётным (конечным или бесконечным) множеством состояний, протекающий в дискретном или непрерывном времени. Он состоит в том, что некоторая система в случайные моменты времени переходит из одного состояния в другое, причём переходы между состояниями происходят скачком, когда наступают некоторые события. Как правило, эти события бывают двух типов: одно из них условно называют рождением некоторого объекта, а второе - гибелью этого объекта.

Данная тема крайне актуальна ввиду высокой значимости марковских процессов в исследовании экономических, экологических и биологических процессов, кроме того, марковские процессы лежат в основе теории массового обслуживания, которая в настоящее время активно используется в различных экономических направлениях, в том числе управлении процессами на предприятии.

Марковские процессы гибели и размножения находят широкое применение в объяснении различных процессов, происходящих в физике, биосфере, экосистеме и т.д. Надо отметить, что данный тип марковских процессов получил свое название именно вследствие широкого применения в биологии, в частности при моделировании гибели и размножения особей различных популяций.

В данной работе будет поставлена задача, целью которой является определение математического ожидания для некоторых процессов размножения и гибели. Будут приведены примеры вычислений среднего числа заявок в системе в стационарном режиме и сделаны оценки для различных случаев процессов размножения и гибели.

1. Процессы размножения и гибели

Процессы размножения и гибели являются частным случаем марковских случайных процессов, которые, тем не менее, находят весьма широкое применение при исследовании дискретных систем со стохастическим характером функционирования. Процесс размножения и гибели представляет собой марковский случайный процесс, в котором переходы из состояния Ei допустимы только в соседние состояния Ei-1, Ei и Ei+1. Процесс размножения и гибели является адекватной моделью для описания изменений, происходящих в объеме биологических популяций. Следуя этой модели, говорят, что процесс находится в состоянии Ei, если объем популяции равен i членам. При этом переход из состояния Ei в состояние Ei+1 соответствует рождению, а переход из Ei в Ei-1 - гибели, предполагается, что объем популяции может изменяться не более чем на единицу; это означает, что для процессов размножения и гибели не допускаются многократные одновременные рождения и/или гибели .

Дискретные процессы размножения и гибели менее интересны, чем непрерывные, поэтому в дальнейшем они подробно не рассматриваются и основное внимание уделяется непрерывным процессам. Однако следует отметить, что для дискретных процессов проходят почти параллельные выкладки. Переход процесса размножения и гибели из состояния Ei обратно в состояние Ei представляет непосредственный интерес только для дискретных цепей Маркова; в непрерывном случае интенсивность, с которой процесс возвращается в текущее состояние, равна бесконечности, и эта бесконечность была исключена и определяется следующим образом:

В случае процесса размножения и гибели с дискретным временем вероятности переходов между состояниями

Здесь di - вероятность того, что на следующем шаге (в терминах биологической популяции) произойдет одна гибель, уменьшающая объем популяции до при условии, что на данном шаге объем популяции равен i. Аналогично, bi - вероятность рождения на следующем шаге, приводящего к увеличению объема популяции до; представляет собой вероятность того, что ни одно из этих событий не произойдет и на следующем шаге объем популяции не изменится. Допускаются только эти три возможности. Ясно, что, так как гибель не может наступить, если некому погибать .

Однако в противовес интуиции допускается, что, что соответствует возможности рождения, когда в популяции нет ни одного члена. Хотя это можно расценивать как спонтанное рождение или божественное творение, но в теории дискретных систем такая модель представляет собой вполне осмысленное допущение. А именно, модель такова: популяция представляет собой поток требований, находящихся в системе, гибель означает уход требования из системы, а рождение соответствует поступлению в систему нового требования. Ясно, что в такой модели вполне возможно поступление нового требования (рождение) в свободную систему. Матрица вероятностей переходов для общего процесса размножения и гибели имеет следующий вид:

Если цепь Маркова является конечной, то последняя строка матрицы записывается в виде ; это соответствует тому, что не допускаются никакие размножения после того, как популяция достигает максимального объема n. Матрица T содержит нулевые члены только на главной диагонали и двух ближайших к ней диагоналях. Из-за такого частного вида матрицы T естественно ожидать, что анализ процесса размножения и гибели не должен вызывать трудностей . Далее будем рассматривать только непрерывные процессы размножения и гибели, в которых переходы из состояния Ei возможны только в соседние состояния Ei-1 (гибель) и Ei+1 (рождение). Обозначим через li интенсивность размножения; она описывает скорость, с которой происходит размножение в популяции объема i. Аналогично, через mi обозначим интенсивность гибели, задающую скорость с которой происходит гибель в популяции объема i. Заметим, что введенные интенсивности размножения и гибели не зависят от времени, а зависят только от состояния Ei, следовательно, получаем непрерывную однородную цепь Маркова типа размножения и гибели. Эти специальные обозначения введены потому, что они непосредственно приводят к обозначениям, принятым в теории дискретных систем. В зависимости от ранее введенных обозначений имеем:

li= qi,i+1 и mi= qi,i-1.

Требование о допустимости переходов только в ближайшие соседние состояния означает, что исходя из того, что

получим qii=-(mi+ li). Таким образом, матрица интенсивностей переходов общего однородного процесса размножения и гибели принимает вид:

Заметим, что за исключением главной диагонали и соседних с ней снизу и сверху диагоналей все элементы матрицы равны нулю. Соответствующий граф интенсивностей переходов представлен на соответствующем рисунке (2.1) :

Рисунок 2.1 - Граф интенсивностей переходов для процесса размножения и гибели

Более точное определение непрерывного процесса размножения и гибели состоит в следующем: некоторый процесс представляет собой процесс размножения и гибели, если он является однородной цепью Маркова с множеством состояний {E0, E1, E2, …}, если рождение и гибель являются независимыми событиями (это вытекает непосредственно из марковского свойства) и если выполняются следующие условия:

1) (точно 1 рождение в промежутке времени (t,t+?t), объем популяции равен i) ;

2) (точно 1 гибель в промежутке времени (t,t+?t)| объем популяции равен i);

3) = (точно 0 рождений в промежутке времени (t,t+?t)| объем популяции равен i);

4) = (точно 0 гибелей в промежутке времени (t,t+?t)| объем популяции равен i).

Таким образом, ?t с точностью до есть вероятность рождения новой особи в популяции из n особей, а - вероятность гибели особи в этой популяции за время .

Вероятности перехода удовлетворяют обратным уравнения Колмогорова. Таким образом, вероятность того, что непрерывный процесс размножения и гибели в момент времени t находится в состоянии Ei (объем популяции равен i) определяется в виде (2.1):

Для решения полученной системы дифференциальных уравнений в нестационарном случае, когда вероятности Pi(t), i=0,1,2,…, зависят от времени, необходимо задать распределение начальных вероятностей Pi(0), i=0,1,2,…, при t=0. Кроме того, должно удовлетворяться нормировочное условие.

Рассмотрим теперь простейший процесс чистого размножения, который определяется как процесс, для которого mi = 0 при всех i. Кроме того, для еще большего упрощения задачи предположим, что li=l для всех i=0,1,2,... . Подставляя эти значения в уравнения (2.1) получим (2.2):

Для простоты предположим также, что процесс начинается в нулевой момент при нуле членов, то есть:

Отсюда для P0(t) получаем решение:

Подставляя это решение в уравнение (2.2) при i = 1, приходим к уравнению:

Решение этого дифференциального уравнения, очевидно, имеет вид:

перейдем к определению предельных вероятностей Pi. Уравнения для определения вероятностей стационарного режима можно получить непосредственно из (2.1), учитывая, что dPi(t)/dt = 0 при:

Полученная система уравнений решается с учетом нормировочного условия (2.4):

Систему уравнений (2.3) для установившегося режима процесса размножения и гибели можно составить непосредственно по графу интенсивностей переходов на рисунке 2.1, применяя принцип равенства потоков вероятностей к отдельным состоянием процесса. Например, если рассмотреть состояние Ei в установившемся режиме, то:

интенсивность потока вероятностей в и

интенсивность потока вероятностей из.

В состоянии равновесия эти два потока должны быть равны, и поэтому непосредственно получаем:

Но это как раз и есть первое равенство в системе (2.3). Аналогично можно получить и второе равенство системы. Те же самые рассуждения о сохранении потока, которые были приведены ранее, могут быть применены к потоку вероятностей через любую замкнутую границу. Например, вместо того, чтобы выделять каждое состояние и составлять для него уравнение, можно выбрать последовательность контуров, первый из которых охватывает состояние E0, второй - состояние E0 и E1, и так далее, включая каждый раз в новую границу очередное состояние. Тогда для i-го контура (окружающего состояния E0, E1,..., Ei-1) условие сохранения потока вероятностей можно записать в следующем простом виде:

Равенство (2.5) можно сформулировать в виде правила: для простейшей системы размножения и гибели, находящейся в стационарном режиме, потоки вероятности между любыми двумя соседними состояниями равны.

Решение системы (2.5) можно найти методом математической индукции.

При i=1 имеем

Вид полученных равенств показывает, что общее решение системы уравнений (2.5) имеет вид:

или, учитывая, что, по определению, произведение по пустому множеству равно единице:

Таким образом, все вероятности Pi для установившегося режима выражаются через единственную неизвестную константу P0. Равенство (2.4) дает дополнительное условие, позволяющее определить P0. Тогда, суммируя по всем i, для P0 получим (2.7) :

Обратимся к вопросу о существовании стационарных вероятностей Pi. Для того чтобы полученные выражения задавали вероятности, обычно накладывается требование, чтобы P0>0. Это, очевидно, налагает ограничение на коэффициенты размножения и гибели в соответствующих уравнениях. По существу требуется, чтобы система иногда опустошалась; это условие стабильности представляется весьма резонным, если обратиться к примерам реальной жизни. Если растут слишком быстро по сравнению с, то может оказаться, что с положительной вероятностью в конечный момент времени t процесс уйдёт из фазового пространства {0,1,…} в "бесконечно удаленную точку?" (особей в популяции станет слишком много). Другими словами процесс станет не регулярным, и тогда равенство (2.4) будет нарушено. Определим следующие две суммы:

Для регулярности процесса размножения и гибели необходимо и достаточно, чтобы S2 = .

Для существования его стационарного распределения необходимо и достаточно, чтобы S1 < .

Для того чтобы все состояния Ei рассматриваемого процесса размножения и гибели были эргодическими необходимо и достаточно сходимости ряда S1 < , при этом ряд должен расходиться S2 = . Только эргодический случай приводит к установившимся вероятностям Pi, i = 0, 1, 2, …, и именно этот случай представляет интерес. Заметим, что условия эргодичности выполняются, например, когда, начиная с некоторого i, все члены последовательности {} ограничены единицей, т. е. тогда, когда существует некоторое i0 (и некоторое С<1) такое, что для всех ii0 выполняется неравенство:

Этому неравенству можно дать простое толкование: начиная с некоторого состояния Ei и для всех последующих состояний интенсивность потока размножения, должна быть меньше интенсивности потока гибели .

Иногда в практике встречаются процессы "чистого" размножения. Процессом "чистого" размножения называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивность всех потоков гибели равны нулю. Граф состояний такого процесса без ограничения на число состояний показан на рисунке (2.2):

Рисунок 2.2 - Граф интенсивностей переходов для процесса "чистого" размножения

Аналогично вводится понятие "чистой" гибели. Процессом "чистой" гибели называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивности всех потоков размножения равны нулю. Граф состояний такого процесса без ограничения на число состояний показан на рисунке:

Рисунок 2.3 - Граф интенсивностей переходов для процесса "чистой" гибели

Система уравнения Колмогорова для таких процессов может быть получена из системы уравнений (2.1), в которой нужно положить все интенсивности потоков процессов гибели равными нулю: .

2. Примеры процессов размноенияи гибели в случае простейших систем массового обслуживания

1 Определение математического ожидания для системы массового обслуживания M/M/1

Рассматриваемая система массового обслуживания является процессом размножения и гибели со следующим графом переходов (рисунок 3.1):

Рисунок 3.1 - Граф интенсивностей переходов для системы M/M/1

Из условия эргодичности для процесса гибели и размножения следует, что если, то существует единственное стационарное распределение, совпадающее с эргодическим, называется коэффициентом загрузки сети. Уравнение равновесия имеет вид, откуда находим, что:

Вероятность можно найти, используя условие нормировки (2.4), откуда следует, что и поэтому

т. е. число заявок в такой системе массового обслуживания в стационарном режиме имеет геометрическое распределение.

Легко найти производящую функцию такого распределения:

Отсюда получаем выражение для среднего числа заявок в системе в стационарном режиме:

Очевидно, что очередь в системе массового обслуживания неограниченно растёт .

2 Определение математического ожидания для системы массового обслуживания M/M/n/0

Это система с потерями без ожидания. Если заявка поступает в систему в момент, когда обслуживанием заняты все n линий, то она теряется. Такая система была введена датским инженером Эрлангом в начале прошлого столетия и применена в качестве модели обработки вызовов, поступающих на телефонную станцию. Граф переходов для такой системы массового обслуживания имеет вид (рисунок 3.2):

Рисунок 3.2 - Граф интенсивностей переходов для системы M/M/n/0

Поскольку число состояний системы конечно, а цепь Маркова неприводима, то единственное стационарное распределение, совпадающее с эргодическим, всегда существует при любых параметрах.

Отсюда получаем:

Вероятность, как всегда, можно найти из условия нормировки (2.4), откуда:

Таким образом, получаем:

Среднее число заявок в системе определяется соотношением:

При больших n можно использовать асимптотику .

2.3 Определение математического ожидания для системы массового обслуживания M/M/n

Это многолинейная система с ожиданием. Если обслуживанием заявок заняты все n линий, то интенсивность обслуживания равна. Граф перехода для этой системы имеет вид (рисунок 3.3):

Рисунок 3.3 - Граф интенсивностей переходов для системы M/M/n

Стационарное распределение существует, если

Уравнения равновесия имеют следующий вид:

откуда, аналогично предыдущему случаю, получаем

Условие нормировки в этом случае примет вид:

откуда следует, что

Среднее число заявок в стационарном режиме равно

2.4 Определение математического ожидания для системы массового обслуживания M/M/n/N

Это многолинейная система с ограниченным числом мест для ожидания. Она отличается от предыдущей системы массового обслуживания тем, что в ней имеется только N мест для ожидания. Поэтому граф переходов в этом случае имеет вид (рисунок 3.4):

Рисунок 3.4 - Граф интенсивностей переходов для системы M/M/n/N

Поскольку число состояний системы конечно, то единственное стационарное распределение всегда существует при любых параметрах. Уравнения равновесия принимают вид:

Откуда следует, что стационарные вероятности, имеют такой же вид, что и для предыдущей системы массового обслуживания, с той лишь разницей, что они определены для. Таким образом

Вероятность определяется из условия нормировки (2.4):

откуда получаем:

Среднее число заявок в системе определяется соотношением :

3. Определение математического ожидания для некоторых процессов размножения и гибели

1 Процесс размножения и гибели с линейно растущей интенсивностью рождения и гибели

Рисунок 1 - Граф интенсивностей переходов для первого случая процесса размножения и гибели

Запишем уравнения равновесия для стационарных вероятностей состояний:

Для определения математического ожидания используем следующую формулу:

где определяется по формуле .

Таким образом, среднее число заявок в системе в стационарном режиме равно:

3.2 Процесс размножения и гибели с линейно растущей интенсивностью рождения и квадратично растущей интенсивностью гибели

Пусть скорость li, с которой происходит размножение в популяции объема i, и интенсивность гибели mi, задающую скорость с которой происходит гибель в популяции объема i, определяются по следующему правилу:

Граф интенсивностей переходов для данного процесса размножения и гибели имеет вид:

Рисунок 2 - Граф интенсивностей переходов для второго случая процесса размножения и гибели

Запишем уравнения равновесия для стационарных вероятностей состояний:

3 Процесс размножения и гибели с линейно растущей интенсивностью рождения и квадратично растущей интенсивностью гибели

Граф интенсивностей переходов для данного процесса размножения и гибели имеет вид

Рисунок 3 - Граф интенсивностей переходов для третьего случая процесса размножения и гибели

Запишем уравнения равновесия для стационарных вероятностей состояний:

Для нахождения математического ожидания, используем формулу. Получим, что среднее число заявок в системе в стационарном режиме равно:

3.4 Дополнительный поток и бесконечное число приборов

Граф интенсивностей переходов для данного процесса размножения и гибели имеет вид:

Рисунок 4 - Граф интенсивностей переходов для четвёртого случая процесса размножения и гибели

Запишем уравнения равновесия для стационарных вероятностей состояний:

Сделаем оценку сверху:

таким образом:

3.5 Система с ограничением на время пребывания заявки

Граф интенсивностей переходов для данного процесса размножения и гибели имеет вид:

Рисунок 5 - Граф интенсивностей переходов для пятого случая процесса размножения и гибели

Запишем уравнения равновесия для стационарных вероятностей состояний:

Сделаем оценку сверху:

таким образом:

Получаем следующую оценку для среднего числа заявок в системе в стационарном режиме:

3.6 Система с ограничением на время пребывания заявки, дополнительный поток и бесконечное число приборов

Граф интенсивностей переходов для данного процесса размножения и гибели имеет вид:

Рисунок 6 - Граф интенсивностей переходов для шестого случая процесса размножения и гибели

Запишем уравнения равновесия для стационарных вероятностей состояний:

Сделаем оценку сверху:

таким образом:

Получаем следующую оценку для среднего числа заявок в системе в стационарном режиме:

Заключение

Итак, мы рассмотрели сущность и математическую модель процесса размножения и гибели и на её основе - модели четырёх базовых типов систем массового обслуживания: с потерями и ожиданием. Определили, что марковским процессом размножения и гибели с непрерывным временем называется такой случайный процесс, который может принимать целые неотрицательные значения; изменения которого могут происходить в любой момент времени t, при этом в любой момент времени он может либо увеличиться на единицу, либо уменьшиться на единицу, либо остаться неизменным.

Также в данной работе была приведена теоретическая справка и примеры определения математического ожидания для различных процессов размножения и гибели, решены практические задачи.

Таким образом, с помощью процессов размножения и гибели составляют математические модели управления различными процессами, а также модели многих явлений в биологии, физике и других областях. Также процессы гибели и размножения широкое применение находят в инженерной практике при исследовании различных технических систем, имеют прямое отношение ко многим процессам, происходящим в окружающей среде. Марковские процессы лежат в основе теории массового обслуживания, которая в свою очередь является незаменимой в экономике, в частности при управлении предприятием и различными процессами, происходящими в нем.

В данной работе были рассмотрены процессы размножения и гибели и приведены формулы для вычисления предельных вероятностей, которые применены для описания систем массового обслуживания с потерями и ожиданием на базе простейшего потока заявок. Получены формулы для некоторых характеристик.

Список использованных источников

Вентцель, Е.С. Теория случайных процессов и её инженерные приложения: учебное пособие для студентов / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - 2-е изд. - М.: "Высшая школа", 2000. - 384 с.

Малинковский, Ю.В. Лекции по теории массового обслуживания: учебное пособие для вузов / Ю.В. Малинковский. - Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, - 184 с. (электронный вариант)

Баруча-Рид, А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения / А.Т. Баруча_Рид - М.: Наука, 1969. - 512 с.

Севастьянов, Б.А. О некоторых типах марковских процессов / Б.А. Севастьянов - т. 4, вып. 4 - УМН, 1949. - с. 194.

Колмогоров, А.Н. Введение в теорию вероятностей: учеб. для вузов / И.Г. Журбенко, А.В. Прохоров - М.: Наука, 1982. - 160 с.

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

Введение

Процессы размножения и гибели

Процессы размножения и гибели являются частным случаем марковских случайных процессов, которые, тем не менее, находят весьма широкое применение при исследовании дискретных систем со стохастическим характером функционирования. Процесс размножения и гибели представляет собой марковский случайный процесс, в котором переходы из состояния E i допустимы только в соседние состояния E i-1 , E i и E i+1 . Процесс размножения и гибели является адекватной моделью для описания изменений, происходящих в объеме биологических популяций. Следуя этой модели, говорят, что процесс находится в состоянии E i , если объем популяции равен i членам. При этом переход из состояния E i в состояние E i+1 соответствует рождению, а переход из E i в E i-1 - гибели, предполагается, что объем популяции может изменяться не более чем на единицу; это означает, что для процессов размножения и гибели не допускаются многократные одновременные рождения и/или гибели .

Дискретные процессы размножения и гибели менее интересны, чем непрерывные, поэтому в дальнейшем они подробно не рассматриваются и основное внимание уделяется непрерывным процессам. Однако следует отметить, что для дискретных процессов проходят почти параллельные выкладки. Переход процесса размножения и гибели из состояния E i обратно в состояние E i представляет непосредственный интерес только для дискретных цепей Маркова; в непрерывном случае интенсивность, с которой процесс возвращается в текущее состояние, равна бесконечности, и эта бесконечность была исключена и определяется следующим образом:

В случае процесса размножения и гибели с дискретным временем вероятности переходов между состояниями

Здесь d i - вероятность того, что на следующем шаге (в терминах биологической популяции) произойдет одна гибель, уменьшающая объем популяции до при условии, что на данном шаге объем популяции равен i. Аналогично, b i - вероятность рождения на следующем шаге, приводящего к увеличению объема популяции до; представляет собой вероятность того, что ни одно из этих событий не произойдет и на следующем шаге объем популяции не изменится. Допускаются только эти три возможности. Ясно, что, так как гибель не может наступить, если некому погибать .

Если цепь Маркова является конечной, то последняя строка матрицы записывается в виде ; это соответствует тому, что не допускаются никакие размножения после того, как популяция достигает максимального объема n. Матрица T содержит нулевые члены только на главной диагонали и двух ближайших к ней диагоналях. Из-за такого частного вида матрицы T естественно ожидать, что анализ процесса размножения и гибели не должен вызывать трудностей . Далее будем рассматривать только непрерывные процессы размножения и гибели, в которых переходы из состояния E i возможны только в соседние состояния E i-1 (гибель) и E i+1 (рождение). Обозначим через i интенсивность размножения; она описывает скорость, с которой происходит размножение в популяции объема i. Аналогично, через i обозначим интенсивность гибели, задающую скорость с которой происходит гибель в популяции объема i. Заметим, что введенные интенсивности размножения и гибели не зависят от времени, а зависят только от состояния E i , следовательно, получаем непрерывную однородную цепь Маркова типа размножения и гибели. Эти специальные обозначения введены потому, что они непосредственно приводят к обозначениям, принятым в теории дискретных систем. В зависимости от ранее введенных обозначений имеем:

i = q i,i+1 и i = q i,i-1 .

Требование о допустимости переходов только в ближайшие соседние состояния означает, что исходя из того, что

получим q ii =-(i + i). Таким образом, матрица интенсивностей переходов общего однородного процесса размножения и гибели принимает вид:

Рисунок 2.1 - Граф интенсивностей переходов для процесса размножения и гибели

Более точное определение непрерывного процесса размножения и гибели состоит в следующем: некоторый процесс представляет собой процесс размножения и гибели, если он является однородной цепью Маркова с множеством состояний {E 0 , E 1 , E 2 , …}, если рождение и гибель являются независимыми событиями (это вытекает непосредственно из марковского свойства) и если выполняются следующие условия:

(точно 1 рождение в промежутке времени (t,t+Дt), объем популяции равен i) ;

(точно 1 гибель в промежутке времени (t,t+Дt)| объем популяции равен i);

= (точно 0 рождений в промежутке времени (t,t+Дt)| объем популяции равен i);

= (точно 0 гибелей в промежутке времени (t,t+Дt)| объем популяции равен i).

Вероятности перехода удовлетворяют обратным уравнения Колмогорова. Таким образом, вероятность того, что непрерывный процесс размножения и гибели в момент времени t находится в состоянии E i (объем популяции равен i) определяется в виде (2.1):

Для решения полученной системы дифференциальных уравнений в нестационарном случае, когда вероятности P i (t), i=0,1,2,…, зависят от времени, необходимо задать распределение начальных вероятностей P i (0), i=0,1,2,…, при t=0. Кроме того, должно удовлетворяться нормировочное условие.

Рассмотрим теперь простейший процесс чистого размножения, который определяется как процесс, для которого i = 0 при всех i. Кроме того, для еще большего упрощения задачи предположим, что i = для всех i=0,1,2,... . Подставляя эти значения в уравнения (2.1) получим (2.2):

Для простоты предположим также, что процесс начинается в нулевой момент при нуле членов, то есть:

Отсюда для P 0 (t) получаем решение:

Подставляя это решение в уравнение (2.2) при i = 1, приходим к уравнению:

Решение этого дифференциального уравнения, очевидно, имеет вид:

Это знакомое нам распределение Пуассона. Таким образом, процесс чистого размножения с постоянной интенсивностью приводит к последовательности рождений, образующей пуассоновский поток .

перейдем к определению предельных вероятностей P i . Уравнения для определения вероятностей стационарного режима можно получить непосредственно из (2.1), учитывая, что dP i (t)/dt = 0 при:

Полученная система уравнений решается с учетом нормировочного условия (2.4):

Систему уравнений (2.3) для установившегося режима процесса размножения и гибели можно составить непосредственно по графу интенсивностей переходов на рисунке 2.1, применяя принцип равенства потоков вероятностей к отдельным состоянием процесса. Например, если рассмотреть состояние E i в установившемся режиме, то:

интенсивность потока вероятностей в и

интенсивность потока вероятностей из.

В состоянии равновесия эти два потока должны быть равны, и поэтому непосредственно получаем:

Но это как раз и есть первое равенство в системе (2.3). Аналогично можно получить и второе равенство системы. Те же самые рассуждения о сохранении потока, которые были приведены ранее, могут быть применены к потоку вероятностей через любую замкнутую границу. Например, вместо того, чтобы выделять каждое состояние и составлять для него уравнение, можно выбрать последовательность контуров, первый из которых охватывает состояние E 0 , второй - состояние E 0 и E 1 , и так далее, включая каждый раз в новую границу очередное состояние. Тогда для i-го контура (окружающего состояния E 0 , E 1 ,..., E i-1) условие сохранения потока вероятностей можно записать в следующем простом виде:

Решение системы (2.5) можно найти методом математической индукции.

При i=1 имеем

Вид полученных равенств показывает, что общее решение системы уравнений (2.5) имеет вид:

или, учитывая, что, по определению, произведение по пустому множеству равно единице:

Таким образом, все вероятности P i для установившегося режима выражаются через единственную неизвестную константу P 0 . Равенство (2.4) дает дополнительное условие, позволяющее определить P 0 . Тогда, суммируя по всем i, для P 0 получим (2.7) :

Обратимся к вопросу о существовании стационарных вероятностей P i . Для того чтобы полученные выражения задавали вероятности, обычно накладывается требование, чтобы P 0 >0. Это, очевидно, налагает ограничение на коэффициенты размножения и гибели в соответствующих уравнениях. По существу требуется, чтобы система иногда опустошалась; это условие стабильности представляется весьма резонным, если обратиться к примерам реальной жизни. Если растут слишком быстро по сравнению с, то может оказаться, что с положительной вероятностью в конечный момент времени t процесс уйдёт из фазового пространства {0,1,…} в "бесконечно удаленную точку?" (особей в популяции станет слишком много). Другими словами процесс станет не регулярным, и тогда равенство (2.4) будет нарушено. Определим следующие две суммы:

Для регулярности процесса размножения и гибели необходимо и достаточно, чтобы S 2 = .

Для существования его стационарного распределения необходимо и достаточно, чтобы S 1 < .

Для того чтобы все состояния E i рассматриваемого процесса размножения и гибели были эргодическими необходимо и достаточно сходимости ряда S 1 < , при этом ряд должен расходиться S 2 = . Только эргодический случай приводит к установившимся вероятностям P i , i = 0, 1, 2, …, и именно этот случай представляет интерес. Заметим, что условия эргодичности выполняются, например, когда, начиная с некоторого i, все члены последовательности {} ограничены единицей, т. е. тогда, когда существует некоторое i 0 (и некоторое С<1) такое, что для всех ii 0 выполняется неравенство:

Этому неравенству можно дать простое толкование: начиная с некоторого состояния E i и для всех последующих состояний интенсивность потока размножения, должна быть меньше интенсивности потока гибели .