Как найти площадь прямоугольника пример. Как посчитать площадь

С таким понятием, как площадь, нам приходится сталкиваться в своей жизни повседневно. Так, например, при строительстве дома ее нужно знать для того, чтобы рассчитать количество необходимого материала. Размер садового участка также будет характеризоваться площадью. Даже ремонт в квартире невозможно сделать без этого определения. Поэтому вопрос, как найти площадь прямоугольника, на нашем встает очень часто и является важным не только для школьников.

Для тех, кто не знает, прямоугольник - это плоская фигура, у которой противоположные стороны равны, а углы составляют 90о. Для обозначения площади в математике используют английскую букву S. Ее измеряют в квадратных единицах: метрах, сантиметрах и так далее.

Теперь попытаемся дать подробный ответ на вопрос, как найти площадь прямоугольника. Существует несколько способов определения этой величины. Наиболее часто мы сталкиваемся со способом определения площади с помощью ширины и длины.

Возьмем прямоугольник с шириной b и длиной k. Для вычисления площади данного прямоугольника необходимо ширину умножить на длину. Это все можно представить в виде формулы, которая будет выглядеть так: S = b * k.

А теперь рассмотрим этот способ на конкретном примере. Необходимо определить площадь садового участка с шириной 2 метра и длиной 7 метров.

S = 2 * 7 = 14 м2

В математике, особенно в приходится определять площадь иными способами, так как во многих случаях ни длина, ни ширина прямоугольника нам не известна. Вместе с тем имеют место другие известные величины. Как найти площадь прямоугольника в этом случае?

Если нам известна длина диагонали и один из углов, составляющий диагональ с любой стороной прямоугольника, то в этом случае потребуется вспомнить о площади Ведь если разобраться, то прямоугольник состоит из двух равных прямоугольных треугольников. Итак, вернемся к определяемой величине. Для начала необходимо определить косинус угла. Полученную величину умножить на длину диагонали. В итоге получим длину одной из сторон прямоугольника. Аналогично, но уже с помощью определения синуса, можно определить длину второй стороны. А как найти площадь прямоугольника теперь? Да очень просто, перемножить полученные величины.

В виде формулы это будет выглядеть так:

S = cos(a) * sin(a) * d2 , где d- длина диагонали

Еще один способ определения площади прямоугольника - через вписанную в него окружность. Он применяется в том случае, если прямоугольник является квадратом. Для использования данного способа необходимо знать Как вычислить площадь прямоугольника таким способом? Конечно же, по формуле. Доказывать мы ее не будем. А выглядит она так: S = 4 * r2, где r -радиус.

Случается так, что вместо радиуса нам известен диаметр вписанной окружности. Тогда формула будет выглядеть так:

S=d2,где d - диаметр.

Если известна одна из сторон и периметр, то как узнать площадь прямоугольника в этом случае? Для этого необходимо произвести ряд простых вычислений. Как мы знаем, противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому от значения периметра необходимо отнять известную длину, умноженную на два. Полученный результат разделить на два и получим длину второй стороны. Ну, а дальше стандартный прием, перемножаем обе стороны и получаем площадь прямоугольника. В виде формулы это будет выглядеть так:

S=b* (P - 2*b), где b - длина стороны, P - периметр.

Как видим площадь прямоугольника можно определять различными способами. Все зависит от того, какие величины нам известны перед рассмотрением данного вопроса. Конечно же, последние методы исчисления в жизни практически не встречаются, но могут пригодиться для решений многих задач в школе. Возможно, и для решения ваших задач эта статья окажется полезной.

Что такое площадь и что такое прямоугольник

Площадь – это такая геометрическая величина, с помощью которой можно определить размер какой-либо поверхности геометрической фигуры.

На протяжении многих веков так повелось, что вычисление площади называли квадратурой. То есть, чтобы узнать площадь несложных геометрических фигур, достаточно было подсчитать количество единичных квадратов, которыми условно были покрыты фигуры. А фигуру, которая имела площадь, называли квадрируемой.

Поэтому, можно подвести итог, что площадь – это такая величина, которая показывает нам размер части плоскости, соединенной между собой отрезками.

Прямоугольник – это такой четырехугольник, у которого все углы прямые. То есть, четырехстороннюю фигуру, которая имеет четыре прямых угла и ее противоположные стороны равны, называют прямоугольником.

Как найти площадь прямоугольника

Самый простой способ нахождения площади прямоугольника – взять прозрачную бумагу, например кальку, или клеенку и расчертить ее на равные квадратики по 1 см, а потом приложить к изображению прямоугольника. Количество заполненных квадратиков и будет площадью в сантиметрах квадратных. Например, на рисунке видно, что прямоугольник попадает в 12 квадратов, значит, его площадь равна – 12 кв. см.

Но для нахождения площади больших объектов, например квартиры, необходим более универсальный способ, поэтому была доказана формула, чтобы найди площадь прямоугольника необходимо умножить его длину на ширину.

А теперь давайте попробуем записать правило нахождения площади прямоугольника в виде формулы. Обозначим площадь нашей фигуры буквой S, буква а – будет обозначать его длину, а буква b – ширину.

В итоге получаем вот такую формулу:

S = а * b.

Если наложить эту формулу на рисунок прямоугольника выше, то мы получим те же 12 кв.см, т.к. а = 4 см, b = 3 см, а S = 4 * 3 = 12 кв.см.

Если взять две идентичные фигуры, и наложить их одну на другую, то они совпадут, а будут называться равными. У таких равных фигур будут также равны их площади и периметры.

Зачем уметь находить площадь

Во-первых, если вы знаете, как найти площадь какой-либо фигуры, то с помощью ее формулы вы без проблем сможете решать любые задачи по геометрии и тригонометрии.
Во-вторых, научившись находить площадь прямоугольника, вы сначала сможете решать простые задачки, а со временем перейдете к решению более сложных, и научитесь находить площади фигур, которые вписаны в прямоугольник или около него.
В-третьих, зная такую простую формулу, как S = а * b, вы получаете возможность без проблем решать любые простые бытовые задачи (например, находить S квартиры или дома), а со временем и сможете применить их к решению сложных архитектурных проектов.

То есть, если совсем упростить формулу нахождения площади, то она будет выглядеть так:

П = Д х Ш,

Что обозначает П – это искомая площадь, Д – это ее длина, Ш – обозначает ее ширину, а х – является знаком умножения.

А известно ли вам, что площадь любого многоугольника можно условно разбить на определенное количество квадратных блоков, которые находятся внутри этого многоугольника? Какая разница между площадью и периметром

Давайте на примере попробуем понять разницу между периметром и площадью. Например, наша школа находится на участке, который огражден забором – суммарная длина этого забора будет периметром, а то пространство, которое находится внутри ограждения и является площадью.

Единицы измерения площади

Если периметр одномерный измеряется в линейных единицах, которыми являются дюймы, футы и метры, то S относится к двумерным исчислениям и имеет свою длину и ширину.

И измеряется S в квадратных единицах, таких, как:

Один квадратный миллиметр, где S квадрата имеет сторону, равную одному миллиметру;
Квадратный сантиметр, имеет S такого квадрата, у которого сторона равна одному сантиметру;
Квадратный дециметр равен S этого квадрата со стороной в один дециметр;
Квадратный метр имеет S квадрата, сторона которого равна одному метру;
И наконец, квадратный километр имеет S квадрата, сторона которого равна одному километру.

Для измерения площадей больших участков на поверхности Земли используют такие единицы, как:

Один ар или сотка – если S квадрата имеет сторону десять метров;
Один гектар равен S квадрата, у которого сторона имеет сто метров.

Задачи и упражнения

А теперь давайте рассмотрим несколько примеров.

На рисунке 62 нарисована фигура, которая имеет восемь квадратов и каждая сторона этих квадратов равна одному сантиметру. Поэтому S такого квадрата будет квадратный сантиметр.

Если записать, то это будет выглядеть так:

1 см2. А S все этой фигуры, состоящей из восьми квадратов, будет равняться 8 кв.см.

Если взять какую-нибудь фигуру и разбить ее на «р» квадратов со стороной, равной одному сантиметру, то ее площадь будет равна:

Р см2.

Давайте рассмотрим прямоугольник, изображений на рисунке 63. Этот прямоугольник состоит из трех полос, а каждая такая полоска разбита на пять равных квадратов, имеющих сторону в 1 см.

Попробуем найти его площадь. И так берем пять квадратов, и умножаем на три полоски и получаем площадь равную 15 кв.см.:

Рассмотрим следующий пример. На рисунке 64 изображен прямоугольник ABCD, ломаной линией KLMN он разбит на две части. Первая его часть равна площади 12 см2, а вторая имеет площадь 9 см2. Теперь давайте найдем площадь всего прямоугольника:

Итак, берем три и умножаем на семь и получаем 21 кв.см:

3 7 = 21 кв.см. При этом 21 = 12 + 9.

И приходим к выводу, что площадь всей нашей фигуры равна сумме площадей ее отдельных частей.

Рассмотрим еще один пример. И так на рисунке 65 изображен прямоугольник, который с помощью отрезка АС разбит на два равных треугольника ABC и ADC

А так, как нам уже известно, что квадрат – это такой же прямоугольник, только имеющий равные стороны, то площадь каждого треугольника будет равняться половине площади всего прямоугольника.

Представим, что сторона квадрата равна а, то:

S = a a = a2.

Делаем вывод, что формула площади квадрата будет иметь такой вид:

А запись a2 называется квадратом числа а.

И так, если сторона нашего квадрата равна четырем сантиметрам, то его площадь будет:

4 4, то есть 4 * 2 = 16 кв.см.

Вопросы и задания

Найдите площадь фигуры, которая разбита на шестнадцать квадратов, сторона которых равна одному сантиметру.
Вспомните формулу прямоугольника и запишите ее.
Какие измерения нужно произвести, чтобы узнать площадь прямоугольника?
Дайте определение равным фигурам.
Могут ли иметь равные фигуры различные площади? А периметры?
Если вам известны площади отдельных частей фигуры, как узнать ее общую площадь?
Сформулируйте и запишите, чему равняется площадь квадрата.

Историческая справка

А известно ли вам, что древние люди в Вавилоне умели рассчитать площадь прямоугольника. Так же древние египтяне делали расчеты различных фигур, но так как точных формул они не знали, то вычисления имели небольшие погрешности.

В своей книге «Начала» знаменитый древнегреческий математик Евклид, описывает различные способы вычисления площадей разных геометрических фигур.

Инструкция

Чтобы найти длину стороны прямоугольника, если известна ширина и площадь , разделите числовое значение площади на числовое значение ширины. То есть воспользуйтесь формулой:Д = П / Ш, где:Д – длина стороны прямоугольника,
Ш – ширина прямоугольника,
П – его площадь .Например, если площадь прямоугольника равна 20 см², а его ширина – 5 см, то длина его стороны будет: 20 / 5 = 4 см.

Перед началом вычислений переведите ширину и площадь прямоугольника в одну систему измерений. То есть, площадь должна выражаться в соответствующих ширине квадратных единицах измерения. При этом, длина получится в тех же единицах, что и ширина . Так, если ширина задана в метрах, то площадь необходимо в . Особенно актуален такой при измерении земельных участков, где площадь обычно задана в гектарах, арах и «сотках».

Например, пусть площадь дачного участка равняется шести соткам, а его ширина – 30 метров. Требуется найти длину участка.
Так как «соткой» 100 , то площадь «стандартных» шести можно записать как 600 м². Отсюда длину земельного участка можно найти разделив 600 на 30. Получается – 20 метров.

Иногда заданы площадь и ширина фигуры, имеющей не прямоугольную, а произвольную форму. При этом, также требуется найти ее длину . Как правило, в это случае подразумеваются габаритные фигуры, то есть параметры прямоугольника, в который эту фигуру можно заключить.
Если большая точность вычислений не требуется, то воспользуйтесь вышеприведенной формулой (Д = П / Ш). Однако, значение длины при этом получится заниженным. Чтобы получить более точное значение длины фигуры, оцените насколько полно фигура заполняет свой габаритный прямоугольник и разделите полученную длину на коэффициент заполнения.

Источники:

Какова длина прямоугольника, если известна его ширина

Каждая геометрическая фигура обладает определенными характеристиками, которые, в свою очередь, связаны между собой. Поэтому для того, чтобы найти площадь прямоугольника, нужно знать, какова длина его сторон.

Прямоугольник - одна из самых распространенных геометрических фигур. Он представляет собой четырехугольник, все углы которого равны между собой и составляют по 90 градусов. Эта характеристика, в свою очередь, влечет за собой определенные последствия в отношении других параметров рассматриваемой фигуры.

Во-первых, его стороны, располагающиеся друг напротив друга, будут параллельны. Во-вторых, эти стороны будут попарно равны между собой по длине. Эти характеристики оказываются очень важными для исчисления других его параметров, таких как площадь.

Порядок вычисления площади прямоугольника

Для того чтобы вычислить , необходимо иметь информацию о том, какова длина его сторон. Следует помнить, что стороны прямоугольника не равны по этому показателю: прямоугольник, все стороны которого равны между собой по длине, представляет собой другую геометрическую фигуру, которая носит название квадрата.

Поэтому для обозначения различающихся сторон прямоугольника приняты особые обозначения: так, сторону с большой протяженностью обычно называют длиной фигуры, а сторону с меньшей протяженностью - его шириной. При этом каждый прямоугольник в силу его свойств, описанных выше, имеет две длины и две ширины.

Собственно алгоритм вычисления площади этой фигуры достаточно прост: необходимо лишь его одну длину умножить на одну его ширину. Полученное произведение будет представлять собой площадь прямоугольника.

Пример вычисления

Предположим, есть прямоугольник, одна сторона которого составляет 5 сантиметров, а другая - 8 сантиметров. Таким образом, согласно данному выше определению, длина этой фигуры, измеряемая как протяженностью большей стороны, будет равна 8 сантиметрам, а ширина - 5 сантиметрам.

Для нахождения площади фигуры необходимо ее ширину умножить на длину: таким образом, площадь рассматриваемого прямоугольника составит 40 квадратных сантиметров. Обратите внимание, что для осуществления вычислений оба используемых параметра должны измеряться в одинаковых единицах, например

С таким понятием, как площадь, нам приходится сталкиваться в своей жизни повседневно. Так, например, при строительстве дома ее нужно знать для того, чтобы рассчитать количество необходимого материала. Размер садового участка также будет характеризоваться площадью. Даже ремонт в квартире невозможно сделать без этого определения. Поэтому вопрос, как найти площадь прямоугольника, на нашем жизненном пути встает очень часто и является важным не только для школьников.

Для тех, кто не знает, прямоугольник - это плоская фигура, у которой противоположные стороны равны, а углы составляют 90°. Для обозначения площади в математике используют английскую букву S. Ее измеряют в квадратных единицах: метрах, сантиметрах и так далее.

S = 2 * 7 = 14 м2

В математике, особенно в старших классах, приходится определять площадь иными способами, так как во многих случаях ни длина, ни ширина прямоугольника нам не известна. Вместе с тем имеют место другие известные величины. Как найти площадь прямоугольника в этом случае?

Если нам известна длина диагонали и один из углов, составляющий диагональ с любой стороной прямоугольника, то в этом случае потребуется вспомнить о площади прямоугольного треугольника. Ведь если разобраться, то прямоугольник состоит из двух равных прямоугольных треугольников. Итак, вернемся к определяемой величине. Для начала необходимо определить косинус угла. Полученную величину умножить на длину диагонали. В итоге получим длину одной из сторон прямоугольника. Аналогично, но уже с помощью определения синуса, можно определить длину второй стороны. А как найти площадь прямоугольника теперь? Да очень просто, перемножить полученные величины.

В виде формулы это будет выглядеть так:

S = cos(a) * sin(a) * d2 , где d- длина диагонали

Еще один способ определения площади прямоугольника - через вписанную в него окружность. Он применяется в том случае, если прямоугольник является квадратом. Для использования данного способа необходимо знать радиус окружности. Как вычислить площадь прямоугольника таким способом? Конечно же, по формуле. Доказывать мы ее не будем. А выглядит она так: S = 4 * r2, где r -радиус.

S=d2,где d - диаметр.

Если известна одна из сторон и периметр, то как узнать площадь прямоугольника в этом случае? Для этого необходимо произвести ряд простых вычислений. Как мы знаем, противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому от значения периметра необходимо отнять известную длину, умноженную на два. Полученный результат разделить на два и получим длину второй стороны. Ну, а дальше стандартный прием, перемножаем обе стороны и получаем площадь прямоугольника. В виде формулы это будет выглядеть так:

S=b* (P - 2*b), где b - длина стороны, P - периметр.

Прямоугольник – это частный случай четырехугольника. Это значит, что у прямоугольника четыре стороны. Его противоположные стороны равны: так например, если одна из его сторон равна 10 см, то противоположная ей будет так же равны 10 см. Частным случаем прямоугольника является квадрат. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Для вычисления площади квадрата можно пользоваться тем же алгоритмом, что и для вычисления площади прямоугольника.

Как узнать площадь прямоугольника по двум сторонам

Для того чтобы найти площадь прямоугольника, надо умножить его длину на ширину: Площадь = Длина × Ширина. В случае, указанном ниже: Площадь = AB × BC.

Как узнать площадь прямоугольника по стороне и длине диагонали

В некоторых задачах необходимо найти площадь прямоугольника, используя длину диагонали и одну из сторон. Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Следовательно, можно определить вторую сторону прямоугольника, воспользовавшись теоремой Пифагора. После этого задача сводится к предыдущему пункту.

Как узнать площадь прямоугольника по периметру и стороне

Периметр прямоугольника – это сумма всех его сторон. Если известен периметр прямоугольника и одна сторона (например ширина), можно вычислить площадь прямоугольника, воспользовавшись следующей формулой:
Площадь = (Периметр×ширина – ширина^2)/2.

Площадь прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и длину диагонали

Диагонали в прямоугольнике равны, поэтому, чтобы вычислить площадь на основании длины диагонали и синуса острого угла между ними, следует воспользоваться следующей формулой: Площадь = Диагональ^2 × sin(острого угла между диагоналями)/2.