ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
Представление о плоскости в пространстве позволяет получить, к примеру, поверхность стола или стены. Однако, стол или стена имеют конечные размеры, а плоскость простирается за их границы в бесконечность.
Рассмотрим две пересекающиеся плоскости. При пересечении они образуют четыре двугранных угла с общим ребром.
Вспомним, что из себя представляет двугранный угол.
В реальности мы встречаемся с предметами, которые имеют форму двугранного угла: например, приоткрытая дверь или полураскрытая папка.
При пересечении двух плоскостей альфа и бета получим четыре двугранных угла. Пусть один из двугранных углов равен (фи), тогда второй равен (1800 -), третий, четвертый (1800-).
Рассмотрим случай, когда один из двугранных углов равен 900.
Тогда, все двугранные углы в этом случае равны по 900.
Введем определение перпендикулярных плоскостей:
Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.
Угол между плоскостями сигма и эпсилон равен 90 градусов, значит плоскости перпендикулярны
Приведем примеры перпендикулярных плоскостей.
Стена и потолок.
Боковая стенка и крышка стола.
Сформулируем признак перпендикулярности двух плоскостей:
ТЕОРЕМА: Если одна их двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Докажем этот признак.
По условию известно что прямая АМ лежит в плоскости α, прямая АМ перпендикулярна плоскости β,
Доказать: плоскости α и β перпендикулярны.
Доказательство:
1) Плоскости α и β пересекаются по прямой АР, при этом АМ АР, так как АМ β по условию, то есть АМ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.
2) Проведем в плоскости β прямую AТ перпендикулярную AР.
Получим угол ТAМ - линейный угол двугранного угла. Но угол ТAМ = 90°, так как МА β. Значит, α β.
Что и требовалось доказать.
Из признака перпендикулярности двух плоскостей имеем важное следствие:
СЛЕДСТВИЕ: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
То есть: если α∩β=с и γ с, то γ α и γ β.
Докажем это следствие: если плоскость гамма перпендикулрна к прямой с то по признаку параллельностидвух плоскостей гамма перпендикулярна к альфа. Аналогично и гамма перпендикулярна бета
Указанное следствие переформулируем для двугранного угла:
Плоскость, проходящая через линейный угол двугранного угла перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла. Другими словами, если мы построили линейный угол двугранного угла, то проходящая через него плоскость перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла.
Дано: ΔАВС, С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABC = 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см.
Найти: расстояние от точки В до плоскости α.
1) Построим ВК α. Тогда КС - проекция ВС на эту плоскость.
2) ВС АС (по условию), значит, по теореме о трех перпендикулярах (ТТП), КС АС. Следовательно, ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника АВС. То есть ВСК = 60°.
3) Из ΔВСА по теореме Пифагора:
Ответ ВК равно 6 корней из трех см
Практическое использование (прикладной характер) перпендикулярности двух плоскостей.
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 o .
рис. 37 |
Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости. Говорят также, что плоскость перпендикулярна к прямой а. |
рис. 38 |
Если прямая а перпендикулярна к плоскости , то она, очевидно, пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость , то она лежала бы в этой плоскости или была бы параллельна ей. Но в том и в другом случае в плоскости имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что невозможно. Значит, прямая а пересекает плоскость . |
Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Замечания.
- Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой, и притом единственная.
- Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
- Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.
Задачи и тесты по теме "Тема 5. "Перпендикулярность прямой и плоскости"."
- Перпендикулярность прямой и плоскости
- Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1
- Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 2 Заданий: 10 Тестов: 1
- Параллельность прямых, прямой и плоскости - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1
- Перпендикулярные прямые - Начальные геометрические сведения 7 класс
Уроков: 1 Заданий: 17 Тестов: 1
Материал темы обобщает и систематизирует известные Вам из планиметрии сведения о перпендикулярности прямых. Изучение теорем о взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, а также материал о перпендикуляре и наклонных целесообразно сочетать с систематическим повторением соответствующего материала из планиметрии.
Решения практически всех задач на вычисление сводятся к применению теоремы Пифагора и следствий из нее. Во многих задачах возможность применения теоремы Пифагора или следствий из нее обосновывается теоремой о трех перпендикулярах или свойствами параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Понятие перпендикулярных плоскостей
При пересечении двух плоскостей у нас получается $4$ двугранных угла. Два угла равны $\varphi $, а два другие равны ${180}^0-\varphi $.
Определение 1
Углом между плоскостями называется минимальный из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Определение 2
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между этими плоскостями равен $90^\circ$ (рис. 1).
Рисунок 1. Перпендикулярные плоскости
Признак перпендикулярности двух плоскостей
Теорема 1
Если прямая плоскости перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны друг другу.
Доказательство.
Пусть нам даны плоскости $\alpha $ и $\beta $, которые пересекаются по прямой $AC$. Пусть прямая $AB$, лежащая в плоскости $\alpha $ перпендикулярна плоскости $\beta $ (рис. 2).
Рисунок 2.
Так как прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\beta $, то она перпендикулярна и прямой $AC$. Проведем дополнительно прямую $AD$ в плоскости $\beta $, перпендикулярно прямой $AC$.
Получаем, что угол $BAD$ - линейный угол двугранного угла, равный $90^\circ$. То есть, по определению 1, угол между плоскостями равен $90^\circ$, значит, данные плоскости перпендикулярны.
Теорема доказана.
Из этой теоремы следует следующая теорема.
Теорема 2
Если плоскость перпендикулярна прямой, по которой пересекаются две другие плоскости, то она перпендикулярна и этим плоскостям.
Доказательство.
Пусть нам даны две плоскости $\alpha $ и $\beta $, пересекающиеся по прямой $c$. Плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$ (рис. 3)
Рисунок 3.
Так как прямая $c$ принадлежит плоскости $\alpha $ и плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$, то, по теореме 1, плоскости $\alpha $ и $\gamma $ перпендикулярны.
Так как прямая $c$ принадлежит плоскости $\beta $ и плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$, то, по теореме 1, плоскости $\beta $ и $\gamma $ перпендикулярны.
Теорема доказана.
Для каждой из этих теорем справедливы и обратные утверждения.
Примеры задач
Пример 1
Пусть нам дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найти все пары перпендикулярных плоскостей (рис. 5).
Рисунок 4.
Решение.
По определению прямоугольного параллелепипеда и перпендикулярных плоскостей видим следующие восемь пар перпендикулярных между собой плоскостей: $(ABB_1)$ и $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $(ABB_1)$ и $(BCC_1)$, $(ABB_1)$ и $(ABC)$, $(DCC_1)$ и $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1)$ и $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ и $(ABC)$.
Пример 2
Пусть нам даны две взаимно перпендикулярные плоскости. Из точки одной плоскости проведен перпендикуляр к другой плоскости. Доказать, что эта прямая лежит в данной плоскости.
Доказательство.
Пусть нам даны перпендикулярные плоскости $\alpha $ и $\beta $, пересекающиеся по прямой $c$. Из точки $A$ плоскости $\beta $ проведен перпендикуляр $AC$ к плоскости $\alpha $. Предположим, что $AC$ не лежит в плоскости $\beta $ (рис. 6).
Рисунок 5.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Он является прямоугольным с прямым углом $ACB$. Следовательно, $\angle ABC\ne {90}^0$.
Но, с другой стороны, $\angle ABC$ является линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. То есть двугранный угол, образованный этими плоскостями не равняется 90 градусам. Получаем, что угол между плоскостями не равен $90^\circ$. Противоречие. Следовательно, $AC$ лежит в плоскости $\beta $.
Данный урок поможет желающим получить представление о теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей». В начале него мы повторим определение двугранного и линейного угла. Затем рассмотрим, какие плоскости называются перпендикулярными, и докажем признак перпендикулярности двух плоскостей.
Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей
Урок: Признак перпендикулярности двух плоскостей
Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, не принадлежащими одной плоскости, и их общей прямой а (а - ребро).
Рис. 1
Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 1). Их общая граница - l. Указанная фигура называется двугранным углом. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром.
Двугранный угол измеряется своим линейным углом. На общем ребре l двугранного угла выберем произвольную точку. В полуплоскостях α и β из этой точки проведем перпендикуляры a и b к прямой l и получим линейный угол двугранного угла.
Прямые a и b образуют четыре угла, равных φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Напомним, углом между прямыми называется наименьший из этих углов.
Определение. Углом между плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями. φ - угол между плоскостями α и β, если
Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°.
Рис. 2
На ребре l выбрана произвольная точка М (рис. 2). Проведем две перпендикулярные прямые МА = а и МВ = b к ребру l в плоскости α и в плоскости β соответственно. Получили угол АМВ. Угол АМВ - это линейный угол двугранного угла. Если угол АМВ равен 90°, то плоскости α и β называются перпендикулярными.
Прямая b перпендикулярна прямой l по построению. Прямая b перпендикулярна прямой а, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и l из плоскости α. Значит, прямая b перпендикулярна плоскости α.
Аналогично можно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости β. Прямая а перпендикулярна прямой l по построению. Прямая а перпендикулярна прямой b, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и l из плоскости β. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости β.
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Доказать:
Рис. 3
Доказательство:
Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой АС (рис. 3). Чтобы доказать, что плоскости взаимно перпендикулярны, нужно построить линейный угол между ними и показать, что этот угол равен 90°.
Прямая АВ перпендикулярна по условию плоскости β, а значит, и прямой АС, лежащей в плоскости β.
Проведем прямую АD перпендикулярно прямой АС в плоскости β. Тогда ВАD -линейный угол двугранного угла.
Прямая АВ перпендикулярна плоскости β, а значит, и прямой АD, лежащей в плоскости β. Значит, линейный угол ВАD равен 90°. Значит, плоскости α и β перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей (рис. 4).
Доказать:
Рис. 4
Доказательство:
Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость α проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости α и γ перпендикулярны.
Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость β проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости β и γ перпендикулярны.
Лекция по теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей»
Представление о плоскости в пространстве позволяет получить, к примеру, поверхность стола или стены. Однако, стол или стена имеют конечные размеры, а плоскость простирается за их границы в бесконечность.Рассмотрим две пересекающиеся плоскости. При пересечении они образуют четыре двугранных угла с общим ребром.
Вспомним, что из себя представляет двугранный угол.
В реальности мы встречаемся с предметами, которые имеют форму двугранного угла: например, приоткрытая дверь или полураскрытая папка.
При пересечении двух плоскостей альфа и бета получим четыре двугранных угла. Пусть один из двугранных углов равен (фи), тогда второй равен (180 0 –), третий, четвертый (180 0 -).
α и β, 0°< 90 °
Рассмотрим случай, когда один из двугранных углов равен 90 0 .
Тогда, все двугранные углы в этом случае равны по 90 0 .
двугранный угол между плоскостями α и β,
90º
Введем определение перпендикулярных плоскостей:
Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.
Угол между плоскостями сигма и эпсилон равен 90 градусов, значит плоскости перпендикулярны
Т.к. =90°
Приведем примеры перпендикулярных плоскостей.
Стена и потолок.
Боковая стенка и крышка стола.
Стена и потолок
Сформулируем признак перпендикулярности двух плоскостей:
ТЕОРЕМА: Если одна их двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Докажем этот признак.
По условию известно что прямая АМ лежит в плоскости α, прямая АМ перпендикулярна плоскости β,
Доказать: плоскости α и β перпендикулярны.
Доказательство:
1) Плоскости α и β пересекаются по прямой АР, при этом АМ АР, так как АМ β по условию, то есть АМ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.
2) Проведем в плоскости β прямую A Т перпендикулярную A Р.
Получим угол Т A М – линейный угол двугранного угла. Но угол Т A М = 90°, так как МА β. Значит, α β.
Что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Дано: α, β, АМ α, АМβ, АМ∩=А
Доказать: αβ.
Доказательство:
1) α ∩ β = АР, при этом АМ АР, так как АМ β по условию, то есть АМ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.
2) АТβ, A Т A Р.
ТАМ– линейный угол двугранного угла. ТАМ = 90°, т.к. МА β. Значит, α β.
Что и требовалось доказать
Из признака перпендикулярности двух плоскостей имеем важное следствие:
СЛЕДСТВИЕ: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
Докажем это следствие: если плоскость гамма перпендикулрна к прямой с то по признаку параллельностидвух плоскостей гамма перпендикулярна к альфа. Аналогично и гамма перпендикулярна бета
То есть: если α∩β=с и γс, то γα и γβ.
т.к. γс и сα из признака перпендикулярности γα.
Аналогично γ β
Указанное следствие переформулируем для двугранного угла:
Плоскость, проходящая через линейный угол двугранного угла перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла. Другими словами, если мы построили линейный угол двугранного угла, то проходящая через него плоскость перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла.
Задача.
Дано: ΔАВС, С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABC = 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см.
Найти: расстояние от точки В до плоскости α.
Решение:
1) Построим ВК α. Тогда КС - проекция ВС на эту плоскость.
2) ВС АС (по условию), значит, по теореме о трех перпендикулярах (ТТП), КС АС. Следовательно, ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника АВС. То есть ВСК = 60°.
3) Из ΔВСА по теореме Пифагора:
Из ΔВКС: