Понятие конформного отображения. Общие принципы теории конформных отображений Конформное преобразование

Для нахождения образа какого-нибудь множество Е (линии, области), заданного на комплексной плоскости z с помощью некоторых условий А (уравнений, неравенств), при отображении поступают следующим образом. Из условий А и равенства , где , , исключая x, y или , получают новые условия через u, v или . Эти условия описывают некоторое множество на плоскости w, которое и будет образом множества Е при отображении .

Конформные отображения многих областей друг на друга осуществляются с помощью элементарных функций. Часто применяются следующие функции.

1. - параллельный перенос на вектор .

2. - преобразование подобия с центром в начале координат и коэффициентом подобия .

3. - поворот вокруг начала координат на угол .

4. - степенная функция. Отображает угол конформно на угол (рис. 11). При этом сектор переходит в сектор , область - в область , а дуга окружности - в дугу окружности .

В дальнейшем в случае многозначности функции (это будет, когда - нецелое число) под будем понимать ту однозначную ветвь, которая в точке z = 1 принимает значение

5. - показательная функция. Отображает полосу , конформно на угол (рис.12). При этом полуполоса переходит в сектор , а полуполоса - в область .

6. - функция Жуковского. Отображает единичный круг , а также внешность единичного круга конформно на плоскость с разрезом по отрезку [-1; 1] (рис. 13). При этом области

(нижний полукруг и верхняя полуплоскость с выкинутым полукругом) переходят в верхнюю полуплоскость , а области (верхний по-лукруг и нижняя полуплоскость с выкинутым полукругом) переходят в нижнюю полуплоскость .

7. - дробно-линейная функция. Ее основные свойства приведены в теоретической части занятий 7, 8.

На практике часто встречаются области следующих типов, которые бывает надо отобразить конформно на верхнюю полуплоскость.

1. Области, границы которых имеют две угловые точки (рис. 14).

Используя какую-нибудь дробно-линейную функцию, отобразить

одну из угловых точек в 0, а другую в , после чего получится угол с вершиной в начале координат. Далее осуществить поворот и применить степенную функцию.

2. Круг, внешность круга или полукруг с разрезом (рис. 15).

Применить преобразование подобия и функцию Жуковского, после чего получится плоскость или полуплоскость с разрезами.

3. Области, ограниченные окружностями (прямыми) или дугами окружностей, которые имеют точку касания (рис. 16).

Используя дробно-линейную функцию, отобразить точку касания в , после чего получится полоса или полуполоса. Далее применить показательную функцию.

4. Области, границы которых имеют три и более угловых точек (рис.17).

Используя степенную функцию, выпрямить некоторые из углов.

Задачи

1. Найти образ прямой при отображении .

Решение . Пусть Тогда из условия Re z = и равенства , т.е. равенства имеем х = , откуда, исключая x и y, получим . Следовательно, образом прямой Re z = будет парабола .

2. Найти образы прямых при отображении .

Решение . Считая , из равенства

находим: . Присоединяя к этим равенствам условие и исключая из полученных равенств х и у, получим . Это уравнение описывает логарифмическую спираль при и луч при = 0.

3. Найти образ верхней полуплоскости с разрезом по отрезку , при отображении .

Решение. Функция отображает верхнюю полуплоскость, рассматриваемую как угол , на угол , т.е. на плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси . Из этой области надо выкинуть еще образ отрезка при отображении . Отрезок задается условиями х = 0, . Из этих условий и равенств полу-чаемых из равенства , исключая х и у, получим: . Значит, образом отрезка будет отрезок , а образом исходной области будет плоскость с разрезом по лучу .

4. Найти какие-нибудь конформные отображения на верхнюю полуплоскость Im z > 0 следующих областей:

в) плоскость с разрезом по лучам и ;

г) верхнюю полуплоскость с разрезом по отрезку ;

д) внешность единичного круга с центром в точке 0 и с разрезом по лучу ;

е) верхнюю половину единичного круга с разрезом по отрезку ;

ж) сектор ;

з) полуполосу ;

л) полосу с разрезом по лучу .

Решение. Последовательности отображений, с помощью которых осуществляются конформные отображения заданных областей на верхнюю полуплоскость, а также области, получаемые при этих отображениях, указаны на следующих рисунках.

Границы заданной области имеет две угловые точки -1 и 1, которые с помощью функции z 1 отображаются соответственно в и 0. Точка z = угловой точкой границы не является, так как на бесконечности лучи и , рассматриваемые как единая часть прямой Im z = 0, угол не образуют. Функция z 1 отображает заданную область на угол величины с вершиной в начале координат, который с помощью степенной функции отображается на угол величины , т.е. на верхнюю полуплоскость.

Так как при отображении z 1 лучи и в совокуп-ности переходят в один луч , то образом заданной области при отображении z 1 будет вся плоскость с разрезом по лучу , т.е. угол величины с вершиной в начале координат, который с по-мощью функции отображается на верхнюю полуплоскость.

Функция Жуковского z 1 отображает внешность единичного круга на внешность отрезка , а разрез по лучу на луч . Поэтому образом исходной области при отображении z 1 будет внешность отрезка , откуда выкидывается еще луч , т.е. будет плоскость с разрезом по лучу .

Преобразование отображает единичный верхний полукруг на единичный круг с разрезом по отрезку , а отрезок на отрезок , поэтому образом исходной области при отображении z 1 будет единичный круг с разрезами по отрезкам и . Полученная область отображается функцией Жуковского z 2 на плоскость с разрезом по лучу , так как при этом отображении единичный круг переходит во внешность отрезка , отрезок на отрезок , а отрезок на луч .

Граница исходной области имеет точку касания z = 0, которая с помощью функции отображается в . При этом сама область переходит в полосу.

Для отображения полуполосы, изображенной на плоскости z 3 , на верхнюю полуплоскость воспользовались ответом примера з), где брали . Тогда .

При отображении полоса переходит в угол , т.е. в плоскость с разрезом по лучу , а разрез переходит в луч , поэтому исходная область переходит в плоскость с разрезами по лучам и . Далее воспользовались ответом примера в).

5. Отобразить полукруг на круг так, чтобы .

Решение. Сначала найдем какое-нибудь конформное отображение заданного полукруга на верхнюю полуплоскость. Одно из таких отображений дается последовательностью конформных отображений, указанных на следующих рисунках.

отображает заданный полукруг конформно на верхнюю полуплоскость. При этом внутренняя точка перейдет в точку , а граничная точка 2 в точку 1. Отобразим теперь полуплоскость на круг так, чтобы точка перешла в точку 0, а точка 1 в точку 1. Так как искомое отображение является дробно- линейным, то при этом согласно свойству симметрии дробно-линейной функции точка , симметричная точке относительно границы полуплоскости , перейдет в точку , симметричную точке 0 относительно границы круга . Следовательно, искомое отображение переводит точки , , 1 соответственно в точки 0, , 1. Оно находится из соотношения

где . Эта функция отображает заданный полукруг на единичный круг так, что .

Основная задача теории конформных отображений - построить конформное отображение заданной области на некоторую заданную область плоскости переменной w.

Непрерывное отображение области 2-мерного евклидова пространства в 2-мерное евклидово пространство называется конформным в точке, если оно в этой точке обладает свойствами постоянства растяжений и сохранения углов. Свойство постоянства растяжений в точке при отображении состоит в том, что отношение расстояния между образами и точек u к расстоянию между и стремится к определенному пределу, когда стремится к произвольным образом; число называется коэффициентом растяжения в точке при рассматриваемом отображении. Свойство сохранения (консерватизма) углов в точке при отображении состоит в том, что любая пара непрерывных кривых, расположенных в и пересекающихся в точке под углом б (т.е. имеющих касательные в точке, образующие между собой угол б), при рассматриваемом отображении переходит в пару непрерывных кривых, пересекающихся в точке под тем же углом б. Непрерывное отображение области называется конформным, если оно конформно в каждой точке этой области.

По определению, конформное отображение области обязано быть непрерывным и конформным лишь во внутренних точках, и если говорят о конформном отображении замкнутой области, то, как правило, имеют в виду непрерывное отображение замкнутой области, конформное в ее внутренних точках.

Конформные отображенияобласти 2-х мерного евклидова пространства в 2-х мерное евклидово пространство удобно рассматривать как отображение области плоскости комплексного переменного в плоскость комплексного переменного; соответственно отображение является комплекснозначной функцией комплексного переменного. При этом если в точке отображение сохраняет углы, то криволинейные углы с вершиной при этом отображении либо сохраняют свою абсолютную величину и знак, либо сохраняют свою абсолютную величину, изменяя знак на противоположный. В первом случае говорят, что отображение в точке является конформным отображением первого рода, во втором - конформным отображением второго рода. Если функция задает конформное отображение второго рода в точке, то комплексно сопряженная функция w= задает конформное отображение первого рода в точке, и наоборот. Поэтому изучаются лишь конформные отображения первого рода, и именно их обычно имеют в виду, когда говорят о конформном отображении, не уточняя их род. Если отображение конформно в точке, то при существует конечный предел отношения, т. е. существует производная. Верно и обратное. Таким образом, если существует то каждый бесконечно малый вектор с началом в точкепри отображении преобразуется с помощью линейной функции т.е. растягивается в раз, поворачивается на угол arg и параллельно сдвигается на вектор.

В теории плоских конформных отображений и ее приложениях принципиальным является вопрос о возможности однолистно и конформно отобразить одну заданную область на другую, а в практических приложениях - вопрос о возможности это сделать посредством сравнительно простых функций. Первую задачу для случая односвязных областей, границы которых не пусты и не вырождаются в точки, решает в положительном смысле теорема Римана о конформном отображении. Вторая задача для некоторых областей специального вида, решается применением элементарных функций комплексного переменного.

Основные принципы теории конформных отображений о отображении одной области на другую

Теорема Римана. Пусть - односвязная область расширенной комплексной плоскости, граница которой содержит не менее двух точек. Тогда:

1) существует аналитическая в функция конформно отображающая на единичный круг
2) эту функцию можно выбрать так, что будут выполнятся условия

где заданные точки, заданное действительное число. При этом функция условиями (1) определяются однозначно.

Две односвязные области, каждая из которых имеет не менее двух граничных точек, можно конформно отобразить одну на другую. Важным теоретическим положением, характеризующим поведение конформного отображения вблизи границы области, является следующий принцип соответствия границ.

Теорема 1. Пусть и - односвязные области, ограниченные простыми кусочно гладкими контурами и, а функция однолистно и конформно отображает область на область. Тогда:

1) функция, имеет непрерывное продолжение на границу области, т.е. ее можно так доопределить в точках контура, что получится функция, непрерывная в замыкании;
2) функция, доопределяется на границе, отображает контур взаимно однозначно на контур, причем так, что положительному обходу контура будет соответствовать положительный обход контура.

Теорема 2. Пусть функция аналитична в односвязной области, ограниченной кусочно гладким контуром, и непрерывна в замыкании этой области. Если функция осуществляет взаимно однозначное отображение контура на некоторый простой кусочно гладкий контур, то отображает область конформно и однолистно на область, ограниченную контуром, причем обходу контура в положительном направлении соответствует обход контура также в положительном направлении.

Для доказательства теоремы достаточно показать, что

1) для каждой точки существует только единственная такая, что, т.е. функция имеет только один нуль в области;
2) для каждой точки не существует точки такой, что т.е. функция не принимает значения ни при каком

Докажем первое утверждение. По условию теоремы функция не обращается в нуль на контуре, т.к. при точка попадает на контур, а лежит в и не может принадлежать. Значит, согласно принципу аргумента, число нулей функции в области равно

Так как точка лежит в области, ограниченной контуром, то, где знак плюс соответствует положительному направлению обхода контура. Отрицательное значение в данном случае невозможно, так как свидетельствует о наличии в области полюсов функции а по условию аналитична в Следовательно, и уравнение в области имеет только одно решение.

Рассмотрим второе утверждение. Если точка расположена во внешности контура, то и уравнение не имеет решений в области А это означает, что всякая внутренняя точка области при конформном и однолистностном отображении переходит во внутреннюю точку области. Что и требовалось доказать.

Замечание 1. Теоремы 1и 2 верны и для областей и расширенной комплексной плоскости, ограниченных простыми кусочно гладкими контурами и.

Теорема 3 (принцип сохранения области) Если функция аналитична в области и не является постоянной, то образ области также является областью.

Для доказательства теоремы требуется показать, что множество линейно связанное и открытое. Так как отображение в силу аналитичности является непрерывным отображением, то образ любого линейно связанного множества при этом отображении является линейно связанным множеством. Следовательно, линейно связанное множество.

Докажем теперь, что открытое множество, т.е. любая точка входит в вместе с некоторой своей окрестностью. Пусть один из прообразов точки. Если, то, согласно теореме об обратной функции, в некоторой окрестности точки определена функция, обратная функция к. Следовательно, все точки этой окрестности являются образами при отображении и она целиком принадлежит. Если, то к этому же выводу приходим, опираясь на теорему (Об обратной функции).

Теорема 4 (принцип максимума модуля). Если функция аналитическая в области, а ее модуль достигает локального максимума в некоторой точке, то постоянна в.

Доказательство проведем методом от противного. Пусть. Для точки выберем произвольную окрестность, целиком принадлежащую области, и предположим, что не является постоянной в рассматриваемой окрестности. Согласно принципу сохранения области, образ круга при отображении является областью. Значит, все точки некоторой окрестности точки являются образами точек круга. В этой окрестности выберем точку, для которой (если, то можно взять

а если, то в качестве можно взять любую точку указанной окрестности). Для этой точки имеем > Поскольку окрестность точки можно выбрать сколь угодно малого радиуса, заключаем, что точка не является точкой локального максимума функции.

Итак, если функция не является постоянной в окрестности точки, то не имеет максимума в точке. Если же достигает максимума в некоторой точке области, то функция постоянна в некоторой окрестности точки, т.е. при. Согласно теореме о единственности аналитической функции, аналитические функции и совпадают в области. Другими словами, функция постоянна в.

Теорема 5. Если функция аналитична в ограниченной области и непрерывна на замыкании этой области, то функция достигает наибольшего значения на границе области.

Действительно, если функция постоянна в, то в силу непрерывности она постоянна в и утверждение теоремы очевидно.

Если же не является постоянной в, то, согласно теореме 4, функция не может достигать наибольшего значения в области, т.к. в противном случае она имела бы в точку локального максимума. Но, будучи непрерывной на замкнутом ограниченном множестве, достигает на этом множестве своего наибольшего значения: это может произойти только на границе области.

Теорема 6. Если функция аналитична в области, не имеет в нулей и ее модуль достигает в локального минимума, то постоянна в этой области.

Теорема 7 (лемма Шварца). Если аналитическая в круге функция удовлетворяет условиям, то и, z. При этом равенство или возможно хотя бы в одной точке z 0 лишь тогда, когда

Доказательство. В силу того, что точка является нулем функции, эту функцию можно представить в виде, где - аналитическая функция в, причем. Рассмотрим круг, ограниченный окружностью Функция аналитична в и непрерывна в. Поэтому, согласно теореме 5, она достигает наибольшего значения на границе. При этом при, так как по условию теоремы. Следовательно, всюду в имеем.

Предположим, что в некоторой точке выполнено неравенство. Выберем r<1 так, что. Тогда и, следовательно, . Получили противоречие, которое показывает, что на самом деле всюду в. В частности, в.

Если, то функция достигает максимума в точке, равного единице. Аналогично равенство означает, что достигает максимума в точке, равного единице. И в том и в другом случае, согласно принципу максимума модуля, функция является постоянной, причем. Следовательно, и.

Теорема 8. Пусть функция гармоническая в ограниченной области и непрерывная в замыкании этой области. Если непостоянна в, то она достигает наибольшего и наименьшего значений только на границе этой области.

Геометрический смысл модуля и аргумента аналитической функции. Пусть функция w=f(z) является аналитической в некоторой области D. Выберем произвольную точку и проведем через нее произвольную гладкую кривую , целиком лежащую в D . Функция f(z) осуществляет отображение области D комплексной плоскости (z) на область G комплексной плоскости (w) . Пусть точка отображается в точку , а кривая отображается в кривую .Обозначим через угол, составленный касательной к в точке с осью Ox, а через - угол, составленный касательной в точке с осью Ou . Так как функция f(z) аналитическая, то существует производная в любой точке области D . Предположим, что в D . Производную можно представить в показательном виде, т.е. записать в виде:

Выберем такой способ стремления , при котором точки лежат на кривой . Тогда соответствующие им точки Комплексные числа и на плоскости будут изображаться векторами секущих к кривым и соответственно, причем и - длины векторов секущих, а и углы, образованные этими векторами и положительными осями. При эти векторы секущих переходят в касательные к кривым и в точках и .Из равенства (10) следует, что , т.е. аргумент производной имеет геометрический смысл разности угла вектора касательной кривой и угла вектора касательной . Так как производная не зависит от способа предельного перехода, то она будет той же самой для любой другой кривой, проходящей через точку . Другими словами, дуги, проходящие через точку z 0 на плоскости z при отображении w=f(z) повернутся на один и тот же угол на плоскости w . Когда угол между любыми кривыми на плоскости (z) , проходящий через точку z 0 , равен углу между кривыми и на плоскости (w) ,то это называется свойством сохранения (консерватизма) углов.

Аналогично из равенства (10) получим: , т.е. с точностью до величин более высокого порядка малости имеет место равенство: .

Последнее соотношение также не зависит от способа выбора кривой и геометрический смысл его состоит с том, что при отображении, осуществляемом аналитической функцией, удовлетворяющей условию бесконечно малые линейные элементы (бесконечно малые дуги) преобразуются подобным образом, причем модуль производной называется коэффициентом подобия . Такое свойство данного отображения называется свойством постоянства растяжения , поэтому k еще называют коэффициентом растяжения . Говорят, что при k >1 – растяжение, а при k <1 – сжатие.

Определение конформного отображения и основные свойства. Определение 17. Взаимно-однозначное отображение области D комплексной плоскости (z) на область G комплексной плоскости (w) называется конформным , если оно во всех точках z D обладает свойством сохранения углов и постоянством растяжения.

Теорема 6. Для того, чтобы комплексная функция w=f(z) конформно отображала область D плоскости (z) на область G плоскости (w) , необходимо и достаточно, чтобы она была аналитической в D и ни в одной точке области D .

□ Необходимость . Предположим. что функция w=f(z) осуществляет конформное отображение. По определению это означает выполнение свойств сохранения углов и постоянства растяжения. Возьмем на плоскости z произвольную точку z 0 и в ее окрестности две точки: z 1 и z 2 . На плоскости w им будут соответствовать точки w 0 , w 1 , w 2

С точностью до бесконечно малых величин будут выполняться соотношения: , а из постоянства углов следует: . Из равенства для аргументов следует, что углы равны не только по абсолютной величине, но и по направлению. В результате получим: .

Таким образом из последних двух равенств следует с точностью до бесконечно малых величин выполнение следующих равенств: . По причине произвольности выбора точки z 0 и точек z 1 ,z 2 из ее окрестности следует, что существует , Достаточность. Пусть производная существует и не равна нулю в области D , тогда из геометрического смысла производной следует выполнение свойств сохранения углов и постоянства растяжения, а это по определению означает, что функция осуществляет конформное отображение. ■

Конформное отображение используется для решения задач математической физики, гидродинамике и аэродинамике, теории упругости, теории электромагнитных и тепловых полей. Основная задача теории конформного отображения заключается в нахождении функции комплексного переменного w=f(z), которая отображала бы заданную область D плоскости z на заданную область G плоскости w . В решении этой задачи важную роль играет теорема.

Теорема 7. Всякую односвязную область D комплексной плоскости z , граница которой состоит более чем из одной точки можно конформно отобразить на внутренность единичного круга <1 комплексной плоскости w. (без доказательства).

Из данной теоремы следует возможность конформного отображения данной области D на заданную область G, если граница каждой из областей состоит более чем из одной точки. Тогда, отобразив эти области на вспомогательный круг <1, мы получим искомое отображение. Конформное отображение многосвязной области на односвязную область невозможно, но в ряде случаев возможно конформное отображение областей одинаковой связности. Рассмотрим два конформных отображения.

Линейное отображение . Линейным называется отображение, осуществляемое линейной функцией где a и b - комплексные числа.

Такое отображение является взаимно-однозначным и конформным на всей комплексной плоскости поскольку Линейное отображение оставляет неподвижным две точки:

Пусть Представим линейное отображение в виде трех простейших.

1) Преобразование поворота всей плоскости z на угол вокруг начала координат:

2) Преобразование подобия с центром подобия в начале координат, т.е. растяжения при >1 и сжатия при 0< <1:

3) Параллельный перенос на вектор b :

Пример 4. Найти функцию, которая отображает треугольник с заданными вершинами z 1 =-1, z 2 =i, z 3 =1 в треугольник с вершинами w 1 =0, w 2 =-2+2i, w 3 =4i.

Решение. Построим искомую функцию как суперпозицию трех элементарных преобразований.

1) - поворот на угол против часовой стрелки;

2) - растяжение в два раза;

3) - сдвиг на две единицы вверх;

Искомая функция имеет вид:

Дробно-линейное отображение. Дробно-линейная функция , где a,b,c,d - комплексные числа осуществляет дробно-линейное отображение расширенной комплексной плоскости z w . Найдем производную: если .

Определение 18. Точки z 1 и z 2 называются симметричными относительно окружности , если они лежат на одном луче, проходящем через точки z 1 , z 2 и точку z 0 , причем .

Инверсией относительно окружности называется преобразование расширенной комплексной плоскости на себя, переводящее каждую точку z 1 плоскости в точку z 2 , симметричную относительно этой окружности. Рассмотрим отображение, заданное функцией и обозначим Пользуясь свойством модуля, можно записать: . Отсюда следует, что рассматриваемое отображение есть инверсия относительно окружности радиуса R, с центром в начале координат с последующим зеркальным отображением, относительно действительной оси.

По аналогии с линейным отображением, представим дробно-линейное отображение как суперпозицию простейших преобразований. Выделим сначала целую часть дроби:

Простейшие преобразования будут следующие:

1) параллельный перенос на : ;

2) преобразование инверсии относительно окружности радиуса R с центром в начале координат с последующим зеркальным отражением относительно действительной оси: ;

3) поворот относительно начала координат: ;

4)параллельный перенос на : .

Пример 5. Найти область, в которую перейдет окружность при дробно-линейном отображении .

Решение.

Это будет окружность, которая получается после следующих преобразований:

1) перенос на 1 вниз:

2) инверсия относительно , направление обхода изменится:

3) поворот на 90 градусов:

4) перенос на 1 вниз:

Свойства дробно-линейного отображения. Без доказательства сформулируем следующие свойства.

1.Конформность. Дробно-линейная функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость z на расширенную комплексную плоскость w .

2.Единственность. Существует единственная дробно-линейная функция, которая три заданные различные точки z 1 ,z 2 ,z 3 плоскости z отображает в три различные точки w 1 ,w 2, w 3 плоскости w и это отображение задается равенством: .

3.Круговое свойство. При дробно-линейном отображении, образом любой окружности в широком смысле является окружность(в широком смысле, т.е. окружность или любая прямая).

4.Принцип отображения границ. При дробно-линейном отображении область, лежащая внутри окружности, преобразуется в область, лежащую либо внутри, либо вне преобразованной окружности(граница отобразится в границу).

5.Принцип симметрии Римана-Шварца. При дробно-линейном отображении точки, симметричные относительно окружности, отображаются в точки, симметричные относительно преобразованной окружности(симметрия в смысле инверсии).

Пример 6. Задана верхняя полуплоскость плоскости z и произвольная точка z 0 . Найти функцию, которая отобразит ее в единичный круг плоскости w так, чтобы z 0 отобразилась в центр круга.

Решение.

Пусть , тогда согласно принципу отображения границ, действительная ось на плоскости z отобразится в окружность единичного радиуса. По свойству симметрии точка отобразится в точку . Таким образом, учитывая это построим функцию . Если рассмотреть точки z , лежащие на действительной оси, а это точки вида: , то для них будут выполняться равенства: , т.к. они все равноудалены от точки, лежащей на действительной оси, т.е. имеем, что все точки действительной оси отобразятся во все точки единичной окружности Отсюда получаем, что если рассмотреть модуль Искомое отображение будет иметь вид: .

Решить еще одну задачу на дробно-линейное отображение и вставить обе в первый модуль!

Здесь мы подробнее расскажем о геометрических методах теории аналитических и обобщенных аналитических функций, которыми больше всего будем пользоваться в приложениях.

§ 10. Задача Римана

Об этой основной граничной задаче теории конформных отображений уже говорилось в предыдущей главе. Она заключается в построении конформного отображения одной области на другую.

Существование и единственность. Начнем с замечания, что достаточно научиться конформно отображать произвольную односвязную область на круг, и тогда мы сможем отображать конформно друг на друга любые две такие области.

Это замечание основано на двух простых свойствах конформных отображений: 1) отображение обратное и конформному отображению и 2) сложное отображение составленное из двух конформных отображений (т. е. отображение ), снова являются конформными отображениями. Свойства ясны из определения конформного отображения как взаимно однозначного аналитического преобразования и из правил дифференцирования обратных и сложных функций.

Имея эти свойства, обосновать сделанное замечание совсем нетрудно: если функции конформно отображают соответственно области на единичный

круг то функция будет отображать на

Задача Римана решена до конца в начале этого столетия. Оказалось, что любую односвязную область, граница которой состоит более, чем из одной точки, можно конформно отобразить на единичный круг. В этом состоит знаменитая теорема Римана, которую он сформулировал еще в 1851 г., подкрепил физическими соображениями, но не доказал (точнее, его доказательство имело существенный пробел).

Займемся вопросом о том, насколько определена задача Римана, сколько решений она имеет при заданных областях Согласно замечанию, для решения этого вопроса достаточно выяснить, сколькими способами можно конформно отобразить единичный круг на себя. Нетрудно проверить, что при любом комплексном и любом действительном числе функция

конформно отображает круг на себя (в самом деле, при имеем и, следовательно, т. е. (1) преобразует единичную окружность в себя; кроме того, оно взаимно однозначно, ибо уравнение (1) однозначно разрешимо относительно и переводит точку а круга в его центр). Отображение (1) зависит от трех действительных параметров - двух координат точки а, переходящей в центр круга, и числа 0, изменение которого означает поворот круга относительно центра.

Можно доказать, что формула (1) содержит все конформные отображения единичного круга на себя. Это означает, что тремя действительными параметрами и исчерпывается произвол в решении задачи Римана:

конформное отображение одной области на другую определится однозначно, если задать соответствие трех пар граничных точек (положение точки на границе задается одним параметром) или соответствие одной пары внутренних точек (два параметра) и еще одной пары граничных точек (один параметр). Такие условия, однозначно определяющие отображение - они называются условиями нормировки - могут иметь различный вид, но каждый раз эти условия должны определять три параметра.

Примеры. Укажем несколько простейших примеров конформных отображений.

1) Отображение внешности круга на себя. Функцию (1) можно рассматривать также как отображающую внешность т. е. область на себя; в бесконечность она переводит точку которая называется симметричной с а относительно единичной окружности

2) Верхняя полуплоскость на круг тоже отображается дробнолинейной функцией:

здесь а - произвольная точка верхней полуплоскости она переводится при отображении (2) в центр круга; точка окружности, в которую переходит бесконечная точка плоскости (предел правой части (2) при очевидно, равен ).

На рис. 22 показано, во что переходят прямые h - это окружности, касающиеся единичной в точке

3) Внешность единичного круга на внешность отрезка отображается так называемой функцией Жуковского

Окружности переходят при этом в эллипсы с полуосями и с фокусами ±1, а лучи в дуги гипербол, ортогональных к эллипсам (рис. 23).

4) Полоса на единичный круг отображается функцией

Вертикальные прямые и горизонтальные отрезки при этом переходят в «меридианы» и «параллели» (рис. 24).

5) Верхняя полуплоскость с выброшенным круговым сегментом на верхнюю полуплоскость при нормировке отображается функцией

где а и а - параметры сегмента (рис. 25), а с - действительная постоянная (отметим, что наши условия нормировки задают лишь два действительных параметра, поэтому третий остается произвольным).

Для приложений эта формула слишком громоздка. При малых а и а, пользуясь первыми членами тейлоровских разложений, ее можно заменить приближенной формулой

Можно еще заметить, что с точностью до малых высших порядков дает площадь с выброшенного сегмента, поэтому (6) переписывается в виде

6) Круг с выброшенной малой луночкой на круг отображается также достаточно громоздко записывающейся функцией. Приближенную формулу для такого отображения при условии, что площадь выброшенной луночки мала, можно записать так:

здесь вершина луночки или (с той же точностью) другая ее точка.

7) Такая же приближенная формула для отображения полосы с выброшенной луночкой малой площади с на полосу имеет вид

где а - абсцисса одной из точек луночки; гиперболический тангенс.

Течение в канале. Уменье решать задачу Римана определяет успех решения некоторых задач гидродинамики. Мы проиллюстрируем это на классических примерах задач обтекания тел установившимися потоками идеальной несжимаемой жидкости. Придется, конечно, предполагать, что тела имеют форму бесконечных цилиндров (с произвольными направляющими линиями), чтобы можно было воспользоваться схемой плоского движения.

Пусть нужно найти течение в канале со стенками, которые перпендикулярны к некоторой плоскости и пересекают ее по двум бесконечным кривым без общих точек (рис. 26), причем скорости течения параллельны этой плоскости и на всех перпендикулярах к ней одинаковы. Поле скоростей в канале описывается плоским полем в полосе ограниченной кривыми

Как мы видели в предыдущей главе, предположение об отсутствии в потоке источников и вихрей приводит к выводу о существовании комплексного потенциала - аналитической в функции Найти течение - значит найти эту функцию.

Поток должен обтекать стенки канала, т. е. каждая из кривых должна быть линией тока это дает граничное условие задачи. Мы можем задать

еще расход потока который, как показано в прошлой главе, равен

где у - линия с концами т. е. любое поперечное сечение потока. Так как потенциал нас интересует с точностью до постоянного слагаемого, мы можем считать, что на на Г.

В такой постановке задача еще очень неопределенна. Например, для случая, когда является прямой полосой ее решением служит любая функция

При любых действительных и целых (мнимая часть обращается в нуль при Чтобы поставить задачу более четко, придется предположить, что ширина полосы остается ограниченной в бесконечности, наложить на некоторые условия гладкости и рассматривать лишь течения с ограниченной скоростью на бесконечности. Можно доказать, что при этих дополнительных ограничениях решением задачи будет лишь конформное отображение области на полосу с нормировкой . Это отображение определено с точностью до (действительного) постоянного слагаемого, которое не существенно, т. е. задача обтекания в принятых ограничениях решается однозначно. Ее решение, таким образом, сведено к решению задачи Римана.

Взаимно однозначное отображение, обладающее свойством сохранения углов по величине и направлению и свойством постоянства растяжений малых окрестностей отображенных точек, называется конформным отображением.

Для обеспечения взаимной однозначности отражения выделяют области однолистности функции. Область D называется областью однолистности функции f(z), если.

Основные свойства конформных отображений:

1) постоянство растяжений. Линейное в точке одинаково для всех кривых, проходящих через эту точку, и равно;

2) сохранение углов. Все кривые в точке поворачиваются на одинаковый угол, равный.

Функция отображает точки z- плоскости (или римановой поверхности). В каждой точке z, такой что f(z) аналитична (т.е. однозначно определена и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки) и, отображение конформно, т.е. угол между двумя кривыми, проходящими через точку z, переходит в равный по величине и направлено отсчета угол между двумя соответствующими кривыми в плоскости.

Бесконечно малый треугольник около такой точки z отображается в подобный бесконечно малый треугольник - плоскости; каждая сторона треугольника растягивается в соотношении и поворачивается на угол. Коэффициент искажения (локальное отношение малых площадей) при отображении определяется якобианом отображения

в каждой точке z, где отображение конформно.

Конформное отображение преобразует линии в семейство ортогональных траекторий в w- плоскости.

Область z- плоскости, отображающаяся на всю w-плоскость функцией f(z), называется фундаментальной областью функции f(z).

Точки, где, называются критическими точками отображения.

Отображение, которое сохраняет величину, но не направление отсчета угла между двумя кривыми, называется изогональным или конформным отображением второго рода.