Projekt arsimor "ekuacionet në detyrat e OGE". Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike Unë do të zgjidh ekuacionet kuadratike oge

Ekuacionet kuadratike studiohen në klasën e 8-të, kështu që nuk ka asgjë të komplikuar këtu. Aftësia për t'i zgjidhur ato është absolutisht e nevojshme.

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0, ku koeficientët a, b dhe c janë numra arbitrarë dhe a ≠ 0.

Para se të studioni metoda specifike të zgjidhjes, vini re se të gjitha ekuacionet kuadratike mund të ndahen në tre klasa:

nuk kanë rrënjë;
Të ketë saktësisht një rrënjë;
Ata kanë dy rrënjë të ndryshme.

Ky është një ndryshim i rëndësishëm midis ekuacioneve kuadratike dhe atyre lineare, ku rrënja ekziston gjithmonë dhe është unike. Si të përcaktohet se sa rrënjë ka një ekuacion? Ka një gjë të mrekullueshme për këtë - diskriminuese.

Diskriminues

Le të jepet ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c = 0 Atëherë diskriminuesi është thjesht numri D = b 2 − 4ac.

Ju duhet ta dini këtë formulë përmendësh. Nga vjen nuk ka rëndësi tani. Një gjë tjetër është e rëndësishme: me shenjën e diskriminuesit mund të përcaktoni se sa rrënjë ka një ekuacion kuadratik. Gjegjësisht:

Nëse D< 0, корней нет;
Nëse D = 0, ka saktësisht një rrënjë;
Nëse D > 0, do të ketë dy rrënjë.

Ju lutemi vini re: diskriminuesi tregon numrin e rrënjëve, dhe aspak shenjat e tyre, siç besojnë për disa arsye shumë njerëz. Hidhini një sy shembujve dhe do të kuptoni gjithçka vetë:

Detyrë. Sa rrënjë kanë ekuacionet kuadratike:

x 2 − 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Le të shkruajmë koeficientët për ekuacionin e parë dhe të gjejmë diskriminuesin:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Pra, diskriminuesi është pozitiv, pra ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme. Ne analizojmë ekuacionin e dytë në mënyrë të ngjashme:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminuesi është negativ, nuk ka rrënjë. Ekuacioni i fundit i mbetur është:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminuesi është zero - rrënja do të jetë një.

Ju lutemi vini re se koeficientët janë shkruar për secilin ekuacion. Po, është e gjatë, po, është e lodhshme, por nuk do të ngatërroni shanset dhe nuk do të bëni gabime të trashë. Zgjidhni vetë: shpejtësinë ose cilësinë.

Nga rruga, nëse e kuptoni, pas një kohe nuk do të keni nevojë të shkruani të gjithë koeficientët. Ju do të kryeni operacione të tilla në kokën tuaj. Shumica e njerëzve fillojnë ta bëjnë këtë diku pas 50-70 ekuacioneve të zgjidhura - në përgjithësi, jo aq shumë.

Rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Tani le të kalojmë në vetë zgjidhjen. Nëse diskriminuesi D > 0, rrënjët mund të gjenden duke përdorur formulat:

Formula bazë për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Kur D = 0, mund të përdorni ndonjë nga këto formula - do të merrni të njëjtin numër, i cili do të jetë përgjigja. Së fundi, nëse D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Ekuacioni i parë:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ekuacioni ka dy rrënjë. Le t'i gjejmë ato:

Ekuacioni i dytë:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ekuacioni ka përsëri dy rrënjë. Le t'i gjejmë ato

\[\fillo(rreshtoj) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \majtas(-1 \djathtas))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \majtas(-1 \djathtas))=3. \\ \fund (radhis)\]

Së fundi, ekuacioni i tretë:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ekuacioni ka një rrënjë. Mund të përdoret çdo formulë. Për shembull, i pari:

Siç mund ta shihni nga shembujt, gjithçka është shumë e thjeshtë. Nëse i dini formulat dhe mund të numëroni, nuk do të ketë probleme. Më shpesh, gabimet ndodhin kur zëvendësohen koeficientët negativë në formulë. Këtu përsëri, teknika e përshkruar më sipër do të ndihmojë: shikoni formulën fjalë për fjalë, shkruani çdo hap - dhe shumë shpejt do të shpëtoni nga gabimet.

Ekuacionet kuadratike jo të plota

Ndodh që një ekuacion kuadratik është paksa i ndryshëm nga ai që jepet në përkufizim. Për shembull:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Është e lehtë të vërehet se këtyre ekuacioneve u mungon një nga termat. Ekuacione të tilla kuadratike janë edhe më të lehta për t'u zgjidhur se ato standarde: ato as nuk kërkojnë llogaritjen e diskriminuesit. Pra, le të prezantojmë një koncept të ri:

Ekuacioni ax 2 + bx + c = 0 quhet ekuacion kuadratik jo i plotë nëse b = 0 ose c = 0, d.m.th. koeficienti i ndryshores x ose i elementit të lirë është i barabartë me zero.

Sigurisht, një rast shumë i vështirë është i mundur kur të dy këta koeficientë janë të barabartë me zero: b = c = 0. Në këtë rast, ekuacioni merr formën ax 2 = 0. Natyrisht, një ekuacion i tillë ka një rrënjë të vetme: x = 0.

Le të shqyrtojmë rastet e mbetura. Le të b = 0, atëherë marrim një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + c = 0. Le ta transformojmë pak:

Meqenëse rrënja katrore aritmetike ekziston vetëm për një numër jonegativ, barazia e fundit ka kuptim vetëm për (−c /a) ≥ 0. Përfundim:

Nëse në një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + c = 0 plotësohet pabarazia (−c /a) ≥ 0, do të ketë dy rrënjë. Formula është dhënë më sipër;
Nëse (−c /a)< 0, корней нет.

Siç mund ta shihni, nuk kërkohej një diskriminues - nuk ka fare llogaritje komplekse në ekuacionet kuadratike jo të plota. Në fakt, as nuk është e nevojshme të mbani mend pabarazinë (−c /a) ≥ 0. Mjafton të shprehni vlerën x 2 dhe të shihni se çfarë është në anën tjetër të shenjës së barazimit. Nëse ka një numër pozitiv, do të ketë dy rrënjë. Nëse është negative, nuk do të ketë rrënjë fare.

Tani le të shohim ekuacionet e formës ax 2 + bx = 0, në të cilat elementi i lirë është i barabartë me zero. Gjithçka është e thjeshtë këtu: gjithmonë do të ketë dy rrënjë. Mjafton të faktorizohet polinomi:

Nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave

Produkti është zero kur të paktën një nga faktorët është zero. Nga këtu vijnë rrënjët. Si përfundim, le të shohim disa nga këto ekuacione:

Detyrë. Zgjidh ekuacionet kuadratike:

x 2 − 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nuk ka rrënjë, sepse një katror nuk mund të jetë i barabartë me një numër negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Mësues : Yurgenson Veronica Alexandrovna

Klasa: 9

Artikulli: Algjebër

Tema e mësimit: Mësimi përgatitor për OGE në klasën 9 "Ekuacionet kuadratike".

Faza e trajnimit për këtë temë : përgatitje për OGE.

Lloji i mësimit: Mësim mbi përgjithësimin dhe sistematizimin e njohurive

Synimi:

Aktiviteti: Formimi i aftësive të studentëve për zbatimin e metodave rregullatore të veprimit.

Përmbajtja: - praktikimi i metodave për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike;

Zhvillimi i aftësisë për të zgjedhur zgjidhjen më racionale;

Zhvillimore: për të formuar kompetencat kryesore të studentëve: informacion (aftësia për të analizuar informacionin, për të krahasuar, për të nxjerrë përfundime), për të zgjidhur problemet (aftësia për të paraqitur probleme dhe, duke përdorur njohuritë ekzistuese, për të gjetur një rrugëdalje nga situata); komunikues (aftësi për të punuar në grup, aftësi për të dëgjuar dhe dëgjuar të tjerët, për të pranuar mendimet e të tjerëve)

Detyrat për mësuesin:

Të ndihmojë në përditësimin e njohurive të nxënësve për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike;

Organizimi i aktiviteteve edukative për të praktikuar mënyrat e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike;

Krijoni kushte për formimin e aftësive për të zhvilluar aftësinë për të zgjedhur zgjidhjen më racionale;

Krijoni kushte për formimin e UUD rregullatore: vendosja e qëllimeve, vetëvlerësimi dhe vetëkontrolli, planifikimi.

Teknologjia: Trajnim me shumë nivele

Metodat e mësimdhënies: Vizuale, verbale, metoda e verifikimit të ndërsjellë, metoda e gjetjes së përbashkët të zgjidhjes optimale, punë e përkohshme në grupe, krijimi i situatës problemore, riprodhuese (udhëzim, ilustrim, shpjegim, trajnim praktik). Metodat e vetëkontrollit.

Format e përdorura të organizimit të veprimtarisë njohëse të studentëve:

Forma kolektive e punës (pyetje ballore, punë me gojë), punë në grup, individuale (punë e pavarur), punë në dyshe (pyetje reciproke).

Pajisjet dhe burimet kryesore të informacionit:

Kompjuter, projektor, ekran, prezantim për mësimin me temën “Metodat e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike”.

Fleta e performancës për kontrollin dhe vetëkontrollin.

Kartat-detyra për punë të pavarur në shumë nivele

Harta teknologjike e mësimit:

Aktiviteti

studenti

Organizative

duke përshëndetur studentët

Përshëndetje e mësuesit

Përcaktimi i qëllimeve dhe objektivave të mësimit. Motivimi për veprimtaritë mësimore të nxënësve

Në certifikimin përfundimtar, shpesh ka detyra ku duhet të jeni në gjendje të zgjidhni ekuacionet kuadratike.

Komunikimi i qëllimit të orës së mësimit :

Sot në mësim do të përsërisim, përgjithësojmë dhe sjellim në sistem llojet, metodat dhe teknikat e studiuara për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Në bazë të rezultateve të punës së tyre, pra sipas numrit të pikëve të fituara, të gjithë do të marrin nota.

Motoja e mësimit: "Ne mendojmë, mendojmë, punojmë dhe ndihmojmë njëri-tjetrin"

(Rrëshqitja 2 ).

Mësuesit po dëgjojnë.

Përditësimi i njohurive.

Djema, zakonisht e fillojmë mësimin duke kontrolluar detyrat e shtëpisë.

Kush do të thotë se ishte e nevojshme të përsëritej për ekuacionet kuadratike?

Cilat janë ekuacionet kuadratike?

Cilat janë ato?

Cilat metoda të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike dini?

Mësuesit u përgjigjen pyetjeve dhe bëjnë një vetëvlerësim të njohurive të tyre.

Përgjithësimi dhe sistematizimi i njohurive

1. Roli i kontrollit të ndërsjellë.

Këtu janë ekuacionet (rrëshqitje 3)

x 2 + 7 x – 18 = 0;

2 x 2 + 1 = 0;

x 2 –2 x + 9 = 0;

2 y 2 – 3 vjet + 1 = 0;

2 y 2 = 1;

–2 x 2 – x + 1 = 0;

x 2 + 6 x = 0;

4x 2 =0;

– x 2 – 6 x=1

2 x + x 2 – 1=0

Në tryezën tuaj ka një kartë me pyetje që duhet t'i përgjigjeni (Shtojca 1).

(rrëshqitje 4 ) Kontrolloni rezultatet, shkëmbeni kartat me fqinjin tuaj.

Përgjigjuni pyetjeve

2. Punë frontale me klasën.

Aktiv(rrëshqitja 5) shkruhen formula me elementë që mungojnë. Detyra e klasës është të zbulojë se çfarë është kjo formulë dhe çfarë mungon në regjistrimin e kësaj formule.

D = b ² – * a * .

D > 0 , do të thotë * rrënjë.

D * 0 , do të thotë 1 rrënjë.

D * 0 , do të thotë * rrënjët.

Përgjigjuni pyetjeve

njohuri të sakta.

Zgjidhja e ekuacioneve nga kartat flash. Një nga anëtarët e grupit do të tregojë zgjidhjen në tabelë.

Krahasoni përgjigjet tuaja me ato të sakta, për secilën përgjigje të saktë - 1 pikë

Zgjidh ekuacione

Shpjegoni zgjidhjen.

Punë frontale me klasën

Më thuaj, a mund t'i përgjigjesh menjëherë, pa bërë llogaritje, pyetjes sime: "Cila është shuma dhe prodhimi i rrënjëve të një ekuacioni kuadratik?" (Një person në dërrasën e zezë shkruan formulat e teoremës së Vietës.)

(rrëshqitje 6)

Detyra tjetër: gjeni gojarisht shumën dhe ndryshimin e rrënjëve të ekuacionit duke përdorur teoremën:

(përgjigjet: 5 dhe 6; 9 dhe 20; -3 dhe 2) Hyrje në metodën e zgjidhjes me gojë të disa ekuacioneve kuadratike.

Teorema e Vietës përdoret gjerësisht në ekuacionet e formësaX 2 + bx + c = 0.

Përdorimi i vetive të caktuara ofron përparësi të konsiderueshme për marrjen e shpejtë të përgjigjeve gjatë zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike.

Le të shqyrtojmë këto veti(rrëshqitje 7)

1) a + b+c = 0 x 1 = 1, x 2 = s/a.

5x 2 + 4x – 9 = 0; X 1 =1, x 2 = - 9/2.

2) a -b+ c = 0 x 1 = - 1, x 2 = - s/a.

Për shembull: 4x 2 + 11x + 7 = 0; X 1 = - 1, x 2 = - 7/4.

(rrëshqitje 8)

3) a në +c 0

Zgjidhe me gojë barazimin: x 2 + bx + ac = 0

Ndani rrënjët e tij me a.

a) 2x 2 – 11x + 5 = 0.

E zgjidhim me gojë barazimin: x 2 – 11x + 10 = 0. Rrënjët e saj janë 1 dhe 10. Pjestojeni me 2.

Pastaj x 1 = , x 2 = 5.

Përgjigje: ; 5.

(rrëshqitje 9)

c) 6x 2 –7х – 3 = 0

E zgjidhim me gojë barazimin: x 2 –7x – 18 = 0. Rrënjët e tij janë -2 dhe 9. Pjestojeni me 6.

Pastaj x 1 = - , x 2 = .

Përgjigje: -; .

Përgjigjuni pyetjeve. Plotësoni boshllëqet e njohurive

Punoni në grupe me shumë nivele

Pritja "Pajtueshmëria"

Teknika "kap një gabim".

Zgjidh ekuacione duke përdorur këto veti(rrëshqitje 10)

Igrup.

1) gjeni shumën e rrënjëve të ekuacionit

2x 2 - 3x + 1 = 0

2) Gjeni prodhimin e rrënjëve të ekuacionit

X 2 +9x +20 = 0

3) zgjidhni ekuacionin

10x 2 – 8x - 2= 0

IIgrup.

1) gjeni shumën dhe prodhimin e rrënjëve të ekuacionit

3x 2 - 8x + 5 = 0

Zgjidh ekuacione

2) x 2 + 2x -24 = 0

3) 2 x 2 -7x +5 = 0

IIIgrup

Zgjidh problemet:

1) x 2 +5x-6=0

2) 5x 2 -7x+2=0

3) 100x 2 -99x-199=0

Zgjidh ekuacione

Kontrolloni zgjidhjen.

Korrigjimi i njohurive kryhet.

2. Përputhni ekuacionet kuadratike dhe metodat për zgjidhjen e tyre:

(rrëshqitje 11)

2x 2 - 3x + 11 = 0

7 x 2 = 8x

X 2 – 10x + 100 = 0

X 2 –5x –6 = 0

– 2x 2 + x +14= 0

-faktorizimi

- formula e përgjithshme e rrënjëve

-Teorema e Vietës

3. Gjeni gabimet në zgjidhjen e ekuacioneve =

Djemtë që e përfundojnë punën shpejt mund të zgjidhin një detyrë shtesë(rrëshqitje 14), shkruar në tabelë.

Pas ekzekutimit, kryhet një kontroll i shpejtë.(rrëshqitje 15)

Tani numëroni numrin total të pikëve dhe jepini vetes një notë.(rrëshqitje 16)

30-24 pikë – pikë 5;

23-18 pikë – pikë 4;

12-17 pikë –. rezultati 4

Dhe të gjithëve u jepet nota nga mësuesi për aktivitet, guxim dhe këmbëngulje. Epo, nëse dikush sot nuk arriti të fitojë pikë për një vlerësim pozitiv, atëherë suksesi është ende përpara jush dhe patjetër do të jetë me ju herën tjetër.

Zgjidh ekuacione

kryejnë vetëvlerësim.

Reflektimi.

Kush mund të thotë atë që kemi përsëritur sot në klasë?

Ju pëlqeu si e bëmë?

Vazhdoni frazat:

Tani e di me siguri ...

E kuptoj…

kam mësuar...

Mendimi im...

Të gjithë kanë letra me ngjyra në tryezë.

Nëse jeni të kënaqur dhe të kënaqur me mësimin, ngrini një karton jeshil.

Nëse mësimi është interesant dhe keni punuar në mënyrë aktive, ju ngrini një karton të verdhë.

kryejnë vetëvlerësim.

Detyrë shtëpie

(rrëshqitje 17) Zgjidhja e ekuacioneve nga mbledhja e detyrave

Çertifikimi përfundimtar shtetëror

Maturantët e klasës së 9-të.

A.V. Semenov, A.S. Trepalin, I.V

sipas niveleve

Zgjidhni detyrat sipas nivelit tuaj

Analiza e detyres nr.4 me teme: "Zgjidhja e ekuacioneve te llojeve te ndryshme"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Mjete mësimore dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 9
Manuali interaktiv "Rregullat dhe ushtrimet në algjebër" për klasën 9
Libër mësuesi multimedial për klasën 9 "Algjebra në 10 minuta"

Detyra nr. 4 kërkon aftësinë për të zgjidhur ekuacione të llojeve të ndryshme. Djema, ju duhet të jeni të përgatitur mirë në metodat e zgjidhjes së saktë të ekuacioneve kuadratike, ekuacioneve racionale të pjesshme dhe ekuacioneve të zakonshme lineare. Ju gjithashtu duhet të jeni të mirë në kryerjen e veprimeve me polinome: shumëzimin dhe pjesëtimin e një polinomi me një polinom. A keni nevojë për aftësinë për të zgjedhur rrënjët e një ekuacioni që përfshihen në zonën e zgjidhjes dhe për të përcaktuar se cilat rrënjë duhet të hidhen dhe të mos merren parasysh?

Mësimet që do t'ju ndihmojnë në përgatitjen e kësaj detyre:

1.Përkufizime bazë dhe shembuj të zgjidhjeve të funksioneve lineare.
2. Koncepti dhe forma standarde e një monomi.
3. Polinom, trajtë standarde, reduktim, shndërrim.
4. Shembuj për shprehjet numerike. Shprehjet algjebrike me ndryshore dhe veprimet me to.
5. Ekuacione, shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve.
6. Ekuacionet kuadratike. Mësimi në vazhdim.
7. Ekuacionet racionale thyesore. Mësimi në vazhdim.
8. Rrënja katrore. Mësimi në vazhdim.

Le të kalojmë në analizimin e shembujve të zgjidhjeve.

Shembulli 1.
Gjeni rrënjët e ekuacionit: $16x^2-1=0$.

Zgjidhje.
Vini re se na është dhënë një ekuacion kuadratik, por jo i plotë. Koeficienti i x është zero. Atëherë do të udhëhiqemi nga rregulli: "do të lëmë ato shprehje në të cilat ka x në katror në të majtë dhe do t'i lëvizim të gjithë numrat në të djathtë".
Le të transformojmë shprehjen tonë: $16x^2=1$.

Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me koeficientin x në katror: $x^2=\frac(1)(16)$.

Për të zgjidhur këtë ekuacion, na duhet njohuri për rrënjën katrore. Le të nxjerrim rrënjën, duke mos harruar se duhet të kemi parasysh edhe numrin negativ: $x=±\sqrt(\frac(1)(16))=±\frac(1)(4)=±0,25$.
Përgjigje: $x=±0,25$.

Shembulli 2.
Zgjidheni ekuacionin: $x^2=18-7x$.

Zgjidhje.
Le t'i zhvendosim të gjitha shprehjet në anën e majtë të ekuacionit: $x^2+7x-18=0$.

Ne mund ta zgjidhim ekuacionin e zakonshëm kuadratik në dy mënyra:
1. “përballë”, duke llogaritur diskriminuesin;
2. duke përdorur teoremën e Vietit.

1 mënyrë.
Le të shkruajmë të gjithë koeficientët për ekuacionin kuadratik: $a=1$, $b=7$, $c=-18$.

Le të gjejmë diskriminuesin: $D=b^2-4ac=(7)^2-4*1*(-18)=49+72=121=(11)^2>0$.
Ne zbuluam se ekuacioni ka 2 rrënjë.
Mjafton të gjejmë këto rrënjë:
$x_1=\frac(-b+\sqrt(D))(2a)=\frac(-7+11)(2)=2$.
$x_2=\frac(-b-\sqrt(D))(2a)=\frac(-7-11)(2)=-9$.

Metoda 2.
Le të përdorim teoremën e Viette. Teorema e Viette-it shpesh e thjeshton zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike shumë herë, veçanërisht kur koeficienti $a=1$. Në këtë rast, prodhimi i rrënjëve të ekuacionit është i barabartë me koeficientin $c$, dhe shuma e rrënjëve të ekuacionit është e barabartë me minus koeficientin $b$:
$x_1+x_2=-\frac(b)(a)$.
$x_1*x_2=\frac(c)(a)$.

Në shembullin tonë, $с=-18$ dhe $b=7$. Fillojmë të renditim çiftet e numrave, prodhimi i të cilëve është i barabartë me minus tetëmbëdhjetë. Numrat e parë që vijnë në mendje janë nëntë dhe dy. Pas kryerjes së disa shumëzimeve dhe mbledhjeve të thjeshta, mund të verifikojmë që rrënjët $x=-9$ dhe $x=2$ janë të përshtatshme për ne.
$x_1*x_2=-9*2=-18=\frac(c)(a)$.
x$_1+x_2=-9+2=-7=-\frac(b)(a)$.
Përgjigje: $x=-9$, $x=2$.

Shembulli 3.
Zgjidheni ekuacionin: $x-\frac(x)(7)=\frac(15)(7)$.

Zgjidhje.
Na jepet një ekuacion linear i zakonshëm me koeficientë thyesorë. Për të zgjidhur këtë ekuacion duhet të punoni saktë me thyesat e zakonshme.
Hapi i parë është transformimi i anës së majtë të ekuacionit, duke e thjeshtuar atë: $x-\frac(x)(7)=\frac(7x)(7)-\frac(x)(7)=\frac(6x )(7)$.
Ne morëm ekuacionin: $\frac(6x)(7)=\frac(15)(7)$.
Le të ndajmë anën e djathtë të ekuacionit me koeficientin x: $x=\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))$.

Le të shqyrtojmë ndarjen veçmas: $\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))=\frac(15)(7)*\frac(7)(6)=\frac( 15 )(6)=2\frac(3)(6)=2\frac(1)(2)=2,5$.

Morëm: $x=2.5$.
Përgjigje: $x=2.5$.

Shembulli 4.
Zgjidheni ekuacionin: $(x+2)^2=(x-4)^2$.

Zgjidhje.
Metoda 1.
Le të përdorim formulën për katrorin e shumës: $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
$(x-4)^2=x^2-8x+16$.
Morëm: $x^2+4x+4=x^2-8x+16$.
Le të thjeshtojmë ekuacionin tonë:
$x^2+4x-x^2+8x=16-4$.
$12x=12$.
$x=1$.

Metoda 2.
Për të zgjidhur këtë ekuacion, mund të përdorim formulën e diferencës së katrorëve. $(x+2)^2-(x-4)^2=0$.
$(x+2+x-4)(x+2-x+4)=0$.
$(2x-2)*(6)=0$.
$2x-2=0$.
$2x=2$.
$x=1$.
Përgjigje: $x=1$.

Shembulli 5.
Zgjidheni ekuacionin: $\frac(9)(x-14)=\frac(14)(x-9)$.

Zgjidhje.
Na paraqitet një ekuacion racional thyesor. Kur zgjidhni këto ekuacione, ia vlen të mbani mend se nuk mund të ndani me zero. Prandaj, rrënjët e ekuacionit duhet të kontrollohen gjithmonë duke i zëvendësuar ato në emëruesin e ekuacionit origjinal.
Le të përdorim rregullin e shumëzimit të kryqëzuar: $9(x-9)=14(x-14)$.
Ne kemi një ekuacion linear:
$9x-81=14x-196$.
$9x-14x=-196+81$.
$-5x=-115$.
$x=23$.
Pasi kemi kontrolluar rrënjën tonë, sigurohemi që emëruesit e fraksioneve të ekuacionit origjinal të mos zhduken.
Përgjigje: $x=23$.

Shembulli 6.
Gjeni zgjidhje që kënaqin sistemin: $\fillimi (rastet) x^2+9x-22=0, \\ x≤1 \end (rastet)$.

Zgjidhje.
Së pari, le të zgjidhim ekuacionin kuadratik duke përdorur teoremën e Viette. Produkti i rrënjëve tona është 22$ dhe shuma është -9$.
Le të zgjedhim rrënjët:
$-11*2=-22$.
$-11+2=-9$.
Ne morëm dy rrënjë: $x_1=-11$ dhe $x_2=2$. Nga këto rrënjë, pabarazia $x≤1$ plotësohet nga rrënja e parë dhe do të jetë përgjigja.
Përgjigje: $x=-11$.

Shembulli 7.
Zgjidheni ekuacionin: $23x-60-x^2=0$.
Në përgjigjen tuaj, tregoni modulin e ndryshimit të rrënjëve.

Zgjidhje.
Le të shumëzojmë ekuacionin origjinal me $-1$: $x^2-23x+60=0$.
Në këtë formë, ekuacioni duket shumë më i njohur.
Le të përdorim teoremën e Viette dhe të paraqesim ekuacionin tonë si produkt i binomeve:
$(x-20)(x-3)=0$.
Morëm dy rrënjë $x_1=20$ dhe $x_2=3$.
Le të gjejmë modulin e ndryshimit: $|x_1-x_2|=|20-3|=|17|=17$.
Përgjigje: 17.

Shembulli 8.
Sa rrënjë ka ekuacioni $x^6-x^2=0?$

Zgjidhje.
Le të marrim shkallën më të vogël nga kllapat: $x^2(x^4-1)=0$.
Tani le të përdorim formulën e ndryshimit të katrorëve:
$x^2 (x^2-1)(x^2+1)=0$.
Dhe le të përdorim përsëri të njëjtën formulë:
$x^2 (x-1)(x+1)(x^2+1)=0$.
Ky ekuacion është i barabartë me një grup ekuacionesh: Ne zbuluam se ky ekuacion ka tre rrënjë.
Përgjigje: 3.

Shembulli 9.
Zgjidheni ekuacionin: $\frac((x-2)(2x+1))(2-x)=0$.
Nëse ekuacioni ka më shumë se një rrënjë, shkruani më të madhen prej tyre si përgjigje.

Zgjidhje.
Ekuacioni origjinal është i barabartë me grupin e mëposhtëm: Le të zgjidhim çdo ekuacion: Meqenëse emëruesi i thyesës nuk mund të jetë i barabartë me zero, një zgjidhje eliminohet. Ne morëm një rrënjë të ekuacionit $x=-0,5$.
Përgjigje: -0.5.

Aleksandër Shabalin

! Nga teoria në praktikë;

! Nga e thjeshta në komplekse

MAOU "Shkolla e Mesme Platoshin",

mësuesja e matematikës, Melekhina G.V.

Forma e përgjithshme e një ekuacioni linear: sëpatë + b = 0 ,

Ku a Dhe b– numrat (koeficientët).

Nëse a = 0 Dhe b = 0, Kjo 0x + 0 = 0 – rrënjë pafundësisht;
Nëse a = 0 Dhe b ≠ 0, Kjo 0x + b = 0- nuk ka zgjidhje;
Nëse a ≠ 0 Dhe b = 0 , Kjo sëpatë + 0 = 0 – një rrënjë, x = 0;
Nëse a ≠ 0 Dhe b ≠ 0 , Kjo sëpatë + b = 0 - një rrënjë,

! Nëse X është në fuqinë e parë dhe nuk është në emërues, atëherë ai është një ekuacion linear

! Dhe nëse ekuacioni linear është komplekse :

! Termat me X shkojnë në të majtë, pa X - në të djathtë.

! Këto ekuacione janë gjithashtu lineare .

! Vetia kryesore e proporcionit (kryq).

! Hapni kllapat, me X në të majtë, pa X në të djathtë.

nëse koeficienti a = 1, atëherë thirret ekuacioni dhënë :

nëse koeficienti b = 0 ose/dhe c = 0, atëherë thirret ekuacioni jo të plota :

! Formulat bazë

! Më shumë formula

Ekuacioni bikuadratik- quhet ekuacion i formës sëpatë 4 +bx 2 + c = 0 .

Ekuacioni bikuadratik reduktohet në ekuacioni kuadratik duke përdorur zëvendësimin, atëherë

Ne marrim një ekuacion kuadratik:

Le të gjejmë rrënjët dhe të kthehemi te zëvendësimi:

Shembulli 1:

Zgjidheni ekuacionin x 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Zgjidhja:

Zëvendësimi: x 2 = t.

t 2 + 5t – 36 = 0. Rrënjët e ekuacionit janë t 1 = -9 dhe t 2 = 4.

x 2 = -9 ose x 2 = 4.

Përgjigje: Në ekuacionin e parë nuk ka rrënjë, por në të dytin: x = ±2.

Shembulli 2:

Zgjidhe ekuacionin (2x - 1) 4 – 25 (2x – 1) 2 + 144 = 0.

Zgjidhja:

Zëvendësimi: (2x – 1) 2 = t.

t 2 – 25t + 144 = 0. Rrënjët e ekuacionit janë t 1 = 9 dhe t 2 = 16.

(2x – 1) 2 = 9 ose (2x – 1) 2 = 16.

2x – 1 = ±3 ose 2x – 1 = ±4.

Ekuacioni i parë ka dy rrënjë: x = 2 dhe x = -1, i dyti gjithashtu ka dy rrënjë: x = 2,5 dhe x = -1,5.

Përgjigje: -1,5; -1; 2; 2.5.

1) X 4 - 9 X 2 = 0; 2) 4 X 4 - x 2 = 0;

1) X 4 + x 2 - 2 = 0;

2) X 4 - 3 X 2 - 4 = 0; 3) 9 X 4 + 8 X 2 - 1 = 0; 4) 20 X 4 - X 2 - 1 = 0.

Zgjidhini ekuacionet duke zgjedhur nga ana e majtë katror i plotë :

1) X 4 - 20 X 2 + 64 = 0; 2) X 4 - 13 X 2 + 36 = 0; 3) X 4 - 4 X 2 + 1 = 0; 4) X 4 + 2 X 2 +1 = 0.

! Mbani mend katrorin e shumës dhe katrorin e diferencës

Shprehje racionaleështë një shprehje algjebrike e përbërë nga numra dhe një ndryshore x duke përdorur veprimet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit, pjesëtimit dhe fuqizimit me eksponentë natyrorë.

Nëse r(x)është një shprehje racionale, pastaj ekuacioni r(x)=0 quhet ekuacion racional.

Algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni racional:

1. Zhvendosni të gjithë termat e ekuacionit në njërën anë.

2. Shndërroje këtë pjesë të ekuacionit në një thyesë algjebrike p(x)/q(x)

3. Zgjidhe ekuacionin p(x)=0

4. Për secilën rrënjë të ekuacionit p(x)=0 kontrolloni nëse e plotëson kushtin q(x)≠0 apo jo. Nëse po, atëherë kjo është rrënja e ekuacionit të dhënë; nëse jo, atëherë është një rrënjë e jashtme dhe nuk duhet të përfshihet në përgjigje.

! Le të kujtojmë zgjidhjen e ekuacionit racional thyesor:

! Për të zgjidhur ekuacionet, është e dobishme të kujtoni formulat e shkurtuara të shumëzimit:

Nëse një ekuacion përmban një ndryshore nën shenjën e rrënjës katrore, atëherë thirret ekuacioni irracionale .

Metoda e katrorit të të dy anëve të një ekuacioni- metoda kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale.

Pasi të keni zgjidhur ekuacionin racional që rezulton, është e nevojshme që kontrolloni , heqja e rrënjëve të mundshme të jashtme.

Përgjigje: 5; 4

Një shembull tjetër:

Ekzaminimi:

Shprehja nuk ka kuptim.

Përgjigje: asnjë zgjidhje.

Në termin "ekuacion kuadratik", fjala kyçe është "kuadratik". Kjo do të thotë që ekuacioni duhet të përmbajë domosdoshmërisht një ndryshore (të njëjtin x) në katror, dhe nuk duhet të ketë xes për fuqinë e tretë (ose më të madhe).

Zgjidhja e shumë ekuacioneve zbret në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Le të mësojmë të përcaktojmë se ky është një ekuacion kuadratik dhe jo ndonjë ekuacion tjetër.

Shembulli 1.

Le të heqim qafe emëruesin dhe të shumëzojmë çdo term të ekuacionit me

Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë dhe të rregullojmë termat në rendin zbritës të fuqive të X

Tani mund të themi me besim se ky ekuacion është kuadratik!

Shembulli 2.

Shumëzoni anët e majta dhe të djathta me:

Ky ekuacion, megjithëse ishte fillimisht në të, nuk është kuadratik!

Shembulli 3.

Le të shumëzojmë gjithçka me:

E frikshme? Shkalla e katërt dhe e dytë... Megjithatë, nëse bëjmë një zëvendësim, do të shohim se kemi një ekuacion të thjeshtë kuadratik:

Shembulli 4.

Duket se është atje, por le të hedhim një vështrim më të afërt. Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë:

Shihni, është reduktuar - dhe tani është një ekuacion i thjeshtë linear!

Tani përpiquni të përcaktoni vetë se cilat nga ekuacionet e mëposhtme janë kuadratike dhe cilat jo:

Shembuj:

Përgjigjet:

katror;
katror;
jo katror;
jo katror;
jo katror;
katror;
jo katror;
katrore.

Matematikanët në mënyrë konvencionale i ndajnë të gjitha ekuacionet kuadratike në llojet e mëposhtme:

Ekuacionet e plota kuadratike- ekuacionet në të cilat koeficientët dhe, si dhe termi i lirë c, nuk janë të barabartë me zero (si në shembull). Përveç kësaj, midis ekuacioneve të plota kuadratike ekzistojnë dhënë- këto janë ekuacione në të cilat koeficienti (ekuacioni nga shembulli i parë nuk është vetëm i plotë, por edhe i reduktuar!)

Ekuacionet kuadratike jo të plota- ekuacionet në të cilat koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:
Ato janë të paplota sepse u mungon një element. Por ekuacioni duhet të përmbajë gjithmonë x në katror!!! Përndryshe, nuk do të jetë më një ekuacion kuadratik, por një ekuacion tjetër.

Pse dolën me një ndarje të tillë? Duket se ka një X në katror, dhe në rregull. Kjo ndarje përcaktohet nga metodat e zgjidhjes. Le të shohim secilën prej tyre në më shumë detaje.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota

Së pari, le të përqendrohemi në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë shumë më të thjeshta!

Ekzistojnë lloje të ekuacioneve kuadratike jo të plota:

, në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.
, në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.
, në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.

1. i. Meqenëse dimë të marrim rrënjën katrore, le të shprehemi nga ky ekuacion

Shprehja mund të jetë ose negative ose pozitive. Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzohen dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë një numër pozitiv, pra: nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje.

Dhe nëse, atëherë marrim dy rrënjë. Nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto formula. Gjëja kryesore është që ju duhet të dini dhe të mbani mend gjithmonë se nuk mund të jetë më pak.

Le të përpiqemi të zgjidhim disa shembuj.

Shembulli 5:

Zgjidhe ekuacionin

Tani mbetet vetëm nxjerrja e rrënjës nga anët e majta dhe të djathta. Në fund të fundit, ju kujtohet se si të nxirrni rrënjët?

Përgjigje:

Mos harroni kurrë për rrënjët me një shenjë negative!!!

Shembulli 6:

Zgjidhe ekuacionin

Përgjigje:

Shembulli 7:

Zgjidhe ekuacionin

Oh! Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni

pa rrënjë!

Për ekuacione të tilla që nuk kanë rrënjë, matematikanët dolën me një ikonë të veçantë - (grup bosh). Dhe përgjigja mund të shkruhet kështu:

Përgjigje:

Kështu, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë. Këtu nuk ka kufizime, pasi nuk e kemi nxjerrë rrënjën.
Shembulli 8:

Zgjidhe ekuacionin

Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:

Kështu,

Ky ekuacion ka dy rrënjë.

Përgjigje:

Lloji më i thjeshtë i ekuacioneve kuadratike jo të plota (edhe pse të gjitha janë të thjeshta, apo jo?). Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:

Këtu do të heqim dorë nga shembujt.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike

Ju kujtojmë se një ekuacion i plotë kuadratik është një ekuacion i ekuacionit të formës ku

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike është pak më e vështirë (vetëm pak) se këto.

Mbani mend Çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur një diskriminues! Madje e paplotë.

Metodat e tjera do t'ju ndihmojnë ta bëni atë më shpejt, por nëse keni probleme me ekuacionet kuadratike, së pari zotëroni zgjidhjen duke përdorur diskriminuesin.

1. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një diskriminues.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur këtë metodë është shumë e thjeshtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula.

Nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, duhet t'i kushtoni vëmendje të veçantë hapit. Diskriminuesi () na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.

Nëse, atëherë formula në hap do të reduktohet në. Kështu, ekuacioni do të ketë vetëm një rrënjë.
Nëse, atëherë nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit në hap. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.

Le të kthehemi te ekuacionet tona dhe të shohim disa shembuj.

Shembulli 9:

Zgjidhe ekuacionin

Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë se ekuacioni ka dy rrënjë.

Hapi 3.

Përgjigje:

Shembulli 10:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni paraqitet në formë standarde, pra Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë që ekuacioni ka një rrënjë.

Përgjigje:

Shembulli 11:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni paraqitet në formë standarde, pra Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë se ne nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit. Nuk ka rrënjë të ekuacionit.

Tani ne e dimë se si t'i shkruajmë saktë përgjigje të tilla.

Përgjigje: pa rrënjë

2. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën e Vietës.

Nëse ju kujtohet, ekziston një lloj ekuacioni që quhet i reduktuar (kur koeficienti a është i barabartë me):

Ekuacione të tilla janë shumë të lehta për t'u zgjidhur duke përdorur teoremën e Vieta:

Shuma e rrënjëve dhënë ekuacioni kuadratik është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë.

Shembulli 12:

Zgjidhe ekuacionin

Ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës sepse .

Shuma e rrënjëve të ekuacionit është e barabartë, d.m.th. marrim ekuacionin e parë:

Dhe produkti është i barabartë me:

Le të hartojmë dhe zgjidhim sistemin:

Dhe. Shuma është e barabartë me;
Dhe. Shuma është e barabartë me;
Dhe. Shuma është e barabartë.

dhe janë zgjidhja e sistemit:

Përgjigje: ; .

Shembulli 13:

Zgjidhe ekuacionin

Përgjigje:

Shembulli 14:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Përgjigje:

EKUACIONET KUADRATE. NIVELI I MESËM

Çfarë është një ekuacion kuadratik?

Me fjalë të tjera, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës, ku - e panjohura, - disa numra dhe.

Numri quhet më i larti ose koeficienti i parë ekuacioni kuadratik, - koeficienti i dytë, A - anëtar i lirë.

Pse? Sepse nëse ekuacioni bëhet menjëherë linear, sepse do të zhduket.

Në këtë rast, dhe mund të jetë e barabartë me zero. Në këtë karrige ekuacioni quhet jo i plotë. Nëse të gjithë termat janë në vend, domethënë, ekuacioni është i plotë.

Zgjidhje të llojeve të ndryshme të ekuacioneve kuadratike

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota:

Së pari, le të shohim metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë më të thjeshta.

Mund të dallojmë llojet e mëposhtme të ekuacioneve:

I., në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.

II. , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.

III. , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.

Tani le të shohim zgjidhjen për secilin nga këto nëntipe.

Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:

Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzoni dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë një numër pozitiv. Kjo është arsyeja pse:

nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje;

nëse kemi dy rrënjë

Nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto formula. Gjëja kryesore për të mbajtur mend është se nuk mund të jetë më pak.

Shembuj:

Zgjidhjet:

Përgjigje:

Asnjëherë mos harroni për rrënjët me një shenjë negative!

Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni

pa rrënjë.

Për të shkruar shkurtimisht se një problem nuk ka zgjidhje, ne përdorim ikonën e setit bosh.

Përgjigje:

Pra, ky ekuacion ka dy rrënjë: dhe.

Përgjigje:

Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:

Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Kjo do të thotë që ekuacioni ka një zgjidhje kur:

Pra, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë: dhe.

Shembull:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Le të faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit dhe të gjejmë rrënjët:

Përgjigje:

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike:

1. Diskriminues

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike në këtë mënyrë është e lehtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula. Mos harroni, çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur një diskriminues! Madje e paplotë.

E keni vënë re rrënjën nga diskriminuesi në formulën për rrënjët? Por diskriminuesi mund të jetë negativ. Çfarë duhet bërë? Duhet t'i kushtojmë vëmendje të veçantë hapit 2. Diskriminuesi na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.

Nëse, atëherë ekuacioni ka rrënjë:
Nëse, atëherë ekuacioni ka të njëjtat rrënjë, dhe në fakt, një rrënjë:
Rrënjë të tilla quhen rrënjë të dyfishta.
Nëse, atëherë rrënja e diskriminuesit nuk nxirret. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.

Pse janë të mundshme numra të ndryshëm rrënjësh? Le të kthehemi te kuptimi gjeometrik i ekuacionit kuadratik. Grafiku i funksionit është një parabolë:

Në një rast të veçantë, i cili është një ekuacion kuadratik, . Kjo do të thotë se rrënjët e një ekuacioni kuadratik janë pikat e kryqëzimit me boshtin (boshtin) abshisë. Një parabolë mund të mos e presë fare boshtin, ose mund ta presë atë në një (kur kulmi i parabolës shtrihet në bosht) ose dy pika.

Përveç kësaj, koeficienti është përgjegjës për drejtimin e degëve të parabolës. Nëse, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart, dhe nëse, atëherë poshtë.

Shembuj:

Zgjidhjet:

Përgjigje:

Përgjigje:.

Përgjigje:

Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.

Përgjigje:.

2. Teorema e Vietës

Përdorimi i teoremës së Vieta-s është shumë i lehtë: thjesht duhet të zgjidhni një çift numrash produkti i të cilëve është i barabartë me termin e lirë të ekuacionit, dhe shuma është e barabartë me koeficientin e dytë, të marrë me shenjën e kundërt.

Është e rëndësishme të mbani mend se teorema e Vietës mund të zbatohet vetëm në ekuacionet kuadratike të reduktuara ().

Le të shohim disa shembuj:

Shembulli #1:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës sepse . Koeficientët e tjerë: ; .

Shuma e rrënjëve të ekuacionit është:

Dhe produkti është i barabartë me:

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:

Dhe. Shuma është e barabartë me;
Dhe. Shuma është e barabartë me;
Dhe. Shuma është e barabartë.

dhe janë zgjidhja e sistemit:

Kështu, dhe janë rrënjët e ekuacionit tonë.

Përgjigje: ; .

Shembulli #2:

Zgjidhja:

Le të zgjedhim çifte numrash që japin produktin dhe më pas të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:

dhe: japin gjithsej.

dhe: japin gjithsej. Për të marrë, mjafton thjesht të ndryshoni shenjat e rrënjëve të supozuara: dhe, në fund të fundit, produktin.

Përgjigje:

Shembulli #3:

Zgjidhja:

Termi i lirë i ekuacionit është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është një numër negativ. Kjo është e mundur vetëm nëse njëra prej rrënjëve është negative dhe tjetra është pozitive. Prandaj shuma e rrënjëve është e barabartë me dallimet e moduleve të tyre.

Le të zgjedhim çifte të tilla numrash që japin në produkt dhe diferenca e të cilave është e barabartë me:

dhe: dallimi i tyre është i barabartë - nuk përshtatet;

dhe: - jo i përshtatshëm;

dhe: - të përshtatshme. Mbetet vetëm të kujtojmë se njëra prej rrënjëve është negative. Meqenëse shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, rrënja me modul më të vogël duhet të jetë negative: . Ne kontrollojmë:

Përgjigje:

Shembulli #4:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Termi i lirë është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është negativ. Dhe kjo është e mundur vetëm kur njëra rrënjë e ekuacionit është negative dhe tjetra është pozitive.

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe më pas të përcaktojmë se cilat rrënjë duhet të kenë një shenjë negative:

Natyrisht, vetëm rrënjët dhe janë të përshtatshme për kushtin e parë:

Përgjigje:

Shembulli #5:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Shuma e rrënjëve është negative, që do të thotë se të paktën njëra prej rrënjëve është negative. Por meqenëse produkti i tyre është pozitiv, do të thotë që të dy rrënjët kanë një shenjë minus.

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë me:

Natyrisht, rrënjët janë numrat dhe.

Përgjigje:

Pajtohem, është shumë e përshtatshme të thuash rrënjë me gojë, në vend që të numërosh këtë diskriminues të keq. Mundohuni të përdorni teoremën e Vietës sa më shpesh të jetë e mundur.

Por teorema e Vietës është e nevojshme për të lehtësuar dhe përshpejtuar gjetjen e rrënjëve. Në mënyrë që të përfitoni nga përdorimi i tij, duhet t'i çoni veprimet në automatik. Dhe për këtë, zgjidhni pesë shembuj të tjerë. Por mos mashtroni: nuk mund të përdorni një diskriminues! Vetëm teorema e Vietës:

Zgjidhje për detyrat për punë të pavarur:

Detyra 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Sipas teoremës së Vieta:

Si zakonisht, ne e fillojmë përzgjedhjen me pjesën:

Jo i përshtatshëm për shkak të sasisë;

: shuma është pikërisht ajo që ju nevojitet.

Përgjigje: ; .

Detyra 2.

Dhe përsëri teorema jonë e preferuar Vieta: shuma duhet të jetë e barabartë dhe produkti duhet të jetë i barabartë.

Por meqenëse nuk duhet të jetë, por, ne ndryshojmë shenjat e rrënjëve: dhe (në total).

Përgjigje: ; .

Detyra 3.

Hmm... Ku është?

Ju duhet të zhvendosni të gjitha termat në një pjesë:

Shuma e rrënjëve është e barabartë me produktin.

Në rregull, ndalo! Ekuacioni nuk është dhënë. Por teorema e Vietës është e zbatueshme vetëm në ekuacionet e dhëna. Pra, së pari ju duhet të jepni një ekuacion. Nëse nuk mund të udhëheqni, hiqni dorë nga kjo ide dhe zgjidheni atë në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes një diskriminuesi). Më lejoni t'ju kujtoj se të japësh një ekuacion kuadratik do të thotë të bësh koeficientin kryesor të barabartë:

E madhe. Atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë me dhe produktin.

Është po aq e lehtë sa byreku për të zgjedhur këtu: në fund të fundit, është një numër i thjeshtë (më falni për tautologjinë).

Përgjigje: ; .

Detyra 4.

Anëtari i lirë është negativ. Çfarë të veçantë ka kjo? Dhe fakti është se rrënjët do të kenë shenja të ndryshme. Dhe tani, gjatë përzgjedhjes, ne kontrollojmë jo shumën e rrënjëve, por ndryshimin në modulet e tyre: ky ndryshim është i barabartë, por një produkt.

Pra, rrënjët janë të barabarta me dhe, por njëra prej tyre është minus. Teorema e Vietës na thotë se shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjë të kundërt, d.m.th. Kjo do të thotë që rrënja më e vogël do të ketë një minus: dhe, pasi.

Përgjigje: ; .

Detyra 5.

Çfarë duhet të bëni së pari? Kjo është e drejtë, jepni ekuacionin:

Përsëri: ne zgjedhim faktorët e numrit dhe ndryshimi i tyre duhet të jetë i barabartë me:

Rrënjët janë të barabarta me dhe, por njëra prej tyre është minus. Cilin? Shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, që do të thotë se minusi do të ketë një rrënjë më të madhe.

Përgjigje: ; .

Më lejoni të përmbledh:

Teorema e Vietës përdoret vetëm në ekuacionet kuadratike të dhëna.
Duke përdorur teoremën e Vietës, mund të gjeni rrënjët me përzgjedhje, me gojë.
Nëse ekuacioni nuk është dhënë ose nuk gjendet asnjë çift i përshtatshëm faktorësh të termit të lirë, atëherë nuk ka rrënjë të tëra dhe ju duhet ta zgjidhni atë në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes një diskriminuesi).

3. Metoda për zgjedhjen e një katrori të plotë

Nëse të gjithë termat që përmbajnë të panjohurën paraqiten në formën e termave nga formulat e shkurtuara të shumëzimit - katrori i shumës ose diferencës - atëherë pas zëvendësimit të variablave, ekuacioni mund të paraqitet në formën e një ekuacioni kuadratik jo të plotë të llojit.

Për shembull:

Shembulli 1:

Zgjidheni ekuacionin: .

Zgjidhja:

Përgjigje:

Shembulli 2:

Zgjidheni ekuacionin: .

Zgjidhja:

Përgjigje:

Në përgjithësi, transformimi do të duket si ky:

Më poshtë vijon: .

Nuk ju kujton asgjë? Kjo është një gjë diskriminuese! Pikërisht kështu kemi marrë formulën e diskriminimit.

EKUACIONET KUADRATE. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Ekuacioni kuadratik- ky është një ekuacion i formës, ku - e panjohura, - koeficientët e ekuacionit kuadratik, - termi i lirë.

Ekuacioni i plotë kuadratik- një ekuacion në të cilin koeficientët nuk janë të barabartë me zero.

Ekuacioni kuadratik i reduktuar- një ekuacion në të cilin koeficienti, që është: .

Ekuacion kuadratik jo i plotë- një ekuacion në të cilin koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:

nëse koeficienti, ekuacioni duket si: ,
nëse ka një term të lirë, ekuacioni ka formën:
nëse dhe, ekuacioni duket si: .

1. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota

1.1. Ekuacioni kuadratik jo i plotë i formës, ku, :

1) Le të shprehim të panjohurën: ,

2) Kontrolloni shenjën e shprehjes:

nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje,
nëse, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.

1.2. Ekuacioni kuadratik jo i plotë i formës, ku, :

1) Le të nxjerrim faktorin e përbashkët nga kllapat: ,

2) Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Prandaj, ekuacioni ka dy rrënjë:

1.3. Ekuacioni kuadratik jo i plotë i formës, ku:

Ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë: .

2. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike të formës ku

2.1. Zgjidhje duke përdorur diskriminues

1) Le ta sjellim ekuacionin në formën standarde: ,

2) Le të llogarisim diskriminuesin duke përdorur formulën: , e cila tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit:

3) Gjeni rrënjët e ekuacionit:

nëse, atëherë ekuacioni ka rrënjë, të cilat gjenden me formulën:
nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, e cila gjendet me formulën:
nëse, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë.

2.2. Zgjidhje duke përdorur teoremën e Vietës

Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar (ekuacioni i formës ku) është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë, d.m.th. , A.

2.3. Zgjidhja me metodën e zgjedhjes së një katrori të plotë

Nëse një ekuacion kuadratik i formës ka rrënjë, atëherë ai mund të shkruhet në formën: .

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Për çfarë?

Për dhënien me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit, për hyrjen në kolegj me buxhet dhe, MË E RËNDËSISHME, për jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që kanë marrë një arsim të mirë fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë atë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LËZUAR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse shumë më tepër mundësi hapen para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teori gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUMË!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të dëshironi, detyrimisht me zgjidhje, analiza të detajuara dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull -
Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - Bleni një libër shkollor - 899 RUR

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në librin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet për TË GJITHË jetën e faqes.

Dhe në përfundim ...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!