Numri kryesorështë një numër natyror (i plotë pozitiv) që pjesëtohet pa mbetje vetëm me dy numra natyrorë: nga vetvetja dhe nga vetvetja. Me fjalë të tjera, një numër i thjeshtë ka saktësisht dy pjesëtues natyrorë: dhe vetë numrin.
Sipas përkufizimit, bashkësia e të gjithë pjesëtuesve të një numri të thjeshtë është dy elementësh, d.m.th. përfaqëson një grup.
Bashkësia e të gjithë numrave të thjeshtë shënohet me simbolin. Kështu, për shkak të përcaktimit të bashkësisë së numrave të thjeshtë, mund të shkruajmë: .
Sekuenca e numrave të thjeshtë duket si kjo:
Teorema Themelore e Aritmetikës
Teorema Themelore e Aritmetikës thotë se çdo numër natyror më i madh se një mund të paraqitet si prodhim i numrave të thjeshtë dhe mënyra e vetme deri në renditjen e faktorëve. Kështu, numrat e thjeshtë janë elementare" blloqe ndërtimi» bashkësi numrash natyrorë.
Zgjerimi i numrit natyror title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanonike:
ku është një numër i thjeshtë dhe . Për shembull, zgjerimi kanonik i një numri natyror duket kështu: .
Paraqitja e një numri natyror si prodhim i numrave të thjeshtë quhet gjithashtu faktorizimi i një numri.
Vetitë e numrave të thjeshtë
Sita e Eratosthenes
Një nga algoritmet më të famshme për kërkimin dhe njohjen e numrave të thjeshtë është sita e Eratosthenes. Pra, ky algoritëm mori emrin e matematikanit grek Eratosthenes nga Kirena, i cili konsiderohet autori i algoritmit.
Për të gjetur të gjithë numrat e thjeshtë më të vegjël se një numër i caktuar, duke ndjekur metodën e Eratosthenes, ndiqni këto hapa:
Hapi 1. Shkruani gjithçka me radhë numrat natyrorë nga dy në , d.m.th. .
Hapi 2. Cakto vlerën në ndryshore, domethënë vlerën e barabartë me numrin më të vogël të thjeshtë.
Hapi 3. Kryqëzojini në listë të gjithë numrat nga deri tek ata janë shumëfish të , pra numrat: .
Hapi 4. Gjeni numrin e parë të pakryqëzuar në listë më të madh se , dhe caktoni vlerën e këtij numri në një ndryshore.
Hapi 5. Përsëritni hapat 3 dhe 4 derisa të arrihet numri.
Procesi i aplikimit të algoritmit do të duket si ky:
Të gjithë numrat e mbetur të pakryqëzuar në listë në fund të procesit të aplikimit të algoritmit do të jenë grupi i numrave të thjeshtë nga deri në .
hamendësimi i Goldbach
Kopertina e librit "Xha Petros dhe hipoteza e Goldbach"
Përkundër faktit se numrat e thjeshtë janë studiuar nga matematikanët për një kohë mjaft të gjatë, shumë probleme të lidhura mbeten të pazgjidhura sot. Një nga problemet më të famshme të pazgjidhura është Hipoteza e Goldbach, e cila është formuluar si më poshtë:
- A është e vërtetë që çdo numër çift më i madh se dy mund të përfaqësohet si shuma e dy numrave të thjeshtë (hipoteza binar e Goldbach-ut)?
- A është e vërtetë që çdo numër tek më i madh se 5 mund të paraqitet si shumë? tre të thjeshta numrat (hipoteza treshe e Goldbach)?
Duhet thënë se hipoteza trenare e Goldbach është një rast i veçantë i hipotezës binare të Goldbach, ose siç thonë matematikanët, hipoteza treshe e Goldbach është më e dobët se hipoteza binare e Goldbach.
Hamendësimi i Goldbach u bë i njohur gjerësisht jashtë komunitetit matematikor në vitin 2000 falë një marifeti promovues të marketingut nga kompanitë botuese Bloomsbury USA (SHBA) dhe Faber dhe Faber (MB). Këto shtëpi botuese, pasi kishin nxjerrë librin "Hupozimet e Xha Petros dhe Goldbach", premtuan se do t'i paguanin një çmim prej 1 milion dollarësh për këdo që vërteton hipotezën e Goldbach brenda 2 vjetësh nga data e botimit të librit. Ndonjëherë çmimi i përmendur nga botuesit ngatërrohet me çmimet për zgjidhjen e problemeve të Çmimit të Mijëvjeçarit. Mos bëni gabim, hipoteza e Goldbach nuk klasifikohet nga Instituti Clay si një "sfidë e mijëvjeçarit", megjithëse është e lidhur ngushtë me Hipoteza e Riemann- një nga “sfidat e mijëvjeçarit”.
Libri “Numrat e thjeshtë. Rruga e gjatë drejt pafundësisë"
Kopertina e librit “Bota e matematikës. Numrat e thjeshtë. Rruga e gjatë drejt pafundësisë"
Për më tepër, unë rekomandoj leximin e një libri magjepsës të shkencës popullore, shënimi i të cilit thotë: "Kërkimi i numrave të thjeshtë është një nga problemet më paradoksale në matematikë. Shkencëtarët janë përpjekur ta zgjidhin atë për disa mijëvjeçarë, por, duke u rritur me versione dhe hipoteza të reja, ky mister mbetet ende i pazgjidhur. Shfaqja e numrave të thjeshtë nuk i nënshtrohet asnjë sistemi: ata shfaqen spontanisht në serinë e numrave natyrorë, duke injoruar të gjitha përpjekjet e matematikanëve për të identifikuar modelet në sekuencën e tyre. Ky libër do t'i lejojë lexuesit të gjurmojë evolucionin e koncepteve shkencore nga kohët e lashta deri në ditët e sotme dhe të prezantojë teoritë më interesante të kërkimit të numrave të thjeshtë.
Për më tepër, do të citoj fillimin e kapitullit të dytë të këtij libri: “Tematë e para janë një nga temat e rëndësishme që na kthejnë në fillimet e matematikës dhe më pas, përgjatë një rruge kompleksiteti në rritje, na çojnë në ballë. shkenca moderne. Kështu, do të ishte shumë e dobishme të gjurmohej historia magjepsëse dhe komplekse e teorisë së numrave të thjeshtë: saktësisht se si u zhvillua, saktësisht se si u mblodhën faktet dhe të vërtetat që tani janë pranuar përgjithësisht. Në këtë kapitull do të shohim se si brezat e matematikanëve studiuan me kujdes numrat natyrorë në kërkim të një rregulli që parashikonte shfaqjen e numrave të thjeshtë - një rregull që bëhej gjithnjë e më i pakapshëm ndërsa kërkimi përparonte. Gjithashtu do të shikojmë në detaje kontekstin historik: kushtet në të cilat punonin matematikanët dhe shkallën në të cilën puna e tyre përfshinte praktika mistike dhe gjysmë-fetare, të cilat janë krejt të ndryshme nga metodat shkencore të përdorura në kohën tonë. Megjithatë, ngadalë dhe me vështirësi, terreni u përgatit për pamje të reja që frymëzuan Fermatin dhe Eulerin në shekujt 17 dhe 18.
Numrat e thjeshtë janë një nga fenomenet matematikore më interesante, që kanë tërhequr vëmendjen e shkencëtarëve dhe qytetarëve të thjeshtë për më shumë se dy mijëvjeçarë. Përkundër faktit se tani jetojmë në epokën e kompjuterëve dhe programeve më moderne të informacionit, shumë gjëegjëza të numrave të thjeshtë nuk janë zgjidhur ende.
Numrat e thjeshtë janë, siç e dimë nga kursi i aritmetikës elementare, ata që janë të pjesëtueshëm pa mbetje vetëm me një dhe me vetveten. Nga rruga, nëse një numër natyror është i pjesëtueshëm, përveç atyre të listuara më sipër, me ndonjë numër tjetër, atëherë ai quhet i përbërë. Një nga teoremat më të famshme thotë se çdo numër i përbërë mund të përfaqësohet si një produkt unik i mundshëm i numrave të thjeshtë.
Disa fakte interesante. Së pari, njësia është unike në kuptimin që, në fakt, nuk i përket as numrave të thjeshtë dhe as të përbërë. Në të njëjtën kohë, në komunitetin shkencor është ende zakon ta klasifikojmë atë në mënyrë specifike në grupin e parë, pasi formalisht i plotëson plotësisht kërkesat e tij.
Së dyti, i vetmi numër çift i shtrydhur në grupin "numrat kryesorë" është, natyrisht, dy. Çdo numër tjetër çift thjesht nuk mund të arrijë këtu, pasi sipas përkufizimit, përveç vetes dhe një, ai është gjithashtu i pjesëtueshëm me dy.
Numrat e thjeshtë, lista e të cilëve, siç u tha më sipër, mund të fillojë me një, përfaqësojnë një seri të pafundme, aq të pafundme sa edhe seria e numrave natyrorë. Bazuar në teoremën themelore të aritmetikës, mund të arrijmë në përfundimin se numrat e thjeshtë nuk ndërpriten asnjëherë dhe nuk mbarojnë, pasi përndryshe seria e numrave natyrorë do të ndërpritet në mënyrë të pashmangshme.
Numrat kryesorë nuk shfaqen rastësisht në seritë natyrore, siç mund të duken në shikim të parë. Pasi i keni analizuar me kujdes, mund të vini re menjëherë disa veçori, më interesantet prej të cilave lidhen me të ashtuquajturit numra "binjakë". Ata quhen kështu sepse në një mënyrë të pakuptueshme përfunduan pranë njëri-tjetrit, të ndara vetëm nga një kufizues çift (pesë dhe shtatë, shtatëmbëdhjetë dhe nëntëmbëdhjetë).
Nëse i shikoni me vëmendje, do të vini re se shuma e këtyre numrave është gjithmonë shumëfish i treshit. Për më tepër, kur ndahet e majta një me tre, mbetja mbetet gjithmonë dy, dhe e djathta mbetet gjithmonë një. Për më tepër, vetë shpërndarja e këtyre numrave mbi serinë natyrore mund të parashikohet nëse e imagjinojmë të gjithë këtë seri në formën e sinusoideve oshiluese, pikat kryesore të të cilave formohen kur numrat ndahen me tre dhe dy.
Numrat e thjeshtë nuk janë vetëm objekt i shqyrtimit të ngushtë nga matematikanët në mbarë botën, por prej kohësh janë përdorur me sukses në përpilimin e serive të ndryshme të numrave, gjë që është baza, ndër të tjera, për shifrografinë. Duhet pranuar se një numër i madh misteresh që lidhen me këto elemente të mrekullueshme janë ende në pritje për t'u zgjidhur, shumë pyetje nuk kanë vetëm rëndësi filozofike, por edhe praktike.
Të gjithë numrat natyrorë, përveç njërit, ndahen në të thjeshtë dhe të përbërë. Një numër i thjeshtë është një numër natyror që ka vetëm dy pjesëtues: një dhe vetveten. Të gjithë të tjerët quhen të përbërë. Vetitë e numrave të thjeshtë studiohen nga një degë e veçantë e matematikës - teoria e numrave. Në teorinë e unazave, numrat e thjeshtë janë të lidhur me elementë të pareduktueshëm.
Këtu është një sekuencë e numrave të thjeshtë duke filluar nga 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... etj.
Sipas teoremës themelore të aritmetikës, çdo numër natyror që është më i madh se një mund të përfaqësohet si produkt i numrave të thjeshtë. Në të njëjtën kohë, kjo është mënyra e vetme për të paraqitur numrat natyrorë deri në rendin e faktorëve. Bazuar në këtë, mund të themi se numrat e thjeshtë janë pjesë elementare e numrave natyrorë.
Ky paraqitje e një numri natyror quhet zbërthimi i një numri natyror në numra të thjeshtë ose faktorizimi i një numri.
Një nga më të lashtët dhe mënyra efektive Llogaritja e numrave të thjeshtë është "sitë e Erasstofenit".
Praktika ka treguar se pas llogaritjes së numrave të thjeshtë duke përdorur sitën e Erastofenit, është e nevojshme të kontrollohet nëse numri i dhënë është i thjeshtë. Projektuar për këtë qëllim teste speciale, të ashtuquajturat teste primality. Algoritmi i këtyre testeve është probabilist. Ato përdoren më shpesh në kriptografi.
Nga rruga, për disa klasa numrash ekzistojnë teste të specializuara efektive të parësisë. Për shembull, për të kontrolluar parësinë e numrave Mersenne, përdoret testi Luc-Lehmer, dhe për të kontrolluar parësinë e numrave Fermat, përdoret testi Pepin.
Të gjithë e dimë se ka pafundësisht shumë numra. Me të drejtë lind pyetja: sa numra të thjeshtë ka atëherë? Ka gjithashtu një numër të pafund të numrave të thjeshtë. Prova më e lashtë e këtij propozimi është prova e Euklidit, e cila është paraqitur në Elementet. Prova e Euklidit duket si kjo:
Le të imagjinojmë se numri i numrave të thjeshtë është i fundëm. Le t'i shumëzojmë dhe të shtojmë një. Numri që rezulton nuk mund të pjesëtohet me asnjë nga grupet e fundme të numrave të thjeshtë, sepse pjesa e mbetur e pjesëtimit me cilindo prej tyre jep një. Kështu, numri duhet të jetë i pjesëtueshëm me një numër të thjeshtë që nuk përfshihet në këtë grup.
Teorema e shpërndarjes së numrave të thjeshtë thotë se numri i numrave të thjeshtë më të vegjël se n, të shënuar π(n), rritet si n / ln(n).
Pas mijëra vitesh studimi të numrave të thjeshtë, numri më i madh i njohur është 243112609 − 1. Ky numër ka 12,978,189 shifra dhjetore dhe është numri i thjeshtë i Mersenne (M43112609). Ky zbulim u bë më 23 gusht 2008 në Fakultetin e Matematikës në Universitetin uCLA si pjesë e kërkimit të shpërndarë për projektin e numrave të thjeshtë Mersenne GIMPS.
Shtëpi tipar dallues Numrat Mersenne është prania e një testi shumë efektiv të parësisë Luc-Lemaire. Me ndihmën e tij, numrat kryesorë të Mersenne-it janë, për një periudhë të gjatë kohore, numrat e parë më të mëdhenj të njohur.
Megjithatë, deri më sot, shumë pyetje në lidhje me numrat e thjeshtë nuk kanë marrë përgjigje të sakta. Në Kongresin e 5-të Ndërkombëtar të Matematikës, Edmund Landau formuloi problemet kryesore në fushën e numrave të thjeshtë:
Problemi i Goldbach ose problemi i parë i Landau është se është e nevojshme të vërtetohet ose të kundërshtohet se çdo numër çift më i madh se 2 mund të përfaqësohet si shumë e dy numrave të thjeshtë dhe çdo numër tek më i madh se 5 mund të përfaqësohet si shuma e tre numrave të thjeshtë.
Problemi i dytë i Landau kërkon gjetjen e një përgjigjeje për pyetjen: a ekziston një grup i pafund i "binjakëve kryesorë" - numra të thjeshtë, ndryshimi i të cilëve është 2?
Hamendësimi i Lezhandrit ose problemi i tretë i Landau është: a është e vërtetë që midis n2 dhe (n + 1)2 ka gjithmonë një numër të thjeshtë?
Problemi i katërt i Landau: a është e pafund bashkësia e numrave të thjeshtë të formës n2 + 1?
Përveç problemeve të mësipërme, ekziston problemi i përcaktimit të numrit të pafundëm të numrave të thjeshtë në shumë sekuenca të numrave të plotë si numri Fibonacci, numri Fermat, etj.
Numërimi i pjesëtuesve. Sipas përkufizimit, numri nështë i thjeshtë vetëm nëse nuk pjesëtohet në mënyrë të barabartë me 2 dhe me numra të tjerë të plotë përveç 1 dhe vetvetes. Formula e mësipërme heq hapat e panevojshëm dhe kursen kohë: për shembull, pasi të keni kontrolluar nëse një numër pjesëtohet me 3, nuk ka nevojë të kontrolloni nëse është i pjesëtueshëm me 9.
- Funksioni dysheme(x) rrumbullakos x në numrin e plotë më të afërt që është më i vogël ose i barabartë me x.
Mësoni rreth aritmetikës modulare. Operacioni "x mod y" (mod është një shkurtim i fjalës latine "modulo", domethënë "modul") do të thotë "ndani x me y dhe gjeni pjesën e mbetur". Me fjalë të tjera, në aritmetikë modulare, me arritjen një sasi të caktuar që quhet modul, numrat “kthehen” sërish në zero. Për shembull, një orë e mban kohën me një modul 12: tregon 10, 11 dhe 12 dhe më pas kthehet në 1.
- Shumë kalkulatorë kanë një çelës mod. Fundi i këtij seksioni tregon se si të vlerësoni manualisht këtë funksion për numra të mëdhenj.
Mësoni rreth grackave të Teoremës së Vogël të Fermatit. Të gjithë numrat për të cilët nuk plotësohen kushtet e testimit janë të përbërë, por numrat e mbetur janë vetëm gjasa klasifikohen si të thjeshta. Nëse dëshironi të shmangni rezultatet e pasakta, kërkoni n në listën e "numrave Carmichael" (numrat e përbërë që plotësojnë këtë test) dhe "numrat pseudo të thjeshtë Fermat" (këta numra plotësojnë kushtet e testimit vetëm për disa vlera a).
Nëse është e përshtatshme, përdorni testin Miller-Rabin. Edhe pse këtë metodë mjaft i rëndë kur llogaritet me dorë, shpesh përdoret në programet kompjuterike. Ofron shpejtësi të pranueshme dhe jep më pak gabime sesa metoda e Fermatit. Numri i përbërë nuk do të pranohet si e thjeshtë nëse llogaritjet kryhen për më shumë se ¼ e vlerave a. Nëse zgjidhni rastësisht kuptime të ndryshme a dhe për të gjithë ata do të japë testi rezultat pozitiv, mund të supozojmë me një shkallë mjaft të lartë besimi se nështë një numër i thjeshtë.
Për numra të mëdhenj, përdorni aritmetikë modulare. Nëse nuk keni në dorë një kalkulator me një funksion mod ose kalkulatori nuk është projektuar për operacione me të tilla numra të mëdhenj, përdorni vetitë e fuqive dhe aritmetikën modulare për t'i bërë llogaritjet më të lehta. Më poshtë është një shembull për 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:
- Rishkruajeni shprehjen në një formë më të përshtatshme: mod 50. Kur bëni llogaritjet manuale, mund të nevojiten thjeshtime të mëtejshme.
- (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Këtu kemi marrë parasysh vetinë e shumëzimit modular.
- 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
- (3 25 (\displaystyle (3^(25)) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
- = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
- = 49 (\displaystyle =49).
Një numër i thjeshtë është një numër natyror që ndahet vetëm me vetveten dhe një.
Numrat e mbetur quhen numra të përbërë.
Numrat natyrorë të thjeshtë
Por jo të gjithë numrat natyrorë janë numra të thjeshtë.
Numrat natyrorë të thjeshtë janë vetëm ata që pjesëtohen vetëm me vetveten dhe një.
Shembuj të numrave të thjeshtë:
2; 3; 5; 7; 11; 13;...
Numrat e plotë kryesorë
Nga kjo rezulton se vetëm numrat natyrorë janë numra të thjeshtë.
Kjo do të thotë se numrat e thjeshtë janë domosdoshmërisht numra natyrorë.
Por të gjithë numrat natyrorë janë gjithashtu numra të plotë.
Kështu, të gjithë numrat e thjeshtë janë numra të plotë.
Shembuj të numrave të thjeshtë:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...
Edhe numrat e thjeshtë
Ekziston vetëm një numër i thjeshtë çift - numri dy.
Të gjithë numrat e tjerë të thjeshtë janë tek.
Pse një numër çift më i madh se dy nuk mund të jetë numër i thjeshtë?
Por për shkak se çdo numër çift më i madh se dy do të jetë i pjesëtueshëm me vetveten, jo me një dhe me dy, domethënë, një numër i tillë do të ketë gjithmonë tre pjesëtues, dhe mundësisht më shumë.
