- kjo është një pjesë e një koni, e kufizuar midis dy bazave paralele pingul me boshtin e tij të simetrisë. Bazat e konit janë rrathë gjeometrikë.

Një kon i cunguar mund të merret duke rrotulluar një trapez drejtkëndor rreth anës së tij, që është lartësia e tij. Kufiri i konit është një rreth me rreze R, një rreth me rreze r dhe sipërfaqja anësore e konit. Sipërfaqja anësore e konit përshkruhet nga ana anësore e trapezit gjatë rrotullimit të tij.

Zona e sipërfaqes anësore të një koni të cunguar përmes udhëzuesit dhe rrezeve të bazave të tij

Gjatë gjetjes së zonës sipërfaqe anësoreËshtë më e përshtatshme të merret në konsideratë koni i cunguar si diferenca midis sipërfaqes anësore të konit dhe sipërfaqes anësore të konit të prerë.

Lëreni konin A`MB` të shkëputet nga një kon i dhënë AMB. Nevoja për të llogaritur zona anësore kon i cunguar AA`B`B. Dihet se rrezet e bazave të tij janë AO=R, A`O` =r, gjeneratori është i barabartë me L. Le ta shënojmë MB` me x. Atëherë sipërfaqja anësore e konit A`MB` do të jetë e barabartë me πrx. Dhe sipërfaqja anësore e konit AMB do të jetë e barabartë me πR(L+x).
Atëherë sipërfaqja anësore e konit të cunguar AA`B`B mund të shprehet përmes ndryshimit midis sipërfaqes anësore të konit AMB dhe konit A`MB`:

Trekëndëshat OMB dhe O`MB` janë të ngjashëm për sa i përket barazisë së këndeve ∠(MOB) = ∠(MO`B`) dhe ∠(OMB) = ∠(O`MB`) . Nga ngjashmëria e këtyre trekëndëshave rrjedh:
Le të përdorim derivatin e proporcionit. Ne kemi:
Nga këtu gjejmë x:
Duke e zëvendësuar këtë shprehje në formulën e sipërfaqes anësore, kemi:
Kështu, sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një koni të cunguar është e barabartë me produktin e numrit π nga udhëzuesi i tij dhe shumën e rrezeve të bazave të tij.

Një shembull i llogaritjes së sipërfaqes anësore të një koni të cunguar nëse dihet rrezja dhe gjenerata e tij
Rrezja e bazës më të madhe, gjeneratorit dhe lartësia e konit të cunguar janë përkatësisht 7, 5 dhe 4 cm. Gjeni sipërfaqen anësore të konit.
Seksioni boshtor i një koni të cunguar është trapezoid isosceles, me bazament 2R dhe 2r. Gjenerata e konit të cunguar, e cila është ana e trapezit, lartësia pubescent në bazën e madhe dhe ndryshimi në rrezet e bazës së konit të cunguar formojnë një trekëndësh egjiptian. Është një trekëndësh kënddrejtë me një raport pamjeje 3:4:5. Sipas kushteve të problemit, gjeneratori është i barabartë me 5, dhe lartësia është 4, atëherë ndryshimi në rrezet e bazës së konit të cunguar do të jetë i barabartë me 3.
Ne kemi:
L=5
R=7
R=4
Formula për sipërfaqen anësore të një koni të cunguar është si më poshtë:

Duke zëvendësuar vlerat, kemi:

Sipërfaqja anësore e një koni të cunguar përmes një udhëzuesi dhe rrezes mesatare

Rrezja mesatare e një koni të cunguar është e barabartë me gjysmën e shumës së rrezeve të bazave të tij:


Pastaj formula për sipërfaqen anësore të një koni të cunguar mund të paraqitet si më poshtë:

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një koni të cunguar është e barabartë me produktin e perimetrit të seksionit të mesëm dhe gjeneratorit të tij.

Zona e sipërfaqes anësore të një koni të cunguar përmes rrezeve të bazës së tij dhe këndit të prirjes së gjeneratorit në rrafshin e bazës

Nëse baza më e vogël është projektuar në mënyrë ortogonale mbi bazën më të madhe, atëherë projeksioni i sipërfaqes anësore të konit të cunguar do të ketë formën e një unaze, sipërfaqja e së cilës llogaritet me formulën:

Pastaj:

Sipërfaqja anësore e një koni të cunguar sipas Arkimedit

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një koni të cunguar është e barabartë me sipërfaqen e një rrethi rrezja e të cilit është proporcionaliteti mesatar midis gjeneratorit dhe shumës së rrezeve të bazave të tij

Sipërfaqja e plotë e një koni të cunguar

Sipërfaqja totale e një koni është shuma e sipërfaqes së sipërfaqes së saj anësore dhe sipërfaqes së bazave të konit:

Bazat e konit janë rrathë me rreze R dhe r. Sipërfaqja e tyre është e barabartë me prodhimin e numrit me katrorin e rrezes së tyre:


Sipërfaqja anësore llogaritet me formulën:

Pastaj zona sipërfaqe të plotë koni i cunguar është i barabartë me:

Formula duket si kjo:

Një shembull i llogaritjes së sipërfaqes totale të një koni të cunguar nëse dihet rrezja dhe gjenerata e tij
Rrezja e bazës së konit të cunguar është 1 dhe 7 dm, dhe diagonalet e seksionit boshtor janë reciprokisht pingul. Gjeni zonën sipërfaqe të plotë kon i cunguar
Seksioni boshtor i konit të cunguar është një trapez izoscelular, me baza 2R dhe 2r. Kjo do të thotë, bazat e trapezit janë përkatësisht 2 dhe 14 dm. Meqenëse diagonalet e një trapezi janë reciproke pingule, lartësia është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave të tij. Pastaj:

Gjenerata e konit të cunguar, që është ana e trapezit, lartësia pubescent në bazën e madhe dhe ndryshimi në rrezet e bazës së konit të cunguar formojnë një trekëndësh kënddrejtë.
Duke përdorur teoremën e Pitagorës, gjejmë gjeneratën e një koni të cunguar:

Formula për sipërfaqen totale të një koni të cunguar është si më poshtë:

Duke zëvendësuar vlerat nga kushtet e problemit dhe vlerat e gjetura, kemi:

Koni. kon i cunguar

Sipërfaqe konikeështë sipërfaqja e formuar nga të gjitha vijat e drejta që kalojnë nëpër secilën pikë të një kurbë të caktuar dhe një pikë jashtë kurbës (Fig. 32).

Kjo kurbë quhet udhërrëfyes , drejt - duke formuar , pika - krye sipërfaqe konike.

Sipërfaqe konike e drejtë rrethoreështë sipërfaqja e formuar nga të gjitha drejtëzat që kalojnë nëpër secilën pikë të një rrethi të caktuar dhe një pikë në një vijë të drejtë që është pingul me rrafshin e rrethit dhe kalon nëpër qendrën e tij. Në vijim do ta quajmë shkurtimisht këtë sipërfaqe sipërfaqe konike (Fig. 33).

Koni (kon rrethor i drejtë ) është një trup gjeometrik i kufizuar nga një sipërfaqe konike dhe një rrafsh që është paralel me rrafshin e rrethit drejtues (Fig. 34).

Oriz. 32 Fig. 33 Fig. 34

Koni mund të konsiderohet si një trup i fituar me rrotullim trekëndësh kënddrejtë rreth një boshti që përmban njërën nga këmbët e trekëndëshit.

Rrethi që rrethon një kon quhet i tij bazë . Kulmi i sipërfaqes konike quhet krye kon Segmenti që lidh kulmin e një koni me qendrën e bazës së tij quhet lartësia kon Segmentet që formohen sipërfaqe konike, quhen duke formuar kon Boshti i një koni është një vijë e drejtë që kalon nga maja e konit dhe qendra e bazës së tij. Seksioni boshtor quhet seksioni që kalon nëpër boshtin e konit. Zhvillimi i sipërfaqes anësore i një koni është një sektor rrezja e të cilit e barabartë me gjatësinë gjenerata e konit, dhe gjatësia e harkut të sektorit është e barabartë me perimetrin e bazës së konit.

Formulat e sakta për një kon janë:

Ku R– rrezja e bazës;

H- lartësia;

l– gjatësia e gjeneratorit;

Baza S- zona e bazës;

Ana S

S plot

V– vëllimi i konit.

Kon i cunguar quhet pjesa e konit e mbyllur ndërmjet bazës dhe rrafshit të prerjes paralel me bazën e konit (Fig. 35).

Një kon i cunguar mund të konsiderohet si një trup i marrë duke rrotulluar një trapez drejtkëndor rreth një boshti që përmban anën e trapezit pingul me bazat.

Dy rrathët që mbyllin një kon quhen të tij arsyet . Lartësia e një koni të cunguar është distanca midis bazave të tij. Segmentet që formojnë sipërfaqen konike të një koni të cunguar quhen duke formuar . Një vijë e drejtë që kalon nëpër qendrat e bazave quhet boshti kon i cunguar. Seksioni boshtor quhet seksioni që kalon nëpër boshtin e një koni të cunguar.

Për një kon të cunguar, formulat e sakta janë:

(8)

Ku R– rrezja e bazës së poshtme;

r– rrezja e bazës së sipërme;

H– lartësia, l – gjatësia e gjeneratorit;

Ana S- sipërfaqja anësore;

S plot- sipërfaqja totale;

V– vëllimi i një koni të cunguar.

Shembulli 1. Seksioni kryq i konit paralel me bazën e ndan lartësinë në një raport prej 1:3, duke llogaritur nga maja. Gjeni sipërfaqen anësore të një koni të cunguar nëse rrezja e bazës dhe lartësia e konit janë 9 cm dhe 12 cm.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 36).

Për të llogaritur sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një koni të cunguar, ne përdorim formulën (8). Le të gjejmë rrezet e bazave Rreth 1 A Dhe Rreth 1 V dhe duke formuar AB.

Konsideroni trekëndësha të ngjashëm SO2B Dhe SO 1 A, koeficienti i ngjashmërisë, atëherë

Nga këtu

Që atëherë

Sipërfaqja anësore e një koni të cunguar është e barabartë me:

Përgjigje: .

Shembulli 2. Një çerek rrethi i rrezes është palosur në një sipërfaqe konike. Gjeni rrezen e bazës dhe lartësinë e konit.

Zgjidhje. Kuadranti i rrethit është zhvillimi i sipërfaqes anësore të konit. Le të shënojmë r- rrezja e bazës së saj, H - lartësia. Le të llogarisim sipërfaqen anësore duke përdorur formulën: . Është e barabartë me sipërfaqen e një çerek rrethi: . Marrim një ekuacion me dy të panjohura r Dhe l(duke formuar një kon). NË në këtë rast gjeneratori është i barabartë me rrezen e çerek rrethit R, që do të thotë se marrim ekuacionin e mëposhtëm: , nga ku Duke ditur rrezen e bazës dhe gjeneratorit, gjejmë lartësinë e konit:

Përgjigje: 2 cm,.

Shembulli 3. Trapez drejtkëndor Me kënd akut 45 O, me një bazë më të vogël 3 cm dhe një anë të pjerrët të barabartë me , rrotullohet rreth anës pingul me bazat. Gjeni vëllimin e trupit që rezulton i rrotullimit.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 37).

Si rezultat i rrotullimit, marrim një kon të cunguar për të gjetur vëllimin e tij, ne llogarisim rrezen e bazës dhe lartësisë më të madhe. Në trapez O 1 O 2 AB ne do të kryejmë AC^O 1 B. B kemi: kjo do të thotë se ky trekëndësh është dykëndësh A.C.=B.C.= 3 cm.

Përgjigje:

Shembulli 4. Një trekëndësh me brinjë 13 cm, 37 cm dhe 40 cm rrotullohet rreth një boshti të jashtëm, i cili është paralel me anën më të madhe dhe ndodhet në një distancë prej 3 cm prej tij (boshti ndodhet në rrafshin e trekëndëshit). Gjeni sipërfaqen e trupit që rezulton i rrotullimit.

Zgjidhje . Le të bëjmë një vizatim (Fig. 38).

Sipërfaqja e trupit që rezulton nga rrotullimi përbëhet nga sipërfaqet anësore të dy koneve të cunguara dhe sipërfaqja anësore e një cilindri. Për të llogaritur këto zona, është e nevojshme të njihen rrezet e bazave të koneve dhe cilindrit ( BËHET Dhe O.C.), duke formuar kone ( B.C. Dhe A.C.) dhe lartësia e cilindrit ( AB). E vetmja e panjohur është CO. kjo është distanca nga ana e trekëndëshit në boshtin e rrotullimit. Ne do të gjejmë DC. Sipërfaqja e trekëndëshit ABC në njërën anë është e barabartë me produktin e gjysmës së brinjës AB dhe lartësisë së tërhequr drejt saj DC, nga ana tjetër, duke ditur të gjitha anët e trekëndëshit, ne llogarisim sipërfaqen e tij duke përdorur formulën e Heronit.

Formulat e vëllimit

Piramida e cunguar ose kon - kjo është pjesa që mbetet pasi pjesa e sipërme është prerë nga një plan paralel me bazën.

Vëllimi i një piramide të cunguar ose kon e barabartë me vëllimin e të gjithë piramidës ose konit minus vëllimin e kulmit të prerë.

Sipërfaqja anësore e një piramide të cunguar ose kon e barabartë me sipërfaqen e të gjithë piramidës ose konit. minus sipërfaqen anësore të kulmit të prerë. Nëse keni nevojë të gjeni sipërfaqe totale figura e cunguar, atëherë zona e dy bazave paralele i shtohet zonës së sipërfaqes anësore.

Ekziston një metodë tjetër për përcaktimin e vëllimit dhe sipërfaqes së një koni të cunguar:

V=1/3 π h(R 2 +Rr+r 2),

sipërfaqja anësore e konit S=π l(R+r),

sipërfaqe totale S o =π l(R+r)+πr 2 +πR 2

Shembulli 1. Përcaktimi i zonës së nevojshme për prodhimin e materialit për abazhurin. (Llogaritja e sipërfaqes anësore të konit).

Abazhuri ka formën e një koni të cunguar. Lartësia e abazhurit është 50 cm, diametri i poshtëm dhe i sipërm janë përkatësisht 40 dhe 20 cm.

Përcaktoni me një saktësi prej 3x shifra të rëndësishme zona e materialit të kërkuar për të bërë abazhurin.

Siç përkufizohet më sipër, sipërfaqja anësore e një koni të cunguar S=π l(R+r).

Meqenëse diametrat e sipërm dhe të poshtëm të konit të cunguar janë 40 dhe 20 cm, atëherë nga Fig. sipër gjejmë r=10 cm, R=20 cm dhe

l=(50 2 +10 2) 1/2 =50.99 sipas teoremës së Pitagorës,

Prandaj, sipërfaqja e sipërfaqes anësore të konit është e barabartë me S=π 50,99(20+10)=4803,258 cm 2, d.m.th. sipërfaqja e materialit që kërkohet për të bërë një abazhur është e barabartë me 4800 cm 2 saktë në 3 shifra të rëndësishme, megjithëse, sigurisht, sa material do të përdoret në të vërtetë varet nga prerja.

Shembulli 2. Përcaktimi i vëllimit të një cilindri të mbuluar nga një kon i cunguar.

Kulla më e ftohtë ka formën e një cilindri të mbuluar me një kon të cunguar, siç tregohet në Fig. më poshtë. Përcaktoni vëllimin e hapësirës ajrore në kullë nëse 40% e vëllimit është e zënë nga tubat dhe strukturat e tjera.

Vëllimi i pjesës cilindrike

V=π R 2 h=π(27/2) 2 *14=8011,71 m 3

Vëllimi i një koni të cunguar

V=1/3 π h(R 2 +Rr+r 2), Ku

h=34-14=20 m, R=27/2=13,5 m dhe r=14/2=7 m.

Sepse R=27/2=13,5 m dhe r=14/2=7 m.

Prandaj, vëllimi i një koni të cunguar

V=1/3 π 20(13,5 2 +13,5*7+7 2)=6819,03 m 3

Vëllimi total i kullës ftohëse V gjithsej =6819.03+8011.71=14830.74 m3.

Nëse 40% e vëllimit është e zënë, vëllimi i hapësirës ajrore V=0.6*14830.74=8898.44 m 3