Rrënja e tretë e 0.25. Rrënja e kubit (nxjerrja pa kalkulator)

Nëse keni një kalkulator pranë, nxjerrja e rrënjës kubike të çdo numri nuk do të jetë problem. Por nëse nuk keni një makinë llogaritëse ose thjesht dëshironi t'u bëni përshtypje të tjerëve, gjeni rrënjën e kubit me dorë. Shumica e njerëzve do ta shohin procesin e përshkruar këtu mjaft të ndërlikuar, por me praktikë, nxjerrja e rrënjëve të kubit do të bëhet shumë më e lehtë. Përpara se të filloni të lexoni këtë artikull, mbani mend veprimet themelore matematikore dhe llogaritjet me numra në kub.

Hapat

Pjesa 1

Nxjerrja e rrënjës së kubit shembull i thjeshtë

Shkruani detyrën. Marrja e rrënjëve të kubit me dorë është e ngjashme me ndarjen e gjatë, por me disa nuanca. Së pari, shkruani detyrën në një formë specifike.

Shkruani numrin nga i cili dëshironi të merrni rrënjën e kubit. Ndani numrin në grupe me tre shifra, duke filluar me pikën dhjetore. Për shembull, ju duhet të merrni rrënjën e kubit të 10. Shkruajeni këtë numër kështu: 10,000,000. Zero shtesë projektuar për të përmirësuar saktësinë e rezultateve.
Vizatoni një shenjë rrënjë pranë dhe sipër numrit. Mendoni si vijat horizontale dhe vertikale që vizatoni kur ndani. Dallimi i vetëm është forma e dy shenjave.
Vendosni një pikë dhjetore mbi vijën horizontale. Bëni këtë drejtpërdrejt mbi pikën dhjetore të numrit origjinal.

Mbani mend rezultatet e numrave të plotë në kub. Ato do të përdoren në llogaritjet.
- 1 3 = 1 ∗ 1 ∗ 1 = 1 (\displaystyle 1^(3)=1*1*1=1)
- 2 3 = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=2*2*2=8)
- 3 3 = 3 ∗ 3 ∗ 3 = 27 (\displaystyle 3^(3)=3*3*3=27)
- 4 3 = 4 ∗ 4 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 4^(3)=4*4*4=64)
- 5 3 = 5 ∗ 5 ∗ 5 = 125 (\displaystyle 5^(3)=5*5*5=125)
- 6 3 = 6 ∗ 6 ∗ 6 = 216 (\displaystyle 6^(3)=6*6*6=216)
- 7 3 = 7 ∗ 7 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=7*7*7=343)
- 8 3 = 8 ∗ 8 ∗ 8 = 512 (\displaystyle 8^(3)=8*8*8=512)
- 9 3 = 9 ∗ 9 ∗ 9 = 729 (\displaystyle 9^(3)=9*9*9=729)
- 10 3 = 10 ∗ 10 ∗ 10 = 1000 (\displaystyle 10^(3)=10*10*10=1000)
Gjeni shifrën e parë të përgjigjes. Zgjidhni kubin e numrit të plotë që është më afër, por më i vogël se grupi i parë me tre shifra.
- Në shembullin tonë, grupi i parë me tre shifra është numri 10. Gjeni kubin më të madh që është më i vogël se 10. Ky kub është 8 dhe rrënja e kubit e 8 është 2.
- Mbi vijën horizontale mbi numrin 10, shkruani numrin 2. Më pas shkruani vlerën e veprimit 2 3 (\displaystyle 2^(3))= 8 nën 10. Vizatoni një vijë dhe zbritni 8 nga 10 (si me pjesëtimin e rregullt të gjatë). Rezultati është 2 (kjo është pjesa e parë).
- Kështu, ju keni gjetur shifrën e parë të përgjigjes. Konsideroni nëse rezultati i dhënë është mjaft i saktë. Në shumicën e rasteve kjo do të jetë një përgjigje shumë e përafërt. Kuboni rezultatin për të zbuluar se sa afër është me numrin origjinal. Në shembullin tonë: 2 3 (\displaystyle 2^(3))= 8, që nuk është shumë afër 10, kështu që llogaritjet duhet të vazhdojnë.
Gjeni shifrën tjetër të përgjigjes. Shtoni një grup të dytë prej tre shifrash në pjesën e parë dhe vizatoni një vijë vertikale në të majtë të numrit që rezulton. Duke përdorur numrin që rezulton, do të gjeni shifrën e dytë të përgjigjes. Në shembullin tonë, ne duhet të shtojmë një grup të dytë prej tre shifrash (000) në mbetjen e parë (2) për të marrë numrin 2000.
- Në të majtë të vijës vertikale do të shkruani tre numra, shuma e të cilëve është e barabartë me një faktor të parë të caktuar. Lini hapësira boshe për këta numra dhe vendosni shenja plus midis tyre.
Gjeni termin e parë (nga tre). Në hapësirën e parë boshe, shkruani rezultatin e shumëzimit të numrit 300 me katrorin e shifrës së parë të përgjigjes (është e shkruar mbi shenjën e rrënjës). Në shembullin tonë, shifra e parë e përgjigjes është 2, pra 300*(2^2) = 300*4 = 1200. Shkruani 1200 në hapësirën e parë bosh. Termi i parë është numri 1200 (plus dy numra të tjerë për të gjetur).

Gjeni shifrën e dytë të përgjigjes. Zbuloni me cilin numër duhet të shumëzoni 1200 në mënyrë që rezultati të jetë afër, por të mos kalojë 2000. Ky numër mund të jetë vetëm 1, pasi 2 * 1200 = 2400, që është më shumë se 2000. Shkruani 1 (shifra e dytë e përgjigja) pas 2 dhe presjes dhjetore mbi shenjën e rrënjës.

Gjeni termat e dytë dhe të tretë (nga tre). Shumëzuesi përbëhet nga tre numra (termi), të parën prej të cilëve e keni gjetur tashmë (1200). Tani duhet të gjejmë dy termat e mbetur.
- Shumëzoni 3 me 10 dhe me secilën shifër të përgjigjes (ato janë shkruar mbi shenjën e rrënjës). Në shembullin tonë: 3*10*2*1 = 60. Shto këtë rezultat në 1200 dhe merr 1260.
- Së fundi, katrore shifrën e fundit të përgjigjes suaj. Në shembullin tonë, shifra e fundit e përgjigjes është 1, pra 1^2 = 1. Kështu, faktori i parë është i barabartë me shumën e numrave të mëposhtëm: 1200 + 60 + 1 = 1261. Shkruajeni këtë numër në të majtë të shiritin vertikal.
Shumëzoni dhe zbritni. Shumëzojeni shifrën e fundit të përgjigjes (në shembullin tonë është 1) me faktorin e gjetur (1261): 1*1261 = 1261. Shkruajeni këtë numër nën 2000 dhe zbrisni atë nga 2000. Do të merrni 739 (kjo është mbetja e dytë ).
Mendoni nëse përgjigja që merrni është mjaft e saktë. Bëjeni këtë sa herë që plotësoni një zbritje tjetër. Pas zbritjes së parë, përgjigja ishte 2, që nuk është një rezultat i saktë. Pas zbritjes së dytë, përgjigja është 2.1.
- Për të kontrolluar saktësinë e përgjigjes suaj, vendoseni në kub: 2.1*2.1*2.1 = 9.261.
- Nëse mendoni se përgjigja është mjaft e saktë, nuk keni pse të vazhdoni llogaritjet; përndryshe, bëni një zbritje tjetër.
Gjeni faktorin e dytë. Për të praktikuar llogaritjet tuaja dhe për të marrë një rezultat më të saktë, përsëritni hapat e mësipërm.
- Mbetjes së dytë (739) shtoni grupin e tretë prej tre shifrash (000). Do të merrni numrin 739000.
- Shumëzoni 300 me katrorin e numrit të shkruar mbi shenjën e rrënjës (21): 300 ∗ 21 2 (\displaystyle 300*21^(2)) = 132300.
- Gjeni shifrën e tretë të përgjigjes. Zbuloni se me cilin numër duhet të shumëzoni 132300 në mënyrë që rezultati të jetë afër, por të mos kalojë 739000. Ky numër është 5: 5 * 132200 = 661500. Shkruani 5 (shifra e tretë e përgjigjes) pas 1-së sipër shenjë rrënjë.
- Shumëzoni 3 me 10 me 21 dhe me shifrën e fundit të përgjigjes (ato janë shkruar mbi shenjën e rrënjës). Në shembullin tonë: 3 ∗ 21 ∗ 5 ∗ 10 = 3150 (\displaystyle 3*21*5*10=3150).
- Së fundi, katrore shifrën e fundit të përgjigjes suaj. Në shembullin tonë, shifra e fundit e përgjigjes është 5, pra 5 2 = 25. (\displaystyle 5^(2)=25.)
- Kështu, shumëzuesi i dytë është: 132300 + 3150 + 25 = 135475.
Shumëzojeni shifrën e fundit të përgjigjes me faktorin e dytë. Pasi të keni gjetur faktorin e dytë dhe shifrën e tretë të përgjigjes, veproni si më poshtë:
- Shumëzojeni shifrën e fundit të përgjigjes me faktorin e gjetur: 135475*5 = 677375.
- Zbrit: 739000-677375 = 61625.
- Mendoni nëse përgjigja që merrni është mjaft e saktë. Për ta bërë këtë, kubike atë: 2 , 15 ∗ 2 , 15 ∗ 2 , 15 = 9 , 94 (\displaystyle 2.15*2.15*2.15=9.94).
Shkruani përgjigjen tuaj. Rezultati, i shkruar mbi shenjën e rrënjës, është përgjigja e saktë me dy shifra dhjetore. Në shembullin tonë, rrënja e kubit e 10 është 2.15. Kontrolloni përgjigjen tuaj duke e vendosur në kubikë: 2,15^3 = 9,94, që është afërsisht 10. Nëse keni nevojë për më shumë saktësi, vazhdoni me llogaritjen (siç përshkruhet më sipër).

Pjesa 2
Nxjerrja e rrënjës së kubit duke përdorur metodën e vlerësimit
1. Përdorni kube numrash për të përcaktuar kufijtë e sipërm dhe të poshtëm. Nëse ju duhet të merrni rrënjën kubike të pothuajse çdo numri, gjeni kubet (të disa numrave) që janë afër numrit të dhënë.
  - Për shembull, ju duhet të merrni rrënjën e kubit të 600. Që 8 3 = 512 (\displaystyle 8^(3)=512) Dhe 9 3 = 729 (\displaystyle 9^(3)=729), atëherë vlera e rrënjës së kubit të 600 qëndron ndërmjet 8 dhe 9. Prandaj, përdorni numrat 512 dhe 729 si kufijtë e sipërm dhe të poshtëm të përgjigjes.
2. Vlerësoni numrin e dytë. Ju e gjetët numrin e parë falë njohurive tuaja për kubet e numrave të plotë. Tani kthejeni numrin e plotë në dhjetore, duke i shtuar asaj (pas presjes dhjetore) një numër të caktuar nga 0 në 9. Është e nevojshme të gjendet një thyesë dhjetore, kubi i së cilës do të jetë afër, por më i vogël se numri origjinal.
  - Në shembullin tonë, numri 600 ndodhet midis numrave 512 dhe 729. Për shembull, shtoni numrin 5 në numrin e parë të gjetur (8).
3. - Në shembullin tonë: 8 , 5 ∗ 8 , 5 ∗ 8 , 5 = 614 , 1. (\displaystyle 8.5*8.5*8.5=614.1.)
4. Krahasoni kubin e numrit që rezulton me numrin origjinal. Nëse kubi i numrit që rezulton është më i madh se numri origjinal, provoni të vlerësoni numrin më të vogël. Nëse kubi i numrit që rezulton është shumë më i vogël se numri fillestar, vlerësojeni numra të mëdhenj derisa kubi i njërit prej tyre të kalojë numrin fillestar.
  - Në shembullin tonë: 8 , 5 3 (\displaystyle 8.5^(3))> 600. Pra vlerëso numrin më të vogël në 8.4. Kuboni këtë numër dhe krahasojeni me numrin origjinal: 8 , 4 ∗ 8 , 4 ∗ 8 , 4 = 592 , 7 (\displaystyle 8.4*8.4*8.4=592.7). Ky rezultat është më i vogël se numri origjinal. Pra, rrënja e kubit e 600 është midis 8.4 dhe 8.5.
5. Llogaritni numrin e mëposhtëm për të përmirësuar saktësinë e përgjigjes suaj. Për çdo numër që keni vlerësuar të fundit, shtoni një numër nga 0 në 9 derisa të merrni përgjigjen e saktë. Në çdo raund vlerësimi, ju duhet të gjeni kufijtë e sipërm dhe të poshtëm midis të cilëve shtrihet numri origjinal.
  - Në shembullin tonë: 8 , 4 3 = 592 , 7 (\displaystyle 8.4^(3)=592.7) Dhe 8 , 5 3 = 614 , 1 (\displaystyle 8.5^(3)=614.1). Numri origjinal 600 është më afër 592 sesa 614. Prandaj, numrit të fundit që keni vlerësuar, caktoni një shifër që është më afër 0-së sesa 9. Për shembull, një numër i tillë është 4. Prandaj, kubike numrin 8.44.
6. Nëse është e nevojshme, vlerësoni një numër të ndryshëm. Krahasoni kubin e numrit që rezulton me numrin origjinal. Nëse kubi i numrit që rezulton është më i madh se numri origjinal, provoni të vlerësoni numrin më të vogël. Me pak fjalë, ju duhet të gjeni dy numra, kubet e të cilëve janë pak më të mëdhenj dhe pak më të vegjël se numri origjinal.
  - Në shembullin tonë 8 , 44 ∗ 8 , 44 ∗ 8 , 44 = 601 , 2 (\displaystyle 8,44*8,44*8,44=601,2). Ky është pak më i madh se numri origjinal, prandaj vlerësoni një numër tjetër (më të vogël), si p.sh. 8.43: 8 , 43 ∗ 8 , 43 ∗ 8 , 43 = 599 , 07 (\displaystyle 8.43*8.43*8.43=599.07). Kështu, rrënja e kubit e 600 qëndron midis 8.43 dhe 8.44.
7. Ndiqni procesin e përshkruar derisa të merrni një përgjigje me të cilën jeni të kënaqur. Vlerësoni numrin tjetër, krahasoni atë me origjinalin, më pas, nëse është e nevojshme, vlerësoni një numër tjetër, etj. Ju lutemi vini re se çdo shifër shtesë pas presjes dhjetore rrit saktësinë e përgjigjes.
  - Në shembullin tonë, kubi 8.43 është më pak se 1 më pak se numri origjinal Nëse keni nevojë për më shumë saktësi, kubike 8.434 dhe merrni 8, 434 3 = 599, 93 (\displaystyle 8,434^(3)=599,93), domethënë, rezultati është më pak se 0,1 më pak se numri origjinal.

Kur zgjidhni disa probleme teknike ndonjëherë ju duhet të llogaritni rrënjën e treta gradë. Ndonjëherë ky numër quhet edhe rrënja e kubit. Rrënja e treta gradë Nga një numër i dhënë quhet një numër kubi (fuqia e tretë) i të cilit është i barabartë me atë të dhënë. Kjo do të thotë, nëse y është një rrënjë e treta gradë numri x, atëherë duhet të plotësohet kushti i mëposhtëm: y?=x (x është e barabartë me kubin).

Do t'ju duhet

kalkulator ose kompjuter

Udhëzimet

Për të llogaritur rrënjën e treta gradë, përdorni kalkulatorin. Këshillohet që ky të mos jetë një kalkulator i zakonshëm, por një kalkulator që përdoret për llogaritjet inxhinierike. Sidoqoftë, edhe në një kalkulator të tillë nuk do të gjeni një buton të veçantë për nxjerrjen e rrënjës e treta gradë. Pra, përdorni një funksion për të ngritur një numër në një fuqi. Nxjerrja e rrënjëve e treta gradë korrespondon me ngritjen në fuqinë e 1/3 (një e treta).
Për të ngritur një numër në fuqinë 1/3, shkruani vetë numrin në tastierën e kalkulatorit. Më pas shtypni tastin "eksponentizim". Një buton i tillë, në varësi të llojit të kalkulatorit, mund të duket si xy (y është një mbishkrim). Meqenëse shumica e kalkulatorëve nuk kanë aftësinë për të punuar me thyesa të zakonshme (jo dhjetore), në vend të numrit 1/3, vendosni vlerën e përafërt të tij: 0.33. Për të marrë saktësi më të madhe të llogaritjes, duhet të rrisni numrin e "tre", për shembull, thirrni 0.333333333333333. Pastaj, klikoni butonin "=".
Për të llogaritur rrënjën e treta gradë në kompjuterin tuaj, përdorni një kalkulator standard të Windows. Procedura është plotësisht e ngjashme me atë të përshkruar në paragrafin e mëparshëm të udhëzimeve. Dallimi i vetëm është përcaktimi i butonit të fuqisë. Në një kalkulator "kompjuterik" duket si x^y.
Nëse rrënja e treta gradë Nëse duhet të numëroni në mënyrë sistematike, atëherë përdorni MS Excel. Për të llogaritur rrënjën e treta gradë në Excel, futni shenjën "=" në çdo qelizë dhe më pas zgjidhni ikonën "fx" - futni një funksion. Në dritaren që shfaqet, në listën "Zgjidh një funksion", zgjidhni rreshtin "SHKALLA". Klikoni butonin "OK". Në dritaren e re që shfaqet, futni në rreshtin "Numër" vlerën e numrit nga i cili dëshironi të nxirrni rrënjën. Në rreshtin "Diplomë", shkruani numrin "1/3" dhe klikoni "OK". Vlera e dëshiruar e rrënjës kubike të numrit origjinal do të shfaqet në qelizën e tabelës.

Rrënja n e një numri x nuk është numër negativ z, i cili kur ngrihet në fuqinë e n-të kthehet në x. Përcaktimi i rrënjës përfshihet në listën e veprimeve themelore aritmetike me të cilat jemi njohur në fëmijëri.

Shënim matematik

"Rrënja" vjen nga fjalë latine radix dhe sot fjala “radikal” përdoret si sinonim i këtij termi matematikor. Që nga shekulli i 13-të, matematikanët e kanë shënuar veprimin e rrënjës me shkronjën r me një shirit horizontal mbi shprehjen radikale. Në shekullin e 16-të u prezantua emërtimi V, i cili gradualisht zëvendësoi shenjën r, por vija horizontale mbeti. Është e lehtë të shtypësh në shtypshkronjë ose të shkruash me dorë, por është përhapur në botimin elektronik dhe programimin emërtimi i shkronjave rrënjë - sqrt. Kështu do t'i shënojmë rrënjët katrore në këtë artikull.

Rrënja katrore

Radikali katror i një numri x është një numër z që, kur shumëzohet me vetveten, bëhet x. Për shembull, nëse shumëzojmë 2 me 2, marrim 4. Dy në këtë rast është rrënja katrore e katër. Shumëzojmë 5 me 5, marrim 25 dhe tani e dimë vlerën e shprehjes sqrt(25). Ne mund ta shumëzojmë dhe – 12 me −12 për të marrë 144, dhe radikali i 144 është edhe 12 edhe −12. Natyrisht, rrënjët katrore mund të jenë numra pozitivë dhe negativë.

Dualizmi i veçantë i rrënjëve të tilla është i rëndësishëm për zgjidhjen ekuacionet kuadratike, prandaj, kur kërkoni përgjigje në probleme të tilla, duhet të tregoni të dy rrënjët. Gjatë zgjidhjes së shprehjeve algjebrike, përdoren rrënjët katrore aritmetike, domethënë vetëm vlerat e tyre pozitive.

Numrat, rrënjët katrorë të të cilëve janë numra të plotë quhen katrorë të përsosur. Ekziston një sekuencë e tërë numrash të tillë, fillimi i të cilit duket si:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Rrënjët katrore të numrave të tjerë janë numra irracionalë. Për shembull, sqrt(3) = 1.73205080757... e kështu me radhë. Ky numër është i pafund dhe jo periodik, gjë që shkakton disa vështirësi në llogaritjen e radikalëve të tillë.

Kursi i matematikës shkollore thotë se nuk mund të marrësh rrënjë katrore të numrave negativë. Siç mësojmë në një kurs universitar për analizën matematikore, kjo mund dhe duhet të bëhet - kjo është arsyeja pse nevojiten numra komplekse. Sidoqoftë, programi ynë është krijuar për të nxjerrë vlera reale të rrënjës, kështu që nuk llogarit as radikalët nga numrat negativë.

Rrënja e kubit

Radikali kub i një numri x është një numër z që, kur shumëzohet me veten tre herë, jep numrin x. Për shembull, nëse shumëzojmë 2 × 2 × 2, marrim 8. Prandaj, dy është rrënja kubike e tetës. Shumëzoni katër me vete tre herë dhe merrni 4 × 4 × 4 = 64. Natyrisht, katër është rrënja kubike e numrit 64. Ekziston një sekuencë e pafund numrash radikalët kub të të cilëve janë numra të plotë. Fillimi i tij duket si ky:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Për numrat e tjerë, rrënjët e kubit janë numrat irracionalë. Ndryshe nga radikalët katrorë, rrënjët kubike, si çdo rrënjë teke, mund të rrjedhin nga numra negativë. Gjithçka ka të bëjë me produktin e numrave më pak se zero. Minus për minus jep një plus - një rregull i njohur nga shkolla. Dhe një minus për një plus jep një minus. Nëse i shumëzojmë numrat negativë një numër tek, rezultati do të jetë gjithashtu negativ, prandaj asgjë nuk na pengon të nxjerrim një radikal tek një numër negativ.

Sidoqoftë, programi i kalkulatorit funksionon ndryshe. Në thelb, nxjerrja e një rrënje është duke e ngritur atë në fuqinë e kundërt. Rrënja katrore konsiderohet e ngritur në fuqinë 1/2 dhe rrënja kubike konsiderohet e ngritur në fuqinë 1/3. Formula për ngritjen në fuqinë e 1/3 mund të riorganizohet dhe të shprehet si 2/6. Rezultati është i njëjtë, por nuk mund të nxirret një rrënjë e tillë nga një numër negativ. Kështu, kalkulatori ynë llogarit rrënjët aritmetike vetëm nga numrat pozitivë.

rrënja e n-të

Një metodë e tillë e zbukuruar e llogaritjes së radikalëve ju lejon të përcaktoni rrënjët e çdo shkalle nga çdo shprehje. Ju mund të merrni rrënjën e pestë të një kubi të një numri ose radikalin e 19-të të një numri në fuqinë e 12-të. E gjithë kjo zbatohet në mënyrë elegante në formën e ngritjes në fuqinë e 3/5 ose 12/19, përkatësisht.

Le të shohim një shembull

Diagonalja e një katrori

Irracionaliteti i diagonales së një katrori ishte i njohur për grekët e lashtë. Ata u përballën me problemin e llogaritjes së diagonales së një katrori të sheshtë, pasi gjatësia e tij është gjithmonë proporcionale me rrënjën e dy. Formula për përcaktimin e gjatësisë së diagonales rrjedh nga dhe në fund merr formën:

d = a × sqrt(2).

Le të përcaktojmë radikalin katror të dy duke përdorur kalkulatorin tonë. Le të fusim vlerën 2 në qelizën "Numër(x)" dhe gjithashtu 2 në qelizën "Shkallë(n)" Si rezultat, marrim shprehjen sqrt (2) = 1.4142. Kështu, për të vlerësuar afërsisht diagonalen e një katrori, mjafton të shumëzojmë brinjën e tij me 1,4142.

konkluzioni

Gjetja e një radikali është një operacion standard aritmetik, pa të cilin llogaritjet shkencore ose të projektimit janë të domosdoshme. Natyrisht, nuk kemi nevojë të përcaktojmë rrënjët për të zgjidhur detyrat e përditshme, por kalkulatori ynë në internet do të jetë patjetër i dobishëm për nxënësit e shkollave ose studentët për të kontrolluar detyrat e shtëpisë në algjebër ose llogaritje.

Sa fjalë të zemëruara iu thanë atij? Ndonjëherë duket se rrënja e kubit është tepër e ndryshme nga rrënja katrore. Në fakt ndryshimi nuk është aq i madh. Sidomos nëse e kuptoni se ato janë vetëm raste të veçanta të një rrënjë të përbashkët të shkallës së n-të.

Megjithatë, mund të lindin probleme me nxjerrjen e tij. Por më shpesh ato shoqërohen me rëndimin e llogaritjeve.

Çfarë duhet të dini për rrënjën e një diplome arbitrare?

Së pari, një përkufizim i këtij koncepti. Rrënja n e disa "a" është një numër që, kur ngrihet në fuqinë n, jep origjinalin "a".

Për më tepër, ka shkallë çift dhe tek në rrënjë. Nëse n është çift, atëherë shprehja radikale mund të jetë vetëm zero ose numër pozitiv. Përndryshe nuk do të ketë përgjigje të vërtetë.

Kur shkalla është tek, atëherë ka një zgjidhje për çdo vlerë të "a". Mund të jetë edhe negative.

Së dyti, funksioni rrënjë mund të shkruhet gjithmonë si një fuqi, eksponenti i së cilës është një thyesë. Ndonjëherë kjo mund të jetë shumë e përshtatshme.

Për shembull, "a" në fuqinë 1/n do të jetë rrënja e n-të e "a". Në këtë rast, baza e shkallës është gjithmonë më e madhe se zero.

Në mënyrë të ngjashme, "a" në fuqinë n/m do të përfaqësohet si rrënja mth e "a n".

Së treti, të gjitha operacionet me fuqi janë të vlefshme për ta.

Ato mund të shumëzohen. Pastaj eksponentët mblidhen.
Rrënjët mund të ndahen. Do të duhet të zbriten gradat.
Dhe ngriteni atë në një fuqi. Pastaj ato duhet të shumëzohen. Domethënë, shkalla që ishte, deri në atë në të cilën janë ngritur.

Cilat janë ngjashmëritë dhe ndryshimet midis rrënjëve katrore dhe kubike?

Ata janë të ngjashëm, si vëllezërit e motrat, vetëm gradat e tyre janë të ndryshme. Dhe parimi i llogaritjes së tyre është i njëjtë, ndryshimi i vetëm është se sa herë numri duhet të shumëzohet në vetvete për të marrë shprehjen radikale.

Dhe ndryshimi domethënës u përmend pak më lart. Por nuk do të dëmtonte ta përsërisja. Katrori nxirret vetëm nga një numër jo negativ. Ndërsa llogaritja e rrënjës së kubit të një vlere negative nuk është e vështirë.

Nxjerrja e rrënjës së kubit në një kalkulator

Të gjithë e kanë bërë këtë për rrënjë katrore të paktën një herë. Por, çka nëse diploma është "3"?

Në një kalkulator të rregullt ka vetëm një buton për katrorin, por jo për kub. Një kërkim i thjeshtë i numrave që shumëzohen me veten e tyre tre herë do të ndihmojë këtu. Keni një shprehje radikale? Pra, kjo është përgjigja. Nuk funksionoi? Zgjidh përsëri.

Cila është forma inxhinierike e një kalkulatori në një kompjuter? Horay, këtu ka një rrënjë kubike. Ju thjesht mund të shtypni këtë buton dhe programi do t'ju japë përgjigjen. Por kjo nuk është e gjitha. Këtu mund të llogaritni jo vetëm rrënjët e shkallës 2 dhe 3, por edhe çdo arbitrare. Sepse ka një buton që ka "y" në shkallën rrënjësore. Kjo do të thotë, pasi të shtypni këtë çelës, do t'ju duhet të vendosni një numër tjetër, i cili do të jetë i barabartë me shkallën e rrënjës, dhe vetëm atëherë "=".

Nxjerrja e rrënjëve të kubit me dorë

Kjo metodë do të kërkohet kur një kalkulator nuk është pranë ose nuk mund të përdoret. Pastaj, për të llogaritur rrënjën kubike të një numri, do t'ju duhet të bëni një përpjekje.

Së pari, shikoni nëse një kub i plotë është marrë nga ndonjë vlerë e plotë. Ndoshta rrënja është 2, 3, 5 ose 10 në fuqinë e tretë?

Ndani mendërisht shprehjen radikale në grupe me tre shifra nga pika dhjetore. Më shpesh keni nevojë për një pjesë të pjesshme. Nëse nuk është aty, atëherë duhet të shtohen zero.
Përcaktoni numrin kubi i të cilit është më i vogël se pjesa e plotë e shprehjes radikale. Shkruajeni atë në përgjigjen e ndërmjetme mbi shenjën e rrënjës. Dhe nën këtë grup vendosni kubin e tij.
Kryeni zbritjen.
Shtoni grupin e parë të shifrave pas presjes dhjetore në pjesën e mbetur.
Në draft, shkruani shprehjen: a 2 * 300 * x + a * 30 * x 2 + x 3. Këtu "a" është një përgjigje e ndërmjetme, "x" është një numër që është më i vogël se mbetja që rezulton me numrat që i janë caktuar.
Numri “x” duhet të shkruhet pas presjes dhjetore të përgjigjes së ndërmjetme. Dhe shkruani vlerën e gjithë kësaj shprehjeje nën pjesën e mbetur që po krahasohet.
Nëse saktësia është e mjaftueshme, atëherë ndaloni llogaritjet. Përndryshe, duhet të ktheheni në pikën numër 3.

Një shembull ilustrues i llogaritjes së një rrënjë kubike

Është e nevojshme sepse përshkrimi mund të duket i ndërlikuar. Figura më poshtë tregon se si të merrni rrënjën e kubit të 15 në të qindtën më të afërt.

E vetmja vështirësi që ka kjo metodë është se me çdo hap numrat rriten shumë herë dhe numërimi në një kolonë bëhet gjithnjë e më i vështirë.

15> 2 3, që do të thotë 8 është shkruar nën pjesën e plotë, dhe 2 është shkruar mbi rrënjë.
Pasi të kemi zbritur tetë nga 15, pjesa e mbetur është 7. Duhet t'i shtohen tre zero.
a = 2. Prandaj: 2 2 * 300 * x +2 * 30 * x 2 + x 3< 7000, или 1200 х + 60 х 2 + х 3 < 7000.
Duke përdorur metodën e përzgjedhjes, rezulton se x = 4. 1200 * 4 + 60 * 16 + 64 = 5824.
Zbritja jep 1176, dhe numri 4 shfaqet mbi rrënjë.
Shtoni tre zero në pjesën e mbetur.
a = 24. Pastaj 172800 x + 720 x 2 + x 3< 1176000.
x = 6. Vlerësimi i shprehjes jep rezultatin 1062936. Pjesa e mbetur: 113064, mbi rrënjën 6.
Shtoni zero përsëri.
a = 246. Pabarazia rezulton kështu: 18154800x + 7380x 2 + x 3< 113064000.
x = 6. Llogaritjet japin numrin: 109194696, Pjesa e mbetur: 3869304. Mbi rrënjën 6.

Përgjigja është numri: 2.466 Meqenëse përgjigja duhet të jepet në të qindtën më të afërt, duhet të rrumbullakoset: 2.47.

Një mënyrë e pazakontë për të nxjerrë rrënjët e kubit

Mund të përdoret kur përgjigja është një numër i plotë. Pastaj rrënja e kubit nxirret duke e zbërthyer shprehjen radikale në terma tek. Për më tepër, duhet të ketë numrin minimal të mundshëm të termave të tillë.

Për shembull, 8 përfaqësohet nga shuma e 3 dhe 5. Dhe 64 = 13 + 15 + 17 + 19.

Përgjigja do të jetë një numër që është i barabartë me numrin e termave. Pra, rrënja kubike e 8 do të jetë e barabartë me dy, dhe e 64 - katër.

Nëse rrënja është 1000, atëherë zbërthimi i saj në terma do të jetë 91 + 109 + 93 + 107 + 95 + 105 + 97 + 103 + 99 + 101. Gjithsej janë 10 terma. Kjo është përgjigja.

Postuar në faqen tonë të internetit. Marrja e rrënjës së një numri përdoret shpesh në llogaritje të ndryshme, dhe kalkulatori ynë është një mjet i shkëlqyer për llogaritje të tilla matematikore.

Një kalkulator në internet me rrënjë do t'ju lejojë të bëni shpejt dhe me lehtësi çdo llogaritje që përfshin nxjerrjen e rrënjëve. Rrënja e tretë mund të llogaritet po aq lehtë sa rrënja katrore e një numri, rrënja e një numri negativ, rrënja e një numri kompleks, rrënja e pi, etj.

Llogaritja e rrënjës së një numri është e mundur me dorë. Nëse është e mundur të llogarisim rrënjën e plotë të një numri, atëherë thjesht gjejmë vlerën e shprehjes radikale duke përdorur tabelën e rrënjëve. Në raste të tjera, llogaritja e përafërt e rrënjëve reduktohet në zbërthimin e shprehjes radikale në një produkt prej më shumë faktorët kryesorë, të cilat janë fuqi dhe mund të hiqen pas shenjës së rrënjës, duke e thjeshtuar sa më shumë shprehjen nën rrënjë.

Por ju nuk duhet të përdorni këtë zgjidhje rrënjësore. Dhe ja pse. Së pari, do t'ju duhet të shpenzoni shumë kohë në llogaritje të tilla. Numrat në rrënjë, ose më saktë, shprehjet mund të jenë mjaft komplekse, dhe shkalla nuk është domosdoshmërisht kuadratike ose kubike. Së dyti, saktësia e llogaritjeve të tilla nuk është gjithmonë e kënaqshme. Dhe së treti, ekziston një kalkulator i rrënjës në internet që do të bëjë çdo nxjerrje rrënjë për ju brenda pak sekondash.

Të nxjerrësh një rrënjë nga një numër do të thotë të gjesh një numër që, kur të rritet në fuqinë n, do të jetë i barabartë me vlerën e shprehjes radikale, ku n është fuqia e rrënjës dhe vetë numri është baza e rrënjë. Rrënja e shkallës së dytë quhet e thjeshtë ose katrore, dhe rrënja e shkallës së tretë quhet kubike, duke lënë jashtë treguesin e shkallës në të dyja rastet.

Zgjidhja e rrënjëve në kalkulator në internet vjen vetëm në shkrimin e një shprehje matematikore në rreshtin e hyrjes. Nxjerrja nga një rrënjë në kalkulator përcaktohet si sqrt dhe kryhet duke përdorur tre çelësa - ekstrakt rrënjë katrore sqrt(x), rrënja kubike sqrt3(x) dhe rrënja e ntë sqrt(x,y). Informacion më të detajuar rreth panelit të kontrollit është paraqitur në faqe.

Rrënja katrore

Duke klikuar këtë buton do të futet hyrja e rrënjës katrore në vijën hyrëse: sqrt(x), ju duhet vetëm të futni shprehjen radikale dhe të mbyllni kllapat.

Shembull zgjidhje rrënjë katrore në kalkulator:

Nëse rrënja është numër negativ dhe shkalla e rrënjës është çift, atëherë përgjigja do të paraqitet si numër kompleks me njësi imagjinare i.

Rrënja katrore e një numri negativ:

Rrënja e tretë

Përdoreni këtë çelës kur duhet të merrni rrënjën e kubit. Ai fut hyrjen sqrt3(x) në linjën hyrëse.

Rrënja e shkallës së tretë:

Rrënja e shkallës n

Natyrisht, llogaritësi i rrënjëve në internet ju lejon të nxirrni jo vetëm rrënjët katrore dhe kubike të një numri, por edhe rrënjën e shkallës n. Duke klikuar këtë buton do të shfaqet një hyrje si sqrt(x x,y).

Rrënja e 4-të:

Rrënja e saktë e n-të e një numri mund të nxirret vetëm nëse vetë numri është vlerën e saktë shkallë n. Përndryshe, llogaritja do të rezultojë e përafërt, megjithëse shumë afër idealit, pasi saktësia e llogaritjeve të kalkulatorit online arrin në 14 shifra dhjetore.

Rrënja e 5-të me rezultat të përafërt:

Rrënja e një thyese

Llogaritësi mund të llogarisë rrënjën nga numra të ndryshëm dhe shprehjet. Gjetja e rrënjës së një thyese zbret në nxjerrjen e veçantë të rrënjës së numëruesit dhe emëruesit.

Rrënja katrore e një thyese:

Rrënjë nga rrënja

Në rastet kur rrënja e shprehjes është nën rrënjë, sipas vetive të rrënjëve, ato mund të zëvendësohen me një rrënjë, shkalla e së cilës do të jetë e barabartë me prodhimin e shkallëve të të dyjave. E thënë thjesht, për të nxjerrë një rrënjë nga një rrënjë, mjafton të shumëzoni treguesit e rrënjëve. Në shembullin e paraqitur në figurë, shprehja rrënjë e shkallës së tretë të rrënjës së shkallës së dytë mund të zëvendësohet me një rrënjë të shkallës së 6-të. Specifikoni shprehjen sipas dëshirës. Në çdo rast, kalkulatori do të llogarisë gjithçka në mënyrë korrekte.

Një shembull se si të nxirret një rrënjë nga një rrënjë: