Formula për llogaritjen e pritshmërisë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Vetitë e pritjes matematikore. Pritshmëria kur luani poker

Kapitulli 6.

Karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastit

Pritshmëria matematikore dhe vetitë e saj

Për të zgjidhur shumë probleme praktike, nuk kërkohet gjithmonë njohuri për të gjitha vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabilitetet e tyre. Për më tepër, ndonjëherë ligji i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme në studim është thjesht i panjohur. Megjithatë, është e nevojshme të theksohen disa veçori të kësaj ndryshoreje të rastësishme, me fjalë të tjera, karakteristikat numerike.

Karakteristikat numerike– këta janë disa numra që karakterizojnë veti të caktuara, veçori dalluese të një ndryshoreje të rastësishme.

Për shembull, vlera mesatare e një ndryshoreje të rastësishme, përhapja mesatare e të gjitha vlerave të një ndryshoreje të rastësishme rreth mesatares së saj, etj. Qëllimi kryesor i karakteristikave numerike është të shprehin në një formë koncize tiparet më të rëndësishme të shpërndarjes së ndryshores së rastësishme në studim. Karakteristikat numerike luajnë një rol të madh në teorinë e probabilitetit. Ato ndihmojnë në zgjidhjen, edhe pa njohuri për ligjet e shpërndarjes, shumë probleme të rëndësishme praktike.

Ndër të gjitha karakteristikat numerike, së pari theksojmë karakteristikat e pozicionit. Këto janë karakteristika që rregullojnë pozicionin e një ndryshoreje të rastësishme në boshtin numerik, d.m.th. një vlerë mesatare e caktuar rreth së cilës grupohen vlerat e mbetura të ndryshores së rastësishme.

Nga karakteristikat e një pozicioni, rolin më të madh në teorinë e probabilitetit e luan pritshmëria matematikore.

pritje ndonjëherë quhet thjesht mesatarja e një ndryshoreje të rastësishme. Është një lloj qendre shpërndarjeje.

Pritja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Le të shqyrtojmë së pari konceptin e pritshmërisë matematikore për një ndryshore të rastësishme diskrete.

Përpara se të prezantojmë një përkufizim zyrtar, le të zgjidhim problemin e thjeshtë të mëposhtëm.

Shembull 6.1. Lëreni një gjuajtës të caktuar të bëjë 100 të shtëna në një objektiv. Si rezultat, u mor fotografia e mëposhtme: 50 të shtëna - goditja e "tetës", 20 të shtëna - goditja e "nëntës" dhe 30 - goditja e "dhjetës". Cili është rezultati mesatar për një gjuajtje?

Zgjidhje Ky problem është i dukshëm dhe zbret në gjetjen e vlerës mesatare të 100 numrave, përkatësisht pikëve.

Ne e transformojmë thyesën duke pjesëtuar numëruesin me emëruesin me termin dhe paraqesim vlerën mesatare në formën e formulës së mëposhtme:

Le të supozojmë tani se numri i pikëve në një goditje janë vlerat e disa ndryshoreve diskrete të rastit X. Nga deklarata e problemit është e qartë se X 1 =8; X 2 =9; X 3 = 10. Janë të njohura frekuencat relative të shfaqjes së këtyre vlerave, të cilat, siç dihet, me një numër të madh testesh janë afërsisht të barabarta me probabilitetet e vlerave përkatëse, d.m.th. r 1 ≈0,5;r 2 ≈0,2; r 3 ≈0.3. Pra,. Vlera në anën e djathtë është pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete X është shuma e produkteve të të gjitha vlerave të tij të mundshme dhe probabiliteteve të këtyre vlerave.

Lëreni ndryshoren e rastësishme diskrete Xështë dhënë nga seria e saj e shpërndarjes:

Pastaj pritshmëria matematikore M(X) e një ndryshoreje të rastësishme diskrete përcaktohet nga formula e mëposhtme:

Nëse një ndryshore e rastësishme diskrete merr një grup vlerash të pafundme të numërueshme, atëherë pritshmëria matematikore shprehet me formulën:

,

Për më tepër, pritshmëria matematikore ekziston nëse seria në anën e djathtë të barazisë konvergon absolutisht.

Shembull 6.2 . Gjeni pritshmërinë matematikore për të fituar X sipas kushteve të shembullit 5.1.

Zgjidhje . Kujtojmë se seria e shpërndarjes X ka formën e mëposhtme:

marrim M(X)=0∙0,7+10∙0,2+50∙0,1=7. Natyrisht, 7 rubla është një çmim i drejtë për një biletë në këtë llotari, pa kosto të ndryshme, për shembull, të lidhura me shpërndarjen ose prodhimin e biletave. ■

Shembull 6.3 . Lëreni ndryshoren e rastësishme Xështë numri i ndodhive të ndonjë ngjarjeje A në një provë. Probabiliteti i kësaj ngjarje është r. Gjeni M(X).

Zgjidhje. Natyrisht, vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme janë: X 1 =0 – ngjarje A nuk u shfaq dhe X 2 = 1 - ngjarje A u shfaq. Seria e shpërndarjes duket si kjo:

Pastaj M(X) = 0∙(1−r)+1∙r= r. ■

Pra, pritshmëria matematikore e numrit të ndodhive të një ngjarjeje në një provë është e barabartë me probabilitetin e kësaj ngjarjeje.

Në fillim të paragrafit u dha një problem specifik, ku tregohej lidhja midis pritshmërisë matematikore dhe vlerës mesatare të një ndryshoreje të rastësishme. Le ta shpjegojmë këtë në terma të përgjithshëm.

Le të prodhohet k teste në të cilat ndryshorja e rastit X pranuar k 1 vlerë kohore X 1 ; k 2 herë vlera X 2, etj. dhe në fund k n herë vlerën xn.Është e qartë se k 1 +k 2 +…+k n = k. Le të gjejmë mesataren aritmetike të të gjitha këtyre vlerave që kemi

Vini re se një fraksion është frekuenca relative e shfaqjes së një vlere x i V k testet. Me një numër të madh testesh, frekuenca relative është afërsisht e barabartë me probabilitetin, d.m.th. . Nga kjo rrjedh se

.

Kështu, pritshmëria matematikore është afërsisht e barabartë me mesataren aritmetike të vlerave të vëzhguara të ndryshores së rastësishme, dhe sa më e saktë, aq më i madh është numri i testeve - kjo është kuptimi probabilistik i pritjes matematikore.

Vlera e pritur ndonjëherë quhet qendër shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme, pasi është e qartë se vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme janë të vendosura në boshtin numerik në të majtë dhe në të djathtë të pritjes së saj matematikore.

Le të kalojmë tani te koncepti i pritjes matematikore për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme.

Ndryshore e rastësishme Një variabël quhet një variabël që, si rezultat i çdo testi, merr një vlerë të panjohur më parë, në varësi të arsyeve të rastësishme. Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha latine: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Sipas llojit të tyre, variablat e rastësishëm mund të jenë diskrete Dhe të vazhdueshme.

Ndryshore diskrete e rastësishme- kjo është një ndryshore e rastësishme, vlerat e së cilës nuk mund të jenë më shumë se të numërueshme, domethënë të fundme ose të numërueshme. Me numërueshmëri nënkuptojmë që vlerat e një ndryshoreje të rastësishme mund të numërohen.

Shembulli 1 . Këtu janë shembuj të ndryshoreve të rastësishme diskrete:

a) numri i goditjeve në objektiv me $n$ goditje, këtu vlerat e mundshme janë $0,\ 1, \ \dots,\ n$.

b) numri i emblemave të rënë gjatë hedhjes së një monedhe, këtu vlerat e mundshme janë $0,\ 1,\ \dots,\ n$.

c) numrin e anijeve që mbërrijnë në bord (një grup vlerash të numërueshme).

d) numrin e thirrjeve që mbërrijnë në PBX (bashkësi vlerash e numërueshme).

1. Ligji i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Një ndryshore diskrete e rastësishme $X$ mund të marrë vlerat $x_1,\dots,\ x_n$ me probabilitete $p\left(x_1\djathtas),\ \dots,\ p\left(x_n\djathtas)$. Korrespondenca midis këtyre vlerave dhe probabiliteteve të tyre quhet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Si rregull, kjo korrespondencë specifikohet duke përdorur një tabelë, rreshti i parë i së cilës tregon vlerat $x_1,\dots,\ x_n$, dhe rreshti i dytë përmban probabilitetet $p_1,\dots,\ p_n$ që korrespondojnë me këto vlera.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \pika & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\fund (arresë)$

Shembulli 2 . Lëreni variablin e rastësishëm $X$ të jetë numri i pikëve të rrokullisur kur hidhet një peshore. Një variabël i tillë i rastësishëm $X$ mund të marrë vlerat e mëposhtme: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitetet e të gjitha këtyre vlerave janë të barabarta me 1/6$. Pastaj ligji i shpërndarjes së probabilitetit të ndryshores së rastësishme $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\fund (arresë)$

Koment. Meqenëse në ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme $X$, ngjarjet $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ formojnë një grup të plotë ngjarjesh, atëherë shuma e probabiliteteve duhet të jetë e barabartë me një, domethënë $ \sum(p_i)=1$.

2. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme vendos kuptimin e tij “qendror”. Për një ndryshore të rastësishme diskrete, pritshmëria matematikore llogaritet si shuma e produkteve të vlerave $x_1,\dots,\ x_n$ nga probabilitetet $p_1,\dots,\ p_n$ që korrespondojnë me këto vlera, d.m.th. : $M\majtas(X\djathtas)=\shuma ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Në literaturën në gjuhën angleze, përdoret një shënim tjetër $E\left(X\right)$.

Vetitë e pritjes matematikore$M\majtas(X\djathtas)$:

1. $M\left(X\right)$ shtrihet midis vlerave më të vogla dhe më të mëdha të ndryshores së rastësishme $X$.
2. Pritja matematikore e një konstante është e barabartë me vetë konstanten, d.m.th. $M\majtas(C\djathtas)=C$.
3. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Pritshmëria matematikore e shumës së variablave të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve të tyre matematikore: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\djathtas)+M\left(Y\djathtas)$.
5. Pritshmëria matematikore e prodhimit të ndryshoreve të pavarura të rastësishme është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Shembulli 3 . Le të gjejmë pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

$$M\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\mbi (6))+2\cdot ((1)\mbi (6) )+3\cdot ((1)\mbi (6))+4\cdot ((1)\mbi (6))+5\cdot ((1)\mbi (6))+6\cdot ((1 )\mbi (6))=3.5.$$

Mund të vërejmë se $M\left(X\right)$ shtrihet midis vlerave më të vogla ($1$) dhe më të mëdha ($6$) të ndryshores së rastësishme $X$.

Shembulli 4 . Dihet se pritshmëria matematikore e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $M\left(X\right)=2$. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $3X+5$.

Duke përdorur veçoritë e mësipërme, marrim $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\djathtas)+M\left(5\djathtas)=3M\majtas(X\djathtas)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Shembulli 5 . Dihet se pritshmëria matematikore e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $M\left(X\right)=4$. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $2X-9$.

Duke përdorur veçoritë e mësipërme, marrim $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\djathtas)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Vlerat e mundshme të variablave të rastësishëm me pritshmëri të barabarta matematikore mund të shpërndahen ndryshe rreth vlerave të tyre mesatare. Për shembull, në dy grupe studentësh rezultati mesatar për provimin në teorinë e probabilitetit doli të ishte 4, por në një grup rezultuan të gjithë studentë të mirë dhe në grupin tjetër kishte vetëm studentë C dhe studentë të shkëlqyer. Prandaj, ekziston nevoja për një karakteristikë numerike të një ndryshoreje të rastësishme që do të tregonte përhapjen e vlerave të ndryshores së rastësishme rreth pritshmërisë së saj matematikore. Kjo karakteristikë është dispersioni.

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete$X$ është e barabartë me:

$$D\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\djathtas)\djathtas))^2).\ $$

Në literaturën angleze përdoret shënimi $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Shumë shpesh varianca $D\left(X\right)$ llogaritet duke përdorur formulën $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ majtas(X \djathtas)\djathtas))^2$.

Vetitë e dispersionit$D\majtas(X\djathtas)$:

1. Varianca është gjithmonë më e madhe ose e barabartë me zero, d.m.th. $D\majtas(X\djathtas)\ge 0$.
2. Varianca e konstantës është zero, d.m.th. $D\majtas(C\djathtas)=0$.
3. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e dispersionit me kusht që të jetë në katror, ​​d.m.th. $D\left(CX\djathtas)=C^2D\majtas(X\djathtas)$.
4. Varianca e shumës së variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të tyre, d.m.th. $D\majtas(X+Y\djathtas)=D\majtas(X\djathtas)+D\majtas(Y\djathtas)$.
5. Varianca e diferencës ndërmjet ndryshoreve të pavarura të rastit është e barabartë me shumën e variancave të tyre, d.m.th. $D\majtas(X-Y\djathtas)=D\majtas(X\djathtas)+D\majtas(Y\djathtas)$.

Shembulli 6 . Le të llogarisim variancën e ndryshores së rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

$$D\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\djathtas)\djathtas))^2)=((1)\mbi (6))\cdot (\majtas(1-3,5\djathtas))^2+((1)\mbi (6))\cdot (\majtas(2-3,5\djathtas))^2+ \pika +( (1)\mbi (6))\cdot (\majtas(6-3,5\djathtas))^2=((35)\mbi (12))\afërsisht 2,92.$$

Shembulli 7 . Dihet se varianca e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $D\left(X\right)=2$. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme $4X+1$.

Duke përdorur vetitë e mësipërme, gjejmë $D\left(4X+1\djathtas)=D\majtas(4X\djathtas)+D\left(1\djathtas)=4^2D\majtas(X\djathtas)+0= 16D\ majtas(X\djathtas)=16\cdot 2=32$.

Shembulli 8 . Dihet se varianca e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $D\left(X\right)=3$. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme $3-2X$.

Duke përdorur vetitë e mësipërme, gjejmë $D\left(3-2X\right)=D\left(3\djathtas)+D\left(2X\djathtas)=0+2^2D\left(X\djathtas)= 4D\ majtas(X\djathtas)=4\cdot 3=12$.

4. Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Metoda e paraqitjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete në formën e një serie shpërndarjeje nuk është e vetmja, dhe më e rëndësishmja, nuk është universale, pasi një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme nuk mund të specifikohet duke përdorur një seri shpërndarjeje. Ekziston një mënyrë tjetër për të paraqitur një ndryshore të rastësishme - funksioni i shpërndarjes.

Funksioni i shpërndarjes ndryshorja e rastësishme $X$ quhet një funksion $F\left(x\right)$, i cili përcakton probabilitetin që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë një vlerë më të vogël se një vlerë fikse $x$, domethënë $F\ majtas(x\djathtas)=P\majtas(X< x\right)$

Vetitë e funksionit të shpërndarjes:

1. $0\le F\majtas(x\djathtas)\le 1$.
2. Probabiliteti që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë vlera nga intervali $\left(\alpha ;\ \beta \djathtas)$ është e barabartë me diferencën midis vlerave të funksionit të shpërndarjes në fund të këtij intervali: $P\majtas(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\djathtas)$ - jo në rënie.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x \djathtas)=1\ )$.

Shembulli 9 . Le të gjejmë funksionin e shpërndarjes $F\left(x\right)$ për ligjin e shpërndarjes së ndryshores diskrete të rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\fund (arresë)$

Nëse $x\le 1$, atëherë, padyshim, $F\left(x\right)=0$ (duke përfshirë për $x=1$ $F\left(1\djathtas)=P\majtas(X< 1\right)=0$).

Nëse $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Nëse 2 dollarë< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Nëse 3 dollarë< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Nëse 4 dollarë< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Nëse 5 dollarë< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Nëse $x > 6$, atëherë $F\majtas(x\djathtas)=P\majtas(X=1\djathtas)+P\majtas(X=2\djathtas)+P\majtas(X=3\djathtas) +P\majtas(X=4\djathtas)+P\majtas(X=5\djathtas)+P\majtas(X=6\djathtas)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Pra, $F(x)=\majtas\(\fillimi(matrica)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, në \ 1< x\le 2,\\
1/3, \ në \ 2< x\le 3,\\
1/2, në \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ në\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ për\ x > 6.
\fund(matricë)\djathtas.$

Koncepti i pritshmërisë matematikore mund të konsiderohet duke përdorur shembullin e hedhjes së një trupi. Me çdo gjuajtje, pikat e hedhura regjistrohen. Për t'i shprehur ato, përdoren vlera natyrore në intervalin 1 - 6.

Pas një numri të caktuar hedhjesh, duke përdorur llogaritjet e thjeshta, mund të gjeni mesataren aritmetike të pikëve të rrotulluara.

Ashtu si shfaqja e ndonjë prej vlerave në interval, kjo vlerë do të jetë e rastësishme.

Po sikur të rrisni disa herë numrin e gjuajtjeve? Me një numër të madh hedhjesh, mesatarja aritmetike e pikëve do t'i afrohet një numri specifik, i cili në teorinë e probabilitetit quhet pritshmëri matematikore.

Pra, me pritshmëri matematikore nënkuptojmë vlerën mesatare të një ndryshoreje të rastësishme. Ky tregues mund të paraqitet edhe si një shumë e ponderuar e vlerave të mundshme të vlerës.

Ky koncept ka disa sinonime:

• mesatare;
• vlera mesatare;
• tregues i tendencës qendrore;
• momentin e parë.

Me fjalë të tjera, nuk është gjë tjetër veçse një numër rreth të cilit shpërndahen vlerat e një ndryshoreje të rastësishme.

Në sfera të ndryshme të veprimtarisë njerëzore, qasjet për të kuptuar pritshmërinë matematikore do të jenë disi të ndryshme.

Mund të konsiderohet si:

• përfitimi mesatar i marrë nga marrja e një vendimi, kur një vendim i tillë konsiderohet nga pikëpamja e teorisë së numrave të mëdhenj;
• shuma e mundshme e fitimit ose humbjes (teoria e lojërave të fatit), e llogaritur mesatarisht për çdo bast. Në zhargon, ato tingëllojnë si "përparësia e lojtarit" (pozitive për lojtarin) ose "përparësia e kazinosë" (negative për lojtarin);
• përqindja e fitimit të marrë nga fitimet.

Pritshmëria nuk është e detyrueshme për absolutisht të gjitha variablat e rastësishme. Mungon për ata që kanë mospërputhje në shumën ose integralin përkatës.

Vetitë e pritjes matematikore

Ashtu si çdo parametër statistikor, pritshmëria matematikore ka vetitë e mëposhtme:

Formulat bazë për pritjet matematikore

Llogaritja e pritshmërisë matematikore mund të kryhet si për variabla të rastësishme të karakterizuara nga vazhdimësia (formula A) dhe diskrete (formula B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, ku xi janë vlerat e ndryshores së rastësishme, pi janë probabilitetet:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, ku f(x) është dendësia e dhënë e probabilitetit.

Shembuj të llogaritjes së pritjeve matematikore

Shembulli A.

A është e mundur të zbulohet lartësia mesatare e xhuxhëve në përrallën për Borëbardhën. Dihet se secili nga 7 xhuxhët kishte një lartësi të caktuar: 1.25; 0,98; 1.05; 0,71; 0,56; 0,95 dhe 0,81 m.

Algoritmi i llogaritjes është mjaft i thjeshtë:

• gjejmë shumën e të gjitha vlerave të treguesit të rritjes (ndryshore e rastësishme):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Ndani shumën që rezulton me numrin e gnomeve:
  6,31:7=0,90.

Kështu, lartësia mesatare e gnomes në një përrallë është 90 cm. Me fjalë të tjera, kjo është pritshmëria matematikore e rritjes së gnomes.

Formula e punës - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6

Zbatimi praktik i pritshmërisë matematikore

Llogaritja e treguesit statistikor të pritjes matematikore përdoret në fusha të ndryshme të veprimtarisë praktike. Para së gjithash, ne po flasim për sferën tregtare. Në fund të fundit, prezantimi i këtij treguesi nga Huygens shoqërohet me përcaktimin e shanseve që mund të jenë të favorshme, ose, përkundrazi, të pafavorshme, për ndonjë ngjarje.

Ky parametër përdoret gjerësisht për të vlerësuar rreziqet, veçanërisht kur bëhet fjalë për investime financiare.
Kështu, në biznes, llogaritja e pritjeve matematikore vepron si një metodë për vlerësimin e rrezikut gjatë llogaritjes së çmimeve.

Ky tregues mund të përdoret gjithashtu për të llogaritur efektivitetin e masave të caktuara, për shembull, mbrojtjen e punës. Falë tij, ju mund të llogarisni probabilitetin e një ngjarjeje.

Një fushë tjetër e zbatimit të këtij parametri është menaxhimi. Mund të llogaritet edhe gjatë kontrollit të cilësisë së produktit. Për shembull, duke përdorur mat. pritjet, ju mund të llogarisni numrin e mundshëm të pjesëve me defekt të prodhuara.

Pritshmëria matematikore rezulton të jetë gjithashtu e domosdoshme gjatë kryerjes së përpunimit statistikor të rezultateve të marra gjatë kërkimit shkencor. Kjo ju lejon të llogaritni probabilitetin e një rezultati të dëshiruar ose të padëshiruar të një eksperimenti ose studimi në varësi të nivelit të arritjes së qëllimit. Në fund të fundit, arritja e tij mund të shoqërohet me fitim dhe përfitim, dhe dështimi i tij mund të shoqërohet me humbje ose humbje.

Përdorimi i pritjeve matematikore në Forex

Zbatimi praktik i këtij parametri statistikor është i mundur gjatë kryerjes së operacioneve në tregun valutor. Me ndihmën e tij, ju mund të analizoni suksesin e transaksioneve tregtare. Për më tepër, një rritje në vlerën e pritshmërisë tregon një rritje të suksesit të tyre.

Është gjithashtu e rëndësishme të mbani mend se pritshmëria matematikore nuk duhet të konsiderohet si parametri i vetëm statistikor i përdorur për të analizuar performancën e një tregtari. Përdorimi i disa parametrave statistikorë së bashku me vlerën mesatare rrit ndjeshëm saktësinë e analizës.

Ky parametër është dëshmuar mirë në monitorimin e vëzhgimeve të llogarive tregtare. Falë tij, bëhet një vlerësim i shpejtë i punës së kryer në llogarinë e depozitës. Në rastet kur veprimtaria e tregtarit është e suksesshme dhe ai shmang humbjet, nuk rekomandohet të përdoret ekskluzivisht llogaritja e pritshmërisë matematikore. Në këto raste nuk merren parasysh rreziqet, gjë që ul efektivitetin e analizës.

Studimet e kryera të taktikave të tregtarëve tregojnë se:

• Taktikat më efektive janë ato të bazuara në hyrje të rastësishme;
• Më pak efektive janë taktikat e bazuara në inpute të strukturuara.

Po aq e rëndësishme në arritjen e rezultateve pozitive:

• taktikat e menaxhimit të parave;
• strategjitë e daljes.

Duke përdorur një tregues të tillë si pritshmëria matematikore, mund të parashikoni se cili do të jetë fitimi ose humbja kur investoni 1 dollar. Dihet se ky tregues, i llogaritur për të gjitha lojërat e praktikuara në kazino, është në favor të institucionit. Kjo është ajo që ju lejon të fitoni para. Në rastin e një serie të gjatë lojërash, gjasat që një klient të humbasë para rritet ndjeshëm.

Lojërat e luajtura nga lojtarët profesionistë janë të kufizuara në periudha të shkurtra kohore, gjë që rrit gjasat për të fituar dhe redukton rrezikun e humbjes. I njëjti model vërehet kur kryhen operacione investimi.

Një investitor mund të fitojë një shumë të konsiderueshme duke pasur pritshmëri pozitive dhe duke kryer një numër të madh transaksionesh në një periudhë të shkurtër kohore.

Pritshmëria mund të konsiderohet si diferenca midis përqindjes së fitimit (PW) të shumëzuar me fitimin mesatar (AW) dhe probabilitetit të humbjes (PL) shumëzuar me humbjen mesatare (AL).

Si shembull, mund të marrim si më poshtë: pozicioni – 12,5 mijë dollarë, portofoli – 100 mijë dollarë, rreziku i depozitave – 1%. Rentabiliteti i transaksioneve është 40% e rasteve me një fitim mesatar prej 20%. Në rast humbjeje, humbja mesatare është 5%. Llogaritja e pritshmërisë matematikore për transaksionin jep një vlerë prej $625.

Zgjidhja:

6.1.2 Vetitë e pritjes matematikore

1. Pritja matematikore e një vlere konstante është e barabartë me vetë konstantën.

2. Faktori konstant mund të merret si shenjë e pritjes matematikore.

3. Pritshmëria matematikore e prodhimit të dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore.

Kjo veti është e vërtetë për një numër arbitrar të ndryshoreve të rastësishme.

4. Pritshmëria matematikore e shumës së dy ndryshoreve të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave.

Kjo veti është gjithashtu e vërtetë për një numër arbitrar të ndryshoreve të rastit.

Shembull: M(X) = 5, M(Y)= 2. Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme Z, duke zbatuar vetitë e pritjes matematikore, nëse dihet se Z=2X+3Y.

Zgjidhja: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) pritshmëria matematikore e shumës është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore

2) faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore

Le të kryhen n prova të pavarura, probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A në të cilën është i barabartë me p. Atëherë vlen teorema e mëposhtme:

Teorema. Pritja matematikore M(X) e numrit të dukurive të ngjarjes A në n prova të pavarura është e barabartë me produktin e numrit të provave dhe probabilitetit të ndodhjes së ngjarjes në çdo provë.

6.1.3 Dispersioni i një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Pritja matematikore nuk mund të karakterizojë plotësisht një proces të rastësishëm. Përveç pritjes matematikore, është e nevojshme të futet një vlerë që karakterizon devijimin e vlerave të ndryshores së rastësishme nga pritshmëria matematikore.

Ky devijim është i barabartë me diferencën midis ndryshores së rastësishme dhe pritjes së saj matematikore. Në këtë rast, pritshmëria matematikore e devijimit është zero. Kjo shpjegohet me faktin se disa devijime të mundshme janë pozitive, të tjera janë negative, dhe si rezultat i anulimit të tyre të ndërsjellë, fitohet zero.

Dispersion (shpërndarje) i një ndryshoreje të rastësishme diskrete është pritshmëria matematikore e devijimit në katror të ndryshores së rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore.

Në praktikë, kjo metodë e llogaritjes së variancës është e papërshtatshme, sepse çon në llogaritje të rënda për një numër të madh vlerash të ndryshoreve të rastësishme.

Prandaj, përdoret një metodë tjetër.

Teorema. Varianca është e barabartë me diferencën midis pritjes matematikore të katrorit të ndryshores së rastësishme X dhe katrorit të pritjes së saj matematikore.

Dëshmi. Duke marrë parasysh faktin se pritshmëria matematikore M(X) dhe katrori i pritjes matematikore M2(X) janë sasi konstante, mund të shkruajmë:

Shembull. Gjeni variancën e një ndryshoreje të rastësishme diskrete të dhënë nga ligji i shpërndarjes.

Zgjidhja:.

6.1.4 Vetitë e dispersionit

1. Varianca e një vlere konstante është zero. .

2. Faktori konstant mund të nxirret nga shenja e dispersionit duke e kuadruar atë. .

3. Varianca e shumës së dy variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të këtyre variablave. .

4. Varianca e diferencës ndërmjet dy variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të këtyre variablave. .

Teorema. Varianca e numrit të dukurive të ngjarjes A në n prova të pavarura, në secilën prej të cilave probabiliteti p i ndodhjes së ngjarjes është konstant, është i barabartë me produktin e numrit të provave sipas probabiliteteve të ndodhjes dhe jo- ndodhja e ngjarjes në çdo gjykim.

Shembull: Gjeni variancën e DSV X - numrin e shfaqjeve të ngjarjes A në 2 prova të pavarura, nëse probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes në këto prova është i njëjtë dhe dihet se M(X) = 1.2.

Le të zbatojmë teoremën nga seksioni 6.1.2:

M(X) = np

M(X) = 1,2; n= 2. Le të gjejmë fq:

1,2 = 2∙fq

fq = 1,2/2

q = 1 – fq = 1 – 0,6 = 0,4

Le të gjejmë variancën duke përdorur formulën:

D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 Devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Devijimi standard ndryshorja e rastësishme X quhet rrënja katrore e variancës.

(25)

Teorema. Devijimi standard i shumës së një numri të fundëm të ndryshoreve të rastit reciprokisht të pavarura është i barabartë me rrënjën katrore të shumës së katrorëve të devijimeve standarde të këtyre variablave.

6.1.6 Modaliteti dhe medianaja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Moda M o DSV quhet vlera më e mundshme e një ndryshoreje të rastësishme (d.m.th. vlera që ka probabilitetin më të lartë)

Mesatarja M e DSVështë vlera e një ndryshoreje të rastësishme që ndan serinë e shpërndarjes në gjysmë. Nëse numri i vlerave të një ndryshoreje të rastësishme është çift, atëherë mesatarja gjendet si mesatarja aritmetike e dy vlerave mesatare.

Shembull: Gjeni modalitetin dhe mesataren e DSV X:

M e = = 5,5

Përparimi i punës

1. Njihuni me pjesën teorike të kësaj pune (ligjërata, tekst shkollor).

2. Përfundoni detyrën sipas versionit tuaj.

3. Bëni një raport mbi punën.

4. Mbroni punën tuaj.

2. Qëllimi i punës.

3. Ecuria e punës.

4. Zgjidhja e opsionit tuaj.

6.4 Opsione për detyra për punë të pavarur

Opsioni numër 1

1. Gjeni pritshmërinë matematikore, dispersionin, devijimin standard, modalitetin dhe medianën e DSV X, të dhëna nga ligji i shpërndarjes.

2. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme Z nëse dihen pritjet matematikore të X dhe Y: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.

3. Gjeni variancën e DSV X - numrin e shfaqjeve të ngjarjes A në dy prova të pavarura, nëse probabilitetet e ndodhjes së ngjarjeve në këto prova janë të njëjta dhe dihet se M (X) = 1.

4. Jepet një listë e vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete X: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3= 5, dhe pritshmëritë matematikore të kësaj vlere dhe katrorit të saj njihen gjithashtu: , . Gjeni probabilitetet , , , që korrespondojnë me vlerat e mundshme të , , dhe hartoni ligjin e shpërndarjes DSV.

Opsioni nr. 2

2. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme Z nëse dihen pritjet matematikore të X dhe Y: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.

3. Gjeni variancën e DSV X - numrin e dukurive të ngjarjes A në tri prova të pavarura, nëse probabilitetet e ndodhjes së ngjarjeve në këto prova janë të njëjta dhe dihet se M (X) = 0,9.

4. Jepet një listë e vlerave të mundshme të një ndryshoreje diskrete të rastësishme X: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4, x 4= 10, dhe pritshmëritë matematikore të kësaj vlere dhe katrorit të saj njihen gjithashtu: , . Gjeni probabilitetet , , , që korrespondojnë me vlerat e mundshme të , , dhe hartoni ligjin e shpërndarjes DSV.

Opsioni numër 3

1. Gjeni pritshmërinë matematikore, dispersionin dhe devijimin standard të DSV X, të dhëna nga ligji i shpërndarjes.

2. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme Z nëse dihen pritjet matematikore të X dhe Y: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.

3. Gjeni variancën e DSV X - numrin e shfaqjeve të ngjarjes A në katër prova të pavarura, nëse probabilitetet e ndodhjes së ngjarjeve në këto prova janë të njëjta dhe dihet se M (x) = 1.2.

1. Pritja matematikore e një vlere konstante është e barabartë me vetë konstantën M(S)=C .
2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore: M(CX)=CM(X)
3. Pritja matematikore e prodhimit të dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Pritja matematikore e shumës së dy ndryshoreve të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Teorema. Pritshmëria matematikore M(x) e numrit të ndodhive të ngjarjeve A në n prova të pavarura është e barabartë me produktin e këtyre provave nga probabiliteti i ndodhjes së ngjarjeve në çdo provë: M(x) = np.

Le X - ndryshore e rastit dhe M(X) – pritshmëria e tij matematikore. Le të konsiderojmë si një ndryshore të re të rastësishme diferencën X - M (X).

Devijimi është ndryshimi midis një ndryshoreje të rastësishme dhe pritshmërisë së saj matematikore.

Devijimi ka ligjin e mëposhtëm të shpërndarjes:

Zgjidhja: Le të gjejmë pritshmërinë matematikore:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Le të shkruajmë ligjin e shpërndarjes së devijimit në katror:

Zgjidhje: Të gjejmë pritshmërinë matematikore të M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5

Le të shkruajmë ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X 2

Le të gjejmë pritshmërinë matematikore M(x 2): M(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

Varianca e kërkuar është D(x)=M(x 2)- 2 =13.3-(3.5) 2 =1.05

Karakteristikat e shpërndarjes:

1. Varianca e një vlere konstante ME e barabartë me zero: D(C)=0
2. Faktori konstant mund të nxirret nga shenja e dispersionit duke e kuadruar atë. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Varianca e shumës së variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të këtyre variablave. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Varianca e shpërndarjes binomiale është e barabartë me produktin e numrit të provave dhe probabiliteteve të ndodhjes dhe mosndodhjes së një ngjarjeje në një provë. D(X)=npq

Për të vlerësuar shpërndarjen e vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme rreth vlerës mesatare të saj, përveç shpërndarjes, përdoren edhe disa karakteristika të tjera. Këto përfshijnë devijimin standard.

Devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme X quhet rrënja katrore e variancës:

σ(X) = √D(X) (4)

Shembull. Ndryshorja e rastësishme X përcaktohet nga ligji i shpërndarjes

Gjeni devijimin standard σ(x)

Zgjidhje: Të gjejmë pritshmërinë matematikore të X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Le të gjejmë pritshmërinë matematikore të X 2: M(x 2)=2 2 0,1+3 2 0,4+10 2 0,5=54
Le të gjejmë variancën: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
Devijimi standard i kërkuar σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61

Teorema. Devijimi standard i shumës së një numri të kufizuar të ndryshoreve të rastësishme reciprokisht të pavarura është i barabartë me rrënjën katrore të shumës së katrorëve të devijimeve standarde të këtyre variablave:

Shembull. Në një raft me 6 libra, 3 libra për matematikë dhe 3 për fizikë. Tre libra zgjidhen në mënyrë të rastësishme. Gjeni ligjin e shpërndarjes së numrit të librave në matematikë midis librave të zgjedhur. Gjeni pritshmërinë matematikore dhe variancën e kësaj ndryshoreje të rastësishme.

D(X)= M(X 2) - M(X) 2 = 2,7 – 1,5 2 = 0,45