Si të nxjerrim një numër nga një rrënjë. Si të nxirrni shpejt rrënjët katrore

Si të nxjerrim rrënjën nga numri. Në këtë artikull do të mësojmë se si të marrim rrënjën katrore të numrave katër dhe pesë shifrorë.

Le të marrim si shembull rrënjën katrore të vitit 1936.

Prandaj, .

Shifra e fundit në numrin 1936 është numri 6. Katrori i numrit 4 dhe numrit 6 përfundon me 6. Prandaj, 1936 mund të jetë katrori i numrit 44 ose numri 46. Mbetet të kontrollohet duke përdorur shumëzimin.

Mjetet,

Le të marrim rrënjën katrore të 15129.

Prandaj, .

Shifra e fundit në numrin 15129 është numri 9. Katrori i numrit 3 dhe numrit 7 përfundon me 9. Prandaj, 15129 mund të jetë katrori i numrit 123 ose numri 127. Le të kontrollojmë duke përdorur shumëzimin.

Mjetet,

Si të nxjerrim rrënjën - video

Dhe tani ju sugjeroj të shikoni videon e Anna Denisova - "Si të nxjerrim rrënjën ", autori i faqes" Fizika e thjeshtë ", në të cilën ajo shpjegon se si të gjeni rrënjë katrore dhe kubike pa një kalkulator.

Videoja diskuton disa mënyra për të nxjerrë rrënjët:

1. Mënyra më e lehtë për të nxjerrë rrënjën katrore.

2. Me përzgjedhje duke përdorur katrorin e shumës.

3. Metoda babilonase.

4. Metoda e nxjerrjes së rrënjës katrore të një kolone.

5. Metoda e nxjerrjes së shpejtë rrënjë kubike.

6. Metoda e nxjerrjes së rrënjës së kubit në një kolonë.

Nxënësit gjithmonë pyesin: “Pse nuk mund të përdor një makinë llogaritëse në provimin e matematikës? Si të nxjerrim rrënjën katrore të një numri pa kalkulator? Le të përpiqemi t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje.

Si të nxjerrim rrënjën katrore të një numri pa ndihmën e një kalkulatori?

Veprimi rrënjë katrore e anasjelltë me veprimin e katrorit.

√81= 9 9 2 =81

Nëse nga numër pozitiv marrim rrënjën katrore dhe katrore rezultatin, marrim të njëjtin numër.

Nga numrat e vegjël që janë katrorë të saktë të numrave natyrorë, për shembull 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 rrënjë katrore mund të nxirret nga goja. Zakonisht në shkollë ata mësojnë një tabelë me katrorë të numrave natyrorë deri në njëzet. Duke ditur këtë tabelë, është e lehtë të nxirrni rrënjë katrore nga numrat 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Nga numrat më të mëdhenj se 400 mund t'i nxirrni duke përdorur metodën e përzgjedhjes duke përdorur disa këshilla. Le të përpiqemi ta shikojmë këtë metodë me një shembull.

Shembull: Nxjerr rrënjën e numrit 676.

Vëmë re se 20 2 = 400, dhe 30 2 = 900, që do të thotë 20< √676 < 900.

katrorët e saktë të numrave natyrorë përfundojnë me 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Numri 6 jepet nga 4 2 dhe 6 2.
Kjo do të thotë që nëse rrënja merret nga 676, atëherë është ose 24 ose 26.

Mbetet për të kontrolluar: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Përgjigje: √676 = 26 .

Më shumë shembull: √6889 .

Meqenëse 80 2 = 6400, dhe 90 2 = 8100, atëherë 80< √6889 < 90.
Numri 9 jepet nga 3 2 dhe 7 2, atëherë √6889 është i barabartë me 83 ose 87.

Le të kontrollojmë: 83 2 = 6889.

Përgjigje: √6889 = 83 .

Nëse e keni të vështirë ta zgjidhni duke përdorur metodën e përzgjedhjes, mund të faktorizoni shprehjen radikale.

Për shembull, gjeni √893025.

Le të faktorizojmë numrin 893025, mbani mend, ju e keni bërë këtë në klasën e gjashtë.

Ne marrim: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Më shumë shembull: √20736. Le të faktorizojmë numrin 20736:

Ne marrim √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Natyrisht, faktorizimi kërkon njohuri për shenjat e pjesëtueshmërisë dhe aftësitë e faktorizimit.

Dhe së fundi, ka Rregulli për nxjerrjen e rrënjëve katrore. Le të njihemi me këtë rregull me shembuj.

Llogaritni √279841.

Për të nxjerrë rrënjën e një numri të plotë shumëshifror, ne e ndajmë atë nga e djathta në të majtë në faqe që përmbajnë 2 shifra (skaji më i majtë mund të përmbajë një shifër). E shkruajmë kështu: 27’98’41

Për të marrë shifrën e parë të rrënjës (5), marrim rrënjën katrore të katrorit më të madh të përsosur që gjendet në faqen e parë në të majtë (27).
Pastaj katrori i shifrës së parë të rrënjës (25) i zbritet faqes së parë dhe faqes tjetër (98) i shtohet diferencës (i zbritet).
Në të majtë të numrit që rezulton 298, shkruani dyshifrorët e rrënjës (10), pjesëtoni me të numrin e të gjitha dhjetërave të numrit të marrë më parë (29/2 ≈ 2), provoni herësin (102 ∙ 2 = 204 duhet të jetë jo më shumë se 298) dhe shkruani (2) pas shifrës së parë të rrënjës.
Pastaj herësi që rezulton 204 zbritet nga 298 dhe skaji tjetër (41) i shtohet diferencës (94).
Në të majtë të numrit që rezulton 9441, shkruani produktin e dyfishtë të shifrave të rrënjës (52 ∙2 = 104), pjesëtoni numrin e të gjitha dhjetësheve të numrit 9441 (944/104 ≈ 9) me këtë produkt, provoni herësi (1049 ∙9 = 9441) duhet të jetë 9441 dhe shkruajeni atë (9) pas shifrës së dytë të rrënjës.

Morëm përgjigjen √279841 = 529.

Ekstraktoni në mënyrë të ngjashme rrënjët e thyesave dhjetore. Vetëm numri radikal duhet të ndahet në fytyra në mënyrë që presja të jetë midis fytyrave.

Shembull. Gjeni vlerën √0.00956484.

Thjesht duhet të mbani mend se nëse dhjetore ka një numër tek numrat dhjetorë, rrënja katrore nuk mund të nxirret prej saj saktësisht.

Pra, tani keni parë tre mënyra për të nxjerrë rrënjën. Zgjidhni atë që ju përshtatet më shumë dhe praktikoni. Për të mësuar të zgjidhni problemet, duhet t'i zgjidhni ato. Dhe nëse keni ndonjë pyetje, regjistrohu për mësimet e mia.

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Nxënësit gjithmonë pyesin: “Pse nuk mund të përdor një makinë llogaritëse në provimin e matematikës? Si të nxjerrim rrënjën katrore të një numri pa kalkulator? Le të përpiqemi t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje.

Si të nxjerrim rrënjën katrore të një numri pa ndihmën e një kalkulatori?

Veprimi rrënjë katrore e anasjelltë me veprimin e katrorit.

√81= 9 9 2 =81

Nëse merrni rrënjën katrore të një numri pozitiv dhe katrorin e rezultatit, merrni të njëjtin numër.

Nga numrat e vegjël që janë katrorë të saktë të numrave natyrorë, për shembull 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, rrënjët katrore mund të nxirren gojarisht. Zakonisht në shkollë ata mësojnë një tabelë me katrorë të numrave natyrorë deri në njëzet. Duke ditur këtë tabelë, është e lehtë të nxirrni rrënjë katrore nga numrat 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Nga numrat më të mëdhenj se 400 mund t'i nxirrni duke përdorur metodën e përzgjedhjes duke përdorur disa këshilla. Le të përpiqemi ta shikojmë këtë metodë me një shembull.

Shembull: Nxjerr rrënjën e numrit 676.

Vëmë re se 20 2 = 400, dhe 30 2 = 900, që do të thotë 20< √676 < 900.

katrorët e saktë të numrave natyrorë përfundojnë me 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Numri 6 jepet nga 4 2 dhe 6 2.
Kjo do të thotë që nëse rrënja merret nga 676, atëherë është ose 24 ose 26.

Mbetet për të kontrolluar: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Përgjigje: √676 = 26 .

Më shumë shembull: √6889 .

Meqenëse 80 2 = 6400, dhe 90 2 = 8100, atëherë 80< √6889 < 90.
Numri 9 jepet nga 3 2 dhe 7 2, atëherë √6889 është i barabartë me 83 ose 87.

Le të kontrollojmë: 83 2 = 6889.

Përgjigje: √6889 = 83 .

Nëse e keni të vështirë ta zgjidhni duke përdorur metodën e përzgjedhjes, mund të faktorizoni shprehjen radikale.

Për shembull, gjeni √893025.

Le të faktorizojmë numrin 893025, mbani mend, ju e keni bërë këtë në klasën e gjashtë.

Ne marrim: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Më shumë shembull: √20736. Le të faktorizojmë numrin 20736:

Ne marrim √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Natyrisht, faktorizimi kërkon njohuri për shenjat e pjesëtueshmërisë dhe aftësitë e faktorizimit.

Dhe së fundi, ka Rregulli për nxjerrjen e rrënjëve katrore. Le të njihemi me këtë rregull me shembuj.

Llogaritni √279841.

Për të nxjerrë rrënjën e një numri të plotë shumëshifror, ne e ndajmë atë nga e djathta në të majtë në faqe që përmbajnë 2 shifra (skaji më i majtë mund të përmbajë një shifër). E shkruajmë kështu: 27’98’41

Për të marrë shifrën e parë të rrënjës (5), marrim rrënjën katrore të katrorit më të madh të përsosur që gjendet në faqen e parë në të majtë (27).
Pastaj katrori i shifrës së parë të rrënjës (25) i zbritet faqes së parë dhe faqes tjetër (98) i shtohet diferencës (i zbritet).
Në të majtë të numrit që rezulton 298, shkruani dyshifrorët e rrënjës (10), pjesëtoni me të numrin e të gjitha dhjetërave të numrit të marrë më parë (29/2 ≈ 2), provoni herësin (102 ∙ 2 = 204 duhet të jetë jo më shumë se 298) dhe shkruani (2) pas shifrës së parë të rrënjës.
Pastaj herësi që rezulton 204 zbritet nga 298 dhe skaji tjetër (41) i shtohet diferencës (94).
Në të majtë të numrit që rezulton 9441, shkruani produktin e dyfishtë të shifrave të rrënjës (52 ∙2 = 104), pjesëtoni numrin e të gjitha dhjetësheve të numrit 9441 (944/104 ≈ 9) me këtë produkt, provoni herësi (1049 ∙9 = 9441) duhet të jetë 9441 dhe shkruajeni atë (9) pas shifrës së dytë të rrënjës.

Morëm përgjigjen √279841 = 529.

Ekstraktoni në mënyrë të ngjashme rrënjët e thyesave dhjetore. Vetëm numri radikal duhet të ndahet në fytyra në mënyrë që presja të jetë midis fytyrave.

Shembull. Gjeni vlerën √0.00956484.

Vetëm mos harroni se nëse një thyesë dhjetore ka një numër tek i numrave dhjetorë, rrënja katrore nuk mund të merret prej saj.

Pra, tani keni parë tre mënyra për të nxjerrë rrënjën. Zgjidhni atë që ju përshtatet më shumë dhe praktikoni. Për të mësuar të zgjidhni problemet, duhet t'i zgjidhni ato. Dhe nëse keni ndonjë pyetje,.

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

Rrënja n shkalla e th numri natyror a ky numër quhet n shkalla e së cilës është e barabartë me a. Rrënja caktohet si më poshtë: . Simboli √ quhet shenjë rrënjë ose shenjë radikale, numri a - numër radikal, n - eksponent rrënjë.

Veprimi me të cilin gjendet rrënja e një shkalle të caktuar quhet nxjerrja e rrënjës.

Meqenëse, sipas përkufizimit të konceptit të një rrënjë n shkalla e th

Se nxjerrja e rrënjës- një veprim i kundërt me ngritjen në një fuqi, me ndihmën e të cilit gjendet baza e shkallës nga një shkallë e caktuar dhe nga një eksponent i caktuar.

Rrënja katrore

Rrënja katrore e një numri aështë numri katrori i të cilit është i barabartë me a.

Veprimi me të cilin llogaritet rrënja katrore quhet rrënjë katrore.

Rrënja katrore- veprimi i kundërt i katrorimit (ose ngritja e një numri në fuqinë e dytë). Kur katrorizon një numër, duhet të gjesh katrorin e tij. Kur nxjerrni rrënjën katrore, dihet katrori i numrit, duhet ta përdorni për të gjetur vetë numrin;

Prandaj, për të kontrolluar korrektësinë e veprimit, mund ta ngrini rrënjën e gjetur në fuqinë e dytë dhe, nëse shkalla është e barabartë me numrin radikal, atëherë rrënja u gjet saktë.

Le të shohim nxjerrjen e rrënjës katrore dhe kontrollimin e saj duke përdorur një shembull. Le të llogarisim ose (eksponenti i rrënjës me vlerë 2 zakonisht nuk shkruhet, pasi 2 është eksponenti më i vogël dhe duhet mbajtur mend se nëse nuk ka eksponent mbi shenjën e rrënjës, atëherë nënkuptohet eksponenti 2), për këtë ne duhet të gjesh numrin, kur të ngrihet në të dytën shkalla do të jetë 49. Natyrisht, një numër i tillë është 7, pasi

7 7 = 7 2 = 49.

Llogaritja e rrënjës katrore

Nëse një numër i dhënë është 100 ose më pak, atëherë rrënja katrore e tij mund të llogaritet duke përdorur tabelën e shumëzimit. Për shembull, rrënja katrore e 25 është 5, sepse 5 5 = 25.

Tani le të shohim një mënyrë për të gjetur rrënjën katrore të çdo numri pa përdorur një kalkulator. Për shembull, le të marrim numrin 4489 dhe të fillojmë ta llogarisim atë hap pas hapi.

1. Le të përcaktojmë se nga cilat shifra duhet të përbëhet rrënja e kërkuar. Meqenëse 10 2 = 10 · 10 = 100, dhe 100 2 = 100 · 100 = 10000, bëhet e qartë se rrënja e dëshiruar duhet të jetë më e madhe se 10 dhe më e vogël se 100, d.m.th. përbëhet nga dhjetëshe dhe njësi.
2. Gjeni numrin e dhjetësheve të rrënjës. Shumëzimi i dhjetësheve jep qindra, dhe në numrin tonë janë 44, kështu që rrënja duhet të përmbajë aq dhjetëshe sa katrori i dhjetësheve të japë afërsisht 44 qindra. Prandaj, rrënja duhet të ketë 6 dhjetëshe, sepse 60 2 = 3600, dhe 70 2 = 4900 (kjo është shumë). Kështu, zbuluam se rrënja jonë përmban 6 dhjetëra dhe disa, pasi është në rangun nga 60 në 70.
3. Tabela e shumëzimit do t'ju ndihmojë të përcaktoni numrin e njësive në rrënjë. Duke parë numrin 4489, shohim se shifra e fundit në të është 9. Tani shikojmë tabelën e shumëzimit dhe shohim se 9 njësi mund të fitohen vetëm duke i vendosur në katror numrat 3 dhe 7. Kjo do të thotë se rrënja e numrit do të jetë e barabartë me 63 ose 67.
4. Ne kontrollojmë numrat që kemi marrë, 63 dhe 67, duke i ndarë në katror: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

Përshkrimi bibliografik: Pryostanovo S. M., Lysogorova L. V. Metodat për nxjerrjen e rrënjës katrore // Shkencëtar i ri. 2017. Nr 2.2. P. 76-77..02.2019).



Fjalë kyçe : rrënja katrore, nxjerrja e rrënjës katrore.

Në mësimet e matematikës u njoha me konceptin e rrënjës katrore dhe me veprimin e nxjerrjes së rrënjës katrore. U interesova nëse nxjerrja e rrënjës katrore është e mundur vetëm duke përdorur një tabelë katrorësh, duke përdorur një kalkulator, apo ka ndonjë mënyrë për ta nxjerrë atë me dorë. Kam gjetur disa mënyra: formulën e Babilonisë së Lashtë, përmes zgjidhjes së ekuacioneve, metodën e hedhjes së një katrori të plotë, metodën e Njutonit, metodën gjeometrike, metodën grafike (, ), metodën e hamendjes, metodën e zbritjes së numrave tek.

Konsideroni metodat e mëposhtme:

Le të zbërthehemi në faktorët kryesorë, duke përdorur kriteret e pjesëtueshmërisë 27225=5*5*3*3*11*11. Kështu

1. TE Metoda kanadeze. Kjo metodë e shpejtë u zbulua nga shkencëtarët e rinj në një nga universitetet kryesore të Kanadasë në shekullin e 20-të. Saktësia e tij nuk është më shumë se dy deri në tre shifra dhjetore.

ku x është numri nga i cili duhet të nxirret rrënja, c është numri i katrorit më të afërt), për shembull:

=5,92

1. Në një kolonë. Kjo metodë ju lejon të gjeni vlerën e përafërt të rrënjës së çdo numri real me çdo saktësi të paracaktuar. Disavantazhet e kësaj metode përfshijnë kompleksitetin në rritje të llogaritjes me rritjen e numrit të shifrave të gjetura. Për të nxjerrë me dorë rrënjën, përdoret një shënim i ngjashëm me ndarjen e gjatë

Algoritmi me rrënjë katrore

1. Pjesën thyesore dhe pjesën e plotë e ndajmë veçmas nga presja në prag të dy shifrave në çdo fytyrë ( puthje pjesë - nga e djathta në të majtë; thyesore- nga e majta në të djathtë). Është e mundur që pjesa e plotë të përmbajë një shifër, dhe pjesa e pjesshme mund të përmbajë zero.

2. Nxjerrja fillon nga e majta në të djathtë dhe zgjedhim një numër katrori i të cilit nuk e kalon numrin në faqen e parë. E vendosim në katror këtë numër dhe e shkruajmë nën numrin në anën e parë.

3. Gjeni ndryshimin midis numrit në faqen e parë dhe katrorit të numrit të parë të zgjedhur.

4. Ne shtojmë skajin tjetër në ndryshimin që rezulton, numri që rezulton do të jetë i ndashëm. Le të edukojmë ndarës. Ne dyfishojmë shifrën e parë të zgjedhur të përgjigjes (shumëzuar me 2), marrim numrin e dhjetëra të pjesëtuesit dhe numri i njësive duhet të jetë i tillë që produkti i tij nga i gjithë pjesëtuesi të mos e kalojë dividentin. Ne shkruajmë numrin e zgjedhur si përgjigje.

5. Ne marrim skajin tjetër në ndryshimin që rezulton dhe kryejmë veprimet sipas algoritmit. Nëse kjo fytyrë rezulton të jetë një fytyrë e një pjese thyesore, atëherë vendosim një presje në përgjigje. (Fig. 1.)

Duke përdorur këtë metodë, ju mund të nxirrni numra me saktësi të ndryshme, për shembull, deri në të mijëtat. (Fig. 2)

Duke marrë parasysh mënyra të ndryshme duke nxjerrë rrënjën katrore, mund të konkludojmë: në secilin rast specifik, duhet të vendosni për zgjedhjen e asaj më efektive në mënyrë që të shpenzoni më pak kohë për të zgjidhur

Literatura:

1. Kiselev A. Elemente të algjebrës dhe analizës. Pjesa e parë.-M.-1928

Fjalët kyçe: rrënjë katrore, rrënjë katrore.

Shënim: Artikulli përshkruan metodat për nxjerrjen e rrënjëve katrore dhe jep shembuj të nxjerrjes së rrënjëve.