Mësim dhe prezantim me temën: "Rendet e numrave. Progresioni gjeometrik"
Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.
Ndihma edukative dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 9
Fuqitë dhe rrënjët Funksionet dhe grafikët
Djema, sot do të njihemi me një lloj tjetër përparimi.
Tema e mësimit të sotëm është progresion gjeometrik.
Progresioni gjeometrik
Përkufizimi. Një sekuencë numerike në të cilën çdo term, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me prodhimin e atij të mëparshmit dhe një numër fiks quhet progresion gjeometrik.Le të përcaktojmë sekuencën tonë në mënyrë rekursive: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
ku b dhe q janë numra të caktuar të caktuar. Numri q quhet emërues i progresionit.
Shembull. 1,2,4,8,16... Një progresion gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me një, dhe $q=2$.
Shembull. 8,8,8,8... Një progresion gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me tetë,
dhe $q=1$.
Shembull. 3,-3,3,-3,3... Progresioni gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me tre,
dhe $q=-1$.
Progresioni gjeometrik ka vetitë e monotonisë.
Nëse $b_(1)>0$, $q>1$,
atëherë sekuenca po rritet.
Nëse $b_(1)>0$, $0 Sekuenca zakonisht shënohet në formën: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Ashtu si në një progresion aritmetik, nëse në një progresion gjeometrik numri i elementeve është i fundëm, atëherë progresioni quhet progresion i fundëm gjeometrik.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Vini re se nëse një sekuencë është një progresion gjeometrik, atëherë sekuenca e katrorëve të termave është gjithashtu një progresion gjeometrik. Në sekuencën e dytë, termi i parë është i barabartë me $b_(1)^2$, dhe emëruesi është i barabartë me $q^2$.
Formula për termin e n-të të një progresion gjeometrik
Progresioni gjeometrik mund të specifikohet edhe në formë analitike. Le të shohim se si ta bëjmë këtë:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Ne e vërejmë lehtësisht modelin: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Formula jonë quhet "formula e termit të n-të të një progresion gjeometrik".
Le të kthehemi te shembujt tanë.
Shembull. 1,2,4,8,16... Progresioni gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me një,
dhe $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Shembull. 16,8,4,2,1,1/2… Një progresion gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me gjashtëmbëdhjetë, dhe $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Shembull. 8,8,8,8... Një progresion gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me tetë, dhe $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Shembull. 3,-3,3,-3,3... Një progresion gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me tre, dhe $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Shembull. Jepet një progresion gjeometrik $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Dihet se $b_(1)=6, q=3$. Gjeni $b_(5)$.
b) Dihet se $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Gjeni n.
c) Dihet se $q=-2, b_(6)=96$. Gjeni $b_(1)$.
d) Dihet se $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Gjeni q.
Zgjidhje.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, meqë $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Shembull. Diferenca midis termave të shtatë dhe të pestë të progresionit gjeometrik është 192, shuma e termave të pestë dhe të gjashtë të progresionit është 192. Gjeni termin e dhjetë të këtij progresioni.
Zgjidhje.
Ne e dimë se: $b_(7)-b_(5)=192$ dhe $b_(5)+b_(6)=192$.
Ne gjithashtu dimë: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Pastaj:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Ne morëm një sistem ekuacionesh:
$\fille(rastet)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\fund(rastet)$.
Duke barazuar ekuacionet tona marrim:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Morëm dy zgjidhje q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Zëvendësoni në mënyrë sekuenciale në ekuacionin e dytë:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ nuk ka zgjidhje.
Ne morëm atë: $b_(1)=4, q=2$.
Le të gjejmë termin e dhjetë: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Shuma e një progresion të fundëm gjeometrik
Le të kemi një progresion të fundëm gjeometrik. Le të llogarisim, ashtu si për një progresion aritmetik, shumën e termave të tij.Le të jepet një progresion i kufizuar gjeometrik: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Le të prezantojmë emërtimin për shumën e termave të tij: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Në rastin kur $q=1$. Të gjithë termat e progresionit gjeometrik janë të barabartë me termin e parë, atëherë është e qartë se $S_(n)=n*b_(1)$.
Le të shqyrtojmë tani rastin $q≠1$.
Le të shumëzojmë shumën e mësipërme me q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Shënim:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Ne kemi marrë formulën për shumën e një progresion gjeometrik të fundëm.
Shembull.
Gjeni shumën e shtatë anëtarëve të parë të një progresion gjeometrik termi i parë i të cilit është 4 dhe emëruesi është 3.
Zgjidhje.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Shembull.
Gjeni termin e pestë të progresionit gjeometrik që njihet: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Zgjidhje.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095$(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341$ q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Veti karakteristike e progresionit gjeometrik
Djema, jepet një progresion gjeometrik. Le të shohim tre anëtarët e tij të njëpasnjëshëm: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Ne e dimë se:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Pastaj:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Nëse progresioni është i fundëm, atëherë kjo barazi vlen për të gjithë termat përveç të parës dhe të fundit.
Nëse paraprakisht nuk dihet se çfarë forme ka vargu, por dihet se: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Atëherë mund të themi me siguri se ky është një progresion gjeometrik.
Një sekuencë numrash është një progresion gjeometrik vetëm kur katrori i secilit anëtar është i barabartë me produktin e dy anëtarëve ngjitur të progresionit. Mos harroni se për progresion i kufizuar ky kusht nuk plotësohet për anëtarin e parë dhe të fundit.
Le të shohim këtë identitet: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ quhet mesatarja gjeometrike e numrave a dhe b.
Moduli i çdo termi të një progresioni gjeometrik është i barabartë me mesataren gjeometrike të dy termave fqinjë të tij.
Shembull.
Gjeni x të tillë që $x+2; 2x+2; 3x+3$ ishin tre terma të njëpasnjëshëm të një progresion gjeometrik.
Zgjidhje.
Le të përdorim vetinë karakteristike:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ dhe $x_(2)=-1$.
Le t'i zëvendësojmë në mënyrë sekuenciale zgjidhjet tona në shprehjen origjinale:
Me $x=2$, kemi marrë sekuencën: 4;6;9 – një progresion gjeometrik me $q=1,5$.
Për $x=-1$, marrim sekuencën: 1;0;0.
Përgjigje: $x=2.$
Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur
1. Gjeni termin e tetë të parë të progresionit gjeometrik 16;-8;4;-2….2. Gjeni termin e dhjetë të progresionit gjeometrik 11,22,44….
3. Dihet se $b_(1)=5, q=3$. Gjeni $b_(7)$.
4. Dihet se $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Gjeni n.
5. Gjeni shumën e 11 termave të parë të progresionit gjeometrik 3;12;48….
6. Gjeni x të tillë që $3x+4; 2x+4; x+5$ janë tre terma të njëpasnjëshëm të një progresion gjeometrik.
>>Matematika: Progresion gjeometrik
Për lehtësinë e lexuesit, ky paragraf është ndërtuar pikërisht sipas të njëjtit plan që kemi ndjekur në paragrafin e mëparshëm.
1. Konceptet bazë.
Përkufizimi. Një sekuencë numerike, të gjithë anëtarët e së cilës janë të ndryshëm nga 0 dhe secili anëtar i të cilit, duke filluar nga i dyti, merret nga anëtari i mëparshëm duke e shumëzuar me të njëjtin numër quhet progresion gjeometrik. Në këtë rast, numri 5 quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.
Kështu, një progresion gjeometrik është një sekuencë numerike (b n) e përcaktuar në mënyrë periodike nga relacionet
A është e mundur të shikohet një sekuencë numrash dhe të përcaktohet nëse është një progresion gjeometrik? Mund. Nëse jeni të bindur se raporti i çdo anëtari të sekuencës me anëtarin e mëparshëm është konstant, atëherë keni një progresion gjeometrik.
Shembulli 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.
Shembulli 2.
Ky është një progresion gjeometrik që ka
Shembulli 3.
Ky është një progresion gjeometrik që ka
Shembulli 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Ky është një progresion gjeometrik në të cilin b 1 - 8, q = 1.
Vini re se kjo sekuencë është gjithashtu një progresion aritmetik (shih shembullin 3 nga § 15).
Shembulli 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Ky është një progresion gjeometrik në të cilin b 1 = 2, q = -1.
Natyrisht, një progresion gjeometrik është një sekuencë në rritje nëse b 1 > 0, q > 1 (shih shembullin 1), dhe një sekuencë zvogëluese nëse b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
Për të treguar se sekuenca (b n) është një progresion gjeometrik, shënimi i mëposhtëm ndonjëherë është i përshtatshëm:
Ikona zëvendëson frazën "progresion gjeometrik".
Le të vërejmë një veti kurioze dhe në të njëjtën kohë mjaft të dukshme të progresionit gjeometrik:
Nëse sekuenca 
është një progresion gjeometrik, pastaj sekuenca e katrorëve, d.m.th. 
është një progresion gjeometrik.
Në progresionin e dytë gjeometrik, termi i parë është i barabartë dhe i barabartë me q 2.
Nëse në një progresion gjeometrik i hedhim poshtë të gjithë termat pas b n, marrim një progresion të fundëm gjeometrik 
Në paragrafët e mëtejshëm të këtij seksioni do të shqyrtojmë vetitë më të rëndësishme të progresionit gjeometrik.
2. Formula për mandatin e n-të të një progresion gjeometrik.
Konsideroni një progresion gjeometrik 
emërues q. Ne kemi:
Nuk është e vështirë të merret me mend se për çdo numër n barazia është e vërtetë
Kjo është formula për termin e n-të të një progresion gjeometrik.
Komentoni.
Nëse lexoni shënim i rëndësishëm nga paragrafi i mëparshëm dhe kuptoni atë, pastaj përpiquni të provoni formulën (1) duke përdorur metodën e induksionit matematik në të njëjtën mënyrë siç u veprua për formulën për mandatin e n-të të një progresion aritmetik.
Le të rishkruajmë formulën për termin e n-të të progresionit gjeometrik
dhe prezantoni shënimin: Marrim y = mq 2, ose, më në detaje, 
Argumenti x gjendet në eksponent, kështu që ky funksion quhet funksion eksponencial. Kjo do të thotë që një progresion gjeometrik mund të konsiderohet si një funksion eksponencial i përcaktuar në bashkësinë N të numrave natyrorë. Në Fig. 96a tregon grafikun e funksionit Fig. 966 - grafiku i funksionit 
Në të dyja rastet, ne kemi pika të izoluara (me abshisa x = 1, x = 2, x = 3, etj.) të shtrira në një kurbë të caktuar (të dyja figurat tregojnë të njëjtën kurbë, vetëm të vendosura ndryshe dhe të përshkruara në shkallë të ndryshme). Kjo kurbë quhet kurbë eksponenciale. Lexoni më shumë rreth funksioni eksponencial dhe grafika e saj do të diskutohet në lëndën e algjebrës së klasës së 11-të.
Le të kthehemi te shembujt 1-5 nga paragrafi i mëparshëm.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Ky është një progresion gjeometrik për të cilin b 1 = 1, q = 3. Le të krijojmë formulën për termin e ntë 
2) 
Ky është një progresion gjeometrik për të cilin Le të krijojmë një formulë për termin e n-të 
Ky është një progresion gjeometrik që ka 
Le të krijojmë formulën për termin e n-të 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Ky është një progresion gjeometrik për të cilin b 1 = 8, q = 1. Le të krijojmë formulën për termin e n-të 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Ky është një progresion gjeometrik në të cilin b 1 = 2, q = -1. Le të krijojmë formulën për termin e n-të 
Shembulli 6.
Jepet një progresion gjeometrik
Në të gjitha rastet, zgjidhja bazohet në formulën e mandatit të n-të të progresionit gjeometrik
a) Duke vendosur n = 6 në formulën për termin e n-të të progresionit gjeometrik, marrim
b) kemi
Meqenëse 512 = 2 9, marrim n - 1 = 9, n = 10.
d) Kemi
Shembulli 7.
Dallimi midis termave të shtatë dhe të pestë të progresionit gjeometrik është 48, shuma e termave të pestë dhe të gjashtë të progresionit është gjithashtu 48. Gjeni termin e dymbëdhjetë të këtij progresioni.
Faza e parë. Hartimi i një modeli matematikor.
Kushtet e problemit mund të shkruhen shkurtimisht si më poshtë:
Duke përdorur formulën për termin e n-të të një progresion gjeometrik, marrim:
Atëherë kushti i dytë i problemit (b 7 - b 5 = 48) mund të shkruhet si
Kushti i tretë i problemës (b 5 + b 6 = 48) mund të shkruhet si
Si rezultat, marrim një sistem prej dy ekuacionesh me dy ndryshore b 1 dhe q:
i cili, në kombinim me kushtin 1) të shkruar më sipër, paraqet një model matematikor të problemit.
Faza e dytë.
Puna me modelin e përpiluar. Duke barazuar anët e majta të të dy ekuacioneve të sistemit, marrim:
(I kemi ndarë të dyja anët e ekuacionit me shprehjen jozero b 1 q 4).
Nga ekuacioni q 2 - q - 2 = 0 gjejmë q 1 = 2, q 2 = -1. Duke zëvendësuar vlerën q = 2 në ekuacionin e dytë të sistemit, marrim 
Duke zëvendësuar vlerën q = -1 në ekuacionin e dytë të sistemit, marrim b 1 1 0 = 48; ky ekuacion nuk ka zgjidhje.
Pra, b 1 =1, q = 2 - ky çift është zgjidhja e sistemit të përpiluar të ekuacioneve.
Tani mund të shkruajmë progresionin gjeometrik të diskutuar në problem: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Faza e tretë.
Përgjigju pyetjes problemore. Ju duhet të llogaritni b 12. ne kemi
Përgjigje: b 12 = 2048.
3. Formula për shumën e termave të një progresion të fundëm gjeometrik.
Le të jepet një progresion i kufizuar gjeometrik
Le të shënojmë me S n shumën e termave të tij, d.m.th.
Le të nxjerrim një formulë për të gjetur këtë shumë.
Le të fillojmë me rastin më të thjeshtë, kur q = 1. Atëherë progresioni gjeometrik b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn përbëhet nga n numra të barabartë me b 1 , d.m.th. progresioni duket si b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Shuma e këtyre numrave është nb 1.
Le tash q = 1 Për të gjetur S n, zbatojmë një teknikë artificiale: kryejmë disa shndërrime të shprehjes S n q. Ne kemi:
Gjatë kryerjes së transformimeve, së pari kemi përdorur përkufizimin e një progresion gjeometrik, sipas të cilit (shih linjën e tretë të arsyetimit); së dyti, kanë shtuar dhe zbritur, prandaj kuptimi i shprehjes, natyrisht, nuk ka ndryshuar (shih rreshtin e katërt të arsyetimit); së treti, ne përdorëm formulën për termin e n-të të një progresion gjeometrik:
Nga formula (1) gjejmë:
Kjo është formula për shumën e n termave të një progresion gjeometrik (për rastin kur q = 1).
Shembulli 8.
Jepet një progresion i kufizuar gjeometrik
a) shuma e termave të progresionit; b) shumën e katrorëve të termave të saj.
b) Më lart (shih f. 132) kemi vërejtur tashmë se nëse të gjithë termat e një progresion gjeometrik janë në katror, atëherë marrim një progresion gjeometrik me termin e parë b 2 dhe emëruesin q 2. Pastaj shuma e gjashtë termave të progresionit të ri do të llogaritet me
Shembulli 9.
Gjeni termin e 8-të të progresionit gjeometrik për të cilin
Në fakt, ne kemi vërtetuar teoremën e mëposhtme.
Një sekuencë numerike është një progresion gjeometrik nëse dhe vetëm nëse katrori i secilit prej termave të tij, përveç teoremës së parë (dhe i fundit, në rastin e një sekuence të fundme), është i barabartë me produktin e termave të mëparshëm dhe të mëpasshëm (a veti karakteristike e një progresioni gjeometrik).
Le të shqyrtojmë një seri të caktuar.
7 28 112 448 1792...
Është absolutisht e qartë se vlera e ndonjë prej elementeve të tij është saktësisht katër herë më e madhe se ajo e mëparshme. Kjo do të thotë se ky serial është një progresion.
Një progresion gjeometrik është një sekuencë e pafundme numrash. tipar kryesor që është se numri tjetër fitohet nga ai i mëparshmi duke shumëzuar me ndonjë numër specifik. Kjo shprehet me formulën e mëposhtme.
a z +1 =a z ·q, ku z është numri i elementit të zgjedhur.
Prandaj, z ∈ N.
Periudha kur studiohet progresioni gjeometrik në shkollë është klasa e 9-të. Shembujt do t'ju ndihmojnë të kuptoni konceptin:
0.25 0.125 0.0625...
Bazuar në këtë formulë, emëruesi i progresionit mund të gjendet si më poshtë:
As q as b z nuk mund të jenë zero. Gjithashtu, secili prej elementeve të progresionit nuk duhet të jetë i barabartë me zero.
Prandaj, për të gjetur numrin tjetër në një seri, duhet të shumëzoni atë të fundit me q.
Për të vendosur këtë progresion, duhet të specifikoni elementin dhe emëruesin e tij të parë. Pas kësaj, është e mundur të gjendet ndonjë nga termat pasues dhe shuma e tyre.
Varietetet
Në varësi të q dhe a 1, ky progresion ndahet në disa lloje:
- Nëse edhe a 1 edhe q më shumë se një, atëherë një sekuencë e tillë është një progresion gjeometrik që rritet me çdo element pasues. Një shembull i kësaj është paraqitur më poshtë.
Shembull: a 1 =3, q=2 - të dy parametrat janë më të mëdhenj se një.
Atëherë sekuenca e numrave mund të shkruhet kështu:
3 6 12 24 48 ...
- Nëse |q| më pak se një, domethënë, shumëzimi me të është i barabartë me pjesëtimin, atëherë një progresion me kushte të ngjashme është një progresion gjeometrik në rënie. Një shembull i kësaj është paraqitur më poshtë.
Shembull: a 1 =6, q=1/3 - a 1 është më e madhe se një, q është më e vogël.
Pastaj sekuenca e numrave mund të shkruhet si më poshtë:
6 2 2/3 ... - çdo element është 3 herë më i madh se elementi pas tij.
- Shenjë alternative. Nëse q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Shembull: a 1 = -3, q = -2 - të dy parametrat janë më pak se zero.
Atëherë sekuenca e numrave mund të shkruhet kështu:
3, 6, -12, 24,...
Formulat
Ka shumë formula për përdorim të përshtatshëm të progresioneve gjeometrike:
- Formula e termit Z. Ju lejon të llogaritni një element nën një numër specifik pa llogaritur numrat e mëparshëm.
Shembull:q = 3, a 1 = 4. Kërkohet numërimi i elementit të katërt të progresionit.
Zgjidhja:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Shuma e elementeve të parë, sasia e të cilëve është e barabartë me z. Ju lejon të llogaritni shumën e të gjithë elementëve të një sekuence deri nëa zpërfshirëse.
Që nga (1-q) është në emërues, atëherë (1 - q)≠ 0, pra q nuk është e barabartë me 1.
Shënim: nëse q=1, atëherë progresioni do të ishte një seri numrash që përsëriten pafundësisht.
Shuma e progresionit gjeometrik, shembuj:a 1 = 2, q= -2. Llogaritni S5.
Zgjidhja:S 5 = 22 - llogaritja duke përdorur formulën.
- Shuma nëse |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Shembull:a 1 = 2 , q= 0,5. Gjeni shumën.
Zgjidhja:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Disa veti:
- Veti karakteristike. Nëse kushti i mëposhtëm punon për çdoz, atëherë seria e numrave të dhënë është një progresion gjeometrik:
a z 2 = a z -1 · az+1
- Gjithashtu, katrori i çdo numri në një progresion gjeometrik gjendet duke shtuar katrorët e çdo dy numrash të tjerë në një seri të caktuar, nëse ato janë në distancë të barabartë nga ky element.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Kut- distanca midis këtyre numrave.
- Elementetndryshojnë në qnjë herë.
- Logaritmet e elementeve të një progresion formojnë gjithashtu një progresion, por një aritmetik, domethënë secila prej tyre është më e madhe se e mëparshmja për një numër të caktuar.
Shembuj të disa problemeve klasike
Për të kuptuar më mirë se çfarë është një progresion gjeometrik, shembujt me zgjidhje për klasën 9 mund të ndihmojnë.
- Kushtet:a 1 = 3, a 3 = 48. Gjeniq.
Zgjidhja: çdo element pasues është më i madh se ai i mëparshmi nëq një herë.Është e nevojshme që disa elementë të shprehen në terma të të tjerëve duke përdorur një emërues.
Prandaj,a 3 = q 2 · a 1
Gjatë zëvendësimitq= 4
- Kushtet:a 2 = 6, a 3 = 12. Llogarit S 6.
Zgjidhja:Për ta bërë këtë, thjesht gjeni q, elementin e parë dhe zëvendësojeni atë në formulë.
a 3 = q· a 2 , pra,q= 2
a 2 = q · një 1,Kjo është arsyeja pse a 1 = 3
S 6 = 189
- · a 1 = 10, q= -2. Gjeni elementin e katërt të progresionit.
Zgjidhja: për ta bërë këtë, mjafton të shprehni elementin e katërt përmes të parës dhe përmes emëruesit.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Shembull aplikimi:
- Një klient banke bëri një depozitë në shumën prej 10,000 rubla, sipas kushteve të së cilës çdo vit klientit do t'i shtohet 6% e saj në shumën e principalit. Sa para do të jenë në llogari pas 4 vjetësh?
Zgjidhja: Shuma fillestare është 10 mijë rubla. Kjo do të thotë që një vit pas investimit llogaria do të ketë një shumë të barabartë me 10,000 + 10,000 · 0,06 = 10000 1,06
Prandaj, shuma në llogari pas një viti tjetër do të shprehet si më poshtë:
(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000
Domethënë, çdo vit shuma rritet me 1.06 herë. Kjo do të thotë se për të gjetur shumën e fondeve në llogari pas 4 vitesh, mjafton të gjesh elementin e katërt të progresionit, i cili jepet nga elementi i parë i barabartë me 10 mijë dhe emëruesi i barabartë me 1.06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Shembuj të problemeve për llogaritjen e shumave:
Progresioni gjeometrik përdoret në probleme të ndryshme. Një shembull për gjetjen e shumës mund të jepet si më poshtë:
a 1 = 4, q= 2, llogaritS 5.
Zgjidhja: të gjitha të dhënat e nevojshme për llogaritjen janë të njohura, thjesht duhet t'i zëvendësoni ato në formulë.
S 5 = 124
- a 2 = 6, a 3 = 18. Llogaritni shumën e gjashtë elementëve të parë.
Zgjidhja:
Në gjeom. progresion, çdo element tjetër është q herë më i madh se ai i mëparshmi, domethënë, për të llogaritur shumën që duhet të dini elementina 1 dhe emëruesq.
a 2 · q = a 3
q = 3
Në mënyrë të ngjashme, ju duhet të gjenia 1 , duke ditura 2 Dheq.
a 1 · q = a 2
a 1 =2
S 6 = 728.
Udhëzimet
10, 30, 90, 270...
Ju duhet të gjeni emëruesin e një progresion gjeometrik.
Zgjidhja:
Opsioni 1. Le të marrim një term arbitrar të progresionit (për shembull, 90) dhe ta ndajmë atë me atë të mëparshëm (30): 90/30=3.
Nëse dihet shuma e disa termave të një progresioni gjeometrik ose shuma e të gjithë termave të një progresioni gjeometrik në rënie, atëherë për të gjetur emëruesin e progresionit, përdorni formulat e duhura:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), ku Sn është shuma e n termave të parë të progresionit gjeometrik dhe
S = b1/(1-q), ku S është shuma e një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie (shuma e të gjithë termave të progresionit me emërues më të vogël se një).
Shembull.
Termi i parë i një progresion gjeometrik në rënie është i barabartë me një, dhe shuma e të gjithë termave të tij është e barabartë me dy.
Kërkohet të përcaktohet emëruesi i këtij progresioni.
Zgjidhja:
Zëvendësoni të dhënat nga problemi në formulë. Do të rezultojë:
2=1/(1-q), prej nga – q=1/2.
Një progresion është një sekuencë numrash. Në një progresion gjeometrik, çdo term i mëpasshëm fitohet duke shumëzuar atë të mëparshëm me një numër të caktuar q, i quajtur emëruesi i progresionit.
Udhëzimet
Nëse njihen dy terma gjeometrikë fqinjë b(n+1) dhe b(n), për të marrë emëruesin, duhet të pjesëtoni numrin me atë më të madhin me atë që i paraprin: q=b(n+1)/b (n). Kjo rrjedh nga përkufizimi i progresionit dhe emëruesi i tij. Një kusht i rëndësishëm është që termi i parë dhe emëruesi i progresionit të mos jenë të barabartë me zero, përndryshe ai konsiderohet i papërcaktuar.
Kështu, ndërmjet termave të progresionit vendosen marrëdhëniet e mëposhtme: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Duke përdorur formulën b(n)=b1 q^(n-1), mund të llogaritet çdo term i progresionit gjeometrik në të cilin dihet emëruesi q dhe termi b1. Gjithashtu, secila prej progresioneve është e barabartë në modul me mesataren e anëtarëve fqinjë: |b(n)|=√, ku progresion e ka marrë .
Një analog i një progresion gjeometrik është funksioni më i thjeshtë eksponencial y=a^x, ku x është një eksponent, a është një numër i caktuar. Në këtë rast, emëruesi i progresionit përkon me termin e parë dhe është i barabartë me numrin a. Vlera e funksionit y mund të kuptohet si termi i n-të i progresionit nëse argumenti x merret si një numër natyror n (numërues).
Ekziston për shumën e n termave të parë të një progresion gjeometrik: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Kjo formulë është e vlefshme për q≠1. Nëse q=1, atëherë shuma e n termave të parë llogaritet me formulën S(n)=n b1. Nga rruga, progresioni do të quhet rritje kur q është më i madh se një dhe b1 është pozitiv. Nëse emëruesi i progresionit nuk e kalon një në vlerë absolute, progresioni do të quhet zbritës.
Një rast i veçantë i një progresion gjeometrik është një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie (progresion gjeometrik pafundësisht në rënie). Fakti është se kushtet e një progresion gjeometrik në rënie do të ulen vazhdimisht, por kurrë nuk do të arrijnë zero. Përkundër kësaj, është e mundur të gjendet shuma e të gjitha termave të një progresion të tillë. Përcaktohet me formulën S=b1/(1-q). Numri i përgjithshëm i termave n është i pafund.
Për të vizualizuar se si mund të shtoni një numër të pafund numrash pa marrë pafundësi, piqni një tortë. Prisni gjysmën e tij. Pastaj prisni gjysmën e gjysmës, e kështu me radhë. Pjesët që do të merrni nuk janë gjë tjetër veçse anëtarë të një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie me një emërues 1/2. Nëse shtoni të gjitha këto pjesë, merrni tortën origjinale.
Problemet e gjeometrisë janë një lloj i veçantë ushtrimi që kërkon të menduarit hapësinor. Nëse nuk mund të zgjidhni një gjeometrike detyrë, provoni të ndiqni rregullat e mëposhtme.
Udhëzimet
Lexoni me shumë kujdes kushtet e detyrës nëse nuk mbani mend ose kuptoni diçka, rilexoni atë përsëri.
Përpiquni të përcaktoni se për çfarë lloj problemesh gjeometrike bëhet fjalë, për shembull: ato llogaritëse, kur duhet të zbuloni ndonjë vlerë, problemet që përfshijnë , që kërkojnë një zinxhir logjik arsyetimi, problemet që përfshijnë ndërtimin duke përdorur një busull dhe vizore. Më shumë detyra të tipit të përzier. Pasi të keni kuptuar llojin e problemit, përpiquni të mendoni logjikisht.
Zbatoni teoremën e nevojshme për një detyrë të caktuar, por nëse keni dyshime ose nuk keni fare opsione, atëherë përpiquni të mbani mend teorinë që keni studiuar në temën përkatëse.
Shkruani gjithashtu zgjidhjen e problemit në një formë draft. Mundohuni të përdorni metoda të njohura për të kontrolluar korrektësinë e zgjidhjes suaj.
Plotësoni mjeshtërisht zgjidhjen e problemit në fletoren tuaj, pa e fshirë ose gërryer, dhe më e rëndësishmja - Mund të duhet kohë dhe përpjekje për të zgjidhur problemet e para gjeometrike. Megjithatë, sapo ta zotëroni këtë proces, do të filloni të klikoni detyra si arra, duke e shijuar atë!
Një progresion gjeometrik është një sekuencë e numrave b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) i tillë që b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Me fjalë të tjera, çdo term i progresionit merret nga ai i mëparshmi duke e shumëzuar atë me një emërues jozero të progresionit q.
Udhëzimet
Problemet e progresionit më së shpeshti zgjidhen duke hartuar dhe më pas duke ndjekur një sistem në lidhje me termin e parë të progresionit b1 dhe emëruesin e progresionit q. Për të krijuar ekuacione, është e dobishme të mbani mend disa formula.
Si të shprehet termi i n-të i progresionit përmes anëtarit të parë të progresionit dhe emëruesi i progresionit: b(n)=b1*q^(n-1).
Le të shqyrtojmë veçmas rastin |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
