Ekstreme e funksionit
Përkufizimi 2
Një pikë $x_0$ quhet pikë maksimale e një funksioni $f(x)$ nëse ka një fqinjësi të kësaj pike të tillë që për të gjithë $x$ në këtë lagje pabarazia $f(x)\le f(x_0) $ mban.
Përkufizimi 3
Një pikë $x_0$ quhet pikë maksimale e një funksioni $f(x)$ nëse ka një fqinjësi të kësaj pike të tillë që për të gjithë $x$ në këtë lagje pabarazia $f(x)\ge f(x_0) $ mban.
Koncepti i një ekstremi të një funksioni është i lidhur ngushtë me konceptin e një pike kritike të një funksioni. Le të prezantojmë përkufizimin e tij.
Përkufizimi 4
$x_0$ quhet pikë kritike e funksionit $f(x)$ nëse:
1) $x_0$ - pika e brendshme e domenit të përkufizimit;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ ose nuk ekziston.
Për konceptin e ekstremit, ne mund të formulojmë teorema mbi mjaftueshëm dhe kushtet e nevojshme ekzistencës së tij.
Teorema 2
Kusht i mjaftueshëm për një ekstrem
Le të jetë pika $x_0$ kritike për funksionin $y=f(x)$ dhe të shtrihet në intervalin $(a,b)$. Le të ekzistojë në çdo interval $\left(a,x_0\right)\ dhe\ (x_0,b)$ derivati $f"(x)$ dhe mban një shenjë konstante. Pastaj:
1) Nëse në intervalin $(a,x_0)$ derivati është $f"\left(x\right)>0$, dhe në intervalin $(x_0,b)$ derivati është $f"\left( x\djathtas)
2) Nëse në intervalin $(a,x_0)$ derivati $f"\left(x\right)0$, atëherë pika $x_0$ është pika minimale për këtë funksion.
3) Nëse të dyja në intervalin $(a,x_0)$ dhe në intervalin $(x_0,b)$ derivati $f"\left(x\right) >0$ ose derivati $f"\left(x \ drejtë)
Kjo teoremë është ilustruar në Figurën 1.
Figura 1. Kusht i mjaftueshëm për ekzistimin e ekstremeve
Shembuj ekstremesh (Fig. 2).
Figura 2. Shembuj të pikave ekstreme
Rregulla për studimin e një funksioni për ekstremin
2) Gjeni derivatin $f"(x)$;
7) Nxirrni përfundime për praninë e maksimumeve dhe minimaleve në çdo interval, duke përdorur teoremën 2.
Funksioni rritës dhe pakësues
Le të prezantojmë fillimisht përkufizimet e funksioneve rritëse dhe zvogëluese.
Përkufizimi 5
Një funksion $y=f(x)$ i përcaktuar në intervalin $X$ thuhet se po rritet nëse për çdo pikë $x_1,x_2\në X$ në $x_1
Përkufizimi 6
Një funksion $y=f(x)$ i përcaktuar në intervalin $X$ thuhet se është në rënie nëse për ndonjë pikë $x_1,x_2\në X$ për $x_1f(x_2)$.
Studimi i një funksioni për rritje dhe ulje
Ju mund të studioni funksionet rritëse dhe zvogëluese duke përdorur derivatin.
Për të ekzaminuar një funksion për intervalet e rritjes dhe zvogëlimit, duhet të bëni sa më poshtë:
1) Gjeni domenin e përkufizimit të funksionit $f(x)$;
2) Gjeni derivatin $f"(x)$;
3) Gjeni pikat në të cilat vlen barazia $f"\left(x\right)=0$;
4) Gjeni pikat në të cilat $f"(x)$ nuk ekziston;
5) Shënoni në vijën koordinative të gjitha pikat e gjetura dhe domenin e përcaktimit të këtij funksioni;
6) Përcaktoni shenjën e derivatit $f"(x)$ në çdo interval që rezulton;
7) Nxirrni një përfundim: në intervalet ku $f"\left(x\right)0$ funksioni rritet.
Shembuj të problemeve për studimin e funksioneve për rritjen, zvogëlimin dhe praninë e pikave ekstreme
Shembulli 1
Shqyrtoni funksionin për rritjen dhe zvogëlimin, dhe praninë e pikave maksimale dhe minimale: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Meqenëse 6 pikat e para janë të njëjta, le t'i zbatojmë ato së pari.
1) Domeni i përkufizimit - të gjithë numrat realë;
2) $f"\majtas(x\djathtas)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\majtas(x\djathtas)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ ekziston në të gjitha pikat e domenit të përkufizimit;
5) Linja e koordinatave:
Figura 3.
6) Përcaktoni shenjën e derivatit $f"(x)$ në çdo interval:
\ \, nëse për ndonjë palë pikësh X Dhe X", a ≤ x vlen pabarazia f(x) ≤ f (x"), dhe rreptësisht në rritje - nëse pabarazia plotësohet f (x) f(x"). Funksionet zvogëluese dhe rreptësisht zvogëluese përcaktohen në mënyrë të ngjashme. Për shembull, funksioni në = X 2 (oriz. , a) rritet rreptësisht në segment, dhe
(oriz. , b) zvogëlohet rreptësisht në këtë segment. Funksionet në rritje janë caktuar f (x), dhe në rënie f (x)↓. f (x Në mënyrë që të ketë një funksion të diferencueshëm ) po rritej në segmentin [, A b f"(x], është e nevojshme dhe e mjaftueshme që derivati i tij ) po rritej në segmentin [, A].
) ishte jo negative në [ në = f (x Së bashku me rritjen dhe uljen e një funksioni në një segment, marrim parasysh rritjen dhe uljen e një funksioni në një pikë. Funksioni x) quhet rritje në pikë x 0 nëse ka një interval (α, β) që përmban pikën X 0, e cila për çdo pikë nga (α, β), x x> f (x 0) ≤ f (x 0, pabarazia vlen X 0, e cila për çdo pikë ), dhe për çdo pikë f (x) x 0, pabarazia vlen (x≤ f x 0). Rritja strikte e një funksioni në pikë përcaktohet në mënyrë të ngjashme f"(x 0) > 0 . Nëse f(x 0, pastaj funksioni x 0). Rritja strikte e një funksioni në pikë përcaktohet në mënyrë të ngjashme f (x) rritet rreptësisht në pikë ) rritet në çdo pikë të intervalit (, A a
), atëherë rritet gjatë këtij intervali.
S. B. Stechkin.. 1969-1978 .
Enciklopedia e Madhe Sovjetike. - M.: Enciklopedia Sovjetike
Shihni se çfarë janë "Funksionet rritëse dhe zvogëluese" në fjalorë të tjerë: Fjalori i madh enciklopedik
Konceptet e analizës matematikore. Një funksion f(x) thuhet se është në rritje në segment nëse për çdo çift pikash x1 dhe x2, a≤x1 ... Fjalor Enciklopedik
Konceptet e matematikës. analiza. Funksioni f(x) quhet. duke u rritur në segmentin [a, b], nëse për ndonjë çift pikash x1 dhe x2, dhe<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)
Një degë e matematikës që studion derivatet dhe diferencialet e funksioneve dhe aplikimet e tyre në studimin e funksioneve. Projektimi i D. dhe. në një disiplinë të pavarur matematikore shoqërohet me emrat e I. Newton dhe G. Leibniz (gjysma e dytë e 17 ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike
Një degë e matematikës në të cilën studiohen konceptet e derivatit dhe diferencialit dhe si ato zbatohen në studimin e funksioneve. Zhvillimi i D. dhe. i lidhur ngushtë me zhvillimin e kalkulusit integral. Përmbajtja e tyre është gjithashtu e pandashme. Së bashku ata përbëjnë bazën... ... Enciklopedia matematikore
Ky term ka kuptime të tjera, shih funksionin. Kërkesa "Shfaq" ridrejtohet këtu; shih edhe kuptime të tjera... Wikipedia
Aristoteli dhe Peripatetikët- Pyetja e Aristotelit Jeta e Aristotelit Aristoteli lindi në vitin 384/383. para Krishtit e. në Stagira, në kufi me Maqedoninë. Babai i tij, i quajtur Nicomachus, ishte një mjek në shërbim të mbretit maqedonas Amyntas, babait të Filipit. Së bashku me familjen e tij, Aristoteli i ri... ... Filozofia perëndimore nga origjina e saj deri në ditët e sotme
- (QCD), teoria kuantike e fushës së bashkëveprimit të fortë të kuarkeve dhe gluoneve, e ndërtuar në imazhin e kuantit. elektrodinamika (QED) bazuar në simetrinë e matësit të "ngjyrave". Ndryshe nga QED, fermionet në QCD kanë veti plotësuese. shkalla kuantike e lirisë numri,…… Enciklopedi fizike
I Zemra Zemra (latinisht cor, greqisht cardia) është një organ i zbrazët fibromuskular që, duke funksionuar si pompë, siguron lëvizjen e gjakut në sistemin e qarkullimit të gjakut. Anatomia Zemra ndodhet në mediastinum anterior (Mediastinum) në perikard midis... ... Enciklopedia mjekësore
Jeta e një bime, si çdo organizëm tjetër i gjallë, është një grup kompleks procesesh të ndërlidhura; Më e rëndësishmja prej tyre, siç dihet, është shkëmbimi i substancave me mjedisin. Mjedisi është burimi nga i cili... ... Enciklopedi biologjike
