Ndonjëherë në jetë ka situata kur ju duhet të gërmoni në kujtesën tuaj në kërkim të njohurive shkollore të harruara prej kohësh. Për shembull, duhet të përcaktoni sipërfaqen e një trualli në formë trekëndore, ose ka ardhur koha për një rinovim tjetër në një apartament ose shtëpi private, dhe duhet të llogaritni se sa material do të nevojitet për një sipërfaqe me një formë trekëndore. Kishte një kohë kur mund ta zgjidhnit një problem të tillë në disa minuta, por tani po përpiqeni dëshpërimisht të mbani mend se si të përcaktoni sipërfaqen e një trekëndëshi?

Mos u shqetësoni për këtë! Në fund të fundit, është mjaft normale kur truri i një personi vendos të transferojë njohuritë e papërdorura prej kohësh diku në një cep të largët, nga i cili ndonjëherë nuk është aq e lehtë ta nxjerrësh atë. Në mënyrë që të mos keni nevojë të luftoni me kërkimin e njohurive të harruara shkollore për të zgjidhur një problem të tillë, ky artikull përmban metoda të ndryshme, të cilat e bëjnë të lehtë gjetjen e zonës së kërkuar të trekëndëshit.

Dihet mirë se një trekëndësh është një lloj shumëkëndëshi që është minimalisht i kufizuar numri i mundshëm anët Në parim, çdo shumëkëndësh mund të ndahet në disa trekëndësha duke i lidhur kulmet e tij me segmente që nuk i kryqëzojnë brinjët e tij. Prandaj, duke ditur trekëndëshin, mund të llogaritni sipërfaqen e pothuajse çdo figure.

Ndër të gjithë trekëndëshat e mundshëm që ndodhin në jetë, mund të dallohen llojet e mëposhtme të veçanta: dhe drejtkëndëshe.

Mënyra më e lehtë për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi është kur një nga këndet e tij është i drejtë, domethënë në rastin e një trekëndëshi kënddrejtë. Është e lehtë të shihet se është gjysmë drejtkëndësh. Prandaj, sipërfaqja e saj është e barabartë me gjysmën e produktit të anëve që formojnë një kënd të drejtë me njëra-tjetrën.

Nëse e dimë lartësinë e një trekëndëshi, të rënë nga një nga kulmet e tij në anën e kundërt, dhe gjatësia e kësaj faqeje, e cila quhet bazë, atëherë sipërfaqja llogaritet sa gjysma e prodhimit të lartësisë dhe bazës. Kjo është shkruar duke përdorur formulën e mëposhtme:

S = 1/2*b*h, në të cilën

S është zona e kërkuar e trekëndëshit;

b, h - përkatësisht lartësia dhe baza e trekëndëshit.

Është kaq e lehtë për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi izoscelular, sepse lartësia do të përgjysmojë anën e kundërt dhe mund të matet lehtësisht. Nëse zona përcaktohet, atëherë është e përshtatshme të merret gjatësia e njërës prej anëve që formojnë një kënd të drejtë si lartësi.

E gjithë kjo është sigurisht e mirë, por si të përcaktohet nëse një nga këndet e një trekëndëshi është i drejtë apo jo? Nëse madhësia e figurës sonë është e vogël, atëherë mund të përdorni një kënd ndërtimi, një trekëndësh vizatimi, një kartolinë ose objekt tjetër me formë drejtkëndëshe.

Por çka nëse kemi një trekëndësh truall? Në këtë rast, veproni si më poshtë: numëroni nga maja e të pritshmeve kënd i drejtë nga njëra anë distanca është shumëfish i 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), dhe nga ana tjetër një distancë matet në të njëjtin proporcion që është shumëfish i 4 (40 cm, 160 cm, 4 m) . Tani duhet të matni distancën midis pikave fundore të këtyre dy segmenteve. Nëse rezultati është një shumëfish i 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), atëherë mund të themi se këndi është i drejtë.

Nëse dihet gjatësia e secilës prej tre anëve të figurës sonë, atëherë sipërfaqja e trekëndëshit mund të përcaktohet duke përdorur formulën e Heronit. Për të pasur një formë më të thjeshtë, përdoret një vlerë e re, e cila quhet gjysmëperimetri. Kjo është shuma e të gjitha brinjëve të trekëndëshit tonë, të ndarë në gjysmë. Pasi të jetë llogaritur gjysmëperimetri, mund të filloni të përcaktoni zonën duke përdorur formulën:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), ku

sqrt - rrënjë katrore;

p - vlera gjysmë-perimetrike (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - skajet (anët) e trekëndëshit.

Por çka nëse trekëndëshi ka formë të çrregullt? Këtu ka dy mënyra të mundshme. E para prej tyre është të përpiqemi të ndajmë një figurë të tillë në dy trekëndësha kënddrejtë, shuma e sipërfaqeve të të cilave llogaritet veçmas dhe më pas shtohet. Ose, nëse dihet këndi midis dy anëve dhe madhësia e këtyre anëve, atëherë zbatoni formulën:

S = 0,5 * ab * sinC, ku

a,b - anët e trekëndëshit;

c është madhësia e këndit ndërmjet këtyre anëve.

Rasti i fundit është i rrallë në praktikë, por megjithatë, gjithçka është e mundur në jetë, kështu që formula e mësipërme nuk do të jetë e tepërt. Fat i mirë me llogaritjet tuaja!

Siç mund ta mbani mend nga kurrikula juaj e gjeometrisë së shkollës, një trekëndësh është një figurë e formuar nga tre segmente të lidhura nga tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë. Një trekëndësh formon tre kënde, prandaj emri i figurës. Përkufizimi mund të jetë i ndryshëm. Një trekëndësh mund të quhet edhe shumëkëndësh me tre kënde, përgjigja gjithashtu do të jetë e saktë. Trekëndëshat ndahen sipas numrit të brinjëve të barabarta dhe madhësisë së këndeve në figura. Kështu, trekëndëshat dallohen përkatësisht si dykëndësh, barabrinjës dhe skalenë, si dhe drejtkëndësh, akute dhe të trashë.

Ka shumë formula për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi. Zgjidhni si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi, d.m.th. Cila formulë të përdorni varet nga ju. Por vlen të përmendet vetëm disa nga shënimet që përdoren në shumë formula për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi. Pra, mbani mend:

S është sipërfaqja e trekëndëshit,

a, b, c janë brinjët e trekëndëshit,

h është lartësia e trekëndëshit,

R është rrezja e rrethit të rrethuar,

p është gjysmëperimetri.

Këtu janë shënimet bazë që mund të jenë të dobishme për ju nëse e keni harruar plotësisht kursin tuaj të gjeometrisë. Më poshtë janë më të kuptueshmet dhe jo opsione komplekse duke llogaritur zonën e panjohur dhe misterioze të një trekëndëshi. Nuk është e vështirë dhe do të jetë e dobishme si për nevojat tuaja shtëpiake ashtu edhe për të ndihmuar fëmijët tuaj. Le të kujtojmë se si të llogarisim sipërfaqen e një trekëndëshi sa më lehtë që të jetë e mundur:

Në rastin tonë, sipërfaqja e trekëndëshit është: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm katrore. Mos harroni se sipërfaqja matet në centimetra katrorë (cm katror).

Trekëndëshi kënddrejtë dhe sipërfaqja e tij.

Një trekëndësh kënddrejtë është një trekëndësh në të cilin një kënd është i barabartë me 90 gradë (prandaj quhet i drejtë). Një kënd i drejtë formohet nga dy vija pingule (në rastin e një trekëndëshi, dy segmente pingul). NË trekëndësh kënddrejtë Mund të ketë vetëm një kënd të drejtë, sepse shuma e të gjitha këndeve të çdo trekëndëshi është e barabartë me 180 gradë. Rezulton se 2 kënde të tjera duhet të ndajnë 90 gradët e mbetura, për shembull 70 dhe 20, 45 dhe 45, etj. Pra, ju mbani mend gjënë kryesore, gjithçka që mbetet është të zbuloni se si të gjeni zonën e një trekëndëshi kënddrejtë. Le të imagjinojmë se kemi një trekëndësh të tillë kënddrejtë para nesh dhe duhet të gjejmë zonën e tij S.

1. Mënyra më e thjeshtë për të përcaktuar sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:

Në rastin tonë, sipërfaqja e trekëndëshit kënddrejtë është: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.

Në parim, nuk ka më nevojë të verifikohet zona e trekëndëshit në mënyra të tjera, sepse Vetëm kjo do të jetë e dobishme dhe do të ndihmojë në jetën e përditshme. Por ka edhe mundësi për matjen e zonës së një trekëndëshi përmes këndeve akute.

2. Për metodat e tjera të llogaritjes, duhet të keni një tabelë të kosinuseve, sinuseve dhe tangjenteve. Gjykoni vetë, këtu janë disa opsione për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi kënddrejtë që mund të përdoret akoma:

Vendosëm të përdorim formulën e parë dhe me disa njolla të vogla (e vizatuam në një fletore dhe përdorëm një vizore dhe raportues të vjetër), por morëm llogaritjen e saktë:

S = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2). Ne morëm rezultatet e mëposhtme: 3.6=3.7, por duke marrë parasysh zhvendosjen e qelizave, mund ta falim këtë nuancë.

Trekëndëshi dykëndësh dhe sipërfaqja e tij.

Nëse jeni përballur me detyrën e llogaritjes së formulës për një trekëndësh dykëndësh, atëherë mënyra më e lehtë është të përdorni formulën kryesore dhe atë që konsiderohet të jetë formula klasike për sipërfaqen e një trekëndëshi.

Por së pari, para se të gjejmë sipërfaqen e një trekëndëshi izosceles, le të zbulojmë se çfarë lloj figure është kjo. Një trekëndësh dykëndësh është një trekëndësh në të cilin dy brinjë kanë të njëjtën gjatësi. Këto dy anë quhen anësore, ana e tretë quhet bazë. Mos e ngatërroni një trekëndësh dykëndësh me një trekëndësh barabrinjës, d.m.th. një trekëndësh i rregullt me ​​të tri brinjët të barabarta. Në një trekëndësh të tillë nuk ka prirje të veçanta për këndet, ose më mirë për madhësinë e tyre. Megjithatë, këndet në bazën në një trekëndësh izoscelorë janë të barabartë, por të ndryshëm nga këndi ndërmjet anët e barabarta. Pra, ju tashmë e dini formulën e parë dhe kryesore, mbetet të zbuloni se cilat formula të tjera për përcaktimin e sipërfaqes së një trekëndëshi izosceles janë të njohura:

Trekëndëshi është një nga më të zakonshmet forma gjeometrike, të cilën tashmë e takojmë shkollën fillore. Çdo student përballet me pyetjen se si të gjejë sipërfaqen e një trekëndëshi në mësimet e gjeometrisë. Pra, cilat veçori të gjetjes së sipërfaqes së një figure të caktuar mund të identifikohen? Në këtë artikull do të shikojmë formulat bazë të nevojshme për të përfunduar një detyrë të tillë, dhe gjithashtu do të analizojmë llojet e trekëndëshave.

Llojet e trekëndëshave

Ju mund të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi absolutisht në mënyra të ndryshme, sepse në gjeometri ka më shumë se një lloj figurash që përmbajnë tre kënde. Këto lloje përfshijnë:

• I mpirë.
• Barabrinjës (i saktë).
• Trekëndësh kënddrejtë.
• Isosceles.

Le të hedhim një vështrim më të afërt në secilën prej tyre llojet ekzistuese trekëndëshat.

Kjo figurë gjeometrike konsiderohet më e zakonshme gjatë zgjidhjes së problemeve gjeometrike. Kur lind nevoja për të vizatuar një trekëndësh arbitrar, ky opsion vjen në shpëtim.

Në një trekëndësh akut, siç sugjeron emri, të gjitha këndet janë akute dhe mblidhen deri në 180°.

Ky lloj trekëndëshi është gjithashtu shumë i zakonshëm, por është disi më pak i zakonshëm se një trekëndësh akut. Për shembull, kur zgjidhni trekëndëshat (d.m.th., njihen disa nga anët dhe këndet e tij dhe ju duhet të gjeni elementët e mbetur), ndonjëherë duhet të përcaktoni nëse këndi është i mpirë apo jo. Kosinusi është një numër negativ.

B, vlera e njërit prej këndeve tejkalon 90 °, kështu që dy këndet e mbetura mund të marrin vlera të vogla (për shembull, 15 ° ose edhe 3 °).

Për të gjetur sipërfaqen e një trekëndëshi të këtij lloji, duhet të dini disa nuanca, për të cilat do të flasim në vijim.

Trekëndësha të rregullt dhe dykëndësh

Shumëkëndëshi i rregulltështë një figurë që përfshin n kënde dhe brinjët dhe këndet e së cilës janë të gjitha të barabarta. Kjo është ajo që është një trekëndësh i rregullt. Meqenëse shuma e të gjitha këndeve të një trekëndëshi është 180°, atëherë secili nga tre këndet është 60°.

Një trekëndësh i rregullt, për shkak të vetive të tij, quhet edhe figurë barabrinjës.

Vlen gjithashtu të përmendet se vetëm një rreth mund të futet në një trekëndësh të rregullt, dhe vetëm një rreth mund të përshkruhet rreth tij, dhe qendrat e tyre janë të vendosura në të njëjtën pikë.

Përveç llojit barabrinjës, mund të dallohet edhe një trekëndësh izosceles, i cili është paksa i ndryshëm nga ai. Në një trekëndësh të tillë, dy brinjë dhe dy kënde janë të barabarta me njëra-tjetrën, dhe ana e tretë (me të cilën janë ngjitur kënde të barabarta) është baza.

Figura tregon një trekëndësh dykëndësh DEF, këndet D dhe F të të cilit janë të barabartë dhe DF është baza.

Trekëndësh kënddrejtë

Një trekëndësh kënddrejtë quhet kështu sepse njëri prej këndeve të tij është i drejtë, domethënë i barabartë me 90°. Dy këndet e tjera mblidhen deri në 90°.

Ana më e madhe e një trekëndëshi të tillë, e shtrirë përballë këndit 90°, është hipotenuza, ndërsa dy anët e mbetura janë këmbët. Për këtë lloj trekëndëshi, zbatohet teorema e Pitagorës:

Shuma e katrorëve të gjatësisë së këmbëve është e barabartë me katrorin e gjatësisë së hipotenuzës.

Figura tregon një trekëndësh kënddrejtë BAC me hipotenuzë AC dhe këmbët AB dhe BC.

Për të gjetur zonën e një trekëndëshi me një kënd të drejtë, duhet të dini vlerat numerike të këmbëve të tij.

Le të kalojmë te formulat për gjetjen e sipërfaqes së një figure të caktuar.

Formulat bazë për gjetjen e sipërfaqes

Në gjeometri mund të dallohen dy formula që janë të përshtatshme për gjetjen e sipërfaqes së shumicës së llojeve të trekëndëshave, përkatësisht për akute, të mpirë, të rregullt dhe trekëndëshat dykëndësh. Le të shohim secilin prej tyre.

Nga ana dhe lartësia

Kjo formulë është universale për të gjetur sipërfaqen e figurës që po shqyrtojmë. Për ta bërë këtë, mjafton të dini gjatësinë e anës dhe gjatësinë e lartësisë së tërhequr në të. Vetë formula (gjysma e produktit të bazës dhe lartësisë) është si më poshtë:

ku A është brinja e një trekëndëshi të caktuar, dhe H është lartësia e trekëndëshit.

Për shembull, për të gjetur zonën e një trekëndëshi akut ACB, duhet të shumëzoni anën e tij AB me lartësinë CD dhe të ndani vlerën që rezulton me dy.

Sidoqoftë, nuk është gjithmonë e lehtë të gjesh sipërfaqen e një trekëndëshi në këtë mënyrë. Për shembull, për të përdorur këtë formulë për një trekëndësh të mpirë, duhet të zgjasni njërën nga anët e tij dhe vetëm atëherë të vizatoni një lartësi në të.

Në praktikë, kjo formulë përdoret më shpesh se të tjerët.

Në të dy anët dhe në qoshe

Kjo formulë, si ajo e mëparshme, është e përshtatshme për shumicën e trekëndëshave dhe në kuptimin e saj është pasojë e formulës për gjetjen e sipërfaqes anash dhe lartësisë së një trekëndëshi. Kjo do të thotë, formula në fjalë mund të nxirret lehtësisht nga ajo e mëparshme. Formulimi i tij duket si ky:

S = ½*sinO*A*B,

ku A dhe B janë brinjët e trekëndëshit, dhe O është këndi midis brinjëve A dhe B.

Le të kujtojmë se sinusi i një këndi mund të shihet në një tabelë të veçantë të quajtur sipas matematikanit të shquar sovjetik V. M. Bradis.

Tani le të kalojmë në formula të tjera që janë të përshtatshme vetëm për lloje të jashtëzakonshme të trekëndëshave.

Sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë

Përveç formulës universale, e cila përfshin nevojën për të gjetur lartësinë në një trekëndësh, zona e një trekëndëshi që përmban një kënd të drejtë mund të gjendet nga këmbët e tij.

Kështu, zona e një trekëndëshi që përmban një kënd të drejtë është gjysma e produktit të këmbëve të tij, ose:

ku a dhe b janë këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë.

Trekëndësh i rregullt

Ky lloj Shifrat gjeometrike ndryshojnë në atë që zona e saj mund të gjendet me vlerën e treguar të vetëm njërës prej anëve të saj (pasi të gjitha anët e një trekëndëshi të rregullt janë të barabarta). Pra, kur përballeni me detyrën e "gjetjes së sipërfaqes së një trekëndëshi kur anët janë të barabarta", duhet të përdorni formulën e mëposhtme:

S = A 2 *√3 / 4,

ku A është brinja e trekëndëshit barabrinjës.

Formula e Heronit

Mundësia e fundit për të gjetur sipërfaqen e një trekëndëshi është formula e Heronit. Për ta përdorur atë, duhet të dini gjatësitë e tre anëve të figurës. Formula e Heronit duket si kjo:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

ku a, b dhe c janë brinjët e një trekëndëshi të dhënë.

Ndonjëherë jepet problemi: "Sipërfaqja e një trekëndëshi të rregullt është të gjesh gjatësinë e anës së tij". NË në këtë rast duhet të përdorim formulën që tashmë e dimë për të gjetur sipërfaqen e një trekëndëshi të rregullt dhe të nxjerrim prej saj vlerën e brinjës (ose katrorit të saj):

A 2 = 4S / √3.

Detyrat e provimit

Ka shumë formula në problemet GIA në matematikë. Përveç kësaj, mjaft shpesh është e nevojshme të gjendet zona e një trekëndëshi në letër me kuadrate.

Në këtë rast, është më e përshtatshme të vizatoni lartësinë në njërën nga anët e figurës, të përcaktoni gjatësinë e saj nga qelizat dhe të përdorni formulën universale për gjetjen e zonës:

Pra, pasi të keni studiuar formulat e paraqitura në artikull, nuk do të keni asnjë problem për të gjetur sipërfaqen e një trekëndëshi të çfarëdo lloji.

Zona e një trekëndëshi - formula dhe shembuj të zgjidhjes së problemit

Më poshtë janë formulat për gjetjen e sipërfaqes së një trekëndëshi arbitrar të cilat janë të përshtatshme për të gjetur sipërfaqen e çdo trekëndëshi, pavarësisht nga vetitë, këndet ose madhësitë e tij. Formulat paraqiten në formën e një fotografie, me shpjegime për zbatimin e tyre ose justifikim për korrektësinë e tyre. Korrespondenca tregohet gjithashtu në një figurë të veçantë emërtimet e shkronjave në formula dhe simbolet grafike në vizatim.

Shënim . Nëse trekëndëshi ka veti të veçanta(izosceles, drejtkëndëshe, barabrinjës), mund të përdorni formulat e dhëna më poshtë, si dhe formula të veçanta shtesë që janë të vlefshme vetëm për trekëndëshat me këto veti:

• "Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës"

Formulat e sipërfaqes së trekëndëshit

Shpjegime për formulat:
a, b, c- gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit sipërfaqen e të cilit duam ta gjejmë
r- rrezja e rrethit të brendashkruar në trekëndësh
R- rrezja e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit
h- lartësia e trekëndëshit ulet anash
fq- gjysmëperimetri i një trekëndëshi, 1/2 e shumës së brinjëve të tij (perimetri)
α - këndi përballë brinjës a të trekëndëshit
β - këndi përballë brinjës b të trekëndëshit
γ - këndi përballë brinjës c të trekëndëshit
h a, h b , h c- lartësia e trekëndëshit e ulur në brinjët a, b, c

Ju lutemi vini re se shënimet e mësipërme korrespondojnë me figurën e mësipërme, në mënyrë që gjatë zgjidhjes problem real në gjeometri, ishte vizualisht më e lehtë për ju të zëvendësoni vlerat e sakta në vendet e duhura në formulë.

• Sipërfaqja e trekëndëshit është gjysma e prodhimit të lartësisë së trekëndëshit dhe gjatësisë së brinjës me të cilën ulet kjo lartësi(Formula 1). Korrektësia e kësaj formule mund të kuptohet logjikisht. Lartësia e ulur në bazë do të ndajë një trekëndësh arbitrar në dy drejtkëndëshe. Nëse e ndërtoni secilën prej tyre në një drejtkëndësh me dimensione b dhe h, atëherë padyshim që sipërfaqja e këtyre trekëndëshave do të jetë e barabartë me saktësisht gjysmën e sipërfaqes së drejtkëndëshit (Spr = bh)
• Sipërfaqja e trekëndëshit është gjysma e prodhimit të dy brinjëve të tij dhe sinusit të këndit ndërmjet tyre(Formula 2) (shih një shembull të zgjidhjes së një problemi duke përdorur këtë formulë më poshtë). Edhe pse duket ndryshe nga ai i mëparshmi, mund të shndërrohet lehtësisht në të. Nëse e ulim lartësinë nga këndi B në brinjën b, rezulton se prodhimi i brinjës a dhe i sinusit të këndit γ, sipas vetive të sinusit në një trekëndësh kënddrejtë, është i barabartë me lartësinë e trekëndëshit që vizatuam. , e cila na jep formulën e mëparshme
• Mund të gjendet zona e një trekëndëshi arbitrar përmes puna gjysma e rrezes së rrethit të gdhendur në të nga shuma e gjatësive të të gjitha anëve të tij(Formula 3), thënë thjesht, ju duhet të shumëzoni gjysmëperimetrin e trekëndëshit me rrezen e rrethit të brendashkruar (kjo është më e lehtë për t'u mbajtur mend)
• Zona e një trekëndëshi arbitrar mund të gjendet duke e ndarë produktin e të gjitha anëve të tij me 4 rreze të rrethit të rrethuar rreth tij (Formula 4)
• Formula 5 po gjen sipërfaqen e një trekëndëshi përmes gjatësisë së brinjëve dhe gjysmëperimetrit të tij (gjysma e shumës së të gjitha brinjëve të tij)
• Formula e Heronit(6) është një paraqitje e së njëjtës formulë pa përdorur konceptin e gjysmëperimetrit, vetëm përmes gjatësive të brinjëve
• Sipërfaqja e një trekëndëshi arbitrar është e barabartë me produktin e katrorit të anës së trekëndëshit dhe sinuseve të këndeve ngjitur me këtë anë të ndarë me sinusin e dyfishtë të këndit përballë kësaj ane (Formula 7)
• Sipërfaqja e një trekëndëshi arbitrar mund të gjendet si produkt i dy katrorëve të rrethit të rrethuar rreth tij nga sinuset e secilit prej këndeve të tij. (Formula 8)
• Nëse dihen gjatësia e njërës anë dhe vlerat e dy këndeve ngjitur, atëherë sipërfaqja e trekëndëshit mund të gjendet si katrori i kësaj faqeje të ndarë me shumën e dyfishtë të kotangjentave të këtyre këndeve (Formula 9)
• Nëse dihet vetëm gjatësia e secilës prej lartësive të trekëndëshit (Formula 10), atëherë sipërfaqja e një trekëndëshi të tillë është në proporcion të zhdrejtë me gjatësitë e këtyre lartësive, si sipas Formulës së Heronit.
• Formula 11 ju lejon të llogaritni zona e një trekëndëshi bazuar në koordinatat e kulmeve të tij, të cilat janë specifikuar si vlera (x;y) për secilën nga kulmet. Ju lutemi vini re se vlera që rezulton duhet të merret modul, pasi koordinatat e kulmeve individuale (ose edhe të gjitha) mund të jenë në rajonin e vlerave negative

Shënim. Më poshtë janë shembuj të zgjidhjes së problemeve të gjeometrisë për të gjetur sipërfaqen e një trekëndëshi. Nëse keni nevojë të zgjidhni një problem gjeometrie që nuk është i ngjashëm këtu, shkruani për të në forum. Në zgjidhje, në vend të simbolit të rrënjës katrore, mund të përdoret funksioni sqrt(), në të cilin sqrt është simboli rrënjë katrore, dhe shprehja radikale tregohet në kllapa.Ndonjëherë për shprehje të thjeshta radikale simboli mund të përdoret √

Detyrë. Gjeni sipërfaqen e dhënë dy brinjëve dhe këndin ndërmjet tyre

Brinjët e trekëndëshit janë 5 dhe 6 cm. Këndi ndërmjet tyre është 60 gradë. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit.

Zgjidhje.

Për të zgjidhur këtë problem, ne përdorim formulën numër dy nga pjesa teorike e mësimit.
Sipërfaqja e një trekëndëshi mund të gjendet përmes gjatësisë së dy brinjëve dhe sinusit të këndit ndërmjet tyre dhe do të jetë e barabartë me
S=1/2 ab sin γ

Meqenëse kemi të gjitha të dhënat e nevojshme për zgjidhjen (sipas formulës), mund të zëvendësojmë vetëm vlerat nga kushtet e problemit në formulën:
S = 1/2 * 5 * 6 * mëkat 60

Në tabelën e vlerave funksionet trigonometrike Le të gjejmë dhe të zëvendësojmë vlerën e sinusit 60 gradë në shprehje. Do të jetë e barabartë me rrënjën e trefishit të dy.
S = 15 √3 / 2

Përgjigju: 7.5 √3 (në varësi të kërkesave të mësuesit, ndoshta mund të lini 15 √3/2)

Detyrë. Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës

Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës me brinjë 3 cm.

Zgjidhje .

Sipërfaqja e një trekëndëshi mund të gjendet duke përdorur formulën e Heronit:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Meqenëse a = b = c, formula për sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës merr formën:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Përgjigju: 9 √3 / 4.

Detyrë. Ndryshoni zonën kur ndryshoni gjatësinë e anëve

Sa herë do të rritet sipërfaqja e trekëndëshit nëse brinjët rriten me 4 herë?

Zgjidhje.

Meqenëse përmasat e brinjëve të trekëndëshit janë të panjohura për ne, për të zgjidhur problemin do të supozojmë se gjatësitë e brinjëve janë përkatësisht të barabarta me numrat arbitrar a, b, c. Pastaj, për t'iu përgjigjur pyetjes së problemit, do të gjejmë sipërfaqen e trekëndëshit të dhënë dhe më pas do të gjejmë sipërfaqen e trekëndëshit, brinjët e të cilit janë katër herë më të mëdha. Raporti i sipërfaqeve të këtyre trekëndëshave do të na japë përgjigjen e problemit.

Më poshtë japim një shpjegim tekstual të zgjidhjes së problemit hap pas hapi. Sidoqoftë, në fund, e njëjta zgjidhje paraqitet në një formë grafike më të përshtatshme. Të interesuarit mund të zbresin menjëherë në zgjidhjet.

Për të zgjidhur, ne përdorim formulën e Heronit (shih më lart në pjesën teorike të mësimit). Duket kështu:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(shih rreshtin e parë të figurës më poshtë)

Gjatësitë e brinjëve të një trekëndëshi arbitrar përcaktohen nga variablat a, b, c.
Nëse anët rriten me 4 herë, atëherë sipërfaqja e trekëndëshit të ri c do të jetë:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(shih rreshtin e dytë në foton më poshtë)

Siç mund ta shihni, 4 është një faktor i zakonshëm që mund të hiqet nga kllapat nga të katër shprehjet sipas rregullat e përgjithshme matematikë.
Pastaj

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - në rreshtin e tretë të figurës
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - rreshti i katërt

Rrënja katrore e numrit 256 është nxjerrë në mënyrë të përkryer, kështu që le ta nxjerrim nga poshtë rrënjës
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(shih rreshtin e pestë të figurës më poshtë)

Për t'iu përgjigjur pyetjes së bërë në problem, thjesht duhet të ndajmë zonën e trekëndëshit që rezulton me sipërfaqen e atij origjinal.
Le të përcaktojmë raportet e sipërfaqes duke i ndarë shprehjet me njëra-tjetrën dhe duke zvogëluar thyesën që rezulton.

Disa nga problemet në gjeometri, ose më saktë, në planimetri, kërkojnë gjetjen e sipërfaqes së disa figura e dhënë. Zona e çdo figure mund të jetë edhe qëllimi përfundimtar i problemit dhe një llogaritje e ndërmjetme e nevojshme për zëvendësimin në më shumë formulë komplekse. Shpesh në probleme të tilla ju kërkohet të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi. Të dhënat fillestare mund të ndryshojnë. Në disa raste, dihet një anë e trekëndëshit dhe vlera e lartësisë së tërhequr në të, në të tjera - perimetri i trekëndëshit, e kështu me radhë.

Supozoni se ju kërkohet të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi nëse njihen tre brinjë. Për të gjetur sipërfaqen e një trekëndëshi të tillë, përdoret formula e Heronit. Për të përcaktuar zonën duke përdorur këtë formulë, së pari duhet të llogaritni gjysmëperimetrin e trekëndëshit (n). Duke ditur kuptimet e të tre palëve, kjo është e lehtë për t'u bërë. Ju duhet të përmbledhni të gjitha anët e trekëndëshit - ky do të jetë perimetri i tij, dhe pastaj ndani vlerën që rezulton me dy. Pas kësaj, është e nevojshme të zbriten me radhë gjatësitë e secilës prej tre brinjëve të dhëna të trekëndëshit nga vlera e gjysmëperimetrit, domethënë të zbritet a nga n, pastaj të zbres b nga n dhe në fund të zbres c nga n.

Tre dallimet që rezultojnë duhet të shumëzohen mes tyre dhe ky produkt të shumëzohet përsëri me vlerën e gjysmëperimetrit. Pasi të keni kryer të gjitha hapat e mësipërm dhe të keni marrë rezultatin e shumëzimit, duhet të nxirrni rrënjën katrore nga ky rezultat. Numri që del pas marrjes së rrënjës katrore do të jetë sipërfaqja e trekëndëshit të dhënë. Nëse e shkruajmë shkurtimisht, formula për sipërfaqen e një trekëndëshi do të jetë: zona (S) = rrënja katrore e (n*(n-a) *(n-b) *(n-c)). Siç mund të kuptohet nga formula, çështja e gjetjes së një trekëndëshi me vlerat e njohura anët shumë lehtë.

Për shembull, si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi nëse dihen 3 brinjë: ana a është 3 centimetra, ana b është 4 centimetra dhe ana c është 2 centimetra. Perimetri i këtij trekëndëshi do të jetë i barabartë me a + b + c = 3 centimetra + 4 centimetra + 2 centimetra = 9 cm Pra, gjysmëperimetri është 9: 2 = 4,5 centimetra Marrim: S = rrënja katrore prej (4,5 centimetra). * (4 .5 centimetra - 3 centimetra) * (4.5 centimetra - 4 centimetra) * (4.5 centimetra - 2 centimetra)) = 2.9 centimetra katrorë

Po sikur vlerat e anëve jo vetëm që dihen, por tregohet edhe se ato janë të barabarta sipas kushteve të problemit? Në këtë rast, si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi nëse të gjitha anët janë të njohura dhe ato janë gjithashtu të barabarta? Sigurisht, mund ta llogaritni edhe duke përdorur formulën e Heronit të diskutuar më sipër, por pse llogaritjet e panevojshme nëse për një trekëndësh të tillë është nxjerrë një formulë tjetër, e cila është shumë më e thjeshtë se formula e Heronit. Duke përdorur këtë formulë, së pari duhet të llogarisni rrënjën katrore të numrit 3, pastaj të ngrini vlerën e gjatësisë së anës së trekëndëshit në fuqinë e dytë, ta shumëzoni këtë vlerë në fuqinë e dytë me rrënjën e numrit 3 dhe të ndani produkti që rezulton me numrin 4. Do të merrni sipërfaqen e trekëndëshit të dhënë. Kur shkruhet, kjo formulë duket si kjo: S=(a^2*root(3)) /4

Le të jetë një trekëndësh me gjatësi të barabarta anësore të barabarta me 3 centimetra. Duke përdorur këtë formulë, mund të merrni sipërfaqen e një trekëndëshi të tillë: S=(3^2*rrënja(3)) /4=3.9 centimetra katrorë. Për të kontrolluar nëse sipërfaqja e një trekëndëshi të caktuar është llogaritur saktë apo jo, mund të bëni llogaritje shtesë duke përdorur formulën e Heronit dhe të krahasoni rezultatet e marra.

Gjysemperimetri (n) = (3+3+3) /2 = 4,5 centimetra. Sipas formulës së Heronit, gjejmë: S = rrënjë katrore prej (4,5 centimetra * (4,5 centimetra - 3 centimetra) * (4,5 centimetra - 3 centimetra) * (4,5 centimetra - 3 centimetra)) = 3 ,9 centimetra katrorë. Të dyja vlerat e zonës janë gjetur nga formula të ndryshme, përkojnë. Kjo do të thotë që zona e trekëndëshit është përcaktuar saktë. Kur zgjidhni ndonjë problem tjetër, duhet të merrni parasysh të dhënat në gjendje dhe të përdorni formulën që korrespondon me këto të dhëna.