Si të llogarisni sipërfaqen e një trapezi bazuar në katër anët. Llogaritësi i perimetrit të trapezit

Praktika e Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe Provimit të Shtetit të vitit të kaluar tregon se problemet e gjeometrisë shkaktojnë vështirësi për shumë nxënës. Ju mund t'i përballoni lehtësisht ato nëse mësoni përmendësh gjithçka formulat e nevojshme dhe praktikoni zgjidhjen e problemeve.

Në këtë artikull do të shihni formula për gjetjen e zonës së një trapezi, si dhe shembuj të problemeve me zgjidhje. Mund të hasni të njëjtat në KIM gjatë provimeve të certifikimit ose në olimpiada. Prandaj, trajtojini ato me kujdes.

Çfarë duhet të dini për trapezoidin?

Për të filluar, le të kujtojmë atë trapezoid quhet katërkëndësh në të cilin dy brinjët e kundërta, të quajtura edhe baza, janë paralele dhe dy të tjerat jo.

Në një trapez, lartësia (pingule me bazën) gjithashtu mund të ulet. Vizatohet vija e mesme - kjo është një vijë e drejtë që është paralele me bazat dhe e barabartë me gjysmën e shumës së tyre. Si dhe diagonalet që mund të kryqëzohen, duke formuar të mprehta dhe kënde të mpirë. Ose, në në disa raste, në kënde të drejta. Për më tepër, nëse trapezi është i njëtrajtshëm, në të mund të gdhendet një rreth. Dhe përshkruani një rreth rreth tij.

Formulat e zonës së trapezit

Së pari, le të shohim formulat standarde gjetja e zonës së një trapezi. Ne do të shqyrtojmë mënyrat për të llogaritur sipërfaqen e trapezoidëve isosceles dhe curvilinear më poshtë.

Pra, imagjinoni se keni një trapez me bazat a dhe b, në të cilin lartësia h ulet në bazën më të madhe. Llogaritja e sipërfaqes së një figure në këtë rast është po aq e lehtë sa lëmimi i dardhave. Thjesht duhet të ndani shumën e gjatësisë së bazave me dy dhe të shumëzoni rezultatin me lartësinë: S = 1/2(a + b)*h.

Le të marrim një rast tjetër: supozojmë se në një trapez, përveç lartësisë, ekziston një vijë e mesme m. Ne e dimë formulën për gjetjen e gjatësisë vija e mesme: m = 1/2 (a + b). Prandaj, me të drejtë mund të thjeshtojmë formulën për sipërfaqen e një trapezi llojin e mëposhtëm: S = m* h. Me fjalë të tjera, për të gjetur zonën e një trapezi, duhet të shumëzoni vijën qendrore me lartësinë.

Le të shqyrtojmë një opsion tjetër: trapezi përmban diagonale d 1 dhe d 2, të cilat nuk kryqëzohen në kënde të drejta α. Për të llogaritur sipërfaqen e një trapezi të tillë, duhet të ndani produktin e diagonaleve me dy dhe të shumëzoni rezultatin me mëkatin e këndit midis tyre: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Tani merrni parasysh formulën për gjetjen e sipërfaqes së një trapezi nëse nuk dihet asgjë për të, përveç gjatësisë së të gjitha anëve të tij: a, b, c dhe d. Kjo është një formulë e rëndë dhe komplekse, por do të jetë e dobishme për ju ta mbani mend atë për çdo rast: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Meqë ra fjala, shembujt e mësipërm janë të vërtetë edhe për rastin kur ju nevojitet formula e zonës trapez drejtkëndor. Ky është një trapezoid, ana e të cilit ngjitet me bazat në një kënd të drejtë.

Trapezoid isosceles

Një trapezoid anët e të cilit janë të barabarta quhet izosceles. Ne do të shqyrtojmë disa opsione për formulën e zonës trapezoid isosceles.

Opsioni i parë: për rastin kur një rreth me rreze r është i gdhendur brenda një trapezi izoscelular, dhe forma anësore dhe baza më e madhe. kënd akutα. Një rreth mund të futet në një trapez me kusht që shuma e gjatësive të bazave të tij të jetë e barabartë me shumën e gjatësive të brinjëve.

Sipërfaqja e një trapezi izoscelular llogaritet si më poshtë: shumëzoni katrorin e rrezes së rrethit të gdhendur me katër dhe ndani të gjitha me sinα: S = 4r 2 /sinα. Një formulë tjetër e zonës është një rast i veçantë për opsionin kur këndi midis bazës së madhe dhe anës është 30 0: S = 8r2.

Opsioni i dytë: këtë herë marrim një trapezoid izoscelular, në të cilin përveç kësaj vizatohen diagonalet d 1 dhe d 2, si dhe lartësia h. Nëse diagonalet e një trapezi janë reciproke pingule, lartësia është gjysma e shumës së bazave: h = 1/2(a + b). Duke e ditur këtë, është e lehtë të shndërroni formulën për zonën e një trapezi tashmë të njohur për ju në këtë formë: S = h 2.

Formula për zonën e një trapezi të lakuar

Le të fillojmë duke kuptuar se çfarë është një trapezoid i lakuar. Imagjinoni një bosht koordinativ dhe një grafik të një funksioni të vazhdueshëm dhe jo negativ f që nuk ndryshon shenjë brenda një segmenti të caktuar në boshtin x. Një trapez lakor formohet nga grafiku i funksionit y = f(x) - në krye, boshti x është në fund (segment), dhe në anët - vijat e drejta të tërhequra midis pikave a dhe b dhe grafiku i funksionin.

Është e pamundur të llogaritet zona e një figure të tillë jo standarde duke përdorur metodat e mësipërme. Këtu ju duhet të aplikoni analizën matematikore dhe të përdorni integralin. Përkatësisht: formula Njuton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Në këtë formulë, F është antiderivati ​​i funksionit tonë në segmentin e zgjedhur. Dhe zona trapezoid i lakuar korrespondon me rritjen e antiderivativit në një segment të caktuar.

Shembuj të problemeve

Për t'i bërë të gjitha këto formula më të lehta për t'u kuptuar në kokën tuaj, këtu janë disa shembuj të problemeve për gjetjen e zonës së një trapezi. Më së miri do të ishte që fillimisht të përpiqeni t'i zgjidhni vetë problemet dhe vetëm më pas të krahasoni përgjigjen që merrni me zgjidhjen e gatshme.

Detyra numër 1: Jepet një trapez. Baza e saj më e madhe është 11 cm, më e vogla është 4 cm. Trapezi ka diagonale, njëra 12 cm e gjatë, e dyta 9 cm.

Zgjidhja: Ndërtoni një AMRS trapez. Vizatoni një drejtëz РХ përmes kulmit P në mënyrë që ajo të jetë paralele me diagonalen MC dhe të presë drejtëzën AC në pikën X. Do të merrni një trekëndësh APХ.

Do të shqyrtojmë dy figura të marra si rezultat i këtyre manipulimeve: trekëndëshi APX dhe paralelogrami CMRX.

Falë paralelogramit, mësojmë se PX = MC = 12 cm dhe CX = MR = 4 cm. Nga ku mund të llogarisim brinjën AX të trekëndëshit ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Mund të vërtetojmë gjithashtu se trekëndëshi APX është kënddrejtë (për ta bërë këtë, aplikoni teoremën e Pitagorës - AX 2 = AP 2 + PX 2). Dhe llogaritni sipërfaqen e saj: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Më pas do t'ju duhet të vërtetoni se trekëndëshat AMP dhe PCX janë të barabartë në sipërfaqe. Baza do të jetë barazia e palëve MR dhe CX (të vërtetuar tashmë më lart). Dhe gjithashtu lartësitë që ulni në këto anë - ato janë të barabarta me lartësinë e trapezit AMRS.

E gjithë kjo do t'ju lejojë të thoni se S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Detyra numër 2:Është dhënë trapezi KRMS. Në anët e saj anësore janë pikat O dhe E, ndërsa OE dhe KS janë paralele. Dihet gjithashtu se sipërfaqet e trapezeve ORME dhe OKSE janë në raportin 1:5. RM = a dhe KS = b. Ju duhet të gjeni OE.

Zgjidhje: Vizatoni një drejtëz paralele me RK përmes pikës M dhe caktoni pikën e kryqëzimit të saj me OE si T. A është pika e kryqëzimit të drejtëzës së tërhequr përmes pikës E paralele me RK me bazën KS.

Le të prezantojmë një shënim tjetër - OE = x. Dhe gjithashtu lartësia h 1 për trekëndëshin TME dhe lartësia h 2 për trekëndëshin AEC (ju mund të vërtetoni në mënyrë të pavarur ngjashmërinë e këtyre trekëndëshave).

Do të supozojmë se b > a. Sipërfaqet e trapezeve ORME dhe OKSE janë në raportin 1:5, gjë që na jep të drejtën të krijojmë ekuacionin e mëposhtëm: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2. Le të transformojmë dhe të marrim: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Meqenëse trekëndëshat TME dhe AEC janë të ngjashëm, kemi h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Le të kombinojmë të dy hyrjet dhe marrim: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Kështu, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

konkluzioni

Gjeometria nuk është shkenca më e lehtë, por sigurisht që mund të përballeni me pyetjet e provimit. Mjafton të tregosh pak këmbëngulje në përgatitje. Dhe, sigurisht, mbani mend të gjitha formulat e nevojshme.

Ne u përpoqëm të mbledhim të gjitha formulat për llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi në një vend, në mënyrë që t'i përdorni ato kur përgatiteni për provime dhe rishikoni materialin.

Sigurohuni që t'u tregoni shokëve të klasës dhe miqve tuaj për këtë artikull. rrjetet sociale. Le nota të mira do të ketë më shumë për Provimin e Bashkuar të Shtetit dhe Testin e Provimit të Shtetit!

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

Ky kalkulator ka llogaritur 2192 problema në temën "Sipërfaqja e një trapezi"

ZONA E TRAPEZOIDIT

Zgjidhni formulën për llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi që planifikoni të përdorni për të zgjidhur problemin që ju është caktuar:

Teoria e përgjithshme për llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi.

Trapezoid - Kjo është një figurë e sheshtë e përbërë nga katër pika, tre prej të cilave nuk shtrihen në të njëjtën vijë, dhe katër segmente (anët) që lidhin këto katër pika në çifte, në të cilat dy anët e kundërta janë paralele (shtrihen në vija paralele) dhe dy të tjerat nuk janë paralele.

Pikat quhen kulmet e një trapezi dhe tregohen me germa të mëdha latine.

Segmentet quhen faqet trapezoide dhe shënohen me një palë shkronja të mëdha latine që korrespondojnë me kulmet që lidhin segmentet.

Quhen dy anët paralele të një trapezi bazat trapezoide .

Quhen dy anët jo paralele të një trapezi anët e trapezit .

Figura nr. 1: Trapezoid ABCD

Figura 1 tregon trapezin ABCD me kulmet A, B,C, D dhe anët AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC - bazat e trapezit ABCD.

AD, BC - anët anësore të trapezoidit ABCD.

Këndi i formuar nga rrezet AB dhe AD quhet kënd në kulmin A. Ai shënohet si ÐA ose ÐBAD, ose ÐDAB.

Këndi i formuar nga rrezet BA dhe BC quhet kënd në kulmin B. Ai shënohet si ÐB ose ÐABC, ose ÐCBA.

Këndi i formuar nga rrezet CB dhe CD quhet këndi i kulmit C. Ai shënohet si ÐC ose ÐDCB, ose ÐBCD.

Këndi i formuar nga rrezet AD dhe CD quhet këndi i kulmit D. Ai shënohet si ÐD ose ÐADC, ose ÐCDA.

Figura nr. 2: Trapezoid ABCD

Në figurën 2, quhet segmenti MN që lidh mesin e anëve anësore vija e mesme e trapezit.

Vija e mesme e trapezit paralel me bazat dhe i barabartë me gjysmën e shumës së tyre. Kjo është, .

Figura nr. 3: Trapezoid izoscelular ABCD

Në figurën 3, AD=BC.

Trapezi quhet izosceles (izosceles), nëse anët e tij janë të barabarta.

Figura nr. 4: Trapezoid drejtkëndor ABCD

Në figurën nr. 4, këndi D është i drejtë (i barabartë me 90°).

Trapezi quhet drejtkëndëshe, nëse këndi në anë është i drejtë.

Zona S banesë figurat, të cilat përfshijnë trapezin, quhen hapësirë ​​e mbyllur e kufizuar në një plan. Sipërfaqja e një figure të sheshtë tregon madhësinë e kësaj figure.

Zona ka disa prona:

1. Nuk mund të jetë negative.

2. Nëse jepet një zonë e caktuar e mbyllur në rrafsh, e cila përbëhet nga disa figura që nuk kryqëzohen me njëra-tjetrën (d.m.th., figurat nuk kanë pika të brendshme të përbashkëta, por mund të prekin njëra-tjetrën), atëherë zona e një sipërfaqe të tillë është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të shifrave përbërëse të saj.

3. Nëse dy figura janë të barabarta, atëherë sipërfaqet e tyre janë të barabarta.

4. Sipërfaqja e një katrori, i cili është ndërtuar mbi një segment njësi, është e barabartë me një.

Për njësi matjet zonë merrni sipërfaqen e një katrori, brinja e të cilit është e barabartë me njësi matjet segmente.

Kur zgjidhni probleme, shpesh përdoren formulat e mëposhtme për llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi:

1. Sipërfaqja e një trapezi është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave të tij shumëzuar me lartësinë e tij:

2. Sipërfaqja e një trapezi është e barabartë me produktin e vijës së mesit dhe lartësisë së tij:

3. Me gjatësi të njohura të bazave dhe anëve të trapezit, sipërfaqja e tij mund të llogaritet duke përdorur formulën:

4. Është e mundur të llogaritet sipërfaqja e një trapezi izoscelular duke pasur parasysh gjatësinë e njohur të rrezes së rrethit të gdhendur në trapez dhe kuptimi i njohur këndi në bazë sipas formulës së mëposhtme:

Shembulli 1: Njehsoni sipërfaqen e një trapezi me baza a=7, b=3 dhe lartësi h=15.

Zgjidhja:

Përgjigje:

Shembulli 2: Gjeni faqen e bazës së një trapezi me sipërfaqe S = 35 cm 2, lartësi h = 7 cm dhe bazë të dytë b = 2 cm.

Zgjidhja:

Për të gjetur anën e bazës së një trapezi, ne përdorim formulën për llogaritjen e sipërfaqes:

Le të shprehim nga kjo formulë anën e bazës së trapezit:

Kështu, kemi sa vijon:

Përgjigje:

Shembulli 3: Gjeni lartësinë e një trapezi me sipërfaqe S = 17 cm 2 dhe baza a = 30 cm, b = 4 cm.

Zgjidhja:

Për të gjetur lartësinë e një trapezi, ne përdorim formulën për llogaritjen e sipërfaqes:

Kështu, kemi sa vijon:

Përgjigje:

Shembulli 4: Llogaritni sipërfaqen e një trapezi me lartësi h=24 dhe me vijë qendrore m=5.

Zgjidhja:

Për të gjetur sipërfaqen e një trapezi, ne përdorim formulën e mëposhtme për llogaritjen e sipërfaqes:

Kështu, kemi sa vijon:

Përgjigje:

Shembulli 5: Gjeni lartësinë e një trapezi me sipërfaqe S = 48 cm 2 dhe vijë qendrore m = 6 cm.

Zgjidhja:

Për të gjetur lartësinë e një trapezi, ne përdorim formulën për llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi:

Le të shprehim lartësinë e trapezit nga kjo formulë:

Kështu, kemi sa vijon:

Përgjigje:

Shembulli 6: Gjeni vijën e mesit të një trapezi me sipërfaqe S = 56 dhe lartësi h=4.

Zgjidhja:

Për të gjetur vijën e mesit të një trapezi, ne përdorim formulën për llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi:

Le të shprehim vijën e mesme të trapezit nga kjo formulë:

Kështu, kemi sa vijon.

DHE . Tani mund të fillojmë të shqyrtojmë pyetjen se si të gjejmë zonën e një trapezi. Kjo detyrë lind shumë rrallë në jetën e përditshme, por ndonjëherë rezulton të jetë e nevojshme, për shembull, të gjesh sipërfaqen e një dhome në formën e një trapezi, e cila përdoret gjithnjë e më shumë në ndërtim. apartamente moderne, ose në projektet e projektimit të rinovimit.

Një trapez është një figurë gjeometrike e formuar nga katër segmente të kryqëzuara, dy prej të cilave janë paralele me njëri-tjetrin dhe quhen bazat e trapezit. Dy segmentet e tjera quhen anët e trapezit. Përveç kësaj, do të na duhet një përkufizim tjetër më vonë. Kjo është vija e mesme e trapezit, e cila është një segment që lidh mesin e anëve dhe lartësinë e trapezit, e cila është e barabartë me distancën midis bazave.
Ashtu si trekëndëshat, edhe trapezët kanë lloje të veçanta në formën e një trapezi izoscelor (të barabartë), në të cilin gjatësitë e brinjëve janë të njëjta dhe një trapezoidi drejtkëndor, në të cilin njëra nga anët formon një kënd të drejtë me bazat.

Trapezët kanë disa veti interesante:

1. Vija e mesme e trapezit është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave dhe është paralele me to.
   
2. Trapezoidët izoscelorë kanë brinjë të barabarta dhe këndet që formojnë me bazat.
   
3. Pikat e mesit të diagonaleve të një trapezi dhe pika e kryqëzimit të diagonaleve të tij janë në të njëjtën drejtëz.
   
4. Nëse shuma e anëve të një trapezi është e barabartë me shumën e bazave, atëherë në të mund të futet një rreth.
   
5. Nëse shuma e këndeve të formuara nga anët e një trapezi në cilëndo nga bazat e tij është 90, atëherë gjatësia e segmentit që lidh mesin e bazave është e barabartë me gjysmëdiferencën e tyre.
   
6. Një trapezoid isosceles mund të përshkruhet nga një rreth. Dhe anasjelltas. Nëse një trapezoid përshtatet në një rreth, atëherë ai është izosceles.
   
7. Segmenti që kalon nga mesi i bazave të një trapezi izoscelular do të jetë pingul me bazat e tij dhe përfaqëson boshtin e simetrisë.
   

Si të gjeni zonën e një trapezi.

Sipërfaqja e trapezit do të jetë e barabartë me gjysmën e shumës së bazave të tij shumëzuar me lartësinë e tij. Në formën e formulës, kjo shkruhet si shprehje:

ku S është sipërfaqja e trapezit, a, b është gjatësia e secilës prej bazave të trapezit, h është lartësia e trapezit.

Ju gjithashtu mund të zgjeroni çdo trapezoid në më shumë figura të thjeshta: një drejtkëndësh dhe një ose dy trekëndësha, dhe nëse është më e lehtë për ju, atëherë gjeni sipërfaqen e trapezit si shumën e sipërfaqeve të figurave përbërëse të tij.

Ekziston një formulë tjetër e thjeshtë për llogaritjen e sipërfaqes së saj. Sipas tij, sipërfaqja e një trapezi është e barabartë me prodhimin e vijës së mesit të tij nga lartësia e trapezit dhe shkruhet në formën: S = m*h, ku S është sipërfaqja, m është gjatësia e vija e mesme, h është lartësia e trapezit. Kjo formulë është më e përshtatshme për problemet në matematikë sesa për problemet e përditshme, pasi në kushte reale nuk do të dini gjatësinë e vijës qendrore pa llogaritjet paraprake. Dhe ju do të dini vetëm gjatësinë e bazave dhe anëve.

Në këtë rast, zona e trapezit mund të gjendet duke përdorur formulën:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

ku S është sipërfaqja, a, b janë bazat, c, d janë anët e trapezit.

Ka disa mënyra të tjera për të gjetur zonën e një trapezi. Por ato janë po aq të papërshtatshme sa formula e fundit, që do të thotë se nuk ka kuptim të ndalemi në to. Prandaj, ju rekomandojmë të përdorni formulën e parë nga artikulli dhe dëshirojmë që gjithmonë të merrni rezultate të sakta.

Në matematikë njihen disa lloje katërkëndëshash: katror, ​​drejtkëndësh, romb, paralelogram. Midis tyre është një trapezoid - një lloj katërkëndëshi konveks në të cilin dy anët janë paralele dhe dy të tjerat jo. Anët e kundërta paralele quhen baza, dhe dy të tjerat quhen anët anësore të trapezit. Segmenti që lidh mesin e anëve quhet vijë e mesme. Ekzistojnë disa lloje të trapezoideve: izosceles, drejtkëndëshe, curvilinear. Për çdo lloj trapezi ka formula për gjetjen e sipërfaqes.

Zona e trapezit

Për të gjetur zonën e një trapezi, duhet të dini gjatësinë e bazave dhe lartësinë e tij. Lartësia e një trapezi është një segment pingul me bazat. Le të jetë baza e sipërme a, baza e poshtme të jetë b dhe lartësia të jetë h. Pastaj mund të llogarisni zonën S duke përdorur formulën:

S = ½ * (a+b) * h

ato. merrni gjysmën e shumës së bazave të shumëzuar me lartësinë.

Do të jetë gjithashtu e mundur të llogaritet zona e trapezit nëse dihet lartësia dhe vija qendrore. Le të shënojmë vijën e mesme - m. Pastaj

Le të zgjidhim një problem më të ndërlikuar: dihen gjatësitë e katër anëve të trapezit - a, b, c, d. Pastaj zona do të gjendet duke përdorur formulën:

Nëse dihen gjatësitë e diagonaleve dhe këndi ndërmjet tyre, atëherë zona kërkohet si më poshtë:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

ku d me indekset 1 dhe 2 janë diagonale. Në këtë formulë, sinusi i këndit është dhënë në llogaritje.

Duke pasur parasysh gjatësitë e njohura të bazave a dhe b dhe dy këndet në bazën e poshtme, sipërfaqja llogaritet si më poshtë:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Zona e një trapezoidi izoscelular

Një trapez izoscelor është rast i veçantë trapezoide. Dallimi i tij është se një trapez i tillë është një katërkëndësh konveks me një bosht simetrie që kalon nga mesi i dy pikave. anët e kundërta. Anët e saj janë të barabarta.

Ka disa mënyra për të gjetur zonën e një trapezi izosceles.

• Përmes gjatësive të tre anëve. Në këtë rast, gjatësitë e anëve do të përkojnë, prandaj ato përcaktohen me një vlerë - c, dhe a dhe b - gjatësitë e bazave:

• Nëse dihet gjatësia e bazës së sipërme, ana dhe këndi në bazën e poshtme, atëherë sipërfaqja llogaritet si më poshtë:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

ku a është baza e sipërme, c është ana.

• Nëse në vend të bazës së sipërme dihet gjatësia e asaj të poshtme - b, sipërfaqja llogaritet duke përdorur formulën:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Nëse, kur dihen dy baza dhe këndi në bazën e poshtme, sipërfaqja llogaritet përmes tangjentës së këndit:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• Sipërfaqja llogaritet edhe nëpërmjet diagonaleve dhe këndit ndërmjet tyre. Në këtë rast, diagonalet janë të barabarta në gjatësi, kështu që ne e shënojmë secilën me shkronjën d pa nënshkrime:

S = ½ * d2 * sin α

• Le të llogarisim sipërfaqen e trapezit, duke ditur gjatësinë e anës, vijën qendrore dhe këndin në bazën e poshtme.

Le të jetë ana anësore c, vija e mesme m dhe këndi të jetë a, atëherë:

S = m * c * sin α

Ndonjëherë mund të futni një rreth në një trapez barabrinjës, rrezja e të cilit do të jetë r.

Dihet se një rreth mund të futet në çdo trapez nëse shuma e gjatësive të bazave është e barabartë me shumën e gjatësive të brinjëve të tij. Pastaj zona mund të gjendet përmes rrezes së rrethit të brendashkruar dhe këndit në bazën e poshtme:

S = 4r2 / sin α

E njëjta llogaritje bëhet duke përdorur diametrin D të rrethit të gdhendur (nga rruga, përkon me lartësinë e trapezoidit):

Duke ditur bazën dhe këndin, sipërfaqja e një trapezi izoscelular llogaritet si më poshtë:

S = a * b / sin α

(kjo dhe formulat pasuese janë të vlefshme vetëm për trapezoidët me një rreth të brendashkruar).

Duke përdorur bazat dhe rrezen e rrethit, zona gjendet si më poshtë:

Nëse dihen vetëm bazat, atëherë sipërfaqja llogaritet duke përdorur formulën:

Përmes bazave dhe vijës anësore, sipërfaqja e trapezit me rrethin e brendashkruar dhe përmes bazave dhe vijës së mesme - m llogaritet si më poshtë:

Zona e një trapezi drejtkëndor

Një trapezoid quhet drejtkëndor nëse njëra nga anët e saj është pingul me bazën. Në këtë rast, gjatësia e anës përkon me lartësinë e trapezit.

Një trapez drejtkëndor përbëhet nga një katror dhe një trekëndësh. Pasi të keni gjetur sipërfaqen e secilës prej figurave, shtoni rezultatet dhe merrni sipërfaqe totale shifrat.

Gjithashtu, formulat e përgjithshme për llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi janë të përshtatshme për llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi drejtkëndor.

• Nëse dihen gjatësitë e bazave dhe lartësia (ose ana pingule), atëherë sipërfaqja llogaritet duke përdorur formulën:

S = (a + b) * h / 2

Ana anësore c mund të veprojë si h (lartësi). Atëherë formula duket si kjo:

S = (a + b) * c / 2

• Një mënyrë tjetër për të llogaritur sipërfaqen është të shumëzoni gjatësinë e vijës qendrore me lartësinë:

ose nga gjatësia e anës pingule anësore:

• Mënyra tjetër për të llogaritur është përmes gjysmës së prodhimit të diagonaleve dhe sinusit të këndit ndërmjet tyre:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Nëse diagonalet janë pingule, atëherë formula thjeshtohet në:

S = ½ * d1 * d2

• Një mënyrë tjetër për të llogaritur është përmes gjysmëperimetrit (shuma e gjatësive të dy anëve të kundërta) dhe rrezes së rrethit të brendashkruar.

Kjo formulë është e vlefshme për bazat. Nëse marrim gjatësitë e anëve, atëherë njëra prej tyre do të jetë e barabartë me dyfishin e rrezes. Formula do të duket si kjo:

S = (2r + c) * r

• Nëse një rreth është i gdhendur në një trapez, atëherë zona llogaritet në të njëjtën mënyrë:

ku m është gjatësia e vijës qendrore.

Zona e një trapezi të lakuar

Një trapez lakor është një figurë e sheshtë e kufizuar nga grafiku i një funksioni të vazhdueshëm jo negativ y = f(x), i përcaktuar në segmentin, boshtin x dhe drejtëzat x = a, x = b. Në thelb, dy nga anët e tij janë paralele me njëra-tjetrën (bazat), ana e tretë është pingul me bazat dhe e katërta është një kurbë që korrespondon me grafikun e funksionit.

Zona e një trapezi lakor kërkohet përmes integralit duke përdorur formulën Newton-Leibniz:

Kështu llogariten sipërfaqet lloje të ndryshme trapezoid. Por, përveç vetive të brinjëve, trapezoidët kanë të njëjtat veti të këndeve. Si të gjithë katërkëndëshat ekzistues, shuma qoshet e brendshme një trapez është e barabartë me 360 ​​gradë. Dhe shuma e këndeve ngjitur me anën është 180 gradë.

Një trapez është një lloj i veçantë katërkëndëshi në të cilin dy anët e kundërta janë paralele me njëra-tjetrën, por dy të tjerat jo. Objekte të ndryshme reale kanë një formë trapezoidale, kështu që mund t'ju duhet të llogaritni perimetrin e një figure të tillë gjeometrike për të zgjidhur problemet e përditshme ose të shkollës.

Gjeometria e trapezit

Një trapezoid (nga greqishtja "trapezion" - tabela) është një figurë në një plan të kufizuar nga katër segmente, dy prej të cilave janë paralele dhe dy jo. Segmentet paralele quhen bazat e trapezit, dhe segmentet joparalele quhen anët e figurës. Anët dhe këndet e tyre të pjerrësisë përcaktojnë llojin e trapezit, i cili mund të jetë i shkallëzuar, dykëndësh ose drejtkëndor. Përveç bazave dhe anëve, trapezi ka dy elementë të tjerë:

• lartësia - distanca midis bazave paralele të figurës;
• vija e mesme - një segment që lidh mesin e anëve.

Kjo figurë gjeometrike është e përhapur në jetën reale.

Trapezoid në realitet

NË jetën e përditshme Shumë objekte reale marrin një formë trapezoidale. Ju mund të gjeni lehtësisht trapezoide në fushat e mëposhtme të veprimtarisë njerëzore:

• dizajn i brendshëm dhe dekor - divane, tavolina, mure, qilima, tavane të varura;
• dizajni i peizazhit - kufijtë e lëndinave dhe rezervuare artificiale, forma të elementeve dekorative;
• moda - forma e veshjeve, këpucëve dhe aksesorëve;
• arkitekturë - dritare, mure, themele ndërtesash;
• prodhim - produkte dhe pjesë të ndryshme.

Me një përdorim kaq të gjerë të trapezoidëve, specialistët shpesh duhet të llogarisin perimetrin e një figure gjeometrike.

Perimetri i trapezit

Perimetri i një figure është një karakteristikë numerike që llogaritet si shuma e gjatësive të të gjitha anëve të n-këndëshit. Një trapez është një katërkëndësh dhe në përgjithësi të gjitha anët e tij kanë gjatësi të ndryshme, kështu që perimetri llogaritet duke përdorur formulën:

P = a + b + c + d,

ku a dhe c janë bazat e figurës, b dhe d janë anët e saj.

Edhe pse nuk kemi nevojë të dimë lartësinë kur llogaritim perimetrin e një trapezi, kodi i kalkulatorit kërkon futjen e kësaj ndryshore. Meqenëse lartësia nuk ndikon në llogaritjet, kur përdorni kalkulatorin tonë në internet, mund të vendosni çdo vlerë lartësie që është më e madhe se zero. Le të shohim disa shembuj.

Shembuj të jetës reale

shami

Le të themi se keni një shall në formë trapezi dhe dëshironi ta shkurtoni me thekë. Do t'ju duhet të dini perimetrin e shallit në mënyrë që të mos blini materiale shtesë ose të shkoni dy herë në dyqan. Le të ketë shallin tuaj dyfishtë parametrat e mëposhtëm: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm Ne i vendosim këto të dhëna në formularin online dhe marrim një përgjigje në formularin:

Kështu, perimetri i shallit është 340 cm dhe pikërisht kjo është gjatësia e gërshetit të thekës për ta përfunduar atë.

Shpatet

Për shembull, ju vendosni të bëni shpatet për jo standarde dritare metalike-plastike, të cilat kanë një formë trapezoidale. Dritare të tilla përdoren gjerësisht në projektimin e ndërtesave, duke krijuar një përbërje prej disa brezash. Më shpesh, dritare të tilla bëhen në formën e një trapezi drejtkëndor. Le të zbulojmë se sa material nevojitet për të bërë shpatet e një dritareje të tillë. Dritarja standarde ka parametrat e mëposhtëm a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm Ne i përdorim këto të dhëna dhe marrim rezultatin në formë

Prandaj, perimetri i dritares trapezoidale është 390 cm, dhe kjo është sa do t'ju duhet të blini panele plastike për formimin e shpateve.

konkluzioni

Trapezi është një figurë popullore në jetën e përditshme, përcaktimi i parametrave të të cilit mund të jetë i nevojshëm në situatat më të papritura. Llogaritja e perimetrave trapezoidale është e nevojshme për shumë profesionistë: nga inxhinierët dhe arkitektët tek projektuesit dhe mekanikët. Katalogu ynë i kalkulatorëve në internet do t'ju lejojë të kryeni llogaritjet për cilindo forma gjeometrike dhe tel.