도함수를 사용하여 그래프를 구성합니다. 완전한 기능 연구를 수행하는 방법

함수를 완전히 연구하고 그래프를 그리려면 다음 구성표를 사용하는 것이 좋습니다.

1) 함수 정의 영역을 찾습니다.

2) 함수의 불연속점과 수직 점근선(존재하는 경우)을 찾습니다.

3) 무한대에서 함수의 동작을 조사하고 수평 및 경사 점근선을 찾습니다.

4) 패리티(홀수) 및 주기성(삼각 함수의 경우)에 대한 함수를 검사합니다.

5) 함수의 단조성의 극값과 간격을 찾습니다.

6) 볼록성 간격과 변곡점을 결정합니다.

7) 좌표축과의 교차점을 찾고, 가능하다면 그래프를 명확하게 하는 몇 가지 추가 점을 찾습니다.

함수에 대한 연구는 그래프 구성과 동시에 수행됩니다.

실시예 9함수를 살펴보고 그래프를 작성해 보세요.

1. 정의 범위: ;

2. 함수의 지점에서 불연속성이 발생합니다.
,
;

우리는 수직 점근선의 존재에 대한 함수를 조사합니다.

;
,
─ 수직 점근선.

3. 경사 점근선과 수평 점근선의 존재 여부에 대한 함수를 조사합니다.

똑바로
─ 경사 점근선인 경우
,
.

,
.

똑바로
─ 수평 점근선.

4. 기능은 다음과 같습니다.
.

함수의 패리티는 세로 좌표를 기준으로 그래프의 대칭성을 나타냅니다.

5. 함수의 단조성 구간과 극값을 찾습니다.
;
중요한 점을 찾아 보겠습니다. 도함수가 0이거나 존재하지 않는 지점:
;

. 우리에겐 세 가지 포인트가 있어요 . 이러한 점은 전체 실제 축을 4개의 간격으로 나눕니다. 기호를 정의해보자

그들 각각에.
간격 (-무한대; -1) 및 (-1; 0)에서 함수는 증가하고 간격 (0; 1) 및 (1; +무한대) ─ 감소합니다. 한 지점을 통과할 때
.

도함수는 부호를 플러스에서 마이너스로 변경하므로 이 시점에서 함수는 최대값을 갖습니다.

6. 볼록함과 변곡점의 간격을 찾으세요. 그 지점을 찾아보자

0이거나 존재하지 않습니다.
,
,

진짜 뿌리가 없어요.
전철기
그리고 실제 축을 세 개의 간격으로 나눕니다. 기호를 정의해보자

간격마다.
따라서 간격의 곡선은
그리고
전철기
아래쪽으로 볼록하고, (-1;1) 간격에서 위쪽으로 볼록합니다. 함수가 점에 있으므로 변곡점이 없습니다.

정의되지 않았습니다.

7. 축과의 교차점을 찾으십시오.
차축 포함
함수의 그래프는 점 (0; -1)에서 교차하고 축과 교차합니다.

그래프가 교차하지 않기 때문입니다. 이 함수의 분자에는 실제 근이 없습니다.

주어진 함수의 그래프가 그림 1에 나와 있습니다.

경제학에서 파생 개념의 적용. 탄력기능

경제 과정을 연구하고 다른 문제를 해결하기 위해 응용 문제함수의 탄력성이라는 개념이 자주 사용됩니다.

정의.탄력기능
함수의 상대적 증가 비율의 한계라고 합니다. 변수의 상대적 증가분 ~에
, . (Ⅶ)

함수의 탄력성은 함수가 대략 몇 퍼센트 정도 변경되는지를 나타냅니다.
독립변수가 변할 때 1%씩.

탄력성 함수는 수요와 소비를 분석하는 데 사용됩니다. 수요의 탄력성(절대값 기준)
, 다음과 같은 경우 수요가 탄력적이라고 간주됩니다.
─ 만약 중립이라면
─ 가격(또는 소득)에 비해 비탄력적입니다.

실시예 10함수의 탄력성을 계산합니다.
에 대한 탄력성 지수 값을 구합니다. = 3.

풀이: 공식 (VII)에 따르면 함수의 탄력성은 다음과 같습니다.

x=3이라고 하면
.즉, 독립변수가 1% 증가하면 종속변수의 값도 1.42% 증가한다는 의미입니다.

실시예 11수요기능을 시키자 가격에 관해서 처럼 보인다
, 어디 ─ 상수 계수. 가격 x = 3den에서 수요함수의 탄력성 지표 값을 구합니다. 단위

해결 방법: 공식 (VII)을 사용하여 수요 함수의 탄력성을 계산합니다.

믿음
화폐 단위, 우리는 얻습니다
. 즉, 가격에
화폐 단위 즉, 가격이 1% 상승하면 수요는 6% 감소합니다. 수요는 탄력적이다.

$y= \frac(x^3)(1-x) $ 함수를 연구하고 그래프를 만들어 봅시다.

1. 정의의 범위.
유리 함수(분수)의 정의 영역은 다음과 같습니다. 분모는 0이 아닙니다. 즉 $1 -x \ne 0 => x \ne 1$. 도메인 $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. 기능 중단점 및 분류.
함수에는 하나의 중단점이 있습니다. x = 1
x= 1인 점을 조사해 봅시다. 불연속점의 오른쪽과 왼쪽, 오른쪽으로 $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1 -x)) = -\infty $$ 및 점의 왼쪽 $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ 이 는 두 번째 종류의 불연속점이므로 단측 극한은 $\infty$와 같습니다.

직선 $x = 1$은 수직 점근선입니다.

3. 기능 패리티.
패리티 $f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) $를 확인합니다. 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

4. 함수의 0(Ox 축과의 교차점). 함수의 상수 부호 간격.
함수 0( Ox 축과의 교차점): $y=0$과 동일시하면 $\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 $을 얻습니다. 곡선에는 좌표 $(0;0)$가 있는 Ox 축과 하나의 교차점이 있습니다.

함수의 상수 부호 간격.
고려된 구간 $(-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$에서 곡선은 Ox 축과 하나의 교차점을 가지므로 세 구간에 대한 정의 영역을 고려할 것입니다.

정의 영역의 간격에 따라 함수의 부호를 결정해 보겠습니다.
간격 $(-\infty; 0) $ 임의의 지점에서 함수의 값을 찾습니다. $f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox
간격 $(0; 1) $ 우리는 임의의 점 $f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 $에서 함수의 값을 찾습니다. 이 간격에서 함수는 다음과 같습니다. 양수 $f(x ) > 0 $, 즉 Ox 축 위에 위치합니다.
간격 $(1;+\infty) $ 임의의 점에서 함수의 값을 찾습니다 $f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox

5. Oy 축과의 교차점: $x=0$을 동일시하면 $f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0$을 얻습니다. Oy 축과의 교차점 좌표 $(0; 0)$

6. 단조로움의 간격. 함수의 극값.
임계(정상) 점을 찾아봅시다. 이를 위해 1차 도함수를 구하고 이를 0과 동일시합니다 $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1 -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$는 0과 같음 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ 이 시점에서 함수의 값을 구해보자 $ f(0) = 0$ 및 $f(\frac(3)(2)) = -6.75$. 좌표 $(0;0)$ 및 $(1.5;-6.75)$를 사용하여 두 개의 중요한 점을 얻었습니다.

단조로움의 간격.
함수에는 2개의 임계점(가능한 극점)이 있으므로 4개의 간격에 대한 단조성을 고려합니다.
간격 $(-\infty; 0) $ 간격 $f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)의 임의 지점에서 1차 도함수 값을 찾습니다. )^2) >
구간 \((0;1)$ 구간 $f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^의 임의 지점에서 1차 도함수 값을 찾습니다. 2) > 0$ , 이 간격에 걸쳐 함수가 증가합니다.
구간 $(1;1.5)$ 구간 $f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^의 임의 지점에서 1차 도함수 값을 찾습니다. 2) > 0$ , 이 간격에 걸쳐 함수가 증가합니다.
간격 $(1.5; +\infty)$ 간격 $f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)의 임의 지점에서 1차 도함수 값을 찾습니다. ^2)< 0$, на этом интервале функция убывает.

함수의 극값.

함수를 연구할 때 정의 영역의 간격에서 두 가지 중요한(고정) 지점을 얻었습니다. 극단적인지 판단해보자. 임계점을 통과할 때 미분 부호의 변화를 고려해 보겠습니다.

점 $x = 0$ 도함수는 $\quad +\quad 0 \quad + \quad$로 부호를 변경합니다. 점은 극값이 아닙니다.
점 $x = 1.5$ 도함수는 $\quad +\quad 0 \quad - \quad$로 부호를 변경합니다. 점은 최대 점입니다.

7. 볼록함과 오목함의 간격. 변곡점.

볼록함과 오목함의 간격을 찾기 위해 함수의 2차 도함수를 찾아 이를 0과 동일시합니다. $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$0과 같음 $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ 이 함수에는 좌표 $(0;0)$가 있는 두 번째 종류의 임계점이 하나 있습니다. .
두 번째 종류의 임계점(가능한 변곡점)을 고려하여 정의 영역의 간격에 대한 볼록성을 정의해 보겠습니다.

간격 $(-\infty; 0)$ 임의의 점에서 2차 도함수 값을 찾습니다. $f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).
간격 $(0; 1)$ 임의의 점에서 2차 도함수 값을 찾습니다. $f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 $, 이 구간에서 함수의 2차 도함수는 양수 $f""(x) > 0 $입니다. 함수는 아래쪽으로 볼록합니다(볼록).
간격 $(1; \infty)$ 임의의 점에서 2차 도함수 값을 찾습니다. $f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).

변곡점.

제2종 임계점을 통과할 때 이차 도함수 부호의 변화를 고려해 보겠습니다.
$x =0$ 지점에서 2차 도함수는 $\quad - \quad 0 \quad + \quad$로 부호를 변경하고, 함수 그래프는 볼록성을 변경합니다. 즉, 이는 좌표 $(0;0)$의 변곡점입니다.

8. 점근선.

수직 점근선. 함수의 그래프에는 하나의 수직 점근선 $x =1$이 있습니다(문단 2 참조).
경사 점근선.
$x \to \infty$에서 함수 $y= \frac(x^3)(1-x) $의 그래프가 기울어진 점근선 $y = kx+b$을 갖기 위해서는 , 그것은 필요하고 충분하므로 두 가지 한계가 있습니다 $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$우리는 $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ 및 두 번째 극한 $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, 왜냐하면 $k = \infty$ - 경사 점근선이 없습니다.

수평 점근선:수평 점근선이 존재하려면 한계가 있어야 합니다. $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ 그것을 찾아봅시다 $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ 무한$$
수평 점근선은 없습니다.

9. 함수 그래프.

전체 연구를 수행하고 함수를 그래프로 표시합니다.

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) 기능의 범위. 함수는 분수이므로 분모의 0을 찾아야 합니다.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

함수 정의 영역에서 유일한 점 x=1x=1을 제외하고 다음을 얻습니다.

D(y)=(-무한대;1)∪(1;+무한대).D(y)=(-무한대;1)∪(1;+무한대).

2) 불연속점 근처에서 함수의 동작을 연구해 보겠습니다. 일방적인 한계를 찾아봅시다:

극한이 무한대와 같기 때문에 점 x=1x=1은 제2종 불연속점이고, 직선 x=1x=1은 수직 점근선입니다.

3) 함수 그래프와 좌표축의 교차점을 결정합시다.

x=0x=0과 동일시되는 세로축 OyOy와의 교차점을 찾아보겠습니다.

따라서 OyOy 축과의 교차점은 (0;8)(0;8) 좌표를 갖습니다.

y=0y=0으로 설정한 가로축 OxOx와의 교차점을 찾아보겠습니다.

방정식에는 근이 없으므로 OxOx 축과 교차점이 없습니다.

모든 xx에 대해 x2+8>0x2+8>0입니다. 따라서, x∈(−무한대;1)x∈(−무한대;1)에 대해 함수 y>0y>0(다음을 취합니다: 양수 값, 그래프는 x축 위에 있습니다. x∈(1;+무한)x∈(1;+무한) 함수 y의 경우<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) 이 함수는 다음과 같은 이유로 짝수도 홀수도 아닙니다.

5) 주기성에 대한 함수를 살펴보겠습니다. 이 함수는 분수 유리함수이므로 주기적이지 않습니다.

6) 극한성과 단조성에 대한 함수를 살펴보겠습니다. 이를 위해 함수의 1차 도함수를 찾습니다.

1차 도함수를 0과 동일시하고 고정점(y′=0y′=0)을 찾아보겠습니다.

우리는 세 가지 중요한 점을 얻었습니다: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. 함수 정의의 전체 영역을 이러한 점을 사용하여 간격으로 나누고 각 간격에서 도함수의 부호를 결정해 보겠습니다.

x∈(−무한대;−2),(4;+무한)x∈(−무한대;−2),(4;+무한)에 대해 도함수 y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) 도함수 y′>0y′>0의 경우 함수는 이러한 간격에서 증가합니다.

이 경우, x=−2x=−2는 지역적 최소점(함수는 감소했다가 증가한다)이고, x=4x=4는 지역적 최대점(함수는 증가했다가 감소한다)이다.

다음 지점에서 함수의 값을 찾아 보겠습니다.

따라서 최소점은 (−2;4)(−2;4)이고 최대점은 (4;−8)(4;−8)입니다.

7) 꼬임과 볼록함에 대한 기능을 살펴보겠습니다. 함수의 2차 도함수를 찾아보겠습니다.

2차 도함수를 0과 동일시해 보겠습니다.

결과 방정식에는 근이 없으므로 변곡점이 없습니다. 또한, x∈(−무한대;1)x∈(−무한대;1) y′′>0y″>0이 만족될 때, 즉 함수는 오목함수이고, x∈(1;+무한대)x∈( 1;+ )는 y′′에 의해 충족됩니다.<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) 무한대, 즉 에서 함수의 동작을 살펴보겠습니다.

극한이 무한하기 때문에 수평 점근선은 없습니다.

y=kx+by=kx+b 형식의 경사 점근선을 구해 봅시다. 알려진 공식을 사용하여 k,bk,b 값을 계산합니다.

우리는 함수가 하나의 경사 점근선 y=−x−1y=−x−1을 가지고 있음을 발견했습니다.

9) 추가 포인트. 그래프를 보다 정확하게 구성하기 위해 다른 지점에서 함수 값을 계산해 보겠습니다.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) 얻은 데이터를 바탕으로 그래프를 구성하고 점근선 x=1x=1(파란색), y=−x−1y=−x−1(녹색)으로 보완하고 특징점(세로 좌표와 보라색 교차점)을 표시합니다. 축, 주황색 극값, 검은색 추가 점):

작업 4: 기하학적, 경제적 문제(무엇인지 모르겠습니다. 여기에 솔루션 및 공식과 관련된 대략적인 문제 선택이 있습니다)

예제 3.23. 에이

해결책. 엑스그리고 와이 와이
y = a - 2×a/4 =a/2. x = a/4가 유일한 임계점이므로, 이 점을 통과할 때 미분의 부호가 바뀌는지 확인해 보겠습니다. xa/4 S " > 0의 경우 및 x >a/4 S "의 경우< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

예제 3.24.

해결책.
R = 2, H = 16/4 = 4.

예제 3.22.함수 f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14의 극값을 구합니다.

해결책. f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3)이므로 함수의 임계점 x 1 = 2 및 x 2 = 3. 극한값은 다음에서만 가능합니다. 따라서 x 1 = 2 지점을 통과할 때 도함수는 부호를 플러스에서 마이너스로 변경하고, 이 지점에서 함수는 x 2 = 3 지점을 통과할 때 마이너스에서 부호를 변경합니다. 플러스로, 따라서 x 2 = 3 지점에서 함수는 해당 지점에서 함수 값을 계산하면 최소값을 갖습니다.
x 1 = 2 및 x 2 = 3인 경우, 함수의 극값, 즉 최대 f(2) = 14 및 최소 f(3) = 13을 찾습니다.

예제 3.23.돌담 근처에 직사각형 영역을 만들어 철망으로 3면을 막고 4면은 벽에 인접하도록해야합니다. 이를 위해 에이메쉬의 선형 미터. 사이트의 면적이 가장 큰 가로 세로 비율은 얼마입니까?

해결책.플랫폼의 측면을 다음과 같이 표시하겠습니다. 엑스그리고 와이. 사이트의 면적은 S = xy입니다. 허락하다 와이- 벽에 인접한 변의 길이입니다. 그러면 조건에 따라 2x + y = a가 성립해야 합니다. 따라서 y = a - 2x이고 S = x(a - 2x)입니다. 여기서
0 ≤ x ≤ a/2(패드의 길이와 너비는 음수일 수 없음) S " = a - 4x, a - 4x = 0, x = a/4, 여기서
y = a - 2×a/4 =a/2. x = a/4가 유일한 임계점이므로, 이 점을 통과할 때 미분의 부호가 바뀌는지 확인해 보겠습니다. xa/4 S " > 0의 경우 및 x >a/4 S "의 경우< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

예제 3.24. V=16p ≒ 50m 3 용량의 폐쇄형 원통형 탱크를 생산해야 합니다. 제조에 최소한의 재료가 사용되도록 탱크의 크기(반경 R 및 높이 H)는 어떻게 되어야 합니까?

해결책.원통의 전체 표면적은 S = 2pR(R+H)입니다. 우리는 실린더의 부피 V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 를 알고 있습니다. 이는 S(R) = 2p(R 2 +16/R)을 의미합니다. 우리는 이 함수의 미분을 찾습니다:
S"(R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p(R- 8/R 2). R 3 = 8인 경우 S "(R) = 0이므로,
R = 2, H = 16/4 = 4.

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문제가 그래프 구성과 함께 함수 f (x) = x 2 4 x 2 - 1에 대한 완전한 연구가 필요한 경우 이 원리를 자세히 고려할 것입니다.

이러한 유형의 문제를 해결하려면 기본 속성과 그래프를 사용해야 합니다. 기본 기능. 연구 알고리즘에는 다음 단계가 포함됩니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

정의 영역 찾기

함수의 정의 영역에 대한 연구가 진행되고 있으므로 이 단계부터 시작하는 것이 필요하다.

실시예 1

을 위한 이 예 ODZ에서 분모의 0을 제외하기 위해 분모의 0을 찾는 작업이 포함됩니다.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; + Infini

결과적으로 근, 로그 등을 얻을 수 있습니다. 그런 다음 ODZ는 부등식 g (x) ≥ 0으로 g (x) 4 유형의 짝수 차수 근을 검색할 수 있으며, 로그 로그 a g (x)의 경우 부등식 g (x) > 0으로 검색할 수 있습니다.

ODZ의 경계 연구 및 수직 점근선 찾기

그러한 점에서의 단측 극한이 무한할 때 함수의 경계에는 수직 점근선이 있습니다.

실시예 2

예를 들어, x = ± 1 2 와 같은 경계점을 생각해 보세요.

그런 다음 단측 극한을 찾기 위해 함수를 연구해야 합니다. 그러면 우리는 다음을 얻습니다: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + limit x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = 한계 x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - limit 한계 x → 1 2 - 0 f (x) = 한계 x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = 한계 x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + 무한

이는 단측 극한이 무한하다는 것을 보여줍니다. 이는 직선 x = ± 1 2 가 그래프의 수직 점근선임을 의미합니다.

함수와 짝수인지 홀수인지에 대한 연구

y(-x) = y(x) 조건이 충족되면 함수는 짝수로 간주됩니다. 이는 그래프가 Oy를 기준으로 대칭적으로 위치함을 나타냅니다. 조건 y(-x) = - y(x)가 충족되면 함수는 홀수로 간주됩니다. 이는 대칭이 좌표 원점을 기준으로 함을 의미합니다. 적어도 하나의 부등식이 만족되지 않으면 일반 형식의 함수를 얻습니다.

y (- x) = y (x) 등식은 함수가 짝수임을 나타냅니다. 구성할 때 Oy에 대해 대칭이 있다는 점을 고려해야 합니다.

부등식을 해결하기 위해 각각 f " (x) ≥ 0 및 f " (x) ≤ 0 조건에서 증가 및 감소 구간이 사용됩니다.

정의 1

고정점- 미분값을 0으로 바꾸는 지점입니다.

중요한 점- 함수의 도함수가 0과 같거나 존재하지 않는 정의 영역의 내부 지점입니다.

결정을 내릴 때 다음 사항을 고려해야 합니다.

f " (x) > 0 형식의 불평등 증가 및 감소의 기존 구간에 대해 임계점은 솔루션에 포함되지 않습니다.
유한 도함수 없이 함수가 정의되는 지점은 증가 및 감소 구간에 포함되어야 합니다(예: y = x 3, 여기서 x = 0 지점이 함수를 정의하면 도함수는 이 지점에서 무한대의 값을 갖습니다. point, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = , x = 0은 증가 구간에 포함됩니다);
불일치를 피하기 위해 교육부에서 권장하는 수학 문헌을 사용하는 것이 좋습니다.

함수 정의 영역을 만족하는 경우 증가 및 감소 간격에 임계점을 포함합니다.

정의 2

을 위한 함수의 증가 및 감소 간격을 결정하려면 다음을 찾아야 합니다.:

유도체;
중요한 점;
임계점을 사용하여 정의 영역을 간격으로 나눕니다.
각 구간에서 도함수의 부호를 결정합니다. 여기서 +는 증가이고 -는 감소입니다.

실시예 3

정의 영역에서 도함수 찾기 f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

해결책

해결하려면 다음이 필요합니다.

고정점을 찾으세요. 이 예에서는 x = 0입니다.
분모의 0을 찾으려면 이 예에서는 x = ± 1 2에서 0 값을 사용합니다.

각 구간의 도함수를 결정하기 위해 숫자 축에 점을 배치합니다. 이렇게 하려면 간격에서 임의의 지점을 가져와 계산을 수행하면 충분합니다. ~에 긍정적인 결과그래프에서 +는 함수가 증가함을 의미하고 -는 감소함을 의미합니다.

예를 들어, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0은 왼쪽의 첫 번째 구간에 + 기호가 있음을 의미합니다. 수직선을 생각해 보세요.

답변:

함수는 간격 - 에 따라 증가합니다. - 1 2 및 (- 1 2 ; 0 ] ;
간격이 감소합니다. [0; 1 2) 및 1 2 ; + .

도표에서는 +와 -를 이용하여 함수의 긍정과 부정을 표현하였으며, 화살표는 감소와 증가를 나타냅니다.

함수의 극점은 함수가 정의되고 도함수가 부호를 변경하는 지점입니다.

실시예 4

x = 0인 예를 고려하면 그 안의 함수 값은 f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0과 같습니다. 미분의 부호가 +에서 -로 바뀌고 x = 0 지점을 통과하면 좌표가 (0; 0)인 지점이 최대 지점으로 간주됩니다. 부호가 -에서 +로 바뀌면 최소점을 얻습니다.

볼록함과 오목함은 f "" (x) ≥ 0 및 f "" (x) ≤ 0 형식의 부등식을 풀어 결정됩니다. 덜 일반적으로 사용되는 이름은 오목형 대신 아래쪽 볼록형, 볼록형 대신 위쪽 볼록형이라는 이름입니다.

정의 3

을 위한 오목함과 볼록함의 간격 결정필요한:

2차 도함수를 찾으세요;
2차 미분 함수의 영점을 찾습니다.
정의 영역을 나타나는 지점이 있는 간격으로 나눕니다.
간격의 부호를 결정합니다.

실시예 5

정의 영역에서 2차 도함수를 찾습니다.

해결책

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

우리는 분자와 분모의 0을 찾습니다. 여기서 우리의 예에서는 분모의 0이 x = ± 1 2라는 것을 알 수 있습니다.

이제 수직선에 점을 표시하고 각 구간에서 2차 도함수의 부호를 결정해야 합니다. 우리는 그것을 얻습니다

답변:

함수는 - 1 2 구간에서 볼록합니다. 1 2 ;
함수는 간격 - 에서 오목합니다. - 1 2 및 1 2; + .

정의 4

변곡점– 이것은 x 0 형식의 점입니다. 에프(x0) . 함수 그래프에 접선이 있으면 x 0을 통과할 때 함수의 부호가 반대 방향으로 변경됩니다.

즉, 이는 2차 도함수가 통과하여 부호가 바뀌는 지점인데, 그 지점 자체에서는 0과 같거나 존재하지 않습니다. 모든 점은 함수의 영역으로 간주됩니다.

이 예에서는 2차 도함수가 x = ± 1 2 점을 통과하는 동안 부호가 변경되므로 변곡점이 없다는 것이 분명했습니다. 이는 정의 범위에 포함되지 않습니다.

수평 및 경사 점근선 찾기

무한대에서 함수를 정의할 때 수평 및 경사 점근선을 찾아야 합니다.

정의 5

경사 점근선는 방정식 y = k x + b로 주어진 직선을 사용하여 표시됩니다. 여기서 k = lim x → f (x) x 및 b = lim x → f (x) - k x입니다.

k = 0이고 b가 무한대가 아닌 경우, 경사 점근선은 다음과 같습니다. 수평의.

즉, 점근선은 함수 그래프가 무한대에 접근하는 선으로 간주됩니다. 이를 통해 함수 그래프를 빠르게 구성할 수 있습니다.

점근선은 없지만 함수가 양쪽 무한대에서 정의된 경우 함수 그래프가 어떻게 동작하는지 이해하려면 이러한 무한대에서 함수의 극한을 계산해야 합니다.

실시예 6

다음과 같은 예를 생각해 보자.

k = 한계 x → IGHT f (x) x = 한계 x → x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = 한계 x → (f (x) - k x) = 한계 x → x 2 4 x 2 - 1 = 14 ⇒ y = 14

수평 점근선입니다. 함수를 검토한 후 함수 생성을 시작할 수 있습니다.

중간 지점에서 함수 값 계산

그래프를 더 정확하게 만들려면 중간 지점에서 여러 함수 값을 찾는 것이 좋습니다.

실시예 7

우리가 고려한 예에서 x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 지점에서 함수 값을 찾아야합니다. 함수가 짝수이므로 값이 이 지점의 값과 일치한다는 것을 알 수 있습니다. 즉, x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4를 얻습니다.

다음을 작성하고 해결해 봅시다:

F(- 2) = f(2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≒ 0, 27 f(- 1) - f(1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≒ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≒ - 0.08

함수의 최대값과 최소값, 변곡점, 중간점을 결정하려면 점근선을 구성해야 합니다. 지정의 편의를 위해 증가, 감소, 볼록, 오목의 간격을 기록합니다. 아래 그림을 살펴 보겠습니다.