3 다양한 정도. 불합리한 힘으로 키우는 것. 최대 서명 수

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먼저 권력의 기본 공식과 그 속성을 기억해 봅시다.

숫자의 곱 에이자체적으로 n 번 발생하면 이 표현식을 a a … a=an으로 쓸 수 있습니다.

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (an) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. an / a m = an - m

거듭제곱 또는 지수 방정식– 변수가 거듭제곱(또는 지수)이고 밑이 숫자인 방정식입니다.

지수 방정식의 예:

이 예에서는 숫자 6이 밑수이며 항상 아래쪽에 있습니다. 엑스학위 또는 지표.

지수 방정식의 더 많은 예를 들어보겠습니다.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

이제 지수 방정식이 어떻게 해결되는지 살펴 보겠습니다.

간단한 방정식을 생각해 봅시다:

2 x = 2 3

이 예는 머리 속에서도 풀 수 있습니다. x=3임을 알 수 있다. 결국, 왼쪽과 오른쪽이 같아지려면 x 대신 숫자 3을 넣어야 합니다.
이제 이 결정을 공식화하는 방법을 살펴보겠습니다.

2 x = 2 3
엑스 = 3

그러한 방정식을 풀기 위해 우리는 제거했습니다. 동일한 근거(즉, 2) 남은 것을 적었습니다. 이것이 도입니다. 우리는 우리가 찾고 있던 답을 얻었습니다.

이제 우리의 결정을 요약해 보겠습니다.

지수 방정식을 풀기 위한 알고리즘:
1. 확인해야 할 사항 동일한방정식의 밑이 오른쪽과 왼쪽에 있는지 여부. 이유가 동일하지 않은 경우 이 예를 해결할 수 있는 옵션을 찾고 있습니다.
2. 베이스가 같아진 후, 같게 하다학위를 취득하고 결과로 나온 새로운 방정식을 푼다.

이제 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

간단한 것부터 시작해 보겠습니다.

왼쪽과 오른쪽에 있는 베이스는 숫자 2와 같습니다. 이는 베이스를 버리고 그 힘을 동일하게 할 수 있음을 의미합니다.

x+2=4 가장 간단한 방정식이 얻어집니다.
x=4 – 2
x=2
답: x=2

다음 예에서는 밑수가 3과 9로 서로 다른 것을 볼 수 있습니다.

3 3x - 9 x+8 = 0

먼저 9를 오른쪽으로 이동하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

이제 동일한 기반을 만들어야 합니다. 우리는 9=3 2라는 것을 알고 있습니다. 거듭제곱 공식(an) m = a nm을 사용해 보겠습니다.

3 3x = (3 2) x+8

9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16을 얻습니다.

3 3x = 3 2x+16 이제 왼쪽과 오른쪽의 밑변이 동일하고 3과 같다는 것이 분명합니다. 이는 밑변을 버리고 각도를 동일시할 수 있음을 의미합니다.

3x=2x+16 가장 간단한 방정식을 얻습니다.
3x - 2x=16
x=16
답: x=16.

다음 예를 살펴보겠습니다.

2 2x+4 - 10 4x = 2 4

먼저, 베이스 2번과 4번을 살펴보겠습니다. 그리고 우리는 그것들이 동일해야 합니다. 우리는 공식 (an) m = a nm을 사용하여 4개를 변환합니다.

4 x = (2 2) x = 2 2x

그리고 우리는 또한 하나의 공식 a n a m = a n + m을 사용합니다:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

방정식에 추가:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

우리는 같은 이유로 예를 들었습니다. 하지만 다른 숫자 10과 24는 우리를 어떻게 해야 할까요? 자세히 살펴보면 왼쪽에 2 2x가 반복되어 있음을 알 수 있습니다. 답은 다음과 같습니다. 괄호 안에 2 2x를 넣을 수 있습니다.

2 2x (2 4 - 10) = 24

괄호 안의 표현식을 계산해 보겠습니다.

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

전체 방정식을 6으로 나눕니다.

4=2 2를 상상해 봅시다:

2 2x = 2 2 염기는 동일하므로 이를 버리고 각도를 동일시합니다.
2x = 2는 가장 간단한 방정식입니다. 2로 나누면 이렇게 됩니다.
엑스 = 1
답: x = 1.

방정식을 풀어 봅시다:

9 x – 12*3 x +27= 0

변환해보자:
9 x = (3 2) x = 3 2x

우리는 방정식을 얻습니다.
3 2x - 12 3 x +27 = 0

우리의 밑수는 동일하며 3과 같습니다. 이 예에서 처음 3개는 두 번째(단지 x)보다 두 배(2x)의 차수를 가짐을 알 수 있습니다. 이런 경우에는 해결할 수 있습니다. 교체 방법. 숫자를 가장 작은 각도로 바꿉니다.

그러면 3 2x = (3 x) 2 = t 2

방정식의 모든 x 거듭제곱을 t로 바꿉니다.

티 2 - 12티+27 = 0
우리는 이차 방정식을 얻습니다. 판별식을 통해 풀면 다음을 얻습니다.
D=144-108=36
티 1 = 9
t2 = 3

변수로 돌아가기 엑스.

t 1을 취하십시오:
티 1 = 9 = 3x

그러므로,

3×=9
3×=3 2
x 1 = 2

루트가 하나 발견되었습니다. 우리는 t 2에서 두 번째 것을 찾고 있습니다:
티 2 = 3 = 3 x
3×=3 1
x 2 = 1
답: x 1 = 2; x 2 = 1.

웹사이트의 HELP DECIDE 섹션에서 관심 있는 질문을 질문할 수 있으며, 저희가 확실히 답변해 드리겠습니다.

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주요 목표

학생들에게 자연지수를 이용한 도의 속성을 익히고 도를 사용하여 연산을 수행하는 방법을 가르칩니다.

주제 "학위 및 그 속성"세 가지 질문이 포함되어 있습니다:

• 자연 지표를 이용한 정도 결정.
• 권력의 곱셈과 나눗셈.
• 제품 및 학위의 지수화.

보안 질문

1. 1보다 큰 자연지수를 갖는 학위의 정의를 공식화하세요. 예를 들어보세요.
2. 지수 1을 사용하여 정도의 정의를 공식화합니다. 예를 들어보세요.
3. 거듭제곱이 포함된 표현식의 값을 계산할 때 연산 순서는 무엇입니까?
4. 정도의 주요 속성을 공식화합니다.
5. 예를 들어보세요.
6. 동일한 밑수를 사용하여 거듭제곱을 곱하는 규칙을 공식화합니다. 예를 들어보세요.
7. 곱의 지수화 규칙을 공식화합니다. 예를 들어보세요. 항등식 (ab) n = a n b n 을 증명하십시오.
8. 권력을 권력으로 높이는 규칙을 공식화하십시오. 예를 들어보세요. 항등식(am) n = a m n 을 증명하십시오.

학위의 정의.

수의 거듭제곱 에이자연적인 지표로 N, 1보다 큰 것은 n개의 요소의 곱이며, 각 요소는 동일합니다. 에이. 수의 거듭제곱 에이지수 1은 숫자 자체입니다. 에이.

베이스가 있는 정도 에이및 표시기 N다음과 같이 작성됩니다. 그리고 n. “ 에이어느 정도 N"; " 숫자의 n제곱 에이 ”.

학위의 정의에 따르면:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

거듭제곱의 가치를 찾는 것을 소위 지수로 .

1. 지수화의 예:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. 표현의 의미를 찾으십시오.

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

옵션 1

가) 0.3 0.3 0.3

다) bb b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. 숫자를 정사각형으로 표시합니다.

3. 숫자를 큐브로 표현합니다.

4. 표현의 의미를 찾으십시오.

다) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

마) 100 - 5 2 4

권력의 증식.

임의의 숫자 a와 임의의 숫자 m 및 n에 대해 다음이 유지됩니다.

a m a n = a m + n .

증거:

규칙 : 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱할 때 밑수는 동일하게 유지되고 거듭제곱의 지수가 추가됩니다.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

가) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

마) 0.01 0.1 3 = 0.1 2 0.1 3 = 0.1 5

가) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

옵션 1

1. 학위로 제출:

가) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) 6 2 g) 3 3 9

c) 4년 4년 h) 7 4 49

d) 가 8 나) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0.3 3 0.09

2. 학위로 제시하고 표에서 값을 찾습니다.

가) 2 2 2 3 다) 8 2 5

나) 3 4 3 2 라) 27 243

학위 구분.

m>n인 임의의 숫자 a0과 임의의 자연수 m 및 n에 대해 다음이 성립합니다.

am: ann = am - n

증거:

a m - n an = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

몫의 정의에 따르면:

a m: a n = a m - n .

규칙: 동일한 밑수로 거듭제곱을 나누는 경우 밑수는 동일하게 유지되고 피제수 지수에서 제수의 지수를 뺍니다.

정의: 0이 아닌 숫자 a의 지수가 0인 숫자 a의 거듭제곱은 1과 같습니다.:

왜냐하면 an: a0에서 an = 1입니다.

가) x 4: x 2 = x 4 - 2 = x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) 7:a = 7:a 1 = 7 - 1 = 6

d) 5부터:0부터 = 5:1부터 = 5부터

가) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

다섯)

G)

디)

옵션 1

1. 몫을 거듭제곱으로 제시합니다.

2. 표현의 의미를 찾으십시오.

제품의 힘을 키우는 것.

임의의 a와 b 및 임의의 자연수 n에 대해:

(ab) n = a n b n

증거:

학위의 정의에 따르면

(ab)n=

요인 a와 요인 b를 별도로 그룹화하면 다음을 얻습니다.

=

제품의 성능에 대한 입증된 특성은 세 가지 이상의 요소에 대한 제품의 성능으로 확장됩니다.

예를 들어:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

규칙: 곱의 거듭제곱을 올리면 각 요소의 거듭제곱이 올라가서 그 결과가 곱해집니다.

1. 세력을 키우다:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 =2 3 x 3 y 3 = 8 x 3 y 3

c) (3a) 4 = 34a 4 = 81a 4

d) (-5 y) 3 = (-5) 3 y 3 = -125 y 3

e) (-0.2 x y) 2 = (-0.2) 2 x 2 y 2 = 0.04 x 2 y 2

e) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. 표현식의 값을 찾으십시오.

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

d) 0.25 11 4 11 = (0.25 4) 11 = 1 11 = 1

디)

옵션 1

1. 세력을 키우다:

b) (2a c) 4

e) (-0.1 x y) 3

2. 표현식의 값을 찾으십시오.

b) (5 7 20) 2

힘의 힘으로 키우는 것.

임의의 숫자 a와 임의의 자연수 m 및 n에 대해:

(am) n = a m n

증거:

학위의 정의에 따르면

(am) n =

규칙: 거듭제곱을 거듭제곱할 때 밑수는 그대로 유지되고 지수는 곱해집니다..

1. 세력을 키우다:

(a3) 2 = a6 (x5) 4 = x20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. 표현을 단순화하십시오.

a) 3 (a 2) 5 = 3 10 = 13

b) (b3) 2b7 = b6b7 = b13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 = x 6 x 8 = x 14

d) (y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

에이)

비)

옵션 1

1. 세력을 키우다:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. 표현을 단순화하십시오.

가) 4 (a 3) 2

b) (b4) 3b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y 9) 2

3. 표현의 의미를 찾으십시오.

애플리케이션

학위의 정의.

옵션 2

1st 제품을 전력으로 작성하십시오.

가) 0.4 0.4 0.4

c) 아 아 아 아 아 아 아

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bс) (bс) (bс)

2. 숫자를 정사각형으로 표시합니다.

3. 숫자를 큐브로 표현합니다.

4. 표현의 의미를 찾으십시오.

다) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

마) 4 5 2 – 100

옵션 3

1. 제품을 거듭제곱으로 작성합니다.

가) 0.5 0.5 0.5

c) with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with 함께 함께 함께 함께 함께 함께

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. 숫자를 정사각형으로 표시합니다: 100; 0.49; .

3. 숫자를 큐브로 표현합니다.

4. 표현의 의미를 찾으십시오.

다) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

전자) 5 4 2 - 100

옵션 4

1. 제품을 거듭제곱으로 작성합니다.

가) 0.7 0.7 0.7

다) x x x x x x

d) (-a) (-a) (-a)

e) (bс) (bс) (bс) (bc)

2. 숫자를 정사각형으로 표시합니다.

3. 숫자를 큐브로 표현합니다.

4. 표현의 의미를 찾으십시오.

다) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

마) 100 - 3 2 5

권력의 증식.

옵션 2

1. 학위로 제출:

가) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) 7 3 g) 2 3 4

c) y 5 y h) 4 3 16

d) 가 7 나) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0.2 3 0.04

2. 학위로 제시하고 표에서 값을 찾습니다.

가) 3 2 3 3 다) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

옵션 3

1. 학위로 제출:

a) 가 3 가 5 f) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0.3 4 0.27

2. 학위로 제시하고 표에서 값을 찾습니다.

가) 3 3 3 4 다) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

옵션 4

1. 학위로 제출:

가) 6 가 2 이자) X 4 X X 6

b) x 7 x 8g) 3 4 27

c) 6년 6년 h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0.2 2 0.008

2. 학위로 제시하고 표에서 값을 찾습니다.

가) 2 6 2 3 다) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

학위 구분.

옵션 2

1. 몫을 거듭제곱으로 제시합니다.

2. 표현의 의미를 찾아보세요.

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우리는 숫자의 거듭제곱이 실제로 무엇인지 알아냈습니다. 이제 우리는 이를 올바르게 계산하는 방법을 이해해야 합니다. 숫자를 거듭제곱으로 올리세요. 이 자료에서는 정수, 자연, 분수, 유리수 및 무리수 지수의 경우 차수를 계산하는 기본 규칙을 분석합니다. 모든 정의는 예를 들어 설명됩니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

지수의 개념

기본 정의를 공식화하는 것부터 시작하겠습니다.

정의 1

지수화특정 숫자의 거듭제곱 값을 계산하는 것입니다.

즉, '힘의 가치를 계산하다'와 '힘을 높이다'라는 말은 같은 의미이다. 그래서 문제에 “0, 5의 5제곱을 하라”라고 되어 있다면 이는 “(0, 5) 5의 거듭제곱 값을 계산하라”로 이해해야 합니다.

이제 그러한 계산을 할 때 따라야 할 기본 규칙을 제시합니다.

자연지수를 갖는 숫자의 거듭제곱이 무엇인지 기억해 봅시다. 밑이 a이고 지수가 n인 거듭제곱의 경우 이는 n번째 요소 수의 곱이 되며 각 요소는 a와 같습니다. 이는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

도 값을 계산하려면 곱셈 작업을 수행해야 합니다. 즉, 도의 밑수에 지정된 횟수를 곱하는 것입니다. 자연지수를 갖는 학위라는 개념은 빠르게 곱하는 능력에 기초합니다. 예를 들어 보겠습니다.

실시예 1

조건: - 2를 4제곱합니다.

해결책

위의 정의를 사용하여 다음과 같이 씁니다. (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . 다음으로, 다음 단계를 수행하여 16을 얻으면 됩니다.

좀 더 복잡한 예를 들어보겠습니다.

실시예 2

3 2 7 2 값을 계산하세요

해결책

이 항목은 3 2 7 · 3 2 7 로 다시 쓸 수 있습니다. 이전에는 조건식에 언급된 대분수를 올바르게 곱하는 방법을 살펴보았습니다.

다음 단계를 수행하여 답을 구해 보겠습니다. 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

문제가 무리수를 자연 거듭제곱으로 올려야 함을 나타내는 경우 먼저 필요한 정확도의 답을 얻을 수 있는 숫자로 밑수를 반올림해야 합니다. 예를 살펴보겠습니다.

실시예 3

π의 제곱을 수행합니다.

해결책

먼저, 100분의 1로 반올림해 보겠습니다. 그러면 π 2 ≒ (3, 14) 2 = 9, 8596입니다. π ≒ 3이면. 14159이면 더 정확한 결과를 얻습니다: π 2 ≒ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

무리수의 거듭제곱을 계산해야 하는 필요성은 실제로는 비교적 드물게 발생합니다. 그런 다음 답을 거듭제곱(ln 6) 3 자체로 쓰거나 가능하면 변환할 수 있습니다: 5 7 = 125 5 .

이와 별도로 숫자의 첫 번째 거듭제곱이 무엇인지 표시해야 합니다. 여기에서 첫 번째 거듭제곱으로 올린 숫자는 그 자체로 유지된다는 점을 간단히 기억할 수 있습니다.

녹음을 보면 이 사실이 분명하다 .

학위 기준에 의존하지 않습니다.

실시예 4

따라서 (− 9) 1 = − 9이고 7 3을 1제곱하면 7 3과 동일하게 유지됩니다.

편의상 지수가 양의 정수인 경우, 0인 경우, 음의 정수인 경우 등 세 가지 경우를 별도로 살펴보겠습니다.

첫 번째 경우, 이는 자연수로 거듭제곱하는 것과 동일합니다. 결국 양의 정수는 자연수 집합에 속합니다. 우리는 그러한 학위를 가지고 일하는 방법에 대해 이미 위에서 이야기했습니다.

이제 제로 파워까지 올바르게 올리는 방법을 살펴 보겠습니다. 0이 아닌 밑의 경우 이 계산은 항상 1을 출력합니다. 우리는 이전에 a의 0제곱은 0이 아닌 임의의 실수에 대해 정의될 수 있고 a 0 = 1이라고 설명했습니다.

실시예 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - 정의되지 않았습니다.

정수 음수 지수를 갖는 학위의 경우만 남습니다. 우리는 그러한 각도가 분수 1 a z로 쓰여질 수 있다는 것을 이미 논의했습니다. 여기서 a는 임의의 숫자이고 z는 음의 정수입니다. 우리는 이 분수의 분모가 양의 정수 지수를 갖는 일반적인 거듭제곱에 불과하다는 것을 알고 있으며 이를 계산하는 방법을 이미 배웠습니다. 작업의 예를 들어 보겠습니다.

실시예 6

3을 2승으로 올립니다.

해결책

위의 정의를 사용하여 다음과 같이 씁니다. 2 - 3 = 1 2 3

이 분수의 분모를 계산하여 8:2 3 = 2 · 2 · 2 = 8을 얻습니다.

그러면 답은 다음과 같습니다: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

실시예 7

1.43을 -2승으로 올립니다.

해결책

다시 공식화해 보겠습니다: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

분모의 제곱은 1.43·1.43으로 계산됩니다. 소수는 다음과 같은 방법으로 곱할 수 있습니다.

결과적으로 (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449를 얻었습니다. 우리가 해야 할 일은 이 결과를 일반 분수의 형태로 작성하는 것뿐입니다. 이를 위해서는 10,000을 곱해야 합니다(분수 변환에 대한 자료 참조).

답: (1, 43) - 2 = 10000 20449

특별한 경우는 숫자를 마이너스 1승으로 올리는 것입니다. 이 정도의 값은 밑의 원래 값의 역수와 같습니다: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

실시예 8

예: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

숫자를 분수 거듭제곱으로 올리는 방법

이러한 연산을 수행하려면 분수 지수가 있는 각도의 기본 정의를 기억해야 합니다. 양수 a, 정수 m 및 자연 n에 대해 a m n = a m n.

정의 2

따라서 분수 거듭제곱의 계산은 두 단계, 즉 정수 거듭제곱으로 올리고 n제곱의 근을 구하는 두 단계로 수행되어야 합니다.

우리는 근의 속성을 고려하여 일반적으로 a m n = a n m 형식의 문제를 해결하는 데 사용되는 a m n = a m n 등식을 갖습니다. 이는 숫자 a를 분수 m/n으로 올리면 먼저 a의 n제곱근을 취한 다음 결과를 정수 지수 m으로 거듭제곱한다는 의미입니다.

예를 들어 설명해 보겠습니다.

실시예 9

8 - 2 3 을 계산하세요.

해결책

방법 1: 기본 정의에 따르면 이를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 8 - 2 3 = 8 - 2 3

이제 근 아래의 차수를 계산하고 결과에서 세 번째 근을 추출해 보겠습니다. 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

방법 2. 기본 동일성을 변환합니다. 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

그런 다음 루트 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2를 추출하고 결과를 제곱합니다. 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

우리는 해결책이 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 원하는 방식으로 사용할 수 있습니다.

정도에 대분수나 소수로 표현되는 표시가 있는 경우가 있습니다. 계산을 단순화하려면 일반 분수로 바꾸고 위에 표시된 대로 계산하는 것이 좋습니다.

실시예 10

44, 89를 2, 5로 거듭제곱합니다.

해결책

표시기의 값을 일반 분수(44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2)로 변환해 보겠습니다.

이제 위에 표시된 모든 작업을 순서대로 수행합니다. 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

답: 13 501, 25107.

분수 지수의 분자와 분모에 큰 숫자가 포함되어 있으면 유리수 지수로 그러한 지수를 계산하는 것은 다소 어려운 작업입니다. 일반적으로 컴퓨터 기술이 필요합니다.

밑이 0이고 분수 지수가 있는 거듭제곱에 대해 별도로 살펴보겠습니다. 0 m n 형식의 표현에는 다음과 같은 의미가 주어질 수 있습니다. m n > 0이면 0 m n = 0 m n = 0입니다. 만약 m n이라면< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

숫자를 비합리적인 거듭제곱으로 올리는 방법

지수가 무리수인 거듭제곱의 값을 계산해야 할 필요성은 그렇게 자주 발생하지 않습니다. 실제로 작업은 일반적으로 대략적인 값(특정 소수 자릿수까지)을 계산하는 것으로 제한됩니다. 이는 일반적으로 계산의 복잡성으로 인해 컴퓨터에서 계산되므로 이에 대해 자세히 설명하지 않고 주요 조항만 표시합니다.

무리수 a를 사용하여 거듭제곱 a의 값을 계산해야 하는 경우 지수의 십진수 근사치를 취하여 그 값을 셉니다. 결과는 대략적인 답변이 될 것입니다. 소수점 근사치가 정확할수록 답이 더 정확해집니다. 예를 들어 보겠습니다.

실시예 11

21, 174367의 대략적인 값을 계산합니다....

해결책

우리 자신을 십진 근사 a n = 1, 17로 제한합시다. 2 1, 17 ≒ 2, 250116이라는 숫자를 사용하여 계산을 수행해 보겠습니다. 예를 들어 근사값 a n = 1, 1743을 취하면 답은 좀 더 정확해집니다: 2 1, 174367. . . ≒ 2 1, 1743 ≒ 2, 256833.

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언제그 숫자는 스스로 증가한다 너 자신에게, 일하다~라고 불리는 도.

따라서 2.2 = 4, 2의 제곱 또는 2제곱
2.2.2 = 8, 세제곱 또는 3승.
2.2.2.2 = 16, 4급.

또한 10.10 = 100, 즉 10의 두 번째 거듭제곱입니다.
10.10.10 = 1000, 3승.
10.10.10.10 = 10000 4제곱.

그리고 a.a = aa, a의 2제곱
a.a.a = aaa, a의 3제곱
a.a.a.a = aaaa, a의 4제곱

원래 번호는 다음과 같습니다. 뿌리이 숫자의 거듭제곱은 거듭제곱이 생성된 숫자이기 때문입니다.

그러나 특히 권력이 큰 경우 권력을 구성하는 모든 요소를 ​​적는 것은 전적으로 편리하지 않습니다. 따라서 단축 표기법을 사용합니다. 도의 뿌리는 한 번만 쓰고 오른쪽과 그 근처에서 조금 더 높게 쓰는데 조금 더 작은 글씨체로 몇 번이나 쓴다. 뿌리가 요인으로 작용한다. 이 숫자나 문자는 멱지수또는 도숫자. 따라서 a 2는 a.a 또는 aa와 같습니다. 왜냐하면 aa의 거듭제곱을 얻으려면 루트 a에 자신을 두 번 곱해야 하기 때문입니다. 또한 a 3은 aaa를 의미합니다. 즉, 여기서는 a가 반복됩니다. 세 번승수로.

1차 지수는 1이지만 일반적으로 기록되지 않습니다. 따라서 1은 a로 쓰여집니다.

학위와 혼동해서는 안 된다. 계수. 계수는 값이 얼마나 자주 사용되는지를 나타냅니다. 부분전체. 검정력은 수량을 얼마나 자주 사용하는지 보여줍니다. 요인작업 중.
따라서 4a = a + a + a + a입니다. 하지만 a 4 = a.a.a.a

거듭제곱 표기 방식은 다음과 같은 표현을 가능하게 한다는 특별한 장점이 있습니다. 알려지지 않은도. 이를 위해 숫자 대신 지수를 사용합니다. 편지. 문제를 해결하는 과정에서 우리는 다음과 같은 양을 얻을 수 있습니다. 일부다른 규모의 정도. 그러나 지금까지 우리는 그것이 정사각형인지, 정육면체인지, 아니면 다른 더 높은 등급인지 알 수 없습니다. 따라서 표현식 a x에서 지수는 이 표현식이 다음을 갖는다는 것을 의미합니다. 일부정도는 정의되지 않았지만 어느 정도. 따라서 b m과 d n은 m과 n의 거듭제곱입니다. 지수가 발견되면, 숫자문자 대신에 대체됩니다. 따라서 m=3이면 b m = b 3 ; 그러나 m = 5이면 b m =b 5입니다.

거듭제곱을 이용해 값을 쓰는 방식도 활용시 큰 장점이다. 표현. 따라서 (a + b + d) 3은 (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), 즉 삼항식 (a + b + d)의 세제곱입니다. . 하지만 이 표현식을 큐브로 올린 후 작성하면 다음과 같습니다.
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

지수가 1씩 증가하거나 감소하는 일련의 거듭제곱을 취하면 곱이 다음과 같이 증가한다는 것을 알 수 있습니다. 공통 승수또는 감소 공약수, 이 인수 또는 제수는 거듭제곱된 원래 숫자입니다.

그래서 시리즈 aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
또는 5, 4, 3, 2, 1;
오른쪽에서 왼쪽으로 계산하면 표시기는 1, 2, 3, 4, 5입니다. 두 값의 차이는 1입니다. 시작하면 오른쪽 곱하다 a에 의해 우리는 성공적으로 여러 값을 얻을 것입니다.

따라서 a.a = a 2 , 두 번째 항입니다. 그리고 3 .a = 4
a 2 .a = a 3 , 세 번째 항입니다. 4 .a = 5 .

우리가 시작하면 왼쪽 나누다에,
우리는 5:a = a 4 와 a 3:a = a 2 를 얻습니다.
4:a = 3 2:a = 1

그러나 이러한 분할 과정은 계속해서 진행될 수 있으며, 우리는 새로운 가치를 얻게 됩니다.

따라서 a:a = a/a = 1입니다. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

전체 행은 aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa입니다.

또는 5, 4, 3, 2, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

값은 다음과 같습니다. 오른쪽하나부터 있어요 뒤집다하나의 왼쪽에 있는 값. 따라서 이러한 학위를 호출할 수 있습니다. 역의 거듭제곱에이. 또한 왼쪽의 힘은 오른쪽의 힘의 반대라고 말할 수도 있습니다.

따라서 1:(1/a) = 1.(a/1) = a입니다. 그리고 1:(1/a 3) = a 3입니다.

동일한 녹화 계획을 적용할 수 있습니다. 다항식. 따라서 a + b에 대해 우리는 집합을 얻습니다.
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

편의상, 상호적 힘을 쓰는 또 다른 형태가 사용됩니다.

이 형식에 따르면 1/a 또는 1/a 1 = a -1 입니다. 그리고 1/aaa 또는 1/a 3 = a -3 입니다.
1/aa 또는 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa 또는 1/a 4 = a -4 .

그리고 지수와의 총차가 1인 완전한 계열을 만들기 위해 a/a나 1은 차수가 없는 것으로 간주하여 0으로 쓴다.

그런 다음 직접 및 역전력을 고려하여
aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa 대신
4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4를 쓸 수 있습니다.
또는 +4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, -4입니다.

그리고 일련의 개별 학위는 다음과 같습니다.
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

학위의 루트는 두 개 이상의 문자로 표현될 수 있습니다.

따라서 aa.aa 또는 (aa) 2는 aa의 두 번째 거듭제곱입니다.
그리고 aa.aa.aa 또는 (aa) 3은 aa의 세제곱입니다.

숫자 1의 거듭제곱은 모두 동일합니다(1.1 또는 1.1.1). 1과 같을 것이다.

지수화는 숫자 자체를 곱하여 숫자의 값을 찾는 것입니다. 지수화 규칙:

숫자의 거듭제곱에 표시된 만큼 수량 자체를 곱합니다.

이 규칙은 지수화 과정에서 발생할 수 있는 모든 예에 공통됩니다. 그러나 특정 사례에 어떻게 적용되는지 설명하는 것이 옳습니다.

하나의 항만 거듭제곱하면 지수에 표시된 만큼 자체적으로 곱해집니다.

a의 4제곱은 4 또는 aaaa입니다. (제195조)
y의 6제곱은 y 6 또는 yyyyyy입니다.
x의 N제곱은 xn 또는 xxx..... n번 반복됩니다.

여러 용어의 표현을 거듭제곱할 필요가 있는 경우, 여러 요인의 곱의 거듭제곱은 이러한 요인의 거듭제곱을 곱한 것과 같습니다.

따라서 (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
하지만 ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 입니다.
따라서 (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 입니다.

따라서 제품의 검정력을 찾을 때 전체 제품을 한 번에 작업할 수도 있고, 각 요소를 개별적으로 작업한 다음 해당 값에 검정력을 곱할 수도 있습니다.

예 1. dhy의 4제곱은 (dhy) 4, 즉 d 4 h 4 y 4입니다.

예 2. 세 번째 거듭제곱은 4b이고, (4b) 3, 4 3 b 3, 또는 64b 3이 있습니다.

예제 3. 6ad의 N제곱은 (6ad)n 또는 6n a 및 d n입니다.

예 4. 3m.2y의 세제곱은 (3m.2y) 3, 즉 27m 3 .8y 3입니다.

+와 -로 연결된 항으로 구성된 이항식의 차수는 해당 항을 곱하여 계산됩니다. 예,

(a + b) 1 = a + b, 1차.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, 2제곱(a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, 3승.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, 4제곱.

a - b의 제곱은 a 2 - 2ab + b 2입니다.