잘린 원뿔의 단면적. 원뿔. 잘린 원뿔

- 이것은 대칭축에 수직인 두 개의 평행한 밑면 사이에 경계를 이루는 원뿔의 일부입니다. 원뿔의 밑면은 기하학적 원입니다.

잘린 원뿔은 높이인 측면을 중심으로 직사각형 사다리꼴을 회전시켜 얻을 수 있습니다. 원뿔의 경계는 반경 R의 원, 반경 r의 원 및 원뿔의 측면입니다. 원뿔의 측면은 회전하는 동안 사다리꼴의 측면으로 설명됩니다.

가이드를 통한 잘린 원뿔의 측면 표면적과 밑면의 반경

해당 지역을 찾을 때 측면잘린 원뿔은 원뿔의 측면과 잘린 원뿔의 측면 사이의 차이로 간주하는 것이 더 적절합니다.

주어진 원뿔 AMB에서 원뿔 A`MB`를 잘라냅니다. 계산이 필요하다 측면 영역잘린 원뿔 AA`B`B. 베이스의 반경은 AO=R, A`O` =r이고 생성기는 L과 동일한 것으로 알려져 있습니다. MB`를 x로 표시하겠습니다. 그러면 원뿔 A`MB`의 옆면은 πrx와 같습니다. 그리고 AMB 원뿔의 측면은 πR(L+x)와 같습니다.
그러면 잘린 원뿔 AA`B`B의 측면은 원뿔 AMB와 원뿔 A`MB`의 측면 사이의 차이를 통해 표현될 수 있습니다.

삼각형 OMB와 O`MB`는 각도 ∠(MOB) = ∠(MO`B`) 및 ∠(OMB) = ∠(O`MB`)의 동일성 측면에서 유사합니다. 이 삼각형의 유사성으로부터 다음과 같습니다.
비율의 미분을 사용해 봅시다. 우리는:
여기에서 우리는 x를 찾습니다:
이 식을 측면 표면적 공식에 대입하면 다음과 같습니다.
따라서 잘린 원뿔의 측면 표면적은 가이드에 의한 숫자 π와 밑면 반경의 합과 같습니다.

반경과 모선을 알고 있는 경우 잘린 원뿔의 측면 표면적을 계산하는 예
더 큰 베이스의 반경, 생성기 및 잘린 원뿔의 높이는 각각 7, 5 및 4cm입니다. 원뿔의 측면 표면적을 찾으십시오.
잘린 원뿔의 축 단면은 다음과 같습니다. 이등변 사다리꼴, 염기 2R과 2r이 있습니다. 사다리꼴의 측면인 절두원추의 모선과 큰 밑면의 사춘기 높이와 절두원추 밑면의 반경의 차이가 이집트 삼각형을 이룹니다. 가로 세로 비율이 3:4:5인 직각삼각형입니다. 문제의 조건에 따라 모선은 5이고 높이는 4이며, 잘린 원뿔의 밑면 반경의 차이는 3과 같습니다.
우리는:
L=5
R=7
R=4
잘린 원뿔의 측면 표면적에 대한 공식은 다음과 같습니다.

값을 대체하면 다음과 같습니다.

가이드를 통한 원뿔대의 측면 표면적과 평균 반경

잘린 원뿔의 평균 반지름은 밑면 반지름의 합의 절반과 같습니다.

그런 다음 잘린 원뿔의 측면 면적에 대한 공식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

잘린 원뿔의 측면 표면적은 중간 부분의 원주와 그 모선의 곱과 같습니다.

밑면의 반경과 밑면에 대한 모선의 경사각을 통한 잘린 원뿔의 측면 표면의 면적

작은 밑면이 더 큰 밑면에 직각으로 투영되면 잘린 원뿔의 측면 투영은 링 형태를 가지며 그 면적은 다음 공식으로 계산됩니다.

그 다음에:

아르키메데스에 따른 원뿔대의 측면적

잘린 원뿔의 측면 면적은 반경이 모선과 밑면 반경의 합 사이의 평균 비례 인 원의 면적과 같습니다.

잘린 원뿔의 전체 표면

원뿔의 전체 표면은 측면 표면적과 원뿔 밑면 면적의 합입니다.

원뿔의 밑면은 반지름이 R과 r인 원입니다. 해당 영역은 반경의 제곱에 숫자를 곱한 것과 같습니다.

측면 표면적은 다음 공식으로 계산됩니다.

그러면 그 지역 전체 표면잘린 원뿔은 다음과 같습니다:

수식은 다음과 같습니다.

반경과 모선을 알고 있는 경우 잘린 원뿔의 전체 표면적을 계산하는 예
잘린 원추형의 밑면 반경은 1dm과 7dm이고, 축 단면의 대각선은 서로 수직입니다. 지역을 찾아보세요 전체 면적잘린 원뿔
잘린 원뿔의 축 단면은 밑변이 2R과 2r인 이등변 사다리꼴입니다. 즉, 사다리꼴의 밑변은 각각 2dm과 14dm입니다. 사다리꼴의 대각선은 서로 수직이므로 높이는 밑변의 합의 절반과 같습니다. 그 다음에:

사다리꼴의 측면인 절두원추의 모선과 큰 밑면의 사춘기 높이와 절두원추 밑면의 반지름의 차이가 직각삼각형을 이룬다.
피타고라스 정리를 사용하여 잘린 원뿔의 모선을 찾습니다.

잘린 원뿔의 전체 표면적에 대한 공식은 다음과 같습니다.

문제 조건과 발견된 값의 값을 대체하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

원뿔. 잘린 원뿔

원뿔형 표면주어진 곡선의 각 점과 곡선 외부의 점을 통과하는 모든 직선으로 구성된 표면입니다(그림 32).

이 곡선은 가이드 , 똑바로 - 형성 , 가리키다 - 맨 위 원뿔형 표면.

직선 원형 원추형 표면주어진 원의 각 점을 통과하는 모든 직선과 원의 평면에 수직이고 중심을 통과하는 직선 위의 한 점으로 구성된 표면입니다. 다음에서는 이 표면을 간략하게 부르겠습니다. 원추형 표면 (그림 33).

원뿔 (직선 원형 원뿔 )는 원추형 표면과 가이드 원의 평면과 평행한 평면으로 둘러싸인 기하학적 몸체입니다(그림 34).

쌀. 32 그림. 33 그림. 34

원뿔은 회전에 의해 얻어지는 몸체로 간주될 수 있습니다. 직각삼각형삼각형의 다리 중 하나를 포함하는 축 주위.

원뿔을 둘러싸는 원을 원뿔이라고 합니다. 기초 . 원뿔형 표면의 꼭지점을 호출합니다. 맨 위 원뿔 원뿔의 꼭지점과 밑면의 중심을 연결하는 선분을 이라고 합니다. 키 원뿔 세그먼트 형성 원추형 표면, 라고 불린다 형성 원뿔 중심선 원뿔은 원뿔의 꼭대기와 밑면의 중심을 지나는 직선입니다. 축 단면 원뿔의 축을 통과하는 단면을 호출합니다. 측면개발 원뿔은 반경이 있는 섹터입니다. 길이와 같음원뿔의 모선이고 부채꼴의 호의 길이는 원뿔 밑면의 둘레와 같습니다.

원뿔의 올바른 공식은 다음과 같습니다.

어디 아르 자형– 기본 반경;

시간- 키;

엘- 모선의 길이

S 베이스– 기본 지역

S측

S 가득

다섯– 원뿔의 부피.

잘린 원뿔베이스와 원뿔의 베이스와 평행한 절단 평면 사이에 둘러싸인 원뿔 부분이라고 합니다(그림 35).

잘린 원뿔은 밑면에 수직인 사다리꼴의 측면을 포함하는 축을 중심으로 직사각형 사다리꼴을 회전시켜 얻은 몸체로 간주될 수 있습니다.

원뿔을 둘러싸는 두 개의 원을 원뿔이라고 합니다. 이유 . 키 잘린 원뿔의 밑면 사이의 거리입니다. 잘린 원뿔의 원뿔 표면을 형성하는 세그먼트를 호출합니다. 형성 . 밑면의 중심을 지나는 직선을 직선이라고 합니다. 중심선 잘린 원뿔. 축 단면 잘린 원뿔의 축을 통과하는 단면을 호출합니다.

잘린 원뿔의 경우 올바른 공식은 다음과 같습니다.

(8)

어디 아르 자형– 하부 베이스의 반경;

아르 자형– 상부 베이스의 반경;

시간– 높이, l – 모선의 길이;

S측– 측면 표면적;

S 가득- 전체 표면적

다섯– 잘린 원뿔의 부피.

예시 1.밑면에 평행한 원뿔의 단면은 꼭지점부터 계산하여 높이를 1:3의 비율로 나눕니다. 밑면의 반지름과 원뿔의 높이가 9 cm와 12 cm일 때 잘린 원뿔의 옆넓이를 구합니다.

해결책.그림을 그려 봅시다 (그림 36).

잘린 원뿔의 측면 면적을 계산하려면 식 (8)을 사용합니다. 밑면의 반지름을 구해보자 약 1A그리고 약 1V그리고 형성 AB.

비슷한 삼각형을 고려해보세요 SO2B그리고 그래서 1A, 유사성 계수, 그런 다음

여기에서

그 이후로

잘린 원뿔의 측면 표면적은 다음과 같습니다.

답변: .

예시 2.반경의 1/4원이 원뿔형 표면으로 접혀 있습니다. 밑면의 반지름과 원뿔의 높이를 구하세요.

해결책.원의 사분면은 원뿔의 측면이 발달한 것입니다. 나타내자 아르 자형– 베이스의 반경, 시간 -키. 공식을 사용하여 측면 표면적을 계산해 보겠습니다. 이는 1/4원의 면적과 같습니다: . 우리는 두 개의 미지수로 방정식을 얻습니다. 아르 자형그리고 엘(원뿔 형성). 안에 이 경우생성기는 1/4원의 반지름과 같습니다. 아르 자형, 이는 다음 방정식을 얻는다는 것을 의미합니다. , 베이스와 생성기의 반경을 알면 원뿔의 높이를 찾을 수 있습니다.

답변: 2cm, .

예시 3. 직사각형 사다리꼴와 함께 예각 45 O는 밑면이 3cm로 더 작고 경사면이 와 같으며 밑면에 수직인 쪽을 중심으로 회전합니다. 생성된 회전체의 부피를 구합니다.

해결책.그림을 그려 봅시다 (그림 37).

회전의 결과로 잘린 원뿔을 얻어 부피를 찾고 더 큰 밑면과 높이의 반경을 계산합니다. 공중 그네에서 O 1 O 2 AB우리는 실시할 것이다 AC^O 1B. B 우리는 가지고 있습니다: 이것은 이 삼각형이 이등변이라는 것을 의미합니다 A.C.=기원전=3cm.

답변:

예시 4.변이 13cm, 37cm, 40cm인 삼각형은 더 큰 변과 평행하고 외부 축에서 3cm 떨어진 곳에 위치한 외부 축을 중심으로 회전합니다(축은 삼각형 평면에 위치함). 결과적인 회전체의 표면적을 찾으십시오.

해결책 . 그림을 그려 봅시다 (그림 38).

결과적인 회전체의 표면은 두 개의 잘린 원뿔의 측면과 원통의 측면으로 구성됩니다. 이 면적을 계산하려면 원뿔과 원통의 밑면의 반지름을 알아야 합니다( BE그리고 O.C.), 원뿔 형성 ( 기원전그리고 A.C.) 및 원통 높이( AB). 유일하게 알려지지 않은 것은 콜로라도. 이것은 삼각형의 측면에서 회전축까지의 거리입니다. 우리는 찾을 것이다 DC. 한 변의 삼각형 ABC의 면적은 변 AB의 절반과 거기에 그려진 고도의 곱과 같습니다 DC, 반면에 삼각형의 모든 변을 알고 있으면 헤론의 공식을 사용하여 면적을 계산합니다.

볼륨 공식

잘린 피라미드와 원뿔의 부피와 표면적.

잘린 피라미드또는 원뿔 -이것은 베이스와 평행한 평면에 의해 상단이 절단된 후 남은 부분입니다.

잘린 피라미드의 부피또는 원뿔전체 피라미드 또는 원뿔의 부피에서 잘라낸 꼭지점의 부피를 뺀 것과 같습니다.

잘린 피라미드의 측면 표면적또는 원뿔전체 피라미드 또는 원뿔의 표면적과 같습니다. 잘라낸 꼭지점의 측면 표면적을 뺀 값입니다. 꼭 찾아야 한다면 총면적잘린 그림에서는 두 개의 평행한 밑면의 면적이 측면의 면적에 추가됩니다.

잘린 원뿔의 부피와 표면적을 결정하는 또 다른 방법이 있습니다.

V=1/3πh(R2+Rr+r2),

원뿔의 측면 표면적 S=πl(R+r),

총 표면적 S o =π l(R+r)+πr 2 +πR 2

예시 1. 갓 재료 제조에 필요한 면적을 결정합니다. (원뿔의 측면 표면적 계산).

갓은 잘린 원뿔 모양입니다. 전등갓의 높이는 50cm이고, 아래쪽 지름과 위쪽 지름은 각각 40cm와 20cm입니다.

3배의 정확도로 결정 유효 숫자갓을 만드는 데 필요한 재료의 면적.

위에서 정의한 바와 같이, 절두원뿔의 측면적 S=πl(R+r).

원뿔대의 윗지름과 아랫지름이 40cm와 20cm이므로, 그림 1과 같다. 위에서는 r=10cm, R=20cm,

l=(50 2 +10 2) 1/2 =50.99 피타고라스 정리에 따르면,

따라서 원뿔의 측면 표면적은 다음과 같습니다. S=π 50.99(20+10)=4803.258cm 2, 즉. 갓을 만드는 데 필요한 재료의 면적은 다음과 같습니다. 4800cm 2물론 유효숫자 3자리까지 정확합니다. 물론 실제로 사용되는 재료의 양은 절단에 따라 다릅니다.

예 2. 꼭대기에 잘린 원뿔이 있는 원통의 부피 결정.