타원의 정의. 두 번째 주문의 라인. 타원과 그 표준 방정식. 원

a=b=R일 때 방정식 (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2점 O"(x_0,y_0) 에 중심을 두고 반경 R의 원을 설명합니다.

타원의 매개변수 방정식

타원의 매개변수 방정식표준 좌표계의 형식은 다음과 같습니다.

\begin(케이스)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(케이스)0\leqslant t<2\pi.

실제로 이러한 식을 방정식 (3.49)에 대입하면 주요 삼각 항등식 \cos^2t+\sin^2t=1에 도달합니다.

예제 3.20.타원 그리기 \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1표준 좌표계 Oxy에서. 반축, 초점 거리, 이심률, 종횡비, 초점 매개변수, 준선 방정식을 찾아보세요.

해결책.주어진 방정식을 표준 방정식과 비교하여 반축을 결정합니다: a=2 - 반장축, b=1 - 타원의 반단축. 우리는 원점을 중심으로 변이 2a=4,~2b=2인 기본 직사각형을 만듭니다(그림 3.39). 타원의 대칭성을 고려하여 이를 주 직사각형에 맞춥니다. 필요한 경우 타원의 일부 점의 좌표를 결정합니다. 예를 들어, x=1을 타원 방정식에 대입하면 다음을 얻습니다.

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ 쿼드 y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

그러므로 좌표가 있는 점 \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- 타원에 속합니다.

압축비 계산 k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); 초점 거리 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); 이심률 e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); 초점 매개변수 p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). 우리는 준선 방정식을 구성합니다: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

대수학과 기하학에 대한 강의. 1학기.

강의 15. 타원.

15장. 타원.

제1항. 기본 정의.

정의. 타원은 평면의 GMT이며 초점이라고 하는 평면의 두 고정 지점까지의 거리의 합은 상수 값입니다.

정의. 평면의 임의의 점 M에서 타원의 초점까지의 거리를 점 M의 초점 반경이라고 합니다.

명칭:
– 타원의 초점,
– 점 M의 초점 반경

타원의 정의에 따르면 점 M은 다음과 같은 경우에만 타원의 점입니다.
– 상수 값. 이 상수는 일반적으로 2a로 표시됩니다.

. (1)

참고하세요
.

타원의 정의에 따르면 초점은 고정된 점이므로 타원 사이의 거리도 주어진 타원에 대해 일정한 값입니다.

정의. 타원의 초점 사이의 거리를 초점 거리라고 합니다.

지정:
.

삼각형에서
그것은 다음과 같다
, 즉.

.

다음과 같은 숫자를 b로 표시하겠습니다.
, 즉.

. (2)

정의. 태도

(3)

타원의 이심률이라고 합니다.

이 평면에 타원에 대해 표준이라고 부르는 좌표계를 소개하겠습니다.

정의. 타원의 초점이 놓여 있는 축을 초점 축이라고 합니다.

타원에 대한 표준 PDSC를 구성해 보겠습니다(그림 2 참조).

초점축을 가로축으로 선택하고 세그먼트의 중앙을 통해 세로축을 그립니다.
초점축에 수직.

그런 다음 초점에는 좌표가 있습니다.
,
.

조항 2. 타원의 정식 방정식.

정리. 타원의 표준 좌표계에서 타원 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

. (4)

증거. 우리는 두 단계로 증명을 수행합니다. 첫 번째 단계에서는 타원 위에 있는 임의의 점의 좌표가 식 (4)를 만족한다는 것을 증명할 것입니다. 두 번째 단계에서 우리는 방정식 (4)에 대한 모든 해가 타원 위에 있는 점의 좌표를 제공한다는 것을 증명할 것입니다. 여기에서 방정식 (4)는 타원 위에 있는 좌표 평면의 점들에 의해서만 충족됩니다. 이것과 곡선 방정식의 정의로부터 방정식 (4)는 타원 방정식이라는 것을 알 수 있습니다.

1) 점 M(x, y)를 타원의 점으로 둡니다. 즉, 초점 반경의 합은 2a입니다.

.

좌표 평면의 두 점 사이의 거리에 대한 공식을 사용하고 이 공식을 사용하여 주어진 점 M의 초점 반경을 찾아보겠습니다.

,
, 여기서 우리는 다음을 얻습니다:

한 루트를 등식의 오른쪽으로 이동하고 제곱해 보겠습니다.

줄이면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

비슷한 것을 제시하고 4만큼 줄이고 부수를 제거합니다.

.

제곱

괄호를 열고 길이를 줄이세요.
:

우리가 얻는 곳 :

평등 (2)를 사용하여 다음을 얻습니다.

.

마지막 평등을 다음으로 나누기
, 우리는 평등 (4) 등을 얻습니다.

2) 이제 한 쌍의 숫자 (x, y)가 방정식 (4)를 만족시키고 M(x, y)가 좌표 평면 Oxy의 대응 점이라고 가정합니다.

그런 다음 (4)부터 다음과 같습니다.

.

우리는 이 동등성을 점 M의 초점 반경에 대한 표현식으로 대체합니다.

.

여기서는 평등 (2)와 (3)을 사용했습니다.

따라서,
. 비슷하게,
.

이제 평등 (4)에서 다음이 따른다는 점에 유의하십시오.

또는
등.
이면 부등식은 다음과 같습니다.

.

여기에서 차례로 다음과 같습니다.

또는
그리고

,
. (5)

평등 (5)로부터 다음이 나온다.
, 즉. 점 M(x, y)는 타원 등의 점입니다.

정리가 입증되었습니다.

정의. 방정식 (4)는 타원의 표준 방정식이라고 불립니다.

정의. 타원의 표준 좌표축을 타원의 주축이라고 합니다.

정의. 타원에 대한 표준 좌표계의 원점을 타원의 중심이라고 합니다.

제3항. 타원의 속성.

정리. (타원의 속성.)

1. 타원의 표준 좌표계에서는 모든 것이

타원의 점이 직사각형 안에 있습니다.

,
.

2. 포인트는 다음과 같다

3. 타원은 대칭을 이루는 곡선입니다.

그들의 주요 축.

4. 타원의 중심은 대칭의 중심입니다.

증거. 1, 2) 타원의 정식 방정식이 바로 이어집니다.

3, 4) M(x, y)를 타원의 임의의 점으로 둡니다. 그러면 그 좌표는 식 (4)를 만족한다. 그러나 점의 좌표는 방정식 (4)도 충족하므로 정리의 설명이 따르는 타원의 점입니다.

정리가 입증되었습니다.

정의. 양 2a를 타원의 장축이라고 하고, 양 a를 타원의 반장축이라고 합니다.

정의. 양 2b를 타원의 단축이라고 하고, 양 b를 타원의 반단축이라고 합니다.

정의. 타원과 주축의 교차점을 타원의 정점이라고 합니다.

논평. 타원은 다음과 같이 구성될 수 있습니다. 비행기에서 우리는 "초점에 못을 박고" 실 길이로 고정합니다.
. 그런 다음 연필을 사용하여 실을 늘립니다. 그런 다음 평면을 따라 연필심을 움직여 실이 팽팽한지 확인합니다.

이심률의 정의에 따르면 다음과 같습니다.

숫자 a를 고정하고 숫자 c를 0으로 지정하겠습니다. 그런 다음
,
그리고
. 우리가 얻는 한도 내에서

또는
– 원의 방정식.

이제 직접 해보자
. 그 다음에
,
그리고 우리는 극한에서 타원이 직선 세그먼트로 퇴화되는 것을 봅니다.
그림 3의 표기법에서.

4항. 타원의 매개변수 방정식.

정리. 허락하다
– 임의의 실수. 그런 다음 방정식 시스템

,
(6)

타원에 대한 표준 좌표계의 타원 매개변수 방정식입니다.

증거. 방정식 (6)의 시스템이 방정식 (4)와 동일하다는 것을 증명하는 것으로 충분합니다. 그들은 동일한 솔루션 세트를 가지고 있습니다.

1) (x, y)를 시스템 (6)에 대한 임의의 해로 설정합니다. 첫 번째 방정식을 a로 나누고 두 번째 방정식을 b로 나누고 두 방정식을 모두 제곱한 후 다음을 더합니다.

.

저것들. 시스템 (6)의 모든 해 (x, y)는 방정식 (4)를 만족합니다.

2) 반대로 쌍 (x, y)를 방정식 (4)의 해로 설정합니다. 즉,

.

이 평등으로부터 좌표가 있는 점은 다음과 같습니다.
원점을 중심으로 하는 단위 반경의 원 위에 있습니다. 즉, 특정 각도가 대응하는 삼각 원 위의 점입니다.
:

사인과 코사인의 정의에서 바로 다음이 따릅니다.

,
, 어디
, 쌍 (x, y)는 시스템 (6) 등에 대한 해가 됩니다.

정리가 입증되었습니다.

논평. 가로축을 향해 반지름이 a인 원을 균일하게 "압축"한 결과 타원을 얻을 수 있습니다.

허락하다
- 원점을 중심으로 하는 원의 방정식. 가로축에 대한 원의 "압축"은 다음 규칙에 따라 수행되는 좌표 평면의 변환에 지나지 않습니다. 각 점 M(x, y)에 대해 동일한 평면의 점을 연관시킵니다.
, 어디
,
– 압축 비율.

이 변환을 통해 원의 각 점은 가로좌표는 동일하지만 세로좌표는 더 작은 평면의 다른 점으로 "전환"됩니다. 새로운 점을 통해 점의 이전 세로 좌표를 표현해 보겠습니다.

방정식에 원을 대체합니다.

.

여기에서 우리는 다음을 얻습니다:

. (7)

"압축" 변환 전에 점 M(x, y)가 원 위에 있으면 즉, 그 좌표는 원의 방정식을 만족했고, "압축" 변환 후에 이 점은 점으로 "변환"되었습니다.
, 그 좌표는 타원 방정식 (7)을 만족합니다. 반단축 b를 갖는 타원의 방정식을 얻으려면 압축 계수를 취해야 합니다.

.

조항 5. 타원에 접함.

정리. 허락하다
– 타원의 임의의 점

.

그런 다음 점에서 이 타원에 대한 접선의 방정식은 다음과 같습니다.
형식은 다음과 같습니다.

. (8)

증거. 접선점이 좌표 평면의 1/4 또는 2/4에 있는 경우를 고려하면 충분합니다.
. 상부 절반 평면의 타원 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

. (9)

함수의 그래프에 접선방정식을 사용해보자
그 시점에
:

어디
– 한 지점에서 주어진 함수의 도함수 값
. 1분기의 타원은 함수(8)의 그래프로 간주될 수 있습니다. 접선 지점에서 파생 상품과 값을 찾아보겠습니다.

,

. 여기서 우리는 접선점이라는 사실을 이용했습니다.
는 타원의 한 점이므로 그 좌표는 타원 방정식 (9)를 만족합니다. 즉

.

발견된 미분 값을 탄젠트 방정식 (10)으로 대체합니다.

,

우리가 얻는 곳 :

이는 다음과 같습니다.

이 평등을 다음과 같이 나누자.
:

.

주의할 점은
, 왜냐하면 점
은 타원에 속하며 그 좌표는 방정식을 만족합니다.

접선 방정식 (8)은 좌표 평면의 3/4 또는 4/4에 있는 접선 지점에서 유사한 방식으로 증명됩니다.

그리고 마지막으로 방정식 (8)이 점에서 접선 방정식을 제공한다는 것을 쉽게 확인할 수 있습니다.
,
:

또는
, 그리고
또는
.

정리가 입증되었습니다.

6항. 타원의 거울 속성.

정리. 타원의 접선은 다음과 같습니다. 같은 각도접선점의 초점 반경을 사용합니다.

허락하다
– 연락 지점,
,
- 접선점의 초점 반경, P와 Q - 점에서 타원에 그려진 접선에 대한 초점 투영
.

정리는 다음과 같이 명시합니다.

. (11)

이러한 동일성은 초점에서 벗어난 타원에서 나오는 광선의 입사각과 반사각이 동일하다는 것으로 해석될 수 있습니다. 이 속성을 타원의 거울 속성이라고 합니다.

타원의 초점에서 방출된 광선은 타원의 거울에서 반사된 후 타원의 다른 초점을 통과합니다.

정리의 증명. 각도의 동일성을 증명하기 위해 (11) 삼각형의 유사성을 증명합니다.
그리고
, 당사자들은
그리고
비슷할 것입니다. 삼각형이 직각이므로 동등성을 증명하기에 충분합니다.

정의 7.1.두 고정점 F1과 F2까지의 거리의 합이 주어진 상수 값인 평면 위의 모든 점 집합을 호출합니다. 타원.

타원의 정의는 기하학적 구성에 대해 다음과 같은 방법을 제공합니다. 평면 위에 두 점 F1과 F2를 고정하고, 음이 아닌 상수 값을 2a로 표시합니다. 점 F1과 F2 사이의 거리를 2c로 둡니다. 예를 들어 두 개의 바늘을 사용하여 길이 2a의 확장할 수 없는 실이 F 1 및 F 2 지점에 고정되어 있다고 가정해 보겠습니다. 이는 a≥c인 경우에만 가능하다는 것이 분명합니다. 연필로 실을 당긴 후 타원이 될 선을 그립니다 (그림 7.1).

따라서 설명된 집합은 a ≥ c이면 비어 있지 않습니다. a = c일 때 타원은 끝이 F 1과 F 2인 세그먼트이고, c = 0일 때, 즉 타원의 정의에 명시된 고정점이 일치하면 반지름이 a인 원입니다. 이러한 퇴화 사례를 무시하고 일반적으로 a > c > 0이라고 가정합니다.

타원의 정의 7.1(그림 7.1 참조)에서 고정점 F 1 및 F 2를 다음과 같이 부릅니다. 타원 초점, 2c로 표시된 그들 사이의 거리, - 초점 거리, 타원 위의 임의의 점 M을 초점과 연결하는 세그먼트 F 1 M 및 F 2 M은 다음과 같습니다. 초점 반경.

타원의 모양은 초점 거리 |F 1 F 2 | = 2c 및 매개변수 a, 평면에서의 위치 - 한 쌍의 점 F 1 및 F 2.

타원의 정의에 따르면 초점 F 1 및 F 2를 통과하는 선과 세그먼트 F 1 F 2를 반으로 나누고 이에 수직인 선에 대해 대칭입니다. (그림 7.2, a). 이 라인은 타원 축. 교차점 O는 타원의 대칭 중심이며 이를 호출합니다. 타원의 중심, 타원과 대칭축의 교차점 (그림 7.2의 A, B, C 및 D 점, a) - 타원의 꼭지점.

숫자 a라고 불린다. 타원의 장반경, 그리고 b = √(a 2 - c 2) - 그것의 단축. c > 0인 경우 장반경 a는 타원 중심에서 타원 초점과 동일한 축에 있는 정점까지의 거리와 동일하다는 것을 쉽게 알 수 있습니다(정점 A 및 B). 그림 7.2, a)에서 반단축 b는 중심 타원에서 다른 두 정점(그림 7.2, a의 정점 C 및 D)까지의 거리와 같습니다.

타원 방정식. F 1 과 F 2 점, 장축 2a에 초점이 맞춰진 평면 위의 타원을 생각해 봅시다. 2c를 초점 거리라고 하면 2c = |F 1 F 2 |

원점이 타원의 중심과 일치하고 초점이 위에 있도록 평면에서 직교 좌표계 Oxy를 선택하겠습니다. x축(그림 7.2, b). 이러한 좌표계를 다음과 같이 부릅니다. 표준적인문제의 타원에 대해 해당 변수는 다음과 같습니다. 표준적인.

선택한 좌표계에서 초점의 좌표는 F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0)입니다. 점 사이의 거리 공식을 사용하여 조건 |F 1 M| + |F 2M| = 2a 좌표:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

이 방정식은 두 개의 제곱근을 포함하기 때문에 불편합니다. 그럼 변형해 보겠습니다. 방정식 (7.2)의 두 번째 근호를 오른쪽으로 이동하여 제곱해 보겠습니다.

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.

괄호를 열고 비슷한 용어를 가져오면

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

여기서 ε = c/a. 두 번째 근수를 제거하기 위해 제곱 연산을 반복합니다. (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, 또는 입력된 매개변수 ε의 값을 고려하여 (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. a 2 - c 2 = b 2 > 0이므로,

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

식 (7.4)는 타원 위에 있는 모든 점의 좌표로 만족됩니다. 그러나 이 방정식을 도출할 때 원래 방정식(7.2)의 비동등 변환(제곱근을 제거하는 두 개의 제곱)이 사용되었습니다. 방정식을 제곱하는 것은 양쪽에 동일한 부호를 갖는 수량이 있는 경우 등가 변환이지만 변환에서는 이를 확인하지 않았습니다.

다음 사항을 고려하면 변환의 동등성을 확인하는 것을 피할 수 있습니다. 한 쌍의 점 F 1 및 F 2, |F 1 F 2 | = 2c, 평면에서 이 지점에 초점이 있는 타원군을 정의합니다. 세그먼트 F 1 F 2의 점을 제외한 평면의 각 점은 표시된 패밀리의 일부 타원에 속합니다. 이 경우 초점 반경의 합이 특정 타원을 고유하게 결정하므로 두 개의 타원이 교차하지 않습니다. 따라서 설명된 교차점이 없는 타원군은 세그먼트 F 1 F 2의 점을 제외하고 전체 평면을 포함합니다. 주어진 매개변수 a 값으로 좌표가 식 (7.4)를 만족하는 점 집합을 고려해 보겠습니다. 이 세트를 여러 타원에 배포할 수 있나요? 집합의 일부 점은 장반경 a가 있는 타원에 속합니다. 이 집합에 장반경 a를 갖는 타원 위에 있는 점이 있다고 가정합니다. 그러면 이 점의 좌표는 방정식을 따릅니다.

저것들. 방정식 (7.4)와 (7.5)는 일반 솔루션. 하지만 시스템이 제대로 작동하는지 확인하는 것은 쉽습니다.

ã ≠ a에 대해서는 해가 없습니다. 이렇게 하려면 예를 들어 첫 번째 방정식에서 x를 제외하면 충분합니다.

변환 후 방정식은 다음과 같습니다.

ã ≠ a에 대한 해가 없습니다. 따라서 (7.4)는 장반경 a > 0이고 반단축 b =√(a 2 - c 2) > 0인 타원의 방정식입니다. 표준 타원 방정식.

타원 보기.위에서 논의한 타원을 구성하는 기하학적 방법은 다음과 같은 충분한 아이디어를 제공합니다. 모습타원. 그러나 타원의 모양은 표준 방정식(7.4)을 사용하여 연구할 수도 있습니다. 예를 들어, y ≥ 0이라고 가정하고 x를 통해 y를 표현할 수 있습니다: y = b√(1 - x 2 /a 2), 그리고 이 함수를 연구한 후 그래프를 만듭니다. 타원을 만드는 또 다른 방법이 있습니다. 타원의 표준 좌표계(7.4) 원점을 중심으로 하는 반경 a의 원은 방정식 x 2 + y 2 = a 2로 설명됩니다. a/b > 1 계수로 압축하면 y축, 그러면 방정식 x 2 + (ya/b) 2 = a 2, 즉 타원으로 설명되는 곡선을 얻습니다.

비고 7.1.동일한 원이 a/b 인자로 압축된 경우

타원 이심률. 장축에 대한 타원의 초점 거리의 비율을 타원의 이심률ε으로 표시됩니다. 주어진 타원의 경우

표준 방정식(7.4), ε = 2c/2a = c/a. (7.4)에서 매개변수 a와 b가 부등식 a와 관련되어 있는 경우

c = 0일 때 타원이 원으로 변할 때, ε = 0. 그 외의 경우에는 0

방정식 (7.3)은 방정식 (7.4)와 방정식 (7.2)가 동일하므로 방정식 (7.4)와 동일합니다. 그러므로 타원의 방정식도 (7.3)이다. 게다가 관계식 (7.3)은 길이 |F 2 M|에 대해 간단하고 근수가 없는 공식을 제공하므로 흥미롭습니다. 타원의 점 M(x; y)의 초점 반경 중 하나: |F 2 M| = a + εx.

두 번째 초점 반경에 대한 유사한 공식은 대칭을 고려하거나 방정식(7.2)을 제곱하기 전에 첫 번째 근수가 두 번째가 아닌 오른쪽으로 이동하는 계산을 반복하여 얻을 수 있습니다. 따라서 타원 위의 임의의 점 M(x; y)에 대해(그림 7.2 참조)

|F 1M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

그리고 이들 방정식 각각은 타원의 방정식입니다.

예제 7.1.장반경이 5이고 이심률이 0.8인 타원의 정식 방정식을 찾아 구축해 봅시다.

타원의 장반경 a = 5와 이심률 ε = 0.8을 알면 반단축 b를 찾을 수 있습니다. b = √(a 2 - c 2)이고 c = εa = 4이므로 b = √(5 2 - 4 2) = 3입니다. 따라서 정식 방정식의 형식은 x 2 /5 2 + y 2 /3입니다. 2 = 1. 타원을 구성하려면 표준 좌표계의 원점에 중심을 두고 직사각형을 그리는 것이 편리합니다. 그 변은 타원의 대칭 축과 평행하고 해당 축과 같습니다(그림 2). 7.4). 이 직사각형은 다음과 교차합니다.

정점 A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3)에 있는 타원의 축이며 타원 자체가 그 안에 새겨져 있습니다. 그림에서. 7.4는 또한 타원의 초점 F 1.2(±4; 0)를 보여줍니다.

타원의 기하학적 특성.(7.6)의 첫 번째 방정식을 |F 1 M|으로 다시 작성해 보겠습니다. = (a/ε - x)ε. a > c에 대한 a/ε - x 값은 양수입니다. 초점 F 1이 타원에 속하지 않기 때문입니다. 이 값은 이 선의 왼쪽에 있는 점 M(x; y)에서 수직선 d: x = a/ε까지의 거리를 나타냅니다. 타원 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

이는 이 타원이 초점 반경 F 1 M의 길이와 직선 d까지의 거리의 비율이 ε과 같은 일정한 값인 평면의 점 M(x; y)로 구성됨을 의미합니다(그림 2). 7.5).

직선 d는 "이중"을 갖습니다. 즉, 타원의 중심을 기준으로 d에 대칭인 수직 직선 d입니다. 이는 방정식 x = -a/ε에 의해 제공됩니다. d에 대해 타원은 다음과 같습니다. d에 관해서도 마찬가지이다. 라인 d와 d"를 모두 호출합니다. 타원의 방향선. 타원의 방향선은 초점이 위치한 타원의 대칭축에 수직이며 타원 중심으로부터 거리 a/ε = a 2 /c만큼 떨어져 있습니다(그림 7.5 참조).

준선에서 가장 가까운 초점까지의 거리 p를 타원의 초점 매개변수. 이 매개변수는 다음과 같습니다.

p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c

타원에는 또 다른 중요한 것이 있습니다 기하학적 성질: 초점 반경 F 1 M과 F 2 M은 점 M에서 타원의 접선과 동일한 각도를 이룹니다(그림 7.6).

이 부동산은 명확한 물리적 의미. 광원이 초점 F 1에 배치되면 타원에서 반사된 후 이 초점에서 나오는 광선은 두 번째 초점 반경을 따라 이동합니다. 반사 후 반사 전과 곡선에 대해 동일한 각도에 있기 때문입니다. 따라서 초점 F 1에서 나오는 모든 광선은 두 번째 초점 F 2에 집중되고 그 반대도 마찬가지입니다. 이 해석에 따르면 이 속성을 다음과 같이 부릅니다. 타원의 광학적 특성.

2차 곡선평면에는 변수가 좌표를 지정하는 방정식으로 정의된 선이 있습니다. 엑스그리고 와이 2급에 포함됩니다. 여기에는 타원, 쌍곡선 및 포물선이 포함됩니다.

2차 곡선 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

어디 에이, 비, 씨, 디, 이, 에프- 숫자와 계수 중 하나 이상 에이, 비, 씨 0이 아닙니다.

2차 곡선 문제를 풀 때 타원, 쌍곡선 및 포물선의 표준 방정식이 가장 자주 고려됩니다. 일반 방정식에서 그 문제로 넘어가는 것은 쉽습니다. 타원 문제의 예 1이 이에 대해 다루겠습니다.

표준 방정식에 의해 주어진 타원

타원의 정의.타원은 초점이라고 불리는 점까지의 거리의 합이 초점 사이의 거리보다 큰 상수 값인 평면의 모든 점의 집합입니다.

초점은 아래 그림과 같이 표시됩니다.

타원의 표준 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

어디 에이그리고 비 (에이 > 비) - 반축의 길이, 즉 좌표축의 타원에 의해 잘린 세그먼트 길이의 절반입니다.

타원의 초점을 통과하는 직선은 타원의 대칭축입니다. 타원의 또 다른 대칭축은 이 선분에 수직인 선분의 중앙을 통과하는 직선입니다. 점 에 대한이 선들의 교차점은 타원의 대칭 중심 또는 단순히 타원의 중심 역할을 합니다.

타원의 가로축은 점에서 교차합니다( 에이, 에 대한) 그리고 (- 에이, 에 대한), 세로축은 점( 비, 에 대한) 그리고 (- 비, 에 대한). 이 네 점을 타원의 꼭짓점이라고 합니다. x축의 타원 꼭지점 사이의 세그먼트를 장축이라고 하고, 세로축을 부축이라고 합니다. 타원의 상단에서 중앙까지의 세그먼트를 반축이라고 합니다.

만약에 에이 = 비이면 타원의 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. 이것은 반지름이 있는 원의 방정식입니다. 에이, 그리고 원은 특별한 경우타원. 반지름의 원에서 타원을 얻을 수 있습니다. 에이, 압축하면 에이/비축을 따라 시간 아야 .

예시 1.일반 방정식으로 주어진 직선이 다음과 같은지 확인하십시오. , 타원.

해결책. 우리는 일반 방정식을 변환합니다. 우리는 자유 항을 오른쪽으로 옮기고, 방정식을 항 단위로 같은 숫자로 나누고, 분수를 줄이는 방법을 사용합니다.

답변. 변환의 결과로 얻은 방정식은 타원의 표준 방정식입니다. 그러므로 이 선은 타원이다.

예시 2.반축이 각각 5와 4인 경우 타원의 표준 방정식을 작성합니다.

해결책. 타원과 대입의 표준 방정식에 대한 공식을 살펴보겠습니다. 장반경은 다음과 같습니다. 에이= 5, 반단축은 다음과 같습니다. 비= 4 . 우리는 타원의 표준 방정식을 얻습니다.

주요 축에 녹색으로 표시된 점 및 , 여기서

호출된다 트릭.

~라고 불리는 이심률타원.

태도 비/에이타원의 "편원성"을 특징으로 합니다. 이 비율이 작을수록 타원은 주축을 따라 더 길어집니다. 그러나 타원의 신장 정도는 위에 주어진 공식인 이심률을 통해 더 자주 표현됩니다. 다른 타원의 경우 이심률은 0에서 1까지 다양하며 항상 1보다 작게 유지됩니다.

예시 3.초점 사이의 거리가 8이고 장축이 10인 경우 타원의 정준방정식을 작성합니다.

해결책. 몇 가지 간단한 결론을 내려보겠습니다.

장축이 10이면 그 절반, 즉 반축 에이 = 5 ,

초점 사이의 거리가 8이면 숫자는 다음과 같습니다. 기음초점 좌표의 는 4와 같습니다.

우리는 다음을 대체하고 계산합니다.

결과는 타원의 표준 방정식입니다.

예시 4.장축이 26이고 이심률이 이면 타원의 표준 방정식을 작성합니다.

해결책. 장축의 크기와 이심률 방정식으로부터 타원의 장반반축은 다음과 같습니다 에이= 13. 이심률 방정식에서 우리는 숫자를 표현합니다 기음, 보조 반축의 길이를 계산하는 데 필요합니다.

.

작은 반축 길이의 제곱을 계산합니다.

우리는 타원의 표준 방정식을 구성합니다.

실시예 5.표준 방정식에 의해 주어진 타원의 초점을 결정합니다.

해결책. 번호 찾기 기음, 타원 초점의 첫 번째 좌표를 결정합니다.

.

우리는 타원의 초점을 얻습니다:

예시 6.타원의 초점은 축에 위치합니다. 황소원점에 대해 대칭입니다. 다음과 같은 경우 타원의 표준 방정식을 구성합니다.

1) 초점 사이의 거리는 30이고 장축은 34입니다.

2) 단축 24, 초점 중 하나가 지점 (-5, 0)에 있습니다.

3) 이심률, 초점 중 하나가 점 (6; 0)에 있습니다.

계속해서 타원 문제를 함께 풀어봅시다

가 타원의 임의의 점(그림에서 타원의 오른쪽 상단에 녹색으로 표시됨)이고 초점에서 이 점까지의 거리인 경우 거리에 대한 공식은 다음과 같습니다.

타원에 속하는 각 점에 대해 초점으로부터의 거리의 합은 2와 같은 상수 값입니다. 에이.

방정식으로 정의된 선

호출된다 교장 선생님들타원(그림에는 가장자리를 따라 빨간색 선이 있습니다).

위의 두 방정식으로부터 타원의 모든 점에 대해 다음이 성립됩니다.

,

여기서 와 는 이 점에서 방향선까지의 거리입니다.

실시예 7.타원이 주어졌습니다. 방향선에 대한 방정식을 작성하십시오.

해결책. 우리는 준선 방정식을 보고 타원의 이심률을 찾아야 한다는 것을 알았습니다. 우리는 이에 대한 모든 데이터를 가지고 있습니다. 우리는 다음을 계산합니다:

.

우리는 타원의 방향선 방정식을 얻습니다.

실시예 8.초점이 점이고 준선이 선인 경우 타원의 표준 방정식을 작성합니다.