함수 그래프의 도함수 중 가장 작은 값입니다. 함수의 파생물입니다. 파생어의 기하학적 의미. 함수의 증가 및 감소 간격 찾기

함수의 미분은 학교 커리큘럼에서 어려운 주제 중 하나입니다. 모든 졸업생이 파생 상품이 무엇인지에 대한 질문에 대답하는 것은 아닙니다.

이 글에서는 파생상품이 무엇이고 왜 필요한지 간단하고 명확하게 설명합니다.. 이제 우리는 프레젠테이션에서 수학적 엄격함을 추구하지 않을 것입니다. 가장 중요한 것은 의미를 이해하는 것입니다.

정의를 기억해 봅시다:

도함수는 함수의 변화율입니다.

그림은 세 가지 기능의 그래프를 보여줍니다. 어느 쪽이 더 빨리 성장하고 있다고 생각하시나요?

대답은 분명합니다. 세 번째입니다. 가장 높은 변화율, 즉 가장 큰 파생 상품을 갖습니다.

또 다른 예가 있습니다.

Kostya, Grisha 및 Matvey는 동시에 일자리를 얻었습니다. 한 해 동안 이들의 소득이 어떻게 변했는지 살펴보겠습니다.

그래프는 모든 것을 한꺼번에 보여주죠? 코스티아의 수입은 6개월 만에 두 배 이상 늘어났습니다. 그리고 그리샤의 수입도 증가했지만 약간에 불과했습니다. 그리고 Matvey의 수입은 0으로 감소했습니다. 시작 조건은 동일하지만 함수의 변화율, 즉 유도체, - 다른. Matvey의 경우 그의 소득 파생 상품은 일반적으로 음수입니다.

직관적으로 우리는 함수의 변화율을 쉽게 추정합니다. 하지만 어떻게 해야 할까요?

우리가 실제로 보고 있는 것은 함수 그래프가 얼마나 가파르게 올라가는지(또는 내려가는지)입니다. 즉, x가 변할 때 y가 얼마나 빨리 변하는가? 분명히, 서로 다른 지점의 동일한 함수는 서로 다른 미분 값을 가질 수 있습니다. 즉, 더 빠르게 또는 느리게 변경될 수 있습니다.

함수의 미분은 표시됩니다.

그래프를 이용해서 찾는 방법을 알려드리겠습니다.

일부 기능의 그래프가 그려졌습니다. 가로좌표를 사용하여 요점을 살펴보겠습니다. 이 시점에서 함수 그래프에 접선을 그려 보겠습니다. 우리는 함수 그래프가 얼마나 가파르게 올라가는지 추정하고 싶습니다. 이에 대한 편리한 값은 다음과 같습니다. 접선 각도의 접선.

한 점에서 함수의 도함수는 이 점에서 함수 그래프에 그려진 접선 각도의 접선과 같습니다.

접선의 경사각은 접선과 축의 양의 방향 사이의 각도를 취합니다.

때때로 학생들은 함수 그래프의 접선이 무엇인지 묻습니다. 이는 그림에 표시된 것처럼 이 섹션의 그래프와 단일 공통점을 갖는 직선입니다. 원에 접하는 것처럼 보입니다.

찾아보자. 직각삼각형의 예각의 접선은 대변과 인접변의 비율과 같다는 것을 기억합니다. 삼각형에서:

우리는 함수의 공식도 모르고 그래프를 이용하여 도함수를 찾았습니다. 이러한 문제는 수학 통합 국가 시험에서 숫자로 자주 발견됩니다.

또 다른 중요한 관계가 있습니다. 직선은 방정식에 의해 주어진다는 것을 기억하십시오

이 방정식의 양은 다음과 같습니다. 직선의 기울기. 축에 대한 직선의 경사각의 탄젠트와 같습니다.

우리는 그것을 얻습니다

이 공식을 기억해두자. 도함수의 기하학적 의미를 표현합니다.

한 점에서 함수의 도함수는 해당 점에서 함수 그래프에 그려진 접선의 기울기와 같습니다.

즉, 미분은 접선 각도의 접선과 같습니다.

우리는 동일한 함수가 다른 지점에서 다른 도함수를 가질 수 있다고 이미 말했습니다. 도함수가 함수의 동작과 어떻게 관련되어 있는지 살펴보겠습니다.

어떤 함수의 그래프를 그려 봅시다. 이 기능이 일부 영역에서는 증가하고 다른 영역에서는 감소하도록 다른 속도로 설정합니다. 그리고 이 함수에 최대점과 최소점을 갖도록 하세요.

어느 시점에서 기능이 증가합니다. 점에 그려진 그래프의 접선은 축의 양의 방향과 예각을 형성합니다. 이는 해당 지점의 도함수가 양수임을 의미합니다.

그 시점에서 우리의 기능은 감소합니다. 이 지점의 접선은 축의 양의 방향과 둔각을 형성합니다. 둔각의 접선은 음수이므로 해당 점의 도함수는 음수입니다.

일어나는 일은 다음과 같습니다.

함수가 증가하는 경우 해당 도함수는 양수입니다.

감소하면 그 파생물은 음수입니다.

최대점과 최소점에서는 어떤 일이 일어날까요? 점(최대점)과 (최소점)에서 접선이 수평임을 알 수 있습니다. 따라서 이 점에서의 접선의 접선은 0이고 도함수도 0입니다.

포인트 - 최대 포인트. 이 시점에서 기능의 증가는 감소로 대체됩니다. 결과적으로, 미분의 부호는 "플러스"에서 "마이너스"로 바뀌는 지점에서 변경됩니다.

지점(최소 지점)에서 도함수도 0이지만 부호가 "마이너스"에서 "플러스"로 변경됩니다.

결론: 도함수를 사용하면 함수 동작에 대해 관심 있는 모든 것을 배울 수 있습니다.

도함수가 양수이면 함수가 증가합니다.

도함수가 음수이면 함수는 감소합니다.

최대점에서 도함수는 0이 되고 부호가 "플러스"에서 "마이너스"로 변경됩니다.

최소점에서 도함수도 0이고 부호가 "마이너스"에서 "플러스"로 변경됩니다.

이러한 결론을 표 형식으로 작성해 보겠습니다.

	증가하다	최대 포인트	감소하다	최소 포인트	증가하다
+	0	-	0	+

두 가지 작은 설명을 해보겠습니다. USE 문제를 해결할 때 그 중 하나가 필요합니다. 또 다른 - 첫해에는 함수와 파생 상품에 대해 더 진지하게 연구합니다.

어떤 지점에서 함수의 도함수는 0과 같을 수 있지만 이 지점에서는 함수의 최대값도 최소값도 없습니다. 이것이 소위 :

한 지점에서 그래프의 접선은 수평이고 도함수는 0입니다. 그러나 해당 지점 이전에는 함수가 증가했으며 해당 지점 이후에도 계속 증가했습니다. 도함수의 부호는 변하지 않습니다. 원래대로 양수로 유지됩니다.

또한 최대 또는 최소 지점에서 도함수가 존재하지 않는 경우도 발생합니다. 그래프에서 이는 특정 지점에서 접선을 그릴 수 없는 급격한 중단에 해당합니다.

함수가 그래프가 아닌 공식으로 제공되는 경우 미분을 찾는 방법은 무엇입니까? 이 경우에는 적용됩니다

문제 B9는 다음 수량 중 하나를 결정하는 데 필요한 함수 또는 도함수의 그래프를 제공합니다.

어떤 지점 x 0에서의 도함수 값,
최대 또는 최소 포인트(극점),
함수의 증가 및 감소 간격(단조성 간격).

이 문제에 제시된 함수와 도함수는 항상 연속적이므로 풀이가 훨씬 쉬워집니다. 이 작업은 수학적 분석 섹션에 속한다는 사실에도 불구하고 여기에는 깊은 이론적 지식이 필요하지 않기 때문에 가장 약한 학생도 할 수 있습니다.

도함수, 극점 및 단조성 간격의 값을 찾으려면 간단하고 보편적인 알고리즘이 있습니다. 이에 대해서는 모두 아래에서 설명합니다.

어리석은 실수를 피하기 위해 문제 B9의 조건을 주의 깊게 읽으십시오. 때로는 꽤 긴 텍스트를 접하게 되지만 해결 과정에 영향을 미치는 중요한 조건은 거의 없습니다.

미분 값 계산. 2점 방법

문제에 x 0 지점에서 이 그래프에 접하는 함수 f(x)의 그래프가 주어지고 이 지점에서 도함수 값을 찾아야 하는 경우 다음 알고리즘이 적용됩니다.

접선 그래프에서 두 개의 "적절한" 점을 찾습니다. 해당 점의 좌표는 정수여야 합니다. 이 점을 A(x 1 ; y 1) 및 B(x 2 ; y 2)로 표시하겠습니다. 좌표를 올바르게 기록하십시오. 이것이 솔루션의 핵심 포인트이며 여기에 실수가 있으면 잘못된 답변으로 이어질 것입니다.
좌표를 알면 인수 Δx = x 2 − x 1 의 증분과 함수 Δy = y 2 − y 1 의 증분을 쉽게 계산할 수 있습니다.
마지막으로, 도함수 D = Δy/Δx의 값을 찾습니다. 즉, 함수의 증가분을 인수의 증가분으로 나누어야 하며 이것이 답이 될 것입니다.

다시 한 번 주목하자: 점 A와 B는 자주 발생하는 것처럼 함수 f(x)의 그래프가 아니라 접선에서 정확하게 찾아야 합니다. 접선에는 반드시 최소한 두 개의 점이 포함되어야 합니다. 그렇지 않으면 문제가 올바르게 구성되지 않습니다.

점 A(−3; 2)와 B(−1; 6)를 고려하고 증분값을 찾습니다.
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

도함수 값을 찾아봅시다: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

일. 그림은 함수 y = f(x)의 그래프와 가로좌표 x 0이 있는 점에서의 접선을 보여줍니다. x 0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 구합니다.

점 A(0; 3)와 B(3; 0)를 고려하여 증분값을 찾습니다.
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

이제 도함수 값을 구합니다: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

일. 그림은 함수 y = f(x)의 그래프와 가로좌표 x 0이 있는 점에서의 접선을 보여줍니다. x 0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 구합니다.

점 A(0; 2)와 B(5; 2)를 고려하여 증분값을 찾습니다.
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

도함수 값 D = Δy/Δx = 0/5 = 0을 찾는 것이 남아 있습니다.

마지막 예에서 규칙을 공식화할 수 있습니다. 접선이 OX 축에 평행하면 접선 지점에서 함수의 미분은 0입니다. 이 경우 아무것도 계산할 필요가 없습니다. 그래프만 보세요.

최대 및 최소 포인트 계산

때때로 문제 B9에서는 함수 그래프 대신 도함수 그래프를 제시하고 함수의 최대점 또는 최소점을 찾아야 합니다. 이 상황에서는 2점 방법은 쓸모가 없지만 더 간단한 또 다른 알고리즘이 있습니다. 먼저 용어를 정의해 보겠습니다.

x 0 지점을 함수 f(x)의 최대 지점이라고 합니다. 이 지점 근처에서 f(x 0) ≥ f(x) 부등식이 성립하는 경우입니다.
x 0 지점을 함수 f(x)의 최소 지점이라고 합니다. 이 지점 근처에서 다음 부등식이 성립하면 f(x 0) ≤ f(x)입니다.

미분 그래프에서 최대점과 최소점을 찾으려면 다음 단계를 따르세요.

불필요한 정보를 모두 제거하여 미분 그래프를 다시 그립니다. 실습에서 알 수 있듯이 불필요한 데이터는 결정에만 방해가 됩니다. 따라서 우리는 좌표축에 미분의 0을 표시합니다. 그게 전부입니다.
0 사이의 간격에서 미분의 부호를 알아보세요. 어떤 점 x 0에 대해 f'(x 0) ≠ 0이라고 알려진 경우 f'(x 0) ≥ 0 또는 f'(x 0) ≤ 0이라는 두 가지 옵션만 가능합니다. 미분의 부호는 다음과 같습니다. 원래 그림에서 쉽게 결정할 수 있습니다. 도함수 그래프가 OX 축 위에 있으면 f'(x) ≥ 0입니다. 반대로, 도함수 그래프가 OX 축 아래에 있으면 f'(x) ≤ 0입니다.
다시 우리는 도함수의 0과 부호를 확인합니다. 부호가 마이너스에서 플러스로 바뀌는 지점이 최소점입니다. 반대로 도함수의 부호가 플러스에서 마이너스로 바뀌면 이것이 최대점이다. 계산은 항상 왼쪽에서 오른쪽으로 이루어집니다.

이 방식은 연속 함수에만 적용됩니다. 문제 B9에는 다른 방식이 없습니다.

일. 그림은 구간 [−5; 5]. 이 세그먼트에서 함수 f(x)의 최소점을 찾습니다.

불필요한 정보는 없애고 경계만 남겨두자 [−5; 5] 및 도함수 x = −3 및 x = 2.5의 0입니다. 우리는 또한 다음과 같은 징후에 주목합니다.

분명히, x = −3 지점에서 도함수의 부호는 마이너스에서 플러스로 변경됩니다. 이것이 최소점입니다.

일. 그림은 구간 [−3; 7]. 이 세그먼트에서 함수 f(x)의 최대점을 찾습니다.

경계만 남기고 그래프를 다시 그리겠습니다 [−3; 7] 및 도함수 x = −1.7 및 x = 5의 0입니다. 결과 그래프에서 도함수의 부호를 살펴보겠습니다. 우리는:

분명히 x = 5 지점에서 도함수의 부호는 플러스에서 마이너스로 변경됩니다. 이것이 최대 포인트입니다.

일. 그림은 구간 [−6; 4]. 세그먼트 [−4; 3].

문제의 조건에 따르면 세그먼트 [-4; 3]. 따라서 경계만 표시하는 새 그래프를 작성합니다. [-4; 3] 그리고 그 안에 있는 도함수의 0입니다. 즉, 점 x = −3.5이고 x = 2입니다. 우리는 다음을 얻습니다.

이 그래프에는 단 하나의 최대점 x = 2가 있습니다. 이 지점에서 도함수의 부호가 플러스에서 마이너스로 변경됩니다.

정수가 아닌 좌표를 가진 점에 대한 간단한 참고 사항입니다. 예를 들어, 마지막 문제에서는 점 x = −3.5가 고려되었지만 동일한 성공으로 x = −3.4를 사용할 수 있습니다. 문제가 올바르게 작성되었다면 "고정된 거주지 없음" 포인트가 문제 해결에 직접적으로 참여하지 않기 때문에 이러한 변경 사항은 답변에 영향을 주어서는 안됩니다. 물론 이 트릭은 정수 포인트에서는 작동하지 않습니다.

함수의 증가 및 감소 간격 찾기

이러한 문제에서는 최대점과 최소점과 마찬가지로 미분 그래프를 사용하여 함수 자체가 증가하거나 감소하는 영역을 찾는 것이 제안됩니다. 먼저 증가와 감소가 무엇인지 정의해 보겠습니다.

이 세그먼트의 임의의 두 점 x 1 및 x 2에 대해 다음 진술이 참인 경우 함수 f(x)는 세그먼트에서 증가한다고 합니다. x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . 즉, 인수 값이 클수록 함수 값도 커집니다.
함수 f(x)는 이 세그먼트의 두 점 x 1 및 x 2에 대해 다음 진술이 참인 경우 세그먼트에서 감소한다고 합니다. x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). 저것들. 더 큰 인수 값은 더 작은 함수 값에 해당합니다.

증가 및 감소에 대한 충분조건을 공식화해 보겠습니다.

세그먼트 에서 연속 함수 f(x)가 증가하려면 세그먼트 내부의 도함수가 양수이면 충분합니다. 즉, f'(x) ≥ 0.
연속 함수 f(x)가 세그먼트 에서 감소하려면 세그먼트 내부의 도함수가 음수이면 충분합니다. f'(x) ≤ 0.

증거 없이 이러한 진술을 받아들입시다. 따라서 우리는 극점 계산 알고리즘과 여러 면에서 유사한 증가 및 감소 간격을 찾는 체계를 얻습니다.

불필요한 정보를 모두 제거하세요. 도함수의 원래 그래프에서 우리는 주로 함수의 0에 관심이 있으므로 0만 남겨 두겠습니다.
0 사이의 간격에 미분의 부호를 표시하십시오. f'(x) ≥ 0이면 함수가 증가하고 f'(x) ≤ 0이면 함수가 감소합니다. 문제가 변수 x에 대한 제한을 설정하는 경우 이를 새 그래프에 추가로 표시합니다.
이제 우리는 함수의 동작과 제약 조건을 알았으므로 문제에 필요한 수량을 계산해야 합니다.

일. 그림은 구간 [−3; 7.5]. 함수 f(x)의 감소 간격을 구합니다. 답에 이 간격에 포함된 정수의 합을 표시하십시오.

평소처럼 그래프를 다시 그리고 경계를 표시해 보겠습니다. [−3; 7.5], 도함수의 영점 x = −1.5 및 x = 5.3. 그런 다음 파생 상품의 표시를 확인합니다. 우리는:

(− 1.5) 구간에서 도함수가 음수이므로 이것이 감소함수의 구간입니다. 이 간격 안에 있는 모든 정수를 합산해야 합니다.
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

일. 그림은 구간 [−10; 4]. 함수 f(x)의 증가 간격을 구합니다. 답에 가장 큰 것의 길이를 표시하십시오.

불필요한 정보는 없애자. 경계만 남겨두자 [-10; 4] 및 도함수의 0(이번에는 x = −8, x = −6, x = −3 및 x = 2)이 4개가 있었습니다. 도함수의 부호를 표시하고 다음 그림을 얻습니다.

우리는 함수가 증가하는 간격에 관심이 있습니다. 여기서 f'(x) ≥ 0입니다. 그래프에는 (−8; −6) 및 (−3; 2)라는 두 가지 간격이 있습니다. 길이를 계산해 봅시다:
내가 1 = - 6 - (-8) = 2;
내가 2 = 2 − (−3) = 5.

가장 큰 간격의 길이를 찾아야 하므로 값 l 2 = 5를 답으로 적습니다.

세르게이 니키포로프

함수의 도함수가 구간에서 상수 부호이고 함수 자체가 경계에서 연속인 경우 경계점은 증가하는 구간과 감소하는 구간 모두에 연결되며 이는 증가 및 감소하는 함수의 정의와 완전히 일치합니다.

파릿 야마예프 26.10.2016 18:50

안녕하세요. 도함수가 0과 같은 지점에서 함수가 증가한다고 어떻게 (어떤 기준으로) 말할 수 있습니까? 이유를 제시하세요. 그렇지 않으면 그것은 단지 누군가의 변덕일 뿐입니다. 어떤 정리로? 그리고 또한 증거. 감사합니다.

헬프 데스크

한 지점의 도함수 값은 구간에 따른 함수의 증가와 직접적인 관련이 없습니다. 예를 들어 함수를 생각해 보세요. 함수는 모두 간격에 따라 증가합니다.

블라들렌 피사레프 02.11.2016 22:21

함수가 구간 (a;b)에서 증가하고 지점 a와 b에서 정의되고 연속적인 경우 구간 에서 증가합니다. 저것들. x=2 지점이 이 구간에 포함됩니다.

일반적으로 증가 및 감소는 세그먼트가 아닌 간격으로 간주됩니다.

그러나 x=2 지점 자체에서 함수는 국소 최소값을 갖습니다. 그리고 아이들이 증가(감소) 지점을 찾을 때 국지적 극점을 계산하지 않고 증가(감소) 간격에 들어간다는 것을 설명하는 방법.

통합 국가 시험의 첫 번째 부분이 "유치원 중간 그룹"을 대상으로한다는 점을 고려하면 그러한 뉘앙스가 너무 많을 것입니다.

이와 별도로 훌륭한 가이드인 "통합 상태 시험 해결"에 대해 모든 직원에게 많은 감사를 드립니다.

세르게이 니키포로프

증가/감소 함수의 정의부터 시작하면 간단한 설명을 얻을 수 있습니다. 다음과 같이 들린다는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 함수의 더 큰 인수가 함수의 더 크거나 작은 값에 해당하는 경우 함수는 간격에 따라 증가/감소라고 합니다. 이 정의는 미분의 개념을 전혀 사용하지 않으므로 미분의 소멸점에 대한 의문이 생길 수 없다.

이리나 이슈마코바 20.11.2017 11:46

좋은 오후에요. 여기 댓글에서 나는 경계가 포함되어야 한다는 믿음을 봅니다. 내가 이에 동의한다고 가정 해 봅시다. 그러나 문제 7089에 대한 해결책을 살펴보십시오. 거기에서 증가하는 간격을 지정할 때 경계는 포함되지 않습니다. 그리고 이것은 대답에 영향을 미칩니다. 저것들. 작업 6429와 7089에 대한 솔루션이 서로 모순됩니다. 이 상황을 명확히 해주세요.

알렉산더 이바노프

작업 6429와 7089에는 완전히 다른 질문이 있습니다.

하나는 구간 증가에 관한 것이고, 다른 하나는 양의 도함수가 있는 구간에 관한 것입니다.

모순이 없습니다.

극값은 증가 및 감소 구간에 포함되지만 도함수가 0인 점은 도함수가 양수인 구간에 포함되지 않습니다.

AZ 28.01.2019 19:09

동료 여러분, 어느 순간 늘어나는 개념이 있어요.

(예를 들어 Fichtenholtz 참조)

x=2에서의 증가에 대한 귀하의 이해는 고전적인 정의와 반대됩니다.

증가하고 감소하는 것은 하나의 과정이며 저는 이 원칙을 고수하고 싶습니다.

x=2 점을 포함하는 모든 구간에서는 함수가 증가하지 않습니다. 따라서 주어진 점 x=2를 포함시키는 것은 특별한 과정입니다.

일반적으로 혼동을 피하기 위해 간격의 끝 부분을 포함하는 것은 별도로 논의됩니다.