사인 알파는 무엇과 동일합니까? 기본 삼각법 항등식, 공식 및 파생

과학으로서의 삼각법은 고대 동양에서 유래되었습니다. 최초의 삼각법 비율은 천문학자들이 정확한 달력과 별의 방향을 만들기 위해 파생되었습니다. 이러한 계산은 구면 삼각법과 관련이 있으며 학교 과정에서는 평면 삼각형의 변과 각도의 비율을 연구합니다.

삼각법은 삼각 함수의 속성과 삼각형의 변과 각도 사이의 관계를 다루는 수학의 한 분야입니다.

서기 1천년 문화와 과학의 전성기 동안 지식은 고대 동양에서 그리스로 퍼졌습니다. 그러나 삼각법의 주요 발견은 남편의 장점입니다. 아랍 칼리프. 특히, 투르크멘 과학자 al-Marazwi는 탄젠트 및 코탄젠트와 같은 함수를 도입하고 사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값에 대한 최초의 표를 작성했습니다. 사인과 코사인의 개념은 인도 과학자들에 의해 도입되었습니다. 삼각법은 유클리드(Euclid), 아르키메데스(Archimedes), 에라토스테네스(Eratosthenes)와 같은 고대의 위대한 인물들의 작품에서 많은 주목을 받았습니다.

삼각법의 기본 수량

숫자 인수의 기본 삼각 함수는 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트입니다. 그들 각각은 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 등 자체 그래프를 가지고 있습니다.

이 수량의 값을 계산하는 공식은 피타고라스 정리를 기반으로 합니다. 이등변선의 예를 사용하여 증거가 제공되기 때문에 "피타고라스 바지는 모든 방향에서 동일합니다"라는 공식으로 학생들에게 더 잘 알려져 있습니다. 직각삼각형.

사인, 코사인 및 기타 관계는 직각삼각형의 예각과 변 사이의 관계를 설정합니다. 각도 A에 대한 이러한 양을 계산하는 공식을 제시하고 삼각 함수 간의 관계를 추적해 보겠습니다.

보시다시피 tg와 ctg는 역함수. 변 a를 사인 A와 빗변 c의 곱으로, 변 b를 cos A * c로 상상하면 탄젠트와 코탄젠트에 대해 다음 공식을 얻을 수 있습니다.

삼각원

언급된 수량 간의 관계를 그래픽으로 표현하면 다음과 같습니다.

둘레, in 이 경우, 모든 것을 나타냅니다. 가능한 값각도 α - 0° ~ 360°. 그림에서 볼 수 있듯이 각 함수는 음수 또는 양수 값각도의 크기에 따라. 예를 들어, α가 원의 1/4과 2/4에 속하는 경우, 즉 0°에서 180° 범위에 있는 경우 sin α에는 "+" 기호가 표시됩니다. 180°에서 360°까지의 α(III 및 IV 분기)의 경우 sin α는 음수 값만 될 수 있습니다.

특정 각도에 대한 삼각표를 작성하고 수량의 의미를 알아보세요.

30°, 45°, 60°, 90°, 180° 등과 같은 α 값을 특수 사례라고 합니다. 이에 대한 삼각 함수 값이 계산되어 특수 테이블 형태로 표시됩니다.

이 각도는 무작위로 선택되지 않았습니다. 표의 π 지정은 라디안을 나타냅니다. Rad는 원호의 길이가 반지름에 해당하는 각도입니다. 이 값은 보편적인 의존성을 확립하기 위해 도입되었습니다. 라디안으로 계산할 때 반경의 실제 길이(cm)는 중요하지 않습니다.

삼각 함수 표의 각도는 라디안 값에 해당합니다.

따라서 2π가 완전한 원, 즉 360°라고 추측하는 것은 어렵지 않습니다.

삼각 함수의 속성: 사인과 코사인

사인과 코사인, 탄젠트와 코탄젠트의 기본 속성을 고려하고 비교하려면 해당 기능을 그리는 것이 필요합니다. 이는 2차원 좌표계에 위치한 곡선 형태로 수행될 수 있습니다.

사인과 코사인의 속성 비교표를 고려하십시오.

함수가 짝수인지 아닌지를 결정하는 것은 매우 간단합니다. 삼각량의 표시가 있는 삼각법 원을 상상하고 OX 축을 기준으로 그래프를 정신적으로 "접는" 것만으로도 충분합니다. 부호가 일치하면 함수는 짝수이고, 그렇지 않으면 홀수입니다.

라디안의 도입과 사인파 및 코사인파의 기본 속성 목록을 통해 다음 패턴을 제시할 수 있습니다.

공식이 맞는지 확인하는 것은 매우 쉽습니다. 예를 들어 x = π/2의 경우 사인은 1이고 x = 0의 코사인은 1입니다. 확인은 표를 참조하거나 주어진 값에 대한 함수 곡선을 추적하여 수행할 수 있습니다.

탄젠트소이드와 코탄젠트소이드의 특성

탄젠트 및 코탄젠트 함수의 그래프는 사인 및 코사인 함수와 크게 다릅니다. tg와 ctg 값은 서로 상반됩니다.

1. Y = 황갈색 x.
2. 탄젠트는 x = π/2 + πk에서 y 값으로 향하는 경향이 있지만 결코 그 값에 도달하지 않습니다.
3. 최소 긍정적인 기간탄젠트는 π와 같습니다.
4. Tg (- x) = - tg x, 즉 함수는 홀수입니다.
5. Tg x = 0, x = πk인 경우.
6. 기능이 증가하고 있습니다.
7. Tg x › 0, x ϵ(πk, π/2 + πk)의 경우.
8. x ϵ의 경우 Tg x 0(— π/2 + πk, πk).
9. 미분(tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

고려해 봅시다 그래픽 이미지본문 아래의 코탄젠토이드.

코탄젠토이드의 주요 특성:

1. Y = 유아용 침대 x.
2. 사인 및 코사인 함수와 달리 탄젠토이드에서 Y는 모든 실수 집합의 값을 취할 수 있습니다.
3. 코탄젠토이드는 x = πk에서 y 값을 얻으려는 경향이 있지만 결코 그 값에 도달하지 않습니다.
4. 코탄젠토이드의 가장 작은 양의 주기는 π입니다.
5. Ctg (- x) = - ctg x, 즉 함수가 홀수입니다.
6. Ctg x = 0, x = π/2 + πk인 경우.
7. 기능이 감소하고 있습니다.
8. Ctg x › 0, x ϵ(πk, π/2 + πk)의 경우.
9. x ϵ(π/2 + πk, πk)의 경우 Ctg x 〈 0입니다.
10. 미분(ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x 정확함

지침

각도 값을 알고 있는 경우 아크사인 함수를 사용하여 각도 값을 도 단위로 계산합니다. 만약에 모서리문자 α로 표시됩니다. 일반적인 견해해는 다음과 같이 작성할 수 있습니다: α = arcsin(sin(α)).

컴퓨터를 사용할 기회가 있다면, 실제 계산을 수행하는 가장 쉬운 방법은 내장된 운영 체제를 사용하는 것입니다. Windows OS의 마지막 두 버전에서는 다음과 같이 실행할 수 있습니다. Win 키를 누르고 "ka"를 입력한 후 Enter를 누르세요. 이 OS의 이전 릴리스에서는 시스템 기본 메뉴의 "모든 프로그램" 섹션에 있는 "표준" 하위 섹션에서 "계산기" 링크를 찾으십시오.

애플리케이션을 시작한 후 삼각 함수를 사용할 수 있는 모드로 전환하세요. 계산기 메뉴의 "보기" 섹션에서 "엔지니어링" 줄을 선택하거나 Alt + 2를 눌러 이 작업을 수행할 수 있습니다.

사인 값을 입력합니다. 기본적으로 계산기 인터페이스에는 아크사인 계산 버튼이 없습니다. 이 기능을 사용하려면 기본 버튼 값을 반전시켜야 합니다. 프로그램 창에서 Inv 키를 클릭하세요. 이전 버전에서는 이 버튼이 동일한 명칭의 확인란으로 대체되었습니다. 확인하세요.

계산에 다양한 서비스를 사용할 수도 있으며 그 중 인터넷에는 충분합니다. 예를 들어 http://planetcalc.com/326/으로 이동하여 약간 아래로 스크롤하여 입력 필드에 사인 값을 입력합니다. 계산 절차를 시작하려면 계산이라는 버튼이 있습니다. 클릭하세요. 이 버튼 아래 표의 첫 번째 행에서 계산 결과를 확인할 수 있습니다. 아크사인 외에도 입력된 값의 크기와 아크탄젠트가 모두 표시됩니다.

사인의 역함수를 삼각함수라고 합니다. 아크사인. 양수와 음수 모두 Pi의 절반 이내의 값을 취할 수 있습니다. 부정적인 측면라디안으로 측정했을 때. 각도로 측정할 때 이 값은 각각 -90°에서 +90° 범위에 있습니다.

지침

일부 "반올림" 값은 계산할 필요가 없으며 기억하기가 더 쉽습니다. 예를 들어: - 함수 인수가 0이면 해당 아크사인도 0입니다. - 측정된 경우 1/2은 30° 또는 1/6 Pi와 같습니다. - -1/2의 아크사인은 -30°입니다. 또는 숫자 Pi의 -1/ 6 - 1의 아크사인은 라디안 단위의 숫자 Pi의 90° 또는 1/2과 같습니다. - -1의 아크사인은 -90° 또는 -1/2과 같습니다. 라디안 단위의 Pi;

다른 인수에서 이 함수의 값을 측정하려면 표준 Windows 계산기(있는 경우)를 사용하는 것이 가장 쉬운 방법입니다. 시작하려면 "시작" 버튼(또는 WIN 키를 눌러)으로 메인 메뉴를 열고 "모든 프로그램" 섹션으로 이동한 다음 "보조 프로그램" 하위 섹션으로 이동하여 "계산기"를 클릭하세요.

계산기 인터페이스를 삼각 함수를 계산할 수 있는 작동 모드로 전환합니다. 이렇게 하려면 메뉴에서 "보기" 섹션을 열고 "엔지니어링" 또는 "과학"(사용된 운영 체제에 따라 다름)을 선택하십시오.

아크탄젠트를 계산할 인수 값을 입력합니다. 계산기 인터페이스의 버튼을 마우스로 클릭하거나, 키를 누르거나, 값을 복사(CTRL + C)한 다음 계산기의 입력 필드에 붙여넣기(CTRL + V)하면 됩니다.

함수 계산 결과를 얻는 데 필요한 측정 단위를 선택하십시오. 입력 필드 아래에는 1, 라디안 또는 라디안을 선택(마우스로 클릭하여)해야 하는 세 가지 옵션이 있습니다.

계산기 인터페이스 버튼에 표시된 기능을 반전시키는 확인란을 선택하십시오. 그 옆에는 짧은 비문 Inv가 있습니다.

죄 버튼을 클릭하세요. 계산기는 관련된 기능을 반전시키고 계산을 수행하며 지정된 단위로 결과를 제공합니다.

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가장 단순한 다각형인 직각 삼각형에서는 아무도 이 수학 영역을 그 단어로 부르지 않았던 시절에 다양한 과학자들이 삼각법 분야에 대한 지식을 연마했습니다. 그러므로 이 평면에서 변의 길이와 각도값의 비율에 패턴을 드러낸 저자를 표시하라. 기하학적 도형, 오늘은 불가능합니다. 이러한 관계를 삼각 함수라고 하며 여러 그룹으로 나뉘며, 그 중 주요 그룹은 일반적으로 "직접" 함수로 간주됩니다. 이 그룹에는 두 개의 함수만 포함되며 그 중 하나는 사인입니다.

지침

정의에 따르면, 직각삼각형에서 각 중 하나는 90°이고, 유클리드 기하학에서 해당 각도의 합은 180°와 같아야 하므로 나머지 두 각도는 (즉, 90°)입니다. 정확하게 이러한 각도와 변 길이 사이의 관계 패턴은 삼각 함수를 설명합니다.

예각의 사인이라고 불리는 함수는 직각 삼각형의 두 변의 길이 사이의 비율을 결정합니다. 이 중 하나는 이 예각 반대편에 있고 다른 하나는 이에 인접하여 반대편에 있습니다. 직각. 이러한 삼각형에서 직각 반대편에 있는 변을 빗변, 나머지 두 변을 다리라고 부르기 때문에 사인 함수는 다리 길이와 빗변의 비율로 공식화할 수 있습니다.

이 삼각함수에 대한 가장 간단한 정의 외에도 더 복잡한 정의도 있습니다. 데카르트 좌표, 시리즈를 통해, 미분 및 함수 방정식을 통해. 이 함수는 연속적입니다. 즉, 해당 인수("도메인")는 무한 음수에서 무한 양수까지 임의의 숫자일 수 있습니다. 그리고 이 함수의 최대값은 -1에서 +1 사이의 범위로 제한됩니다. 이것이 "값의 범위"입니다. 최소값사인은 270° 각도에서 발생하며 이는 3/Pi에 해당하며 최대값은 90°(Pi의 1/2)에서 얻습니다. 함수 값은 0°, 180°, 360° 등에서 0이 됩니다. 이 모든 것에서 사인은 주기 함수이고 그 주기는 360° 또는 Pi의 두 배와 같습니다.

주어진 인수에서 이 함수 값을 실제로 계산하려면 대부분의 함수를 사용할 수 있습니다(내장된 소프트웨어 계산기 포함). 운영 체제컴퓨터)에 적절한 옵션이 있습니다.

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공동그리고 코사인- 직교 좌표계의 원을 통해, 솔루션을 통해 여러 가지 정의가 있는 직접 삼각 함수입니다. 미분 방정식, 직각삼각형의 예각을 통과합니다. 이러한 각 정의를 통해 우리는 두 기능 간의 관계를 도출할 수 있습니다. 아래는 아마도 표현하는 가장 간단한 방법일 것입니다. 코사인사인을 통해 - 직각 삼각형의 예각에 대한 정의를 통해.

지침

직각삼각형의 예각의 사인을 이 그림의 변의 길이로 나타내십시오. 정의에 따르면, 각도의 사인(α)은 직각 반대편에 있는 변(c)의 길이(빗변)에 대한 반대쪽 변(a)의 길이(다리)의 비율이어야 합니다. 죄(α) = a/c.

비슷한 공식을 찾아보세요 코사인하지만 같은 각도. 정의에 따르면 이 값은 이 각도(두 번째 다리)에 인접한 변(b)의 길이와 직각 반대편에 있는 변(c)의 길이의 비율로 표현되어야 합니다. cos(a) = a /기음.

이전 두 단계에서 파생된 빗변과 다리 사이의 관계를 포함하도록 피타고라스 정리에 따른 등식을 다시 작성합니다. 이렇게 하려면 먼저 원래 정리(a² + b² = c²)를 빗변의 제곱(a²/c² + b²/c² = 1)으로 나눈 다음 결과 등식을 다음 형식으로 다시 작성합니다. )² + (b/c )² = 1.

결과 표현식에서 첫 번째와 두 번째 단계의 공식인 sin²(a) + cos²(a) = 1을 기반으로 다리 길이와 빗변의 비율을 삼각 함수로 바꿉니다. 코사인결과 평등으로부터: cos(a) = √(1 - sin²(a)). 이를 통해 문제는 일반적인 형태로 해결될 수 있습니다.

일반적인 결과 외에도 수치 결과를 얻으려면 예를 들어 수술실에 내장된 계산기를 사용하십시오. 윈도우 시스템. OS 메뉴의 "모든 프로그램" 섹션에 있는 "표준" 하위 섹션에서 이를 실행할 수 있는 링크입니다. 이 링크는 간결하게 "계산기"로 구성되어 있습니다. 이 프로그램으로 삼각 함수를 계산하려면 "엔지니어링" 인터페이스를 활성화하십시오. Alt + 2 키 조합을 누르십시오.

조건에 각도 사인 값을 입력하고 x²라고 표시된 인터페이스 버튼을 클릭하세요. 그러면 원래 값이 제곱됩니다. 그런 다음 키보드에 *-1을 입력하고 Enter를 누른 다음 +1을 입력하고 Enter를 다시 누릅니다. 이렇게 하면 사인의 제곱을 1에서 뺍니다. 근수 키를 클릭하여 사각형을 추출하고 최종 결과를 얻으세요.

삼각형에 대한 연구는 수 천년 동안 수학자에 의해 수행되었습니다. 삼각형의 과학인 삼각법은 사인과 코사인이라는 특별한 양을 사용합니다.

직각삼각형

사인과 코사인은 원래 직각 삼각형의 양을 계산해야 할 필요성에서 발생했습니다. 직각삼각형의 각도 측정값이 변경되지 않으면 변의 길이가 아무리 변하더라도 종횡비는 항상 동일하게 유지됩니다.

이것이 사인과 코사인의 개념이 도입된 방법입니다. 직각 삼각형의 예각의 사인은 빗변에 대한 대변의 비율이고, 코사인은 빗변에 인접한 변의 비율입니다.

코사인과 사인의 정리

그러나 코사인과 사인은 직각삼각형 이상의 용도로 사용될 수 있습니다. 삼각형의 둔각이나 예각, 변의 값을 찾으려면 코사인과 사인의 정리를 적용하면 충분합니다.

코사인 정리는 매우 간단합니다. "삼각형의 한 변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합에서 두 변의 곱과 두 변 사이의 각도의 코사인을 뺀 값과 같습니다."

사인 정리에는 소형과 확장이라는 두 가지 해석이 있습니다. 미성년자에 따르면: "삼각형에서 각도는 반대쪽 변에 비례합니다." 이 정리는 삼각형의 외접원의 특성으로 인해 종종 확장됩니다. "삼각형에서 각도는 반대쪽 변에 비례하고 그 비율은 외접원의 직경과 같습니다."

파생상품

도함수는 인수의 변화에 ​​비해 함수가 얼마나 빨리 변하는지를 보여주는 수학적 도구입니다. 파생 상품은 기하학 및 다양한 기술 분야에서 사용됩니다.

문제를 해결할 때 삼각 함수의 도함수인 사인과 코사인의 표 값을 알아야 합니다. 사인의 미분은 코사인이고 코사인은 사인이지만 빼기 기호가 있습니다.

수학에서의 응용

사인과 코사인은 특히 직각 삼각형 및 이와 관련된 문제를 해결하는 데 자주 사용됩니다.

사인과 코사인의 편리성은 기술에도 반영됩니다. 각도와 변은 코사인 정리와 사인 정리를 사용하여 쉽게 평가할 수 있었고 복잡한 모양과 물체를 "단순한" 삼각형으로 분해했습니다. 종횡비 및 각도 측정을 자주 처리하는 엔지니어는 표 형식이 아닌 각도의 코사인 및 사인을 계산하는 데 많은 시간과 노력을 소비했습니다.

그런 다음 수천 가지의 사인, 코사인, 탄젠트 및 다양한 각도의 코탄젠트 값을 포함하는 Bradis 테이블이 구출되었습니다. 소비에트 시대에 일부 교사는 학생들에게 Bradis 테이블의 페이지를 암기하도록 강요했습니다.

라디안은 길이가 반지름 또는 57.295779513°인 ​​호의 각도 값입니다.

도(기하학) - 원의 1/360 부분 또는 직각의 1/90 부분.

π = 3.141592653589793238462… (Pi의 대략적인 값).

각도에 대한 코사인 테이블: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

이번 글에서는 기부 방법을 알려드리겠습니다. 삼각법에서 각도와 숫자의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 정의. 여기에서는 표기법에 대해 이야기하고 항목의 예를 제공하며 그래픽 일러스트레이션을 제공합니다. 결론적으로 삼각법과 기하학에서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의 사이에 유사점을 그려 보겠습니다.

페이지 탐색.

사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트의 정의

학교 수학 과정에서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 개념이 어떻게 형성되는지 살펴 보겠습니다. 기하학 수업에서는 직각 삼각형의 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의가 제공됩니다. 그리고 나중에 회전 각도와 숫자의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대해 이야기하는 삼각법이 연구됩니다. 이러한 모든 정의를 제시하고 예를 제시하고 필요한 설명을 제공하겠습니다.

직각삼각형의 예각

기하학 과정에서 우리는 직각 삼각형의 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의를 알고 있습니다. 이는 직각 삼각형의 변의 비율로 제공됩니다. 그들의 공식을 제시해 보겠습니다.

정의.

직각 삼각형의 예각 사인빗변에 대한 대변의 비율입니다.

정의.

직각삼각형의 예각의 코사인빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다.

정의.

직각삼각형의 예각의 접선– 인접면에 대한 반대면의 비율입니다.

정의.

직각삼각형의 예각의 코탄젠트- 인접면과 반대면의 비율입니다.

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대한 지정(sin, cos, tg 및 ctg)도 각각 도입되었습니다.

예를 들어 ABC가 직각 C를 갖는 직각삼각형이라면 예각 A의 사인은 대변 BC와 빗변 AB의 비율, 즉 sin∠A=BC/AB와 같습니다.

이러한 정의를 사용하면 알려진 직각 삼각형 변의 길이뿐만 아니라 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값을 계산할 수 있습니다. 알려진 값사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 및 한 변의 길이를 사용하여 다른 변의 길이를 구합니다. 예를 들어, 직각 삼각형에서 변 AC가 3이고 빗변 AB가 7이라는 것을 안다면 정의에 따라 예각 A의 코사인 값을 계산할 수 있습니다. cos∠A=AC/ AB=3/7.

회전 각도

삼각법에서는 각도를 더 광범위하게 보기 시작합니다. 회전 각도의 개념을 도입합니다. 예각과 달리 회전 각도의 크기는 0~90도로 제한되지 않습니다. 각도(및 라디안) 단위의 회전 각도는 -무한대에서 +무한대까지의 실수로 표현될 수 있습니다.

이 관점에서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의는 예각이 아니라 임의 크기의 각도, 즉 회전 각도로 제공됩니다. 이는 점 A 1의 x 및 y 좌표를 통해 제공되며, 소위 시작점 A(1, 0)는 점 O를 중심으로 각도 α만큼 회전한 후 이동합니다. 이는 직교 직교 좌표계의 시작입니다. 그리고 단위원의 중심.

정의.

회전 각도의 사인α는 점 A1의 세로좌표, 즉 sinα=y이다.

정의.

회전 각도의 코사인α는 점 A1의 가로좌표, 즉 cosα=x라고 불린다.

정의.

회전 각도의 접선α는 점 A1의 세로 좌표와 가로 좌표의 비율, 즉 tanα=y/x입니다.

정의.

회전 각도의 코탄젠트α는 점 A1의 가로좌표와 세로좌표의 비율, 즉 ctgα=x/y입니다.

사인과 코사인은 모든 각도 α에 대해 정의됩니다. 왜냐하면 시작점을 각도 α만큼 회전하여 얻은 점의 가로좌표와 세로좌표를 항상 결정할 수 있기 때문입니다. 그러나 탄젠트와 코탄젠트는 어떤 각도에도 정의되지 않습니다. 접선은 시작점이 가로좌표가 0(0, 1) 또는 (0, −1)인 점으로 가는 각도 α에 대해 정의되지 않으며 이는 각도 90°+180° k, k∈Z(π)에서 발생합니다. /2+π·k rad). 실제로 이러한 회전 각도에서 tgα=y/x라는 표현은 0으로 나누기를 포함하므로 의미가 없습니다. 코탄젠트의 경우 시작점이 세로 좌표가 0인 (1, 0) 또는 (−1, 0) 점으로 가는 각도 α에 대해서는 정의되지 않으며 이는 각도 180° k, k ∈Z에 대해 발생합니다. (π·k rad).

따라서 모든 회전 각도에 대해 사인과 코사인이 정의되고, 90°+180°k, k∈Z(π/2+πk rad)를 제외한 모든 각도에 대해 탄젠트가 정의되고, 180°·k를 제외한 모든 각도에 대해 코탄젠트가 정의됩니다. , k∈Z(π·k rad).

정의에는 이미 우리에게 알려진 sin, cos, tg 및 ctg 지정이 포함되며 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 지정하는 데에도 사용됩니다(때로는 탄젠트 및 코탄젠트에 해당하는 지정 tan 및 cot를 찾을 수 있음) . 따라서 30도 회전 각도의 사인은 sin30°로 쓸 수 있으며 항목 tg(−24°17′) 및 ctgα는 회전 각도 −24 도 17분의 탄젠트 및 회전 각도 α의 코탄젠트에 해당합니다. . 각도의 라디안 단위를 쓸 때 "rad"라는 명칭이 종종 생략된다는 점을 기억하십시오. 예를 들어, 3pi rad의 회전각의 코사인은 일반적으로 cos3·π로 표시됩니다.

이 점의 결론적으로 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대해 말할 때 "회전 각도"라는 문구 또는 "회전"이라는 단어가 생략되는 경우가 많다는 점에 주목할 가치가 있습니다. 즉, "회전 각도 알파의 사인"이라는 문구 대신 "알파 각도의 사인" 또는 더 짧게는 "사인 알파"라는 문구가 일반적으로 사용됩니다. 코사인, 탄젠트, 코탄젠트에도 동일하게 적용됩니다.

또한 직각삼각형의 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의는 0도에서 90도 범위의 회전각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대해 주어진 정의와 일치한다고 말할 것입니다. 우리는 이것을 정당화할 것입니다.

숫자

정의.

숫자의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 t는 각각 t 라디안 단위의 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트와 동일한 숫자입니다.

예를 들어, 정의에 따라 숫자 8·π의 코사인은 8·π rad 각도의 코사인과 동일한 숫자입니다. 그리고 8·π rad 각도의 코사인은 1과 같으므로 숫자 8·π의 코사인은 1과 같습니다.

숫자의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 결정하는 또 다른 접근법이 있습니다. 각 실수 t는 직각 좌표계의 원점을 중심으로 하는 단위원 위의 한 점과 연관되어 있으며 이 점의 좌표를 통해 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트가 결정된다는 사실로 구성됩니다. 이를 좀 더 자세히 살펴보겠습니다.

실수와 원 위의 점 사이에 대응 관계가 어떻게 설정되는지 보여드리겠습니다.

• 숫자 0에는 시작점 A(1, 0)이 할당됩니다.
• 정수 t는 단위원의 점과 연관되어 있으며, 시작점에서 반시계 방향으로 원을 따라 이동하고 길이 t의 경로를 걸으면 도달하게 됩니다.
• 음수 t는 단위원의 점과 연관되어 있으며, 시작점에서 시계 방향으로 원을 따라 이동하고 |t| 길이의 경로를 따라 이동하면 도달하게 됩니다. .

이제 숫자 t의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의로 넘어갑니다. 숫자 t가 원 A 1 (x, y) 위의 한 점에 해당한다고 가정합니다(예를 들어 숫자 &pi/2;는 점 A 1 (0, 1)에 해당함).

정의.

숫자의 사인 t는 숫자 t에 해당하는 단위원 위 점의 세로 좌표, 즉 sint=y입니다.

정의.

숫자의 코사인 t는 숫자 t에 해당하는 단위원 점의 가로좌표, 즉 비용=x라고 합니다.

정의.

숫자의 탄젠트 t는 숫자 t에 해당하는 단위원 위의 한 점의 세로 좌표와 가로 좌표의 비율, 즉 tgt=y/x입니다. 또 다른 등가 공식에서 숫자 t의 탄젠트는 이 숫자의 사인 대 코사인의 비율, 즉 tgt=sint/cost입니다.

정의.

숫자의 코탄젠트 t는 숫자 t에 해당하는 단위원 위의 점의 세로 좌표에 대한 가로 좌표의 비율, 즉 ctgt=x/y입니다. 또 다른 공식은 다음과 같습니다: 숫자 t의 탄젠트는 숫자 t의 코사인과 숫자 t의 사인의 비율입니다: ctgt=cost/sint.

여기서 우리는 방금 제공된 정의가 이 단락의 시작 부분에 제공된 정의와 일치한다는 점에 주목합니다. 실제로 단위원 위의 숫자 t에 해당하는 점은 시작점을 t라디안 각도만큼 회전시켜 얻은 점과 일치합니다.

이 점을 명확히 하는 것은 여전히 ​​가치가 있습니다. 항목 sin3이 있다고 가정해 보겠습니다. 숫자 3의 사인에 대해 이야기하고 있는지 아니면 3라디안 회전 각도의 사인에 대해 이야기하고 있는지 어떻게 이해할 수 있습니까? 이는 일반적으로 문맥을 보면 분명하지만, 그렇지 않으면 근본적으로 중요하지 않을 가능성이 높습니다.

각도 및 숫자 인수의 삼각 함수

이전 단락에 제공된 정의에 따르면 각 회전 각도 α는 cosα 값뿐만 아니라 매우 구체적인 값 sinα에 해당합니다. 또한 90°+180°k, k∈Z(π/2+πk rad) 이외의 회전각은 모두 tgα 값에 해당하고, 180°k 이외의 값은 k∈Z(πk rad) – 값에 해당합니다. ctgα의 . 따라서 sinα, cosα, tanα 및 ctgα는 각도 α의 함수입니다. 즉, 이들은 각도 인수의 함수입니다.

수치 인수의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 함수에 대해서도 비슷하게 말할 수 있습니다. 실제로 각 실수 t는 비용뿐만 아니라 매우 구체적인 값 sint에 해당합니다. 또한, π/2+π·k, k∈Z 이외의 모든 숫자는 tgt 값에 해당하고, 숫자 π·k, k∈Z - ctgt 값에 해당합니다.

사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 함수를 호출합니다. 기본 삼각 함수.

우리가 각도 인수 또는 수치 인수의 삼각 함수를 다루고 있는지는 일반적으로 문맥에서 명확합니다. 그렇지 않으면 독립 변수를 각도 측정값(각 인수)과 숫자 인수로 생각할 수 있습니다.

하지만 학교에서는 주로 수치함수, 즉 인수와 해당 함수값이 숫자인 함수를 공부합니다. 따라서 함수에 대해 구체적으로 이야기하는 경우 삼각 함수를 수치 인수의 함수로 간주하는 것이 좋습니다.

기하학과 삼각법의 정의 사이의 관계

0도에서 90도 범위의 회전 각도 α를 고려하면 삼각법의 맥락에서 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의는 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의와 완전히 일치합니다. 기하학 과정에서 제공되는 직각 삼각형의 예각. 이것을 정당화해 봅시다.

직사각형 직교 좌표계 Oxy에서 단위원을 묘사해 보겠습니다. 메모 출발점 A(1, 0) . 0도에서 90도 사이의 각도 α만큼 회전하면 점 A 1(x, y)을 얻습니다. A 1 지점에서 Ox 축으로 수직 A 1 H를 떨어뜨려 보겠습니다.

직각 삼각형에서 각도 A 1 OH는 회전 각도 α와 같고, 이 각도에 인접한 다리 OH의 길이는 점 A 1의 가로좌표, 즉 |OH와 같다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. |=x, 각도 반대쪽 다리 A 1 H의 길이는 점 A 1의 세로 좌표, 즉 |A 1 H|=y와 같고 빗변 OA 1의 길이는 1과 같습니다. 단위원의 반지름이기 때문입니다. 그런 다음 기하학의 정의에 따라 직각 삼각형 A 1 OH의 예각 α의 사인은 빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율, 즉 sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. 그리고 삼각법의 정의에 따르면 회전 각도 α의 사인은 점 A 1의 세로 좌표와 같습니다. 즉, sinα=y입니다. 이는 직각 삼각형의 예각의 사인을 결정하는 것이 α가 0에서 90도일 때 회전 각도 α의 사인을 결정하는 것과 동일하다는 것을 보여줍니다.

유사하게, 예각 α의 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의는 회전 각도 α의 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의와 일치한다는 것을 알 수 있습니다.

참고자료.

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직각삼각형부터 삼각법 공부를 시작하겠습니다. 사인과 코사인이 무엇인지, 예각의 탄젠트와 코탄젠트가 무엇인지 정의해 봅시다. 이것이 삼각법의 기본이다.

이를 상기시켜 드리겠습니다. 직각 90도와 같은 각도이다. 즉, 반 회전 각도입니다.

예각- 90도 미만.

둔각- 90도 이상. 이러한 각도와 관련하여 "둔각"은 모욕이 아니라 수학 용어입니다. :-)

직각삼각형을 그려보자. 직각은 일반적으로 로 표시됩니다. 모서리 반대쪽도 동일한 문자로 표시되며 작습니다. 따라서 측면 반대 각도 A가 지정됩니다.

각도는 해당으로 표시됩니다. 그리스 문자.

빗변직각삼각형의 변은 직각의 반대편이다.

다리- 예각 반대편에 놓인 측면.

각도 반대편에 누워있는 다리를 호출합니다. 반대(각도에 비례). 각도의 측면 중 하나에 있는 다른 다리를 호출합니다. 인접한.

공동직각 삼각형의 예각은 빗변에 대한 대변의 비율입니다.

코사인직각 삼각형의 예각 - 인접한 다리와 빗변의 비율:

접선직각 삼각형의 예각 - 반대쪽과 인접면의 비율:

또 다른 (동등한) 정의: 예각의 탄젠트는 각도의 사인 대 코사인의 비율입니다.

코탄젠트직각 삼각형의 예각 - 인접한 변과 반대쪽의 비율 (또는 동일하게 코사인 대 사인의 비율) :

아래에서 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트의 기본 관계를 확인하세요. 문제를 해결할 때 우리에게 유용할 것입니다.

그 중 일부를 증명해 봅시다.

좋아요, 정의를 내리고 공식을 적어 두었습니다. 그런데 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트가 여전히 필요한 이유는 무엇입니까?

우리는 그것을 알고 있습니다 모든 삼각형의 각도의 합은 다음과 같습니다..

우리는 사이의 관계를 알고 파티직각 삼각형. 이것은 피타고라스의 정리입니다: .

삼각형의 두 각도를 알면 세 번째 각도를 찾을 수 있다는 것이 밝혀졌습니다. 직각삼각형의 두 변을 알면 세 번째 변을 찾을 수 있습니다. 이는 각도에 자체 비율이 있고 측면에도 자체 비율이 있음을 의미합니다. 하지만 직각삼각형에서 한 각(직각 제외)과 한 변을 알고 있는데 다른 변을 찾아야 한다면 어떻게 해야 할까요?

이것은 과거 사람들이 그 지역과 별이 빛나는 하늘의 지도를 만들 때 접했던 것입니다. 결국, 삼각형의 모든 변을 직접 측정하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다.

사인, 코사인 및 탄젠트 -라고도 합니다. 삼각 각도 함수- 사이의 관계를 제공 파티그리고 모서리삼각형. 각도를 알면 특수 테이블을 사용하여 모든 삼각 함수를 찾을 수 있습니다. 그리고 삼각형 각도와 그 변 중 하나의 사인, 코사인 및 탄젠트를 알면 나머지도 찾을 수 있습니다.

또한 "좋은" 각도에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값의 표를 그릴 것입니다.

표에 있는 두 개의 빨간색 대시를 참고하세요. 적절한 각도 값에서는 탄젠트와 코탄젠트가 존재하지 않습니다.

FIPI Task Bank의 몇 가지 삼각법 문제를 살펴보겠습니다.

1. 삼각형의 각도는 , 입니다. 찾다 .

문제는 4초만에 해결됩니다.

부터 , .

2. 삼각형의 각도는 , , 입니다. 찾다 .

피타고라스의 정리를 이용하여 구해 봅시다.

문제가 해결되었습니다.

종종 문제에는 각도가 있는 삼각형이 있거나 각도가 있는 삼각형이 있습니다. 기본 비율을 마음 속으로 기억하세요!

각도가 있는 삼각형의 경우 각도 반대쪽 다리는 다음과 같습니다. 빗변의 절반.

각도가 있고 이등변인 삼각형입니다. 그 안에서 빗변은 다리보다 몇 배 더 큽니다.

우리는 직각삼각형을 푸는 문제, 즉 알려지지 않은 변이나 각도를 찾는 문제를 살펴보았습니다. 하지만 그게 전부는 아닙니다! 수학 통합 상태 시험에는 사인, 코사인, 탄젠트 또는 삼각형 외부 각도의 코탄젠트와 관련된 많은 문제가 있습니다. 이에 대한 자세한 내용은 다음 기사에서 확인하세요.

사인은 기본 삼각 함수 중 하나이며 그 사용은 기하학에만 국한되지 않습니다. 다음과 같은 삼각 함수 계산용 테이블 엔지니어링 계산기, 항상 가까이에 있는 것은 아니며 때로는 문제를 해결하기 위해 사인 계산이 필요합니다. 다양한 업무. 일반적으로 사인을 계산하면 그리기 기술과 삼각법 항등식에 대한 지식을 통합하는 데 도움이 됩니다.

눈금자와 연필을 이용한 게임

간단한 작업: 종이에 그려진 각도의 사인을 찾는 방법은 무엇입니까? 문제를 해결하려면 일반 자, 삼각형(또는 나침반) 및 연필이 필요합니다. 각도의 사인을 계산하는 가장 간단한 방법은 직각이 있는 삼각형의 먼 변을 긴 변, 즉 빗변으로 나누는 것입니다. 따라서 먼저 각도의 꼭지점으로부터 임의의 거리에 광선 중 하나에 수직인 선을 그려 직각 삼각형 모양의 예각을 완성해야 합니다. 우리는 정확히 90°의 각도를 유지해야 하며, 이를 위해서는 사무용 삼각형이 필요합니다.

나침반을 사용하는 것이 조금 더 정확하지만 시간이 더 걸립니다. 광선 중 하나에서 특정 거리에 있는 2개의 점을 표시하고 나침반의 반경을 대략적으로 조정합니다. 거리와 동일점 사이를 이동하고 이 선의 교차점을 얻을 때까지 이 점을 중심으로 반원을 그립니다. 원의 교차점을 서로 연결함으로써 우리 각도의 광선에 대한 엄격한 수직을 얻습니다. 남은 것은 다른 광선과 교차할 때까지 선을 연장하는 것입니다.

결과 삼각형에서 모서리 반대쪽 측면과 광선 중 하나의 긴 측면을 측정하려면 눈금자를 사용해야 합니다. 첫 번째 차원과 두 번째 차원의 비율은 원하는 예각 사인 값이 됩니다.

90°보다 큰 각도에 대한 사인 구하기

을 위한 둔각작업은 그다지 어렵지 않습니다. 정점에서 광선을 그려야 합니다. 반대편자를 사용하여 우리가 관심 있는 각도의 광선 중 하나와 직선을 만듭니다. 받은 것으로 예각위에서 설명한 대로 진행해야 합니다. 인접한 모서리, 함께 180°의 역각을 형성하는 것은 동일합니다.

다른 삼각 함수를 사용하여 사인 계산하기

또한 각도의 다른 삼각 함수 값이나 적어도 삼각형 변의 길이를 알고 있으면 사인 계산이 가능합니다. 삼각법적 정체성이 우리에게 도움이 될 것입니다. 일반적인 예를 살펴보겠습니다.

각도의 알려진 코사인으로 사인을 찾는 방법은 무엇입니까? 피타고라스의 정리에 기초한 첫 번째 삼각법 항등식은 같은 각도의 사인과 코사인의 제곱의 합은 1과 같다는 것입니다.

사인을 찾는 방법 알려진 접선모서리? 탄젠트는 먼 쪽을 가까운 쪽으로 나누거나 사인을 코사인으로 나누어 얻습니다. 따라서 사인은 코사인과 탄젠트의 곱이 되고 사인의 제곱은 이 곱의 제곱이 됩니다. 우리는 제곱 코사인을 첫 번째 삼각법 항등식에 따라 1과 제곱 사인의 차이로 대체하고, 간단한 조작을 통해 방정식을 그에 따라 접선을 통한 제곱 사인 계산으로 줄여 사인을 계산합니다. 얻은 결과의 근을 추출해야 합니다.

각도의 알려진 코탄젠트를 사용하여 사인을 찾는 방법은 무엇입니까? 코탄젠트의 값은 각도에 가장 가까운 다리의 길이를 먼 쪽의 길이로 나누고 코사인을 사인으로 나누어 계산할 수 있습니다. 즉, 코탄젠트는 탄젠트 상대에 반비례하는 함수입니다. 사인을 계산하려면 tg α = 1 / ctg α 공식을 사용하여 탄젠트를 계산하고 두 번째 옵션의 공식을 사용할 수 있습니다. 탄젠트와 유사하게 직접 공식을 유도할 수도 있는데, 이는 다음과 같습니다.

삼각형의 세 변의 사인을 구하는 방법

반대 각도의 코사인의 삼각 함수를 사용하여 알려진 두 변에서 직각 삼각형뿐만 아니라 삼각형의 알려지지 않은 변의 길이를 구하는 공식이 있습니다. 그녀는 이렇게 생겼습니다.