피라미드의 전체 표면적. 삼각뿔의 면적 일반 피라미드의 표면적은 얼마입니까?

정의. 측면 가장자리- 이것은 하나의 각도가 피라미드의 상단에 있고 반대쪽이 밑면 (다각형)의 측면과 일치하는 삼각형입니다.

정의. 옆갈비- 측면의 공통 측면입니다. 피라미드에는 다각형의 각도만큼 많은 모서리가 있습니다.

정의. 피라미드 높이- 이것은 피라미드의 꼭대기에서 바닥까지 수직으로 내려간 것입니다.

정의. 아포템- 이것은 피라미드의 측면에 수직이며 피라미드 상단에서 밑면 측면으로 낮아졌습니다.

정의. 대각선 부분- 이것은 피라미드의 꼭대기와 밑면의 대각선을 통과하는 평면에 의한 피라미드의 단면입니다.

정의. 올바른 피라미드밑면이 정다각형이고 높이가 밑면의 중심으로 내려오는 피라미드이다.

피라미드의 부피와 표면적

공식. 피라미드의 부피기본 면적과 높이를 통해:

피라미드의 속성

모든 측면 모서리가 동일하면 피라미드 밑면 주위에 원을 그릴 수 있으며 밑면의 중심은 원의 중심과 일치합니다. 또한 위에서 내린 수선은 밑면(원)의 중심을 통과합니다.

모든 측면 가장자리가 동일하면 동일한 각도로 바닥 평면에 기울어집니다.

측면 모서리는 밑면과 동일한 각도를 형성하거나 피라미드 밑면 주위에 원이 설명될 수 있는 경우 동일합니다.

측면이 밑면에 대해 같은 각도로 기울어지면 피라미드의 밑면에 원이 새겨지고 피라미드의 상단이 중심에 투영됩니다.

측면이 동일한 각도로 밑면에 대해 기울어지면 측면의 변위가 동일합니다.

일반 피라미드의 속성

1. 피라미드의 꼭대기는 밑면의 모든 모서리에서 등거리에 있습니다.

2. 모든 측면 모서리가 동일합니다.

3. 모든 측면 리브는 베이스와 동일한 각도로 기울어져 있습니다.

4. 모든 측면의 변심은 동일합니다.

5. 모든 측면의 면적은 동일합니다.

6. 모든 면은 동일한 2면체(평면) 각도를 갖습니다.

7. 피라미드 주위에 구를 묘사할 수 있습니다. 외접 구의 중심은 모서리의 중앙을 통과하는 수직선의 교차점이 됩니다.

8. 구를 피라미드에 맞출 수 있습니다. 내접 구의 중심은 모서리와 밑면 사이의 각도에서 나오는 이등분선의 교차점이 됩니다.

9. 내접 구의 중심이 외접 구의 중심과 일치하면 꼭지점의 평면 각도의 합은 π와 같거나 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 한 각도는 π/n과 같습니다. 여기서 n은 숫자입니다. 피라미드 바닥의 각도.

피라미드와 구의 연결

피라미드의 밑면에 원을 묘사할 수 있는 다면체가 있을 때(필요충분조건) 구는 피라미드 주위에 묘사될 수 있습니다. 구의 중심은 피라미드 측면 가장자리의 중간점을 수직으로 통과하는 평면의 교차점이 됩니다.

삼각형이나 정뿔형 피라미드 주위의 구를 묘사하는 것은 항상 가능합니다.

피라미드의 내부 2면각의 이등분선 평면이 한 지점에서 교차하는 경우(필요 및 충분 조건) 구는 피라미드에 내접할 수 있습니다. 이 점이 구의 중심이 됩니다.

원뿔과 피라미드의 연결

꼭지점이 일치하고 원뿔의 밑면이 피라미드의 밑면에 내접되어 있으면 원뿔이 피라미드에 내접한다고 합니다.

피라미드의 변심점이 서로 같으면 원뿔이 피라미드에 새겨질 수 있습니다.

꼭지점이 일치하고 원뿔의 밑면이 피라미드의 밑면 주위에 외접하는 경우 원뿔이 피라미드 주위에 외접한다고 합니다.

피라미드의 모든 측면 모서리가 서로 같으면 피라미드 주위에 원뿔을 설명할 수 있습니다.

피라미드와 원통의 관계

피라미드의 꼭대기가 원통의 한 밑면에 있고 피라미드의 밑면이 원통의 다른 밑면에 새겨져 있는 경우 피라미드를 원통에 내접했다고 합니다.

원이 피라미드의 밑면 주위에 설명될 수 있다면 원통은 피라미드 주위에 설명될 수 있습니다.

정의. 잘린 피라미드(피라미드 프리즘)피라미드의 밑면과 밑면에 평행한 단면 평면 사이에 위치한 다면체입니다. 따라서 피라미드는 더 큰 밑면과 더 큰 것과 유사한 더 작은 밑면을 갖습니다. 측면은 사다리꼴입니다.

정의. 삼각뿔(사면체)는 세 개의 면과 밑면이 임의의 삼각형인 피라미드입니다.

사면체에는 4개의 면과 4개의 꼭지점, 6개의 모서리가 있으며, 두 모서리는 공통 꼭지점을 가지지 않지만 서로 닿지 않습니다.

각 꼭지점은 다음을 형성하는 세 개의 면과 모서리로 구성됩니다. 삼각형 각도.

정사면체의 꼭지점과 반대면의 중심을 연결하는 선분을 이라고 합니다. 사면체의 중앙값(GM).

바이미디어닿지 않는 반대쪽 가장자리의 중간점을 연결하는 세그먼트(KL)라고 합니다.

사면체의 모든 양중선과 중앙값은 한 점(S)에서 교차합니다. 이 경우 양중값은 반으로 나누어 위에서부터 3:1의 비율로 중앙값을 나눈다.

정의. 기울어진 피라미드는 모서리 중 하나가 밑면과 둔각(β)을 형성하는 피라미드입니다.

정의. 직사각형 피라미드은 측면 중 하나가 밑면에 수직인 피라미드입니다.

정의. 예각 피라미드-변심이 밑변 길이의 절반보다 긴 피라미드.

정의. 둔각 피라미드-변심이 밑변 길이의 절반 미만인 피라미드.

정의. 정사면체- 네 면이 모두 정삼각형인 사면체. 정다각형 5개 중 하나입니다. 정사면체에서는 모든 2면체 각도(면 사이)와 3면체 각도(꼭지점)가 동일합니다.

정의. 직사각형 사면체는 꼭지점의 세 모서리 사이에 직각을 이루는 사면체입니다(모서리는 수직입니다). 세 개의 얼굴이 형성됨 직사각형 삼각형 각도면은 직각 삼각형이고 밑면은 임의의 삼각형입니다. 모든 면의 변심은 변심이 있는 밑변의 절반과 같습니다.

정의. 등면체 사면체옆면이 서로 같고 밑면이 정삼각형인 정사면체라 한다. 이러한 사면체는 이등변삼각형인 면을 가지고 있습니다.

정의. 직교 사면체위에서 반대면까지 내려간 높이(수직)가 모두 한점에서 교차하는 것을 사면체라 한다.

정의. 스타 피라미드밑면이 별인 다면체라고 불린다.

정의. 이중 피라미드- 두 개의 서로 다른 피라미드로 구성된 다면체(피라미드는 잘릴 수도 있음), 공통 베이스를 가지며 정점은 베이스 평면의 반대쪽에 위치합니다.

피라미드는 밑면이 다각형이고 나머지 면은 공통 꼭지점을 갖는 삼각형으로 표현되는다면적인 도형입니다.

밑면이 정사각형이면 피라미드라고 합니다. 사각형의, 만약 삼각형이라면 - 그렇다면 삼각형의. 피라미드의 높이는 밑면에 수직인 꼭대기에서 그려집니다. 면적을 계산하는 데에도 사용됩니다. 변심– 측면의 높이가 상단에서 낮아졌습니다.
피라미드의 측면 면적에 대한 공식은 서로 동일한 측면 면적의 합입니다. 그러나 이 계산 방법은 매우 드물게 사용됩니다. 기본적으로 피라미드의 면적은 밑면과 변심점의 둘레를 통해 계산됩니다.

피라미드의 측면 면적을 계산하는 예를 고려해 보겠습니다.

밑면 ABCDE와 꼭지점 F. AB=BC=CD=DE=EA=3cm로 피라미드를 지정하고 Apothem a = 5cm의 피라미드 측면 면적을 구합니다.
둘레를 찾아보자. 밑면의 모든 모서리가 동일하므로 오각형의 둘레는 다음과 같습니다.
이제 피라미드의 측면 영역을 찾을 수 있습니다.

정삼각형 피라미드의 면적

정삼각형 피라미드는 정삼각형이 놓인 밑면과 면적이 같은 세 개의 측면으로 구성됩니다.
정삼각형 피라미드의 측면 표면적에 대한 공식은 다른 방법으로 계산할 수 있습니다. 둘레와 변심을 이용하여 일반적인 계산식을 적용할 수도 있고, 한 면의 면적을 구하여 3을 곱할 수도 있습니다. 피라미드의 면은 삼각형이므로 삼각형의 면적에 대한 공식을 적용합니다. 변심거리와 베이스 길이가 필요합니다. 정삼각형 피라미드의 측면 표면적을 계산하는 예를 고려해 보겠습니다.

변심 a = 4 cm이고 밑면 b = 2 cm인 피라미드가 주어졌을 때 피라미드의 옆면의 면적을 구하십시오.
먼저 측면 중 하나의 면적을 찾습니다. 이 경우에는 다음과 같습니다.
값을 공식으로 대체하십시오.
일반 피라미드에서는 모든 측면이 동일하므로 피라미드 측면의 면적은 세면의 면적의 합과 같습니다. 각기:

잘린 피라미드의 면적

잘림피라미드는 피라미드와 밑면에 평행한 단면으로 구성된 다면체입니다.
잘린 피라미드의 측면 표면적에 대한 공식은 매우 간단합니다. 면적은 밑변과 변심의 둘레 합계의 절반을 곱한 것과 같습니다.

잘린 피라미드의 측면 면적을 계산하는 예를 고려해 보겠습니다.

정사각형 피라미드가 주어졌습니다. 밑면의 길이는 b = 5 cm, c = 3 cm이고, Apothem a = 4 cm 그림의 옆면의 넓이를 구하십시오.
먼저 밑면의 둘레를 구해 봅시다. 더 크게 보면 다음과 같습니다.
더 작은 베이스에서는:
면적을 계산해 보겠습니다.

삼각뿔는 밑면이 정삼각형인 다면체이다.

이러한 피라미드에서는 밑면의 가장자리와 측면의 가장자리가 서로 같습니다. 따라서, 옆면의 넓이는 세 개의 동일한 삼각형의 넓이의 합으로 구됩니다. 공식을 사용하여 일반 피라미드의 측면 표면적을 찾을 수 있습니다. 그리고 계산을 몇 배 더 빠르게 할 수 있습니다. 이렇게하려면 삼각형 피라미드의 측면 표면적에 대한 공식을 적용해야합니다.

여기서 p는 밑면의 둘레이고 모든 변은 b와 같습니다. a는 꼭대기에서 이 밑면까지 낮아진 변심입니다. 삼각뿔의 면적을 계산하는 예를 고려해 보겠습니다.

문제: 정규 피라미드를 만들어 보겠습니다. 밑면의 삼각형의 변은 b = 4 cm이고, 피라미드의 변심은 a = 7 cm입니다. 피라미드의 옆면의 면적을 구하십시오.
문제의 조건에 따라 필요한 모든 요소의 길이를 알고 있으므로 둘레를 구합니다. 정삼각형에서는 모든 변이 동일하므로 둘레는 다음 공식으로 계산됩니다.

데이터를 대체하고 값을 찾아보겠습니다.

이제 둘레를 알면 측면 표면적을 계산할 수 있습니다.

전체 값을 계산하기 위해 삼각형 피라미드의 면적에 대한 공식을 적용하려면 다면체의 밑면의 면적을 찾아야합니다. 이렇게 하려면 다음 공식을 사용하세요.

삼각뿔의 밑면 면적에 대한 공식은 다를 수 있습니다. 주어진 수치에 대한 모든 매개변수 계산을 사용할 수 있지만 대부분의 경우에는 이것이 필요하지 않습니다. 삼각뿔의 밑면 면적을 계산하는 예를 고려해 보겠습니다.

문제: 일반 피라미드에서 밑면에 있는 삼각형의 한 변은 a = 6cm입니다. 밑면의 면적을 계산하세요.
계산하려면 피라미드 밑면에 있는 정삼각형의 변의 길이만 있으면 됩니다. 데이터를 공식으로 대체해 보겠습니다.

종종 다면체의 전체 면적을 찾아야 합니다. 이렇게하려면 측면과 밑면의 면적을 더해야합니다.

삼각뿔의 면적을 계산하는 예를 생각해 봅시다.

문제: 정삼각뿔을 생각해 보자. 밑면의 변은 b = 4 cm, 변심은 a = 6 cm입니다. 피라미드의 전체 면적을 구하십시오.
먼저, 이미 알려진 공식을 이용하여 옆면의 넓이를 구해보겠습니다. 둘레를 계산해 봅시다:

데이터를 공식으로 대체합니다.
이제 기지의 면적을 찾아 보겠습니다.
밑면과 측면의 면적을 알면 피라미드의 전체 면적을 알 수 있습니다.