소수를 정수로 나누는 예. 방정식 시스템 작성

소수를 더하는 것은 정수를 더하는 것과 같습니다. 예제를 통해 이를 살펴보겠습니다.

1) 0.132 + 2.354. 용어 아래에 용어를 표시해 보겠습니다.

여기서 2천분의 1에 4천분의 1을 더하면 6천분의 1이 됩니다.
3/100에 5/100을 더하면 8/100이 됩니다.
1/10에 3/10 -4/10을 더하고
2개의 정수 - 2개의 정수로 0개의 정수를 추가하는 것부터.

2) 5,065 + 7,83.

두 번째 항에는 천분의 일이 없으므로 항을 차례로 표시할 때 실수하지 않는 것이 중요합니다.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

여기서 천분의 일을 더하면 결과는 21,000이 됩니다. 우리는 천분의 일 아래에 1을 쓰고 백분의 일에 2를 더했습니다. 따라서 백분의 일 자리에서는 다음과 같은 항을 얻었습니다. 2 + 3 + 6 + 8 + 0; 전체적으로 그들은 19/100을 제공하고 우리는 100분의 9 미만에 서명했고 1은 10분의 1로 계산되었습니다.

따라서 소수를 더할 때 다음 사항을 준수해야 합니다. 다음 주문: 모든 용어에서 동일한 숫자가 서로 아래에 있고 모든 쉼표가 동일한 수직 열에 있도록 분수를 다른 아래에 표시합니다. 일부 용어의 소수점 오른쪽에는 적어도 정신적으로 다수의 0이 할당되므로 소수점 이하의 모든 용어는 같은 번호숫자 그런 다음 오른쪽부터 시작하여 숫자별로 덧셈을 수행하고 결과 합계에서 해당 용어에 있는 동일한 세로 열에 쉼표를 넣습니다.

§ 108. 소수점 이하 분수 빼기.

소수의 뺄셈은 정수의 뺄셈과 같은 방식으로 작동합니다. 이를 예시로 보여드리겠습니다.

1) 9.87~7.32. 같은 숫자의 단위가 서로 아래에 있도록 피감수 아래에 감수에 서명합시다.

2) 16.29~4.75. 첫 번째 예에서와 같이 피감수 아래에 감수에 서명해 보겠습니다.

10분의 1을 빼려면 6에서 하나의 전체 단위를 가져와서 10분의 1로 나누어야 했습니다.

3) 14.0213-5.350712. 피감수 아래에 감산에 서명합시다:

뺄셈은 다음과 같이 수행되었습니다. 0에서 200만분의 1을 뺄 수 없으므로 왼쪽에서 가장 가까운 숫자, 즉 십만분의 일로 바꿔야 하지만 십만분의 일 대신에도 0이 있으므로 0에서 1만분의 1을 취합니다. 3 만분의 일을 십만분의 일로 나누면 100만분의 1이 되고, 그 중 십만분의 일 범주에 9십만이 남고, 10만분의 1로 나누면 천만분의 일이 됩니다. 따라서 마지막 세우리는 다음과 같은 숫자를 얻었습니다: 백만분의 10, 십만분의 9, 만분의 2. 더 명확성과 편의를 위해(잊지 않도록) 이 숫자는 피감수의 해당 분수 위에 기록됩니다. 이제 빼기를 시작할 수 있습니다. 1000만분의 1에서 200만분의 1을 빼면 800만분의 1이 됩니다. 90만분의 1에서 10만분의 1을 빼면 80만분의 1이 됩니다.

따라서 소수를 뺄 때 다음 순서가 준수됩니다. 동일한 숫자가 서로 아래에 있고 모든 쉼표가 동일한 세로 열에 있도록 피감수 아래에 감산 기호를 표시합니다. 오른쪽에서는 적어도 정신적으로 피감수나 빼기에 너무 많은 0을 추가하여 동일한 자릿수를 갖게 한 다음 오른쪽부터 시작하여 숫자만큼 빼고 결과 차이에 쉼표를 넣습니다. 감소 및 뺄셈에 위치한 동일한 수직 열입니다.

§ 109. 소수의 곱셈.

소수의 곱셈의 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

이 숫자의 곱을 찾기 위해 다음과 같이 추론할 수 있습니다. 인수가 10배 증가하면 두 인수는 모두 정수가 되며 정수 곱셈 규칙에 따라 곱할 수 있습니다. 그러나 우리는 요인 중 하나가 여러 번 증가하면 제품도 같은 양만큼 증가한다는 것을 알고 있습니다. 즉, 정수인수를 곱하여 구한 수, 즉 28×23이 실제 곱의 10배가 되며, 실제 곱을 얻기 위해서는 찾은 곱을 10배 줄여야 한다는 뜻이다. 따라서 여기서는 10을 한 번 곱하고 10으로 한 번 나누어야 하는데, 10을 곱하고 나누는 것은 소수점을 좌우로 한 자리씩 옮겨서 하는 것입니다. 따라서 다음을 수행해야 합니다. 요소에서 쉼표를 올바른 한 위치로 이동하면 23이 되고 결과 정수를 곱해야 합니다.

본 상품은 실제 상품보다 10배 더 큰 사이즈입니다. 따라서 10배로 줄여야 하며, 이를 위해 쉼표를 왼쪽으로 한 자리 이동합니다. 따라서 우리는 얻는다

28 2,3 = 64,4.

확인을 위해 분모와 함께 소수를 쓰고 일반 분수의 곱셈 규칙에 따라 작업을 수행할 수 있습니다.

2) 12,27 0,021.

이 예와 이전 예의 차이점은 여기서 두 요소가 모두 소수로 표시된다는 것입니다. 그러나 여기에서는 곱셈 과정에서 쉼표에주의를 기울이지 않을 것입니다. 즉, 피승수를 일시적으로 100 배로 늘리고 승수를 1,000 배로 늘려 곱을 100,000 배로 늘립니다. 따라서 1,227에 21을 곱하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

1 227 21 = 25 767.

결과 제품이 실제 제품보다 100,000배 더 크다는 점을 고려하면 이제 여기에 쉼표를 적절하게 배치하여 100,000배로 줄여야 합니다. 그러면 다음을 얻습니다.

32,27 0,021 = 0,25767.

확인해 봅시다:

따라서 두 개의 소수를 곱하려면 쉼표에주의를 기울이지 않고 정수로 곱하고 제품에서 피승수와 오른쪽에 쉼표로 소수 자릿수를 구분하는 것으로 충분합니다. 함께 승수.

마지막 예에서는 소수점 이하 5자리의 제품이 생성되었습니다. 그렇게 큰 정밀도가 필요하지 않으면 반올림이 수행됩니다. 소수. 반올림할 때 정수에 표시된 것과 동일한 규칙을 사용해야 합니다.

§ 110. 테이블을 사용한 곱셈.

소수의 곱셈은 때때로 표를 사용하여 수행할 수 있습니다. 이를 위해 예를 들어 다음 구구단을 사용할 수 있습니다. 두 자리 숫자, 이에 대한 설명은 이전에 제공되었습니다.

1) 53에 1.5를 곱합니다.

우리는 53에 15를 곱할 것입니다. 표에서 이 곱은 795입니다. 우리는 곱 53을 15로 찾았지만 두 번째 요소는 10배 더 작았습니다. 즉, 곱은 10배로 줄여야 함을 의미합니다.

53 1,5 = 79,5.

2) 5.3에 4.7을 곱합니다.

먼저, 표에서 53 x 47의 곱은 2,491이 됩니다. 그러나 피승수와 승수를 총 100배 늘렸기 때문에 결과 곱은 원래보다 100배 더 큽니다. 따라서 우리는 이 제품을 100배로 줄여야 합니다.

5,3 4,7 = 24,91.

3) 0.53에 7.4를 곱합니다.

먼저 표에서 53 x 74 제품을 찾습니다. 그러나 피승수를 100배, 승수를 10배로 늘렸기 때문에 곱은 1,000배 증가했습니다. 이제 이를 1,000배 줄여야 합니다.

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. 소수의 나눗셈.

다음 순서로 소수를 나누는 방법을 살펴보겠습니다.

1. 소수를 다음으로 나누기 정수,

1. 소수를 정수로 나눕니다.

1) 2.46을 2로 나눕니다.

우리는 처음에는 2개의 정수로 나눈 다음에는 10분의 1, 마지막으로 100분의 1로 나누었습니다.

2) 32.46을 3으로 나눕니다.

32,46: 3 = 10,82.

우리는 3을 10으로 3으로 나눈 다음 2를 3으로 나누기 시작했습니다. 배당 단위 수는 (2)이므로 제수보다 작음(3) 그러면 몫에 0을 넣어야 했습니다. 또한 나머지는 10분의 4를 취하고 10분의 24를 3으로 나눴습니다. 몫에서 8/10을 받고 마침내 6/100을 나누었습니다.

3) 1.2345를 5로 나눕니다.

1,2345: 5 = 0,2469.

여기서 몫에서 첫 번째 자리는 0개의 정수입니다. 왜냐하면 하나의 정수는 5로 나누어지지 않기 때문입니다.

4) 13.58을 4로 나눕니다.

이 예의 특이한 점은 몫에서 9/100을 받았을 때 나머지가 2/100에 해당하는 것을 발견하고 이 나머지를 1000분의 1로 나누고 20/1000을 얻고 나누기를 완료했다는 것입니다.

규칙.소수를 정수로 나누는 것은 정수를 나누는 것과 같은 방식으로 수행되며 결과 나머지는 점점 더 작은 소수 분수로 변환됩니다. 나눗셈은 나머지가 0이 될 때까지 계속됩니다.

2. 소수를 소수로 나눕니다.

1) 2.46을 0.2로 나눕니다.

우리는 이미 소수를 정수로 나누는 방법을 알고 있습니다. 이 새로운 분할 사례도 이전 분할 사례로 축소될 수 있는지 생각해 봅시다. 한때 우리는 피제수와 제수가 동시에 같은 횟수만큼 증가하거나 감소해도 변하지 않는다는 사실로 구성된 몫의 놀라운 특성을 고려했습니다. 제수가 정수라면 주어진 숫자를 쉽게 나눌 수 있습니다. 이렇게 하려면 10배로 늘리면 충분하고, 올바른 몫을 얻으려면 배당금을 같은 금액, 즉 10배로 늘려야 합니다. 그런 다음 이 숫자의 나눗셈은 다음 숫자의 나눗셈으로 대체됩니다.

또한 더 이상 세부 사항을 수정할 필요가 없습니다.

이렇게 나누어 봅시다:

따라서 2.46: 0.2 = 12.3입니다.

2) 1.25를 1.6으로 나눕니다.

제수(1.6)를 10배 늘립니다. 몫이 변하지 않도록 배당금을 10배 늘립니다. 12개의 정수는 16으로 나눌 수 없으므로 몫 0에 쓰고 125를 16으로 나누면 몫에서 7이 되고 나머지는 13이 됩니다. 0을 할당하여 10분의 13을 100분의 130으로 나누고 130을 16으로 나눕니다. , 등 다음 사항에 유의하시기 바랍니다.

a) 특정 정수가 없으면 그 자리에 0개의 정수가 기록됩니다.

b) 나머지에 피제수 숫자를 더한 후 제수로 나눌 수 없는 숫자를 얻으면 몫에 0이 기록됩니다.

c) 피제수의 마지막 숫자를 제거한 후에도 나누기가 끝나지 않으면 나머지에 0을 추가하여 나누기가 계속됩니다.

d) 배당금이 정수인 경우 소수점 이하 자릿수로 나눌 때 0을 추가하여 증가합니다.

따라서 숫자를 소수로 나누려면 제수에 있는 쉼표를 버리고, 그 안에 있는 쉼표를 버릴 때 제수가 증가한 만큼 배당을 늘린 다음 규칙에 따라 나누기를 수행해야 합니다. 소수를 정수로 나누기 위한 것입니다.

§ 112. 대략적인 몫.

이전 단락에서 우리는 소수의 나눗셈을 살펴보았는데, 우리가 풀었던 모든 예에서 나눗셈이 완료되었습니다. 즉, 정확한 몫이 얻어졌습니다. 그러나 대부분의 경우 나눗셈을 아무리 계속해도 정확한 몫을 얻을 수 없습니다. 다음은 그러한 경우 중 하나입니다. 53을 101로 나눕니다.

우리는 이미 몫에서 다섯 자리 숫자를 받았지만 나눗셈은 아직 끝나지 않았고 끝날 희망도 없습니다. 나머지 부분에서는 이전에 이미 접했던 숫자를 갖기 시작하기 때문입니다. 몫에서는 숫자도 반복됩니다. 숫자 7 뒤에 숫자 5가 나타나고 그 다음에는 2 등이 끝없이 나타날 것임이 분명합니다. 이러한 경우 나눗셈은 중단되고 몫의 처음 몇 자리 숫자로 제한됩니다. 이 몫은 가까운 것.나눗셈을 수행하는 방법을 예제와 함께 보여 드리겠습니다.

25를 3으로 나누어야 한다고 가정해 보겠습니다. 분명히 그러한 나눗셈에서는 정수나 소수로 표현되는 정확한 몫을 얻을 수 없습니다. 따라서 우리는 대략적인 몫을 찾을 것입니다.

25: 3 = 8이고 나머지 1

대략적인 몫은 8입니다. 물론 나머지 1이 있기 때문에 정확한 몫보다 작습니다. 정확한 몫을 얻으려면 나머지를 1과 3으로 나누어 얻은 분수를 찾은 대략적인 몫에 더해야 합니다. 즉, , 8까지; 이것은 분수 1/3이 될 것입니다. 즉, 정확한 몫은 대분수 8 1/3으로 표현됩니다. 1/3은 다음을 의미하므로 정확한 분수, 즉 분수, 1개 미만, 그런 다음 삭제하면 허용됩니다. 오류, 어느 1개 미만 . 몫 8은 다음과 같습니다. 단점이 있는 1까지의 대략적인 몫.몫에 8 대신 9를 취하면 전체 단위가 아닌 2/3을 더하므로 1보다 작은 오류도 허용됩니다. 그러한 개인적인 의지 초과분에 대한 대략적인 몫.

이제 또 다른 예를 들어보겠습니다. 27을 8로 나누어야 한다고 가정해 보겠습니다. 여기서는 정수로 표현된 정확한 몫을 얻을 수 없으므로 대략적인 몫을 찾습니다.

27: 8 = 3이고 나머지는 3입니다.

여기서 오류는 3/8과 같고 1보다 작습니다. 이는 대략적인 몫(3)이 단점이 있는 것으로 정확하게 발견되었음을 의미합니다. 나눗셈을 계속해 봅시다. 나머지 3을 10분의 1로 나누면 10분의 30이 됩니다. 8로 나눕니다.

우리는 몫에 10분의 1 대신 3을, 나머지에는 6을 얻었습니다. 3.3이라는 수로 제한하고 나머지 6개를 버린다면, 10분의 1 미만의 오류를 허용하게 될 것입니다. 왜? 왜냐하면 6을 8로 나눈 결과를 3.3에 더하면 정확한 몫을 얻을 수 있기 때문입니다. 이 나눗셈은 6/80을 산출하며 이는 10분의 1 미만입니다. (확인!) 따라서 몫에서 우리 자신을 10분의 1로 제한하면 몫을 찾았다고 말할 수 있습니다. 10분의 1까지 정확하다(단점이 있음).

또 다른 소수점 자리를 찾기 위해 나눗셈을 계속해 봅시다. 이를 위해 우리는 6/10을 1/100로 나누고 60/100을 얻습니다. 8로 나눕니다.

세 번째 몫은 7이고 나머지는 4/100으로 밝혀졌습니다. 만약 우리가 그것들을 버린다면, 우리는 100분의 1 미만의 오류를 허용할 것입니다. 왜냐하면 4/100을 8로 나눈 값은 100분의 1보다 작기 때문입니다. 그런 경우에는 몫이 발견되었다고 말합니다. 100분의 1까지 정확하다(단점이 있음).

지금 보고 있는 예에서는 소수로 표현된 정확한 몫을 얻을 수 있습니다. 이렇게 하려면 마지막 남은 4/100을 천분의 일로 나누고 8로 나누면 충분합니다.

그러나 대부분의 경우 정확한 몫을 얻는 것은 불가능하며 대략적인 값으로 제한해야 합니다. 이제 다음 예를 살펴보겠습니다.

40: 7 = 5,71428571...

숫자 끝에 있는 점은 나눗셈이 완료되지 않았음을 나타냅니다. 즉, 동등함은 근사치입니다. 일반적으로 대략적인 평등은 다음과 같이 작성됩니다.

40: 7 = 5,71428571.

우리는 소수점 이하 8자리의 몫을 취했습니다. 그러나 그렇게 큰 정확성이 요구되지 않는 경우에는 몫의 전체 부분, 즉 숫자 5(보다 정확하게는 6)로만 제한할 수 있습니다. 정확성을 높이기 위해 10분의 1을 고려하고 5.7과 같은 몫을 취할 수 있습니다. 어떤 이유로 이 정확도가 불충분하다면 백분의 일에서 멈추고 5.71 등을 취할 수 있습니다. 개별 몫을 적어서 이름을 지정해 보겠습니다.

첫 번째 대략적인 몫은 1 6으로 정확합니다.

둘째 » » » 10분의 1까지 5.7.

셋째 » » » 1/100 5.71.

넷째 » » » 1/1000 5.714.

따라서 예를 들어 소수점 세 번째 자리(즉, 최대 1000분의 1)에 정확한 대략적인 몫을 찾으려면 이 기호가 발견되자마자 나누기를 중지하세요. 이 경우 § 40에 명시된 규칙을 기억해야 합니다.

§ 113. 백분율과 관련된 가장 간단한 문제.

소수에 대해 배운 후 몇 가지 퍼센트 문제를 더 풀어보겠습니다.

이러한 문제는 분수 부서에서 해결한 문제와 유사합니다. 그러나 이제 우리는 명시적으로 지정된 분모 없이 십진 분수의 형태로 100분의 1을 쓸 것입니다.

우선, 일반 분수에서 분모가 100인 소수로 쉽게 이동할 수 있어야 합니다. 이렇게 하려면 분자를 분모로 나누어야 합니다.

아래 표는 %(백분율) 기호가 있는 숫자가 분모가 100인 소수로 대체되는 방식을 보여줍니다.

이제 몇 가지 문제를 고려해 보겠습니다.

1. 주어진 숫자의 백분율을 구합니다.

작업 1.한 마을에는 1,600명만이 살고 있습니다. 학령기 아동의 수는 25%입니다. 총 수주민. 이 마을에는 학령기 아동이 몇 명 있습니까?

이 문제에서는 1,600의 25%, 즉 0.25를 구해야 합니다. 문제는 다음을 곱하여 해결됩니다.

1,600 0.25 = 400(어린이).

따라서 1,600의 25%는 400입니다.

이 작업을 명확하게 이해하려면 인구 100명당 학령기 아동이 25명이라는 사실을 기억하는 것이 유용합니다. 따라서 전체 학령기 아동의 수를 구하려면 먼저 1,600(16)이라는 숫자에 백이 몇인지 알아낸 다음, 25에 백의 수를 곱하면 됩니다(25 x 16 = 400). 이렇게 하면 솔루션의 유효성을 확인할 수 있습니다.

작업 2.저축은행은 예금자에게 연 2%의 수익률을 제공합니다. 예금자가 금전등록기에 넣으면 1년에 얼마의 수입을 얻게 됩니까? a) 200루블? b) 500루블? c) 750 루블? d) 1000 문지름.?

네 가지 경우 모두 문제를 해결하려면 표시된 금액의 0.02를 계산해야 합니다. 즉, 이 숫자 각각에 0.02를 곱해야 합니다. 이렇게 해보자:

a) 200 0.02 = 4 (문지름),

b) 500 0.02 = 10 (문지름),

c) 750 0.02 = 15 (문지름),

d) 1,000 0.02 = 20 (문지름).

이러한 각 경우는 다음 고려 사항을 통해 확인할 수 있습니다. 저축은행은 예금자에게 2%의 소득, 즉 저축액의 0.02를 제공합니다. 금액이 100루블이면 그 중 0.02는 2루블이 됩니다. 이는 100개마다 투자자에게 2루블을 가져온다는 것을 의미합니다. 소득. 따라서 고려되는 각 경우에서 주어진 숫자에 몇 백이 있는지 파악하고 2 루블에이 수백을 곱하는 것으로 충분합니다. 예 a)에는 200이 있습니다. 즉,

2 2 = 4 (문지름).

예 d)에는 1000이 있습니다. 이는 다음을 의미합니다.

2 10 = 20 (문지름).

2. 백분율로 숫자 찾기.

작업 1.이 학교는 봄에 전체 등록자의 6%에 해당하는 54명의 학생을 졸업했습니다. 작년에 그 학교에는 몇 명의 학생이 있었나요? 학년?

먼저 이 작업의 의미를 명확히 해보겠습니다. 이 학교는 전체 학생 수의 6%, 즉 전체 학생의 6/100(0.06)에 해당하는 54명의 학생을 졸업했습니다. 이는 우리가 숫자(54)와 분수(0.06)로 표현된 학생의 일부를 알고 있으며, 이 분수에서 전체 숫자를 찾아야 함을 의미합니다. 따라서 우리 앞에는 분수에서 숫자를 찾는 일반적인 작업이 있습니다(§90, 단락 6). 이 유형의 문제는 분할로 해결됩니다.

즉, 이 학교의 학생 수는 900명에 불과했습니다.

역 문제를 해결하여 이러한 문제를 확인하는 것이 유용합니다. 즉, 문제를 해결한 후에는 적어도 머리 속에서 첫 번째 유형의 문제(주어진 숫자의 백분율 찾기)를 해결해야 합니다. 찾은 숫자( 900)을 주어진 대로 풀고 문제에서 표시된 비율을 구합니다. 즉:

900 0,06 = 54.

작업 2.가족은 한 달 동안 식비로 780루블을 지출하는데, 이는 아버지 월 수입의 65%에 해당합니다. 그의 월 소득을 결정하십시오.

이 작업은 이전 작업과 동일한 의미를 갖습니다. 이는 월 수입의 일부를 루블(780 루블)로 표시하며 이 부분이 총 수입의 65% 또는 0.65임을 나타냅니다. 그리고 당신이 찾고 있는 것은 모든 수입입니다:

780: 0,65 = 1 200.

따라서 필요한 수입은 1200 루블입니다.

3. 숫자의 백분율 찾기.

작업 1.학교 도서관에는 단 6,000권의 책이 있습니다. 그 중에는 수학에 관한 책이 1,200권 있습니다. 도서관에 있는 전체 도서 수에서 수학 도서가 차지하는 비율은 몇 퍼센트입니까?

우리는 이미 이런 종류의 문제를 고려했으며(§97) 두 숫자의 백분율을 계산하려면 이 숫자의 비율을 찾아 100을 곱해야 한다는 결론에 도달했습니다.

우리 문제에서는 숫자 1,200과 6,000의 백분율을 찾아야 합니다.

먼저 비율을 구한 다음 100을 곱해 보겠습니다.

따라서 1,200과 6,000이라는 숫자의 비율은 20이다. 즉, 전체 책의 20%가 수학책이라는 뜻이다.

확인하려면 역 문제를 풀어보겠습니다. 6,000의 20%를 찾으세요.

6 000 0,2 = 1 200.

작업 2.발전소에는 200톤의 석탄이 공급되어야 합니다. 이미 80톤이 인도되었습니다. 석탄의 몇 퍼센트가 공장에 인도되었습니까?

이 문제는 한 숫자(80)가 다른 숫자(200)에 대해 몇 퍼센트인지 묻는 문제입니다. 이 숫자의 비율은 80/200입니다. 100을 곱해 봅시다:

이는 석탄의 40%가 인도되었음을 의미한다.

이번 글에서는 나눗셈과 같은 소수를 사용하는 중요한 연산을 살펴보겠습니다. 먼저 공식화하자 일반 원칙, 그런 다음 소수 분수를 다른 분수와 자연수로 열로 올바르게 나누는 방법을 살펴 보겠습니다. 다음으로 일반 분수를 소수로 나누는 방법과 그 반대로 나누는 방법을 분석하고 마지막에는 0, 1, 0, 01, 100, 10 등으로 끝나는 분수를 올바르게 나누는 방법을 살펴보겠습니다.

여기서는 양의 분수가 있는 경우만 살펴보겠습니다. 분수 앞에 마이너스가 있는 경우 이를 사용하려면 유리수와 실수를 나누는 방법에 대한 자료를 연구해야 합니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

유한 분수와 주기 분수를 포함한 모든 소수 분수는 일반 분수를 작성하는 특별한 형태일 뿐입니다. 따라서 해당 일반 분수와 동일한 원리가 적용됩니다. 따라서 소수를 나누는 전체 과정을 일반 분수로 대체하고 이미 알려진 방법을 사용하여 계산합니다. 구체적인 예를 들어 보겠습니다.

실시예 1

1.2를 0.48로 나눕니다.

해결책

소수 분수를 일반 분수로 써 봅시다. 우리는 다음을 얻을 것입니다:

1 , 2 = 12 10 = 6 5

0 , 48 = 48 100 = 12 25 .

따라서 6 5 를 12 25 로 나누어야 합니다. 우리는 다음을 계산합니다:

1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2

결과에서 가분수당신은 전체 부분을 선택하고 얻을 수 있습니다 대분수 2 1 2 또는 원래 숫자인 5 2 = 2, 5에 해당하도록 소수로 나타낼 수 있습니다. 이 작업을 수행하는 방법에 대해서는 이미 이전에 작성했습니다.

답변: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .

실시예 2

0 , (504) 0 , 56 이 얼마나 될지 계산해 보세요.

해결책

먼저, 주기 소수를 공통 분수로 변환해야 합니다.

0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111

그런 다음 마지막 소수를 다른 형식인 0, 56 = 56,100으로 변환합니다. 이제 필요한 계산을 쉽게 수행할 수 있는 두 개의 숫자가 있습니다.

0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111

십진수 형태로 변환할 수도 있다는 결과가 나왔습니다. 이렇게 하려면 열 방법을 사용하여 분자를 분모로 나눕니다.

답변: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .

나누기 예에서 비주기적인 소수를 발견하면 조금 다르게 행동할 것입니다. 우리는 이를 일반적인 일반 분수로 줄일 수 없으므로 나눌 때 먼저 특정 숫자로 반올림해야 합니다. 이 작업은 피제수와 제수를 모두 사용하여 수행해야 합니다. 또한 정확성을 위해 기존 유한 또는 주기 분수를 반올림합니다.

실시예 3

0.779... / 1.5602가 얼마인지 찾아보세요.

해결책

먼저 두 분수를 가장 가까운 소수점 이하 자릿수로 반올림합니다. 이것이 무한 비주기 분수에서 유한 소수 분수로 이동하는 방법입니다.

0 , 779 … ≈ 0 , 78

1 , 5602 ≈ 1 , 56

계산을 계속하여 대략적인 결과를 얻을 수 있습니다. 0, 779 ...: 1, 5602 ≒ 0, 78: 1, 56 = 78,100: 156,100 = 78,100 100,156 = 78,156 = 1 2 = 0, 5.

결과의 정확성은 반올림 정도에 따라 달라집니다.

답변: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .

자연수를 소수로 나누거나 그 반대로 나누는 방법

이 경우 나눗셈에 대한 접근 방식은 거의 동일합니다. 유한 및 주기 분수를 일반 분수로 대체하고 무한 비주기 분수를 반올림합니다. 자연수와 소수로 나누는 예부터 시작해 보겠습니다.

실시예 4

2.5를 45로 나눕니다.

해결책

2, 5를 일반 분수의 형태로 줄여보겠습니다: 255 10 = 51 2. 다음으로 나누면 됩니다. 자연수. 우리는 이미 이를 수행하는 방법을 알고 있습니다.

25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30

결과를 십진법으로 변환하면 0.5(6)이 됩니다.

답변: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .

장제법은 자연수에만 좋은 것이 아닙니다. 비유하자면 분수에 사용할 수 있습니다. 아래에는 이를 위해 수행해야 하는 일련의 작업이 나와 있습니다.

정의 1

소수 분수 열을 자연수로 나누려면 다음이 필요합니다.

1. 오른쪽의 소수 부분에 0 몇 개를 추가합니다(나눗셈을 위해 필요한 만큼의 숫자를 추가할 수 있습니다).

2. 알고리즘을 사용하여 소수를 자연수로 나눕니다. 분수 전체 부분의 나눗셈이 끝나면 결과 몫에 쉼표를 넣고 더 세어 봅니다.

이러한 나눗셈의 결과는 유한 또는 무한 주기 소수가 될 수 있습니다. 나머지에 따라 다릅니다. 0이면 결과는 유한하고 나머지가 반복되기 시작하면 대답은 주기 분수가 됩니다.

몇 가지 문제를 예로 들어 특정 숫자로 이러한 단계를 수행해 보겠습니다.

실시예 5

65, 14 4가 얼마나 될지 계산해 보세요.

해결책

우리는 컬럼 방식을 사용합니다. 이렇게하려면 분수에 두 개의 0을 추가하고 소수 분수 65, 1400을 얻으십시오. 이는 원래 분수와 같습니다. 이제 4로 나누는 열을 작성합니다.

결과 숫자는 정수 부분을 나누어 필요한 결과가 됩니다. 쉼표를 넣어 구분하고 계속합니다.

나머지가 0에 도달했으므로 나누기 프로세스가 완료되었습니다.

답변: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .

실시예 6

164.5를 27로 나눕니다.

해결책

먼저 분수 부분을 나누고 다음을 얻습니다.

결과 숫자를 쉼표로 구분하고 계속해서 나눕니다.

나머지 부분이 주기적으로 반복되기 시작했고 몫에서 숫자 9, 2, 5가 번갈아 시작되었음을 알 수 있습니다. 여기서 멈추고 주기분수 6, 0(925)의 형태로 답을 쓰겠습니다.

답변: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .

이 나눗셈은 이미 위에서 설명한 소수와 자연수의 몫을 찾는 과정으로 축소될 수 있습니다. 이렇게 하려면 피제수와 제수에 10, 100 등을 곱하여 제수가 자연수로 바뀌도록 해야 합니다. 다음으로 위에서 설명한 일련의 작업을 수행합니다. 이 접근 방식은 나눗셈과 곱셈의 속성으로 인해 가능합니다. 우리는 이를 다음과 같이 기록했습니다.

a: b = (a · 10) : (b · 10) , a: b = (a · 100) : (b · 100) 등등.

규칙을 만들어 봅시다:

정의 2

하나의 마지막 소수 부분을 다른 분수로 나누려면:

1. 피제수와 제수의 쉼표를 제수를 자연수로 바꾸는 데 필요한 자릿수만큼 오른쪽으로 이동합니다. 배당금에 부호가 충분하지 않으면 오른쪽에 0을 추가합니다.

2. 그런 다음 분수를 결과 자연수로 열로 나눕니다.

구체적인 문제를 살펴보겠습니다.

실시예 7

7.287을 2.1로 나눕니다.

해결 방법: 제수를 자연수로 만들려면 소수점 이하 자릿수를 한 자리 오른쪽으로 이동해야 합니다. 그래서 우리는 소수 72, 87을 21로 나누는 작업을 진행했습니다. 결과 숫자를 열에 쓰고 계산해 봅시다

답변: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47

실시예 8

16.30.021을 계산하세요.

해결책

쉼표를 세 자리 옮겨야 합니다. 제수에는 이를 위한 자릿수가 충분하지 않습니다. 즉, 다음을 사용해야 합니다. 추가 0. 우리는 결과가 다음과 같을 것이라고 생각합니다:

우리는 잔기 4, 19, 1, 10, 16, 13의 주기적 반복을 봅니다. 몫에는 1, 9, 0, 4, 7, 5가 반복됩니다. 그러면 우리의 결과는 주기적인 소수 분수 776(190476)입니다.

답변: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476) ​​​​​​

우리가 설명한 방법을 사용하면 반대 작업, 즉 자연수를 마지막 소수 부분으로 나눌 수 있습니다. 그것이 어떻게 완료되었는지 봅시다.

실시예 9

3 5, 4가 얼마인지 계산해 보세요.

해결책

당연히 쉼표를 올바른 한 곳으로 옮겨야 할 것입니다. 그런 다음 30, 0을 54로 나눌 수 있습니다. 열에 데이터를 쓰고 결과를 계산해 보겠습니다.

나머지를 반복하면 주기적인 소수인 최종 숫자 0, (5)가 나옵니다.

답변: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .

소수를 1000, 100, 10 등으로 나누는 방법

이미 연구한 일반 분수 나누기 규칙에 따르면, 분수를 수십, 수백, 수천으로 나누는 것은 분수에 1/1000, 1/100, 1/10 등을 곱하는 것과 유사합니다. 이 경우에는 소수점만 옮기면 충분합니다. 필요한 수량숫자 전송할 숫자에 값이 충분하지 않은 경우 필요한 수의 0을 추가해야 합니다.

실시예 10

즉, 56, 21:10 = 5,621이고, 0, 32:100,000 = 0,0000032입니다.

무한 소수 분수의 경우에도 동일한 작업을 수행합니다.

실시예 11

예를 들어 3, (56): 1,000 = 0, 003 (56) 및 593, 374...: 100 = 5, 93374....

소수를 0.001, 0.01, 0.1 등으로 나누는 방법

동일한 규칙을 사용하여 분수를 표시된 값으로 나눌 수도 있습니다. 이 작업은 각각 1000, 100, 10을 곱하는 것과 유사합니다. 이를 위해 문제의 조건에 따라 쉼표를 한 자리, 두 자리 또는 세 자리로 이동하고 숫자에 자리가 충분하지 않으면 0을 추가합니다.

실시예 12

예를 들어 5.739: 0.1 = 57.39 및 0.21: 0.00001 = 21,000입니다.

이 규칙은 무한 소수에도 적용됩니다. 답에 나타나는 분수의 마침표에만 주의하는 것이 좋습니다.

따라서 7 , 5 (716) : 0 , 01 = 757 , (167) 입니다. 소수점 7 , 5716716716 ...을 오른쪽으로 두 자리 이동한 후 757 , 167167 ... 을 얻었기 때문입니다.

예에 비주기적인 분수가 있으면 모든 것이 더 간단합니다. 394, 38283...: 0, 001 = 394382, 83...

대분수나 분수를 소수로 나누거나 그 반대로 나누는 방법

또한 이 작업을 일반 분수를 사용한 작업으로 축소합니다. 이렇게 하려면 교체해야 합니다. 십진수대응하는 일반 분수를 사용하고, 대분수를 가분수로 씁니다.

비주기적인 분수를 일반수나 대분수로 나누는 경우에는 그 반대로 해야 합니다. 공통 분수또는 해당 소수점 이하의 대분수입니다.

텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.

몫(나누기의 결과)의 첫 번째 숫자를 찾습니다.이렇게 하려면 배당금의 첫 번째 숫자를 제수로 나눕니다. 제수 아래에 결과를 쓰세요.

• 이 예에서 피제수의 첫 번째 숫자는 3입니다. 3을 12로 나눕니다. 3이 12보다 작으므로 나눗셈 결과는 0이 됩니다. 제수 아래에 0을 쓰십시오. 이것이 몫의 첫 번째 숫자입니다.

이러한 관점에서 소수를 나누는 예를 살펴보겠습니다.

예.

소수 1.2를 소수 0.48로 나눕니다.

해결책.

답변:

1,2:0,48=2,5 .

예.

주기 소수점 분수 0.(504)을 소수점 분수 0.56으로 나눕니다.

해결책.

주기적인 소수를 일반 분수로 변환해 보겠습니다. 또한 최종 소수 분수 0.56을 일반 분수로 변환하면 0.56 = 56/100이 됩니다. 이제 원래 소수 분수 나누기에서 일반 분수 나누기로 이동하고 계산을 마칠 수 있습니다.

열을 사용하여 분자를 분모로 나누어 결과 일반 분수를 소수로 변환해 보겠습니다.

답변:

0,(504):0,56=0,(900) .

무한 비주기 소수 분수를 나누는 원리비주기 소수 분수는 일반 분수로 변환할 수 없기 때문에 유한 소수 분수와 주기 소수 분수를 나누는 원리와 다릅니다. 무한 비주기 소수 분수의 나눗셈은 유한 소수 분수의 나눗셈으로 축소됩니다. 반올림 숫자특정 수준까지. 또한 나눗셈이 수행되는 숫자 중 하나가 유한 또는 주기 소수인 경우 비주기 소수와 동일한 숫자로 반올림됩니다.

예.

무한 비주기 소수점 0.779...을 유한 소수점 1.5602로 나눕니다.

해결책.

먼저 무한한 비주기 소수의 나눗셈에서 유한 소수의 나눗셈으로 이동할 수 있도록 소수를 반올림해야 합니다. 0.779… ≒0.78 및 1.5602≒1.56으로 반올림할 수 있습니다. 따라서 0.779…:1.5602≒0.78:1.56= 78/100:156/100=78/100·100/156= 78/156=1/2=0,5 .

답변:

0,779…:1,5602≈0,5 .

자연수를 소수로 나누거나 그 반대로 나누기

자연수를 소수로 나누는 접근 방식과 소수를 자연수로 나누는 접근 방식의 본질은 소수 분수를 나누는 본질과 다르지 않습니다. 즉, 유한 분수와 주기 분수는 일반 분수로 대체되고, 무한 비주기 분수는 반올림됩니다.

설명하기 위해 소수를 자연수로 나누는 예를 고려하십시오.

예.

소수 25.5를 자연수 45로 나눕니다.

해결책.

소수 분수 25.5를 공통 분수 255/10=51/2로 바꾸면 나눗셈은 공통 분수를 자연수로 나누는 것으로 줄어듭니다. 십진수 표기법의 결과 분수는 0.5(6) 형식을 갖습니다.

답변:

25,5:45=0,5(6) .

열을 사용하여 소수를 자연수로 나누기

자연수 열로 나누는 것과 유사하게, 유한 소수를 열로 자연수로 나누는 것이 편리합니다. 나누기 법칙을 제시해보자.

에게 열을 사용하여 소수를 자연수로 나눕니다., 필요한:

• 나누는 소수점 오른쪽에 여러 자리 0을 추가합니다(나누기 과정에서 필요한 경우 원하는 수의 0을 추가할 수 있지만 이러한 0은 필요하지 않을 수 있음).
• 자연수 열로 나누는 모든 규칙에 따라 자연수로 소수 분수 열로 나누기를 수행하지만 소수 분수의 전체 부분 나누기가 완료되면 몫에 넣어야합니다 쉼표를 사용하고 나누기를 계속합니다.

유한 소수를 자연수로 나눈 결과, 유한 소수 또는 무한 주기 소수를 얻을 수 있다고 가정해 보겠습니다. 실제로, 나누는 분수의 0이 아닌 소수 자릿수 모두의 나누기가 완료된 후 나머지가 0이 되어 최종 소수를 얻거나 나머지가 주기적으로 반복되기 시작하여 다음을 얻게 됩니다. 주기적인 소수.

예제를 풀 때 열에서 소수를 자연수로 나누는 데 따른 모든 복잡성을 이해해 봅시다.

예.

소수 65.14를 4로 나눕니다.

해결책.

열을 이용하여 소수를 자연수로 나누어 보겠습니다. 분수 65.14 표기법의 오른쪽에 두 개의 0을 추가하면 동일한 소수 분수 65.1400을 얻게 됩니다(동일 소수 분수 및 동일 소수 분수 참조). 이제 소수 65.1400의 정수 부분을 열로 자연수 4로 나누는 작업을 시작할 수 있습니다.

이로써 소수 부분의 정수 부분 나누기가 완료됩니다. 여기 몫에 소수점을 넣고 나눗셈을 계속해야 합니다.

나머지가 0에 도달했습니다. 이 단계에서 열에 의한 나누기가 끝납니다. 결과적으로 65.14:4=16.285가 되었습니다.

답변:

65,14:4=16,285 .

예.

164.5를 27로 나눕니다.

해결책.

열을 이용하여 소수를 자연수로 나누어 보겠습니다. 전체 부분을 나눈 후 다음 그림을 얻습니다.

이제 몫에 쉼표를 넣고 계속해서 열로 나눕니다.

이제 잔기 25, 7 및 16이 반복되기 시작했고 몫에서는 숫자 9, 2 및 5가 반복되었음을 분명히 알 수 있습니다. 따라서 소수 164.5를 27로 나누면 주기소수 6.0(925)가 됩니다.

답변:

164,5:27=6,0(925) .

소수 분수의 열 나누기

소수를 소수로 나누는 것은 소수를 열이 있는 자연수로 나누는 것으로 축소될 수 있습니다. 그러기 위해서는 피제수와 제수에 10, 100, 1,000 등의 숫자를 곱하여 제수가 자연수가 되도록 한 후, 열로 자연수로 나누어야 합니다. a:b=(a·10):(b·10) , a:b=(a·100):(b·100) 등 나눗셈과 곱셈의 속성으로 인해 이를 수행할 수 있습니다.

다시 말해서, 후행 소수를 후행 소수로 나누기, 다음을 수행해야 합니다.

• 피제수와 제수에서 제수의 소수점 이하 자리만큼 오른쪽으로 쉼표를 이동합니다. 피제수에 쉼표를 이동할 자리가 충분하지 않으면 추가해야 합니다. 필요한 수량오른쪽은 0입니다.
• 그런 다음 소수 열을 자연수로 나눕니다.

예제를 풀 때 이 나누기 규칙을 소수 분수로 적용하는 것을 고려하십시오.

예.

열 7.287을 2.1로 나눕니다.

해결책.

이 소수 부분의 쉼표를 한 자리 오른쪽으로 이동해 보겠습니다. 이렇게 하면 소수 부분 7.287을 소수 부분 2.1로 나누는 것에서 소수 부분 72.87을 자연수 21로 나누는 것으로 이동할 수 있습니다. 열별로 나누어 보겠습니다.

답변:

7,287:2,1=3,47 .

예.

소수점 16.3을 소수점 0.021로 나눕니다.

해결책.

피제수와 제수에 있는 쉼표를 오른쪽 세 자리로 이동하세요. 분명히 제수에는 소수점을 이동할 수 있는 자릿수가 충분하지 않으므로 오른쪽에 필요한 수의 0을 추가하겠습니다. 이제 분수 16300.0의 열을 자연수 21로 나누어 보겠습니다.

이 순간부터 나머지 4, 19, 1, 10, 16, 13이 반복되기 시작합니다. 즉, 몫의 숫자 1, 9, 0, 4, 7, 6도 반복됩니다. 결과적으로 주기 소수점 분수 776,(190476) 을 얻습니다.

답변:

16,3:0,021=776,(190476) .

발표된 규칙을 사용하면 자연수를 열로 나누어 최종 소수 부분으로 나눌 수 있습니다.

예.

자연수 3을 소수 5.4로 나눕니다.

해결책.

소수점을 한 자리 오른쪽으로 이동하면 숫자 30.0을 54로 나눌 수 있습니다. 열별로 나누어 보겠습니다.
.

이 규칙은 무한 소수를 10, 100, ...으로 나눌 때도 적용될 수 있습니다. 예를 들어 3,(56):1,000=0.003(56) 및 593.374…:100=5.93374… 입니다.

소수를 0.1, 0.01, 0.001 등으로 나누기

0.1 = 1/10, 0.01 = 1/100 등이므로 공통 분수로 나누는 규칙에 따라 소수를 0.1, 0.01, 0.001 등으로 나눕니다. 이는 주어진 소수에 10, 100, 1,000 등을 곱하는 것과 같습니다. 각기.

즉, 소수점 이하를 0.1, 0.01,...로 나누려면 소수점을 1, 2, 3,... 자리만큼 오른쪽으로 옮겨야 하며, 소수점 이하의 자리수가 부족할 경우 소수점을 이동하려면 올바른 0에 필요한 숫자를 추가해야 합니다.

예를 들어 5.739:0.1=57.39 및 0.21:0.00001=21,000입니다.

무한소수 분수를 0.1, 0.01, 0.001 등으로 나눌 때도 동일한 규칙이 적용될 수 있습니다. 이 경우, 나눗셈의 결과로 얻어지는 분수의 주기와 실수하지 않도록 주기분수를 나눌 때 매우 주의해야 합니다. 예를 들어, 7.5(716):0.01=757,(167)은 소수점 이하 자릿수 7.5716716716... 오른쪽으로 두 자리 이동한 후 항목 757.167167....을 갖게 됩니다. 무한한 비주기 소수를 사용하면 모든 것이 더 간단해집니다. 394,38283…:0,001=394382,83… .

분수 또는 대분수를 소수로 나누기 또는 그 반대로 나누기

공통 분수 또는 대분수를 유한 또는 주기 소수 분수로 나누는 것뿐만 아니라 유한 소수 또는 주기 소수 분수를 공통 분수 또는 대분수로 나누는 것은 공통 분수를 나누는 것으로 귀결됩니다. 이를 위해 소수는 해당 일반 분수로 대체되고 대분수는 가분수로 표시됩니다.

무한 비주기 소수 분수를 공통 분수 또는 대분수로 나누거나 그 반대로 나눌 때, 공통 분수 또는 대분수를 해당 소수로 대체하여 소수 분수 나누기를 진행해야 합니다.

참고자료.

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• 대수학:교과서 8학년용. 일반 교육 기관 / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 편집자 S. A. Telyakovsky. - 16판. -M .: 교육, 2008. - 271 p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G.수학(전문학교 입학을 위한 매뉴얼): Proc. 수당.-M.; 더 높은 학교, 1984.-351 p., 아픈.

지난 수업에서 우리는 소수를 더하고 빼는 방법을 배웠습니다(“소수 더하기와 빼기” 강의 참조). 동시에 우리는 일반적인 "2층" 분수에 비해 계산이 얼마나 단순화되었는지 평가했습니다.

불행하게도 소수의 곱셈과 나눗셈에서는 이 효과가 발생하지 않습니다. 어떤 경우에는 10진수 표기법이 이러한 작업을 복잡하게 만들기도 합니다.

먼저, 새로운 정의를 소개하겠습니다. 우리는 이번 수업뿐만 아니라 그를 꽤 자주 보게 될 것입니다.

숫자의 유효 부분은 끝을 포함하여 0이 아닌 첫 번째 숫자와 마지막 숫자 사이의 모든 것입니다. 우리는 숫자에 대해서만 이야기하고 있으며 소수점은 고려되지 않습니다.

숫자의 유효 부분에 포함된 숫자를 유효 숫자라고 합니다. 반복될 수 있으며 심지어 0과 같을 수도 있습니다.

예를 들어, 여러 소수 부분을 고려하고 해당하는 중요한 부분을 적어보세요.

1. 91.25 → 9125(유효 숫자: 9, 1, 2, 5);
2. 0.008241 → 8241(유효 숫자: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075(유효 숫자: 1, 5, 0, 0, 7, 5)
4. 0.0304 → 304(유효 숫자: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (유효숫자하나만: 3).

참고: 숫자의 유효 부분 안의 0은 아무데도 가지 않습니다. 우리는 소수를 일반 분수로 변환하는 방법을 배웠을 때 이미 비슷한 것을 접했습니다(“소수” 레슨 참조).

이 점은 매우 중요하고 여기서 실수가 너무 자주 발생하므로 가까운 시일 내에 이 주제에 대한 테스트를 게시할 것입니다. 꼭 연습하세요! 그리고 중요한 부분의 개념으로 무장한 우리는 실제로 수업의 주제로 진행할 것입니다.

소수의 곱셈

곱셈 연산은 세 가지 연속 단계로 구성됩니다.

1. 각 분수에 대해 중요한 부분을 적어보세요. 분모와 소수점이 없는 두 개의 일반 정수를 얻게 됩니다.
2. 이 숫자에 임의의 값을 곱하세요. 편리한 방법으로. 숫자가 작거나 열에 있는 경우 직접. 우리는 원하는 분수의 상당 부분을 얻습니다.
3. 해당 유효 부분을 얻기 위해 원래 분수의 소수점이 이동된 위치와 자릿수를 알아보세요. 이전 단계에서 얻은 중요한 부분에 대해 역방향 이동을 수행합니다.

중요한 부분의 측면에 있는 0은 고려되지 않는다는 점을 다시 한 번 상기시켜 드리겠습니다. 이 규칙을 무시하면 오류가 발생합니다.

1. 0.28 12.5;
2. 6.3 · 1.08;
3. 132.5 · 0.0034;
4. 0.0108 1600.5;
5. 5.25 · 10,000.

우리는 첫 번째 표현인 0.28 · 12.5로 작업합니다.

1. 이 표현에서 숫자의 중요한 부분을 적어 봅시다: 28과 125;
2. 해당 제품: 28 · 125 = 3500;
3. 첫 번째 요소에서는 소수점이 오른쪽으로 2자리 이동되고(0.28 → 28), 두 번째 요소에서는 소수점이 1자리 더 이동됩니다. 전체적으로 왼쪽으로 세 자리 이동해야 합니다: 3500 → 3,500 = 3.5.

이제 6.3 · 1.08이라는 표현을 살펴보겠습니다.

1. 중요한 부분을 적어봅시다: 63과 108;
2. 해당 제품: 63 · 108 = 6804;
3. 다시 한 번 오른쪽으로 2개씩 이동합니다. 즉, 각각 2자리와 1자리씩 이동합니다. 합계 - 다시 오른쪽으로 3자리이므로 역방향 이동은 왼쪽으로 3자리가 됩니다: 6804 → 6.804. 이번에는 뒤에 오는 0이 없습니다.

우리는 세 번째 표현인 132.5 · 0.0034에 도달했습니다.

1. 중요한 부분: 1325 및 34;
2. 해당 제품: 1325 · 34 = 45,050;
3. 첫 번째 분수에서는 소수점이 오른쪽으로 1자리 이동하고 두 번째 분수에서는 4만큼 이동합니다. 총계: 오른쪽으로 5개입니다. 왼쪽으로 5만큼 이동합니다: 45,050 → .45050 = 0.4505. 끝에서 0을 제거하고 소수점이 "알몸"으로 남지 않도록 앞에 추가했습니다.

다음 표현식은 0.0108 · 1600.5입니다.

1. 중요한 부분은 108과 16 005입니다.
2. 우리는 그것들을 곱합니다: 108 · 16,005 = 1,728,540;
3. 소수점 이하의 숫자를 셉니다. 첫 번째 숫자에는 4가 있고 두 번째 숫자에는 1이 있습니다. 총계는 다시 5입니다. 결과는 다음과 같습니다: 1,728,540 → 17.28540 = 17.2854. 결국 "추가" 0이 제거되었습니다.

마지막으로, 마지막 표현: 5.25 · 10,000.

1. 중요한 부분: 525 및 1;
2. 우리는 그것들을 곱합니다: 525 · 1 = 525;
3. 첫 번째 분수는 오른쪽으로 2자리 이동하고, 두 번째 분수는 왼쪽으로 4자리 이동합니다(10,000 → 1.0000 = 1). 합계 4 − 2 = 왼쪽으로 2자리입니다. 오른쪽으로 2자리씩 역방향 이동을 수행합니다: 525, → 52,500(0을 추가해야 함).

마지막 예를 참고하세요. 소수점이 다음으로 이동되었기 때문입니다. 다른 방향, 총 이동은 차이를 통해 발견됩니다. 이것은 매우 중요한 점! 또 다른 예는 다음과 같습니다.

숫자 1.5와 12,500을 생각해 보세요. 1.5 → 15(오른쪽으로 1만큼 이동); 12,500 → 125(왼쪽으로 2 이동). 오른쪽으로 한 자리 이동한 다음 왼쪽으로 두 자리 이동합니다. 결과적으로 왼쪽으로 2 − 1 = 1 자리 이동했습니다.

소수 나눗셈

부문은 아마도 가장 복잡한 작업. 물론 여기서는 곱셈을 통해 유추할 수 있습니다. 중요한 부분을 나눈 다음 소수점을 "이동"합니다. 그러나 이 경우 잠재적인 절감 효과를 무효화하는 많은 미묘한 문제가 발생합니다.

따라서 조금 더 길지만 훨씬 더 안정적인 범용 알고리즘을 살펴보겠습니다.

1. 모든 소수를 일반 분수로 변환합니다. 조금만 연습하면 이 단계에 몇 초밖에 걸리지 않습니다.
2. 결과 분수를 나눕니다 고전적인 방식으로. 즉, 첫 번째 분수에 "역전된" 두 번째 분수를 곱합니다("수치 분수 곱하기 및 나누기" 레슨 참조).
3. 가능하다면 결과를 다시 소수점 이하 자릿수로 표시하세요. 분모가 이미 10의 거듭제곱인 경우가 많기 때문에 이 단계도 빠릅니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

첫 번째 표현을 살펴보겠습니다. 먼저 분수를 소수로 변환해 보겠습니다.

두 번째 표현에도 똑같이 해보겠습니다. 첫 번째 분수의 분자는 다시 인수분해됩니다.

세 번째와 네 번째 예에는 중요한 점이 있습니다. 소수 표기법을 없애면 약분수가 나타납니다. 그러나 우리는 이러한 축소를 수행하지 않을 것입니다.

마지막 예는 두 번째 분수의 분자에 소수가 포함되어 있다는 점에서 흥미롭습니다. 여기서는 단순히 인수분해할 것이 없으므로 곧바로 고려하겠습니다.

때로는 나누기가 정수가 되는 경우도 있습니다(마지막 예에 대해 이야기하고 있습니다). 이 경우 세 번째 단계는 전혀 수행되지 않습니다.

또한 나눌 때 소수로 변환할 수 없는 "못생긴" 분수가 종종 발생합니다. 이는 결과가 항상 소수 형식으로 표시되는 곱셈과 나눗셈을 구별합니다. 물론 이 경우 마지막 단계는 다시 수행되지 않습니다.

3번째와 4번째 예도 주목하세요. 그 안에서 우리는 소수에서 얻은 일반 분수를 의도적으로 줄이지 않습니다. 그렇지 않으면 최종 답을 십진수 형식으로 다시 나타내는 역 작업이 복잡해집니다.

기억하세요: 분수의 기본 속성(수학의 다른 규칙과 마찬가지로) 자체가 그것이 모든 기회에 언제 어디서나 적용되어야 한다는 것을 의미하지는 않습니다.