합리적인 예라고 불리는 숫자는 무엇입니까? 유리수의 정의

)은 양수 또는 음수 부호(정수 및 분수)와 0이 있는 숫자입니다. 유리수에 대한 보다 정확한 개념은 다음과 같습니다.

유리수- 공통 분수로 표현되는 숫자 m/n, 여기서 분자는 중는 정수이고, 분모는 N- 자연수, 예를 들어 2/3.

무한한 비주기 분수는 유리수 집합에 포함되지 않습니다.

a/b, 어디 에이∈ 지 (에이정수에 속함), 비∈ N (비자연수에 속함)

실생활에서 유리수를 사용하는 방법.

안에 실생활유리수 집합은 일부 정수로 나눌 수 있는 객체의 부분을 계산하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 먹기 전에 조각으로 자르는 케이크 또는 기타 음식, 또는 확장된 객체의 공간적 관계를 대략적으로 추정하기 위한 것입니다.

유리수의 속성.

유리수의 기본 속성.

1. 온화 에이그리고 비 3개의 관계 중 1개와 하나만 명확하게 식별할 수 있는 규칙이 있습니다.<», «>" 또는 "=". 이것이 규칙이다 - 주문 규칙다음과 같이 공식화하십시오.

양수 2개 a=m a /n a그리고 b=m·b /n·b 2개의 정수와 동일한 관계로 관련되어 있습니다. 나⋅ nb그리고 엠비⋅ 해당 없음;
2개의 음수 에이그리고 비 2개의 양수와 같은 비율로 관련되어 있습니다. |b|그리고 |아|;
언제 에이긍정적이고 비- 그럼 부정이네 a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. 덧셈 연산. 모든 유리수에 대해 에이그리고 비있다 합산 규칙, 이를 특정 유리수와 연관시킵니다. 기음. 게다가 숫자 자체도 기음- 이것 합집합숫자 에이그리고 비그리고 그것은 다음과 같이 표시됩니다 (a+b) 요약.

합산 규칙다음과 같습니다:

나/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ 해당 없음)/(해당 없음⋅ n b).

∀ a,b∈ 큐∃ !(a+b)∈ 큐

3. 곱셈 연산. 모든 유리수에 대해 에이그리고 비있다 곱셈 규칙, 이를 특정 유리수와 연관시킵니다. 기음. 숫자 c라고 불린다. 일하다숫자 에이그리고 비그리고 표시하다 (a⋅b), 이 번호를 찾는 과정을 이라고 합니다. 곱셈.

곱셈 규칙다음과 같습니다: 나 나 나⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. 순서 관계의 전이성.세 개의 유리수에 대해 에이, 비그리고 기음만약에 에이더 적은 비그리고 비더 적은 기음, 저것 에이더 적은 기음, 그리고 만약 에이같음 비그리고 비같음 기음, 저것 에이같음 기음.

∀ 알파벳∈ Q(a ∧ 비 ⇒ 에이 ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. 덧셈의 교환성. 유리항의 위치를 변경해도 합계는 변경되지 않습니다.

∀ a,b∈ 질문 a+b=b+a

6. 추가 연관성. 3개의 유리수를 더하는 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.

∀ 알파벳∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. 0의 존재. 유리수 0이 있으며 추가될 때 다른 모든 유리수를 유지합니다.

∃ 0 ∈ 큐∀ 에이∈ Qa+0=a

8. 반대 숫자의 존재. 모든 유리수는 반대 유리수를 가지며, 이를 더하면 결과는 0이 됩니다.

∀ 에이∈ 큐∃ (-a)∈ Qa+(−a)=0

9. 곱셈의 교환성. 합리적인 요소의 위치를 변경해도 제품이 변경되지는 않습니다.

∀ a,b∈ 질문⋅ b=b⋅ 에이

10. 곱셈의 연관성. 3개의 유리수를 곱하는 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.

∀ 알파벳∈ Q(a⋅ 비)⋅ c=a⋅ (비⋅ 기음)

11. 단위 가용성. 유리수 1이 있으며, 곱셈 과정에서 다른 모든 유리수를 보존합니다.

∃ 1 ∈ 큐∀ 에이∈ 질문⋅ 1=a

12. 유효성 역수 . 0이 아닌 모든 유리수는 역 유리수를 가지며 이를 곱하면 1이 됩니다. .

∀ 에이∈ 큐∃ a−1∈ 질문⋅ a−1=1

13. 덧셈에 대한 곱셈의 분포. 곱셈 연산은 분배법칙을 사용한 덧셈과 관련됩니다.

∀ 알파벳∈ 질문(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ 기음

14. 순서 관계와 덧셈 연산의 관계. 유리수 부등식의 왼쪽과 오른쪽에는 동일한 유리수가 추가됩니다.

∀ 알파벳∈ 질문 ⇒ a+c

15. 순서 관계와 곱셈 연산의 관계. 유리 부등식의 왼쪽과 오른쪽에는 음이 아닌 동일한 유리수를 곱할 수 있습니다.

∀ 알파벳∈ 큐씨>0∧ 에이 ⇒ 에이⋅ 기음 ⋅ 기음

16. 아르키메데스의 공리. 어떤 유리수라도 에이, 너무 많은 단위를 사용하여 그 합이 더 커질 수 있습니다. 에이.

유리수

병사

온화. 에이그리고 비세 가지 관계 중 하나만 고유하게 식별할 수 있는 규칙이 있습니다.< », « >" 또는 " = ". 이 규칙은 주문 규칙는 다음과 같이 공식화됩니다: 음수가 아닌 두 개의 숫자는 두 개의 정수와 동일한 관계로 관련됩니다. 양수가 아닌 두 개의 숫자 에이그리고 비음수가 아닌 두 개의 숫자와 동일한 관계로 관련되어 있으며 ; 만약 갑자기 에이음수는 아니지만 비- 그럼 부정이네 에이 > 비.
src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
분수 더하기추가 작업. 에이그리고 비임의의 유리수에 대해 합산 규칙 기음소위가있다. 기음. 게다가 숫자 자체도 ~라고 불리는숫자 에이그리고 비양 을 로 표시하고, 그러한 숫자를 찾는 과정을 이라고 한다.요약 . 합산 규칙에는: .
다음 보기추가 작업. 에이그리고 비임의의 유리수에 대해 곱셈 규칙곱셈 연산. 기음소위가있다. 기음. 게다가 숫자 자체도 일하다숫자 에이그리고 비, 이는 그들에게 유리수를 할당합니다. 을 로 표시하며, 그러한 숫자를 찾는 과정을 이라고도 한다.곱셈 .
순서 관계의 전이성.. 곱셈 규칙은 다음과 같습니다. 에이 , 비그리고 기음임의의 세 배의 유리수의 경우 에이만약에 비그리고 비만약에 기음더 적은 에이만약에 기음, 저것 에이, 그리고 만약 비그리고 비, 그리고 만약 기음더 적은 에이, 그리고 만약 기음같음
추가의 연관성.세 개의 유리수를 더하는 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.
0의 존재.더할 때 다른 모든 유리수를 유지하는 유리수 0이 있습니다.
반대 숫자의 존재.모든 유리수는 반대 유리수를 가지며, 이를 더하면 0이 됩니다.
곱셈의 교환성.합리적인 요소의 위치를 변경해도 제품이 변경되지는 않습니다.
곱셈의 연관성.세 개의 유리수를 곱하는 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.
단위의 가용성.곱할 때 다른 모든 유리수를 유지하는 유리수 1이 있습니다.
역수의 존재.모든 유리수는 역 유리수를 가지며, 이를 곱하면 1이 됩니다.
덧셈에 대한 곱셈의 분포.곱셈 연산은 분포 법칙을 통해 덧셈 연산과 조화됩니다.
덧셈 연산과 순서 관계의 연결.유리수 부등식의 왼쪽과 오른쪽에 동일한 유리수를 더할 수 있습니다.
/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">아르키메데스의 공리. 에이어떤 유리수라도 에이, 당신은 그 합이 초과하는 너무 많은 단위를 취할 수 있습니다

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0"> 추가 속성유리수에 내재된 다른 모든 속성은 기본 속성으로 구별되지 않습니다. 왜냐하면 일반적으로 더 이상 정수의 속성에 직접적으로 기반을 두지 않고 주어진 기본 속성을 기반으로 하거나 일부 수학적 개체의 정의를 통해 직접 증명할 수 있기 때문입니다. . 그런

추가 속성

너무 많아. 여기에는 그 중 몇 가지만 나열하는 것이 합리적입니다.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

집합의 가산성 유리수의 번호 매기기유리수의 수를 추정하려면 해당 집합의 카디널리티를 찾아야 합니다. 유리수 집합이 셀 수 있음을 증명하는 것은 쉽습니다. 이를 위해서는 숫자를 계산하는 알고리즘을 제공하는 것으로 충분합니다.

유리수 즉, 유리수와 자연수의 집합 사이에 전단사를 확립합니다.이러한 알고리즘 중 가장 간단한 것은 다음과 같습니다. 일반 분수의 끝없는 표가 각각 컴파일됩니다. 나-각각의 번째 줄 즉, 유리수와 자연수의 집합 사이에 전단사를 확립합니다.- 셀이 위치한 테이블 행의 번호 나- 열 번호.

결과 테이블은 다음 형식 알고리즘에 따라 "스네이크"를 사용하여 탐색됩니다.

이러한 규칙은 위에서 아래로 검색되며 첫 번째 일치 항목을 기준으로 다음 위치가 선택됩니다.

이러한 순회 과정에서 각각의 새로운 유리수는 다른 유리수와 연관됩니다. 자연수. 즉, 분수 1/1은 숫자 1에 할당되고, 분수 2/1은 숫자 2에 할당되는 식입니다. 기약 분수에만 번호가 지정된다는 점에 유의해야 합니다. 환원 불가능성의 형식적 표시는 분수의 분자와 분모의 최대 공약수가 1과 같다는 것입니다.

이 알고리즘에 따라 모든 양의 유리수를 열거할 수 있습니다. 이는 양의 유리수 집합이 셀 수 있음을 의미합니다. 단순히 각 유리수에 반대되는 숫자를 할당함으로써 양수와 음수 유리수 세트 사이의 전단사를 확립하는 것은 쉽습니다. 저것. 음의 유리수 집합도 셀 수 있습니다. 그들의 합집합은 또한 셀 수 있는 집합의 속성으로 셀 수 있습니다. 유리수 집합은 셀 수 있는 집합과 유한 집합의 합집합으로도 셀 수 있습니다.

유리수 집합의 가산 가능성에 대한 설명은 언뜻 보기에 자연수 집합보다 훨씬 더 광범위한 것처럼 보이기 때문에 약간의 혼란을 야기할 수 있습니다. 사실, 이것은 그렇지 않으며 모든 합리적인 숫자를 열거하기에 충분한 자연수가 있습니다.

유리수의 부족

이러한 삼각형의 빗변은 유리수로 표현될 수 없습니다.

1 / 형식의 유리수 N전체적으로 N임의로 소량을 측정할 수 있습니다. 이 사실은 유리수를 사용하여 기하학적 거리를 측정할 수 있다는 잘못된 인상을 줍니다. 이것이 사실이 아니라는 것을 보여주는 것은 쉽습니다.

메모

문학

I. Kushnir. 초등학생을 위한 수학 수첩. - 키예프: ASTARTA, 1998. - 520p.
추신. 알렉산드로프. 집합론과 일반 토폴로지를 소개합니다. -M.: 장. 에드. 물리학과 수학 문학. 에드. "과학", 1977
I. L. Khmelnitsky. 대수 시스템 이론 소개

모래밭

위키미디어 재단.

유리수

병사

온화. 에이그리고 비세 가지 관계 중 하나만 고유하게 식별할 수 있는 규칙이 있습니다.< », « >" 또는 " = ". 이 규칙은 주문 규칙는 다음과 같이 공식화됩니다: 음수가 아닌 두 개의 숫자는 두 개의 정수와 동일한 관계로 관련됩니다. 양수가 아닌 두 개의 숫자 에이그리고 비음수가 아닌 두 개의 숫자와 동일한 관계로 관련되어 있으며 ; 만약 갑자기 에이음수는 아니지만 비- 그럼 부정이네 에이 > 비.
src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
분수 더하기추가 작업. 에이그리고 비임의의 유리수에 대해 합산 규칙 기음소위가있다. 기음. 게다가 숫자 자체도 ~라고 불리는숫자 에이그리고 비양 을 로 표시하고, 그러한 숫자를 찾는 과정을 이라고 한다. 2010. .
다음 보기추가 작업. 에이그리고 비임의의 유리수에 대해 곱셈 규칙곱셈 연산. 기음소위가있다. 기음. 게다가 숫자 자체도 일하다숫자 에이그리고 비, 이는 그들에게 유리수를 할당합니다. 을 로 표시하며, 그러한 숫자를 찾는 과정을 이라고도 한다.곱셈 .
순서 관계의 전이성.. 곱셈 규칙은 다음과 같습니다. 에이 , 비그리고 기음임의의 세 배의 유리수의 경우 에이만약에 비그리고 비만약에 기음더 적은 에이만약에 기음, 저것 에이, 그리고 만약 비그리고 비, 그리고 만약 기음더 적은 에이, 그리고 만약 기음같음
추가의 연관성.세 개의 유리수를 더하는 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.
0의 존재.더할 때 다른 모든 유리수를 유지하는 유리수 0이 있습니다.
반대 숫자의 존재.모든 유리수는 반대 유리수를 가지며, 이를 더하면 0이 됩니다.
곱셈의 교환성.합리적인 요소의 위치를 변경해도 제품이 변경되지는 않습니다.
곱셈의 연관성.세 개의 유리수를 곱하는 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.
단위의 가용성.곱할 때 다른 모든 유리수를 유지하는 유리수 1이 있습니다.
역수의 존재.모든 유리수는 역 유리수를 가지며, 이를 곱하면 1이 됩니다.
덧셈에 대한 곱셈의 분포.곱셈 연산은 분포 법칙을 통해 덧셈 연산과 조화됩니다.
덧셈 연산과 순서 관계의 연결.유리수 부등식의 왼쪽과 오른쪽에 동일한 유리수를 더할 수 있습니다.
/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">아르키메데스의 공리. 에이어떤 유리수라도 에이, 당신은 그 합이 초과하는 너무 많은 단위를 취할 수 있습니다

.

유리수에 내재된 다른 모든 속성은 기본 속성으로 구별되지 않습니다. 왜냐하면 일반적으로 더 이상 정수의 속성에 직접적으로 기반을 두지 않고 주어진 기본 속성을 기반으로 하거나 일부 수학적 개체의 정의를 통해 직접 증명할 수 있기 때문입니다. . 이러한 추가 속성이 많이 있습니다. 여기에는 그 중 몇 가지만 나열하는 것이 합리적입니다.

추가 속성

너무 많아. 여기에는 그 중 몇 가지만 나열하는 것이 합리적입니다.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

유리수의 수를 추정하려면 해당 집합의 카디널리티를 찾아야 합니다. 유리수 집합이 셀 수 있음을 증명하는 것은 쉽습니다. 이를 위해서는 유리수를 열거하는 알고리즘, 즉 유리수와 자연수 세트 사이의 전단사를 설정하는 알고리즘을 제공하는 것으로 충분합니다.

결과 테이블은 다음 형식 알고리즘에 따라 "스네이크"를 사용하여 탐색됩니다.

이러한 규칙은 위에서 아래로 검색되며 첫 번째 일치 항목을 기준으로 다음 위치가 선택됩니다.

이러한 순회 과정에서 각각의 새로운 유리수는 다른 자연수와 연관됩니다. 즉, 분수 1/1은 숫자 1에 할당되고, 분수 2/1은 숫자 2에 할당되는 식입니다. 기약 분수에만 번호가 지정된다는 점에 유의해야 합니다. 환원 불가능성의 형식적 표시는 분수의 분자와 분모의 최대 공약수가 1과 같다는 것입니다.

유리수의 부족

이러한 삼각형의 빗변은 유리수로 표현될 수 없습니다.

메모

문학

I. Kushnir. 초등학생을 위한 수학 수첩. - 키예프: ASTARTA, 1998. - 520p.
추신. 알렉산드로프. 집합론과 일반 토폴로지를 소개합니다. -M.: 장. 에드. 물리학과 수학 문학. 에드. "과학", 1977
I. L. Khmelnitsky. 대수 시스템 이론 소개

모래밭

위키미디어 재단.

)은 양수 또는 음수 부호(정수 및 분수)와 0이 있는 숫자입니다. 유리수에 대한 보다 정확한 개념은 다음과 같습니다.

유리수- 공통 분수로 표현되는 숫자 m/n, 여기서 분자는 중는 정수이고, 분모는 N- 자연수, 예를 들어 2/3.

무한한 비주기 분수는 유리수 집합에 포함되지 않습니다.

a/b, 어디 에이∈ 지 (에이정수에 속함), 비∈ N (비자연수에 속함)

실생활에서 유리수를 사용하는 방법.

실생활에서 유리수 집합은 일부 정수로 나눌 수 있는 객체의 부분을 계산하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 먹기 전에 조각으로 자르는 케이크 또는 기타 음식, 또는 확장된 객체의 공간적 관계를 대략적으로 추정하기 위한 것입니다.

유리수의 속성.

유리수의 기본 속성.

양수 2개 a=m a /n a그리고 b=m·b /n·b 2개의 정수와 동일한 관계로 관련되어 있습니다. 나⋅ nb그리고 엠비⋅ 해당 없음;
2개의 음수 에이그리고 비 2개의 양수와 같은 비율로 관련되어 있습니다. |b|그리고 |아|;
언제 에이긍정적이고 비- 그럼 부정이네 a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

합산 규칙다음과 같습니다:

나/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ 해당 없음)/(해당 없음⋅ n b).

∀ a,b∈ 큐∃ !(a+b)∈ 큐

곱셈 규칙다음과 같습니다: 나 나 나⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

∀ 알파벳∈ Q(a ∧ 비 ⇒ 에이 ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. 덧셈의 교환성. 유리항의 위치를 변경해도 합계는 변경되지 않습니다.

∀ a,b∈ 질문 a+b=b+a

6. 추가 연관성. 3개의 유리수를 더하는 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.

∀ 알파벳∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. 0의 존재. 유리수 0이 있으며 추가될 때 다른 모든 유리수를 유지합니다.

∃ 0 ∈ 큐∀ 에이∈ Qa+0=a

8. 반대 숫자의 존재. 모든 유리수는 반대 유리수를 가지며, 이를 더하면 결과는 0이 됩니다.

∀ 에이∈ 큐∃ (-a)∈ Qa+(−a)=0

9. 곱셈의 교환성. 합리적인 요소의 위치를 변경해도 제품이 변경되지는 않습니다.

∀ a,b∈ 질문⋅ b=b⋅ 에이

10. 곱셈의 연관성. 3개의 유리수를 곱하는 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.

∀ 알파벳∈ Q(a⋅ 비)⋅ c=a⋅ (비⋅ 기음)

11. 단위 가용성. 유리수 1이 있으며, 곱셈 과정에서 다른 모든 유리수를 보존합니다.

∃ 1 ∈ 큐∀ 에이∈ 질문⋅ 1=a

12. 역수의 존재. 0이 아닌 모든 유리수는 역 유리수를 가지며 이를 곱하면 1이 됩니다. .

∀ 에이∈ 큐∃ a−1∈ 질문⋅ a−1=1

13. 덧셈에 대한 곱셈의 분포. 곱셈 연산은 분배법칙을 사용한 덧셈과 관련됩니다.

∀ 알파벳∈ 질문(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ 기음

14. 순서 관계와 덧셈 연산의 관계. 유리수 부등식의 왼쪽과 오른쪽에는 동일한 유리수가 추가됩니다.

∀ 알파벳∈ 질문 ⇒ a+c

15. 순서 관계와 곱셈 연산의 관계. 유리 부등식의 왼쪽과 오른쪽에는 음이 아닌 동일한 유리수를 곱할 수 있습니다.

∀ 알파벳∈ 큐씨>0∧ 에이 ⇒ 에이⋅ 기음 ⋅ 기음

16. 아르키메데스의 공리. 어떤 유리수라도 에이, 너무 많은 단위를 사용하여 그 합이 더 커질 수 있습니다. 에이.

이 섹션에서는 유리수에 대한 몇 가지 정의를 제공합니다. 표현의 차이에도 불구하고 이러한 모든 정의는 동일한 의미를 갖습니다. 정수가 자연수, 그 반대, 숫자 0을 통합하는 것처럼 유리수는 정수와 분수를 통합합니다. 즉, 유리수는 정수와 분수를 일반화합니다.

시작해보자 유리수의 정의, 가장 자연스럽게 인식됩니다.

정의.

유리수양수로 쓸 수 있는 숫자입니다. 공통 분수, 음의 공통 분수 또는 숫자 0.

명시된 정의에 따르면 유리수는 다음과 같습니다.

임의의 자연수 N. 실제로 자연수를 일반 분수로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같습니다. 3=3/1 .

· 모든 정수, 특히 숫자 0. 실제로 모든 정수는 양의 분수, 음의 분수 또는 0으로 쓸 수 있습니다. 예를 들어, 26=26/1 , .

· 모든 공통 분수(양수 또는 음수). 이것은 유리수의 주어진 정의에 의해 직접적으로 확인됩니다.

· 어느 대분수. 실제로 대분수는 항상 가분수로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, 그리고.

· 유한 소수점 분수 또는 무한 주기 분수. 이는 표시된 소수 부분이 일반 분수로 변환된다는 사실 때문입니다. 예를 들어, 0,(3)=1/3 .

또한 무한한 비주기 소수 분수는 공통 분수로 표현될 수 없기 때문에 유리수가 아니라는 것도 분명합니다.

이제 우리는 쉽게 줄 수 있습니다 유리수의 예. 숫자 4 ,903 , 100 321 이는 자연수이기 때문에 유리수입니다. 정수 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 유리수의 예이기도 합니다. 일반적인 분수 4/9 , 99/3 , 역시 유리수의 예입니다. 유리수는 숫자이기도 합니다.

위의 예에서 양수와 음수 유리수가 모두 있고 유리수 0은 양수도 음수도 아니라는 것이 분명합니다.

위의 유리수 정의는 보다 간결한 형태로 공식화될 수 있습니다.

정의.

유리수분수로 쓸 수 있는 숫자 이름 z/n, 어디 지는 정수이고, N– 자연수.

유리수에 대한 이 정의가 이전 정의와 동일하다는 것을 증명해 보겠습니다. 우리는 분수의 선을 나누기 기호로 간주할 수 있다는 것을 알고 있으며, 정수 나누기의 속성과 정수 나누기 규칙에서 다음 등식의 타당성이 따릅니다. 그러므로 그것이 증거입니다.

이 정의를 바탕으로 유리수의 예를 들어 보겠습니다. 숫자 −5 , 0 , 3 , 및 는 유리수입니다. 왜냐하면 각각 and 형식의 정수 분자와 자연 분모를 사용하여 분수로 쓸 수 있기 때문입니다.

유리수의 정의는 다음 공식으로 주어질 수 있습니다.

정의.

유리수유한 또는 무한 주기로 쓸 수 있는 숫자입니다. 소수.

이 정의는 또한 첫 번째 정의와 동일합니다. 왜냐하면 모든 일반 분수는 유한 또는 주기 소수 분수에 해당하고 그 반대도 마찬가지이며 모든 정수는 소수점 이하 0이 있는 소수 분수와 연관될 수 있기 때문입니다.

예를 들어 숫자 5 , 0 , −13 는 유리수의 예입니다. 왜냐하면 다음과 같은 소수 분수로 쓸 수 있기 때문입니다. 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 그리고 −7,(18) .

다음 진술로 이 점에 대한 이론을 마무리해 보겠습니다.

· 정수와 분수(양수와 음수)는 유리수 집합을 구성합니다.

· 각 유리수는 정수 분자와 자연 분모를 갖는 분수로 표현될 수 있으며, 이러한 분수는 각각 특정 유리수를 나타냅니다.

· 모든 유리수는 유한 또는 무한 주기 소수로 표현될 수 있으며, 이러한 분수는 각각 특정 유리수를 나타냅니다.

페이지 상단

양의 유리수의 추가는 교환적이고 결합적입니다.

("a, b О Q +) a + b= b + a;

("a, b, c О Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

양의 유리수 곱셈의 정의를 공식화하기 전에 다음 문제를 고려하십시오. 세그먼트 X의 길이는 길이 E 단위의 분수로 표현되고 단위 세그먼트의 길이는 단위를 사용하여 측정되는 것으로 알려져 있습니다. E 1이며 분수로 표시됩니다. 길이 E 1의 단위를 사용하여 측정한 경우 세그먼트 X의 길이를 나타내는 숫자를 찾는 방법은 무엇입니까?

X = E이므로 nX = mE이고, E = E 1이라는 사실로부터 qE = pE 1이 됩니다. q로 얻은 첫 번째 평등과 두 번째 평등을 m으로 곱해 보겠습니다. 그러면 (nq)X = (mq)E 및 (mq)E= (mp)E 1, 여기서 (nq)X= (mp)E 1. 이 등식은 단위 길이를 갖는 세그먼트 x의 길이가 표현됨을 보여줍니다. 분수로, 즉 , =, 즉 분수를 곱하려면 동일한 세그먼트의 길이를 측정할 때 한 길이 단위에서 다른 단위로 이동해야 합니다.

정의: 양수 a가 분수로 표시되고 양의 유리수 b가 분수이면 그 곱은 분수로 표시되는 숫자 ab입니다.

양의 유리수 곱하기 덧셈과 뺄셈에 있어서 교환적, 결합적, 분배적입니다. 이러한 속성의 증명은 양의 유리수의 곱셈과 덧셈의 정의뿐만 아니라 자연수의 덧셈과 곱셈의 해당 속성에 기초합니다.

46. 알려진 바와 같이 빼기- 덧셈의 반대 동작입니다.

만약에 에이그리고 비 - 양수, 숫자 a에서 숫자 b를 빼는 것은 숫자 b에 더하면 숫자 a가 되는 숫자 c를 찾는 것을 의미합니다.
a - b = c 또는 c + b = a
뺄셈의 정의는 모든 유리수에 적용됩니다. 즉, 양수와 음수의 뺄셈을 덧셈으로 대체할 수 있습니다.
한 숫자에서 다른 숫자를 빼려면 빼는 숫자에 반대쪽 숫자를 더해야 합니다.
또는 다른 방식으로 숫자 b를 빼는 것은 동일한 덧셈이지만 숫자는 다음과 같다고 말할 수 있습니다. 반대 숫자비.
a - b = a + (-b)
예.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
예.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
아래 표현을 기억해 두시면 좋습니다.
0 - 아 = - 아
a - 0 = a
a - a = 0

음수 빼기 규칙
숫자 b를 빼는 것은 반대 숫자 b를 더하는 것입니다.
이 규칙은 큰 수에서 작은 수를 뺄 때에만 적용되는 것이 아니라, 더 작은 수에서 뺄 때도 적용됩니다. 더 큰 숫자, 즉, 항상 두 숫자의 차이를 찾을 수 있습니다.
차이는 양수일 수 있습니다. 음수또는 숫자 0.
음수와 뺄셈의 예 양수.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
대괄호 수를 줄일 수 있는 부호 규칙을 기억하는 것이 편리합니다.
더하기 기호는 숫자의 기호를 변경하지 않으므로 괄호 앞에 더하기 기호가 있으면 괄호 안의 기호는 변경되지 않습니다.
+ (+ 아) = + 아
+ (-a) = -a
괄호 앞의 빼기 기호는 괄호 안의 숫자 기호를 반전시킵니다.
- (+ 아) = - 아
- (- a) = + a
등식을 통해 괄호 앞과 안에 동일한 기호가 있으면 "+"를 얻고, 기호가 다르면 "-"를 얻는다는 것이 분명합니다.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
대괄호에 하나의 숫자뿐만 아니라 숫자의 대수적 합이 포함된 경우에도 부호 규칙이 적용됩니다.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
괄호 안에 숫자가 여러 개 있고 괄호 앞에 빼기 기호가 있으면 이 괄호 안의 모든 숫자 앞에 있는 기호가 변경되어야 합니다.
기호 규칙을 기억하기 위해 숫자의 기호를 결정하는 테이블을 만들 수 있습니다.
숫자의 부호 규칙+ (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
아니면 간단한 규칙을 배우십시오.
두 개의 부정이 긍정을 만들고,
플러스 곱하기 마이너스는 마이너스와 같습니다.

음수 나누기 규칙.
몫의 계수를 찾으려면 피제수의 계수를 제수의 계수로 나누어야 합니다.
따라서 동일한 부호를 가진 두 숫자를 나누려면 다음을 수행해야 합니다.

· 배당 모듈은 제수 모듈로 나누어집니다.

· 결과 앞에 "+" 기호를 넣습니다.

숫자를 나누는 예 다른 표시:

다음 표를 사용하여 몫 기호를 결정할 수도 있습니다.
나눗셈 기호의 법칙
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

곱셈과 나눗셈만 나타나는 "긴" 표현식을 계산할 때 부호 규칙을 사용하면 매우 편리합니다. 예를 들어 분수를 계산하려면
분자에는 2개의 빼기 기호가 있으며 이를 곱하면 플러스가 됩니다. 또한 분모에는 세 개의 빼기 기호가 있는데 이를 곱하면 빼기 기호가 됩니다. 따라서 결국 결과는 마이너스 기호로 나타납니다.
분수 줄이기 ( 추가 조치숫자 모듈 사용)은 이전과 동일한 방식으로 수행됩니다.
0을 0이 아닌 숫자로 나눈 몫은 0입니다.
0: a = 0, a ≠ 0
0으로 나눌 수 없습니다!
이전에 알려진 모든 나눗셈 규칙은 유리수 집합에도 적용됩니다.
에이: 1 = 에이
a: (- 1) = - a
a: a = 1, 여기서 a는 임의의 유리수입니다.
양수에 대해 알려진 곱셈과 나눗셈 결과 간의 관계는 모든 유리수(0 제외)에 대해 동일하게 유지됩니다.
a × b = c이면; a = c:b; b = c:a;
만약 a: b = c; a = c × b; b = 에이:씨
이러한 종속성을 찾는 데 사용됩니다. 알 수 없는 승수, 피제수 및 제수(방정식을 풀 때), 곱셈과 나눗셈의 결과를 확인하는 데 사용됩니다.
미지의 것을 찾는 예.
x × (-5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2