올바른 식의 괄호를 확장하세요. 표현식과 방정식에서 괄호를 여는 방법 수학의 규칙

괄호의 주요 기능은 값을 계산할 때 작업 순서를 변경하는 것입니다. 예를 들어, 숫자 표현식 \(5·3+7\)에서 곱셈이 먼저 계산된 다음 덧셈이 계산됩니다: \(5·3+7 =15+7=22\). 그러나 \(5·(3+7)\) 표현식에서는 대괄호 안의 덧셈이 먼저 계산되고 그 다음에 곱셈이 계산됩니다: \(5·(3+7)=5·10=50\).

예. 대괄호: \(-(4m+3)\)를 확장합니다.
해결책 : \(-(4m+3)=-4m-3\).

예. 괄호를 열고 유사한 용어 \(5-(3x+2)+(2+3x)\)를 제공합니다.
해결책 : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

예. 대괄호 \(5(3-x)\)를 확장합니다.
해결책 : 괄호 안에는 \(3\)과 \(-x\)가 있고, 괄호 앞에는 5가 있습니다. 이는 대괄호의 각 구성원에 \(5\)를 곱한다는 의미입니다. 숫자와 괄호 사이의 곱셈 기호는 항목의 크기를 줄이기 위해 수학으로 작성되지 않습니다..

예. 대괄호 \(-2(-3x+5)\)를 확장합니다.
해결책 : 앞선 예와 마찬가지로 괄호 안의 \(-3x\)와 \(5\)에 \(-2\)를 곱합니다.

예. 식을 단순화합니다: \(5(x+y)-2(x-y)\).
해결책 : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

마지막 상황을 고려해야합니다.

대괄호와 대괄호를 곱할 때 첫 번째 대괄호의 각 항은 두 번째 대괄호의 각 항과 곱해집니다.

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

예. 대괄호 \((2-x)(3x-1)\)를 확장합니다.
해결책 : 괄호로 이루어진 제품이 있는데, 위의 수식을 이용하면 바로 확장이 가능합니다. 하지만 혼란스럽지 않도록 모든 것을 단계별로 수행해 봅시다.
1단계. 첫 번째 브래킷을 제거합니다. 각 구성원에 두 번째 브래킷을 곱합니다.

2단계. 위에서 설명한 대로 브래킷과 인수의 곱을 확장합니다.
- 먼저 할 일이...

그런 다음 두 번째.

3단계. 이제 유사한 용어를 곱하여 제시합니다.

모든 변환을 그렇게 자세히 설명할 필요는 없습니다. 즉시 곱할 수 있습니다. 하지만 괄호 여는 방법을 배우고 자세하게 작성하면 실수할 가능성이 줄어듭니다.

전체 섹션을 참고하세요.실제로 네 가지 규칙을 모두 기억할 필요는 없으며 \(c(a-b)=ca-cb\) 하나만 기억하면 됩니다. 왜? c 대신 하나를 대체하면 \((a-b)=a-b\) 규칙을 얻게 됩니다. 그리고 마이너스 1을 대체하면 \(-(a-b)=-a+b\) 규칙을 얻게 됩니다. 글쎄요, c 대신 다른 괄호로 대체하면 마지막 규칙을 얻을 수 있습니다.

괄호 안의 괄호

때로는 실제로 다른 괄호 안에 중첩된 괄호에 문제가 있을 수 있습니다. 다음은 그러한 작업의 예입니다. \(7x+2(5-(3x+y))\) 표현식을 단순화합니다.

이러한 작업을 성공적으로 해결하려면 다음이 필요합니다.
- 괄호의 중첩을 주의 깊게 이해하십시오.
- 예를 들어 가장 안쪽부터 시작하여 괄호를 순차적으로 엽니다.

브래킷 중 하나를 열 때 중요합니다. 나머지 표현은 건드리지 마세요, 그대로 다시 작성하면 됩니다.
위에 작성된 작업을 예로 들어 보겠습니다.

예. 괄호를 열고 비슷한 용어 \(7x+2(5-(3x+y))\)를 입력하세요.
해결책:

예. 괄호를 열고 비슷한 용어 \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\)를 입력하세요.
해결책 :

괄호 확장은 수학의 기본 기술입니다. 이 기술이 없으면 8, 9학년에서 C 이상의 성적을 받는 것은 불가능합니다. 그러므로 이 주제를 잘 이해하시기를 권합니다.

괄호는 숫자, 리터럴 및 변수 표현식에서 작업이 수행되는 순서를 나타내는 데 사용됩니다. 괄호가 있는 표현식에서 동일 표현식으로 이동하는 것이 편리합니다. 표현식과 동일괄호 없이. 이 기술을 여는 괄호라고 합니다.

괄호 확장은 표현식에서 괄호를 제거하는 것을 의미합니다.

브래킷을 열 때 녹음 솔루션의 특성과 관련하여 한 가지 더 특별한 주의가 필요합니다. 대괄호를 사용하여 초기 표현식과 대괄호를 연 후 얻은 결과를 동등하게 작성할 수 있습니다. 예를 들어 표현식 대신 괄호를 확장한 후
3−(5−7) 우리는 3−5+7이라는 표현을 얻습니다. 우리는 이 두 표현을 모두 3−(5−7)=3−5+7 등식으로 쓸 수 있습니다.

그리고 하나 더 중요한 점. 수학에서는 표기법을 단축하기 위해 더하기 기호가 표현식이나 괄호 안에 먼저 나타나면 쓰지 않는 것이 관례입니다. 예를 들어 2개를 추가하면 양수, 예를 들어 7과 3인 경우 7도 양수라는 사실에도 불구하고 +7+3이 아니라 단순히 7+3이라고 씁니다. 마찬가지로, 예를 들어 (5+x)라는 표현을 보면 대괄호 앞에는 기록되지 않은 플러스가 있고 5 앞에는 플러스 +(+5+x)가 있다는 것을 알 수 있습니다.

덧셈 시 괄호 여는 규칙

괄호를 열 때 괄호 앞에 플러스가 있으면 이 플러스는 괄호와 함께 생략됩니다.

예. 2 + (7 + 3) 표현식에서 괄호를 엽니다. 괄호 앞에 플러스가 있는데, 이는 괄호 안의 숫자 앞의 기호를 변경하지 않는다는 의미입니다.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

뺄셈 시 괄호 여는 규칙

괄호 앞에 마이너스가 있는 경우 이 마이너스는 괄호와 함께 생략되지만 괄호 안에 있는 용어는 부호를 반대 방향으로 변경합니다. 괄호 안의 첫 번째 용어 앞에 기호가 없으면 + 기호를 의미합니다.

예. 표현식 2 − (7 + 3)에서 괄호를 확장합니다.

괄호 앞에 마이너스가 있는데, 이는 괄호 안의 숫자 앞에 있는 기호를 변경해야 함을 의미합니다. 괄호 안의 숫자 7 앞에는 기호가 없습니다. 이는 7이 양수임을 의미하며, 그 앞에 + 기호가 있는 것으로 간주됩니다.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

대괄호를 열 때 대괄호 앞에 있던 마이너스와 대괄호 자체 2 − (+ 7 + 3)를 제거하고 대괄호 안에 있던 기호를 반대 기호로 변경합니다.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

곱셈 시 괄호 확장

괄호 앞에 곱셈 기호가 있으면 괄호 안의 각 숫자에 괄호 앞의 인수를 곱합니다. 이 경우 마이너스에 마이너스를 곱하면 플러스가 되고, 플러스에 마이너스를 곱하듯이 마이너스에 플러스를 곱하면 마이너스가 됩니다.

따라서 곱셈의 분배 법칙에 따라 곱의 괄호가 확장됩니다.

예. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

대괄호에 대괄호를 곱하면 첫 번째 대괄호의 각 항에 두 번째 대괄호의 각 항이 곱해집니다.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

사실, 모든 규칙을 기억할 필요는 없으며 c(a−b)=ca−cb 하나만 기억하면 충분합니다. 왜? 왜냐하면 c 대신에 1을 대입하면 (a−b)=a−b라는 규칙을 얻게 되기 때문입니다. 그리고 마이너스 1을 대입하면 −(a−b)=−a+b 규칙을 얻게 됩니다. 글쎄, c 대신에 다른 괄호를 대체하면 마지막 규칙을 얻을 수 있습니다.

나눌 때 괄호 열기

괄호 뒤에 나눗셈 기호가 있는 경우 괄호 안의 각 숫자는 괄호 뒤의 제수로 나누어지며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

예. (9 + 6) : 3=9:3 + 6:3

중첩된 괄호를 확장하는 방법

표현식에 중첩된 괄호가 포함된 경우 외부 또는 내부 괄호부터 순서대로 확장됩니다.

이 경우 괄호 중 하나를 열 때 나머지 괄호를 건드리지 말고 그대로 다시 작성하는 것이 중요합니다.

예. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

이 기사에서는 그러한 기본 규칙에 대해 자세히 살펴 보겠습니다. 중요한 주제괄호 여는 것과 같은 수학 과정. 괄호가 사용되는 방정식을 올바르게 풀려면 괄호를 여는 규칙을 알아야 합니다.

추가할 때 괄호를 올바르게 여는 방법

"+" 기호 앞에 있는 괄호를 확장합니다.

이는 가장 간단한 경우입니다. 괄호 앞에 추가 기호가 있으면 괄호를 열 때 그 안의 기호가 변경되지 않기 때문입니다. 예:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

"-" 기호 앞에 괄호를 확장하는 방법

이 경우 괄호 없이 모든 용어를 다시 작성해야 하지만 동시에 그 안에 있는 모든 기호를 반대 기호로 변경해야 합니다. 기호는 앞에 "-" 기호가 있는 괄호의 용어에 대해서만 변경됩니다. 예:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

곱셈을 할 때 괄호를 여는 방법

괄호 앞에 승수 숫자가 있습니다.

이 경우 각 항에 인수를 곱하고 부호를 변경하지 않고 괄호를 열어야 합니다. 승수에 "-" 기호가 있는 경우 곱셈 중에 항의 기호가 반전됩니다. 예:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

두 괄호 사이에 곱셈 기호를 사용하여 여는 방법

이 경우 첫 번째 괄호의 각 항과 두 번째 괄호의 각 항을 곱한 다음 결과를 더해야 합니다. 예:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

사각형에서 괄호를 여는 방법

두 항의 합이나 차를 제곱하는 경우 다음 공식에 따라 괄호를 열어야 합니다.

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.

괄호 안에 마이너스가 있으면 공식이 변경되지 않습니다. 예:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

괄호를 다른 정도로 확장하는 방법

예를 들어 항의 합이나 차이가 3승 또는 4승으로 올라가는 경우 대괄호의 거듭제곱을 "제곱"으로 나누기만 하면 됩니다. 동일한 요소의 거듭제곱이 더해지며, 나눌 때 피제수의 거듭제곱에서 제수의 거듭제곱을 뺍니다. 예:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

3개의 브래킷을 여는 방법

괄호 3개를 동시에 곱하는 방정식이 있습니다. 이 경우 먼저 처음 두 괄호의 항을 곱한 다음 이 곱셈의 합에 세 번째 괄호의 항을 곱해야 합니다. 예:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

괄호를 여는 규칙은 선형 방정식과 삼각 방정식을 푸는 데 동일하게 적용됩니다.

이 단원에서는 괄호가 포함된 표현식을 괄호가 없는 표현식으로 변환하는 방법을 배웁니다. 더하기 기호와 빼기 기호 앞에 괄호를 여는 방법을 배우게 됩니다. 곱셈의 분배 법칙을 사용하여 괄호를 여는 방법을 기억하겠습니다. 고려된 예를 통해 새로운 자료와 이전에 연구한 자료를 하나의 전체로 연결할 수 있습니다.

주제: 방정식 풀기

단원: 괄호 확장

"+" 기호 앞에 있는 괄호를 확장하는 방법입니다. 덧셈의 ​​결합법칙을 사용합니다.

두 숫자의 합을 숫자에 더해야 하는 경우 먼저 이 숫자에 첫 번째 항을 더한 다음 두 번째 항을 더하면 됩니다.

등호 왼쪽은 괄호가 있는 표현식이고, 오른쪽은 괄호가 없는 표현식입니다. 이는 평등의 왼쪽에서 오른쪽으로 이동할 때 괄호가 열리는 현상이 발생했음을 의미합니다.

예를 살펴 보겠습니다.

예시 1.

괄호를 열어 작업 순서를 변경했습니다. 계산이 더욱 편리해졌습니다.

예시 2.

예시 3.

세 가지 예 모두에서 단순히 괄호를 제거했습니다. 규칙을 만들어 봅시다:

논평.

괄호 안의 첫 번째 용어가 부호가 없는 경우에는 더하기 기호를 사용하여 작성해야 합니다.

예제를 단계별로 따라해 보세요. 먼저 889에 445를 더합니다. 이 작업은 정신적으로 할 수 있지만 그리 쉽지는 않습니다. 괄호를 열고 변경된 절차로 인해 계산이 크게 단순화되는지 살펴보겠습니다.

표시된 절차를 따르면 먼저 512에서 345를 뺀 다음 결과에 1345를 추가해야 합니다. 괄호를 열면 절차가 변경되어 계산이 크게 단순화됩니다.

예와 규칙을 설명합니다.

예를 살펴보겠습니다: . 2와 5를 더한 다음 반대 기호를 사용하여 결과 숫자를 취하여 표현식의 값을 찾을 수 있습니다. 우리는 -7을 얻습니다.

반면, 원래 숫자와 반대되는 숫자를 더해도 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.

규칙을 만들어 봅시다:

예시 1.

예시 2.

괄호 안에 용어가 2개가 아닌 3개 이상 있으면 규칙은 변경되지 않습니다.

예시 3.

논평. 기호는 용어 앞에서만 반전됩니다.

괄호를 열려면 이 경우 분배 속성을 기억해야 합니다.

먼저 첫 번째 괄호에 2를 곱하고 두 번째 괄호에 3을 곱합니다.

첫 번째 괄호 앞에는 "+" 기호가 있는데, 이는 기호를 변경하지 않고 그대로 두어야 함을 의미합니다. 두 번째 기호 앞에는 "-" 기호가 있으므로 모든 기호를 반대 방향으로 변경해야 합니다.

참고자료

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 수학 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
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3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. 수학 교과서의 페이지 뒤에. - 계몽, 1989.
4. 루루킨 A.N., 차이코프스키 I.V. 5~6학년 수학 과정 과제 - ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. 수학 5-6. MEPHI 통신학교 6학년 학생들을 위한 매뉴얼입니다. - ZSh MEPHI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. 수학: 5~6학년을 위한 교과서-대화자 고등학교. 수학선생님 도서관. - 계몽, 1989.

1. 수학 온라인 시험 ().
2. 1.2항에 명시된 항목을 다운로드할 수 있습니다. 서적().

숙제

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 수학 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (링크는 1.2 참조)
2. 숙제 : 1254호, 1255호, 1256호 (b, d)
3. 기타 업무: 제1258(c)호, 제1248호

괄호 확장은 표현식 변환의 한 유형입니다. 이 섹션에서는 괄호를 여는 규칙을 설명하고 가장 일반적인 문제의 예도 살펴보겠습니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

여는 괄호란 무엇입니까?

괄호는 숫자, 리터럴 및 변수 표현식에서 작업이 수행되는 순서를 나타내는 데 사용됩니다. 대괄호가 있는 표현식에서 대괄호가 없는 동일하게 동일한 표현식으로 이동하는 것이 편리합니다. 예를 들어, 표현식 2 · (3 + 4)를 다음 형식의 표현식으로 바꿉니다. 2 3 + 2 4괄호 없이. 이 기술을 여는 괄호라고 합니다.

정의 1

확장 괄호는 괄호를 제거하는 기술을 의미하며 일반적으로 다음을 포함할 수 있는 표현식과 관련하여 고려됩니다.

• 합이나 차이를 포함하는 괄호 앞에 "+" 또는 "-"를 표시합니다.
• 숫자, 문자 또는 여러 문자와 합계 또는 차이의 곱으로 괄호 안에 표시됩니다.

이것이 우리가 학교 커리큘럼에서 괄호를 여는 과정을 보는 데 익숙한 방법입니다. 그러나 누구도 우리가 이 조치를 더 광범위하게 보는 것을 막지 않습니다. 괄호 안에 음수가 포함된 표현식에서 괄호가 없는 표현식으로의 전환을 여는 괄호를 호출할 수 있습니다. 예를 들어, 5 + (− 3) − (− 7)에서 5 − 3 + 7로 갈 수 있습니다. 사실, 이것은 또한 괄호의 여는 것이기도 합니다.

같은 방식으로 (a + b) · (c + d) 형식의 괄호 안에 있는 표현식의 곱을 a · c + a · d + b · c + b · d의 합계로 바꿀 수 있습니다. 이 기술은 또한 괄호를 여는 의미와 모순되지 않습니다.

또 다른 예가 있습니다. 숫자와 변수 대신 어떤 표현식이라도 표현식에 사용할 수 있다고 가정할 수 있습니다. 예를 들어, x 2 · 1 a - x + sin (b) 표현식은 x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b) 형식의 괄호가 없는 표현식에 해당합니다.

대진표를 열 때 기록 결정의 특성과 관련하여 한 가지 더 특별한 주의가 필요합니다. 대괄호를 사용하여 초기 표현식과 대괄호를 연 후 얻은 결과를 동등하게 작성할 수 있습니다. 예를 들어 표현식 대신 괄호를 확장한 후 3 − (5 − 7) 우리는 표현을 얻습니다 3 − 5 + 7 . 우리는 이 두 표현을 모두 등식 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7로 쓸 수 있습니다.

번거로운 표현으로 작업을 수행하려면 중간 결과를 기록해야 할 수도 있습니다. 그러면 해결책은 평등 사슬의 형태를 갖게 될 것입니다. 예를 들어, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 또는 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

괄호 여는 규칙, 예

괄호 여는 규칙을 살펴보겠습니다.

괄호 안의 단일 숫자의 경우

괄호 안의 음수는 표현식에서 자주 발견됩니다. 예를 들어 (− 4) 및 3 + (− 4) 입니다. 괄호 안의 양수에도 위치가 있습니다.

단일 양수를 포함하는 괄호를 여는 규칙을 공식화해 보겠습니다. a가 임의의 양수라고 가정해 봅시다. 그러면 (a)를 a로, + (a)를 + a로, - (a)를 – a로 바꿀 수 있습니다. a 대신 특정 숫자를 사용하면 규칙에 따라 숫자 (5)는 다음과 같이 작성됩니다. 5 , 괄호가 없는 표현식 3 + (5)는 다음과 같은 형식을 취합니다. 3 + 5 , + (5)는 다음으로 대체되므로 + 5 , 표현식 3 + (− 5)는 다음 표현식과 동일합니다. 3 − 5 , 왜냐하면 + (− 5) 로 대체됩니다 − 5 .

양수는 일반적으로 괄호를 사용하지 않고 작성됩니다. 이 경우 괄호가 필요하지 않기 때문입니다.

이제 단일 항목이 포함된 괄호를 여는 규칙을 고려해보세요. 음수. + (− a)우리는 - a, − (− a)는 + a로 대체됩니다. 표현식이 음수로 시작하는 경우 (-a), 괄호 안에 쓰여지면 괄호는 생략되고 대신 (-a)유적 - a.

다음은 몇 가지 예입니다. (− 5)는 − 5로 쓸 수 있습니다. (− 3) + 0, 5는 − 3 + 0, 5, 4 + (− 3)이 됩니다. 4 − 3 , 그리고 − (− 4) − (− 3) 괄호를 연 후 − (− 4) 및 − (− 3)이므로 4 + 3 형식을 취합니다. + 4 및 + 3 으로 대체됩니다.

3·(− 5)라는 표현은 3·− 5로 쓸 수 없다는 점을 이해해야 한다. 이에 대해서는 다음 단락에서 논의할 것입니다.

괄호를 여는 규칙의 기반이 무엇인지 살펴 보겠습니다.

규칙에 따르면, 차이 a − b는 a + (− b)와 같습니다. 숫자가 있는 동작의 속성을 기반으로 평등의 사슬을 만들 수 있습니다. (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a그것은 공평할 것이다. 이 등식 사슬은 뺄셈의 의미로 인해 a + (− b) 표현이 차이임을 증명합니다. a - b.

속성을 기준으로 반대 숫자그리고 음수 뺄셈 규칙에 따라 − (− a) = a, a − (− b) = a + b라고 말할 수 있습니다.

숫자, 빼기 기호 및 여러 쌍의 괄호로 구성된 표현식이 있습니다. 위의 규칙을 사용하면 내부 괄호에서 외부 괄호로 또는 반대 방향으로 이동하면서 순차적으로 괄호를 제거할 수 있습니다. 그러한 표현의 예는 − (− ((− (5)))) 입니다. 괄호를 열어서 안쪽에서 바깥쪽으로 이동해 보겠습니다. − (− ((− (5))))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . 이 예는 반대 방향으로도 분석될 수 있습니다. − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

아래에 에이 b는 숫자뿐만 아니라 합이나 차이가 아닌 "+" 기호가 앞에 붙은 임의의 숫자 또는 알파벳 표현으로도 이해될 수 있습니다. 이 모든 경우에 괄호 안의 단일 숫자에 대해 했던 것과 동일한 방식으로 규칙을 적용할 수 있습니다.

예를 들어, 괄호를 연 후 표현식은 다음과 같습니다. − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z 형식을 취합니다. 우리는 어떻게 했나요? 우리는 − (− 2 x)가 + 2 x라는 것을 알고 있으며, 이 식이 먼저 나오므로 + 2 x는 2 x로 쓸 수 있습니다. − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x 및 − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

두 숫자의 제품에서

두 숫자의 곱에서 괄호를 여는 규칙부터 시작하겠습니다.

가정해보자 에이 b는 두 개의 양수입니다. 이 경우 두 음수의 곱은 - a그리고 − b 형식의 (− a) · (− b)는 (a · b)로 대체할 수 있으며, 두 숫자의 곱은 다음과 같습니다. 반대 표지판(− a) · b 및 a · (− b) 형식의 다음으로 대체 (− a b). 마이너스에 마이너스를 곱하면 플러스가 되고, 마이너스에 플러스를 곱하면 마이너스가 되는 것과 같습니다.

서면 규칙의 첫 번째 부분의 정확성은 음수 곱셈 규칙에 의해 확인됩니다. 규칙의 두 번째 부분을 확인하기 위해 숫자를 곱하는 규칙을 사용할 수 있습니다. 다른 표시.

몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

실시예 1

(- 2) · - 4 3 5 형식의 두 음수(4 3 5와 - 2)의 곱으로 괄호를 여는 알고리즘을 고려해 보겠습니다. 이렇게 하려면 원래 표현식을 2 · 4 3 5 로 바꾸십시오. 괄호를 열어서 2 · 4 3 5 를 구해 봅시다.

그리고 음수 (− 4) : (− 2)의 몫을 취하면 괄호를 연 후 항목은 4 : 2처럼 보입니다.

음수 대신 - a그리고 − b는 합계나 차이가 아닌 마이너스 기호가 앞에 있는 모든 표현식일 수 있습니다. 예를 들어 곱셈, 몫, 분수, 거듭제곱, 근, 로그 등이 될 수 있습니다. 삼각함수등.

- 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) 표현식에서 괄호를 열어 보겠습니다. 규칙에 따라 다음과 같은 변환을 할 수 있습니다: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.

표현 (− 3) 2(− 3 2) 식으로 변환할 수 있습니다. 그런 다음 대괄호를 확장할 수 있습니다. - 3 2.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

다른 부호로 숫자를 나누려면 괄호를 미리 확장해야 할 수도 있습니다. (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 및 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.

이 규칙을 사용하면 부호가 다른 표현식의 곱셈과 나눗셈을 수행할 수 있습니다. 두 가지 예를 들어 보겠습니다.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

죄(x)(- x 2) = (- 죄(x) x 2) = - 죄(x) x 2

3개 이상의 숫자로 구성된 제품의 경우

다음을 포함하는 제품과 몫으로 넘어가겠습니다. 더숫자. 괄호를 확장하려면 여기에서 작동합니다. 다음 규칙. ~에 우수음수의 경우 괄호를 생략하고 숫자를 반대 숫자로 바꿀 수 있습니다. 그런 다음 결과 표현식을 새 대괄호로 묶어야 합니다. 음수가 홀수인 경우 괄호를 생략하고 반대 숫자로 대체합니다. 그런 다음 결과 표현식을 새 괄호 안에 넣고 그 앞에 빼기 기호를 배치해야 합니다.

실시예 2

예를 들어, 세 숫자의 곱인 5 · (− 3) · (− 2) 표현식을 사용하십시오. 음수가 두 개이므로 다음과 같이 표현식을 쓸 수 있습니다. (5 · 3 · 2) 그런 다음 마지막으로 괄호를 열면 5 · 3 · 2라는 표현을 얻습니다.

곱에서 (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) 다섯 개의 숫자는 음수입니다. 그러므로 (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . 마침내 괄호를 열면, -2.5 3:2 4:1.25:1.

위의 규칙은 다음과 같이 정당화될 수 있습니다. 첫째, 이러한 표현식을 곱셈으로 다시 작성하여 다음과 같은 곱셈으로 대체할 수 있습니다. 역수분할. 우리는 각 음수를 곱셈의 곱으로 표현하고 - 1 또는 - 1을 다음으로 대체합니다. (− 1).

곱셈의 교환 특성을 사용하여 인수를 교환하고 모든 인수를 다음과 같이 옮깁니다. − 1 , 표현식의 시작 부분까지. 짝수에서 1을 뺀 값은 1이고, 홀수를 곱한 값은 1입니다. − 1 , 빼기 기호를 사용할 수 있습니다.

규칙을 사용하지 않은 경우 - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 표현식에서 괄호를 여는 일련의 작업은 다음과 같습니다.

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

위의 규칙은 합이나 차이가 아닌 빼기 기호가 있는 곱과 몫을 나타내는 표현식에서 괄호를 열 때 사용할 수 있습니다. 예를 들어 표현을 들어보자.

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .

괄호 없는 표현 x2·x:1x·x-3:2로 축소할 수 있다.

+ 기호 앞에 오는 확장 괄호

앞에 더하기 기호가 있는 괄호를 확장하는 데 적용할 수 있는 규칙을 생각해 보세요. 해당 괄호의 "내용"은 숫자나 표현식으로 곱하거나 나누어지지 않습니다.

규칙에 따라 괄호와 그 앞의 기호는 생략되고 괄호 안의 모든 용어의 기호는 유지됩니다. 괄호 안의 첫 번째 용어 앞에 기호가 없으면 더하기 기호를 넣어야 합니다.

실시예 3

예를 들어, 우리는 표현을 제공합니다 (12 − 3 , 5) − 7 . 괄호를 생략함으로써 괄호 안의 용어 기호를 유지하고 첫 번째 용어 앞에 더하기 기호를 넣습니다. 항목은 (12 − ​​​​3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7과 같습니다. 주어진 예에서는 + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7이므로 첫 번째 항 앞에 기호를 배치할 필요가 없습니다.

실시예 4

또 다른 예를 살펴보겠습니다. x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x라는 표현을 취하고 x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x로 작업을 수행해 보겠습니다. + 2a - 3x2 + 1 - x 2 - 4 + 1x

다음은 괄호 확장의 또 다른 예입니다.

실시예 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2

빼기 기호 앞에 있는 괄호는 어떻게 확장되나요?

괄호 앞에 빼기 기호가 있고 어떤 숫자나 표현식도 곱하거나 나누지 않는 경우를 생각해 봅시다. "-" 기호가 앞에 오는 괄호를 여는 규칙에 따라 "-" 기호가 있는 괄호는 생략되고, 괄호 안의 모든 용어의 부호는 반전됩니다.

실시예 6

예를 들어:

1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2

변수가 있는 표현식은 동일한 규칙을 사용하여 변환될 수 있습니다.

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

우리는 x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 를 얻습니다.

숫자에 괄호를 곱할 때 여는 괄호, 괄호로 표현

여기서는 어떤 숫자나 수식을 곱하거나 나누는 괄호를 확장해야 하는 경우를 살펴보겠습니다. (a 1 ± a 2 ± … ± an n) · b = (a 1 · b ± a 2 · b ± … ± an · b) 형식의 공식 또는 b · (a 1 ± a 2 ± … ± an) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · an), 어디 1 , 2 , … , n b는 숫자나 표현입니다.

실시예 7

예를 들어 표현식에서 괄호를 확장해 보겠습니다. (3 – 7) 2. 규칙에 따라 다음과 같은 변환을 수행할 수 있습니다: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . 우리는 3 · 2 − 7 · 2 를 얻습니다.

3 x 2 1 - x + 1 x + 2 표현식에서 괄호를 열면 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2가 됩니다.

괄호에 괄호를 곱하기

(a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) 형식의 두 괄호의 곱을 생각해 보세요. 이는 대괄호별 곱셈을 수행할 때 괄호를 여는 규칙을 얻는 데 도움이 됩니다.

주어진 예를 해결하기 위해 다음 표현을 나타냅니다. (b1 + b2) b처럼. 이를 통해 괄호에 표현식을 곱하는 규칙을 사용할 수 있습니다. 우리는 (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b를 얻습니다. 역교체를 수행하여 비(b 1 + b 2)에 의해 식에 대괄호를 곱하는 규칙을 다시 적용합니다. a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1b 1 + a 1b 2) + (a 2b 1 + a 2b 2) = = a 1b 1 + a 1b 2 + a 2b 1 + a 2b 2

여러 가지 간단한 기법 덕분에 첫 번째 괄호의 각 항과 두 번째 괄호의 각 항의 곱의 합을 구할 수 있습니다. 규칙은 대괄호 안의 용어 수에 관계없이 확장될 수 있습니다.

대괄호와 대괄호를 곱하는 규칙을 공식화해 보겠습니다. 두 합계를 함께 곱하려면 첫 번째 합계의 각 항에 두 번째 합계의 각 항을 곱하고 결과를 더해야 합니다.

수식은 다음과 같습니다.

(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + bn) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + 1bn ++ 2b1 + 2b 2 + . . . + 2bn ++ . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

(1 + x) · (x 2 + x + 6) 식에서 괄호를 전개해 보겠습니다. 두 합의 곱입니다. 해를 써봅시다: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

더하기 기호와 함께 괄호 안에 빼기 기호가 있는 경우를 별도로 언급할 가치가 있습니다. 예를 들어 (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) 표현식을 사용합니다.

먼저 괄호 안의 표현식을 합계로 나타내겠습니다. (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). 이제 규칙을 적용할 수 있습니다: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

괄호를 열어 보겠습니다: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

여러 괄호 및 표현식의 곱에서 괄호 확장

표현식에서 괄호 안에 3개 이상의 표현식이 있는 경우 괄호는 순차적으로 열려야 합니다. 처음 두 요소를 괄호 안에 넣어 변환을 시작해야 합니다. 이러한 괄호 내에서 위에서 설명한 규칙에 따라 변환을 수행할 수 있습니다. 예를 들어 (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) 표현식의 괄호입니다.

표현식에는 세 가지 요소가 동시에 포함되어 있습니다. (2 + 4) , 3 그리고 (5 + 7 8) . 순차적으로 괄호를 열어보겠습니다. 명확성을 위해 빨간색으로 표시한 하나 이상의 괄호에 처음 두 요소를 포함해 보겠습니다. (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

괄호에 숫자를 곱하는 규칙에 따라 다음 작업을 수행할 수 있습니다. ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .

괄호와 괄호를 곱하세요: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

현물 브라켓

괄호 안에 쓰여진 몇 가지 표현을 기반으로 하는 학위 현물로여러 괄호의 곱으로 생각할 수 있습니다. 또한 이전 두 단락의 규칙에 따라 이러한 괄호 없이도 작성할 수 있습니다.

표현을 변형하는 과정을 고려하십시오. (a + b + c) 2 . 두 개의 괄호의 곱으로 쓸 수 있습니다. (a + b + c) · (a + b + c). 괄호에 괄호를 곱하여 a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c를 얻습니다.

또 다른 예를 살펴보겠습니다.

실시예 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1개 · 2 · 1개 + 2 · 1개 · 1개 + 2 · 2 · 1개 + 1개 · 1개 · 2 + + 1개 · 2 · 2 + 2 · 1개 · 2 + 2 2 2

괄호를 숫자로 나누고 괄호를 괄호로 나누기

괄호를 숫자로 나누려면 괄호 안의 모든 용어를 숫자로 나누어야 합니다. 예를 들어 (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 입니다.

나눗셈은 먼저 곱셈으로 대체할 수 있으며 그 후에는 다음을 사용할 수 있습니다. 적합한 규칙작품에서 괄호를 여는 것. 괄호를 괄호로 나눌 때도 동일한 규칙이 적용됩니다.

예를 들어, (x + 2) : 2 3 표현식에서 괄호를 열어야 합니다. 이렇게 하려면 먼저 역수 (x + 2)를 곱하여 나눗셈을 대체합니다. 2 3 = (x + 2) · 2 3. 괄호에 숫자 (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 을 곱합니다.

다음은 괄호로 나누는 또 다른 예입니다.

실시예 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

나눗셈을 곱셈으로 바꾸겠습니다: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.

곱셈을 해보자: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2.

여는 괄호의 순서

이제 위의 표현식에서 논의된 규칙의 적용 순서를 고려하십시오. 일반적인 견해, 즉. 차이가 있는 합계, 몫이 있는 곱, 자연 수준의 괄호를 포함하는 표현식에서.

절차:

• 첫 번째 단계는 브래킷을 자연적인 힘으로 높이는 것입니다.
• 두 번째 단계에서는 작품과 몫의 괄호 열기가 수행됩니다.
• 마지막 단계는 합계와 차이에서 괄호를 여는 것입니다.

(− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) 표현의 예를 사용하여 동작 순서를 고려해 봅시다. 3 · (− 2) : (− 4) 및 6 · (− 7) 표현식을 변환해 보겠습니다. 이는 다음 형식을 취해야 합니다. (32:4)그리고 (− 6 · 7) . 얻은 결과를 원래 표현식에 대입하면 다음과 같이 됩니다. (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . 괄호를 엽니다: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.

괄호 안에 괄호가 포함된 표현식을 다룰 때는 안에서 바깥쪽으로 변환을 수행하는 것이 편리합니다.

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