표현식의 자연 로그입니다. 로그 작업을 위한 로그 규칙

그 정의를 따릅니다. 그래서 숫자의 로그는 비기반으로 에이숫자를 올려야 하는 지수로 정의됩니다. 에이번호를 얻으려고 비(로그는 양수에만 존재합니다).

이 공식으로부터 계산은 다음과 같습니다. x=로그 a b는 방정식을 푸는 것과 같습니다. x =b.예를 들어, 로그 2 8 = 3왜냐하면 8 = 2 3 . 로그의 공식화는 다음을 정당화하는 것을 가능하게 합니다. b=ac, 숫자의 로그 비기반으로 에이같음 와 함께. 로그의 주제가 거듭제곱의 주제와 밀접하게 관련되어 있다는 것도 분명합니다.

다른 숫자와 마찬가지로 로그를 사용하면 다음을 수행할 수 있습니다. 덧셈, 뺄셈의 연산그리고 가능한 모든 방법으로 변화시키세요. 그러나 로그는 완전히 일반적인 숫자가 아니기 때문에 여기에는 로그 자체의 특별한 규칙이 적용됩니다. 주요 속성.

로그를 더하고 뺍니다.

두 개의 로그를 취해보자 같은 이유로: x를 기록하다그리고 로그인하세요. 그런 다음 덧셈과 뺄셈 연산을 수행할 수 있습니다.

x+ 로그 a y= 로그 a (x·y);

로그 x - 로그 a y = 로그 a (x:y).

로그(엑스 1 . 엑스 2 . 엑스 3 ... xk) = x를 기록하다 1 + x를 기록하다 2 + x를 기록하다 3 + ... + 로그 a x k.

에서 대수지수 정리로그의 또 다른 속성을 얻을 수 있습니다. 기록한다는 것은 상식이다. 에이 1= 0, 그러므로

통나무 에이 1 /비=로그 에이 1 - 로그 a b= - 로그 a b.

이는 평등이 있음을 의미합니다.

로그 a 1 / b = - 로그 a b.

두 역수의 로그같은 이유로 기호만 서로 다를 수 있습니다. 그래서:

로그 3 9= - 로그 3 1 / 9 ; 로그 5 1 / 125 = -로그 5 125.

이 비디오를 통해 나는 로그 방정식에 대한 긴 강의 시리즈를 시작합니다. 이제 여러분 앞에는 세 가지 예가 있으며 이를 바탕으로 우리는 가장 많은 문제를 해결하는 방법을 배울 것입니다. 간단한 작업, 그렇게 불립니다 - 원생 동물문.

로그 0.5 (3x − 1) = −3

로그(x + 3) = 3 + 2 로그 5

가장 간단한 로그 방정식은 다음과 같습니다.

로그 f(x) = b

이 경우 변수 x가 인수 내부, 즉 함수 f(x)에만 존재하는 것이 중요합니다. 그리고 숫자 a와 b는 단지 숫자일 뿐이며 어떤 경우에도 변수 x를 포함하는 함수가 아닙니다.

기본 해결 방법

이러한 구조를 해결하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 예를 들어, 학교의 대부분의 교사는 다음 방법을 제공합니다. 공식을 사용하여 함수 f(x)를 즉시 표현합니다. 에프 ( x ) = ㄴ . 즉, 가장 간단한 구성을 발견하면 추가 작업 및 구성 없이 즉시 솔루션으로 이동할 수 있습니다.

예, 물론 결정은 정확할 것입니다. 그러나 이 공식의 문제점은 대부분의 학생들이 이해가 안 돼요, 그것이 어디서 왔는지 그리고 왜 우리는 문자 a를 문자 b로 올립니다.

결과적으로, 예를 들어 이러한 문자가 바뀔 때 매우 짜증나는 실수를 자주 보게 됩니다. 이 공식은 이해하거나 벼락치기로 공부해야 하며, 두 번째 방법은 시험, 테스트 등 가장 부적절하고 가장 중요한 순간에 실수로 이어집니다.

그렇기 때문에 나는 모든 학생들에게 표준 학교 공식을 버리고 다음을 사용하도록 제안합니다. 대수 방정식이름에서 짐작할 수 있듯이 두 번째 접근 방식은 다음과 같습니다. 정식 형식.

정식 형식의 아이디어는 간단합니다. 문제를 다시 살펴보겠습니다. 왼쪽에는 로그 a가 있고 문자 a는 숫자를 의미하며 어떤 경우에도 변수 x를 포함하는 함수를 의미하지 않습니다. 결과적으로 이 문자에는 로그의 밑수에 적용되는 모든 제한 사항이 적용됩니다. 즉:

1 ≠ a > 0

반면에, 동일한 방정식에서 우리는 로그가 다음과 같아야 함을 알 수 있습니다. 숫자와 같다 b , 이 문자에는 양수와 음수 모두의 값을 취할 수 있기 때문에 제한이 없습니다. 그것은 모두 함수 f(x)가 취하는 값에 달려 있습니다.

그리고 여기서 우리는 임의의 숫자 b가 a의 b제곱에 대한 로그로 표현될 수 있다는 놀라운 규칙을 기억합니다.

b = 로그 a a b

이 공식을 어떻게 기억하나요? 예, 매우 간단합니다. 다음 구성을 작성해 보겠습니다.

b = b 1 = b 로그 a a

물론 이 경우 처음에 적어두었던 모든 제한 사항이 발생합니다. 이제 로그의 기본 속성을 사용하고 승수 b를 a의 거듭제곱으로 도입해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

b = b 1 = b 로그 a a = 로그 a a b

결과적으로 원래 방정식은 다음과 같이 다시 작성됩니다.

로그 a f(x) = 로그 a a b → f(x) = a b

그게 다야. 새 함수에는 더 이상 로그가 포함되지 않으며 표준 대수 기법을 사용하여 풀 수 있습니다.

물론 누군가는 이제 이의를 제기할 것입니다. 왜 어떤 종류의 표준 공식을 생각해 내야 했습니까? 원래 디자인에서 최종 공식으로 즉시 이동할 수 있다면 불필요한 두 단계를 추가로 수행하는 이유는 무엇입니까? 예, 대부분의 학생들이 이 공식이 어디서 왔는지 이해하지 못하고 결과적으로 적용할 때 정기적으로 실수를 하기 때문입니다.

그러나 세 단계로 구성된 이 일련의 동작을 사용하면 최종 공식이 어디서 나오는지 이해하지 못하더라도 원래의 로그 방정식을 풀 수 있습니다. 그런데 이 항목을 표준 공식이라고 합니다.

로그 a f (x) = 로그 a a b

표준 형식의 편리함은 오늘날 우리가 고려하고 있는 가장 단순한 방정식뿐만 아니라 매우 광범위한 종류의 로그 방정식을 푸는 데 사용할 수 있다는 사실에도 있습니다.

솔루션의 예

이제 살펴 보겠습니다. 실제 사례. 그럼 다음과 같이 결정합시다.

로그 0.5 (3x − 1) = −3

다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.

로그 0.5 (3x − 1) = 로그 0.5 0.5 −3

많은 학생들이 서둘러서 원래 문제에서 나온 거듭제곱을 0.5라는 숫자로 바로 올리려고 합니다. 실제로 이러한 문제를 해결하는 방법에 대해 이미 잘 훈련되어 있으면 즉시 이 단계를 수행할 수 있습니다.

그러나 이제 이 주제를 공부하기 시작했다면 공격적인 실수를 피하기 위해 아무데도 서두르지 않는 것이 좋습니다. 그래서 우리는 정식 형식을 갖게 되었습니다. 우리는:

3x − 1 = 0.5 −3

이것은 더 이상 로그 방정식이 아니라 변수 x에 대해 선형입니다. 이를 해결하기 위해 먼저 숫자 0.5의 -3승을 살펴보겠습니다. 0.5는 1/2이라는 점에 유의하세요.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

모두 소수로그 방정식을 풀 때 일반 방정식으로 변환합니다.

우리는 다시 작성하여 다음을 얻습니다.

3x − 1 = 8
3x = 9
엑스 = 3

그게 다입니다. 우리는 답을 얻었습니다. 첫 번째 문제가 해결되었습니다.

두 번째 과제

두 번째 작업으로 넘어가겠습니다.

보시다시피, 이 방정식은 더 이상 가장 단순하지 않습니다. 왼쪽에 차이가 있고 하나의 밑수에 대한 단일 로그가 없기 때문입니다.

그러므로 우리는 어떻게든 이 차이를 없애야 합니다. 안에 이 경우모든 것이 매우 간단합니다. 베이스를 자세히 살펴보겠습니다. 왼쪽에는 루트 아래의 숫자가 있습니다.

일반 권장사항: 모든 로그 방정식에서 근수를 제거하십시오. 즉, 근이 있는 항목에서 다음으로 이동하십시오. 전력 기능, 단순히 이러한 거듭제곱의 지수가 로그 부호에서 쉽게 제거되고 궁극적으로 이러한 표기법이 계산을 크게 단순화하고 속도를 높이기 때문입니다. 다음과 같이 적어보자:

이제 로그의 놀라운 속성을 기억해 보겠습니다. 거듭제곱은 밑수뿐만 아니라 논증에서도 파생될 수 있습니다. 근거의 경우 다음과 같은 일이 발생합니다.

로그 a k b = 1/k 로그 b

즉, 기본 거듭제곱에 있던 숫자가 앞으로 나오면서 동시에 반전됩니다. 역수. 우리의 경우 기본 차수는 1/2이었습니다. 그러므로 2/1로 꺼낼 수 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

5 2 로그 5 x − 로그 5 x = 18
10 로그 5 x − 로그 5 x = 18

참고: 어떤 경우에도 이 단계에서 로그를 제거해서는 안 됩니다. 4~5학년 수학과 연산 순서를 기억하세요. 곱셈이 먼저 수행되고 그 다음에는 덧셈과 뺄셈이 수행됩니다. 이 경우 10개의 요소에서 동일한 요소 중 하나를 뺍니다.

9 로그 5 x = 18
로그 5 x = 2

이제 우리의 방정식은 그래야 하는 것처럼 보입니다. 이것 가장 단순한 디자인, 그리고 우리는 정식 형식을 사용하여 이를 해결합니다.

로그 5 x = 로그 5 5 2
엑스 = 5 2
엑스 = 25

그게 다야. 두 번째 문제가 해결되었습니다.

세 번째 예

세 번째 작업으로 넘어가겠습니다.

로그(x + 3) = 3 + 2 로그 5

다음 공식을 상기시켜 드리겠습니다.

로그 b = 로그 10b

어떤 이유로 log b 표기법이 혼동된다면 모든 계산을 수행할 때 간단히 log 10 b 를 쓰면 됩니다. 다른 사람들과 동일한 방식으로 십진 로그를 사용할 수 있습니다. 즉, 거듭제곱을 취하고 숫자를 lg 10 형식으로 더하고 표현합니다.

우리가 수업 시작 부분에서 기록한 가장 간단한 속성이 아니기 때문에 이제 문제를 해결하는 데 사용할 속성이 바로 이러한 속성입니다.

먼저, lg 5 앞에 인자 2를 더하면 밑수 5의 거듭제곱이 된다는 점에 유의하세요. 또한, 자유항 3은 로그로도 표현될 수 있습니다. 이는 표기법으로 관찰하기가 매우 쉽습니다.

스스로 판단하세요. 모든 숫자는 10진수 로그로 표시될 수 있습니다.

3 = 로그 10 10 3 = 로그 10 3

얻은 변경 사항을 고려하여 원래 문제를 다시 작성해 보겠습니다.

로그(x − 3) = 로그 1000 + 로그 25
로그(x − 3) = 로그 1000 25
로그(x − 3) = 로그 25,000

우리 앞에는 다시 표준 형식이 있으며 변환 단계를 거치지 않고 이를 얻었습니다. 즉, 가장 간단한 로그 방정식은 어디에도 나타나지 않았습니다.

이것이 바로 제가 수업 초반에 이야기했던 내용입니다. 표준 형식을 사용하면 표준 형식보다 더 넓은 종류의 문제를 해결할 수 있습니다. 학교 공식, 대부분의 학교 교사가 제공합니다.

자, 그게 다입니다. 십진 로그의 부호를 제거하고 간단한 선형 구조를 얻습니다.

x + 3 = 25,000
엑스 = 24,997

모두! 문제가 해결되었습니다.

범위에 대한 참고 사항

여기에 가져오고 싶습니다 중요한 메모정의의 범위에 관하여. 분명히 이제 다음과 같이 말하는 학생과 교사가 있을 것입니다. "대수로 식을 풀 때 인수 f(x)는 0보다 커야 한다는 것을 기억해야 합니다!" 이와 관련하여 논리적인 질문이 제기됩니다. 고려된 문제 중 어떤 것에서도 이러한 불평등이 충족되도록 요구하지 않은 이유는 무엇입니까?

괜찮아요. 이 경우 추가 루트가 나타나지 않습니다. 그리고 이것은 솔루션 속도를 높일 수 있는 또 다른 훌륭한 트릭입니다. 문제에서 변수 x가 한 곳(또는 단일 로그의 단일 인수)에서만 발생하고 우리의 경우 변수 x가 다른 곳에서는 나타나지 않는 경우 정의 영역을 적어 두십시오. 필요없어, 자동으로 실행되기 때문입니다.

스스로 판단하십시오: 첫 번째 방정식에서 우리는 3x − 1을 얻었습니다. 즉, 인수는 8과 같아야 합니다. 이는 자동으로 3x − 1이 0보다 크다는 것을 의미합니다.

동일한 성공으로 두 번째 경우 x는 5 2와 같아야 한다고 작성할 수 있습니다. 즉, 확실히 0보다 커야 합니다. 세 번째 경우에는 x + 3 = 25,000, 즉 다시 말해 분명히 0보다 큽니다. 즉, 범위는 자동으로 충족되지만 x가 단 하나의 로그 인수에서만 발생하는 경우에만 충족됩니다.

이것이 가장 간단한 문제를 해결하기 위해 알아야 할 전부입니다. 변환 규칙과 함께 이 규칙만으로도 매우 광범위한 문제를 해결할 수 있습니다.

하지만 솔직히 말해서 이 기술을 최종적으로 이해하고 로그 방정식의 표준 형식을 적용하는 방법을 배우려면 비디오 강의를 하나만 시청하는 것만으로는 충분하지 않습니다. 그러므로 지금 당장 이 비디오 강의에 첨부된 독립 솔루션 옵션을 다운로드하고 이 두 독립 작품 중 적어도 하나를 풀어보세요.

문자 그대로 몇 분이 소요됩니다. 하지만 이러한 훈련의 효과는 단순히 이 비디오 강의를 시청했을 때보다 훨씬 더 높아질 것입니다.

이 수업이 로그 방정식을 이해하는 데 도움이 되기를 바랍니다. 표준 형식을 사용하고 로그 작업 규칙을 사용하여 표현식을 단순화하면 어떤 문제도 두려워하지 않을 것입니다. 오늘은 그게 전부입니다.

정의 영역을 고려

이제 로그 함수의 정의 영역과 이것이 로그 방정식의 해에 어떤 ​​영향을 미치는지 이야기해 보겠습니다. 양식 구성을 고려하십시오.

로그 a f(x) = b

이러한 표현식을 가장 단순하다고 합니다. 함수는 하나만 포함되어 있고 숫자 a와 b는 숫자일 뿐이며 어떤 경우에도 변수 x에 의존하는 함수가 아닙니다. 아주 간단하게 해결 가능합니다. 다음 공식을 사용하면 됩니다.

b = 로그 a a b

이 공식은 다음 중 하나입니다. 주요 속성로그로 변환하고 원래 표현식으로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

로그 a f (x) = 로그 a a b

에프(x) = ab

이것은 학교 교과서에 나오는 친숙한 공식입니다. 많은 학생들은 아마도 다음과 같은 질문을 할 것입니다. 원래 표현식에서 함수 f(x)는 로그 기호 아래에 있으므로 다음과 같은 제한 사항이 적용됩니다.

에프(엑스) > 0

이 제한은 다음의 로그 때문에 적용됩니다. 음수존재하지 않습니다. 그렇다면 이러한 제한으로 인해 답변 확인 기능이 도입되어야 할까요? 아마도 소스에 삽입해야 할까요?

아니요, 가장 간단한 로그 방정식에서는 추가 검사가 필요하지 않습니다. 그 이유는 다음과 같습니다. 최종 공식을 살펴보세요.

에프(x) = ab

사실 숫자 a는 어떤 경우에도 0보다 큽니다. 이 요구 사항은 로그에도 적용됩니다. 숫자 a는 밑수입니다. 이 경우 숫자 b에는 제한이 없습니다. 그러나 이것은 중요하지 않습니다. 왜냐하면 우리가 양수를 어떤 거듭제곱으로 올리더라도 출력에서는 여전히 양수를 얻게 되기 때문입니다. 따라서 요구사항 f(x) > 0이 자동으로 충족됩니다.

실제로 확인할 가치가 있는 것은 로그 기호 아래에 있는 함수의 도메인입니다. 상당히 복잡한 구조가 있을 수 있으며, 솔루션 과정에서 반드시 이를 주의 깊게 관찰해야 합니다. 어디 보자.

첫 번째 작업:

첫 번째 단계: 오른쪽의 분수를 변환하세요. 우리는 다음을 얻습니다:

로그 기호를 제거하고 일반적인 비합리 방정식을 얻습니다.

얻은 뿌리 중 두 번째 뿌리 이후로 첫 번째 뿌리만 우리에게 적합합니다. 0보다 작음. 유일한 대답은 숫자 9입니다. 그게 다입니다. 문제가 해결되었습니다. 로그 기호 아래의 표현식이 0보다 큰지 확인하기 위해 추가 검사가 필요하지 않습니다. 이는 단순히 0보다 큰 것이 아니라 방정식의 조건에 따라 2와 같기 때문입니다. 따라서 "0보다 큰" 요구 사항은 다음과 같습니다. ”가 자동으로 만족됩니다.

두 번째 작업으로 넘어가겠습니다.

여기에서는 모든 것이 동일합니다. 트리플을 대체하여 구성을 다시 작성합니다.

로그 기호를 제거하고 비합리적인 방정식을 얻습니다.

제한 사항을 고려하여 양쪽을 제곱하면 다음을 얻습니다.

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

판별식을 통해 결과 방정식을 풉니다.

D = 49 – 24 = 25

x 1 = -1

x 2 = -6

그러나 x = −6은 우리에게 적합하지 않습니다. 왜냐하면 이 숫자를 부등식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있기 때문입니다.

−6 + 4 = −2 < 0

우리의 경우에는 0보다 크거나 극단적인 경우에는 같아야 합니다. 그러나 x = −1이 우리에게 적합합니다:

−1 + 4 = 3 > 0

우리의 경우 유일한 대답은 x = −1입니다. 그것이 해결책입니다. 계산의 시작 부분으로 돌아가 보겠습니다.

이 강의의 주요 내용은 간단한 로그 방정식의 함수에 대한 제약 조건을 확인할 필요가 없다는 것입니다. 솔루션 프로세스 중에 모든 제약 조건이 자동으로 충족되기 때문입니다.

그러나 이것이 확인을 완전히 잊을 수 있다는 의미는 아닙니다. 로그 방정식을 작업하는 과정에서 우변에 대한 고유한 제한 사항과 요구 사항이 있는 비합리적인 방정식으로 변할 수 있습니다. 이는 오늘 두 가지 다른 예에서 확인했습니다.

그러한 문제는 자유롭게 해결하고 논쟁에 뿌리가 있다면 특히 조심하십시오.

다양한 밑수를 갖는 로그 방정식

우리는 로그 방정식을 계속 연구하고 더 많은 문제를 해결하는 데 사용되는 매우 흥미로운 두 가지 기술을 살펴봅니다. 복잡한 디자인. 하지만 먼저 가장 간단한 문제가 어떻게 해결되는지 기억해 봅시다.

로그 a f(x) = b

이 항목에서 a와 b는 숫자이고 함수 f(x)에는 변수 x가 존재해야 하며 거기에서만, 즉 x가 인수에만 있어야 합니다. 우리는 표준 형식을 사용하여 이러한 로그 방정식을 변환할 것입니다. 이렇게 하려면 다음 사항에 유의하세요.

b = 로그 a a b

게다가, a b는 정확하게 논증입니다. 이 표현식을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.

로그 a f (x) = 로그 a a b

이것이 바로 우리가 달성하려고 하는 것입니다. 따라서 왼쪽과 오른쪽 모두에 a를 기반으로 하는 로그가 있습니다. 이 경우 비유적으로 말하면 로그 기호를 지울 수 있으며 수학적 관점에서 단순히 인수를 동일시한다고 말할 수 있습니다.

에프(x) = ab

결과적으로 우리는 훨씬 더 쉽게 풀 수 있는 새로운 표현식을 얻게 될 것입니다. 오늘 우리의 문제에 이 규칙을 적용해 봅시다.

첫 번째 디자인은 다음과 같습니다.

우선, 오른쪽에는 분모가 로그인 분수가 있습니다. 이와 같은 표현식을 볼 때 로그의 놀라운 속성을 기억하는 것이 좋습니다.

러시아어로 번역하면 이는 모든 로그가 임의의 밑수 c를 갖는 두 로그의 몫으로 표현될 수 있음을 의미합니다. 물론 0< с ≠ 1.

그래서: 이 공식은 하나의 멋진 것을 가지고 있습니다 특별한 경우, 변수 c가 변수와 같을 때 비. 이 경우 다음과 같은 구성을 얻습니다.

이것이 바로 방정식의 오른쪽 기호에서 볼 수 있는 구성입니다. 이 구성을 log a b 로 바꾸면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

즉, 원래 작업과 비교하여 인수와 로그의 밑을 바꿨습니다. 대신 분수를 반대로 바꿔야 했습니다.

다음 규칙에 따라 기본에서 모든 학위가 파생될 수 있음을 기억합니다.

즉 밑의 거듭제곱인 계수 k를 역분수로 표현한다. 이를 역분수로 렌더링해 보겠습니다.

분수 요소는 앞에 남겨둘 수 없습니다. 왜냐하면 이 경우 우리는 이 표기법을 표준 형식으로 표현할 수 없기 때문입니다(결국 표준 형식에서는 두 번째 로그 앞에 추가 요소가 없습니다). 따라서 분수 1/4을 인수에 거듭제곱으로 추가해 보겠습니다.

이제 우리는 기반이 동일한(그리고 우리의 기반이 실제로 동일한) 인수를 동일시하고 다음과 같이 작성합니다.

엑스 + 5 = 1

x = -4

그게 다야. 우리는 첫 번째 로그 방정식에 대한 답을 얻었습니다. 참고: 원래 문제에서 변수 x는 하나의 로그에만 나타나며 해당 인수에도 나타납니다. 따라서 도메인을 확인할 필요가 없으며 우리의 숫자 x = −4가 실제로 답입니다.

이제 두 번째 표현으로 넘어가겠습니다.

로그 56 = 로그 2 로그 2 7 − 3log (x + 4)

여기서는 일반적인 로그 외에도 log f(x)를 사용하여 작업해야 합니다. 그러한 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까? 준비되지 않은 학생에게는 이것이 일종의 어려운 작업처럼 보일 수 있지만 실제로는 모든 것이 초보적인 방법으로 해결될 수 있습니다.

lg 2 log 2 7이라는 용어를 자세히 살펴보십시오. 이에 대해 무엇을 말할 수 있습니까? log와 lg의 기반과 인수는 동일하며 이는 몇 가지 아이디어를 제공합니다. 로그 기호 아래에서 어떻게 거듭제곱을 구하는지 다시 한 번 기억해 봅시다.

로그 a b n = nlog a b

즉, 인수에서 b의 거듭제곱이었던 것이 로그 자체보다 앞선 인수가 됩니다. 이 공식을 lg 2 log 2 7 표현식에 적용해 보겠습니다. lg 2 때문에 겁먹지 마세요. 이것은 가장 일반적인 표현식입니다. 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

다른 로그에 적용되는 모든 규칙은 이에 대해 유효합니다. 특히, 논증의 정도에 따라 앞의 요소가 추가될 수 있다. 적어 봅시다:

한 로그를 다른 로그 아래에 입력하는 것은 좋지 않기 때문에 학생들은 이 작업을 직접 보지 못하는 경우가 많습니다. 사실, 이것에 대해 범죄적인 것은 없습니다. 또한 중요한 규칙을 기억하면 계산하기 쉬운 공식을 얻을 수 있습니다.

이 공식은 정의이자 속성 중 하나로 간주될 수 있습니다. 어쨌든 로그 방정식을 변환하는 경우 숫자의 로그 표현을 아는 것과 마찬가지로 이 공식을 알아야 합니다.

우리의 임무로 돌아가자. 등호 오른쪽의 첫 번째 항이 단순히 lg 7과 같다는 사실을 고려하여 이를 다시 작성합니다.

lg56 = lg7 − 3lg (x + 4)

LG 7을 왼쪽으로 옮기면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

lg 56 − 로그 7 = −3lg (x + 4)

베이스가 동일하므로 왼쪽 표현식을 뺍니다.

lg(56/7) = −3lg(x + 4)

이제 우리가 얻은 방정식을 자세히 살펴보겠습니다. 이는 실질적으로 표준 형식이지만 오른쪽에 요소 -3이 있습니다. 오른쪽 lg 인수에 추가해 보겠습니다.

로그 8 = 로그 (x + 4) −3

우리 앞에는 로그 방정식의 표준 형식이 있으므로 lg 기호를 지우고 인수를 동일시합니다.

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0.5

그게 다야! 우리는 두 번째 로그 방정식을 풀었습니다. 이 경우 원래 문제에서는 x가 하나의 인수에만 존재했기 때문에 추가 검사가 필요하지 않습니다.

다시 한번 나열해보겠습니다 요점이 수업.

로그 방정식을 푸는 데 전념하는 이 페이지의 모든 단원에서 가르치는 주요 공식은 표준 형식입니다. 그리고 대부분의 학교 교과서에서는 그러한 문제를 다르게 해결하는 방법을 가르친다는 사실에 겁먹지 마세요. 이 도구는 매우 효과적으로 작동하며 수업 초반에 공부했던 가장 간단한 문제보다 훨씬 더 광범위한 문제를 해결할 수 있습니다.

또한, 로그 방정식을 풀기 위해서는 기본 속성을 아는 것이 유용할 것입니다. 즉:

1. 한 밑수로 이동하는 공식과 로그를 역전시킬 때의 특수한 경우(이것은 첫 번째 문제에서 우리에게 매우 유용했습니다)
2. 로그 기호에서 거듭제곱을 더하고 빼는 공식입니다. 여기서 많은 학생들은 막혀서 이수하고 도입한 학위 자체가 로그 f(x)를 포함할 수 있다는 것을 보지 못합니다. 아무 문제가 없습니다. 우리는 다른 로그의 부호에 따라 하나의 로그를 도입하는 동시에 문제 해결을 크게 단순화할 수 있는데, 이는 두 번째 경우에서 관찰되는 것입니다.

결론적으로, 변수 x는 로그의 한 부호에만 존재하고 동시에 인수에도 있기 때문에 이러한 각 경우에 정의 영역을 확인할 필요가 없다는 점을 덧붙이고 싶습니다. 결과적으로 범위의 모든 요구 사항이 자동으로 충족됩니다.

가변 베이스 문제

오늘 우리는 완전히 풀 수는 없더라도 많은 학생들에게 비표준처럼 보이는 로그 방정식을 살펴볼 것입니다. 우리는 숫자가 아닌 변수, 심지어 함수를 기반으로 하는 표현식에 대해 이야기하고 있습니다. 우리는 표준 기술, 즉 표준 형식을 사용하여 이러한 구성을 해결할 것입니다.

먼저, 일반적인 숫자를 기반으로 가장 간단한 문제가 어떻게 해결되는지 기억해 봅시다. 그래서 가장 간단한 구조라고 합니다.

로그 a f(x) = b

이러한 문제를 해결하기 위해 다음 공식을 사용할 수 있습니다.

b = 로그 a a b

원래 표현식을 다시 작성하면 다음을 얻습니다.

로그 a f (x) = 로그 a a b

그런 다음 인수를 동일시합니다. 즉, 다음과 같이 작성합니다.

에프(x) = ab

따라서 우리는 로그 기호를 제거하고 일반적인 문제를 해결합니다. 이 경우, 해에서 얻은 근은 원래 로그 방정식의 근이 됩니다. 또한, 왼쪽과 오른쪽이 모두 동일한 밑을 갖는 동일한 로그에 있을 때의 기록을 정준형(canonical form)이라고 합니다. 우리가 오늘날의 디자인을 줄이려고 노력하는 것은 그러한 기록입니다. 자, 가자.

첫 번째 작업:

로그 x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

1을 log x − 2 (x − 2) 1 로 바꿉니다. 인수에서 우리가 관찰하는 정도는 실제로 등호 오른쪽에 있는 숫자 b입니다. 따라서 표현을 다시 작성해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

로그 x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 로그 x − 2 (x − 2)

우리는 무엇을 봅니까? 우리 앞에는 로그 방정식의 표준 형식이 있으므로 인수를 안전하게 동일시할 수 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

그러나 이 방정식은 원래 방정식과 동일하지 않기 때문에 해결책은 여기서 끝나지 않습니다. 결국 결과 구성은 전체 수직선에 정의된 함수로 구성되며 원래 로그는 모든 곳에 정의되지 않으며 항상 그런 것은 아닙니다.

그러므로 정의 영역을 별도로 적어야 합니다. 머리카락을 나누지 말고 먼저 모든 요구 사항을 적어 두십시오.

먼저, 각 로그의 인수는 0보다 커야 합니다.

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

둘째, 밑은 0보다 커야 할 뿐만 아니라 1과도 달라야 합니다.

x − 2 ≠ 1

결과적으로 우리는 다음과 같은 시스템을 얻습니다.

하지만 놀라지 마세요. 로그 방정식을 처리할 때 이러한 시스템이 크게 단순화될 수 있습니다.

스스로 판단하십시오. 한편으로는 이차 함수가 0보다 커야 하고, 다른 한편으로 이 이차 함수는 특정 선형 표현식과 동일하며, 이는 또한 0보다 커야 합니다.

이 경우 x − 2 > 0을 요구하면 2x 2 − 13x + 18 > 0 요구 사항이 자동으로 충족됩니다. 따라서 다음을 포함하는 부등식을 안전하게 지울 수 있습니다. 이차 함수. 따라서 우리 시스템에 포함된 표현의 수는 3개로 줄어들 것입니다.

물론, 우리는 그냥 지울 수도 있어요 선형 부등식, 즉, x − 2 > 0을 지우고 2x 2 − 13x + 18 > 0을 요구합니다. 그러나 전체를 푼 결과라 할지라도 가장 단순한 선형 부등식을 푸는 것이 2차 부등식보다 훨씬 빠르고 쉽다는 데 동의해야 합니다. 이 시스템은 동일한 뿌리를 갖게 될 것입니다.

일반적으로 가능할 때마다 계산을 최적화하도록 노력하십시오. 그리고 로그 방정식의 경우 가장 어려운 부등식을 지웁니다.

시스템을 다시 작성해 보겠습니다.

여기에 세 가지 표현의 체계가 있는데, 사실 그 중 두 가지를 이미 다루었습니다. 따로 적어보자 이차 방정식그리고 그것을 해결해 봅시다:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

우리 앞에는 축소된 이차 삼항식이 있으므로 Vieta의 공식을 사용할 수 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

이제 우리는 시스템으로 돌아가서 x = 2가 우리에게 적합하지 않다는 것을 발견했습니다. 왜냐하면 x는 엄격하게 2보다 커야 하기 때문입니다.

그러나 x = 5는 우리에게 완벽하게 적합합니다. 숫자 5는 2보다 크고 동시에 5는 3과 ​​같지 않습니다. 따라서 이 시스템의 유일한 해는 x = 5입니다.

그게 다입니다. ODZ를 고려하는 것을 포함하여 문제가 해결되었습니다. 두 번째 방정식으로 넘어가겠습니다. 더 흥미롭고 유익한 계산이 여기에서 우리를 기다리고 있습니다.

첫 번째 단계: 지난번과 마찬가지로 이 모든 문제를 정식 형식으로 가져옵니다. 이를 위해 숫자 9를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

루트로 베이스를 건드릴 필요는 없지만 인수를 변환하는 것이 좋습니다. 유리수 지수를 사용하여 근에서 거듭제곱으로 이동해 보겠습니다. 적어보자:

전체 대수 방정식을 다시 작성하지 않고 즉시 인수를 동일시하겠습니다.

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

새로 약화된 이차 삼항식 앞에 Vieta의 공식을 사용하여 작성해 보겠습니다.

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

그래서 우리는 근을 얻었지만 누구도 그것이 원래의 로그 방정식에 맞을 것이라고 보장하지 않았습니다. 결국, 로그 기호는 추가적인 제한을 부과합니다(여기서는 시스템을 적어야 했지만 전체 구조의 번거로운 특성으로 인해 정의 영역을 별도로 계산하기로 결정했습니다).

우선 인수는 0보다 커야 합니다. 즉, 다음과 같습니다.

이는 정의 범위에 따라 부과되는 요구 사항입니다.

시스템의 처음 두 표현을 서로 동일시하므로 그 중 하나를 지울 수 있다는 점을 즉시 알아두겠습니다. 두 번째 것보다 더 위협적으로 보이기 때문에 첫 번째 것을 지웁시다.

또한 두 번째 및 세 번째 불평등에 대한 해법은 동일한 세트가 될 것입니다(이 숫자 자체가 0보다 큰 경우 일부 숫자의 세제곱은 0보다 큽니다. 마찬가지로 3차 근을 사용하면 이러한 불평등이 발생합니다). 완전히 유사하므로 생략할 수 있습니다).

그러나 세 번째 부등식에서는 이것이 작동하지 않습니다. 두 부분을 모두 입방체로 올려 왼쪽의 근호를 제거해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

따라서 우리는 다음과 같은 요구 사항을 얻습니다.

− 2 ≠ x > −3

x 1 = −3 또는 x 2 = −1 중 어느 것이 이러한 요구 사항을 충족합니까? 명백히 x = −1만이 x = −3이므로 첫 번째 부등식을 만족하지 않습니다(부등식은 엄격하므로). 따라서 문제로 돌아가면 하나의 근(x = −1)을 얻습니다. 그게 다야, 문제가 해결되었습니다.

다시 한 번, 이 작업의 핵심 사항은 다음과 같습니다.

1. 표준 형식을 사용하여 로그 방정식을 자유롭게 적용하고 풀 수 있습니다. 원래 문제에서 로그 a f(x) = b와 같은 구성으로 직접 이동하는 대신 이러한 방식으로 작성하는 학생들은 많은 것을 허용합니다. 오류 감소어딘가 서둘러 계산의 중간 단계를 건너뛰는 사람들보다;
2. 변수 밑이 로그에 나타나자마자 문제는 더 이상 가장 단순하지 않습니다. 따라서 이 문제를 풀 때 정의 영역을 고려해야 합니다. 인수는 0보다 커야 하며 밑은 0보다 커야 할 뿐만 아니라 1과 같아도 안 됩니다.

최종 요구사항은 다양한 방식으로 최종 답변에 적용될 수 있습니다. 예를 들어 정의 영역에 대한 모든 요구 사항을 포함하는 전체 시스템을 해결할 수 있습니다. 반면에 먼저 문제 자체를 해결한 다음 정의 영역을 기억하고 이를 시스템 형태로 별도로 해결하여 결과 루트에 적용할 수 있습니다.

특정 로그 방정식을 풀 때 어떤 방법을 선택할지는 귀하에게 달려 있습니다. 어쨌든 대답은 같을 것이다.

오늘 우리는 로그 공식그리고 지표를 제공 솔루션 예시.

그것들 자체는 로그의 기본 속성에 따른 해법 패턴을 암시합니다. 문제를 해결하기 위해 로그 공식을 적용하기 전에 모든 속성을 상기시켜 드리겠습니다.

이제 이러한 공식(속성)을 바탕으로 다음을 보여드리겠습니다. 로그 해결의 예.

공식을 기반으로 로그를 푸는 예.

로그 정수 b를 밑수 a로(log a b로 표시)는 b > 0, a > 0, 1인 b를 얻기 위해 a를 반올림해야 하는 지수입니다.

정의에 따르면 log a b = x는 a x = b와 동일하므로 log a a x = x입니다.

로그, 예:

로그 2 8 = 3, 왜냐하면 2 3 = 8

로그 7 49 = 2, 왜냐하면 7 2 = 49

로그 5 1/5 = -1, 왜냐하면 5 -1 = 1/5

십진 로그- 이것은 밑이 10인 일반 로그입니다. lg로 표시됩니다.

로그 10 100 = 2, 왜냐하면 10 2 = 100

자연로그- 또한 일반적인 로그 로그이지만 e를 밑으로 합니다(e = 2.71828... - 무리수). ln으로 표시됩니다.

로그, 로그 방정식, 부등식을 풀 때 로그가 필요하기 때문에 로그의 공식이나 속성을 기억해 두는 것이 좋습니다. 예제를 통해 각 공식을 다시 살펴보겠습니다.

• 기본 로그 항등식
  a 로그 a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• 곱의 로그는 로그의 합과 같습니다.
  로그 a (bc) = 로그 a b + 로그 a c

  로그 3 8.1 + 로그 3 10 = 로그 3 (8.1*10) = 로그 3 81 = 4

• 몫의 로그는 로그의 차이와 같습니다.
  로그 a (b/c) = 로그 a b - 로그 a c

  9 로그 5 50 /9 로그 5 2 = 9 로그 5 50- 로그 5 2 = 9 로그 5 25 = 9 2 = 81

• 로그 수의 거듭제곱과 로그 밑의 속성

  로그 수의 지수 log a b m = mlog a b

  로그 밑의 지수 log a n b =1/n*log a b

  로그 a n b m = m/n*log a b,

  m = n이면 log a n b n = log a b를 얻습니다.

  로그 4 9 = 로그 2 2 3 2 = 로그 2 3

• 새로운 기반으로의 전환
  로그 a b = 로그 c b/로그 c a,

  c = b이면 log b b = 1을 얻습니다.

  그런 다음 로그 a b = 1/log b a

  로그 0.8 3*로그 3 1.25 = 로그 0.8 3*로그 0.8 1.25/로그 0.8 3 = 로그 0.8 1.25 = 로그 4/5 5/4 = -1

보시다시피 로그 공식은 보이는 것만큼 복잡하지 않습니다. 이제 로그 해결의 예를 살펴본 후 로그 방정식으로 넘어갈 수 있습니다. ""기사에서 로그 방정식을 푸는 예를 더 자세히 살펴보겠습니다. 놓치지 마세요!

솔루션에 대해 여전히 궁금한 점이 있으면 기사 댓글에 적어주세요.

참고: 우리는 옵션으로 다른 수준의 교육과 해외 유학을 받기로 결정했습니다.

로그 표현, 예제 해결. 이 기사에서는 로그 해결과 관련된 문제를 살펴보겠습니다. 과제는 표현의 의미를 찾는 질문을 던집니다. 로그의 개념은 많은 작업에 사용되며 그 의미를 이해하는 것이 매우 중요하다는 점에 유의해야 합니다. 통합 상태 시험의 경우 방정식을 풀 때 로그가 사용됩니다. 응용 문제, 기능 연구와 관련된 작업에서도 마찬가지입니다.

로그의 의미를 이해하기 위해 예를 들어 보겠습니다.

기본 로그 항등식:

항상 기억해야 할 로그의 속성:

*곱의 로그는 요인의 로그의 합과 같습니다.

* * *

*몫(분수)의 로그는 요소의 로그 간의 차이와 같습니다.

* * *

*지수의 로그는 지수와 그 밑의 로그를 곱한 것과 같습니다.

* * *

*새로운 재단으로의 전환

* * *

추가 속성:

* * *

로그 계산은 지수 속성의 사용과 밀접한 관련이 있습니다.

그 중 일부를 나열해 보겠습니다.

본질 이 부동산의분자를 분모로 옮기거나 그 반대로 옮기면 지수의 부호가 반대로 바뀐다는 사실에 있습니다. 예를 들어:

이 속성의 결과는 다음과 같습니다.

* * *

거듭제곱을 거듭제곱할 때 밑수는 동일하게 유지되지만 지수는 곱해집니다.

* * *

보시다시피 로그의 개념 자체는 간단합니다. 가장 중요한 것은 특정 기술을 제공하는 좋은 연습이 필요하다는 것입니다. 물론 공식에 대한 지식도 필요합니다. 기본 로그를 변환하는 기술이 개발되지 않은 경우 문제를 해결할 때 간단한 작업실수하기 쉽습니다.

연습하고, 먼저 수학 과정의 가장 간단한 예를 푼 다음, 더 복잡한 예를 진행하세요. 앞으로는 "못생긴" 로그가 어떻게 해결되는지 확실히 보여줄 것입니다. 이는 통합 국가 시험에는 나타나지 않지만 흥미롭습니다. 놓치지 마세요!

그게 다야! 행운을 빕니다!

감사합니다, Alexander Krutitskikh

추신: 소셜 네트워크 사이트에 대해 알려주시면 감사하겠습니다.

숫자의 로그 N 기반으로 에이 지수라고 함 엑스 , 이를 구축해야 합니다. 에이 번호를 얻으려고 N

제공되는
,
,

로그의 정의로부터 다음과 같습니다:
, 즉.
- 이 평등은 기본 로그 항등식입니다.

밑이 10인 로그를 십진 로그라고 합니다. 대신에
쓰다
.

밑수에 대한 로그 이자형 자연이라고 불리며 지정되었습니다.
.

로그의 기본 속성.

모든 밑수에 대한 단일 로그는 0과 같습니다.

곱의 로그는 요인의 로그의 합과 같습니다.

3) 몫의 로그는 로그의 차이와 같습니다.

요인
로그에서 밑으로의 전환 계수라고 함 에이 밑바닥의 로그에 비 .

속성 2-5를 사용하면 복잡한 표현식의 로그를 로그에 대한 간단한 산술 연산의 결과로 줄이는 것이 가능한 경우가 많습니다.

예를 들어,

이러한 로그 변환을 로그라고 합니다. 로그에 대한 역변환을 강화라고 합니다.

2 장. 고등 수학의 요소.

1. 한도

기능의 한계
다음과 같이 유한수 A는 다음과 같습니다. xx 0 미리 정해진 각각에 대해
, 그런 숫자가 있어요
그 즉시
, 저것
.

한계가 있는 함수는 극소량만큼 다릅니다.
, 여기서 - b.m.v., 즉
.

예. 기능을 고려하십시오
.

노력할 때
, 기능 와이 0이 되는 경향이 있습니다:

1.1. 극한에 관한 기본 정리.

상수 값의 극한은 이 상수 값과 같습니다.

.

유한한 수의 함수의 합(차)의 극한은 이러한 함수의 극한의 합(차)과 같습니다.

유한한 수의 함수의 곱의 극한은 이러한 함수의 극한의 곱과 같습니다.

두 함수의 몫의 극한은 분모의 극한이 0이 아닌 경우 이러한 함수의 극한의 몫과 같습니다.

놀라운 한계

,
, 어디

1.2. 한도 계산 예시

그러나 모든 한계가 그렇게 쉽게 계산되는 것은 아닙니다. 종종 한계를 계산하면 유형의 불확실성이 드러납니다. 또는 .

.

2. 함수의 파생

함수를 하나 가지자
, 세그먼트에서 연속
.

논쟁 좀 늘었어
. 그러면 함수는 증가분을 받게 됩니다.
.

인수 값 함수 값에 해당합니다.
.

인수 값
함수 값에 해당합니다.

따라서, .

이 비율의 극한을 다음에서 찾아보자.
. 이 극한이 존재하면 이를 주어진 함수의 도함수라고 합니다.

정의 3 주어진 함수의 파생
논쟁으로 인수의 증가가 임의로 0이 되는 경향이 있을 때 인수의 증가에 대한 함수의 증가 비율의 한계라고 합니다.

함수의 파생
다음과 같이 지정할 수 있습니다.

; ; ; .

정의 4함수의 미분을 찾는 작업을 다음과 같이 부릅니다. 분화.

2.1. 파생어의 기계적 의미.

강체나 물질점의 직선 운동을 생각해 봅시다.

어느 시점에 보자 이동점
멀리 떨어져 있었다 시작 위치에서
.

일정 시간이 지나면
그녀는 멀리 이사했다
. 태도 =- 평균 속도재료 포인트
. 다음을 고려하여 이 비율의 극한을 찾아봅시다.
.

결과적으로, 물질 점의 순간 운동 속도를 결정하는 것은 시간에 대한 경로의 도함수를 찾는 것으로 축소됩니다.

2.2. 도함수의 기하학적 값

그래픽으로 정의된 함수를 만들어 보겠습니다.
.

쌀. 1. 도함수의 기하학적 의미

만약에
, 다음을 가리킨다
, 곡선을 따라 이동하여 점에 접근합니다.
.

따라서
, 즉. 주어진 인수 값에 대한 도함수 값 주어진 점에서 축의 양의 방향과 접선이 이루는 각도의 접선과 수치적으로 같습니다.
.

2.3. 기본 차별화 공식 표.

전력 기능

지수함수

로그 함수

삼각함수

역삼각함수

2.4. 차별화 규칙.

파생어

함수의 합(차)의 미분

두 함수의 곱의 파생

두 함수의 몫의 파생

2.5. 파생어 복잡한 기능.

기능을 부여하자
형태로 표현될 수 있도록

그리고
, 여기서 변수는 중간 논증이라면

복소 함수의 도함수는 중간 인수에 대한 주어진 함수의 도함수와 x에 대한 중간 인수의 도함수를 곱한 것과 같습니다.

예시 1.

예시 2.

3. 미분 기능.

있게 해주세요
, 일정 간격으로 미분 가능
그리고 보자 ~에 이 함수에는 파생이 있습니다

,

그럼 우리 쓸 수 있어

(1),

어디 - 무한한 양,

언제부터

모든 평등 조건 (1)에 다음을 곱합니다.
우리는:

어디
- b.m.v. 더 높은 순서.

크기
함수의 미분이라고 함
지정되어 있으며

.

3.1. 미분의 기하학적 값입니다.

기능을 부여하자
.

그림 2. 미분의 기하학적 의미.

.

분명히 함수의 미분은
주어진 지점에서 접선의 세로좌표의 증분과 같습니다.

3.2. 다양한 주문의 파생 상품과 미분 상품.

만약 있다면
, 그 다음에
1차 파생상품이라고 합니다.

1차 도함수의 도함수를 2차 도함수라고 하며 다음과 같이 씁니다.
.

함수의 n차 도함수
는 (n-1)차 도함수라고 불리며 다음과 같이 쓰여집니다:

.

함수의 미분의 미분을 2차 미분 또는 2차 미분이라고 합니다.

.

.

3.3 분화를 이용하여 생물학적 문제를 해결합니다.

작업 1. 연구에 따르면 미생물 군집의 성장은 법을 준수하는 것으로 나타났습니다.
, 어디 N – 미생물 수(천 단위), 티 – 시간(일).

b) 이 기간 동안 식민지의 인구가 증가할 것인가, 감소할 것인가?

답변. 식민지의 크기가 증가합니다.

작업 2. 병원성 박테리아의 함량을 모니터링하기 위해 호수의 물을 주기적으로 테스트합니다. 을 통해 티 테스트 후 며칠 후 박테리아의 농도는 비율에 따라 결정됩니다.

.

호수의 박테리아 농도는 언제 최소가 되며 수영이 가능합니까?

해결 방법: 함수의 도함수가 0일 때 함수는 최대 또는 최소에 도달합니다.

,

최대값 또는 최소값이 6일 후인지 결정해 보겠습니다. 이를 위해 2차 미분을 살펴보겠습니다.

대답: 6일 후에는 박테리아 농도가 최소 수준이 됩니다.