주제에 대한 강의 및 프레젠테이션: "숫자 순서. 기하학적 진행"
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거듭제곱과 근 함수와 그래프
여러분, 오늘 우리는 또 다른 유형의 진행에 대해 알게 될 것입니다.
오늘 수업의 주제는 기하학적 진행.
기하학적 진행
정의. 두 번째부터 시작하는 각 항이 이전 항의 곱과 동일하고 일부 고정된 숫자가 나타나는 수열을 기하수열이라고 합니다.시퀀스를 재귀적으로 정의해 보겠습니다. $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
여기서 b와 q는 특정 숫자입니다. 숫자 q를 수열의 분모라고 합니다.
예. 1,2,4,8,16... 첫 번째 항이 1이고 $q=2$인 기하학적 수열입니다.
예. 8,8,8,8... 첫 번째 항이 8인 기하학적 수열,
그리고 $q=1$.
예. 3,-3,3,-3,3... 첫 번째 항이 3인 기하학적 수열,
그리고 $q=-1$.
기하학적 진행은 단조로운 특성을 가지고 있습니다.
$b_(1)>0$, $q>1$인 경우,
그런 다음 시퀀스가 증가합니다.
$b_(1)>0$인 경우 $0 시퀀스는 일반적으로 $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$ 형식으로 표시됩니다.
산술수열과 마찬가지로 기하수열에서 요소의 개수가 유한하면 그 수열을 유한기하수열이라고 합니다.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
수열이 기하수열이면 항의 제곱수열도 기하수열이라는 점에 유의하세요. 두 번째 수열에서 첫 번째 항은 $b_(1)^2$와 같고 분모는 $q^2$와 같습니다.
기하수열의 n번째 항에 대한 공식
기하학적 수열은 분석 형식으로 지정할 수도 있습니다. 이를 수행하는 방법을 살펴보겠습니다.$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
$b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$ 패턴을 쉽게 알 수 있습니다.
우리의 공식은 "기하수열의 n번째 항의 공식"이라고 불립니다.
우리의 예로 돌아가 보겠습니다.
예. 1,2,4,8,16... 첫 번째 항이 1인 기하학적 수열,
그리고 $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
예. 16,8,4,2,1,1/2… 첫 번째 항이 16이고 $q=\frac(1)(2)$인 기하수열입니다.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
예. 8,8,8,8... 첫 번째 항이 8이고 $q=1$인 기하 수열입니다.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
예. 3,-3,3,-3,3... 첫 번째 항이 3이고 $q=-1$인 기하수열입니다.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
예. 기하급수 $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $가 주어집니다.
a) $b_(1)=6, q=3$인 것으로 알려져 있습니다. $b_(5)$를 찾으세요.
b) $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$인 것으로 알려져 있습니다. n을 찾으세요.
c) $q=-2, b_(6)=96$인 것으로 알려져 있습니다. $b_(1)$를 찾으세요.
d) $b_(1)=-2, b_(12)=4096$인 것으로 알려져 있습니다. q를 찾아보세요.
해결책.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, $2^7=128 => n-1=7이므로; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
예. 기하수열의 일곱 번째 항과 다섯 번째 항의 차이는 192이고, 수열의 다섯 번째 항과 여섯 번째 항의 합은 192입니다. 이 수열의 열 번째 항을 구하세요.
해결책.
우리는 $b_(7)-b_(5)=192$ 및 $b_(5)+b_(6)=192$를 알고 있습니다.
우리는 또한 $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
그 다음에:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
우리는 방정식 시스템을 받았습니다.
$\begin(사례)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(사례)$.
방정식을 동일시하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
우리는 두 가지 해법 q를 얻었습니다: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
두 번째 방정식을 순차적으로 대체합니다.
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ 해결책이 없습니다.
우리는 그것을 얻었습니다: $b_(1)=4, q=2$.
10번째 항을 찾아봅시다: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
유한한 기하수열의 합
유한한 기하학적 진행을 생각해 봅시다. 산술수열과 마찬가지로 항의 합을 계산해 봅시다.유한 기하 수열을 다음과 같이 가정합니다: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
$S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$이라는 용어의 합에 대한 지정을 소개하겠습니다.
$q=1$인 경우. 기하수열의 모든 항은 첫 번째 항과 동일하므로 $S_(n)=n*b_(1)$이 분명합니다.
이제 $q≠1$의 경우를 고려해 보겠습니다.
위의 금액에 q를 곱해 보겠습니다.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
메모:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
우리는 유한한 기하수열의 합에 대한 공식을 얻었습니다.
예.
첫 번째 항이 4이고 분모가 3인 등비수열의 처음 7개 항의 합을 구합니다.
해결책.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
예.
알려진 기하수열의 다섯 번째 항을 구합니다: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
해결책.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
기하학적 진행의 특징적인 속성
여러분, 기하학적 수열이 주어졌습니다. 세 개의 연속 멤버 $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$를 살펴보겠습니다.우리는 다음을 알고 있습니다.
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
그 다음에:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
수열이 유한한 경우 첫 번째와 마지막 항을 제외한 모든 항에 대해 이 동등성이 유지됩니다.
수열의 형태가 무엇인지 미리 알 수 없지만 다음과 같이 알려진 경우: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
그러면 우리는 이것이 기하학적 진행이라고 안전하게 말할 수 있습니다.
수열은 각 요소의 제곱이 수열의 인접한 두 요소의 곱과 같은 경우에만 기하학적 수열입니다. 그 점을 잊지 마세요 유한한 진행이 조건은 첫 번째와 마지막 멤버에 대해 충족되지 않습니다.
이 항등식을 살펴보겠습니다: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$는 숫자 a와 b의 기하 평균이라고 합니다.
기하수열의 임의 항의 모듈러스는 인접한 두 항의 기하 평균과 같습니다.
예.
$x+2와 같은 x를 찾으세요. 2x+2; 3x+3$는 기하수열의 세 연속 항이었습니다.
해결책.
특성 속성을 사용해 보겠습니다.
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ 및 $x_(2)=-1$.
우리의 해를 원래 표현식으로 순차적으로 대체해 보겠습니다.
$x=2$를 사용하면 $q=1.5$의 기하학적 수열인 4;6;9라는 수열을 얻게 됩니다.
$x=-1$의 경우 1;0;0이라는 시퀀스를 얻습니다.
답: $x=2.$
독립적으로 해결해야 할 문제
1. 기하급수 16;-8;4;-2…의 여덟 번째 첫 번째 항을 구합니다.2. 기하수열 11,22,44…의 10번째 항을 찾습니다.
3. $b_(1)=5, q=3$인 것으로 알려져 있습니다. $b_(7)$를 찾으세요.
4. $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$인 것으로 알려져 있습니다. n을 찾으세요.
5. 기하급수 3;12;48…의 처음 11개 항의 합을 구합니다.
6. $3x+4가 되는 x를 찾으세요. 2x+4; x+5$는 기하수열의 세 연속 항입니다.
>>수학: 기하수열
독자의 편의를 위해 이 단락은 이전 단락에서 따랐던 것과 동일한 계획에 따라 정확하게 구성되었습니다.
1. 기본 개념.
정의.모든 요소가 0이 아니고 두 번째부터 시작하여 각 요소가 이전 요소에 동일한 수를 곱하여 얻은 수열을 기하학적 수열이라고 합니다. 이 경우 숫자 5를 기하수열의 분모라고 합니다.
따라서 기하수열은 다음 관계식에 의해 반복적으로 정의되는 수치 수열(bn)입니다.
숫자 순서를 보고 그것이 기하학적 수열인지 판단하는 것이 가능합니까? 할 수 있다. 수열의 어떤 구성원과 이전 구성원의 비율이 일정하다고 확신한다면 기하학적 수열이 있는 것입니다.
예시 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
b1 = 1, q = 3.
예시 2.
이것은 기하학적 수열이다.
예시 3.
이것은 기하학적 수열이다.
예시 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
이는 b 1 - 8, q = 1인 기하학적 수열입니다.
이 시퀀스는 산술 수열이기도 합니다(§ 15의 예제 3 참조).
실시예 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
이는 b 1 = 2, q = -1인 기하학적 수열입니다.
분명히, 기하수열은 b 1 > 0, q > 1이면 증가하는 수열이고(예 1 참조) b 1 > 0, 0이면 감소하는 수열입니다.< q < 1 (см. пример 2).
수열(bn)이 기하급수임을 나타내기 위해 다음 표기법이 편리한 경우가 있습니다.
아이콘은 "기하학적 진행"이라는 문구를 대체합니다.
기하급수법의 한 가지 기이하면서도 분명한 특성에 주목해 봅시다.
순서대로라면 
기하학적 수열이고 그 다음에는 사각형의 수열입니다. 
기하학적 진행이다.
두 번째 기하수열에서 첫 번째 항은 q 2와 같습니다.
기하수열에서 bn 다음의 모든 항을 버리면 유한한 기하수열을 얻게 됩니다. 
이 섹션의 추가 단락에서 우리는 기하학적 수열의 가장 중요한 속성을 고려할 것입니다.
2. 기하수열의 n번째 항에 대한 공식.
기하학적 진행을 고려하십시오. 
분모 q. 우리는:
임의의 숫자 n에 대해 평등이 참이라고 추측하는 것은 어렵지 않습니다.
이것은 기하수열의 n번째 항에 대한 공식입니다.
논평.
당신이 읽으면 중요한 메모이전 단락을 읽고 이해한 다음, 산술 수열의 n번째 항에 대한 공식에 대해 수행했던 것과 같은 방식으로 수학적 귀납법을 사용하여 공식 (1)을 증명해 보십시오.
기하수열의 n번째 항에 대한 공식을 다시 작성해 보겠습니다.
그리고 표기법을 소개합니다: 우리는 y = mq 2를 얻습니다. 또는 더 자세히 말하면, 
인수 x가 지수에 포함되므로 이 함수를 지수 함수라고 합니다. 이는 기하학적 수열이 자연수의 집합 N에 정의된 지수 함수로 간주될 수 있음을 의미합니다. 그림에서. 그림 96a는 함수의 그래프를 보여준다. 966 - 함수 그래프 
두 경우 모두 특정 곡선에 고립된 점(가로좌표 x = 1, x = 2, x = 3 등)이 있습니다(두 그림 모두 동일한 곡선을 표시하며 위치가 다르고 다른 축척으로 표시됩니다). 이 곡선을 지수곡선이라고 합니다. 자세히 알아보기 지수함수그리고 그 그래픽은 11학년 대수학 과정에서 논의될 것입니다.
이전 단락의 예제 1-5로 돌아가 보겠습니다.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . 이것은 b 1 = 1, q = 3인 기하수열입니다. n번째 항에 대한 공식을 만들어 보겠습니다. 
2) 
이것은 n번째 항에 대한 공식을 만들어 보겠습니다. 
이것은 기하학적 수열이다. 
n 번째 항에 대한 공식을 만들어 보겠습니다. 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . 이것은 b 1 = 8, q = 1인 기하수열입니다. n번째 항에 대한 공식을 만들어 보겠습니다. 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... 이는 b 1 = 2, q = -1인 기하수열입니다. n 번째 항에 대한 공식을 만들어 보겠습니다. 
실시예 6.
기하학적 진행이 주어지면
모든 경우에 해는 기하수열의 n번째 항의 공식을 기반으로 합니다.
a) 기하수열의 n번째 항에 대한 공식에 n = 6을 넣으면 다음을 얻습니다.
b) 우리는
512 = 2 9이므로 n - 1 = 9, n = 10이 됩니다.
d) 우리는
실시예 7.
기하수열의 일곱 번째 항과 다섯 번째 항의 차이는 48이고, 수열의 다섯 번째 항과 여섯 번째 항의 합도 48입니다. 이 수열의 열두 번째 항을 구하세요.
첫 번째 단계.수학적 모델을 작성합니다.
문제의 조건은 다음과 같이 간략하게 작성할 수 있습니다.
기하수열의 n번째 항에 대한 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.
그러면 문제의 두 번째 조건(b 7 - b 5 = 48)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
문제의 세 번째 조건(b 5 + b 6 = 48)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
결과적으로 우리는 두 개의 변수 b 1 및 q를 갖는 두 방정식의 시스템을 얻습니다.
이는 위에 작성된 조건 1)과 결합하여 문제의 수학적 모델을 나타냅니다.
두 번째 단계.
컴파일된 모델로 작업합니다. 시스템의 두 방정식의 왼쪽을 동일시하면 다음을 얻습니다.
(우리는 방정식의 양쪽을 0이 아닌 표현식 b 1 q 4로 나눴습니다).
방정식 q 2 - q - 2 = 0에서 q 1 = 2, q 2 = -1을 찾습니다. 값 q = 2를 시스템의 두 번째 방정식으로 대체하면 다음을 얻습니다. 
q = -1 값을 시스템의 두 번째 방정식에 대입하면 b 1 1 0 = 48을 얻습니다. 이 방정식에는 해가 없습니다.
따라서 b 1 =1, q = 2 - 이 쌍은 컴파일된 방정식 시스템에 대한 해입니다.
이제 문제에서 논의된 기하학적 수열을 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...로 적어볼 수 있습니다.
세 번째 단계.
문제 질문에 답하세요. b12를 계산해야 합니다. 우리는
답: b 12 = 2048.
3. 유한 기하수열의 항의 합을 구하는 공식.
유한한 기하수열을 주자
그 항의 합을 Sn으로 표시해보자.
이 금액을 구하는 공식을 도출해 보겠습니다.
q = 1일 때 가장 간단한 경우부터 시작하겠습니다. 그런 다음 기하수열 b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn은 b 1 과 동일한 n 개의 숫자로 구성됩니다. 진행은 b 1, b 2, b 3, ..., b 4와 같습니다. 이 숫자의 합은 nb 1입니다.
이제 q = 1이라고 가정합니다. S n을 찾기 위해 인공적인 기술을 적용합니다. 즉, S n q 표현의 일부 변환을 수행합니다. 우리는:
변환을 수행할 때 먼저 기하학적 진행의 정의를 사용했습니다(추론의 세 번째 줄 참조). 둘째, 그들은 더하고 빼기 때문에 표현의 의미는 물론 변하지 않았습니다 (추론의 네 번째 줄 참조). 셋째, 기하수열의 n번째 항에 대한 공식을 사용했습니다.
공식 (1)에서 우리는 다음을 발견합니다:
이것은 기하수열의 n 항의 합에 대한 공식입니다(q = 1인 경우).
실시예 8.
유한한 기하학적 진행이 주어지면
a) 진행 기간의 합계 b) 항의 제곱의 합.
b) 위에서(p. 132 참조) 우리는 기하수열의 모든 항이 제곱되면 첫 번째 항 b 2와 분모 q 2를 갖는 기하수열을 얻는다는 것을 이미 언급했습니다. 그런 다음 새로운 진행의 6개 항의 합은 다음과 같이 계산됩니다.
실시예 9.
다음과 같은 기하수열의 8번째 항을 찾으세요.
실제로 우리는 다음 정리를 증명했습니다.
수치 수열은 첫 번째 정리(그리고 유한 수열의 경우 마지막 정리)를 제외한 각 항의 제곱이 이전 항과 후속 항의 곱과 같은 경우에만 기하학적 수열입니다( 기하학적 수열의 특징적인 속성).
특정 시리즈를 고려해 봅시다.
7 28 112 448 1792...
해당 요소의 가치가 이전 요소보다 정확히 4배 더 크다는 것은 분명합니다. 이는 이 시리즈가 진보적이라는 것을 의미합니다.
기하학적 수열은 숫자의 무한한 수열입니다. 주요 특징이는 이전 숫자에 특정 숫자를 곱하여 다음 숫자를 얻는 것입니다. 이는 다음 수식으로 표현됩니다.
a z +1 =a z ·q, 여기서 z는 선택한 요소의 번호입니다.
따라서 z ∈ N입니다.
학교에서 기하학적 진행을 공부하는 기간은 9학년입니다. 예제는 개념을 이해하는 데 도움이 됩니다.
0.25 0.125 0.0625...
이 공식을 바탕으로 진행의 분모는 다음과 같이 찾을 수 있습니다.
q와 bz 모두 0이 될 수 없습니다. 또한 진행의 각 요소는 0이 되어서는 안 됩니다.
따라서 일련의 다음 숫자를 찾으려면 마지막 숫자에 q를 곱해야 합니다.
이 진행을 설정하려면 첫 번째 요소와 분모를 지정해야 합니다. 그 후에는 후속 용어와 그 합계를 찾을 수 있습니다.
품종
q와 a1에 따라 이 진행은 여러 유형으로 나뉩니다.
- 1과 q가 모두 있는 경우 하나 이상, 그런 수열은 각 후속 요소와 함께 증가하는 기하학적 수열입니다. 이에 대한 예가 아래에 나와 있습니다.
예: a 1 =3, q=2 - 두 매개변수 모두 1보다 큽니다.
그런 다음 숫자 순서는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
3 6 12 24 48 ...
- 만약 |q| 1개 미만즉, 곱셈은 나눗셈과 동일하며 유사한 조건의 수열은 감소하는 기하학적 수열입니다. 이에 대한 예가 아래에 나와 있습니다.
예: a 1 =6, q=1/3 - a 1은 1보다 크고 q는 작습니다.
그러면 숫자 순서는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
6 2 2/3 ... - 모든 요소는 그 뒤에 오는 요소보다 3배 더 큽니다.
- 교대 표시. 만약 q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
예: a 1 = -3, q = -2 - 두 매개변수 모두 0보다 작습니다.
그러면 숫자 순서는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
3, 6, -12, 24,...
방식
기하수열을 편리하게 사용하기 위한 많은 공식이 있습니다:
- Z-항 공식. 이전 숫자를 계산하지 않고 특정 숫자 아래의 요소를 계산할 수 있습니다.
예:큐 = 3, 에이 1 = 4. 진행의 네 번째 요소를 계산해야 합니다.
해결책:에이 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- 수량이 다음과 같은 첫 번째 요소의 합 지. 시퀀스의 모든 요소의 합을 계산할 수 있습니다.az포함한.
이후 (1-큐)가 분모에 있으면 (1 - q)≠ 0이므로 q는 1과 같지 않습니다.
참고: q=1이면 진행은 무한히 반복되는 일련의 숫자가 됩니다.
기하수열의 합, 예:에이 1 = 2, 큐= -2. S5를 계산합니다.
해결책:에스 5 = 22 - 공식을 사용한 계산.
- 경우 금액 |큐| < 1 и если z стремится к бесконечности.
예:에이 1 = 2 , 큐= 0.5. 금액을 찾아보세요.
해결책:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
일부 속성:
- 특징적인 속성. 다음과 같은 경우 누구에게나 작동지, 주어진 숫자 계열은 기하학적 수열입니다.
az 2 = az -1 · 에이z+1
- 또한, 기하 수열에서 숫자의 제곱은 해당 요소에서 등거리에 있는 경우 주어진 계열의 다른 두 숫자의 제곱을 더하여 구합니다.
az 2 = az - 티 2 + az + 티 2 , 어디티- 이 숫자들 사이의 거리.
- 강요q가 다르다한 번.
- 수열 요소의 로그도 수열을 형성하지만 산술적인 것, 즉 각각은 이전 것보다 특정 숫자만큼 큽니다.
몇 가지 고전적인 문제의 예
기하학적 진행이 무엇인지 더 잘 이해하려면 클래스 9에 대한 솔루션이 포함된 예제가 도움이 될 수 있습니다.
- 정황:에이 1 = 3, 에이 3 = 48. 찾기큐.
해결 방법: 각 후속 요소는 이전 요소보다 큽니다.큐 한 번.일부 요소를 다른 요소의 관점에서 분모를 사용하여 표현하는 것이 필요합니다.
따라서,에이 3 = 큐 2 · 에이 1
대체할 때큐= 4
- 정황:에이 2 = 6, 에이 3 = 12. S 6을 계산합니다.
해결책:이렇게 하려면 첫 번째 요소인 q를 찾아 공식에 대입하면 됩니다.
에이 3 = 큐· 에이 2 , 따라서,큐= 2
2 = q · 1 ,그렇기 때문에 1 = 3
에스 6 = 189
- · 에이 1 = 10, 큐= -2. 진행의 네 번째 요소를 찾으세요.
해결책: 이렇게 하려면 첫 번째 요소와 분모를 통해 네 번째 요소를 표현하는 것으로 충분합니다.
4 = q 3· 1 = -80
적용 예:
- 은행 고객은 10,000 루블의 금액을 예금했으며, 이 조건에 따라 고객은 매년 그 중 6%를 원금에 추가하게 됩니다. 4년 후에 계좌에 얼마의 돈이 남게 될까요?
해결책: 초기 금액은 10,000루블입니다. 이는 투자 후 1년이 지나면 계좌의 금액이 10,000 + 10,000이 된다는 것을 의미합니다. · 0.06 = 10000 1.06
따라서 다음 해 이후 계정의 금액은 다음과 같이 표시됩니다.
(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000
즉, 매년 금액이 1.06배씩 증가하는 셈이다. 이는 4년 후 계좌의 자금 금액을 찾으려면 첫 번째 요소가 10,000이고 분모가 1.06인 진행의 네 번째 요소를 찾는 것으로 충분하다는 것을 의미합니다.
에스 = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625
합계 계산 문제의 예:
기하학적 수열은 다양한 문제에 사용됩니다. 합계를 구하는 예는 다음과 같습니다.
에이 1 = 4, 큐= 2, 계산하다에스 5.
해결책: 계산에 필요한 모든 데이터가 알려져 있으므로 이를 공식에 대체하기만 하면 됩니다.
에스 5 = 124
- 에이 2 = 6, 에이 3 = 18. 처음 6개 요소의 합을 계산합니다.
해결책:
기하학에서. 진행, 각 다음 요소는 이전 요소보다 q배 더 큽니다. 즉, 요소를 알아야 하는 합계를 계산하려면에이 1 분모큐.
에이 2 · 큐 = 에이 3
큐 = 3
마찬가지로, 당신은 찾아야합니다에이 1 , 알고에이 2 그리고큐.
에이 1 · 큐 = 에이 2
1 =2
에스 6 = 728.
지침
10, 30, 90, 270...
기하학적 수열의 분모를 찾아야 합니다.
해결책:
옵션 1. 진행의 임의의 항(예: 90)을 취해 이를 이전 항(30)으로 나눕니다: 90/30=3.
기하 수열의 여러 항의 합 또는 감소하는 기하 수열의 모든 항의 합을 알고 있는 경우 수열의 분모를 찾으려면 적절한 공식을 사용하십시오.
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), 여기서 Sn은 기하수열의 처음 n 항의 합이고
S = b1/(1-q), 여기서 S는 무한히 감소하는 기하학적 수열의 합(분모가 1보다 작은 수열의 모든 항의 합)입니다.
예.
감소하는 기하수열의 첫 번째 항은 1과 같고 모든 항의 합은 2와 같습니다.
이 진행의 분모를 결정하는 것이 필요합니다.
해결책:
문제의 데이터를 공식에 대입합니다. 결과는 다음과 같습니다.
2=1/(1-q), 여기서 – q=1/2.
진행은 일련의 숫자입니다. 기하학적 수열에서 각 후속 항은 이전 항에 수열의 분모라고 하는 특정 수 q를 곱하여 얻습니다.
지침
두 개의 인접한 기하학적 항 b(n+1) 및 b(n)이 알려진 경우 분모를 얻으려면 더 큰 숫자를 그 앞의 숫자로 나누어야 합니다. q=b(n+1)/b (N). 이는 진행의 정의와 분모에서 비롯됩니다. 중요한 조건은 진행의 첫 번째 항과 분모가 0이 아니라는 것입니다. 그렇지 않으면 정의되지 않은 것으로 간주됩니다.
따라서 수열 항 사이에는 다음과 같은 관계가 설정됩니다: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. 공식 b(n)=b1 q^(n-1)을 사용하여 분모 q와 항 b1이 알려진 기하학적 수열의 모든 항을 계산할 수 있습니다. 또한 각 진행은 모듈러스가 이웃 구성원의 평균과 동일합니다. |b(n)|=√, 여기서 진행은 .
기하학적 진행의 유사체는 가장 간단한 지수 함수 y=a^x입니다. 여기서 x는 지수이고 a는 특정 숫자입니다. 이 경우 수열의 분모는 첫 번째 항과 일치하고 숫자 a와 같습니다. 인수 x가 자연수 n(카운터)으로 간주되면 함수 y의 값은 수열의 n번째 항으로 이해될 수 있습니다.
기하수열의 처음 n 항의 합에 대해 존재합니다: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). 이 공식은 q≠1에 유효합니다. q=1이면 처음 n 항의 합은 S(n)=n b1 공식으로 계산됩니다. 그런데 q가 1보다 크고 b1이 양수일 때 진행은 증가라고 합니다. 진행의 분모가 절대값에서 1을 초과하지 않으면 진행이 감소한다고 합니다.
기하수열의 특별한 경우는 무한히 감소하는 기하수열(무한히 감소하는 기하수열)입니다. 사실 감소하는 기하학적 진행의 항은 계속해서 감소하지만 결코 0에 도달하지 않습니다. 그럼에도 불구하고 그러한 진행의 모든 용어의 합계를 찾는 것이 가능합니다. 이는 S=b1/(1-q) 공식으로 결정됩니다. 항 n의 총 개수는 무한합니다.
무한대를 얻지 않고도 무한한 숫자를 더할 수 있는 방법을 시각화하려면 케이크를 굽습니다. 절반을 잘라냅니다. 그런 다음 1/2을 반으로 잘라냅니다. 당신이 얻게 될 조각은 분모가 1/2인 무한히 감소하는 기하학적 진행의 구성원에 지나지 않습니다. 이 조각들을 모두 더하면 원래의 케이크가 나옵니다.
기하학 문제는 공간적 사고가 필요한 특별한 유형의 연습입니다. 기하학을 풀 수 없다면 일, 아래 규칙을 따라보세요.
지침
작업 조건을 매우 주의 깊게 읽으십시오. 기억나지 않거나 이해하지 못하는 내용이 있으면 다시 읽으십시오.
예를 들어 계산 문제, 어떤 값을 찾아야 하는 경우, 논리적 추론 체인이 필요한 문제, 나침반과 자를 사용한 구성 문제 등 어떤 유형의 기하학적 문제인지 판단해 보세요. 혼합 유형의 더 많은 작업. 문제의 유형을 파악한 후에는 논리적으로 생각해 보십시오.
주어진 작업에 필요한 정리를 적용하십시오. 그러나 의심이 가거나 옵션이 전혀 없다면 관련 주제에 대해 공부한 이론을 기억해 보십시오.
또한 문제에 대한 해결책을 초안 형식으로 적어 두십시오. 솔루션의 정확성을 확인하려면 알려진 방법을 사용해 보십시오.
문제의 답을 지우거나 줄을 그어 지우지 말고 노트에 주의 깊게 작성하세요. 가장 중요한 것은 첫 번째 기하학적 문제를 해결하는 데 시간과 노력이 필요할 수 있다는 것입니다. 하지만 이 과정을 익히자마자 미친 듯이 클릭하는 작업을 즐기게 될 것입니다!
기하수열은 b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n)이 되는 일련의 숫자 b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n)입니다. ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. 즉, 수열의 각 항은 수열 q의 0이 아닌 분모를 곱하여 이전 항에 얻어집니다.
지침
수열 문제는 수열 b1의 첫 번째 항과 수열 q의 분모에 관한 시스템을 작성하고 따르는 방식으로 해결되는 경우가 가장 많습니다. 방정식을 만들려면 몇 가지 공식을 기억하는 것이 유용합니다.
수열의 첫 번째 항과 수열의 분모를 통해 수열의 n번째 항을 표현하는 방법: b(n)=b1*q^(n-1).
|q|의 경우를 별도로 고려해 보겠습니다.<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
