밑이 같은 로그입니다. 방정식과 부등식. 로그란 무엇입니까?

밑수 a(a>0, a는 1과 같지 않음)에 대한 양수 b의 로그는 a c = b를 충족하는 숫자 c입니다. log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

양수가 아닌 숫자의 로그는 정의되지 않습니다. 또한 로그의 밑은 다음과 같아야 합니다. 정수, 1이 아닙니다. 예를 들어 -2를 제곱하면 숫자 4를 얻지만 이는 4의 -2를 밑으로 하는 로그가 2와 같다는 의미는 아닙니다.

기본 로그 항등식

이 공식의 오른쪽과 왼쪽의 정의 범위가 다른 것이 중요합니다. 왼쪽은 b>0, a>0 및 a ≠ 1에 대해서만 정의됩니다. 오른쪽은 임의의 b에 대해 정의되며 a에 전혀 의존하지 않습니다. 따라서 방정식과 부등식을 풀 때 기본 로그 "동일성"을 적용하면 OD가 변경될 수 있습니다.

로그 정의의 두 가지 명백한 결과

실제로 숫자 a를 1승하면 같은 숫자를 얻고, 0승하면 1을 얻습니다.

곱의 로그와 몫의 로그

로그 a b c = 로그 a b − 로그 a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

문제를 풀 때 무심코 이러한 공식을 적용하지 않도록 학생들에게 경고하고 싶습니다. 대수 방정식그리고 불평등. "왼쪽에서 오른쪽으로" 사용하면 ODZ가 좁아지고, 로그의 합이나 차이에서 곱이나 몫의 로그로 이동하면 ODZ가 확장됩니다.

실제로, 표현식 log a (f (x) g (x))는 두 가지 경우, 즉 두 함수가 모두 양수일 때 또는 f (x)와 g (x)가 모두 0보다 작은 경우로 정의됩니다.

이 표현식을 합 log a f (x) + log a g (x) 로 변환하면 f(x)>0 및 g(x)>0인 경우에만 제한되어야 합니다. 면적이 좁아지는 현상이 있습니다 허용 가능한 값, 이는 솔루션 손실로 이어질 수 있기 때문에 절대 용납할 수 없습니다. 공식 (6)에도 비슷한 문제가 존재합니다.

정도는 로그의 부호에서 빼낼 수 있습니다.

그리고 다시 한 번 정확성을 요구하고 싶습니다. 다음 예를 고려하십시오.

로그 a(f(x) 2 = 2 로그 a f(x)

등식의 왼쪽은 0을 제외한 f(x)의 모든 값에 대해 분명히 정의됩니다. 오른쪽은 f(x)>0에만 해당됩니다! 로그에서 차수를 빼면 다시 ODZ가 좁아집니다. 반대 절차를 수행하면 허용되는 값의 범위가 확장됩니다. 이 모든 설명은 거듭제곱 2뿐만 아니라 모든 짝수 거듭제곱에도 적용됩니다.

새로운 기반으로 이동하는 공식

변환 중에 ODZ가 변경되지 않는 드문 경우입니다. 염기 c를 현명하게 선택했다면(양수이고 1이 아님) 새 염기로 이동하는 공식은 완전히 안전합니다.

숫자 b를 새로운 밑수 c로 선택하면 중요한 것을 얻습니다. 특별한 경우공식 (8):

로그 a b = 1 로그 b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

로그를 사용한 몇 가지 간단한 예

예 1. 계산: log2 + log50.
해결책. log2 + log50 = log100 = 2. 로그의 합 공식(5)과 십진 로그의 정의를 사용했습니다.

예 2. 계산: lg125/lg5.
해결책. log125/log5 = log 5 125 = 3. 새로운 밑수로 이동하는 공식을 사용했습니다(8).

로그 관련 공식 표

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

좀 더 간단하게 설명해보자. 예를 들어, \(\log_(2)(8)\)는 \(8\)을 얻기 위해 \(2\)를 올려야 하는 거듭제곱과 같습니다. 이것으로부터 \(\log_(2)(8)=3\)이 분명해졌습니다.

로그의 인수와 밑

모든 로그에는 다음과 같은 "해부학"이 있습니다.

로그의 인수는 일반적으로 해당 수준에서 작성되고 밑은 로그 기호에 더 가까운 아래 첨자로 작성됩니다. 그리고 이 항목은 다음과 같습니다: "25에서 5를 밑으로 하는 로그."

로그를 계산하는 방법은 무엇입니까?

로그를 계산하려면 다음 질문에 답해야 합니다. 인수를 얻으려면 밑을 몇 제곱해야 합니까?

예를 들어, 로그를 계산합니다: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\)을 얻으려면 \(4\)를 몇 제곱해야 합니까? 분명히 두 번째입니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\)을 얻으려면 \(\sqrt(5)\)를 몇 제곱해야 합니까? 어떤 힘이 1위를 만드는가? 물론 제로!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\)를 얻으려면 \(\sqrt(7)\)를 몇 제곱해야 합니까? 첫째, 첫 번째 거듭 제곱의 숫자는 그 자체와 같습니다.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\)를 얻으려면 \(3\)을 몇 제곱해야 합니까? 우리는 이것이 분수 거듭제곱이라는 것을 알고 있습니다. 이는 다음을 의미합니다. 제곱근\(\frac(1)(2)\) 의 거듭제곱입니다.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

예 : 로그 계산 \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

해결책 :

답변 : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

로그는 왜 발명되었는가?

이를 이해하기 위해 방정식 \(3^(x)=9\)을 풀어보겠습니다. 방정식이 작동하도록 하려면 \(x\)만 일치시키면 됩니다. 물론, \(x=2\)입니다.

이제 방정식을 풀어보세요: \(3^(x)=8\).왜 x와 같음? 그게 요점입니다.

가장 똑똑한 사람들은 "X는 2보다 조금 작습니다."라고 말할 것입니다. 이 숫자를 정확히 어떻게 쓰나요? 이 질문에 답하기 위해 로그가 발명되었습니다. 그 덕분에 여기에 대한 답은 \(x=\log_(3)(8)\)로 쓸 수 있습니다.

나는 다음과 같이 \(\log_(3)(8)\)을 강조하고 싶습니다. 모든 로그는 숫자일 뿐이다. 예, 이상해 보이지만 짧습니다. 왜냐하면 우리가 그것을 형식으로 쓰고 싶다면 소수, 그러면 다음과 같습니다: \(1.892789260714.....\)

예 : 방정식 \(4^(5x-4)=10\)을 푼다

해결책 :

답변 : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

소수 및 자연 로그

로그 정의에 명시된 대로 로그의 밑수는 \((a>0, a\neq1)\)을 제외한 모든 양수일 수 있습니다. 그리고 가능한 모든 밑수 중에서 너무 자주 발생하는 두 가지가 있어서 로그에 대한 특별한 짧은 표기법이 발명되었습니다.

자연 로그: 밑이 오일러 수 \(e\)(대략 \(2.7182818…\)와 동일)인 로그이며, 로그는 \(\ln(a)\)로 표시됩니다.

즉, \(\ln(a)\)는 \(\log_(e)(a)\)와 동일합니다.

십진 로그: 밑이 10인 로그는 \(\lg(a)\)로 표시됩니다.

즉, \(\lg(a)\)는 \(\log_(10)(a)\)와 동일합니다., 여기서 \(a\)는 숫자입니다.

기본 로그 항등식

로그에는 많은 속성이 있습니다. 그 중 하나는 "기본 로그 항등식"이라고 하며 다음과 같습니다.

이 속성은 정의에서 직접 따릅니다. 이 공식이 어떻게 만들어졌는지 정확히 살펴보겠습니다.

로그 정의에 대한 간단한 표기법을 떠올려 보겠습니다.

\(a^(b)=c\)이면 \(\log_(a)(c)=b\)

즉, \(b\)는 \(\log_(a)(c)\)와 동일합니다. 그러면 \(a^(b)=c\) 공식에서 \(b\) 대신 \(\log_(a)(c)\)를 쓸 수 있습니다. \(a^(\log_(a)(c))=c\) - 주요 로그 항등이 밝혀졌습니다.

로그의 다른 속성을 찾을 수 있습니다. 도움을 받으면 직접 계산하기 어려운 로그를 사용하여 표현식의 값을 단순화하고 계산할 수 있습니다.

예 : 표현식 \(36^(\log_(6)(5))\)의 값을 찾습니다.

해결책 :

답변 : \(25\)

숫자를 로그로 쓰는 방법은 무엇입니까?

위에서 언급했듯이 모든 로그는 숫자일 뿐입니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 어떤 숫자든 로그로 쓸 수 있습니다. 예를 들어, \(\log_(2)(4)\)는 2와 같다는 것을 알고 있습니다. 그러면 2개 대신 \(\log_(2)(4)\)를 쓸 수 있습니다.

그러나 \(\log_(3)(9)\) 는 \(2\) 와 동일합니다. 즉, \(2=\log_(3)(9)\) 라고 쓸 수도 있습니다. \(\log_(5)(25)\) 및 \(\log_(9)(81)\)와 마찬가지로 마찬가지입니다. 즉, 밝혀졌습니다

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

따라서 필요한 경우 어느 밑이든(방정식, 표현식, 부등식 등) 어디든 밑이 있는 로그로 2개를 쓸 수 있습니다. 밑의 제곱을 인수로 쓰기만 하면 됩니다.

트리플과 동일합니다. \(\log_(2)(8)\), \(\log_(3)(27)\) 또는 \(\log_(4)( 64) \)... 여기서는 큐브의 밑변을 인수로 작성합니다.

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

그리고 4개:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

마이너스 1의 경우:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

그리고 1/3은 다음과 같습니다.

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

모든 숫자 \(a\)는 \(b\)를 밑으로 하는 로그로 표현될 수 있습니다: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

예 : 표현의 의미를 찾아보세요 \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

해결책 :

답변 : \(1\)

아시다시피, 표현식에 거듭제곱을 곱할 때 지수는 항상 합산됩니다(a b *a c = a b+c). 이 수학 법칙은 아르키메데스에 의해 도출되었으며, 이후 8세기에 수학자 비라센(Virasen)이 정수 지수 표를 만들었습니다. 로그의 추가 발견을 위해 봉사 한 것은 바로 그들이었습니다. 이 함수를 사용하는 예는 간단한 덧셈을 통해 번거로운 곱셈을 단순화해야 하는 거의 모든 곳에서 찾을 수 있습니다. 이 글을 10분만 투자하시면 로그가 무엇인지, 그리고 로그를 사용하는 방법을 설명해 드리겠습니다. 간단하고 접근하기 쉬운 언어로.

수학에서의 정의

로그는 다음 형식의 표현입니다: log a b=c, 즉 음수가 아닌 숫자(즉, 양수) "b"의 밑수 "a"의 로그는 "c"의 거듭제곱으로 간주됩니다. ” 궁극적으로 "b" 값을 얻으려면 베이스 "a"를 높여야 합니다. 예를 사용하여 로그를 분석해 보겠습니다. log 2 8이라는 표현식이 있다고 가정해 보겠습니다. 답을 찾는 방법은 무엇입니까? 매우 간단합니다. 2에서 필요한 전력까지 8이 되도록 거듭제곱을 찾아야 합니다. 머릿속으로 몇 가지 계산을 하면 숫자 3이 나옵니다! 그리고 그것은 사실입니다. 왜냐하면 2의 3승은 8이 되기 때문입니다.

로그의 유형

많은 학생과 학생에게 이 주제는 복잡하고 이해하기 어려운 것처럼 보이지만 실제로 로그는 그렇게 무섭지 않습니다. 가장 중요한 것은 일반적인 의미를 이해하고 속성과 일부 규칙을 기억하는 것입니다. 세 가지가 있습니다 개별 종로그 표현식:

1. 밑이 오일러 수(e = 2.7)인 자연 로그 ln a.
2. 밑이 10인 십진수 a.
3. 밑수 a>1에 대한 임의의 숫자 b의 로그입니다.

각각 결정됩니다 표준적인 방법으로, 여기에는 로그 정리를 사용하여 단순화, 축소 및 하나의 로그로의 후속 축소가 포함됩니다. 올바른 로그 값을 얻으려면 로그를 풀 때 해당 속성과 동작 순서를 기억해야 합니다.

규칙 및 일부 제한 사항

수학에는 공리로 인정되는 몇 가지 규칙 제약 조건이 있습니다. 즉, 논의 대상이 아니며 진실입니다. 예를 들어, 숫자를 0으로 나누는 것은 불가능하며, 짝수 근을 추출하는 것도 불가능합니다. 음수. 로그에는 또한 자체 규칙이 있으며, 이에 따라 길고 방대한 로그 표현을 사용해도 작업하는 방법을 쉽게 배울 수 있습니다.

• 밑수 "a"는 항상 0보다 커야 하고 1이 아니어야 합니다. 그렇지 않으면 "1"과 "0"이 어느 정도든 항상 해당 값과 동일하기 때문에 표현의 의미가 상실됩니다.
• a > 0이면 a b >0이면 "c"도 0보다 커야 합니다.

로그를 푸는 방법?

예를 들어, 방정식 10 x = 100에 대한 답을 찾는 작업이 제공됩니다. 이것은 매우 쉽습니다. 100이 되는 숫자 10을 올려 거듭제곱을 선택해야 합니다. 물론 이것은 10 2 =입니다. 100.

이제 이 표현을 로그 형식으로 표현해 보겠습니다. 우리는 로그 10 100 = 2를 얻습니다. 로그를 풀 때 모든 동작은 실제로 주어진 숫자를 얻기 위해 로그의 밑을 입력하는 데 필요한 거듭제곱을 찾기 위해 수렴됩니다.

알 수 없는 학위의 값을 정확하게 결정하려면 학위 표를 사용하여 작업하는 방법을 배워야 합니다. 다음과 같습니다:

보시다시피 일부 지수는 구구단에 대한 기술적 사고와 지식이 있으면 직관적으로 추측할 수 있습니다. 그러나 큰 값학위표가 필요합니다. 복잡한 수학적 주제에 대해 전혀 모르는 사람도 사용할 수 있습니다. 왼쪽 열에는 숫자(기본 a)가 포함되고, 숫자의 맨 위 행은 숫자 a에 제곱되는 c의 거듭제곱 값입니다. 교차점의 셀에는 답(a c =b)인 숫자 값이 포함됩니다. 예를 들어 숫자 10이 있는 첫 번째 셀을 제곱하면 두 셀의 교차점에 표시되는 값 100을 얻습니다. 모든 것이 너무 간단하고 쉽기 때문에 가장 진정한 인본주의자라도 이해할 수 있습니다!

방정식과 부등식

특정 조건에서 지수는 로그임이 밝혀졌습니다. 따라서 모든 수학적 수치 표현은 대수 방정식으로 작성될 수 있습니다. 예를 들어, 3 4 =81은 81의 밑이 3인 로그가 4와 같다(log 3 81 = 4)라고 쓸 수 있습니다. 음수 거듭제곱의 경우 규칙은 동일합니다. 2 -5 = 1/32 이를 로그로 쓰면 로그 2(1/32) = -5를 얻습니다. 수학에서 가장 흥미로운 부분 중 하나는 "로그"라는 주제입니다. 속성을 연구한 후 즉시 아래 방정식의 예와 해를 살펴보겠습니다. 이제 불평등이 어떻게 생겼는지, 그리고 이를 방정식과 구별하는 방법을 살펴보겠습니다.

다음과 같은 표현식이 제공됩니다: log 2 (x-1) > 3 - 알 수 없는 값 "x"가 로그 기호 아래에 있으므로 이는 로그 부등식입니다. 또한 표현식에서는 두 가지 양이 비교됩니다. 밑수 2에 대한 원하는 숫자의 로그가 숫자 3보다 큽니다.

로그 방정식과 부등식의 가장 중요한 차이점은 로그가 있는 방정식(예: 로그 2 x = √9)은 답에 하나 이상의 특정 수치 값을 의미하는 반면, 불평등을 풀 때는 두 가지 모두 허용 가능한 범위 이 기능을 깨고 값과 포인트가 결정됩니다. 결과적으로 답은 방정식에 대한 답처럼 단순한 개별 숫자 집합이 아니라 연속적인 일련의 숫자 또는 숫자 집합입니다.

로그에 관한 기본 정리

로그 값을 찾는 기본 작업을 해결할 때 해당 속성을 알 수 없을 수도 있습니다. 그러나 로그 방정식이나 부등식에 관해서는 우선 로그의 모든 기본 속성을 명확하게 이해하고 실제로 적용하는 것이 필요합니다. 나중에 방정식의 예를 살펴보겠습니다. 먼저 각 속성을 더 자세히 살펴보겠습니다.

1. 주요 신원은 다음과 같습니다: a logaB =B. a가 0보다 크고 1이 아니고 B가 0보다 큰 경우에만 적용됩니다.
2. 곱의 로그는 다음 공식으로 나타낼 수 있습니다: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. 이 경우 전제 조건는: d, s 1 및 s 2 > 0; a≠1. 예제와 해법을 통해 이 로그 공식에 대한 증명을 제공할 수 있습니다. log a s 1 = f 1 및 log a s 2 = f 2라고 하면 a f1 = s 1, a f2 = s 2입니다. 우리는 s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2(속성)을 얻습니다. 도 ), 그리고 정의에 따라: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log as s 2, 이는 증명이 필요한 것입니다.
3. 몫의 로그는 다음과 같습니다: log a (s 1/ s 2) = log as 1 - log a s 2.
4. 공식 형태의 정리는 다음과 같은 형식을 취합니다: log a q b n = n/q log a b.

이 공식을 "로그 정도의 특성"이라고 합니다. 이는 일반 학위의 속성과 유사하며 모든 수학은 자연 가정을 기반으로 하기 때문에 놀라운 일이 아닙니다. 증거를 살펴보겠습니다.

log a b = t라고 하면 a t =b가 됩니다. 두 부분을 모두 m의 거듭제곱으로 올리면: a tn = bn ;

그러나 a tn = (a q) nt/q = bn이므로 log a q b n = (n*t)/t가 되고 log a q b n = n/q log a b가 됩니다. 정리가 입증되었습니다.

문제와 불평등의 예

로그에 관한 가장 일반적인 유형의 문제는 방정식과 부등식의 예입니다. 거의 모든 문제집에 나와 있으며, 수학 시험에서도 필수 부분입니다. 대학에 입학하거나 수학 입학 시험에 합격하려면 이러한 문제를 올바르게 해결하는 방법을 알아야합니다.

불행하게도 로그의 알려지지 않은 값을 해결하고 결정하기 위한 단일한 계획이나 방식은 없지만 각 수학적 부등식 또는 로그 방정식에 특정 규칙이 적용될 수 있습니다. 우선, 표현이 단순화될 수 있는지, 아니면 다음과 같이 이어질 수 있는지를 알아보아야 합니다. 일반적인 모습. 해당 속성을 올바르게 사용하면 긴 로그 표현식을 단순화할 수 있습니다. 빨리 알아봅시다.

로그 방정식을 풀 때 우리는 어떤 유형의 로그를 가지고 있는지 결정해야 합니다. 예제 표현식에는 자연 로그 또는 십진수 1이 포함될 수 있습니다.

다음은 ln100, ln1026의 예입니다. 그들의 해결책은 기본 10이 각각 100과 1026이 되는 거듭제곱을 결정해야 한다는 사실로 귀결됩니다. 솔루션의 경우 자연로그로그 항등식이나 해당 속성을 적용해야 합니다. 다양한 유형의 로그 문제를 해결하는 예를 살펴보겠습니다.

로그 공식을 사용하는 방법: 예제 및 솔루션 포함

그럼 로그에 관한 기본 정리를 활용한 예를 살펴보겠습니다.

1. 제품의 로그 속성은 확장이 필요한 작업에 사용될 수 있습니다. 훌륭한 가치숫자 b를 더 간단한 요소로 나눕니다. 예를 들어 로그 2 4 + 로그 2 128 = 로그 2 (4*128) = 로그 2 512입니다. 답은 9입니다.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - 보시다시피 로그 거듭제곱의 네 번째 속성을 사용하여 겉보기에는 복잡하고 풀 수 없는 표현식을 풀 수 있었습니다. 밑을 인수분해한 다음 로그 부호에서 지수 값을 빼면 됩니다.

통합 상태 시험의 과제

로그는 입학 시험에서 자주 발견되며, 특히 통합 상태 시험(모든 학교 졸업생을 대상으로 하는 상태 시험)에서 로그 문제가 많이 발견됩니다. 일반적으로 이러한 작업은 파트 A(시험의 가장 쉬운 테스트 부분)뿐만 아니라 파트 C(가장 복잡하고 방대한 작업)에도 있습니다. 시험에는 "자연 로그"라는 주제에 대한 정확하고 완벽한 지식이 필요합니다.

문제에 대한 예와 해결책은 통합 상태 시험의 공식 버전에서 가져왔습니다. 이러한 작업이 어떻게 해결되는지 살펴 보겠습니다.

주어진 로그 2(2x-1) = 4. 해결 방법:
표현식을 다시 작성하여 약간 log 2 (2x-1) = 2 2로 단순화하겠습니다. 로그의 정의에 따라 2x-1 = 2 4이므로 2x = 17이 됩니다. x = 8.5.

• 솔루션이 번거롭고 혼란스럽지 않도록 모든 로그를 동일한 밑으로 줄이는 것이 가장 좋습니다.
• 로그 기호 아래의 모든 식은 양수로 표시되므로 로그 기호 아래에 있는 식의 지수를 승수로 취하면 로그 아래에 남아 있는 식은 양수여야 합니다.

다른 숫자와 마찬가지로 로그도 모든 방법으로 더하고, 빼고, 변환할 수 있습니다. 그러나 로그는 정확히 평범한 숫자가 아니기 때문에 여기에는 다음과 같은 규칙이 있습니다. 주요 속성.

이러한 규칙을 확실히 알아야 합니다. 이 규칙 없이는 심각한 로그 문제 하나도 해결할 수 없습니다. 또한 그 중 거의 없습니다. 하루 만에 모든 것을 배울 수 있습니다. 그럼 시작해 보겠습니다.

로그 더하기 및 빼기

밑이 동일한 두 개의 로그를 고려하십시오. 에이 엑스그리고 로그 에이 와이. 그런 다음 더하고 뺄 수 있으며 다음과 같습니다.

1. 통나무 에이 엑스+ 로그 에이 와이= 로그 에이 (엑스 · 와이);
2. 통나무 에이 엑스- 로그 에이 와이= 로그 에이 (엑스 : 와이).

따라서 로그의 합은 곱의 로그와 같고 그 차이는 몫의 로그와 같습니다. 참고: 요점여기 - 동일한 근거. 이유가 다르면 이 규칙은 적용되지 않습니다!

이 공식은 계산에 도움이 됩니다. 로그 표현개별 부분이 계산되지 않는 경우에도 마찬가지입니다(“로그란 무엇입니까” 단원 참조). 예제를 살펴보고 다음을 확인하세요.

로그 6 4 + 로그 6 9.

로그는 밑이 동일하므로 합계 공식을 사용합니다.
로그 6 4 + 로그 6 9 = 로그 6 (4 9) = 로그 6 36 = 2.

일. 다음 표현식의 값을 구합니다: log 2 48 − log 2 3.

기본은 동일하므로 차이 공식을 사용합니다.
로그 2 48 − 로그 2 3 = 로그 2 (48:3) = 로그 2 16 = 4.

일. 다음 표현식의 값을 구합니다: log 3 135 − log 3 5.

이번에도 기본은 동일하므로 다음과 같습니다.
로그3 135 - 로그3 5 = 로그3(135:5) = 로그3 27 = 3.

보시다시피 원래 표현식은 별도로 계산되지 않는 "나쁜" 로그로 구성됩니다. 그러나 변환 후에는 완전히 정상적인 숫자가 얻어집니다. 많은 사람들이 이 사실을 토대로 만들어졌습니다. 테스트. 예, 통합 국가 시험에서는 시험과 같은 표현이 진지하게(때로는 거의 변경 없이) 제공됩니다.

로그에서 지수 추출하기

이제 작업을 조금 복잡하게 만들어 보겠습니다. 로그의 밑수 또는 인수가 거듭제곱이면 어떻게 되나요? 그런 다음 이 정도의 지수는 다음 규칙에 따라 로그 부호에서 제거될 수 있습니다.

그건 알아차리기 쉽죠 마지막 규칙처음 두 개를 따릅니다. 그러나 어쨌든 기억하는 것이 좋습니다. 어떤 경우에는 계산량이 크게 줄어들 것입니다.

물론 로그의 ODZ가 관찰되면 이러한 모든 규칙이 의미가 있습니다. 에이 > 0, 에이 ≠ 1, 엑스> 0. 그리고 한 가지 더: 모든 수식을 왼쪽에서 오른쪽으로 적용하는 방법뿐만 아니라 그 반대로도 적용하는 방법을 배우십시오. 로그 자체에 로그 기호 앞에 숫자를 입력할 수 있습니다. 이것이 가장 자주 필요한 것입니다.

일. 다음 표현식의 값을 찾으세요: log 7 49 6 .

첫 번째 공식을 사용하여 인수의 정도를 제거해 보겠습니다.
로그 7 49 6 = 6 로그 7 49 = 6 2 = 12

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

[사진 캡션]

분모에는 로그가 포함되어 있으며 밑과 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. 우리는:

마지막 예에는 약간의 설명이 필요하다고 생각합니다. 로그는 어디로 갔나요? 마지막 순간까지 우리는 분모만을 가지고 작업합니다. 우리는 거기에 있는 로그의 밑수와 인수를 거듭제곱의 형태로 제시하고 지수를 제거했습니다. 우리는 "3층" 분수를 얻었습니다.

이제 주요 분수를 살펴 보겠습니다. 분자와 분모에는 동일한 숫자인 log 2 7이 포함됩니다. log 2 7 ≠ 0이므로 분수를 줄일 수 있습니다. 2/4는 분모에 남아 있습니다. 산술 규칙에 따라 4개는 분자로 옮겨질 수 있으며, 이것이 이루어졌습니다. 그 결과는 2번이었습니다.

새로운 기반으로의 전환

로그의 덧셈과 뺄셈 규칙에 대해 말하면서 나는 로그가 동일한 밑수에서만 작동한다는 점을 특히 강조했습니다. 이유가 다르다면? 만약 같은 수의 정확한 거듭제곱이 아니라면 어떻게 될까요?

새로운 기반으로의 전환을 위한 공식이 구출되었습니다. 정리의 형태로 공식화합시다.

로그 로그를 제공하자 에이 엑스. 그런 다음 임의의 숫자에 대해 기음그렇게 기음> 0 및 기음≠ 1, 평등은 참입니다:

[사진 캡션]

특히, 우리가 넣으면 기음 = 엑스, 우리는 다음을 얻습니다:

[사진 캡션]

두 번째 공식에서는 로그의 밑과 인수를 바꿀 수 있지만 이 경우 전체 표현식이 "뒤집어집니다". 로그는 분모에 나타납니다.

이러한 공식은 일반적인 수치 표현에서는 거의 발견되지 않습니다. 로그 방정식과 부등식을 풀 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다.

그러나 새로운 기반으로 이전하지 않으면 전혀 해결할 수 없는 문제가 있다. 다음 중 몇 가지를 살펴보겠습니다.

일. 다음 표현식의 값을 찾으세요: log 5 16 log 2 25.

두 로그의 인수에는 정확한 거듭제곱이 포함되어 있습니다. 지표를 살펴보겠습니다. log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; 로그 2 25 = 로그 2 5 2 = 2로그 2 5;

이제 두 번째 로그를 "역전"시켜 보겠습니다.

요소를 재배열해도 곱이 변하지 않기 때문에 차분하게 4와 2를 곱한 뒤 로그를 다루었습니다.

일. 다음 표현식의 값을 찾으세요: log 9 100 lg 3.

첫 번째 로그의 밑수와 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 이것을 기록하고 지표를 제거합시다.

이제 새로운 밑수로 이동하여 십진 로그를 제거해 보겠습니다.

기본 로그 항등식

풀이 과정에서 숫자를 주어진 밑수에 대한 로그로 표현해야 하는 경우가 종종 있습니다. 이 경우 다음 공식이 도움이 될 것입니다.

첫 번째 경우에는 숫자 N논쟁의 정도를 나타내는 지표가됩니다. 숫자 N그것은 단지 로그 값이기 때문에 절대적으로 무엇이든 될 수 있습니다.

두 번째 공식은 실제로 다른 말로 표현된 정의입니다. 그것이 바로 기본 로그 항등이라고 불리는 것입니다.

사실 숫자가 틀리면 어떻게 될까요? 비그 숫자만큼 힘을 키워라. 비이 힘은 숫자를 제공합니다 에이? 맞습니다. 동일한 번호를 받게 됩니다. 에이. 이 단락을 다시 주의 깊게 읽어 보십시오. 많은 사람들이 이 단락에서 막히게 됩니다.

새로운 진수로 이동하기 위한 공식과 마찬가지로, 기본 로그 항등식은 때때로 유일한 해법입니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

[사진 캡션]

log 25 64 = log 5 8 - 우리는 단순히 로그의 밑과 인수에서 제곱을 취했습니다. 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하는 규칙을 고려하면 다음을 얻습니다.

모르는 사람이 있다면 이것은 통합 상태 시험의 실제 작업이었습니다. :)

로그 단위 및 로그 0

결론적으로 나는 속성이라고 부르기 어려운 두 가지 항등식을 제시할 것입니다. 오히려 그것은 로그 정의의 결과입니다. 그들은 끊임없이 문제에 나타나며 놀랍게도 "고급" 학생들에게도 문제를 일으킵니다.

1. 통나무 에이 에이= 1은 로그 단위입니다. 한 번만 기억하세요: 임의의 밑수에 대한 로그 에이바로 이 밑에서부터 1과 같습니다.
2. 통나무 에이 1 = 0은 로그 0입니다. 베이스 에이무엇이든 될 수 있지만 인수에 하나가 포함되어 있으면 로그는 0과 같습니다! 왜냐하면 에이 0 = 1은 정의의 직접적인 결과입니다.

그것이 모든 속성입니다. 반드시 실천에 옮기는 연습을 하세요! 수업 시작 시 치트 시트를 다운로드하여 인쇄한 후 문제를 해결하세요.

우리는 계속해서 로그를 연구합니다. 이 기사에서 우리는 로그 계산, 이 프로세스를 로그. 먼저 우리는 정의에 따라 로그 계산을 이해합니다. 다음으로, 로그의 속성을 사용하여 로그 값을 찾는 방법을 살펴보겠습니다. 이후에는 다른 로그의 초기 지정된 값을 통해 로그 계산에 중점을 두겠습니다. 마지막으로 로그표를 활용하는 방법을 알아보겠습니다. 전체 이론에는 상세한 솔루션과 함께 예제가 제공됩니다.

페이지 탐색.

정의에 따른 로그 계산

가장 간단한 경우에는 매우 빠르고 쉽게 수행할 수 있습니다. 정의에 따라 로그 찾기. 이 과정이 어떻게 진행되는지 자세히 살펴보겠습니다.

그 본질은 숫자 b를 a c 형식으로 표현하는 것입니다. 여기서 로그 정의에 따라 숫자 c는 로그 값입니다. 즉, 정의에 따르면 다음 등식 체인은 로그를 찾는 것과 일치합니다: log a b=log a a c =c.

따라서 정의에 따라 로그를 계산하면 a c = b가 되는 숫자 c를 찾는 것이 되며 숫자 c 자체가 원하는 로그 값이 됩니다.

이전 단락의 정보를 고려하여 로그 기호 아래의 숫자가 로그 밑의 특정 거듭제곱으로 주어지면 로그가 무엇인지 즉시 나타낼 수 있습니다. 이는 지수와 같습니다. 예제에 대한 솔루션을 보여드리겠습니다.

예.

log 2 2 −3을 찾고 숫자 e 5,3의 자연 로그도 계산합니다.

해결책.

로그의 정의를 통해 우리는 즉시 log 2 2 −3 =−3이라고 말할 수 있습니다. 실제로 로그 기호 아래의 숫자는 밑수 2의 -3승과 같습니다.

마찬가지로 두 번째 로그는 lne 5.3 =5.3입니다.

답변:

log 2 2 −3 =−3 및 lne 5,3 =5,3.

로그 기호 아래의 숫자 b가 로그 밑의 거듭제곱으로 지정되지 않은 경우 숫자 b를 a c 형식으로 표현하는 것이 가능한지 주의 깊게 살펴봐야 합니다. 종종 이 표현은 꽤 분명합니다. 특히 로그 기호 아래의 숫자가 1, 2, 3의 밑수와 같을 때 더욱 그렇습니다.

예.

로그 log 5 25 및 를 계산합니다.

해결책.

25=5 2라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이를 통해 첫 번째 로그를 계산할 수 있습니다: log 5 25=log 5 5 2 =2.

두 번째 로그 계산으로 넘어 갑시다. 숫자는 7의 거듭제곱으로 표현될 수 있습니다. (필요한 경우 참조). 따라서, .

세 번째 로그를 다시 써보겠습니다. 다음과 같은 형태. 이제 당신은 그것을 볼 수 있습니다 , 그로부터 우리는 다음과 같은 결론을 내립니다. . 따라서 로그의 정의에 의해 .

간단히 말해서 솔루션은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

답변:

로그 5 25=2 , 그리고 .

로그 기호 아래에 충분히 큰 값이 있을 때 자연수, 그러면 다음으로 분해해도 문제가 없을 것입니다. 소인수. 이러한 숫자를 로그 밑의 거듭제곱으로 표현하는 것이 도움이 되므로 정의에 따라 이 로그를 계산합니다.

예.

로그의 값을 구합니다.

해결책.

로그의 일부 속성을 사용하면 로그 값을 즉시 지정할 수 있습니다. 이러한 속성에는 1의 로그 속성과 밑수와 동일한 숫자의 로그 속성이 포함됩니다. log 1 1=log a a 0 =0 및 log a a=log a a 1 =1. 즉, 로그 기호 아래에 숫자 1 또는 로그 밑과 같은 숫자 a가 있으면 이 경우 로그는 각각 0과 1과 같습니다.

예.

로그와 log10은 무엇입니까?

해결책.

이후 , 그러면 로그의 정의로부터 다음과 같습니다 .

두 번째 예에서는 로그 기호 아래의 숫자 10이 밑수와 일치하므로 10의 십진 로그는 1, 즉 lg10=lg10 1 =1과 같습니다.

답변:

그리고 LG10=1 .

정의에 따른 로그 계산(이전 단락에서 논의한)은 로그의 속성 중 하나인 상등 로그 a a p =p의 사용을 의미합니다.

실제로 로그 기호 아래의 숫자와 로그의 밑이 특정 숫자의 거듭제곱으로 쉽게 표현될 때 다음 공식을 사용하는 것이 매우 편리합니다. , 이는 로그의 속성 중 하나에 해당합니다. 이 공식의 사용을 설명하면서 로그를 찾는 예를 고려해 보겠습니다.

예.

로그를 계산합니다.

해결책.

답변:

.

위에서 언급하지 않은 로그의 속성도 계산에 사용되지만 이에 대해서는 다음 단락에서 설명하겠습니다.

다른 알려진 로그를 통해 로그 찾기

이 단락의 정보는 로그를 계산할 때 로그의 속성을 사용하는 주제를 계속합니다. 그러나 여기서 주요 차이점은 로그의 속성이 원래 로그를 다른 로그로 표현하는 데 사용되며 그 값이 알려져 있다는 것입니다. 설명을 위해 예를 들어 보겠습니다. log 2 3≒1.584963을 알고 있다고 가정하면, 예를 들어 로그의 속성을 사용하여 약간의 변환을 수행하여 log 2 6을 찾을 수 있습니다. 로그 2 6=로그 2 (2 3)=로그 2 2+로그 2 3≒ 1+1,584963=2,584963 .

위의 예에서는 곱의 로그 속성을 사용하는 것만으로도 충분했습니다. 그러나 주어진 로그를 통해 원래 로그를 계산하려면 더 넓은 로그 속성 무기고를 사용해야 하는 경우가 훨씬 더 많습니다.

예.

log 60 2=a와 log 60 5=b를 안다면 밑이 60인 27의 로그를 계산하세요.

해결책.

따라서 우리는 log 60 27 을 찾아야 합니다. 27 = 3 3임을 쉽게 알 수 있으며, 거듭제곱의 로그 특성으로 인해 원래 로그는 3·log 60 3으로 다시 쓸 수 있습니다.

이제 log 60 3 을 알려진 로그로 표현하는 방법을 살펴보겠습니다. 밑수와 동일한 숫자의 로그 속성을 사용하면 등호 로그 60 60=1을 쓸 수 있습니다. 반면, log 60 60=log60(2 2 3 5)= 로그 60 2 2 +로그 60 3+로그 60 5= 2·로그 60 2+로그 60 3+로그 60 5 . 따라서, 2 로그 60 2+로그 60 3+로그 60 5=1. 따라서, 로그 60 3=1−2·로그 60 2−로그 60 5=1−2·a−b.

마지막으로 원래 로그를 계산합니다. log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

답변:

로그 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

별도로, 형식 로그의 새로운 밑으로 전환하기 위한 공식의 의미를 언급할 가치가 있습니다. . 이를 통해 밑이 있는 로그에서 특정 밑이 있는 로그로 이동할 수 있으며 그 값은 알려져 있거나 찾을 수 있습니다. 일반적으로 원래 로그에서 전이 공식을 사용하여 밑수 2, e 또는 10 중 하나의 로그로 이동합니다. 왜냐하면 이러한 밑수에는 해당 값을 특정 수준으로 계산할 수 있는 로그 테이블이 있기 때문입니다. 정확성. 다음 단락에서는 이것이 어떻게 수행되는지 보여줄 것입니다.

로그 테이블과 그 용도

로그 값을 대략적으로 계산하려면 다음을 사용할 수 있습니다. 로그 테이블. 가장 일반적으로 사용되는 밑이 2인 로그표, 자연로그표, 십진로그표입니다. 십진수 시스템에서 작업할 때 10진법을 기반으로 한 로그 표를 사용하는 것이 편리합니다. 그것의 도움으로 우리는 로그의 값을 찾는 법을 배울 것입니다.

제시된 표를 사용하면 1/10000의 정확도로 1,000에서 9,999(소수점 세 자리)까지의 숫자의 십진 로그 값을 찾을 수 있습니다. 십진 로그 테이블을 이용하여 로그 값을 구하는 원리를 다음과 같이 분석해 보겠습니다. 구체적인 예– 그게 더 명확해요. log1.256을 찾아보자.

십진 로그 표의 왼쪽 열에서 숫자 1.256의 처음 두 자리, 즉 1.2를 찾습니다(이 숫자는 명확성을 위해 파란색 원으로 표시됨). 숫자 1.256(숫자 5)의 세 번째 숫자는 이중선 왼쪽의 첫 번째 또는 마지막 줄에 있습니다(이 숫자는 빨간색 원으로 표시되어 있음). 원래 숫자 1.256(숫자 6)의 네 번째 숫자는 이중선 오른쪽의 첫 번째 또는 마지막 줄에 있습니다(이 숫자는 녹색 선으로 둘러싸여 있습니다). 이제 표시된 행과 표시된 열의 교차점에 있는 로그 표의 셀에서 숫자를 찾습니다(이 숫자는 강조 표시됨). 주황색). 표시된 숫자의 합은 원하는 정확한 십진 로그 값을 제공합니다. 네 번째 자리소수점 이하, 즉 로그1.236≒0.0969+0.0021=0.0990.

위의 표를 이용하여 소수점 이하 3자리 이상인 숫자와 1부터 9.999까지의 범위를 벗어나는 숫자의 십진 로그 값을 찾을 수 있나요? 예, 가능합니다. 예를 들어 이것이 어떻게 수행되는지 보여드리겠습니다.

lg102.76332를 계산해 보겠습니다. 먼저 적어야합니다 번호 표준형 : 102.76332=1.0276332·10 2. 그 후, 가수는 소수점 세 번째 자리로 반올림되어야 합니다. 1.0276332 10 2 ≒1.028 10 2, 원래 십진수 로그는 결과 숫자의 로그와 거의 동일하지만, 즉 log102.76332©lg1.028·10 2를 사용합니다. 이제 로그의 속성을 적용합니다. lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. 마지막으로, 십진 로그 lg1.028≒0.0086+0.0034=0.012 테이블에서 로그 lg1.028의 값을 찾습니다. 결과적으로 로그를 계산하는 전체 프로세스는 다음과 같습니다. log102.76332=log1.0276332 10 2 ≒lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≒0.012+2=2.012.

결론적으로, 십진 로그 테이블을 사용하면 모든 로그의 대략적인 값을 계산할 수 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 이렇게 하려면 전환 공식을 사용하여 십진 로그로 이동하고 테이블에서 해당 값을 찾은 다음 나머지 계산을 수행하면 충분합니다.

예를 들어 log 2 3 을 계산해 보겠습니다. 로그의 새로운 밑으로의 전환 공식에 따르면 다음과 같습니다. 십진 로그 표에서 log3≒0.4771과 log2≒0.3010을 찾습니다. 따라서, .

참고자료.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. 및 기타 대수학 및 분석의 시작: 일반 교육 기관의 10~11학년을 위한 교과서.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. 수학(전문학교 입학을 위한 매뉴얼).