가분수와 가분수. 가분수

공통 분수는 \textit(진수) 분수와 \textit(가수) 분수로 나뉩니다. 이 나눗셈은 분자와 분모의 비교를 기반으로 합니다.

고유 분수

적절한 분수~라고 불리는 공통 분수$\frac(m)(n)$, 분자가 분모보다 작습니다. 즉, $m

실시예 1

예를 들어, 분수 $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$는 정확합니다. , 그래서 각각의 분자가 분모보다 작은 이유는 고유 분수의 정의를 충족하는 것입니다.

분수를 1과 비교하는 것을 기반으로 하는 고유 분수에 대한 정의가 있습니다.

옳은만약 그녀가 1개 미만:

실시예 2

예를 들어, 공분수 $\frac(6)(13)$는 다음과 같은 이유로 적절합니다. $\frac(6)(13) 조건이 충족됩니다.

가분수

가분수분자가 분모보다 크거나 같은 일반 분수 $\frac(m)(n)$가 호출됩니다. $m\gen$.

실시예 3

예를 들어, 분수 $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$은 불규칙합니다. , 그래서 각각에서 어떻게 분자가 분모보다 크거나 같으며, 이는 가분수의 정의를 충족합니다.

1과의 비교를 기반으로 가분수를 정의해 보겠습니다.

공분수 $\frac(m)(n)$는 다음과 같습니다. 잘못된, 1보다 크거나 같은 경우:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

실시예 4

예를 들어, 공분수 $\frac(21)(4)$는 다음과 같이 부적절합니다. $\frac(21)(4) >1$ 조건이 충족됩니다.

공분수 $\frac(8)(8)$는 부적절합니다. 왜냐하면 $\frac(8)(8)=1$ 조건이 충족됩니다.

가분수의 개념을 자세히 살펴보겠습니다.

가분수 $\frac(7)(7)$를 예로 들어보겠습니다. 이 분수의 의미는 물건의 7몫을 가져와 7등분으로 나누는 것입니다. 따라서 사용 가능한 7개의 공유로 전체 개체를 구성할 수 있습니다. 저것들. 가분수$\frac(7)(7)$은 전체 개체를 설명하고 $\frac(7)(7)=1$을 설명합니다. 그래서, 아니 진분수, 분자가 분모와 동일한 경우, 하나의 전체 개체를 설명하며 이러한 분수는 자연수 $1$로 대체될 수 있습니다.

$\frac(5)(2)$ -- 이 5초 부분에서 $2$ 전체 개체를 구성할 수 있다는 것은 매우 분명합니다(하나의 전체 개체는 $2$ 부분으로 구성되며 두 개의 전체 개체를 구성하려면 $2+2=4$ 공유가 필요함) 1초 공유가 남습니다. 즉, 가분수 $\frac(5)(2)$는 객체의 $2$와 이 객체의 몫을 $\frac(1)(2)$를 나타냅니다.

$\frac(21)(7)$ -- 21/7 부분에서 $3$ 전체 개체를 만들 수 있습니다(각각 $7$ 공유가 있는 $3$ 개체). 저것들. 분수 $\frac(21)(7)$는 $3$ 전체 개체를 나타냅니다.

고려된 예에서 다음과 같은 결론을 도출할 수 있습니다. 분자가 분모로 완전히 나누어지면 가분수는 자연수로 대체될 수 있습니다(예: $\frac(7)(7)=1$ 및 $\ frac(21)(7)=3$) , 또는 분자가 분모로 완전히 나누어지지 않는 경우 자연수와 고유 분수의 합(예: $\ \frac(5)(2)=2 +\frac(1)(2)$). 이것이 바로 그러한 분수가 호출되는 이유입니다. 잘못된.

정의 1

가분수를 자연수와 진분수(예: $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$)의 합으로 표현하는 과정을 다음과 같이 부릅니다. 전체 부분을 가분수에서 분리하기.

가분수를 다룰 때, 가분수와 가분수 사이에는 밀접한 관계가 있습니다. 대분수.

가분수는 종종 대분수(정수 부분과 분수 부분으로 구성된 숫자)로 표시됩니다.

가분수를 대분수로 쓰려면 분자를 분모로 나누어 나머지를 구해야 합니다. 몫은 대분수의 정수 부분이 되고 나머지는 분수 부분의 분자가 되며 제수는 분수 부분의 분모가 됩니다.

실시예 5

가분수 $\frac(37)(12)$를 대분수로 쓰세요.

해결책.

나머지를 사용하여 분자를 분모로 나눕니다.

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (나머지\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

답변.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

대분수를 가분수로 쓰려면, 분모에 숫자의 전체 부분을 곱하고, 결과 곱에 분수 부분의 분자를 더한 다음, 결과 금액을 분수의 분자에 써야 합니다. 가분수의 분모는 대분수의 분수 부분의 분모와 같습니다.

실시예 6

대분수 $5\frac(3)(7)$를 가분수로 쓰세요.

해결책.

답변.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

대분수와 적절한 분수의 덧셈

대분수 덧셈$a\frac(b)(c)$ 그리고 적절한 분수$\frac(d)(e)$는 주어진 분수에 주어진 대분수의 분수 부분을 더함으로써 수행됩니다:

실시예 7

진분수 $\frac(4)(15)$와 대분수 $3\frac(2)(5)$를 더합니다.

해결책.

대분수와 진분수를 더하는 공식을 사용해 봅시다:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ 왼쪽(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

\textit(5)라는 숫자로 나누면 $\frac(10)(15)$이 약분된다는 것을 알 수 있습니다. 축소를 수행하고 추가 결과를 찾아보겠습니다.

따라서 진분수 $\frac(4)(15)$와 대분수 $3\frac(2)(5)$를 더한 결과는 $3\frac(2)(3)$입니다.

답변:$3\frac(2)(3)$

대분수와 가분수 더하기

가분수와 대분수 더하기두 개의 대분수를 더하는 것으로 줄어들며, 이는 가분수로부터 전체 부분을 분리하는 것으로 충분합니다.

실시예 8

대분수 $6\frac(2)(15)$와 가분수 $\frac(13)(5)$의 합을 계산합니다.

해결책.

먼저, 가분수 $\frac(13)(5)$에서 정수 부분을 추출해 보겠습니다.

답변:$8\frac(11)(15)$.

'분수'라는 단어는 많은 사람들에게 소름을 돋게 합니다. 학교와 수학에서 풀었던 과제를 기억하기 때문입니다. 이는 반드시 이행해야 할 의무였습니다. 가분수와 가분수가 관련된 문제를 퍼즐처럼 다루면 어떨까요? 결국 많은 성인들이 디지털 및 일본어 십자말 풀이를 풀고 있습니다. 우리는 규칙을 알아냈고, 그게 전부였습니다. 여기도 마찬가지입니다. 이론을 탐구하기만 하면 모든 것이 제자리에 들어갈 것입니다. 그리고 그 예들은 당신의 두뇌를 훈련하는 방법으로 바뀔 것입니다.

분수에는 어떤 종류가 있나요?

그것이 무엇인지부터 시작합시다. 분수는 1의 일부를 갖는 숫자입니다. 두 가지 형태로 쓸 수 있습니다. 첫 번째는 보통이라고합니다. 즉, 수평선이나 비스듬한 선이 있는 것입니다. 나누기 기호와 동일합니다.

이러한 표기법에서는 선 위의 숫자를 분자라고 하고, 선 아래의 숫자를 분모라고 합니다.

일반 분수 중에는 고유 분수와 가분수가 구별됩니다. 전자의 경우 분자의 절대값은 항상 분모보다 작습니다. 잘못된 것들은 모든 것이 반대 방향으로 있기 때문에 그렇게 불립니다. 고유 분수의 값은 항상 1보다 작습니다. 잘못된 것은 항상 이 숫자보다 큽니다.

또한 대분수, 즉 정수와 분수 부분이 있는 수도 있습니다.

두 번째 녹음 유형은 소수. 그녀에 대한 별도의 대화가 있습니다.

가분수는 대분수와 어떻게 다른가요?

본질적으로 아무것도 없습니다. 이것은 같은 번호의 다른 녹음일 뿐입니다. 가분수는 간단한 단계를 거쳐 쉽게 대분수가 됩니다. 그리고 그 반대도 마찬가지입니다.

그것은 모두 달려있다 특정 상황. 때로는 작업에서 가분수를 사용하는 것이 더 편리합니다. 때로는 대분수로 변환해야 할 때도 있고 그러면 예제가 아주 쉽게 풀릴 것입니다. 그러므로 무엇을 사용할 것인가: 가분수, 대분수는 문제를 해결하는 사람의 관찰 기술에 달려 있습니다.

대분수는 전체 부분과 분수 부분의 합과도 비교됩니다. 게다가 두 번째는 항상 1보다 작습니다.

대분수를 가분수로 표현하는 방법은 무엇입니까?

에 적힌 여러 숫자로 작업을 수행해야 하는 경우 다른 유형, 그런 다음 동일하게 만들어야 합니다. 한 가지 방법은 숫자를 가분수로 표현하는 것입니다.

이를 위해서는 다음 알고리즘을 수행해야 합니다.

• 분모에 전체 부분을 곱하십시오.
• 결과에 분자 값을 추가합니다.
• 줄 위에 답을 쓰십시오.
• 분모는 그대로 두세요.

다음은 대분수에서 가분수를 작성하는 방법의 예입니다.

• 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

가분수를 대분수로 쓰는 방법은 무엇입니까?

다음 기술은 위에서 설명한 기술과 반대입니다. 즉, 모든 대분수를 가분수로 바꾸는 경우입니다. 동작 알고리즘은 다음과 같습니다.

• 나머지를 얻으려면 분자를 분모로 나눕니다.
• 혼합된 부분 전체 대신에 몫을 쓰십시오.
• 나머지는 선 위에 배치되어야 합니다.
• 제수가 분모가 됩니다.

이러한 변환의 예:

76/14; 76:14 = 5이고 나머지는 6입니다. 대답은 5 전체와 6/14입니다. 이 예의 분수 부분은 2로 줄여서 3/7이 되어야 합니다. 최종 답은 5점 3/7입니다.

108/54; 나눗셈 후에는 나머지 없이 2의 몫을 얻습니다. 이는 모든 가분수를 대분수로 표현할 수는 없음을 의미합니다. 대답은 정수 - 2입니다.

정수를 가분수로 바꾸는 방법은 무엇입니까?

그러한 조치가 필요한 상황이 있습니다. 분모가 알려진 가분수를 얻으려면 다음 알고리즘을 수행해야 합니다.

• 정수에 원하는 분모를 곱합니다.
• 이 값을 줄 위에 쓰십시오.
• 그 아래에 분모를 두세요.

가장 간단한 옵션은 분모가 1과 같은 경우입니다. 그러면 아무것도 곱할 필요가 없습니다. 예제에 주어진 정수를 간단히 쓰고 그 줄 아래에 하나를 놓는 것으로 충분합니다.

예: 5를 분모가 3인 가분수로 만듭니다. 5에 3을 곱하면 15가 됩니다. 이 숫자가 분모가 됩니다. 문제의 답은 분수: 15/3입니다.

숫자가 다른 문제를 해결하는 두 가지 접근 방식

이 예에서는 두 숫자(2개의 정수 3/5 및 14/11)의 곱과 몫뿐만 아니라 합과 차이도 계산해야 합니다.

첫 번째 접근 방식에서는대분수는 가분수로 표시됩니다.

위에 설명된 단계를 수행하면 다음 값을 얻게 됩니다: 13/5.

합을 구하려면 분수를 같은 분모로 줄여야 합니다. 13/5에 11을 곱하면 143/55가 됩니다. 14/11에 5를 곱하면 70/55가 됩니다. 합계를 계산하려면 분자 143과 70을 더한 다음 분모 하나로 답을 적으면 됩니다. 213/55 - 이 가분수는 문제에 대한 답입니다.

차이를 찾을 때 동일한 숫자를 뺍니다: 143 - 70 = 73. 답은 분수: 73/55입니다.

13/5와 14/11을 곱할 때 공통 분모로 가져올 필요는 없습니다. 분자와 분모를 쌍으로 곱하면 충분합니다. 대답은 182/55입니다.

분할도 마찬가지다. 을 위한 올바른 결정나눗셈을 곱셈으로 바꾸고 나눗수를 뒤집어야 합니다: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

두 번째 접근 방식에서는가분수는 대분수가 됩니다.

알고리즘의 작업을 수행한 후 14/11은 정수 부분이 1이고 소수 부분이 3/11인 혼합 숫자로 변합니다.

합계를 계산할 때 전체 부분과 소수 부분을 별도로 더해야 합니다. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. 최종 답은 3점 48/55입니다. 첫 번째 접근 방식에서는 분수가 213/55였습니다. 대분수로 변환하여 정확성을 확인할 수 있습니다. 213을 55로 나누면 몫은 3, 나머지는 48이 됩니다. 답이 맞다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

빼는 경우 "+" 기호가 "-"로 대체됩니다. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. 확인하려면 이전 접근 방식의 답을 대분수로 변환해야 합니다. 즉, 73을 55로 나누고 몫은 1이고 나머지는 18입니다.

곱과 몫을 구하려면 대분수를 사용하는 것이 불편합니다. 여기서는 항상 가분수로 넘어가는 것이 좋습니다.

이 기사는 공통 분수. 여기서 우리는 전체에 대한 분수의 개념을 소개할 것이며, 이는 우리를 공통 분수의 정의로 이끌 것입니다. 다음으로 우리는 일반 분수에 대해 허용되는 표기법에 대해 설명하고 분수의 예를 들어 분수의 분자와 분모에 대해 설명하겠습니다. 그런 다음, 우리는 옳고 그른 분수, 양수와 음수에 대한 정의를 제공하고 분수의 위치도 고려할 것입니다. 좌표선. 결론적으로 주요 작업을 분수로 나열합니다.

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전체 지분

먼저 소개합니다 공유의 개념.

완전히 동일한(즉, 동일한) 여러 부분으로 구성된 객체가 있다고 가정해 보겠습니다. 명확성을 위해 예를 들어 사과를 여러 개의 동일한 부분으로 자르거나 여러 개의 동일한 조각으로 구성된 오렌지를 상상할 수 있습니다. 전체 물체를 구성하는 이러한 동일한 부분 각각을 호출합니다. 전체의 일부아니면 그냥 주식.

지분이 다르니 참고하세요. 이것을 설명해보자. 사과 두 개를 먹자. 첫 번째 사과를 2등분으로 자르고, 두 번째 사과를 6등분으로 자릅니다. 첫 번째 사과의 몫은 두 번째 사과의 몫과 다를 것이 분명합니다.

전체 개체를 구성하는 공유 수에 따라 이러한 공유에는 고유한 이름이 있습니다. 정리해보자 비트의 이름. 객체가 두 부분으로 구성된 경우 그 중 하나를 전체 객체의 1초 부분이라고 합니다. 객체가 세 부분으로 구성되어 있으면 그 중 하나를 1/3 부분이라고 합니다.

1초의 공유에는 특별한 이름이 있습니다. 반. 3분의 1이라고 합니다 제삼, 그리고 1/4 부분 - 4분의 1.

간결성을 위해 다음이 소개되었습니다. 비트 기호. 두 번째 주식은 1/2로 지정되고, 세 번째 주식은 1/3로 지정됩니다. 1/4 공유 - 1/4 등. 수평 막대가 있는 표기법이 더 자주 사용됩니다. 자료를 강화하기 위해 한 가지 예를 더 들어보겠습니다. 항목은 전체의 167분의 1 부분을 나타냅니다.

공유의 개념은 자연스럽게 객체에서 수량으로 확장됩니다. 예를 들어, 길이를 측정하는 방법 중 하나는 미터입니다. 1미터보다 짧은 길이를 측정하려면 미터 단위를 사용할 수 있습니다. 따라서 예를 들어 0.5미터나 10분의 1 또는 1000분의 1미터를 사용할 수 있습니다. 다른 수량의 지분도 유사하게 적용됩니다.

일반적인 분수, 분수의 정의 및 예

우리가 사용하는 주식의 수를 설명하기 위해 공통 분수. 일반 분수의 정의에 접근할 수 있는 예를 들어 보겠습니다.

오렌지는 12부분으로 구성됩니다. 이 경우 각 주식은 전체 오렌지의 1/12, 즉 . 2박자는 , 3박자는 , 등등 12박자는 로 표시합니다. 주어진 각 항목을 일반 분수라고 합니다.

이제 일반사항을 알려드리겠습니다. 공통 분수의 정의.

일반 분수의 유성 정의를 통해 다음을 제공할 수 있습니다. 공통 분수의 예: 5/10, , 21/1, 9/4, . 그리고 여기에 기록이 있습니다 일반 분수의 명시된 정의에 맞지 않습니다. 즉, 일반 분수가 아닙니다.

분자와 분모

편의상 일반분수를 구분함 분자와 분모.

정의.

분자보통분수(m/n)는 자연수 m입니다.

정의.

분모공통 분수(m/n)는 자연수 n입니다.

따라서 분자는 분수선 위(슬래시 왼쪽)에 있고 분모는 분수선 아래(슬래시 오른쪽)에 있습니다. 예를 들어, 공통 분수 17/29를 취하고 이 분수의 분자는 숫자 17이고 분모는 숫자 29입니다.

일반 분수의 분자와 분모에 포함된 의미를 논의하는 것이 남아 있습니다. 분수의 분모는 한 객체가 몇 부분으로 구성되어 있는지 보여주고, 분자는 그러한 몫의 수를 나타냅니다. 예를 들어, 분수 12/5의 분모 5는 하나의 객체가 5개의 몫으로 구성됨을 의미하고, 분자 12는 12개의 몫이 사용됨을 의미합니다.

분모가 1인 분수로 표현된 자연수

공통 분수의 분모는 1과 같을 수 있습니다. 이 경우 객체는 분할할 수 없는 것으로 간주할 수 있습니다. 즉, 객체는 전체를 나타냅니다. 이러한 분수의 분자는 전체 개체의 수를 나타냅니다. 따라서 m/1 형식의 일반 분수는 자연수 m의 의미를 갖습니다. 이것이 m/1=m이라는 평등의 타당성을 입증한 방법입니다.

마지막 등식을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다: m=m/1. 이러한 동일성을 통해 우리는 자연수 m을 일반 분수로 표현할 수 있습니다. 예를 들어, 숫자 4는 분수 4/1이고, 숫자 103,498은 분수 103,498/1과 같습니다.

그래서, 모든 자연수 m은 분모가 1인 일반 분수로 m/1로 표시될 수 있으며, m/1 형식의 모든 일반 분수는 자연수 m으로 대체될 수 있습니다..

나누기 기호로 사용되는 분수 막대

원본 객체를 n개의 공유 형태로 표현한다는 것은 n개의 동일한 부분으로 나누는 것에 지나지 않습니다. 항목을 n개의 몫으로 나눈 후에는 n명에게 균등하게 나눌 수 있습니다. 각 사람은 1개의 몫을 받게 됩니다.

처음에 m개의 동일한 개체가 있고 각 개체가 n개의 공유로 나누어진다면 이 m개의 개체를 n명의 사람들에게 균등하게 나누어 각 사람에게 m개의 개체에서 하나의 공유를 제공할 수 있습니다. 이 경우, 각 사람은 1/n의 m 몫을 갖게 되며, 1/n의 m 몫은 공통 분수 m/n이 됩니다. 따라서 공통 분수 m/n은 n명 사이의 m개 항목 분할을 나타내는 데 사용될 수 있습니다.

이것이 우리가 일반 분수와 나눗셈 사이의 명시적인 연결을 얻은 방법입니다 (자연수 나누기에 대한 일반적인 아이디어 참조). 이 연결은 다음과 같이 표현됩니다. 분수선은 나눗셈 기호, 즉 m/n=m:n으로 이해될 수 있습니다..

공통 분수를 사용하여 두 개를 나눈 결과를 쓸 수 있습니다. 자연수, 적분 나누기가 수행되지 않습니다. 예를 들어, 사과 5개를 8명으로 나눈 결과는 5/8로 쓸 수 있습니다. 즉, 모든 사람이 사과 5/8을 받게 됩니다: 5:8 = 5/8.

같은 분수와 같지 않은 분수, 분수의 비교

상당히 자연스러운 행동은 분수 비교, 오렌지의 1/12는 5/12와 다르고 사과의 1/6은 이 사과의 또 다른 1/6과 동일하다는 것이 분명하기 때문입니다.

두 개의 일반 분수를 비교한 결과 결과 중 하나가 얻어집니다. 분수는 같거나 같지 않습니다. 첫 번째 경우에는 동일한 공통 분수, 그리고 두 번째 – 같지 않은 일반 분수. 동일하고 동일하지 않은 일반 분수에 대한 정의를 제시해 보겠습니다.

정의.

동일한, 평등 a·d=b·c가 참인 경우.

정의.

두 개의 공통 분수 a/b 및 c/d 같지 않다, 평등 a·d=b·c가 성립하지 않는 경우.

다음은 등분수의 몇 가지 예입니다. 예를 들어, 1·4=2·2이기 때문에 공통 분수 1/2는 분수 2/4와 같습니다(필요한 경우 자연수 곱셈의 규칙과 예를 참조하세요). 명확성을 위해 두 개의 동일한 사과를 상상할 수 있습니다. 첫 번째 사과는 반으로 자르고 두 번째 사과는 4등분으로 자릅니다. 사과 4분의 2가 1/2몫과 같다는 것은 명백합니다. 동일한 공통 분수의 다른 예로는 분수 4/7과 36/63, 분수 쌍 81/50과 1,620/1,000이 있습니다.

그러나 일반 분수 4/13과 5/14는 동일하지 않습니다. 4·14=56이고 13·5=65, 즉 4·14≠13·5이기 때문입니다. 동일하지 않은 공통 분수의 다른 예는 분수 17/7과 6/4입니다.

두 개의 공통 분수를 비교할 때 서로 같지 않은 것으로 밝혀지면 다음 공통 분수 중 어느 것을 찾아야 할 수도 있습니다. 더 적은다르고, 어느 것이 - 더. 알아 내기 위해 일반 분수를 비교하는 규칙이 사용되며, 그 본질은 비교되는 분수를 공통 분모로 가져온 다음 분자를 비교하는 것입니다. 이 주제에 대한 자세한 정보는 분수 비교 기사(규칙, 예, 솔루션)에서 수집됩니다.

분수

각 분수는 표기법입니다. 분수. 즉, 분수는 단지 분수의 "껍질"일 뿐입니다. 모습, 모든 의미 로드는 분수에 포함됩니다. 그러나 간결성과 편의를 위해 분수와 분수의 개념을 결합하여 간단히 분수라고 부릅니다. 여기서는 잘 알려진 말을 의역하는 것이 적절합니다. 우리는 분수라고 말합니다. 우리는 분수를 의미하고, 분수라고 말합니다. 우리는 분수를 의미합니다.

좌표 광선의 분수

일반 분수에 해당하는 모든 분수는 고유한 위치를 갖습니다. 즉, 분수와 좌표 광선의 점 사이에 일대일 대응이 있습니다.

분수 m/n에 해당하는 좌표 광선의 지점에 도달하려면 원점에서 양의 방향으로 m 세그먼트를 따로 설정해야 합니다. 길이는 단위 세그먼트의 1/n 분수입니다. 이러한 세그먼트는 단위 세그먼트를 n개의 동일한 부분으로 나누어 얻을 수 있으며, 이는 항상 나침반과 눈금자를 사용하여 수행할 수 있습니다.

예를 들어, 분수 14/10에 해당하는 좌표 광선의 점 M을 표시해 보겠습니다. 점 O에서 끝나고 작은 점선으로 표시된 가장 가까운 점이 있는 세그먼트의 길이는 단위 세그먼트의 1/10입니다. 좌표가 14/10인 점은 해당 세그먼트 14개 거리의 원점에서 제거됩니다.

등분수는 같은 분수에 해당합니다. 즉, 등분수는 좌표 광선에서 같은 점의 좌표입니다. 예를 들어, 좌표 1/2, 2/4, 16/32, 55/110은 기록된 모든 분수가 동일하기 때문에 좌표 광선의 한 지점에 해당합니다(배치된 단위 세그먼트의 절반 거리에 위치함). 원점에서 양의 방향으로).

수평 및 오른쪽 방향 좌표 광선에서 좌표가 더 큰 분수인 점은 좌표가 더 작은 분수인 점의 오른쪽에 위치합니다. 마찬가지로, 더 작은 좌표를 가진 점은 더 큰 좌표를 가진 점의 왼쪽에 있습니다.

가분수와 가분수, 정의, 예

일반 분수 중에는 가분수와 가분수. 이 나눗셈은 분자와 분모의 비교를 기반으로 합니다.

옳고 옳지 않은 일반 분수를 정의해 보겠습니다.

정의.

적절한 분수분자가 분모보다 작은 일반 분수입니다. 즉, m인 경우

정의.

가분수분자가 분모보다 크거나 같은 일반 분수입니다. 즉, m≥n이면 일반 분수는 부적절합니다.

다음은 진분수의 몇 가지 예입니다: 1/4, , 32,765/909,003. 실제로, 작성된 각 일반 분수에서 분자는 분모보다 작으므로(필요한 경우 자연수 비교 기사 참조) 정의상 정확합니다.

가분수의 예는 다음과 같습니다: 9/9, 23/4, . 실제로, 작성된 일반 분수 중 첫 번째 분수의 분자는 분모와 같고 나머지 분수에서는 분자가 분모보다 큽니다.

분수와 분수의 비교를 기반으로 하여 가분수와 가분수에 대한 정의도 있습니다.

정의.

옳은, 1보다 작은 경우.

정의.

일반 분수라고 합니다. 잘못된, 1과 같거나 1보다 큰 경우.

따라서 공분수 7/11은 7/11이므로 정확합니다.<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1, 27/27=1.

분자가 분모보다 크거나 같은 일반 분수에 "부적절"이라는 이름이 붙을 자격이 있는지 생각해 봅시다.

예를 들어, 가분수 9/9를 생각해 봅시다. 이 분수는 9개의 부분으로 구성된 물체에서 9개의 부분이 취해진다는 것을 의미합니다. 즉, 사용 가능한 9개 부분으로 전체 개체를 구성할 수 있습니다. 즉, 가분수 9/9는 본질적으로 전체 대상, 즉 9/9 = 1을 제공합니다. 일반적으로 분모와 분자가 동일한 가분수는 하나의 전체 개체를 나타내며 이러한 분수는 자연수 1로 대체될 수 있습니다.

이제 가분수 7/3과 12/4를 생각해 보세요. 이 7개의 세 번째 부분에서 우리는 두 개의 전체 개체를 구성할 수 있다는 것이 분명합니다(하나의 전체 개체는 3개의 부분으로 구성되며, 두 개의 전체 개체를 구성하려면 3 + 3 = 6개의 부분이 필요함). 그리고 여전히 1/3이 남습니다. 남은 부분. 즉, 가분수 7/3은 본질적으로 2개의 물체를 의미하고 또한 그러한 물체의 1/3을 의미합니다. 그리고 12/4 부분으로 우리는 3개의 전체 개체(각각 4개의 부분으로 구성된 3개의 개체)를 만들 수 있습니다. 즉, 분수 12/4는 본질적으로 3개의 전체 개체를 의미합니다.

고려된 예는 다음과 같은 결론에 도달합니다. 가분수는 분자가 분모로 균등하게 나누어지는 경우 자연수(예: 9/9=1 및 12/4=3) 또는 합계로 대체될 수 있습니다. 분자가 분모로 나누어 떨어지지 않는 자연수와 고유분수(예: 7/3=2+1/3) 아마도 이것이 바로 가분수에 "불규칙"이라는 이름이 붙은 이유일 것입니다.

특히 흥미로운 점은 가분수를 자연수와 고유분수(7/3=2+1/3)의 합으로 표현하는 것입니다. 이 과정을 가분수로부터 전체 부분을 분리하는 과정이라고 하며, 별도로 더 신중하게 고려할 가치가 있습니다.

가분수와 대분수 사이에는 매우 밀접한 관계가 있다는 점도 주목할 가치가 있습니다.

양수 및 음수 분수

각 공통 분수는 양의 분수에 해당합니다(양수 및 음수에 대한 기사 참조). 즉, 일반 분수는 다음과 같습니다. 양의 분수. 예를 들어 일반 분수 1/5, 56/18, 35/144는 양수 분수입니다. 분수의 긍정성을 강조해야 할 경우 분수 앞에 더하기 기호가 표시됩니다(예: +3/4, +72/34).

일반 분수 앞에 빼기 기호를 넣으면 이 항목은 음의 분수에 해당합니다. 이 경우에 대해 이야기할 수 있습니다. 음수 분수. 다음은 음수 분수의 몇 가지 예입니다: −6/10, −65/13, −1/18.

양수와 음수 분수 m/n과 −m/n은 반대 숫자입니다. 예를 들어 분수 5/7과 −5/7은 반대 분수입니다.

일반적으로 양수와 마찬가지로 양수는 추가, 소득, 가치의 상승 변화 등을 나타냅니다. 마이너스 분수는 비용, 부채 또는 수량 감소에 해당합니다. 예를 들어, 음수 −3/4는 가치가 3/4인 부채로 해석될 수 있습니다.

수평 및 오른쪽 방향에서는 음수 분수가 원점 왼쪽에 위치합니다. 양의 분수 m/n과 음의 분수 -m/n인 좌표선의 점들은 원점으로부터 같은 거리에 있지만 점 O의 반대편에 위치합니다.

여기서는 0/n 형식의 분수를 언급할 가치가 있습니다. 이 분수는 숫자 0, 즉 0/n=0과 같습니다.

양의 분수, 음의 분수, 0/n 분수가 결합되어 유리수를 형성합니다.

분수 연산

우리는 위에서 일반 분수(분수 비교)를 사용하여 한 가지 작업을 이미 논의했습니다. 4개의 산술 함수가 더 정의되었습니다. 분수 연산– 분수의 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기. 각각을 살펴보겠습니다.

분수 연산의 일반적인 본질은 자연수를 사용한 해당 연산의 본질과 유사합니다. 비유를 해보자.

분수 곱하기분수에서 분수를 찾는 작업으로 생각할 수 있습니다. 명확히하기 위해 예를 들어 보겠습니다. 사과 1/6개가 있는데 2/3를 가져와야 한다고 가정해 보겠습니다. 우리에게 필요한 부분은 분수 1/6과 2/3을 곱한 결과입니다. 두 개의 일반 분수를 곱한 결과는 일반 분수입니다(특수한 경우에는 자연수와 같습니다). 다음으로, 분수 곱하기 - 규칙, 예 및 해법 문서의 정보를 연구하는 것이 좋습니다.

참고자료.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 수학: 5학년 교과서. 교육 기관.
• Vilenkin N.Ya. 그리고 기타. 6학년: 일반 교육 기관용 교과서.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. 수학(전문학교 입학을 위한 매뉴얼).

우리는 학교에서 공부를 시작하기 훨씬 전에 인생에서 분수를 접하게 됩니다. 사과 전체를 반으로 자르면 과일의 ½을 얻습니다. 다시 자르자 - ¼이 될 것이다. 이것은 분수입니다. 그리고 모든 것이 단순해 보였습니다. 성인용. 어린이의 경우(이 주제는 초등학교 말에 연구되기 시작합니다) 추상적인 수학적 개념은 여전히 ​​끔찍할 정도로 이해하기 어렵고 교사는 적절한 분수와 가분수, 공통 및 소수가 무엇인지, 어떤 작업을 수행할 수 있는지 명확하게 설명해야 합니다. 그리고 가장 중요한 것은 이 모든 것이 왜 필요한지입니다.

분수에는 어떤 종류가 있나요?

학교에서 새로운 주제를 소개하는 것은 일반적인 분수로 시작됩니다. 위와 아래의 두 숫자를 구분하는 수평선으로 쉽게 인식됩니다. 위쪽을 분자, 아래쪽을 분모라고 합니다. 슬래시를 통해 부적절하고 적절한 일반 분수를 작성하기 위한 소문자 옵션도 있습니다(예: ½, 4/9, 384/183). 이 옵션은 줄 높이가 제한되어 "2층" 입력 양식을 사용할 수 없는 경우에 사용됩니다. 왜? 응, 그게 더 편하니까. 이에 대해서는 잠시 후에 살펴보겠습니다.

일반 분수 외에 소수도 있습니다. 이를 구별하는 것은 매우 간단합니다. 한 경우에 가로 또는 슬래시가 사용되면 다른 경우에는 쉼표를 사용하여 일련의 숫자를 구분합니다. 예를 살펴보겠습니다: 2.9; 163.34; 1.953. 숫자를 구분하기 위해 의도적으로 세미콜론을 구분 기호로 사용했습니다. 그 중 첫 번째는 "2.9"로 읽혀질 것입니다.

새로운 개념

일반적인 분수로 돌아가 보겠습니다. 두 가지 유형이 있습니다.

고유 분수의 정의는 다음과 같습니다. 분자가 분모보다 작은 분수입니다. 이것이 왜 중요합니까? 지금 볼게요!

반으로 자른 사과가 여러 개 있습니다. 총 - 5개 부분. 당신은 "2개 반" 또는 "5개 반" 사과를 가지고 있다고 어떻게 말하겠습니까? 물론 첫 번째 옵션이 더 자연스럽게 들리므로 친구들과 대화할 때 사용할 것입니다. 그러나 각 사람이 얻을 수 있는 과일의 수를 계산해야 하는 경우 회사에 5명이 있다면 숫자 5/2를 적어서 5로 나눌 것입니다. 수학적 관점에서 보면 이것이 더 명확해질 것입니다. .

따라서 진분수와 가분수를 명명할 때 규칙은 다음과 같습니다. 전체 부분이 분수(14/5, 2/1, 173/16, 3/3)에서 구별될 수 있으면 불규칙합니다. ½, 13/16, 9/10의 경우와 같이 이를 수행할 수 없는 경우에는 정확합니다.

분수의 주요 속성

분수의 분자와 분모에 같은 숫자를 동시에 곱하거나 나누어도 그 값은 변하지 않습니다. 상상해 보세요. 그들은 케이크를 4등분하여 당신에게 하나를 주었습니다. 그들은 같은 케이크를 여덟 조각으로 잘라서 두 조각을 주었습니다. 정말 중요합니까? 결국 ¼과 2/8은 같은 것입니다!

절감

수학 교과서의 문제와 예를 집필하는 사람들은 쓰기에는 번거롭지만 실제로는 축약할 수 있는 분수를 제공하여 학생들을 혼란스럽게 만들려고 하는 경우가 많습니다. 다음은 고유 분수의 예입니다: 167/334, 이는 매우 "무섭게" 보이는 것 같습니다. 하지만 실제로는 ½로 쓸 수 있습니다. 숫자 334는 나머지 없이 167로 나눌 수 있습니다. 이 연산을 수행하면 2가 됩니다.

대분수

가분수는 대분수로 표현될 수 있습니다. 전체 부분을 앞으로 가져와서 수평선 수준으로 쓰는 경우입니다. 실제로 표현식은 합계 형식을 취합니다. 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 등등.

전체를 꺼내려면 분자를 분모로 나누어야 합니다. 나머지 부분은 맨 위, 줄 위, 전체 부분은 표현식 앞에 씁니다. 따라서 우리는 전체 단위 + 고유 분수라는 두 가지 구조적 부분을 얻습니다.

역연산을 수행할 수도 있습니다. 이렇게 하려면 정수 부분에 분모를 곱하고 결과 값을 분자에 더해야 합니다. 복잡한 것은 없습니다.

곱셈과 나눗셈

이상하게도 분수를 곱하는 것이 덧셈보다 쉽습니다. 필요한 것은 수평선을 확장하는 것뿐입니다: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

나누기를 사용하면 모든 것이 간단합니다. 분수를 십자형으로 곱해야 합니다: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

분수 더하기

덧셈을 해야 하거나 분모에 다른 숫자가 있으면 어떻게 해야 하나요? 곱셈과 동일한 작업을 수행하는 것은 작동하지 않습니다. 여기서 고유 분수의 정의와 그 본질을 이해해야 합니다. 용어를 공통 분모로 가져오는 것이 필요합니다. 즉, 두 분수의 하단이 동일한 숫자를 가져야 합니다.

이렇게 하려면 분수의 기본 속성을 사용해야 합니다. 즉, 두 부분에 같은 숫자를 곱하는 것입니다. 예를 들어 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½입니다.

용어를 축소할 분모를 선택하는 방법은 무엇입니까? 이는 분수의 분모에 있는 두 숫자의 배수인 최소 숫자여야 합니다. 1/3과 1/9의 경우 9가 됩니다. ½과 1/7 - 14의 경우 나머지 없이 2와 7로 나눌 수 있는 더 작은 값이 없기 때문입니다.

용법

가분수는 무엇에 사용되나요? 결국 전체 부분을 즉시 선택하고 대분수를 얻은 다음 작업을 완료하는 것이 훨씬 더 편리합니다! 두 개의 분수를 곱하거나 나누어야 하는 경우 불규칙한 분수를 사용하는 것이 더 유리하다는 것이 밝혀졌습니다.

다음 예를 들어보겠습니다: (2 + 3/17) / (37 / 68).

잘라낼 것이 전혀없는 것 같습니다. 그런데 첫 번째 괄호 안의 덧셈 결과를 가분수로 쓰면 어떻게 될까요? 보기: (37/17) / (37/68)

이제 모든 것이 제자리에 있습니다! 모든 것이 명확해지는 방식으로 예제를 작성해 봅시다: (37*68) / (17*37).

분자와 분모의 37을 취소하고 마지막으로 위와 아래를 17로 나누자. 진분수와 가분수의 기본 법칙을 기억하시나요? 분자와 분모에 대해 동시에 수행하는 한 어떤 숫자로도 곱하고 나눌 수 있습니다.

따라서 답은 다음과 같습니다. 4. 예제가 복잡해 보이지만 답에는 숫자가 하나만 포함되어 있습니다. 이런 일은 수학에서 자주 일어납니다. 가장 중요한 것은 두려워하지 않고 간단한 규칙을 따르는 것입니다.

일반적인 실수

구현할 때 학생은 흔히 저지르는 실수 중 하나를 쉽게 범할 수 있습니다. 일반적으로 이러한 현상은 부주의로 인해 발생하며 때로는 연구된 물질이 아직 머리에 제대로 저장되지 않았기 때문에 발생합니다.

분자에 있는 숫자의 합으로 인해 개별 구성 요소를 줄이고 싶은 경우가 종종 있습니다. 예를 들어 보겠습니다. (13 + 2) / 13(괄호 없이(가로선 포함) 작성) 많은 학생들이 경험이 부족하여 위와 아래에서 13을 지웁니다. 그러나 이것은 어떤 상황에서도 수행되어서는 안 됩니다. 왜냐하면 이것은 심각한 실수이기 때문입니다! 덧셈 대신 곱셈 기호가 있으면 답에 숫자 2가 표시됩니다. 그러나 덧셈을 수행할 때 용어 중 하나에 대한 연산은 허용되지 않으며 전체 합계에 대해서만 허용됩니다.

남자들은 분수를 나눌 때 종종 실수를 합니다. 두 개의 적절한 기약 분수를 취하고 서로 나누어 봅시다: (5/6) / (25/33). 학생은 이를 섞어서 결과 표현식을 (5*25) / (6*33)으로 쓸 수 있습니다. 그러나 이것은 곱셈에서 발생하지만 우리의 경우 모든 것이 다소 다릅니다: (5*33) / (6*25). 가능한 것을 줄이면 답은 11/10이 될 것입니다. 결과로 나온 가분수를 십진수 - 1.1로 씁니다.

괄호

모든 수학적 표현에서 연산 순서는 연산 기호의 우선 순위와 괄호의 존재 여부에 따라 결정됩니다. 다른 모든 조건이 동일할 때 작업 순서는 왼쪽에서 오른쪽으로 계산됩니다. 이는 분수의 경우에도 마찬가지입니다. 분자나 분모의 표현은 이 규칙에 따라 엄격하게 계산됩니다.

결국 이것은 한 숫자를 다른 숫자로 나눈 결과입니다. 균등하게 나누어지지 않으면 분수가 됩니다. 그게 전부입니다.

컴퓨터에서 분수를 쓰는 방법

표준 도구는 항상 두 개의 "계층"으로 구성된 부분을 생성하는 것을 허용하지 않기 때문에 학생들은 때때로 다양한 트릭을 사용합니다. 예를 들어, 분자와 분모를 그림판 그래픽 편집기에 복사하고 서로 붙이고 그 사이에 수평선을 그립니다. 물론, 앞으로 유용할 많은 추가 기능을 제공하는 더 간단한 옵션도 있습니다.

마이크로소프트 워드를 엽니다. 화면 상단에 있는 패널 중 하나는 "삽입"입니다. 클릭하세요. 오른쪽 창 닫기 및 최소화 아이콘이 있는쪽에 "수식" 버튼이 있습니다. 이것이 바로 우리에게 필요한 것입니다!

이 기능을 사용하면 키보드에 없는 수학 기호를 사용할 수 있을 뿐만 아니라 클래식 형식으로 분수를 쓸 수 있는 직사각형 영역이 화면에 나타납니다. 즉, 분자와 분모를 수평선으로 나누는 것입니다. 이렇게 진분수를 쓰기가 너무 쉽다는 사실에 놀랄 수도 있습니다.

수학을 배우세요

5~6학년이라면 곧 많은 학교 과목에서 수학 지식(분수 작업 능력 포함!)이 필요할 것입니다. 물리학의 거의 모든 문제에서 화학, 기하학 및 삼각법에서 물질의 질량을 측정할 때 분수 없이는 할 수 없습니다. 머지않아 당신은 종이에 표현을 적지 않고도 머릿속으로 모든 것을 계산하는 법을 배우게 될 것입니다. 그러나 점점 더 복잡한 예가 나타날 것입니다. 그러니 적절한 분수가 무엇인지, 어떻게 사용하는지 배우고, 커리큘럼을 따라가고, 숙제를 제 시간에 마치면 성공할 것입니다.

326. 빈칸을 채워라.

1) 분수의 분자와 분모가 같으면 분수는 1이 됩니다.
2) 분수 a/b(a와 b는 자연수)가 다음과 같으면 진수라고 합니다.< b
3) a/b(a와 b는 자연수) 분수는 a >b이거나 a =b인 경우 가분수라고 합니다.
4) 9/14는 9이므로 진분수입니다.< 14.
5) 7/5은 7 > 5이므로 가분수입니다.
6) 16/16은 16=16이므로 가분수입니다.

327. 분수 1/20, 16/9, 7/2, 14/28,10/10, 5/32,11/2에서 작성하십시오. 1) 고유 분수; 2) 가분수.

1) 1/20, 14/23, 5/32

2) 19/9, 7/2, 10/10, 11/2

328. 다음을 생각해 내고 적으십시오. 1) 5개의 적절한 분수; 2) 가분수.

1) ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6

2) 3/2, 4/2, 5/2유 6/2, 7/2

329. 분모가 9인 진분수를 모두 적어보세요.

1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9.

330. 분자 9로 모든 가분수를 적어보세요.

9/1,9/2, 9/3, 9/4, 9/5, 9/6, 9/7, 9/8, 9/9.

331. 두 개의 동일한 스트립을 7개의 동일한 부분으로 나누었습니다. 한 스트립의 4/7과 다른 스트립의 6/7을 페인트합니다.

결과 분수를 비교해보세요: 4/7< 6/7.

분모가 같은 분수를 비교하는 규칙을 공식화하세요. 분모가 같은 두 분수 중에서 분자가 더 큰 분수가 더 큽니다.

332. 두 개의 동일한 스트립이 여러 부분으로 나누어졌습니다. 한 스트립은 7등분으로 나누고, 다른 스트립은 5등분으로 나누었습니다. 첫 번째 스트립의 3/7과 두 번째 스트립의 3/5를 칠합니다.

결과 분수를 비교해보세요: 3/7< /5.

동일한 분자를 갖는 분수를 비교하는 규칙을 공식화하십시오. 동일한 분자를 갖는 두 분수 중에서 분모가 더 작은 분수가 더 큽니다.

333. 빈칸을 채워라.

1) 모든 진분수는 1보다 작고, 가분수는 1보다 크거나 1과 같습니다.

2) 모든 가분수는 모든 진분수보다 크고, 모든 진분수는 누구보다 적다잘못된.

3) 두 분수의 좌표선에서 큰 분수가 작은 분수의 오른쪽에 위치합니다.

334. 올바른 설명에 동그라미를 치십시오.

335. 숫자를 비교해보세요.

2)17/25>14/25

4)24/51>24/53

336. 10/11, 16/4, 18/17, 24/24, 2005/207, 310/303, 39/40 분수 중 1보다 큰 것은 무엇입니까?

답 : 16/4, 18/17, 310/303

337. 분수 5/29, 7/29, 4/29, 25/29, 17/29, 13/29를 배열합니다.

답변: 29/29,17/29, 13/29, 7/29, 5/29, 4/29.

338. 숫자 0과 3 사이에 있는 분모가 5인 분수인 모든 숫자를 좌표 광선에 표시하십시오. 표시된 숫자 중 어느 것이 정확하고 어느 것이 틀리나요?

0 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 9/5 10/5 11/5 12/5 13/5 14/5

답: 1) 진분수: 1/5, 2/5, 3/5, 4/5.

2) 가분수: 5/5, 6/5, 7/5, 8/5, 9/5, 10/5, 11/5, 12/5, 13/5, 14/5.

339. 분수 x/8이 맞는 x의 자연값을 모두 찾아보세요.

답: 1,2,3,4,5,6,7

340. 찾기 자연스러운 표현 x에 대해 분수 11/x는 올바르지 않습니다.

답: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

341. 1) 적절한 분수가 형성되도록 빈 셀에 숫자를 쓰십시오..

2) 빈 셀에 숫자를 써서 가분수를 만듭니다.

342. 길이가 다음과 같은 세그먼트를 구성하고 라벨을 붙입니다. 1) 세그먼트 AB 길이의 9/8; 2) 세그먼트 AB 길이의 10/8; 3) 세그먼트 AB 길이의 7/4; 4) 세그먼트 AB의 길이.

사샤는 42:6*7= 49페이지를 읽었습니다.

답: 49페이지

344. 불평등이 유지되는 x의 모든 자연 값을 찾으십시오.

1) x/15<7/15;

2)10/x >10/9.

답: 1) 1,2,3,4,5,6; 2) 1,2,3,4,5,6,7,8.

345. 숫자 1,4,5,7과 분수선을 사용하여 가능한 모든 진분수를 적어보세요.

답: ¼, 1/5.1/7.4/5.4/7.5/7.

346. 4m+5/17이 맞는 m의 자연값을 모두 찾아보세요.

4m+5<17; 4m<12; m<3.

답: m =1; 2.

347. 분수 10/a가 부적절하고 분수 7/a가 정확할 a의 모든 자연값을 찾아보세요.

a≤10이고 a>7, 즉 7

답: a = 8,9,10

348. 다음과 같은 자연수 a, b, c 및 d