축에 대한 벡터의 음수 투영입니다. 좌표축에 벡터 투영

이제 벡터를 축에 투영하는 가장 중요한 개념을 소개할 준비가 되었습니다. 신체적 문제를 해결하는 데 지속적으로 사용됩니다.

7.5.1 축에 벡터를 투영하는 것은 무엇입니까?

벡터 ~a와 X축이 주어진다고 가정합니다. X축에는 세그먼트의 길이를 측정하고 벡터 ~a의 차원을 할당할 수 있는 척도가 있다고 가정합니다.

벡터 ~a의 시작과 끝에서 X 축에 수직을 놓습니다. A와 B를 이 수직선의 밑변으로 두십시오(그림 7.26). 세그먼트 AB의 길이를 jABj로 표시합니다.

쌀. 7.26. 축에 벡터 투영

정의. X 축에 대한 벡터 ~a의 투영 축은 세그먼트 AB의 길이와 같습니다. 벡터 ~a와 X 축 사이의 각도 "가 예각이면 플러스 기호로 취하고, 다음이면 마이너스 기호로 취합니다. "는 둔하다(또는 펼쳐진다). 각도가 맞으면 ax = 0입니다.

간단히 말해서 다음과 같은 공식이 있습니다.

그림 7.27은 이러한 모든 가능성을 보여줍니다.

여기서 평소와 같이 a = j~aj 벡터 ~a의 계수입니다.

과연, 그렇다면"< 90 , то формула (7.10 ) даёт длину левого красного отрезка на рис.7.27 .

" > 90이면 그림 7.27의 중간 부분에서 각도 "에 인접한 각도로 이동하면 공식 (7.10)이 중간 빨간색 세그먼트의 길이에 마이너스 기호를 제공한다는 것을 알 수 있습니다(음수로 인해). 코사인) 이것이 바로 우리에게 필요한 것입니다.

마지막으로 " = 90이면 식 (7.10)은 ax = 0이 됩니다. 왜냐하면 코사인이 직각 0과 같습니다. 이것이 바로 그 모습입니다(그림의 오른쪽).

이제 X축에도 원점이 주어져 있어 익숙한 좌표축이라고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 투영 도끼에 대한 또 다른 공식이 있는데, 이 공식에는 그림 7.27의 세 가지 사례가 모두 "보관된" 형식으로 포함되어 있습니다.

결과 2. x1과 x2를 각각 벡터 ~a의 시작과 끝의 좌표로 둡니다. 그런 다음 투영 축은 다음 공식으로 계산됩니다.

도끼 = x2 x1 :

실제로 그림을 살펴보자. 7.28. 긍정적인 투영을 한 사례입니다. 그림에서 차이 x2 x1이 빨간색 세그먼트의 길이와 같고 이 경우 이 길이가 정확히 투영 축이라는 것이 분명합니다.

쌀. 7.28. 축에 벡터를 투영합니다. 결과 2로

나머지 두 가지 경우(ax< 0 и ax = 0)? Убедитесь, пожалуйста, самостоятельно, что формула (7.11 ) и для них остаётся справедливой.

7.5.2 벡터를 축에 투영하는 속성

벡터를 축에 투영하는 작업은 벡터를 추가하고 스칼라에 벡터를 곱하는 작업과 현저하게 일치합니다. 즉, X축이 무엇이든 다음 두 가지 디자인 속성이 유지됩니다.

1. 벡터 ~a + b를 X축에 투영하는 것은 ax + bx와 같습니다.

간략한 구두 공식화: 벡터 합의 투영은 투영의 합과 같습니다. 이는 단지 두 개가 아닌 모든 수의 벡터의 합에 적용됩니다.




		쌀. 7.29. ~c = ~a + b) cx = 도끼

우선, 이 진술을 그림으로 설명해 보겠습니다. 세기의 시작을 두자-

원환체 b를 벡터 ~a의 끝으로 이동하고 ~c = ~a + b로 둡니다(그림 7.29).

~에 이 사진투영 cx는 빨간색과 녹색 세그먼트의 길이의 합, 즉 ax + bx와 동일하다는 것이 명확하게 표시됩니다.

사실입니다. 7.29는 ax > 0 및 bx > 0인 경우에 대해 작성되었습니다. 우리의 진술을 한 번에 증명하기 위해 가능한 값투영 ax와 bx에 대해 우리는 공식 (7.11)에 기초하여 다음과 같은 보편적인 추론을 수행할 것입니다.


따라서 벡터 ~a와 b를 임의의 방식으로 배열하도록 하겠습니다. 다시 시작을 합치자

벡터 b를 벡터 ~a의 끝으로 지정하고 ~c = ~a + b를 나타냅니다. 허락하다:
	벡터 ~a의 시작 좌표와 동시에 벡터 ~c의 시작 좌표;

	벡터 ~a의 끝 좌표와 동시에 벡터 b의 시작 좌표;

	벡터 b의 끝 좌표이자 동시에 벡터 ~c의 끝 좌표입니다.

이러한 명칭은 그림 1에도 나와 있습니다. 7.29.

공식 (7.11)에 따르면 ax = x2 x1, bx = x3 x2, cx = x3 x1이 됩니다. 이제 다음을 쉽게 알 수 있습니다.

ax + bx = (x2 x1 ) + (x3 x2 ) = x3 x1 = cx :

이로써 디자인의 첫 번째 속성이 입증되었습니다.

2. X축에 대한 벡터 ~a의 투영은 a와 같습니다.엑스.

구두 공식화: 벡터에 의한 스칼라 곱의 투영은 벡터 투영에 의한 스칼라의 곱과 같습니다.

그림으로 다시 시작해 보겠습니다. 그림 7.30의 왼쪽은 양의 투영 축을 갖는 벡터 ~a를 보여줍니다.

쌀. 7.30. 벡터 ~a의 투영은 ax와 같습니다.

벡터 ~a에 2를 곱하면 길이가 두 배가 되고 벡터의 투영도 두 배가 되어(부호를 유지하면서) 2ax가 됩니다.

벡터 ~a에 2를 곱하면 길이는 다시 두 배가 되지만 방향은 반대 방향으로 변경됩니다. 투영은 부호를 변경하고 2ax와 동일해집니다.

따라서 두 번째 속성의 본질은 분명하며 이제 엄밀한 증명이 가능해졌습니다.

그럼 ~하자. 우리는 x x 임을 증명하고 싶습니다. b = ~a b = a

이를 위해 공식 (7.10)을 사용해 보겠습니다. 우리는:

ax = a cos "; bx = b cos ;

여기서 는 벡터와 축 사이의 각도이고 벡터 ~와 축 사이의 각도입니다. 제외하고

또한 스칼라에 벡터를 곱하는 정의를 통해 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

따라서:

bx = j ja cos:

그렇다면 j j ; 이 경우 벡터 ~는 벡터와 같은 방향입니다.

> 0 = b ~a = "

bx = a cos " = ax :

그렇다면 j j ; 이 경우 벡터 ~는 벡터의 방향과 반대입니다.

루~아. = "임을 알아내는 것은 어렵지 않습니다(예를 들어 "가 예각인 경우, 즉 인접한 것이 둔한 경우, 그 반대의 경우도 마찬가지입니다). 그런 다음 다음을 수행합니다.

bx = ()a cos() = ()a(cos ") = a cos " = ax :

따라서 모든 경우에 원하는 관계가 얻어지고 이로써 디자인의 두 번째 속성이 완전히 입증됩니다.

7.5.3 물리학에서의 설계 운영

설계 작업의 입증된 속성은 우리에게 매우 중요합니다. 예를 들어 역학에서는 모든 단계에서 이를 사용합니다.

따라서 역학의 많은 문제의 해결은 뉴턴의 제2법칙을 벡터 형식으로 작성하는 것에서 시작됩니다. 예를 들어, 실에 매달려 있는 질량 m의 진자를 생각해 보세요. 진자의 경우 뉴턴의 제2법칙은 다음과 같습니다.

뉴턴의 제2법칙을 벡터 형식으로 작성한 후 이를 투영하는 단계로 넘어갑니다.

적합한 축. 평등(7.12)을 취하고 X축에 투영합니다.
최대 = mgx + Tx + fx :

벡터 동일성(7.12)에서 스칼라 동일성(7.13)으로 이동할 때 두 투영 속성이 모두 사용됩니다! 즉, 속성 1 덕분에 벡터 합계의 투영을 투영의 합으로 작성했습니다. 속성 2 덕분에 우리는 벡터 m~a와 m~g의 투영을 max와 mgx 형식으로 쓸 수 있었습니다.

따라서 투영 작업의 두 속성은 벡터 등식에서 스칼라 등식으로의 전환을 제공하며 이 전환은 생각 없이 공식적으로 수행될 수 있습니다. 벡터 표기법에서 화살표를 버리고 그 자리에 투영 인덱스를 넣습니다. 이것이 바로 방정식 (7.12)에서 방정식 (7.13)으로의 전환 모습입니다.

대수적 투영벡터모든 축의 는 벡터의 길이와 축과 벡터 사이의 각도의 코사인을 곱한 것과 같습니다.

Pr a b = |b|cos(a,b) 또는

여기서 a b는 벡터의 스칼라 곱입니다. |a| - 벡터 a의 계수.

지침. 벡터 Пp a b의 투영을 찾으려면 온라인 모드벡터 a와 b의 좌표를 나타내는 것이 필요합니다. 이 경우 벡터는 평면(2개 좌표)과 공간(3개 좌표)에서 지정할 수 있습니다. 결과 솔루션은 Word 파일에 저장됩니다. 점의 좌표를 통해 벡터를 지정하는 경우 이 계산기를 사용해야 합니다.

벡터 투영의 분류

정의에 따른 투영 유형 벡터 투영

좌표계에 따른 투영 유형

벡터 투영 속성

벡터의 기하학적 투영은 벡터입니다(방향이 있음).
벡터의 대수적 투영은 숫자입니다.

벡터 투영 정리

정리 1. 벡터의 합을 임의의 축에 투영하는 것은 벡터의 합을 동일한 축에 투영하는 것과 같습니다.

정리 2. 임의의 축에 대한 벡터의 대수적 투영은 벡터의 길이와 축과 벡터 사이의 각도의 코사인을 곱한 것과 같습니다.

Pr a b = |b|cos(a,b)

벡터 투영 유형

OX 축에 투영합니다.
OY 축에 투영합니다.
벡터에 투영합니다.

OX 축에 투영	OY축 투영	벡터로의 투영
벡터 A'B'의 방향이 OX 축의 방향과 일치하면 벡터 A'B'의 투영은 양의 부호를 갖습니다.	벡터 A'B'의 방향이 OY 축의 방향과 일치하면 벡터 A'B'의 투영은 양의 부호를 갖습니다.	벡터 A'B'의 방향이 벡터 NM의 방향과 일치하면 벡터 A'B'의 투영은 양의 부호를 갖습니다.
벡터의 방향이 OX 축의 방향과 반대인 경우 벡터 A'B'의 투영은 다음과 같습니다. 음.	벡터 A'B'의 방향이 OY 축 방향과 반대인 경우 벡터 A'B'의 투영은 음수 부호를 갖습니다.	벡터 A'B'의 방향이 벡터 NM의 방향과 반대인 경우 벡터 A'B'의 투영은 음의 부호를 갖습니다.
벡터 AB가 OX 축과 평행한 경우 벡터 A'B'의 투영은 벡터 AB의 절대값과 같습니다.	벡터 AB가 OY 축과 평행한 경우 벡터 A'B'의 투영은 벡터 AB의 절대값과 같습니다.	벡터 AB가 벡터 NM과 평행한 경우 벡터 A'B'의 투영은 벡터 AB의 절대값과 같습니다.
벡터 AB가 축 OX에 수직인 경우 투영 A'B'는 0(널 벡터)과 같습니다.	벡터 AB가 OY 축에 수직인 경우 투영 A'B'는 0(널 벡터)과 같습니다.	벡터 AB가 벡터 NM에 수직인 경우 투영 A'B'는 0(널 벡터)과 같습니다.

1. 질문: 벡터 투영에 음의 부호가 있을 수 있나요? 답변: 예, 투영 벡터는 음수 값이 될 수 있습니다. 이 경우 벡터의 방향은 반대입니다(OX 축과 AB 벡터의 방향을 확인하세요).
2. 질문: 벡터의 투영이 벡터의 절대값과 일치할 수 있습니까? 대답: 네, 그럴 수 있습니다. 이 경우 벡터는 평행합니다(또는 같은 선상에 놓입니다).
3. 질문: 벡터의 투영이 0(널 벡터)과 같을 수 있습니까? 대답: 네, 그럴 수 있습니다. 이 경우 벡터는 해당 축(벡터)에 수직입니다.

예시 1. 벡터(그림 1)는 OX 축과 60°의 각도를 형성합니다(벡터 a로 지정됨). OE가 규모 단위인 경우 |b|=4이므로 .

실제로 벡터의 길이( 기하학적 투영 b)는 2와 같고, 방향은 OX축의 방향과 일치한다.

예시 2. 벡터(그림 2)는 OX 축(벡터 a)과 각도(a,b) = 120o를 형성합니다. 길이 |b| 벡터 b는 4와 같으므로 pr a b=4·cos120 o = -2입니다.

실제로 벡터의 길이는 2이고 방향은 축 방향과 반대입니다.

투사축에 대한 벡터는 이 축에 대한 벡터의 스칼라 투영과 이 축의 단위 벡터를 곱하여 얻은 벡터입니다. 예를 들어 x – 스칼라 투영벡터 에이 X축으로 이동한 다음 x 나- 이 축에 대한 벡터 투영입니다.

나타내자 벡터 투영벡터 자체와 동일하지만 벡터가 투영되는 축의 인덱스가 있습니다. 따라서 벡터의 벡터 투영은 에이 X 축에서 우리는 에이엑스( 지방벡터를 나타내는 문자와 축 이름의 첨자) 또는 (벡터를 나타내는 굵은 글씨가 아닌 문자이지만 상단에 화살표(!)와 축 이름의 첨자가 있음).

스칼라 투영축당 벡터를 호출합니다. 숫자, 절대값은 벡터의 시작점과 끝점의 투영 사이에 포함된 (선택한 스케일에서) 축 세그먼트의 길이와 같습니다. 일반적으로 표현 대신 스칼라 투영그들은 단지 이렇게 말합니다 - 투사. 투영은 투영된 벡터와 동일한 문자(대체로 굵은 글씨가 아닌 문자)로 표시되며 일반적으로 이 벡터가 투영되는 축 이름의 색인이 더 낮습니다. 예를 들어 벡터가 X축에 투영된 경우 에이,그 투영은 x로 표시됩니다. 동일한 벡터를 다른 축에 투영할 때 축이 Y이면 해당 투영은 y로 표시됩니다.

투영을 계산하려면 벡터축(예: X축)에서는 끝점 좌표에서 시작점 좌표를 빼야 합니다.
x = xk − xn.
축에 대한 벡터의 투영은 숫자입니다.게다가 x k 값이 x n 값보다 크면 투영은 양수일 수 있습니다.

값 x k가 값 x n보다 작은 경우 음수

x k가 x n과 같으면 0과 같습니다.

축에 대한 벡터의 투영은 벡터의 모듈러스와 이 축과 이루는 각도를 알면 알 수 있습니다.

그림에서 a x = a Cos α라는 것이 분명합니다.

즉, 축에 대한 벡터의 투영은 벡터의 계수와 축 방향 사이의 각도의 코사인의 곱과 같습니다. 벡터 방향. 각도가 예각이면
Cos α > 0 및 a x > 0, 둔한 경우 코사인 둔각는 음수이고 축에 대한 벡터의 투영도 음수입니다.

축에서 시계 반대 방향으로 측정된 각도는 양수로 간주되고 축을 따라 측정된 각도는 음수로 간주됩니다. 그러나 코사인은 짝수 함수, 즉 Cos α = Cos (− α)이므로 투영을 계산할 때 시계 방향과 시계 반대 방향 모두 각도를 계산할 수 있습니다.

축에 대한 벡터의 투영을 찾으려면 이 벡터의 계수에 축 방향과 벡터 방향 사이의 각도의 코사인을 곱해야 합니다.

벡터 좌표— 선택된 좌표계에서 주어진 벡터와 동일한 기저 벡터의 유일한 선형 조합 계수.

축은 방향입니다. 이는 축이나 방향선에 대한 투영이 동일한 것으로 간주됨을 의미합니다. 투영은 대수적이거나 기하학적일 수 있습니다. 기하학적 용어로 벡터를 축에 투영하는 것은 벡터로 이해되고, 대수적 용어로 숫자로 이해됩니다. 즉, 벡터를 축에 투영하는 개념과 벡터를 축에 수치 투영하는 개념이 사용됩니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

L 축과 0이 아닌 벡터 A B →가 있으면 점 A 1과 B 1의 투영을 나타내는 벡터 A 1 B 1 ⇀을 구성할 수 있습니다.

A 1 B → 1은 벡터 A B → L에 대한 투영입니다.

정의 1

벡터를 축에 투영시작과 끝이 주어진 벡터의 시작과 끝을 투영하는 벡터입니다. n p L A B → → L에 대한 투영 A B →를 나타내는 것이 일반적입니다. L에 투영을 구성하려면 수직선을 L에 떨어뜨립니다.

실시예 1

축에 대한 벡터 투영의 예입니다.

좌표 평면 O x y에서 점 M 1 (x 1, y 1)이 지정됩니다. 점 M 1의 반경 벡터를 이미지화하려면 O x 및 O y에 대한 투영을 구성해야 합니다. 벡터 (x 1, 0)과 (0, y 1)의 좌표를 얻습니다.

0이 아닌 b →에 a →를 투영하거나 b → 방향으로 a →를 투영하는 경우, b → 방향이 일치하는 축에 a →를 투영하는 것을 의미합니다. b →에 의해 정의된 선에 a →를 투영하는 것은 n p b → a → → 로 지정됩니다. a → 와 b → 사이의 각도가 n p b → a → → 및 b → 가 동일한 방향으로 간주될 수 있는 것으로 알려져 있습니다. 각도가 둔각인 경우 n p b → a → → 및 b →는 반대 방향입니다. a → 및 b → 수직이고 a →가 0인 상황에서 a →의 b → 방향 투영은 0 벡터입니다.

축에 대한 벡터 투영의 수치적 특성은 주어진 축에 대한 벡터의 수치 투영입니다.

정의 2

축에 대한 벡터의 수치 투영는 주어진 벡터의 길이와 주어진 벡터와 축의 방향을 결정하는 벡터 사이의 각도의 코사인을 곱한 것과 같은 숫자입니다.

L에 대한 A B →의 수치 투영은 n p L A B → 로 표시되고 a → b → -n p b → a → 로 표시됩니다.

공식에 기초하여 n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ 를 얻습니다. 여기서 a →는 벡터 a → 의 길이이고, a ⇀ , b → ^는 벡터 a → 사이의 각도입니다. 그리고 b → .

우리는 수치 투영을 계산하기 위한 공식을 얻습니다: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . 이는 알려진 길이 a → 및 b →와 그 사이의 각도에 적용 가능합니다. 공식은 알려진 좌표 a → 및 b →에 적용 가능하지만 단순화된 형식도 있습니다.

실시예 2

a → 길이가 8이고 사이의 각도가 60도인 b → 방향의 직선에 대한 a →의 수치 투영을 알아보세요. 조건에 따라 a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °가 됩니다. 이는 숫자 값을 공식 n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4로 대체한다는 것을 의미합니다.

답변: 4.

알려진 cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → 를 사용하면 a → , b → as 내적 a → 및 b → . n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ 공식에 따라 벡터 b →를 따라 수치 투영 a →를 찾고 n p b → a → = a → , b → b → 를 얻을 수 있습니다. 공식은 단락 시작 부분에 제공된 정의와 동일합니다.

정의 3

b → 방향과 일치하는 축에 대한 벡터 a →의 수치 투영은 길이 b → 에 대한 벡터 a → 및 b →의 스칼라 곱의 비율입니다. 공식 n p b → a → = a → , b → b →는 알려진 a → 및 b → 좌표를 사용하여 b → 방향과 일치하는 선에 a →의 수치 투영을 찾는 데 적용할 수 있습니다.

실시예 3

주어진 b → = (- 3 , 4) . L에서 수치 투영 a → = (1, 7)을 구합니다.

해결책

좌표 평면에서 n p b → a → = a → , b → b →는 n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 형식을 가지며, a → = (a x , a y ) 및 b → = b x , b y . L 축에 대한 벡터 a →의 수치 투영을 찾으려면 다음이 필요합니다. n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · ( - 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

답변: 5.

실시예 4

a → = - 2, 3, 1 및 b → = (3, - 2, 6)이 있는 b → 방향과 일치하는 L에서 a →의 투영을 찾습니다. 3차원 공간이 지정됩니다.

해결책

a → = a x , a y , a z 및 b → = b x , b y , b z 가 주어지면 스칼라 곱을 계산합니다: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . 길이 b →는 b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 공식을 사용하여 구합니다. 수치 투영 a →를 결정하는 공식은 다음과 같습니다. n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

숫자 값을 대체합니다: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

답: - 6 7.

L의 a →와 L의 투영 길이 a → 사이의 연결을 살펴보겠습니다. L의 한 점에서 a → 및 b →를 추가하여 축 L을 그리고 그 후 끝 a → L에서 수직선을 그리고 L에 투영을 그립니다. 이미지에는 5가지 변형이 있습니다.

첫 번째 a → = n p b → a → →의 경우는 a → = n p b → a → → 를 의미하므로 n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

두번째이 경우는 n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → 의 사용을 의미합니다. 이는 n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → 를 의미합니다.

제삼이 사례에서는 n p b → a → → = 0 → n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 을 얻으면 n p b → a → → = 0이 된다는 것을 설명합니다. 그리고 n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

네번째이 경우는 n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) 를 나타내며 n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

제오이 경우는 a → = n p b → a → → 를 보여줍니다. 이는 a → = n p b → a → → 를 의미하므로 n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = -가 됩니다. a → = - n p b → a → .

정의 4

b →와 동일한 방식으로 방향이 지정된 L 축에 대한 벡터 a →의 수치 투영은 다음 값을 갖습니다.

a →와 b → 사이의 각도가 90도보다 작거나 0과 같다면 벡터 a → L에 대한 투영 길이: n p b → a → = n p b → a → → 조건 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
a → 및 b →가 수직인 경우 0: n p b → a → = 0, (a → , b → ^) = 90 °인 경우;
벡터 a → 및 b →의 둔각 또는 직선 각도가 있는 경우 L에 대한 투영 a →의 길이에 -1을 곱합니다. n p b → a → = - n p b → a → → 90° 조건에서< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

실시예 5

L에 대한 투영 a →의 길이가 주어지면 2와 같습니다. 각도가 5 π 6 라디안인 경우 수치 투영 a →를 구합니다.

해결책

조건에 따르면 이 각도는 둔각입니다. π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

답: - 2.

실시예 6

벡터 길이가 a → 6 3인 평면 O x y z가 주어지면, b → (-2, 1, 2) 각도는 30도입니다. L축에 a → 투영된 좌표를 찾습니다.

해결책

먼저, 벡터 a →의 수치 투영을 계산합니다: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

조건에 따라 각도는 예각이고 수치 투영 a → = 벡터 a →의 투영 길이: n p L a → = n p L a → → = 9. 이 사건이는 벡터 n p L a → → 및 b →가 공동 방향을 향하고 있음을 보여줍니다. 이는 동일성이 참인 숫자 t가 있음을 의미합니다: n p L a → → = t · b → . 여기에서 n p L a → → = t · b → 를 볼 수 있습니다. 이는 매개변수 t의 값을 찾을 수 있음을 의미합니다: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

그런 다음 n p L a → → = 3 · b → 벡터 a → L 축에 대한 투영 좌표는 b → = (- 2 , 1 , 2) 와 같습니다. 여기서 값을 곱해야 합니다. 3. n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) 이 있습니다. 답: (-6, 3, 6).

벡터의 공선성 조건에 대해 이전에 학습한 정보를 반복해야 합니다.

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다양한 선과 면을 평면에 투영하면 도면 형식으로 개체의 시각적 이미지를 구축할 수 있습니다. 투영 광선이 투영 평면에 수직인 직사각형 투영을 고려해 보겠습니다. 평면상의 벡터 투영 시작과 끝이 생략된 수직선 사이에 둘러싸인 벡터 =(그림 3.22)를 생각해 보세요.

쌀. 3.22. 벡터를 평면에 벡터 투영합니다.

쌀. 3.23. 축에 대한 벡터의 벡터 투영입니다.

벡터 대수학에서는 벡터를 AXIS, 즉 특정 방향을 가진 직선에 투영해야 하는 경우가 많습니다. 벡터와 L축이 동일한 평면에 있으면 이러한 설계가 쉽습니다(그림 3.23). 그러나 이 조건이 충족되지 않으면 작업이 더욱 어려워집니다. 벡터와 축이 동일한 평면에 있지 않을 때 벡터의 축에 대한 투영을 구성해 보겠습니다(그림 3.24).

쌀. 3.24. 축에 벡터 투영
일반적인 경우에는.

벡터의 끝을 통해 선 L에 수직인 평면을 그립니다. 이 선과의 교차점에서 이 평면은 벡터인 두 점 A1과 B1을 정의하며 이를 이 벡터의 벡터 투영이라고 부릅니다. 벡터 투영을 찾는 문제는 벡터를 축과 동일한 평면으로 가져오면 더 쉽게 해결할 수 있습니다. 이는 자유 벡터가 벡터 대수학에서 고려되기 때문에 수행될 수 있습니다.

벡터 투영과 함께 SCALAR 투영도 있는데, 이는 벡터 투영이 L 축의 방향과 일치하는 경우 벡터 투영의 모듈러스와 같고, 벡터 투영과 L이 일치하는 경우 반대 값과 같습니다. 축의 방향이 반대입니다. 스칼라 투영을 표시하겠습니다.

벡터 투영과 스칼라 투영은 실제로 용어상 항상 엄격하게 분리되는 것은 아닙니다. "벡터 투영"이라는 용어는 일반적으로 벡터의 스칼라 투영을 의미하는 데 사용됩니다. 결정을 내릴 때 이러한 개념을 명확하게 구분할 필요가 있습니다. 확립된 전통에 따라, 우리는 확립된 의미에 따라 스칼라 투영을 의미하는 "벡터 투영"이라는 용어와 확립된 의미에 따라 "벡터 투영"이라는 용어를 사용할 것입니다.

주어진 벡터의 스칼라 투영을 계산할 수 있는 정리를 증명해 보겠습니다.

정리 5. L 축에 대한 벡터의 투영은 모듈러스와 벡터와 축 사이의 각도 코사인의 곱과 같습니다.

(3.5)

쌀. 3.25. 벡터와 스칼라 찾기
L축에 벡터 투영
(그리고 L축의 방향은 동일합니다).

증거. 먼저 각도를 찾을 수 있는 구성을 수행해 보겠습니다. G이를 위해 벡터와 L 축 사이에 L 축에 평행하고 벡터의 시작 부분인 점 O를 통과하는 직선 MN을 구성합니다(그림 3.25). 각도는 원하는 각도가 됩니다. L축에 수직인 점 A와 O를 통해 두 개의 평면을 그려 보겠습니다.