표현식을 동일하게 바꾸는 방법. 신원 변환

두 가지 평등을 고려해 봅시다:

1. 12 *a 3 = 7 *a 8

이 동등성은 변수 a의 모든 값에 적용됩니다. 해당 동등성에 허용되는 값의 범위는 전체 실수 집합입니다.

2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .

이 불평등은 0과 같은 것을 제외하고 변수 a의 모든 값에 적용됩니다. 이 부등식에 허용되는 값의 범위는 0을 제외한 전체 실수 집합입니다.

이러한 각각의 평등에 대해 그것은 어떤 경우에도 사실이라고 주장될 수 있습니다. 허용 가능한 값변수 가. 수학에서의 이러한 평등은 다음과 같습니다. 정체성.

정체성의 개념

항등성은 허용되는 변수 값에 대해 참인 동등성입니다. 변수 대신 이 등식에 유효한 값을 대체하면 올바른 수치 등식을 얻어야 합니다.

진정한 수치적 평등도 정체성이라는 점은 주목할 가치가 있습니다. 예를 들어, ID는 숫자에 대한 작업의 속성이 됩니다.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

허용되는 변수에 대한 두 표현식이 각각 동일한 경우 해당 표현식을 호출합니다. 동일하게 같음. 다음은 동일하게 동일한 표현식의 몇 가지 예입니다.

1. (a 2) 4 및 a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) 및 -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) 및 x 10.

우리는 언제든지 하나의 표현식을 첫 번째 표현식과 동일한 다른 표현식으로 바꿀 수 있습니다. 그러한 대체는 정체성의 변화가 될 것입니다.

신원의 예

예 1: 다음 동등성은 동일합니다:

1. 가 + 5 = 5 + 가;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

위에 제시된 모든 표현이 동일성은 아닙니다. 이러한 평등 중에서 1, 2, 3개의 평등만이 정체성입니다. 변수 a와 b 대신에 어떤 숫자를 대체하더라도 우리는 여전히 정확한 수치 동등성을 얻을 것입니다.

그러나 4차 평등은 더 이상 정체성이 아닙니다. 이 평등은 모든 유효한 값에 적용되지 않기 때문입니다. 예를 들어, a = 5 및 b = 2 값을 사용하면 다음과 같은 결과가 얻어집니다.

숫자 3은 숫자 -3과 같지 않기 때문에 이 평등은 사실이 아닙니다.

§ 2. 동일한 표현, 정체성. 표현식의 동일한 변환. 신원 증명

변수 x의 주어진 값에 대해 표현식 2(x - 1) 2x - 2의 값을 찾아봅시다. 결과를 표에 적어 보겠습니다.

변수 x의 주어진 각 값에 대해 표현식 2(x - 1) 2x - 2의 값이 서로 동일하다는 결론에 도달할 수 있습니다. 뺄셈에 대한 곱셈의 분포 특성에 따르면 2(x - 1) = 2x - 2입니다. 따라서 변수 x의 다른 값에 대해 표현식 2(x - 1) 2x - 2의 값도 다음과 같습니다. 서로 동등합니다. 이러한 표현을 동일하게 동일하다고 합니다.

예를 들어, 2x + 3x 및 5x 표현식은 동의어입니다. 왜냐하면 변수 x의 각 값에 대해 이 표현식은 다음을 획득하기 때문입니다. 동일한 값(이는 2x + 3x = 5x이기 때문에 덧셈에 대한 곱셈의 분배 특성에서 따릅니다.)

이제 3x + 2y 및 5xy 표현식을 고려해 보겠습니다. x = 1이고 b = 1이면 다음 표현식의 해당 값은 서로 같습니다.

3x + 2y =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

그러나 이러한 표현식의 값이 서로 동일하지 않은 x 및 y 값을 지정할 수 있습니다. 예를 들어, x = 2; y = 0이면

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

결과적으로 3x + 2y와 5xy 표현식의 해당 값이 서로 동일하지 않은 변수의 값이 있습니다. 따라서 표현식 3x + 2y와 5xy는 동일하게 동일하지 않습니다.

위의 내용을 바탕으로, 특히 항등식은 2(x - 1) = 2x - 2 및 2x + 3x = 5x입니다.

항등식은 숫자에 대한 연산의 알려진 속성을 설명하는 모든 동등성입니다. 예를 들어,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = bа; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

ID에는 다음과 같은 동등성이 포함됩니다.

a + 0 = a; ∙ 0 = 0; ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; ∙ 1 = ; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

-5x + 2x - 9라는 표현에서 유사한 용어를 결합하면 5x + 2x - 9 = 7x - 9가 됩니다. 이 경우 표현 5x + 2x - 9가 동일한 표현 7x -로 대체되었다고 합니다. 9.

변수가 있는 표현식의 동일한 변환은 숫자 연산의 속성을 사용하여 수행됩니다. 특히 여는 괄호를 사용한 동일한 변환, 유사한 용어 구성 등이 있습니다.

표현식을 단순화할 때 동일한 변환을 수행해야 합니다. 즉, 특정 표현식을 동일하게 동일한 표현식으로 대체하면 표기법이 더 짧아집니다.

예 1. 표현식을 단순화합니다.

1) -0.3m ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0.3m ∙ 5n = -0.3 ∙ 5mn = -1.5mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 엑스 - 8 - 1 2배+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - 에이 + 2 비 + 3 비 - 에이= 3a + 5b + 2.

평등이 동일함을 증명하기 위해(즉, 동일성을 증명하기 위해 동일한 표현 변환이 사용됩니다.

다음 방법 중 하나로 신원을 증명할 수 있습니다.

• 왼쪽에서 동일한 변환을 수행하여 오른쪽의 형태로 줄입니다.
• 오른쪽에서 동일한 변환을 수행하여 왼쪽의 형태로 줄입니다.
• 두 부분 모두에 대해 동일한 변환을 수행하여 두 부분을 동일한 표현식으로 만듭니다.

예시 2. 신원 증명:

1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

R a s i z a ni .

1) 이 평등의 왼쪽을 변환합니다.

2x - (x + 5) - 11 = 2배 - 엑스- 5 - 11 = x - 16.

항등변환을 통해 평등의 좌변 표현이 우변의 형태로 환원됨으로써 이 평등이 항등임을 증명하였다.

2) 이 평등의 우변을 변환합니다.

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 오전 10시 - 15 비 - 14a + 35 비= 20b - 4a.

항등변환을 통해 항등의 우변을 좌항의 형태로 환원함으로써 이 항등이 항등임을 증명하였다.

3) 이 경우 평등의 왼쪽과 오른쪽을 모두 단순화하고 결과를 비교하는 것이 편리합니다.

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6배 - 16 + 20배- 28 = 26x - 44;

13(2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.

동일한 변환을 통해 평등의 왼쪽과 오른쪽이 동일한 형식(26x - 44)으로 축소되었습니다. 따라서 이 평등은 항등입니다.

동일하다고 불리는 표현은 무엇입니까? 동일한 표현의 예를 들어보세요. 어떤 종류의 평등을 정체성이라고 합니까? 아이덴티티의 예를 들어보세요. 표현의 동일성 변환이란 무엇입니까? 신원을 증명하는 방법은 무엇입니까?

1. (구두로) 또는 동일하게 동일한 표현이 있습니다.

1) 2a + a 및 3a;

2) 7x + 6 및 6 + 7x;

3) x + x + x 및 x 3 ;

4) 2(x - 2) 및 2x - 4;

5) m - n 및 n - m;

6) 2a ∙ p와 2p ∙ a?

1. 표현식이 동일합니까?

1) 7x - 2x 및 5x;

2) 5a - 4 및 4 - 5a;

3) 4m + n 및 n + 4m;

4) a + a 및 a 2;

5) 3(a - 4) 및 3a - 12;

6) 5m ∙ n과 5m + n?

1. (구두적으로) Lee의 정체성 평등은 다음과 같습니다.

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7р - 1 = -1 + 7р;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

1. 대괄호를 확장합니다.

1. 대괄호를 확장합니다.

1. 유사한 용어 결합:

1. 몇 가지 표현에 이름을 붙여보세요 동일한 표현 2a + 3a.
2. 곱셈의 순열 및 연결 속성을 사용하여 표현식을 단순화합니다.

1) -2.5 x ∙ 4;

2) 4р ∙ (-1.5);

3) 0.2 x ∙ (0.3g);

4)- x ∙<-7у).

1. 표현을 단순화합니다:

1) -2р ∙ 3.5;

2) 7a ∙ (-1.2);

3) 0.2 x ∙ (-3у);

4) - 1m ∙ (-3n).

1. (구두) 표현을 단순화하십시오:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

1. 유사한 용어 결합:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1.8a + 1.9b + 2.8a - 2.9b;

4) 5 - 7초 + 1.9g + 6.9초 - 1.7g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3(2р - 7) - 2(r - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

1. 괄호를 열고 유사한 용어를 결합하십시오.

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) x = 2.4인 경우 0.6 x + 0.4(x - 20);

2) 1.3(2a - 1) - 16.4, a = 10인 경우;

3) m = -3.7인 경우 1.2(m - 5) - 1.8(10 - m);

4) 2x - 3(x + y) + 4y, x = -1이면 y = 1입니다.

1. 표현을 단순화하고 그 의미를 찾으십시오.

1) x = -0.7인 경우 0.7 x + 0.3(x - 4);

2) 1.7(y - 11) - 16.3, b = 20인 경우;

3) a = -1인 경우 0.6(2a - 14) - 0.4(5a - 1);

4) 5(m - n) - 4m + 7n(m = 1.8인 경우) n = -0.9.

1. 신원을 증명하십시오:

1) -(2x - y)=y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) c - 2 = 5(c + 2) - 4(c + 3).

1. 신원을 증명하십시오:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

1. 삼각형의 한 변의 길이는 1cm이고, 나머지 두 변의 길이는 각각 2cm 더 큽니다. 삼각형의 둘레를 수식으로 쓰고 수식을 단순화하세요.
2. 직사각형의 너비는 x cm이고, 길이는 너비보다 3 cm 더 큽니다. 직사각형의 둘레를 수식으로 적어서 수식을 단순화하세요.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4р - (3р - (2р - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a - b) - (4a - 33b);

6) - (2.7m - 1.5n) + (2n - 0.48m).

1. 괄호를 열고 표현식을 단순화합니다.

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5년 - (6년 - (7년 - (8년 - 1)));

6) (2.1a - 2.8b) - (1a - 1b).

1. 신원을 증명하십시오:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) -(- 3p) - (-(8 - 5p)) = 2(4 - r);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

1. 신원을 증명하십시오:

1) 12a - ((8a - 16)) = -4(4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. 표현의 의미를 증명하라

1.8(m - 2) + 1.4(2 - m) + 0.2(1.7 - 2m)은 변수 값에 의존하지 않습니다.

1. 변수의 모든 값에 대해 표현식의 값이 있음을 증명하십시오.

a - (a - (5a + 2)) - 5(a - 8)

같은 숫자입니다.

1. 세 개의 연속된 짝수의 합이 6으로 나누어짐을 증명하세요.
2. n이 자연수이면 -2(2.5 n - 7) + 2 (3n - 6) 표현식의 값이 짝수임을 증명하십시오.

반복할 수 있는 운동

1. 1.6kg의 합금에는 15%의 구리가 포함되어 있습니다. 이 합금에는 몇 kg의 구리가 포함되어 있습니까?
2. 숫자 20은 다음 중 몇 퍼센트입니까?

1) 정사각형;

1. 관광객은 2시간 동안 걷고, 3시간 동안 자전거를 탔다. 전체적으로 관광객은 56km를 여행했습니다. 관광객이 걷는 속도보다 12km/h 더 빠른 경우, 관광객이 자전거를 타고 있던 속도를 구하십시오.

게으른 학생들을 위한 흥미로운 과제

1. 도시 축구 선수권 대회에는 11개 팀이 참가합니다. 각 팀은 다른 팀과 한 경기를 치릅니다. 대회의 어느 순간에나 그 순간에 짝수 경기를 치렀거나 아직 한 번도 치른 적이 없는 팀이 있다는 것을 증명하십시오.

대수학을 공부하면서 우리는 다항식(예: ($y-x$,$\ 2x^2-2x$ 등))과 대수 분수(예: $\frac(x+5)(x)$의 개념을 접하게 되었습니다. , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ 등) 이러한 개념의 유사점은 다항식과 대수 분수 모두 변수와 숫자 값을 포함한다는 것입니다. , 연산이 수행됩니다: 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 지수화 이러한 개념의 차이점은 다항식에서는 변수로 나누기가 수행되지 않지만 대수 분수에서는 변수로 나누기가 수행될 수 있다는 것입니다.

다항식과 대수 분수는 모두 수학에서 유리 대수 표현이라고 합니다. 그러나 다항식은 전체 유리식이고, 대수적 분수는 분수 유리식입니다.

항등 변환을 사용하여 분수-유리식에서 전체 대수식을 얻을 수 있습니다. 이 경우 분수의 주요 속성인 분수 감소가 됩니다. 실제로 이것을 확인해 봅시다:

실시예 1

변환:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

해결책:이 분수-유리 방정식은 분수 축소의 기본 특성을 사용하여 변환될 수 있습니다. 분자와 분모를 $0$가 아닌 동일한 숫자나 수식으로 나눕니다.

이 분수는 즉시 줄어들 수 없으며 분자를 변환해야 합니다.

분수의 분자 표현을 변환해 보겠습니다. 이를 위해 차이의 제곱에 대한 공식을 사용합니다: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

분수는 다음과 같습니다

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\왼쪽(x-2\오른쪽)(x-2))(x-2)\]

이제 우리는 분자와 분모가 공통 인수를 가지고 있음을 알 수 있습니다. 이것은 $x-2$라는 표현입니다. 이를 통해 분수를 줄일 수 있습니다.

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\왼쪽(x-2\오른쪽)(x-2))(x-2)=x-2\]

환원 후, 우리는 원래의 분수 유리식 $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$가 다항식 $x-2$가 됨을 발견했습니다. 즉, 전체적으로 합리적이다.

이제 $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ 및 $x-2\ $ 표현식이 변수의 모든 값에 대해 동일하지 않은 것으로 간주될 수 있다는 사실에 주목해 보겠습니다. 왜냐하면 분수 유리식이 존재하고 다항식 $x-2$로 감소할 수 있으려면 분수의 분모가 $0$(또한 우리가 감소하는 인수)와 같아서는 안 됩니다. 예를 들어, 분모와 인수는 동일하지만 항상 그런 것은 아닙니다).

대수분수가 존재할 변수의 값을 변수의 허용값이라고 합니다.

분수의 분모에 $x-2≠0$, $x≠2$라는 조건을 걸어 봅시다.

이는 $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ 및 $x-2$ 표현식이 $2$를 제외한 변수의 모든 값에 대해 동일함을 의미합니다.

정의 1

동일하게 같음표현식은 변수의 모든 유효한 값에 대해 동일한 표현식입니다.

동일한 변환은 원래 표현식을 동일하게 동일한 표현식으로 대체하는 것입니다. 이러한 변환에는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 괄호에서 공통 인수 빼기, 대수 분수를 공통 분모로 가져오기, 대수 분수 줄이기, 유사 가져오기 등의 작업 수행이 포함됩니다. 용어 등 유사한 용어의 축소, 축소와 같은 여러 변환으로 인해 변수의 허용 값이 변경될 수 있다는 점을 고려해야 합니다.

신원을 증명하는 데 사용되는 기술

ID 변환을 사용하여 ID의 왼쪽을 오른쪽으로 또는 그 반대로 가져옵니다.

동일한 변환을 사용하여 양쪽을 동일한 표현식으로 줄입니다.

식의 한 부분에 있는 식을 다른 부분으로 옮기고 결과 차이가 $0$와 같음을 증명하세요.

주어진 신원을 증명하기 위해 위의 방법 중 어떤 방법을 사용할지는 원래 신원에 따라 다릅니다.

실시예 2

항등식 증명 $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

해결책:이 항등식을 증명하기 위해 위의 방법 중 첫 번째 방법을 사용합니다. 즉, 항등식의 왼쪽이 오른쪽과 같아질 때까지 변환합니다.

항등식의 왼쪽을 생각해 봅시다: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - 두 다항식의 차이를 나타냅니다. 이 경우 첫 번째 다항식은 세 항의 합의 제곱입니다. 여러 항의 합을 제곱하려면 다음 공식을 사용합니다.

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

이를 위해서는 숫자에 다항식을 곱해야 합니다. 이를 위해 괄호 안의 다항식의 각 항에 공약수를 곱해야 한다는 점을 기억하세요.

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

이제 원래 다항식으로 돌아가 보겠습니다. 형식은 다음과 같습니다.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

괄호 앞에는 "-" 기호가 있습니다. 이는 괄호를 열면 괄호 안에 있던 모든 기호가 반대 방향으로 변경된다는 의미입니다.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

비슷한 용어를 제시하면 단항식 $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$와 $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$가 서로 상쇄된다는 것을 얻습니다. 합계는 $0$입니다.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

이는 동일한 변환을 통해 원래 항등식의 왼쪽에 동일한 표현식을 얻었음을 의미합니다.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

결과 표현식은 원래 항등식이 참임을 나타냅니다.

원래 항등식에서는 변수의 모든 값이 허용됩니다. 즉, 항등 변환을 사용하여 항등식을 증명했으며 이는 변수의 가능한 모든 값에 대해 적용됩니다.

정체성에 대한 아이디어를 얻은 후에는 익숙해지는 것이 논리적입니다. 이 기사에서 우리는 동일하게 동일한 표현이 무엇인지에 대한 질문에 답하고, 또한 예를 사용하여 동일하게 동일한 표현과 그렇지 않은 표현을 이해합니다.

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동일하게 동일한 표현은 무엇입니까?

동일하게 동일한 표현의 정의는 동일성의 정의와 병행하여 제공됩니다. 7학년 대수학 수업에서 이런 일이 일어납니다. 저자 Yu. N. Makarychev의 7학년 대수학 교과서에는 다음 공식이 나와 있습니다.

정의.

– 이는 포함된 변수의 모든 값에 대해 값이 동일한 표현식입니다. 동일한 값을 갖는 수식을 동일 동일이라고도 합니다.

이 정의는 8학년까지 사용됩니다. 정수 표현식에 포함된 변수의 모든 값에 적합하므로 정수 표현식에 유효합니다. 그리고 8학년에서는 동일 동일 표현의 정의가 명확해집니다. 이것이 무엇과 연결되어 있는지 설명하겠습니다.

8학년에서는 다른 유형의 표현에 대한 연구가 시작되는데, 이는 전체 표현과 달리 일부 변수 값에 대해 의미가 없을 수 있습니다. 이로 인해 허용되는 변수 값과 허용되지 않는 변수 값의 정의와 변수 변수 값의 허용 가능한 값 범위가 소개되고 결과적으로 동일하게 동일한 표현식의 정의가 명확해집니다.

정의.

포함된 변수의 모든 허용값에 대해 값이 동일한 두 개의 표현식을 호출합니다. 동일하게 동일한 표현식. 동일한 값을 갖는 두 수식을 동일 동일이라고도 합니다.

동일하게 동일한 표현에 대한 정의에서 "포함된 변수의 모든 허용 값에 ​​대해"라는 문구의 의미를 명확히하는 것이 좋습니다. 이는 동일하게 동일한 표현이 동시에 의미가 있는 모든 변수 값을 의미합니다. 우리는 예제를 보면서 다음 단락에서 이 아이디어를 설명할 것입니다.

A. G. Mordkovich의 교과서에서 동일하게 동일한 표현의 정의는 약간 다르게 제공됩니다.

정의.

동일하게 동일한 표현식– 아이덴티티의 왼쪽과 오른쪽에 있는 표현입니다.

이것의 의미와 이전 정의가 일치합니다.

동일하게 동일한 표현식의 예

이전 단락에 소개된 정의를 통해 다음을 알 수 있습니다. 동일하게 동일한 표현식의 예.

동일하게 동일한 수치 표현부터 시작해 보겠습니다. 수치 표현 1+2와 2+1은 동일한 값 3과 3에 해당하므로 동일합니다. 표현 5와 30:6도 표현 (2 2) 3과 2 6과 마찬가지로 동일합니다(후자 표현의 값은 로 인해 동일합니다). 그러나 수치 표현 3+2와 3−2는 각각 값 5와 1에 해당하고 동일하지 않기 때문에 동일하게 동일하지 않습니다.

이제 변수를 사용하여 동일하게 동일한 표현식의 예를 들어 보겠습니다. 이는 a+b 및 b+a 표현식입니다. 실제로 변수 a와 b의 모든 값에 대해 작성된 표현식은 동일한 값을 사용합니다(숫자에서 다음과 같이). 예를 들어, a=1 및 b=2의 경우 a+b=1+2=3 및 b+a=2+1=3이 됩니다. 변수 a와 b의 다른 값에 대해서도 이러한 표현식의 동일한 값을 얻습니다. 0·x·y·z와 0이라는 수식도 변수 x, y, z의 어떤 값에 대해서도 동일하다. 그러나 2 x와 3 x라는 표현은 동일하게 동일하지 않습니다. 예를 들어 x=1일 때 해당 값은 동일하지 않기 때문입니다. 실제로 x=1에 대해 2·x라는 표현은 2·1=2와 같고, 3·x라는 표현은 3·1=3과 같다.

예를 들어 a+1과 1+a, 또는 a·b·0과 0, 또는 and와 같은 식에서 변수의 허용값 범위가 일치하는 경우와 이들 식의 값 이 영역의 모든 변수 값에 대해 동일하면 여기서 모든 것이 명확합니다. 이 표현은 포함된 변수의 모든 허용 값에 ​​대해 동일하게 동일합니다. 따라서 임의의 a에 대해 a+1=1+a, a·b·0 및 0이라는 표현식은 변수 a 및 b의 모든 값에 대해 동일하게 동일하며, 및 표현식은 의 모든 x에 대해 동일하게 동일합니다. 편집자 S. A. Telyakovsky. - 17판. -M .: 교육, 2008. - 240p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019315-3.

동일성의 개념을 다룬 후에는 동일하게 동일한 표현을 연구하는 단계로 넘어갈 수 있습니다. 이 기사의 목적은 그것이 무엇인지 설명하고 어떤 표현이 다른 표현과 동일할지 예를 통해 보여주는 것입니다.

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동일하게 동일한 표현식: 정의

동일하게 동일한 표현의 개념은 일반적으로 학교 대수학 과정의 일부로 정체성 자체의 개념과 함께 연구됩니다. 다음은 한 교과서에서 가져온 기본 정의입니다.

정의 1

동일하게 같음서로 그러한 표현식이 있으며 그 값은 구성에 포함된 변수의 가능한 값에 대해 동일합니다.

또한 동일한 값에 해당하는 수치 표현은 동일하게 간주됩니다.

이는 변수 값이 변경될 때 의미가 변경되지 않는 모든 정수 표현식에 적용되는 상당히 광범위한 정의입니다. 그러나 나중에 이 정의를 명확히 할 필요가 있습니다. 왜냐하면 정수 외에도 특정 변수에 적합하지 않은 다른 유형의 표현식이 있기 때문입니다. 이는 특정 변수 값의 허용 및 허용 불가 개념뿐만 아니라 허용 가능한 값의 범위를 결정해야 하는 필요성을 야기합니다. 좀 더 세련된 정의를 만들어 보겠습니다.

정의 2

동일하게 동일한 표현식– 이는 구성에 포함된 변수의 허용 가능한 값에 대해 값이 서로 동일한 표현식입니다. 숫자 표현식은 동일한 값을 가지면 서로 동일하게 동일해집니다.

"변수의 유효한 값에 대해"라는 문구는 두 표현식이 모두 의미가 있는 변수의 모든 값을 나타냅니다. 이 점에 대해서는 나중에 동일하게 동일한 표현의 예를 제시할 때 설명하겠습니다.

다음 정의를 제공할 수도 있습니다.

정의 3

동일 동일 표현은 왼쪽과 오른쪽에 동일한 동일성에 위치한 표현입니다.

서로 동일하게 동일한 표현의 예

위에 주어진 정의를 사용하여 그러한 표현의 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

숫자 표현부터 시작해 보겠습니다.

실시예 1

따라서 2 + 4와 4 + 2는 결과가 동일하므로(6과 6) 서로 동일합니다.

실시예 2

같은 방식으로 표현식 3과 30은 10, (2 2) 3 및 2 6과 동일합니다(마지막 표현식의 값을 계산하려면 정도의 속성을 알아야 합니다).

실시예 3

그러나 4 - 2와 9 - 1이라는 표현은 값이 다르기 때문에 동일하지 않습니다.

리터럴 표현의 예를 살펴 보겠습니다. a + b와 b + a는 동일하게 동일하며 이는 변수 값에 의존하지 않습니다 (이 경우 표현식의 동일성은 덧셈의 교환 속성에 의해 결정됩니다).

실시예 4

예를 들어, a가 4이고 b가 5인 경우 결과는 여전히 동일합니다.

문자를 사용한 동일한 동일 표현식의 또 다른 예는 0 · x · y · z 및 0 입니다. 이 경우 변수의 값이 무엇이든 0을 곱하면 0이 됩니다. 같지 않은 표현은 6 · x 및 8 · x입니다. 왜냐하면 어떤 x에도 동일하지 않기 때문입니다.

예를 들어 a + 6 및 6 + a 또는 a · b · 0 및 0, 또는 x 4 및 x 표현식에서 변수의 허용 값 영역이 일치하는 경우 및 표현식 자체는 모든 변수에 대해 동일하며, 그러한 표현식은 동일하게 간주됩니다. 따라서 a의 임의 값에 대해 a + 8 = 8 + a이고 a · b · 0 = 0입니다. 임의의 숫자에 0을 곱하면 0이 되기 때문입니다. 표현식 x 4 및 x는 간격 [ 0 , + )의 모든 x에 대해 동일하게 동일합니다.

그러나 한 표현식의 유효한 값 범위는 다른 표현식의 범위와 다를 수 있습니다.

실시예 5

예를 들어 x − 1 및 x - 1 · x x라는 두 가지 표현식을 살펴보겠습니다. 첫 번째의 경우 허용되는 x 값의 범위는 전체 실수 집합이고 두 번째의 경우 0을 제외한 모든 실수 집합입니다. 분모이며 그러한 구분은 정의되지 않습니다. 이 두 표현식에는 두 개의 개별 범위가 교차하여 형성된 공통 값 범위가 있습니다. 우리는 x - 1 · x x 및 x - 1 두 표현 모두 0을 제외한 변수의 모든 실제 값에 대해 의미가 있다고 결론을 내릴 수 있습니다.

또한 분수의 기본 속성을 통해 x - 1 x x와 x ​​− 1은 0이 아닌 모든 x에 대해 동일하다는 결론을 내릴 수 있습니다. 이는 허용되는 값의 일반적인 범위에서 이러한 표현이 서로 동일하게 동일하지만 실제 x에 대해서는 동일한 평등을 말할 수 없음을 의미합니다.

하나의 표현식을 동일하게 동일한 다른 표현식으로 대체하는 경우 이 프로세스를 항등 변환이라고 합니다. 이 개념은 매우 중요하므로 별도의 자료에서 자세히 설명하겠습니다.

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