온라인에서 2점을 사용한 직선 방정식. 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식

두 점을 부여하자 M1(x1,y1)그리고 M 2 (x2,y2). (5) 형식으로 선의 방정식을 작성해 보겠습니다. 케이아직 알려지지 않은 계수:

시점부터 남 2주어진 선에 속하면 해당 좌표는 방정식 (5)를 충족합니다. . 여기에서 표현하고 이를 방정식 (5)에 대입하면 필요한 방정식을 얻습니다.

만약에 이 방정식은 암기에 더 편리한 형식으로 다시 작성할 수 있습니다.

(6)

예.점 M 1 (1,2)과 M 2 (-2,3)을 통과하는 직선의 방정식을 작성하십시오.

해결책. . 비율의 속성을 사용하고 필요한 변환을 수행하여 직선의 일반 방정식을 얻습니다.

두 직선 사이의 각도

두 개의 직선을 생각해 보세요. 내가 1그리고 내가 2:

내가 1: , , 그리고

내가 2: , ,

ψ는 그들 사이의 각도입니다 (). 그림 4에서 다음이 분명합니다.

여기에서 , 또는

공식 (7)을 사용하면 직선 사이의 각도 중 하나를 결정할 수 있습니다. 두 번째 각도는 와 같습니다.

예. 두 개의 직선은 방정식 y=2x+3 및 y=-3x+2로 제공됩니다. 이 선들 사이의 각도를 찾으세요.

해결책. 방정식으로부터 k 1 =2, k 2 =-3임이 분명합니다. 이 값을 공식 (7)에 대입하면

. 따라서 이 선들 사이의 각도는 와 같습니다.

두 직선의 평행성과 직각성의 조건

직선이라면 내가 1그리고 내가 2평행하다, 그러면 φ=0 그리고 tgΦ=0. 식 (7)로부터 다음과 같이 된다. 케이 2 =케이 1. 따라서 두 선의 평행도 조건은 각도 계수가 동일하다는 것입니다.

직선이라면 내가 1그리고 내가 2수직이면 Φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . 따라서 두 직선의 직각도 조건은 각도 계수의 크기가 반대이고 부호가 반대라는 것입니다.

점에서 선까지의 거리

정리. 점 M(x 0, y 0)이 주어지면 선 Ax + Bу + C = 0까지의 거리는 다음과 같이 결정됩니다.

증거. 점 M 1 (x 1, y 1)을 점 M에서 주어진 직선으로 떨어뜨린 수직선의 밑면으로 설정합니다. 그런 다음 점 M과 M 1 사이의 거리:

좌표 x 1 및 y 1은 방정식 시스템을 풀어 찾을 수 있습니다.

시스템의 두 번째 방정식은 통과하는 선의 방정식입니다. 주어진 포인트 M 0은 주어진 직선에 수직입니다.

시스템의 첫 번째 방정식을 다음 형식으로 변환하면:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

그런 다음 해결하면 다음을 얻습니다.

이러한 표현식을 방정식 (1)로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

정리가 입증되었습니다.

예.선 사이의 각도를 결정합니다. y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

예.선 3x – 5y + 7 = 0과 10x + 6y – 3 = 0이 수직임을 보여줍니다.

k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1이므로, 직선은 수직이다.

예.주어진 삼각형의 정점은 A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1)입니다. 꼭지점 C에서 끌어낸 높이의 방정식을 구합니다.

우리는 변 AB의 방정식을 찾습니다: ; 4x = 6년 – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

필요한 높이 방정식의 형식은 Ax + By + C = 0 또는 y = kx + b입니다.

k= . 그러면 y = . 왜냐하면 높이가 점 C를 통과하면 해당 좌표는 다음 방정식을 충족합니다. b = 17일 때 합계: .

답: 3x + 2y – 34 = 0.

점에서 선까지의 거리는 점에서 선까지 그은 수직선의 길이에 의해 결정됩니다.

선이 투영 평면과 평행한 경우 (h | | P 1), 그 지점으로부터의 거리를 결정하기 위해 에이직선으로 시간지점에서 수직을 낮추는 것이 필요합니다 에이수평으로 시간.

좀 더 생각해 보자 복잡한 예, 직선이 걸릴 때 일반적인 입장. 한 지점으로부터의 거리를 결정해야 합니다. 중직선으로 에이일반적인 입장.

결정과제 평행선 사이의 거리이전 문제와 비슷하게 해결되었습니다. 한 선에 점을 찍고 그 점에서 다른 선으로 수직선을 그립니다. 수직선의 길이는 평행선 사이의 거리와 같습니다.

2차 곡선현재에 대한 2차 방정식으로 정의된 선이라고 함 데카르트 좌표. 일반적인 경우 Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

여기서 A, B, C, D, E, F는 실수이고 숫자 A 2 + B 2 + C 2 ≠0 중 하나 이상입니다.

원

서클 센터– 이것은 평면 C(a,b)의 한 점으로부터 등거리에 있는 평면의 점들의 기하학적 자취입니다.

원은 다음 방정식으로 제공됩니다.

여기서 x,y는 원 위의 임의 점의 좌표이고, R은 원의 반지름입니다.

원 방정식의 부호

1. x,y가 있는 항이 누락되었습니다.

2. x 2와 y 2의 계수는 동일합니다.

타원

타원평면에 있는 점들의 기하학적 궤적이라고 하며, 이 평면의 주어진 두 점으로부터의 거리의 합을 초점(상수 값)이라고 합니다.

타원의 표준 방정식:

X와 y는 타원에 속합니다.

a – 타원의 장반경

b – 타원의 반단축

타원에는 2개의 대칭축 OX와 OU가 있습니다. 타원의 대칭축은 타원의 축이고 교차점은 타원의 중심입니다. 초점이 위치한 축을 호출합니다. 초점축. 타원과 축의 교차점은 타원의 정점입니다.

압축(인장) 비율: ε = s/a– 이심률(타원의 모양을 나타냄), 작을수록 타원이 초점 축을 따라 확장되는 정도가 줄어듭니다.

타원의 중심이 중심 C(α, β)에 있지 않은 경우

쌍곡선

과장법평면에 있는 점들의 기하학적 궤적, 거리 차이의 절대값이라고 하며, 초점이라고 하는 이 평면의 주어진 두 점으로부터의 각각은 0과 다른 상수 값입니다.

정식 쌍곡선 방정식

쌍곡선에는 2개의 대칭축이 있습니다.

a – 실제 대칭 반축

b – 가상의 대칭 반축

쌍곡선의 점근선:

포물선

포물선는 초점이라고 불리는 주어진 점 F와 준선이라고 불리는 주어진 선으로부터 등거리에 있는 평면상의 점들의 궤적입니다.

포물선의 표준 방정식:

У 2 =2рх, 여기서 р는 초점에서 준선까지의 거리입니다(포물선 매개변수).

포물선의 정점이 C(α, β)이면 포물선 방정식(y-β) 2 = 2р(x-α)

초점 축을 세로 축으로 사용하면 포물선 방정식의 형식은 다음과 같습니다. x 2 =2qу

이 기사는 평면에 위치한 직각 좌표계에서 주어진 두 점을 통과하는 직선 방정식의 유도를 보여줍니다. 직교좌표계에서 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식을 유도해 보자. 다루는 내용과 관련된 몇 가지 사례를 명확하게 보여주고 풀어보겠습니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하기 전에 몇 가지 사실에 주의할 필요가 있습니다. 평면 위의 두 개의 발산점을 통해 직선은 하나만 그릴 수 있다는 공리가 있습니다. 즉, 평면 위의 주어진 두 점은 이 점을 통과하는 직선으로 정의됩니다.

평면이 직각 좌표계 Oxy로 정의된 경우 평면에 표시된 모든 직선은 평면의 직선 방정식에 해당합니다. 직선의 방향 벡터와의 연결도 있습니다. 이 데이터는 주어진 두 점을 통과하는 직선의 방정식을 컴파일하는 데 충분합니다.

비슷한 문제를 해결하는 예를 살펴보겠습니다. 데카르트 좌표계에 있는 두 개의 발산점 M 1 (x 1, y 1) 및 M 2 (x 2, y 2)를 통과하는 선 a에 대한 방정식을 작성해야 합니다.

x - x 1 a x = y - y 1 a y 형식의 평면 선의 표준 방정식에서 직교 좌표계 O x y는 좌표 M 1 (x 1, y 1) 가이드 벡터 a → = (a x , a y) .

좌표 M 1 (x 1, y 1) 및 M 2 (x 2, y 2)를 사용하여 두 점을 통과하는 직선 a의 표준 방정식을 만드는 것이 필요합니다.

직선 a는 점 M 1과 M 2와 교차하기 때문에 방향 벡터 M 1 M 2 → 좌표 (x 2 - x 1, y 2 - y 1)를 갖습니다. 우리는 방향 벡터 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1)의 좌표와 그 위에 놓인 점 M 1의 좌표를 사용하여 표준 방정식을 변환하기 위해 필요한 데이터를 얻었습니다. (x 1, y 1) 및 M 2 (x 2 , y 2) . x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 또는 x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 형식의 방정식을 얻습니다.

아래 그림을 고려하십시오.

계산에 따라 좌표 M 1 (x 1, y 1) 및 M 2 (x 2, y 2)를 사용하여 두 점을 통과하는 평면 위의 선의 매개변수 방정식을 작성합니다. x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ 또는 x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ 형식의 방정식을 얻습니다. y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

몇 가지 예를 해결하는 방법을 자세히 살펴보겠습니다.

실시예 1

좌표 M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6을 사용하여 주어진 두 점을 통과하는 직선의 방정식을 작성하십시오.

해결책

정식 방정식좌표가 x 1, y 1 및 x 2인 두 점에서 교차하는 선의 경우 y 2는 x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 형식을 취합니다. 문제의 조건에 따르면 x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6입니다. 숫자 값을 방정식 x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1로 대체해야 합니다. 여기에서 표준 방정식은 x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 형식을 취합니다.

답: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

다른 유형의 방정식으로 문제를 해결해야 하는 경우 먼저 표준 방정식으로 이동할 수 있습니다. 왜냐하면 이 방정식에서 다른 방정식으로 이동하는 것이 더 쉽기 때문입니다.

실시예 2

O x y 좌표계에서 좌표 M 1 (1, 1) 및 M 2 (4, 2)를 사용하여 점을 통과하는 직선의 일반 방정식을 작성하십시오.

해결책

먼저, 주어진 두 점을 통과하는 주어진 직선의 표준 방정식을 적어야 합니다. x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 형식의 방정식을 얻습니다.

표준 방정식을 원하는 형식으로 가져오면 다음을 얻습니다.

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

답변: x - 3 y + 2 = 0 .

이러한 작업의 예는 대수 수업 중에 학교 교과서에서 논의되었습니다. 학교 문제는 각도 계수가 있는 직선 방정식이 y = k x + b 형식으로 알려져 있다는 점에서 달랐습니다. 방정식 y = k x + b가 점 M 1 (x 1, y 1) 및 M 2 ( x 2, y 2) , 여기서 x 1 ≠ x 2입니다. x 1 = x 2일 때 , 그러면 각도 계수는 무한대의 값을 취하고 직선 M 1 M 2는 x - x 1 = 0 형식의 일반 불완전 방정식으로 정의됩니다. .

왜냐하면 포인트는 남 1그리고 남 2직선 위에 있으면 해당 좌표는 방정식 y 1 = k x 1 + b 및 y 2 = k x 2 + b를 충족합니다. k와 b에 대해 방정식 y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b의 방정식을 풀어야 합니다.

이를 위해 k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 또는 k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b =를 찾습니다. 와이 2 - 와이 2 - 와이 1 x 2 - x 1 x 2 .

이러한 k와 b 값을 사용하여 주어진 두 점을 통과하는 선의 방정식은 다음과 같습니다. 다음 보기 y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 또는 y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

그렇게 많은 수의 공식을 한 번에 기억하는 것은 불가능합니다. 그러기 위해서는 문제 풀이의 반복 횟수를 늘려야 합니다.

실시예 3

좌표가 M 2 (2, 1)이고 y = k x + b인 점을 통과하는 각도 계수를 갖는 직선의 방정식을 작성합니다.

해결책

문제를 해결하기 위해 y = k x + b 형식의 기울기가 있는 공식을 사용합니다. 계수 k와 b는 이 방정식이 좌표 M 1(-7, - 5) 및 M 2(2, 1)을 갖는 두 점을 통과하는 직선에 해당하는 값을 취해야 합니다.

전철기 남 1그리고 남 2직선 위에 위치하면 해당 좌표는 방정식 y = k x + b가 진정한 동등성을 나타내도록 해야 합니다. 이것으로부터 우리는 - 5 = k · (- 7) + b 및 1 = k · 2 + b를 얻습니다. 방정식을 시스템 - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b에 결합하고 풀어 보겠습니다.

대체하면 우리는 그것을 얻습니다

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

이제 k = 2 3 및 b = - 1 3 값이 y = k x + b 방정식으로 대체됩니다. 주어진 점을 통과하는 필수 방정식은 y = 2 3 x - 1 3 형식의 방정식이 될 것입니다.

이 해결 방법은 지출을 미리 결정합니다. 대량시간. 말 그대로 두 단계로 작업을 해결하는 방법이 있습니다.

M 2 (2, 1)과 M 1 (-7, - 5)을 통과하는 선의 표준 방정식을 x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 형식으로 작성해 보겠습니다. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

이제 기울기 방정식으로 넘어가겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

답: y = 2 3 x - 1 3 .

3차원 공간에 좌표 M 1 (x 1, y 1, z 1) 및 M 2 (x 2, y 2, z 2)를 갖는 두 개의 일치하지 않는 점이 있는 직교 좌표계 O x y z가 있는 경우, 직선 M 그들을 통과하는 1 M 2 , 이 직선의 방정식을 얻는 것이 필요합니다.

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z 형식의 표준 방정식과 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 형식의 매개변수 방정식이 있습니다. 1 + a z · λ는 좌표계 O x y z에서 방향 벡터 a → = (a x, a y, a z)로 좌표 (x 1, y 1, z 1)를 갖는 점을 통과하는 선을 정의할 수 있습니다.

스트레이트 M 1 M 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) 형식의 방향 벡터를 가지며, 여기서 직선은 점 M 1 (x 1, y 1, z 1) 및 M 2 (x 2 , y 2 , z 2), 따라서 표준 방정식은 x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 형식일 수 있습니다. z 2 - z 1 또는 x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, 차례로 파라메트릭 x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ 또는 x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

공간의 주어진 두 점과 직선의 방정식을 보여주는 그림을 생각해 보세요.

실시예 4

3차원 공간의 직교 좌표계 O x y z에 정의된 선의 방정식을 작성하고 좌표 M 1 (2, - 3, 0) 및 M 2 (1, - 3, - 5)를 사용하여 주어진 두 점을 통과합니다.

해결책

표준 방정식을 찾는 것이 필요합니다. 3차원 공간에 대해 이야기하고 있으므로 선이 주어진 점을 통과할 때 원하는 표준 방정식은 x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z 형식을 취합니다. - z 1 z 2 - z 1 .

조건에 따라 x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5입니다. 필요한 방정식은 다음과 같이 작성됩니다.

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

답: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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두 점을 부여하자 중(엑스 1 ,유 1) 그리고 N(엑스 2,와이 2). 이 점들을 지나는 선의 방정식을 찾아봅시다.

이 선은 점을 지나기 때문에 중, 그러면 공식 (1.13)에 따르면 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

유 – 와이 1 = 케이(더블 엑스 1),

어디 케이– 알 수 없는 각도 계수.

이 계수의 값은 원하는 직선이 점을 통과하는 조건에서 결정됩니다. N, 이는 해당 좌표가 방정식 (1.13)을 충족함을 의미합니다.

와이 2 – 와이 1 = 케이(엑스 2 – 엑스 1),

여기에서 이 선의 기울기를 찾을 수 있습니다.

아니면 변환 후

(1.14)

공식(1.14)은 다음을 결정합니다. 두 점을 지나는 직선의 방정식 중(엑스 1, 와이 1) 그리고 N(엑스 2, 와이 2).

특별한 경우에 포인트를 부여하는 경우 중(에이, 0), N(0, 비), 에이 ¹ 0, 비¹ 0, 좌표축 위에 놓이면 방정식 (1.14)은 더 간단한 형식을 취합니다.

식 (1.15)~라고 불리는 세그먼트의 직선 방정식, 여기 에이그리고 비축에서 직선으로 잘린 세그먼트를 나타냅니다(그림 1.6).

그림 1.6

예제 1.10. 두 점을 지나는 선의 방정식을 쓰세요 중(1, 2) 및 비(3, –1).

. (1.14)에 따르면 원하는 직선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

2(와이 – 2) = -3(엑스 – 1).

모든 항을 왼쪽으로 옮기면 마침내 원하는 방정식을 얻습니다.

3엑스 + 2와이 – 7 = 0.

예제 1.11. 한 점을 지나는 선의 방정식을 쓰세요 중(2, 1)과 선의 교차점 엑스+ 예 – 1 = 0, 엑스 – 와이+ 2 = 0.

. 우리는 이 방정식을 함께 풀어서 선의 교차점의 좌표를 찾을 것입니다

이 방정식을 항별로 더하면 2를 얻습니다. 엑스+ 1 = 0, 여기서 . 찾은 값을 방정식에 대입하면 세로 좌표 값을 찾습니다. 유:

이제 점 (2, 1)을 통과하는 직선의 방정식을 작성해 보겠습니다.

또는 .

따라서 또는 -5( 와이 – 1) = 엑스 – 2.

우리는 마침내 원하는 선의 방정식을 다음과 같은 형태로 얻습니다. 엑스 + 5와이 – 7 = 0.

예제 1.12. 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하라 중(2.1) 및 N(2,3).

공식 (1.14)을 사용하여 방정식을 얻습니다.

두 번째 분모가 0이므로 의미가 없습니다. 문제의 조건에서 두 점의 가로 좌표가 동일한 값을 갖는 것이 분명합니다. 이는 원하는 직선이 축과 평행하다는 것을 의미합니다. 오오방정식은 다음과 같습니다. 엑스 = 2.

논평 . 공식 (1.14)을 사용하여 선의 방정식을 작성할 때 분모 중 하나가 0인 것으로 판명되면 해당 분자를 0으로 동일화하여 원하는 방정식을 얻을 수 있습니다.

평면에 선을 정의하는 다른 방법을 고려해 보겠습니다.

1. 0이 아닌 벡터를 주어진 선에 수직으로 둡니다. 엘, 그리고 포인트 중 0(엑스 0, 와이 0)이 이 선에 있습니다(그림 1.7).

그림 1.7

나타내자 중(엑스, 와이) 선의 모든 점 엘. 벡터와 직교. 이들 벡터의 직교성 조건을 사용하여 우리는 다음을 얻습니다. 에이(엑스 – 엑스 0) + 비(와이 – 와이 0) = 0.

한 점을 지나는 직선의 방정식을 얻었습니다. 중 0은 벡터에 수직입니다. 이 벡터는 법선 벡터 직선으로 엘. 결과 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

오 + 우 + 와 함께= 0, 여기서 와 함께 = –(에이엑스 0 + 에 의해 0), (1.16),

어디 에이그리고 안에– 법선 벡터의 좌표.

우리는 파라메트릭 형태로 선의 일반 방정식을 얻습니다.

2. 평면 위의 직선은 다음과 같이 정의할 수 있습니다. 0이 아닌 벡터를 주어진 직선과 평행하게 만듭니다. 엘및 기간 중 0(엑스 0, 와이 0) 이 선에 있습니다. 다시 임의의 점을 취해보자 중(엑스, y) 직선으로(그림 1.8).

그림 1.8

벡터와 동일선상.

이러한 벡터의 공선성에 대한 조건을 적어 보겠습니다. 티– 매개변수라고 하는 임의의 숫자. 이 평등을 좌표로 작성해 보겠습니다.

이러한 방정식을 다음과 같이 부릅니다. 파라메트릭 방정식 직접. 이 방정식에서 매개변수를 제외해 보겠습니다. 티:

이 방정식은 그렇지 않으면 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.

. (1.18)

결과 방정식은 다음과 같습니다. 직선의 표준 방정식. 벡터는 다음과 같습니다. 방향 벡터는 직선입니다 .

논평 . 가 선에 대한 법선 벡터라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 엘이면 방향 벡터는 , 즉 .

예제 1.13. 한 점을 지나는 선의 방정식을 쓰세요 중 0(1, 1)은 라인 3에 평행함 엑스 + 2유– 8 = 0.

해결책 . 벡터는 주어진 선과 원하는 선에 대한 법선 벡터입니다. 한 점을 지나는 선의 방정식을 이용해보자 중주어진 법선 벡터 3( 엑스 –1) + 2(유– 1) = 0 또는 3 엑스 + 2у– 5 = 0. 원하는 직선의 방정식을 얻었습니다.

유클리드 기하학에서 직선의 성질.

어떤 점을 지나도 무한한 수의 직선을 그릴 수 있습니다.

일치하지 않는 두 점을 통해 하나의 직선을 그릴 수 있습니다.

평면에 있는 두 개의 발산선은 한 점에서 교차하거나 다음과 같습니다.

병렬 (이전 것에서 이어짐).

안에 3차원 공간세 가지 옵션이 있습니다 상대 위치두 개의 직선:

선이 교차합니다.

선은 평행하다;

직선이 교차합니다.

똑바로 선— 1차 대수 곡선: 데카르트 좌표계의 직선

는 1차 방정식(선형 방정식)으로 평면에 제공됩니다.

직선의 일반방정식.

정의. 평면 위의 모든 직선은 1차 방정식으로 지정될 수 있습니다.

도끼 + 우 + C = 0,

그리고 일정하다 에이,비동시에 0이 아닙니다. 이 1차 방정식은 다음과 같습니다. 일반적인

직선의 방정식.상수의 값에 따라 에이,비그리고 와 함께다음과 같은 특별한 경우가 가능합니다:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- 원점을 지나는 직선

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- 축에 평행한 직선 오

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- 축에 평행한 직선 오

. B = C = 0, A ≠0- 직선이 축과 일치합니다. 오

. A = C = 0, B ≠0- 직선이 축과 일치합니다. 오

직선의 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다. 다양한 형태로주어진 것에 따라

초기 조건.

점과 법선 벡터의 직선 방정식.

정의. 데카르트 직각 좌표계에서 구성 요소(A, B)가 포함된 벡터

방정식에 의해 주어진 선에 수직

도끼 + 우 + C = 0.

예. 한 점을 지나는 선의 방정식 구하기 에이(1, 2)벡터에 수직 (3, -1).

해결책. A = 3 및 B = -1을 사용하여 직선 방정식 3x - y + C = 0을 구성해 보겠습니다. 계수 C를 찾으려면

주어진 점 A의 좌표를 결과 표현식으로 대체해 보겠습니다. 따라서 3 - 2 + C = 0이 됩니다.

C = -1. 합계: 필수 방정식: 3x - y - 1 = 0.

두 점을 지나는 선의 방정식.

공간에 두 개의 점을 부여하자 M 1 (x 1 , y 1 , z 1)그리고 M2(x2, y2, z2),그 다음에 선의 방정식,

다음 지점을 통과합니다.

분모 중 하나라도 0이면 해당 분자는 0으로 설정되어야 합니다. ~에

평면, 위에 쓰여진 직선의 방정식은 단순화됩니다:

만약에 x 1 ≠ x 2그리고 엑스 = 엑스 1, 만약에 엑스 1 = 엑스 2 .

분수 =k~라고 불리는 경사 직접.

예. 점 A(1, 2)와 B(3, 4)를 지나는 직선의 방정식을 구합니다.

해결책. 위에서 작성한 공식을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

점과 기울기를 이용한 직선의 방정식.

직선의 일반방정식이라면 도끼 + 우 + C = 0다음으로 이어진다:

지정하고 , 결과 방정식이 호출됩니다.

기울기가 k인 직선의 방정식.

한 점에서 나온 직선과 방향 벡터의 방정식입니다.

법선 벡터를 통과하는 직선의 방정식을 고려한 점과 유사하게 작업을 입력할 수 있습니다.

점을 통과하는 직선과 직선의 방향 벡터.

정의. 0이 아닌 모든 벡터 (α 1 , α 2), 그 구성요소는 조건을 만족합니다.

Aα 1 + Bα 2 = 0~라고 불리는 직선의 벡터를 지시합니다.

도끼 + 우 + C = 0.

예. 방향 벡터가 (1, -1)이고 점 A(1, 2)를 통과하는 직선의 방정식을 구합니다.

해결책. 다음 형식으로 원하는 선의 방정식을 찾습니다. 도끼 + By + C = 0.정의에 따르면,

계수는 다음 조건을 충족해야 합니다.

1 * A + (-1) * B = 0, 즉 A = B.

그런 다음 직선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 도끼 + Ay + C = 0,또는 x + y + C / A = 0.

~에 x = 1, y = 2우리는 얻는다 C/A = -3, 즉. 필수 방정식:

x + y - 3 = 0

세그먼트의 직선 방정식.

직선 Ах + Ву + С = 0 С≠0의 일반 방정식에서 -С로 나누면 다음을 얻습니다.

아니면 어디서

기하학적 의미계수는 계수 a가 교차점의 좌표라는 것입니다.

축이 있는 직선 오,에이 비- 축과 선의 교차점 좌표 오.

예. 직선의 일반 방정식이 주어집니다. x - y + 1 = 0.이 선의 방정식을 세그먼트로 찾아보세요.

C = 1, , a = -1, b = 1.

직선의 정규 방정식.

방정식의 양변인 경우 도끼 + 우 + C = 0숫자로 나누기 라고 불리는

정규화 인자, 그러면 우리는 얻는다

xcosΦ + ysinΦ - p = 0 -직선의 정규방정식.

정규화 인자의 부호 ±는 다음과 같이 선택되어야 합니다. μ*C< 0.

아르 자형- 원점에서 직선까지 떨어진 수직선의 길이,

에이 φ - 축의 양의 방향과 수직선이 이루는 각도 오.

예. 직선의 일반 방정식은 다음과 같습니다. 12x - 5y - 65 = 0. 작성 필수 다양한 유형방정식

이 직선.

이 선분의 방정식:

이 직선과 기울기의 방정식: (5로 나누기)

선의 방정식:

왜냐하면 Φ = 12/13; 죄 Φ= -5/13; p = 5.

모든 직선이 세그먼트의 방정식으로 표현될 수 있는 것은 아닙니다.

축에 평행하거나 원점을 통과합니다.

평면 위의 직선 사이의 각도.

정의. 두 줄이 주어지면 y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, 저것 예각이 줄 사이

다음과 같이 정의됩니다.

두 선이 평행한 경우 케이 1 = 케이 2. 두 직선이 수직이다

만약에 케이 1 = -1/ 케이 2 .

정리.

직접 도끼 + 우 + C = 0그리고 A1x+B1y+C1=0계수가 비례할 때 평행

A1 = λA, B1 = λB. 만약에 또한 С 1 = λС, 그러면 선이 일치합니다. 두 선의 교점 좌표

이 선의 방정식 시스템에 대한 해로 발견됩니다.

주어진 직선에 수직인 주어진 점을 지나는 직선의 방정식.

정의. 한 점을 지나는 선 M 1 (x 1, y 1)그리고 선에 수직으로 y = kx + b

방정식으로 표현됩니다.

점에서 선까지의 거리.

정리. 포인트가 주어지면 남(x0,y0),그러면 직선까지의 거리 도끼 + 우 + C = 0다음과 같이 정의됩니다:

증거. 요점을 보자 M 1 (x 1, y 1)- 한 점에서 떨어진 수직선의 밑면 중주어진 것에 대해

직접. 그러면 점 사이의 거리가 중그리고 남 1:

(1)

좌표 x 1그리고 1시에방정식 시스템에 대한 해법으로 찾을 수 있습니다.

시스템의 두 번째 방정식은 주어진 점 M 0을 수직으로 통과하는 직선의 방정식입니다.

주어진 직선. 시스템의 첫 번째 방정식을 다음 형식으로 변환하면:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

그런 다음 해결하면 다음을 얻습니다.

이러한 표현식을 방정식 (1)로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

정리가 입증되었습니다.

선이 M 1 (x 1; y 1) 및 M 2 (x 2; y 2) 점을 통과하도록 합니다. 점 M 1을 통과하는 직선의 방정식은 y-y 1 = 형식을 갖습니다. 케이 (x - x 1), (10.6)

어디 케이 - 아직 알려지지 않은 계수.

직선이 점 M 2 (x 2 y 2)를 통과하므로 이 점의 좌표는 방정식 (10.6)을 충족해야 합니다. y 2 -y 1 = 케이 (x 2 - x 1).

여기에서 찾은 값을 대체합니다. 케이 방정식 (10.6)으로 점 M 1과 M 2를 통과하는 직선의 방정식을 얻습니다.

이 방정식에서는 x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2라고 가정합니다.

x 1 = x 2이면 점 M 1 (x 1,y I)과 M 2 (x 2,y 2)를 통과하는 직선은 세로축과 평행합니다. 그 방정식은 다음과 같습니다 x = x 1 .

y 2 = y I이면 선의 방정식은 y = y 1로 쓸 수 있으며 직선 M 1 M 2는 가로축에 평행합니다.

세그먼트의 선 방정식

직선이 M 1 (a;0) 지점에서 Ox 축과 M 2 (0;b) 지점에서 Oy 축과 교차한다고 가정합니다. 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
저것들.
. 이 방정식은 세그먼트의 직선 방정식, 왜냐하면 숫자 a와 b는 좌표축에서 선이 잘리는 세그먼트를 나타냅니다..