로그: 예제 및 솔루션. 로그 표현. 예

숫자의 로그 N 기반으로 에이 지수라고 함 엑스 , 이를 구축해야 합니다. 에이 번호를 얻으려고 N

제공되는
,
,

로그의 정의로부터 다음과 같습니다:
, 즉.
- 이 평등은 기본 로그 항등식입니다.

밑이 10인 로그를 십진 로그라고 합니다. 대신에
쓰다
.

밑수에 대한 로그 이자형 자연이라고 불리며 지정되었습니다.
.

로그의 기본 속성.

모든 밑수에 대한 단일 로그는 0과 같습니다.

곱의 로그는 요인의 로그의 합과 같습니다.

3) 몫의 로그는 로그의 차이와 같습니다.

요인
로그에서 밑으로의 전환 계수라고 함 에이 밑바닥의 로그에 비 .

속성 2-5를 사용하면 복잡한 표현식의 로그를 로그에 대한 간단한 산술 연산의 결과로 줄이는 것이 가능한 경우가 많습니다.

예를 들어,

이러한 로그 변환을 로그라고 합니다. 로그에 대한 역변환을 강화라고 합니다.

2 장. 고등 수학의 요소.

1. 한도

기능의 한계
다음과 같이 유한수 A는 다음과 같습니다. xx 0 미리 정해진 각각에 대해
, 그런 숫자가 있어요
그 즉시
, 저것
.

한계가 있는 함수는 극소량만큼 다릅니다.
, 여기서 - b.m.v., 즉
.

예. 기능을 고려하십시오
.

노력할 때
, 기능 와이 0이 되는 경향이 있습니다:

1.1. 극한에 관한 기본 정리.

상수 값의 극한은 이 상수 값과 같습니다.

.

유한한 수의 함수의 합(차)의 극한은 이러한 함수의 극한의 합(차)과 같습니다.

유한한 수의 함수의 곱의 극한은 이러한 함수의 극한의 곱과 같습니다.

두 함수의 몫의 극한은 분모의 극한이 0이 아닌 경우 이러한 함수의 극한의 몫과 같습니다.

놀라운 한계

,
, 어디

1.2. 한도 계산 예시

그러나 모든 한계가 그렇게 쉽게 계산되는 것은 아닙니다. 종종 한계를 계산하면 유형의 불확실성이 드러납니다. 또는 .

.

2. 함수의 파생

함수를 하나 가지자
, 세그먼트에서 연속
.

논쟁 좀 늘었어
. 그러면 함수는 증가분을 받게 됩니다.
.

인수 값 함수 값에 해당합니다.
.

인수 값
함수 값에 해당합니다.

따라서, .

이 비율의 극한을 다음에서 찾아보자.
. 이 극한이 존재하면 이를 주어진 함수의 도함수라고 합니다.

정의 3 주어진 함수의 파생
논쟁으로 인수의 증가가 임의로 0이 되는 경향이 있을 때 인수의 증가에 대한 함수의 증가 비율의 한계라고 합니다.

함수의 파생
다음과 같이 지정할 수 있습니다.

; ; ; .

정의 4함수의 미분을 찾는 작업을 다음과 같이 부릅니다. 분화.

2.1. 파생어의 기계적 의미.

강체나 물질점의 직선 운동을 생각해 봅시다.

어느 시점에 보자 이동점
멀리 떨어져 있었다 시작 위치에서
.

일정 시간이 지나면
그녀는 멀리 이사했다
. 태도 =- 평균 속도재료 포인트
. 다음을 고려하여 이 비율의 극한을 찾아봅시다.
.

결과적으로, 물질 점의 순간 운동 속도를 결정하는 것은 시간에 대한 경로의 도함수를 찾는 것으로 축소됩니다.

2.2. 미분의 기하학적 가치

그래픽으로 정의된 함수를 만들어 보겠습니다.
.

쌀. 1. 도함수의 기하학적 의미

만약에
, 다음을 가리킨다
, 곡선을 따라 이동하여 점에 접근합니다.
.

따라서
, 즉. 주어진 인수 값에 대한 도함수 값 주어진 점에서 축의 양의 방향과 접선이 이루는 각도의 접선과 수치적으로 같습니다.
.

2.3. 기본 차별화 공식 표.

전력 기능

지수함수

로그 함수

삼각함수

역삼각함수

2.4. 차별화 규칙.

파생어

함수의 합(차)의 미분

두 함수의 곱의 파생

두 함수의 몫의 파생

2.5. 파생어 복잡한 기능.

기능을 부여하자
형태로 표현될 수 있도록

그리고
, 여기서 변수는 중간 논증이라면

복소 함수의 도함수는 중간 인수에 대한 주어진 함수의 도함수와 x에 대한 중간 인수의 도함수를 곱한 것과 같습니다.

예시 1.

예시 2.

3. 미분 기능.

있게 해주세요
, 일정 간격으로 미분 가능
그리고 보자 ~에 이 함수에는 도함수가 있습니다

,

그럼 우리 쓸 수 있어

(1),

어디 - 무한한 양,

언제부터

모든 평등 조건 (1)에 다음을 곱합니다.
우리는:

어디
- b.m.v. 더 높은 순서.

크기
함수의 미분이라고 함
지정되어 있으며

.

3.1. 미분의 기하학적 값입니다.

기능을 부여하자
.

그림 2. 미분의 기하학적 의미.

.

분명히 함수의 미분은
주어진 지점에서 접선의 세로좌표의 증분과 같습니다.

3.2. 다양한 주문의 파생 상품과 미분 상품.

만약 있다면
, 그 다음에
1차 파생상품이라고 합니다.

1차 도함수의 도함수를 2차 도함수라고 하며 다음과 같이 씁니다.
.

함수의 n차 도함수
는 (n-1)차 도함수라고 불리며 다음과 같이 쓰여집니다:

.

함수의 미분의 미분을 2차 미분 또는 2차 미분이라고 합니다.

.

.

3.3 분화를 이용하여 생물학적 문제를 해결합니다.

작업 1. 연구에 따르면 미생물 군집의 성장은 법을 준수하는 것으로 나타났습니다.
, 어디 N – 미생물 수(천 단위), 티 – 시간(일).

b) 이 기간 동안 식민지의 인구가 증가할 것인가, 감소할 것인가?

답변. 식민지의 크기가 증가합니다.

작업 2. 병원성 박테리아의 함량을 모니터링하기 위해 호수의 물을 주기적으로 테스트합니다. 을 통해 티 테스트 후 며칠 후 박테리아의 농도는 비율에 따라 결정됩니다.

.

호수의 박테리아 농도는 언제 최소가 되며 수영이 가능합니까?

해결 방법: 함수의 도함수가 0일 때 함수는 최대 또는 최소에 도달합니다.

,

최대값 또는 최소값이 6일 후인지 결정해 보겠습니다. 이를 위해 2차 미분을 살펴보겠습니다.

대답: 6일 후에는 박테리아 농도가 최소 수준이 됩니다.

아시다시피, 표현식에 거듭제곱을 곱할 때 지수는 항상 합산됩니다(a b *a c = a b+c). 이 수학 법칙은 아르키메데스에 의해 도출되었으며, 이후 8세기에 수학자 비라센(Virasen)이 정수 지수 표를 만들었습니다. 로그의 추가 발견을 위해 봉사 한 것은 바로 그들이었습니다. 이 함수를 사용하는 예는 간단한 덧셈을 통해 번거로운 곱셈을 단순화해야 하는 거의 모든 곳에서 찾을 수 있습니다. 이 글을 10분만 투자하시면 로그가 무엇인지, 그리고 로그를 사용하는 방법을 설명해 드리겠습니다. 간단하고 접근하기 쉬운 언어로.

수학에서의 정의

로그는 다음 형식의 표현입니다: log a b=c, 즉 음수가 아닌 숫자(즉, 양수) "b"의 밑수 "a"의 로그는 "c"의 거듭제곱으로 간주됩니다. ” 궁극적으로 "b" 값을 얻으려면 베이스 "a"를 높여야 합니다. 예를 사용하여 로그를 분석해 보겠습니다. log 2 8이라는 표현식이 있다고 가정해 보겠습니다. 답을 찾는 방법은 무엇입니까? 매우 간단합니다. 2에서 필요한 전력까지 8이 되도록 거듭제곱을 찾아야 합니다. 머릿속으로 몇 가지 계산을 하면 숫자 3이 나옵니다! 그리고 그것은 사실입니다. 왜냐하면 2의 3승은 8이 되기 때문입니다.

로그의 유형

많은 학생과 학생에게 이 주제는 복잡하고 이해하기 어려운 것처럼 보이지만 실제로 로그는 그렇게 무섭지 않습니다. 가장 중요한 것은 일반적인 의미를 이해하고 속성과 일부 규칙을 기억하는 것입니다. 세 가지가 있습니다 개별 종로그 표현식:

1. 밑이 오일러 수(e = 2.7)인 자연 로그 ln a.
2. 밑이 10인 십진수 a.
3. 밑수 a>1에 대한 임의의 숫자 b의 로그입니다.

각각 결정됩니다 표준적인 방법으로, 여기에는 로그 정리를 사용하여 단순화, 축소 및 하나의 로그로의 후속 축소가 포함됩니다. 올바른 로그 값을 얻으려면 로그를 풀 때 해당 속성과 동작 순서를 기억해야 합니다.

규칙 및 일부 제한 사항

수학에는 공리로 인정되는 몇 가지 규칙 제약 조건이 있습니다. 즉, 논의 대상이 아니며 진실입니다. 예를 들어, 숫자를 0으로 나누는 것은 불가능하며, 짝수 근을 추출하는 것도 불가능합니다. 음수. 로그에는 또한 자체 규칙이 있으며, 이에 따라 길고 방대한 로그 표현을 사용해도 작업하는 방법을 쉽게 배울 수 있습니다.

• 밑수 "a"는 항상 0보다 커야 하고 1이 아니어야 합니다. 그렇지 않으면 "1"과 "0"이 어느 정도든 항상 해당 값과 동일하기 때문에 표현의 의미가 상실됩니다.
• a > 0이면 a b >0이면 "c"도 0보다 커야 합니다.

로그를 푸는 방법?

예를 들어, 방정식 10 x = 100에 대한 답을 찾는 작업이 제공됩니다. 이것은 매우 쉽습니다. 100이 되는 숫자 10을 올려 거듭제곱을 선택해야 합니다. 물론 이것은 10 2 =입니다. 100.

이제 이 표현을 로그 형식으로 표현해 보겠습니다. 우리는 로그 10 100 = 2를 얻습니다. 로그를 풀 때 모든 동작은 실제로 주어진 숫자를 얻기 위해 로그의 밑을 입력하는 데 필요한 거듭제곱을 찾기 위해 수렴됩니다.

알 수 없는 학위의 값을 정확하게 결정하려면 학위 표를 사용하여 작업하는 방법을 배워야 합니다. 다음과 같습니다:

보시다시피 일부 지수는 구구단에 대한 기술적 사고와 지식이 있으면 직관적으로 추측할 수 있습니다. 그러나 큰 값학위표가 필요합니다. 복잡한 수학적 주제에 대해 전혀 모르는 사람도 사용할 수 있습니다. 왼쪽 열에는 숫자(기본 a)가 포함되고, 숫자의 맨 위 행은 숫자 a에 제곱되는 c의 거듭제곱 값입니다. 교차점의 셀에는 답(a c =b)인 숫자 값이 포함됩니다. 예를 들어 숫자 10이 있는 첫 번째 셀을 제곱하면 두 셀의 교차점에 표시되는 값 100을 얻습니다. 모든 것이 너무 간단하고 쉽기 때문에 가장 진정한 인본주의자라도 이해할 수 있습니다!

방정식과 부등식

특정 조건에서 지수는 로그임이 밝혀졌습니다. 따라서 모든 수학적 수치 표현은 대수 방정식으로 작성될 수 있습니다. 예를 들어, 3 4 =81은 81의 밑이 3인 로그가 4와 같다(log 3 81 = 4)라고 쓸 수 있습니다. 음수 거듭제곱의 경우 규칙은 동일합니다. 2 -5 = 1/32 이를 로그로 쓰면 로그 2(1/32) = -5를 얻습니다. 수학에서 가장 흥미로운 부분 중 하나는 "로그"라는 주제입니다. 속성을 연구한 후 즉시 아래 방정식의 예와 해를 살펴보겠습니다. 이제 불평등이 어떻게 생겼는지, 그리고 이를 방정식과 구별하는 방법을 살펴보겠습니다.

다음과 같은 표현식이 제공됩니다: log 2 (x-1) > 3 - 알 수 없는 값 "x"가 로그 기호 아래에 있으므로 이는 로그 부등식입니다. 또한 표현식에서는 두 가지 양이 비교됩니다. 밑수 2에 대한 원하는 숫자의 로그가 숫자 3보다 큽니다.

로그 방정식과 부등식의 가장 중요한 차이점은 로그 방정식(예: 로그 2 x = √9)이 답에 하나 이상의 특정 수치 값을 암시하는 반면, 부등식을 풀 때는 영역으로 정의된다는 것입니다. 허용 가능한 값, 그리고 이 함수의 중단점. 결과적으로 답은 방정식에 대한 답처럼 단순한 개별 숫자 집합이 아니라 연속적인 일련의 숫자 또는 숫자 집합입니다.

로그에 관한 기본 정리

로그 값을 찾는 기본 작업을 해결할 때 해당 속성을 알 수 없을 수도 있습니다. 그러나 로그 방정식이나 부등식에 관해서는 우선 로그의 모든 기본 속성을 명확하게 이해하고 실제로 적용하는 것이 필요합니다. 나중에 방정식의 예를 살펴보겠습니다. 먼저 각 속성을 더 자세히 살펴보겠습니다.

1. 주요 신원은 다음과 같습니다: a logaB =B. a가 0보다 크고 1이 아니고 B가 0보다 큰 경우에만 적용됩니다.
2. 곱의 로그는 다음 공식으로 나타낼 수 있습니다: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. 이 경우 전제 조건는: d, s 1 및 s 2 > 0; a≠1. 예제와 해법을 통해 이 로그 공식에 대한 증명을 제공할 수 있습니다. log a s 1 = f 1 및 log a s 2 = f 2라고 하면 a f1 = s 1, a f2 = s 2입니다. 우리는 s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2(속성)을 얻습니다. 도 ), 그리고 정의에 따라: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log as s 2, 이는 증명이 필요한 것입니다.
3. 몫의 로그는 다음과 같습니다: log a (s 1/ s 2) = log as 1 - log a s 2.
4. 공식 형태의 정리는 다음과 같은 형식을 취합니다: log a q b n = n/q log a b.

이 공식을 "로그 정도의 특성"이라고 합니다. 이는 일반 학위의 속성과 유사하며 모든 수학은 자연 가정을 기반으로 하기 때문에 놀라운 일이 아닙니다. 증거를 살펴보겠습니다.

log a b = t라고 하면 a t =b가 됩니다. 두 부분을 모두 m의 거듭제곱으로 올리면: a tn = bn ;

그러나 a tn = (a q) nt/q = bn이므로 log a q b n = (n*t)/t가 되고 log a q b n = n/q log a b가 됩니다. 정리가 입증되었습니다.

문제와 불평등의 예

로그에 관한 가장 일반적인 유형의 문제는 방정식과 부등식의 예입니다. 거의 모든 문제집에 나와 있으며, 수학 시험에서도 필수 부분입니다. 대학에 입학하거나 수학 입학 시험에 합격하려면 이러한 문제를 올바르게 해결하는 방법을 알아야합니다.

불행하게도 로그의 알려지지 않은 값을 해결하고 결정하기 위한 단일한 계획이나 방식은 없지만 각 수학적 부등식 또는 로그 방정식에 특정 규칙이 적용될 수 있습니다. 우선, 표현이 단순화될 수 있는지, 아니면 다음과 같이 이어질 수 있는지를 알아보아야 합니다. 일반적인 모습. 긴 것을 단순화하라 대수 표현식해당 속성을 올바르게 사용하면 가능합니다. 빨리 알아봅시다.

결정할 때 대수 방정식, 우리는 어떤 유형의 로그를 가지고 있는지 결정해야 합니다. 예제 표현식에는 자연 로그 또는 십진수 1이 포함될 수 있습니다.

다음은 ln100, ln1026의 예입니다. 그들의 해결책은 기본 10이 각각 100과 1026이 되는 거듭제곱을 결정해야 한다는 사실로 귀결됩니다. 솔루션의 경우 자연로그로그 항등식이나 해당 속성을 적용해야 합니다. 다양한 유형의 로그 문제를 해결하는 예를 살펴보겠습니다.

로그 공식을 사용하는 방법: 예제 및 솔루션 포함

그럼 로그에 관한 기본 정리를 활용한 예를 살펴보겠습니다.

1. 제품의 로그 속성은 확장이 필요한 작업에 사용될 수 있습니다. 훌륭한 가치숫자 b를 더 간단한 요소로 나눕니다. 예를 들어 로그 2 4 + 로그 2 128 = 로그 2 (4*128) = 로그 2 512입니다. 답은 9입니다.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - 보시다시피 로그 거듭제곱의 네 번째 속성을 사용하여 겉보기에는 복잡하고 풀 수 없는 표현식을 풀 수 있었습니다. 밑을 인수분해한 다음 로그 부호에서 지수 값을 빼면 됩니다.

통합 상태 시험의 과제

로그는 입학 시험에서 자주 발견되며, 특히 통합 상태 시험(모든 학교 졸업생을 대상으로 하는 상태 시험)에서 로그 문제가 많이 발견됩니다. 일반적으로 이러한 작업은 파트 A(시험의 가장 쉬운 테스트 부분)뿐만 아니라 파트 C(가장 복잡하고 방대한 작업)에도 있습니다. 시험에는 "자연 로그"라는 주제에 대한 정확하고 완벽한 지식이 필요합니다.

문제에 대한 예와 해결책은 통합 상태 시험의 공식 버전에서 가져왔습니다. 이러한 작업이 어떻게 해결되는지 살펴 보겠습니다.

주어진 로그 2(2x-1) = 4. 해결 방법:
표현식을 다시 작성하여 약간 log 2 (2x-1) = 2 2로 단순화하겠습니다. 로그의 정의에 따라 2x-1 = 2 4이므로 2x = 17이 됩니다. x = 8.5.

• 솔루션이 번거롭고 혼란스럽지 않도록 모든 로그를 동일한 밑으로 줄이는 것이 가장 좋습니다.
• 로그 기호 아래의 모든 식은 양수로 표시되므로 로그 기호 아래에 있는 식의 지수를 승수로 취하면 로그 아래에 남아 있는 식은 양수여야 합니다.

사회가 발전하고 생산이 더욱 복잡해지면서 수학도 발전했습니다. 단순한 것에서 복잡한 것으로의 움직임. 덧셈과 뺄셈의 방법을 사용하는 일반적인 회계에서 반복되는 반복을 통해 우리는 곱셈과 나눗셈의 개념에 도달했습니다. 곱셈의 반복 연산을 줄이는 것이 지수의 개념이 되었습니다. 밑수에 대한 숫자 의존성과 지수화 수에 대한 첫 번째 표는 인도 수학자 Varasena에 의해 8세기에 편집되었습니다. 그들로부터 로그 발생 시간을 계산할 수 있습니다.

역사적 스케치

16세기 유럽의 부흥 역시 기계의 발전을 자극했다. 티 많은 양의 계산이 필요함곱셈과 나눗셈에 관련된 여러 자리 숫자. 고대 테이블은 훌륭한 서비스를 제공했습니다. 그들은 교체를 허용했습니다 복잡한 작업더 간단한 것 - 덧셈과 뺄셈. 큰 발걸음 1544년에 출판된 수학자 미하엘 스티펠(Michael Stiefel)의 작품이 앞장섰고, 그는 많은 수학자들의 생각을 실현했다. 이를 통해 학위 형식뿐만 아니라 테이블을 사용할 수 있게 되었습니다. 소수, 임의의 합리적인 것에도 적용됩니다.

1614년에 스코틀랜드인 존 네이피어(John Napier)가 이러한 아이디어를 발전시켜 처음으로 새 학기"숫자의 로그." 사인과 코사인의 로그와 탄젠트를 계산하기 위해 새로운 복잡한 테이블이 작성되었습니다. 이로 인해 천문학자들의 작업이 크게 줄어들었습니다.

3세기 동안 과학자들이 성공적으로 사용했던 새로운 테이블이 나타나기 시작했습니다. 그전에는 시간이 많이 흘러 새로운 작전대수학에서는 완전한 형태를 얻었습니다. 로그의 정의가 주어지고 그 특성이 연구되었습니다.

20세기가 되어서야 계산기와 컴퓨터가 등장하면서 인류는 13세기 내내 성공적으로 작동했던 고대 탁자를 버렸습니다.

오늘날 우리는 a를 밑으로 하는 b의 로그를 b를 만드는 a의 거듭제곱인 x라고 부릅니다. 이는 다음 공식으로 작성됩니다: x = log a(b).

예를 들어 log 3(9)는 2와 같습니다. 정의를 따르면 이는 분명합니다. 3을 2제곱하면 9가 됩니다.

따라서 공식화된 정의에서는 단 하나의 제한 사항만 설정합니다. 숫자 a와 b는 실수여야 합니다.

로그의 유형

고전적인 정의는 실수 로그(real logarithm)라고 불리며 실제로 방정식 a x = b의 해입니다. 옵션 a = 1은 경계선에 있으며 관심이 없습니다. 주의: 1의 거듭제곱은 1과 같습니다.

로그의 실수값밑과 인수가 0보다 크고 밑이 1이 아니어야 하는 경우에만 정의됩니다.

수학 분야의 특별한 장소밑의 크기에 따라 이름이 지정되는 로그를 재생합니다.

규칙 및 제한 사항

로그의 기본 속성은 규칙입니다. 곱의 로그는 로그 합계와 같습니다. 로그 abp = 로그 a(b) + 로그 a(p).

이 명령문의 변형은 다음과 같습니다: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), 몫 함수는 함수의 차이와 같습니다.

이전 두 규칙에서 다음을 쉽게 알 수 있습니다. log a(b p) = p * log a(b).

다른 속성은 다음과 같습니다:

논평. 일반적인 실수를 할 필요가 없습니다. 합계의 로그는 로그의 합계와 같지 않습니다.

수세기 동안 로그를 찾는 작업은 시간이 많이 걸리는 작업이었습니다. 수학자들은 다항식 확장의 로그 이론의 잘 알려진 공식을 사용했습니다.

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), 여기서 n - 자연수 1보다 크면 계산의 정확성이 결정됩니다.

다른 염기와의 로그는 한 염기에서 다른 염기로의 전이에 대한 정리와 생성물 로그의 특성을 사용하여 계산되었습니다.

이 방법은 매우 노동집약적이며, 현실적인 문제를 풀 때구현하기 어려웠기 때문에 사전 컴파일된 로그 테이블을 사용하여 모든 작업 속도를 크게 높였습니다.

어떤 경우에는 특별히 편집된 로그 그래프가 사용되어 정확도가 떨어지지만 원하는 값 검색 속도가 크게 향상되었습니다. 여러 점에 걸쳐 구성된 함수 y = log a(x)의 곡선을 사용하면 일반 눈금자를 사용하여 다른 점에서 함수 값을 찾을 수 있습니다. 오랫동안 엔지니어들은 이러한 목적으로 소위 그래프 용지를 사용했습니다.

17세기에는 최초의 보조 아날로그 컴퓨팅 조건이 등장했습니다. 19세기완성된 모습을 얻었습니다. 가장 성공적인 장치는 슬라이드 자라고 불렸습니다. 장치의 단순성에도 불구하고 그 외관으로 인해 모든 엔지니어링 계산 프로세스가 크게 가속화되었으며 이는 과대평가하기 어렵습니다. 현재 이 장치에 대해 잘 아는 사람은 거의 없습니다.

계산기와 컴퓨터의 출현으로 인해 다른 장치를 사용할 수 없게 되었습니다.

방정식과 부등식

로그를 사용하여 다양한 방정식과 부등식을 풀기 위해 다음 공식이 사용됩니다.

• 한 밑수에서 다른 밑수로의 전이: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• 이전 옵션의 결과: log a(b) = 1 / log b(a).

불평등을 해결하려면 다음 사항을 아는 것이 유용합니다.

• 밑수와 인수가 모두 다음보다 큰 경우에만 로그 값은 양수입니다. 1개 미만; 하나 이상의 조건이 위반되면 로그 값은 음수가 됩니다.
• 로그 함수가 부등식의 오른쪽과 왼쪽에 적용되고 로그의 밑이 1보다 크면 부등식의 부호가 유지됩니다. 그렇지 않으면 변경됩니다.

샘플 문제

로그와 그 속성을 사용하기 위한 몇 가지 옵션을 고려해 보겠습니다. 방정식 풀이의 예:

로그를 거듭제곱하는 옵션을 고려해보세요.

• 문제 3. 25^log 5(3)을 계산하라. 해결 방법: 문제가 발생한 상황에서 항목은 다음 (5^2)^log5(3) 또는 5^(2 * log 5(3))과 유사합니다. 다르게 적어봅시다: 5^log 5(3*2), 또는 함수 인수로서의 숫자의 제곱은 함수 자체의 제곱(5^log 5(3))^2으로 쓸 수 있습니다. 로그의 속성을 사용하면 이 표현식은 3^2와 같습니다. 답: 계산 결과 9를 얻습니다.

실제 적용

순전히 수학적 도구이기 때문에 실생활로그가 물체를 설명하는 데 갑자기 큰 중요성을 갖게 되었다는 사실 현실 세계. 그것이 사용되지 않는 과학을 찾는 것은 어렵습니다. 이는 자연 지식뿐만 아니라 인도주의 지식 분야에도 완전히 적용됩니다.

대수 종속성

다음은 수치 종속성의 몇 가지 예입니다.

역학 및 물리학

역사적으로 역학과 물리학은 항상 수학적 연구 방법을 사용하여 발전해 왔으며 동시에 로그를 포함한 수학 발전의 인센티브 역할을 해왔습니다. 대부분의 물리 법칙 이론은 수학 언어로 작성되었습니다. 로그를 사용하여 물리 법칙을 설명하는 두 가지 예만 들어 보겠습니다.

로켓의 속도와 같은 복잡한 양을 계산하는 문제는 우주 탐사 이론의 기초가 된 Tsiolkovsky 공식을 사용하여 해결할 수 있습니다.

V = I * ln(M1/M2), 여기서

• V는 항공기의 최종 속도입니다.
• I – 엔진의 특정 충동.
• M 1 – 로켓의 초기 질량.
• M 2 – 최종 질량.

또 다른 중요한 예- 이것은 열역학의 평형 상태를 평가하는 데 사용되는 또 다른 위대한 과학자 Max Planck의 공식에 사용됩니다.

S = k * ln(Ω), 여기서

• S – 열역학적 특성.
• k – 볼츠만 상수.
• Ω은 다양한 상태의 통계적 가중치입니다.

화학

덜 분명한 것은 로그의 비율을 포함하는 화학 공식의 사용입니다. 두 가지 예만 들어보겠습니다.

• Nernst 방정식은 물질의 활성 및 평형 상수와 관련된 매체의 산화환원 전위 조건입니다.
• 자기 분해 지수 및 용액의 산도와 같은 상수 계산도 우리 기능 없이는 수행할 수 없습니다.

심리학과 생물학

그리고 심리학이 그것과 어떤 관련이 있는지는 전혀 명확하지 않습니다. 감각의 강도는 이 함수에 의해 자극 강도 값과 낮은 강도 값의 역비로 잘 설명되는 것으로 나타났습니다.

위의 예를 보면 로그라는 주제가 생물학에서 널리 사용된다는 것은 더 이상 놀라운 일이 아닙니다. 로그 나선에 해당하는 생물학적 형태에 대해 전체 책을 쓸 수 있습니다.

기타 지역

이 기능과 연결되지 않으면 세상의 존재는 불가능한 것처럼 보이며 모든 법칙을 지배합니다. 특히 자연법칙이 다음과 관련되어 있을 때 기하학적 진행. MatProfi 웹사이트를 방문할 가치가 있으며 다음과 같은 활동 영역에 그러한 예가 많이 있습니다.

목록은 끝이 없을 수 있습니다. 이 기능의 기본 원리를 익히면 무한한 지혜의 세계로 뛰어들 수 있습니다.

우리는 계속해서 로그를 연구합니다. 이 기사에서 우리는 로그 계산, 이 프로세스를 로그. 먼저 우리는 정의에 따라 로그 계산을 이해합니다. 다음으로, 로그의 속성을 사용하여 로그 값을 찾는 방법을 살펴보겠습니다. 이후에는 다른 로그의 초기 지정된 값을 통해 로그 계산에 중점을 두겠습니다. 마지막으로 로그표를 활용하는 방법을 알아보겠습니다. 전체 이론에는 상세한 솔루션과 함께 예제가 제공됩니다.

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정의에 따른 로그 계산

가장 간단한 경우에는 매우 빠르고 쉽게 수행할 수 있습니다. 정의에 따라 로그 찾기. 이 과정이 어떻게 진행되는지 자세히 살펴보겠습니다.

그 본질은 숫자 b를 a c 형식으로 표현하는 것입니다. 여기서 로그 정의에 따라 숫자 c는 로그 값입니다. 즉, 정의에 따르면 다음 등식 체인은 로그를 찾는 것과 일치합니다: log a b=log a a c =c.

따라서 정의에 따라 로그를 계산하면 a c = b가 되는 숫자 c를 찾는 것이 되며 숫자 c 자체가 원하는 로그 값이 됩니다.

이전 단락의 정보를 고려하여 로그 기호 아래의 숫자가 로그 밑의 특정 거듭제곱으로 주어지면 로그가 무엇인지 즉시 나타낼 수 있습니다. 이는 지수와 같습니다. 예제에 대한 솔루션을 보여드리겠습니다.

예.

log 2 2 −3을 찾고 숫자 e 5,3의 자연 로그도 계산합니다.

해결책.

로그의 정의를 통해 우리는 즉시 log 2 2 −3 =−3이라고 말할 수 있습니다. 실제로 로그 기호 아래의 숫자는 밑수 2의 -3승과 같습니다.

마찬가지로 두 번째 로그는 lne 5.3 =5.3입니다.

답변:

log 2 2 −3 =−3 및 lne 5,3 =5,3.

로그 기호 아래의 숫자 b가 로그 밑의 거듭제곱으로 지정되지 않은 경우 숫자 b를 a c 형식으로 표현하는 것이 가능한지 주의 깊게 살펴봐야 합니다. 종종 이 표현은 꽤 분명합니다. 특히 로그 기호 아래의 숫자가 1, 2, 3의 밑수와 같을 때 더욱 그렇습니다.

예.

로그 log 5 25 및 를 계산합니다.

해결책.

25=5 2라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이를 통해 첫 번째 로그를 계산할 수 있습니다: log 5 25=log 5 5 2 =2.

두 번째 로그 계산으로 넘어 갑시다. 숫자는 7의 거듭제곱으로 표현될 수 있습니다. (필요한 경우 참조). 따라서, .

세 번째 로그를 다시 써보겠습니다. 다음과 같은 형태. 이제 당신은 그것을 볼 수 있습니다 , 그로부터 우리는 다음과 같은 결론을 내립니다. . 따라서 로그의 정의에 의해 .

간단히 말해서 솔루션은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

답변:

로그 5 25=2 , 그리고 .

로그 기호 아래에 충분히 큰 자연수가 있는 경우 이를 다음과 같이 확장해도 문제가 되지 않습니다. 소인수. 이러한 숫자를 로그 밑의 거듭제곱으로 표현하는 것이 도움이 되므로 정의에 따라 이 로그를 계산합니다.

예.

로그의 값을 구합니다.

해결책.

로그의 일부 속성을 사용하면 로그 값을 즉시 지정할 수 있습니다. 이러한 속성에는 1의 로그 속성과 밑수와 동일한 숫자의 로그 속성이 포함됩니다. log 1 1=log a a 0 =0 및 log a a=log a a 1 =1. 즉, 로그 기호 아래에 숫자 1 또는 로그 밑과 같은 숫자 a가 있으면 이 경우 로그는 각각 0과 1과 같습니다.

예.

로그와 log10은 무엇입니까?

해결책.

이후 , 그러면 로그의 정의로부터 다음과 같습니다 .

두 번째 예에서는 로그 기호 아래의 숫자 10이 밑수와 일치하므로 10의 십진 로그는 1, 즉 lg10=lg10 1 =1과 같습니다.

답변:

그리고 LG10=1 .

정의에 따른 로그 계산(이전 단락에서 논의한)은 로그의 속성 중 하나인 상등 로그 a a p =p의 사용을 의미합니다.

실제로 로그 기호 아래의 숫자와 로그의 밑이 특정 숫자의 거듭제곱으로 쉽게 표현될 때 다음 공식을 사용하는 것이 매우 편리합니다. , 이는 로그의 속성 중 하나에 해당합니다. 이 공식의 사용을 설명하면서 로그를 찾는 예를 고려해 보겠습니다.

예.

로그를 계산합니다.

해결책.

답변:

.

위에서 언급하지 않은 로그의 속성도 계산에 사용되지만 이에 대해서는 다음 단락에서 설명하겠습니다.

다른 알려진 로그를 통해 로그 찾기

이 단락의 정보는 로그를 계산할 때 로그의 속성을 사용하는 주제를 계속합니다. 그러나 여기서 주요 차이점은 로그의 속성이 원래 로그를 다른 로그로 표현하는 데 사용되며 그 값이 알려져 있다는 것입니다. 설명을 위해 예를 들어 보겠습니다. log 2 3≒1.584963을 알고 있다고 가정하면, 예를 들어 로그의 속성을 사용하여 약간의 변환을 수행하여 log 2 6을 찾을 수 있습니다. 로그 2 6=로그 2 (2 3)=로그 2 2+로그 2 3≒ 1+1,584963=2,584963 .

위의 예에서는 곱의 로그 속성을 사용하는 것만으로도 충분했습니다. 그러나 주어진 로그를 통해 원래 로그를 계산하려면 더 넓은 로그 속성 무기고를 사용해야 하는 경우가 훨씬 더 많습니다.

예.

log 60 2=a와 log 60 5=b를 안다면 밑이 60인 27의 로그를 계산하세요.

해결책.

따라서 우리는 log 60 27 을 찾아야 합니다. 27 = 3 3임을 쉽게 알 수 있으며, 거듭제곱의 로그 특성으로 인해 원래 로그는 3·log 60 3으로 다시 쓸 수 있습니다.

이제 log 60 3 을 알려진 로그로 표현하는 방법을 살펴보겠습니다. 밑수와 동일한 숫자의 로그 속성을 사용하면 등호 로그 60 60=1을 쓸 수 있습니다. 반면, log 60 60=log60(2 2 3 5)= 로그 60 2 2 +로그 60 3+로그 60 5= 2·로그 60 2+로그 60 3+로그 60 5 . 따라서, 2 로그 60 2+로그 60 3+로그 60 5=1. 따라서, 로그 60 3=1−2·로그 60 2−로그 60 5=1−2·a−b.

마지막으로 원래 로그를 계산합니다. log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

답변:

로그 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

별도로, 형식 로그의 새로운 밑으로 전환하기 위한 공식의 의미를 언급할 가치가 있습니다. . 이를 통해 밑이 있는 로그에서 특정 밑이 있는 로그로 이동할 수 있으며 그 값은 알려져 있거나 찾을 수 있습니다. 일반적으로 원래 로그에서 전이 공식을 사용하여 밑수 2, e 또는 10 중 하나의 로그로 이동합니다. 왜냐하면 이러한 밑수에는 해당 값을 특정 수준으로 계산할 수 있는 로그 테이블이 있기 때문입니다. 정확성. 다음 단락에서는 이것이 어떻게 수행되는지 보여줄 것입니다.

로그 테이블과 그 용도

로그 값을 대략적으로 계산하려면 다음을 사용할 수 있습니다. 로그 테이블. 가장 일반적으로 사용되는 밑이 2인 로그표, 자연로그표, 십진로그표입니다. 십진수 시스템에서 작업할 때 10진법을 기반으로 한 로그 표를 사용하는 것이 편리합니다. 그것의 도움으로 우리는 로그의 값을 찾는 법을 배울 것입니다.

제시된 표를 사용하면 1/10000의 정확도로 1,000에서 9,999(소수점 세 자리)까지의 숫자의 십진 로그 값을 찾을 수 있습니다. 십진 로그 테이블을 이용하여 로그 값을 구하는 원리를 다음과 같이 분석해 보겠습니다. 구체적인 예– 그게 더 명확해요. log1.256을 찾아보자.

십진 로그 표의 왼쪽 열에서 숫자 1.256의 처음 두 자리, 즉 1.2를 찾습니다(이 숫자는 명확성을 위해 파란색 원으로 표시됨). 숫자 1.256(숫자 5)의 세 번째 숫자는 이중선 왼쪽의 첫 번째 또는 마지막 줄에 있습니다(이 숫자는 빨간색 원으로 표시되어 있음). 원래 숫자 1.256(숫자 6)의 네 번째 숫자는 이중선 오른쪽의 첫 번째 또는 마지막 줄에 있습니다(이 숫자는 녹색 선으로 둘러싸여 있습니다). 이제 표시된 행과 표시된 열의 교차점에 있는 로그 표의 셀에서 숫자를 찾습니다(이 숫자는 강조 표시됨). 주황색). 표시된 숫자의 합은 원하는 정확한 십진 로그 값을 제공합니다. 네 번째 자리소수점 이하, 즉 로그1.236≒0.0969+0.0021=0.0990.

위의 표를 이용하여 소수점 이하 3자리 이상인 숫자와 1부터 9.999까지의 범위를 벗어나는 숫자의 십진 로그 값을 찾을 수 있나요? 예, 가능합니다. 예를 들어 이것이 어떻게 수행되는지 보여드리겠습니다.

lg102.76332를 계산해 보겠습니다. 먼저 적어야합니다 번호 표준형 : 102.76332=1.0276332·10 2. 그 후, 가수는 소수점 세 번째 자리로 반올림되어야 합니다. 1.0276332 10 2 ≒1.028 10 2, 원래 십진수 로그는 결과 숫자의 로그와 거의 동일하지만, 즉 log102.76332©lg1.028·10 2를 사용합니다. 이제 로그의 속성을 적용합니다. lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. 마지막으로, 십진 로그 lg1.028≒0.0086+0.0034=0.012 테이블에서 로그 lg1.028의 값을 찾습니다. 결과적으로 로그를 계산하는 전체 프로세스는 다음과 같습니다. log102.76332=log1.0276332 10 2 ≒lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≒0.012+2=2.012.

결론적으로, 십진 로그 테이블을 사용하면 모든 로그의 대략적인 값을 계산할 수 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 이렇게 하려면 전환 공식을 사용하여 십진 로그로 이동하고 테이블에서 해당 값을 찾은 다음 나머지 계산을 수행하면 충분합니다.

예를 들어 log 2 3 을 계산해 보겠습니다. 로그의 새로운 밑으로의 전환 공식에 따르면 다음과 같습니다. 십진 로그 표에서 log3≒0.4771과 log2≒0.3010을 찾습니다. 따라서, .

참고자료.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. 및 기타 대수학 및 분석의 시작: 일반 교육 기관의 10~11학년을 위한 교과서.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. 수학(전문학교 입학을 위한 매뉴얼).

시작해보자 1의 로그의 속성. 그 공식은 다음과 같습니다: 단위의 로그는 0과 같습니다. 즉, 1=0을 기록 a>0이면 a≠1입니다. 증명은 어렵지 않습니다. 위의 조건 a>0 및 a≠1을 만족하는 임의의 a에 대해 a 0 =1이므로 증명할 등식 로그 a 1=0은 로그 정의에서 즉시 따릅니다.

고려된 속성의 적용 예를 들어보겠습니다: log 3 1=0, log1=0 및 .

다음 속성으로 넘어가겠습니다. 밑수와 같은 숫자의 로그는 1과 같습니다., 즉, 로그 a = 1 a>0인 경우 a≠1입니다. 실제로 모든 a에 대해 a 1 =a이므로 로그 정의에 따라 log a a =1입니다.

로그의 이 속성을 사용하는 예는 log 5 5=1, log 5.6 5.6 및 lne=1 등식입니다.

예를 들어 log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 및 .

2의 곱의 로그 양수 x와 y는 다음 숫자의 로그 곱과 같습니다. 로그 a (x y)=로그 a x+로그 a y, a>0 , a≠1 . 곱의 로그의 성질을 증명해 보자. 학위의 특성상 a 로그 a x+log a y =a 로그 a x ·a 로그 a y, 그리고 주요 로그 항등식에 의해 a log a x =x 및 a log a y =y이므로 a log a x ·a log a y =x·y입니다. 따라서 로그 a x+log a y =x·y, 로그의 정의에 의해 동등성이 증명됩니다.

곱의 로그 속성을 사용하는 예를 보여드리겠습니다. log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 그리고 .

곱의 로그 속성은 다음과 같이 양수 x 1 , x 2 , …, x n 의 유한수 n 의 곱으로 일반화될 수 있습니다. 로그 a (x 1 ·x 2 ·...·x n)= 로그 a x 1 +로그 a x 2 +… +로그 a x n . 이 평등은 문제 없이 입증될 수 있습니다.

예를 들어, 곱의 자연 로그는 숫자 4, e 및 3개의 자연 로그의 합으로 대체될 수 있습니다.

두 양수의 몫에 대한 로그 x와 y는 이 숫자의 로그 간의 차이와 같습니다. 몫의 로그 속성은 형식의 공식에 해당합니다. 여기서 a>0, a≠1, x 및 y는 양수입니다. 이 공식의 타당성은 제품의 로그 공식뿐만 아니라 입증되었습니다. , 그런 다음 로그를 정의합니다.

다음은 로그의 이 속성을 사용하는 예입니다. .

다음으로 넘어가자 거듭제곱의 로그 속성. 도의 로그는 지수와 이 도의 밑 모듈러스의 로그의 곱과 같습니다. 거듭제곱 로그의 이 속성을 공식으로 작성해 보겠습니다. 로그 a b p =p·log a |b|여기서 a>0, a≠1, b 및 p는 b p 정도가 의미가 있고 b p >0이 되는 숫자입니다.

먼저 우리는 양수 b에 대해 이 속성을 증명합니다. 기본 로그 항등식을 사용하면 숫자 b를 a log a b, b p =(a log a b) p로 표현할 수 있으며 결과 표현식은 거듭제곱의 속성으로 인해 a p·log a b와 같습니다. 따라서 우리는 등식 b p =a p·log a b에 이르렀고, 이로부터 로그의 정의에 따라 log a b p =p·log a b라는 결론을 내립니다.

음수 b에 대해 이 속성을 증명하는 것이 남아 있습니다. 여기서 음수 b에 대한 log a b p 표현은 짝수 지수 p에 대해서만 의미가 있으며(b p 차의 값은 0보다 커야 하고 그렇지 않으면 로그가 의미가 없으므로) 이 경우 b p =|b| 피. 그 다음에 b p =|b| p =(a 로그 a |b|) p =a p·log a |b|, 여기서 log a b p =p·log a |b| .

예를 들어, 및 ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

이전 속성에서 이어집니다. 근으로부터의 로그의 성질: n번째 근의 로그는 분수 1/n과 근호 표현의 로그의 곱과 같습니다. 즉, 여기서 a>0, a≠1, n은 1보다 큰 자연수, b>0입니다.

증명은 모든 양의 b에 대해 유효한 평등(참조)과 거듭제곱의 로그 속성을 기반으로 합니다. .

다음은 이 속성을 사용하는 예입니다. .

이제 증명해보자 새로운 로그 밑으로 이동하는 공식친절한 . 이를 위해서는 등식 log c b=log a b·log c a의 타당성을 증명하면 충분합니다. 기본 로그 항등식을 사용하면 숫자 b를 log a b로 표현한 다음 log c b=log c a log a b로 표현할 수 있습니다. 정도의 로그 속성을 사용하는 것이 남아 있습니다. 로그 c a 로그 a b =log a b 로그 c a. 이는 상등 log c b=log a b·log c a를 증명하며, 이는 새로운 로그 밑으로 이동하는 공식도 증명되었음을 의미합니다.

이 로그 속성을 사용하는 몇 가지 예를 보여드리겠습니다. .

새로운 밑으로 이동하는 공식을 사용하면 "편리한" 밑을 갖는 로그 작업으로 넘어갈 수 있습니다. 예를 들어, 로그 테이블에서 로그 값을 계산할 수 있도록 자연 로그 또는 십진 로그로 이동하는 데 사용할 수 있습니다. 새로운 로그 밑으로 이동하는 공식을 사용하면 경우에 따라 다른 밑을 가진 일부 로그 값을 알 때 주어진 로그 값을 찾을 수도 있습니다.

자주 사용됨 특별한 경우 c=b ​​형식의 로그의 새로운 밑으로 전환하기 위한 공식 . 이는 로그 a b 및 로그 b a – 를 보여줍니다. 예를 들어, .

공식도 자주 쓰인다 , 이는 로그 값을 찾는 데 편리합니다. 우리의 말을 확인하기 위해, 이것이 형식의 로그 값을 계산하는 데 어떻게 사용될 수 있는지 보여줄 것입니다. 우리는 . 공식을 증명하려면 로그 a의 새로운 밑으로 전환하기 위해 공식을 사용하는 것으로 충분합니다. .

로그 비교의 속성을 증명하는 것이 남아 있습니다.

임의의 양수 b 1 및 b 2, b 1에 대해 증명해 보겠습니다. log a b 2 , 그리고 a>1의 경우 - 부등식 log a b 1

마지막으로, 나열된 로그의 마지막 속성을 증명하는 것이 남아 있습니다. 첫 번째 부분의 증명으로 제한하겠습니다. 즉, a 1 > 1, a 2 > 1 및 a 1임을 증명할 것입니다. 1은 참입니다 log a 1 b>log a 2 b . 로그의 이 속성에 대한 나머지 진술은 유사한 원리에 따라 증명됩니다.

반대의 방법을 사용해 보자. 1 > 1, a 2 > 1 및 a 1에 대해 가정합니다. 1은 참입니다 log a 1 b≤log a 2 b . 로그의 속성을 기반으로 이러한 부등식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. 그리고 각각 log b a 1 ≤log b a 2 및 log b a 1 ≥log b a 2가 됩니다. 그런 다음 동일한 밑수를 갖는 거듭제곱의 속성에 따라 등식 b log b a 1 ≥b log b a 2 및 b log b a 1 ≥b log b a 2가 유지되어야 합니다. 즉, a 1 ≥a 2 입니다. 그래서 우리는 조건 a 1에 모순이 생겼습니다.

참고자료.