node와 nok의 관계 유클리드 알고리즘과 소인수분해를 사용하여 GCD 찾기

두 개 이상의 숫자의 최대 공약수를 찾는 방법을 배우려면 자연수, 소수, 복소수가 무엇인지 이해해야 합니다.

자연수는 전체 물체의 수를 세는 데 사용되는 모든 숫자입니다.

자연수가 자신과 1로만 나누어질 수 있는 경우 이를 소수라고 합니다.

모든 자연수는 자기 자신과 1로 나누어질 수 있지만, 유일한 짝수는 2이고, 나머지는 모두 2로 나눌 수 있습니다. 그러므로 홀수만이 소수가 될 수 있다.

소수가 많아요 전체 목록그들은 존재하지 않습니다. GCD를 찾으려면 해당 숫자가 포함된 특수 테이블을 사용하는 것이 편리합니다.

다수 자연수 1로 나눌 수 있을 뿐만 아니라 다른 숫자로도 나눌 수 있습니다. 예를 들어, 숫자 15는 또 다른 3과 5로 나눌 수 있습니다. 이 모두를 숫자 15의 약수라고 합니다.

따라서 임의의 A의 제수는 나머지 없이 나누어질 수 있는 수입니다. 숫자에 두 개 이상의 자연 요인이 있는 경우 이를 합성이라고 합니다.

숫자 30에는 1, 3, 5, 6, 15, 30과 같은 약수가 있습니다.

15와 30의 약수는 1, 3, 5, 15로 동일합니다. 이 두 숫자의 최대 공약수는 15입니다.

따라서 숫자 A와 B의 공약수는 숫자 A와 B를 완전히 나눌 수 있는 숫자입니다. 가장 큰 것은 최대로 간주 될 수 있습니다 총 수, 로 나눌 수 있습니다.

문제를 해결하기 위해 다음과 같은 약식 비문이 사용됩니다.

GCD(A; B).

예를 들어, gcd (15; 30) = 30입니다.

자연수의 약수를 모두 적으려면 다음 표기법을 사용하세요.

디(15) = (1, 3, 5, 15)

글쿨(9, 15) = 1

안에 이 예에서는자연수에는 단 하나의 공통인자가 있습니다. 그들은 상대적으로 소수라고 부르므로 단위는 그들의 최대 공약수입니다.

숫자의 최대 공약수를 찾는 방법

여러 숫자의 gcd를 찾으려면 다음이 필요합니다.

각 자연수의 모든 약수를 개별적으로 찾습니다. 즉, 인수분해(소수)합니다.

주어진 숫자의 동일한 요소를 모두 선택합니다.

그것들을 함께 곱하세요.

예를 들어, 숫자 30과 56의 최대 공약수를 계산하려면 다음과 같이 작성합니다.

혼란을 피하기 위해 수직 열을 사용하여 요인을 기록하는 것이 편리합니다. 선의 왼쪽에는 배당금을 배치하고 오른쪽에는 제수를 배치해야합니다. 배당금 아래에 결과 몫을 표시해야 합니다.

따라서 오른쪽 열에는 솔루션에 필요한 모든 요소가 있습니다.

편의를 위해 동일한 제수(발견된 인수)에 밑줄을 그을 수 있습니다. 다시 작성하고 곱하고 최대 공약수를 적어야 합니다.

글쿨(30; 56) = 2 * 5 = 10

이것이 숫자의 최대 공약수를 찾는 것이 얼마나 쉬운 지입니다. 조금만 연습하면 거의 자동으로 할 수 있습니다.

많은 제수

다음 문제를 생각해 봅시다. 숫자 140의 제수를 찾으십시오. 분명히 숫자 140에는 제수가 하나가 아니라 여러 개가 있습니다. 그런 경우에는 문제가 있다고 한다 많은결정. 모두 찾아보자. 우선 이 숫자를 다음과 같이 분해해보자. 소인수:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

이제 모든 약수를 쉽게 적을 수 있습니다. 위에 주어진 확장에 존재하는 소인수부터 시작해 보겠습니다.

그런 다음 소인수를 쌍으로 곱하여 얻은 값을 기록합니다.

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

그런 다음 - 세 개의 소수를 포함하는 것:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

마지막으로 단위와 분해된 숫자 자체를 잊지 마세요.

우리가 찾은 모든 약수는 다음과 같습니다. 많은중괄호를 사용하여 작성된 숫자 140의 제수:

숫자 140의 약수 집합 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

이해하기 쉽도록 여기에 제수를 적어 두었습니다( 세트의 요소) 오름차순이지만 일반적으로 말하면 이것은 필요하지 않습니다. 또, 표기 약어를 소개합니다. "140의 약수 집합" 대신 "D(140)"이라고 씁니다. 따라서,

같은 방법으로 다른 자연수에 대한 제수 집합을 찾을 수 있습니다. 예를 들어 분해에서

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

우리는 다음을 얻습니다:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

모든 제수 집합에서 숫자 140과 105가 각각 동일한 단순 제수 집합을 구별해야 합니다.

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

숫자 140을 소인수로 분해할 때 두 개가 두 번 나타나는 반면 PD(140) 집합에는 하나만 있다는 점에 특히 강조되어야 합니다. PD(140)의 집합은 본질적으로 "숫자 140의 소인수를 구하라"라는 문제에 대한 모든 답이다. 동일한 답변이 두 번 이상 반복되어서는 안 된다는 점은 분명합니다.

분수를 줄입니다. 최대공약수

분수를 고려해보세요

우리는 이 분수가 분자의 제수(105)이자 분모의 제수(140)인 숫자로 줄어들 수 있다는 것을 알고 있습니다. 집합 D(105)와 D(140)을 살펴보고 공통 요소를 적어 보겠습니다.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

세트 D(105) 및 D(140)의 공통 요소 =

마지막 동등성은 다음과 같이 더 간략하게 작성할 수 있습니다.

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

여기서 특수 아이콘 “∩”(“구멍이 뚫린 가방”)은 다음과 같이 쓰여진 두 세트 중 하나를 나타냅니다. 다른 측면그 중에서 공통 요소만 선택하면 됩니다. "D(105) ∩ D(140)" 항목은 " 교차로 105의 De 세트와 140의 De 세트입니다.”

[거의 숫자와 마찬가지로 집합을 사용하여 다양한 이진 연산을 수행할 수 있다는 점에 유의하세요. 또 다른 일반적인 이진 연산은 다음과 같습니다. 협회, 이는 “∪” 아이콘(“구멍이 있는 가방”)으로 표시됩니다. 두 세트의 합집합에는 두 세트의 모든 요소가 포함됩니다.

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

그래서 우리는 분수가

세트에 속한 숫자 중 하나로 줄일 수 있습니다.

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

그리고 다른 어떤 자연수로도 줄어들 수 없습니다. 그게 다야 가능한 방법약어(흥미롭지 않은 약어 제외):

분명히, 분수를 가능한 한 큰 숫자로 줄이는 것이 가장 실용적입니다. 이 경우에는 35라는 숫자가 나온다. 최대공약수 (GCD) 번호 105 및 140. 이것은 다음과 같이 작성됩니다.

gcd(105, 140) = 35.

그러나 실제로 두 개의 숫자가 주어졌을 때 최대 공약수를 찾아야 하는 경우 집합을 전혀 구성해서는 안 됩니다. 단순히 두 숫자를 소인수로 분해하고 두 분해에 공통적인 이러한 인자를 강조 표시하는 것으로 충분합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

밑줄 친 숫자를 (모든 확장에서) 곱하면 다음을 얻습니다.

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

물론 두 가지 이상의 밑줄 친 요소가 있을 수도 있습니다.

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

이것으로부터 다음이 분명해진다.

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

공통 요소가 전혀 없고 강조할 것도 없는 상황은 특별히 언급할 가치가 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

이 경우,

글쿨(42, 55) = 1.

GCD가 1인 두 개의 자연수를 호출합니다. 상호소수. 예를 들어, 이러한 숫자에서 분수를 만들면

그런 분수는 줄일 수 없는.

일반적으로 분수를 줄이는 규칙은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서는 다음과 같이 가정합니다. 에이그리고 비은 자연수이고 전체 분수는 양수입니다. 이제 이 등식의 양쪽에 빼기 기호를 추가하면 음수 분수에 대한 해당 규칙을 얻습니다.

분수를 더하고 뺍니다. 최소공배수

두 분수의 합을 계산해야 한다고 가정해 보겠습니다.

우리는 이미 분모가 어떻게 소인수로 분해되는지 알고 있습니다.

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

이 분해에서 즉시 분수를 공통 분모로 가져오려면 첫 번째 분수의 분자와 분모에 2 ∙ 2(두 번째 분모의 강조되지 않은 소인수 곱)를 곱하면 충분합니다. 두 번째 분수의 분자와 분모를 3으로 계산합니다(첫 번째 분모의 강세가 없는 소인수 "곱"). 결과적으로 두 분수의 분모는 숫자와 같아지며 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

두 원래 분모(105와 140 모두)는 숫자 420의 약수이고, 숫자 420은 두 분모의 배수라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 최소공배수 (NOC) 번호 105 및 140. 다음과 같이 작성되었습니다.

LCM(105, 140) = 420.

숫자 105와 140의 분해를 자세히 살펴보면 다음과 같습니다.

105 ∙ 140 = GCD(105, 140) ∙ GCD(105, 140).

마찬가지로, 임의의 자연수의 경우 비그리고 디:

비 ∙ 디= 위치( 비, 디) ∙ GCD( 비, 디).

이제 분수의 합을 완성해 보겠습니다.

그러나 많은 자연수는 다른 자연수로도 나누어집니다.

예를 들어:

숫자 12는 1, 2, 3, 4, 6, 12로 나누어집니다.

36은 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36으로 나누어집니다.

숫자를 전체로 나눌 수 있는 숫자(12의 경우 1, 2, 3, 4, 6, 12)를 호출합니다. 숫자의 제수. 자연수의 제수 에이- 주어진 수를 나누는 자연수이다. 에이흔적도 없이. 약수가 2개 이상인 자연수를 라 한다. 합성물. 숫자 12와 36은 공통 인수를 가지고 있습니다. 이 숫자는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다. 이 숫자의 최대 약수는 12입니다.

주어진 두 숫자의 공약수 에이그리고 비- 주어진 두 숫자를 나머지 없이 나눈 숫자입니다. 에이그리고 비. 여러 숫자의 공약수(GCD)는 각각의 제수 역할을 하는 숫자입니다.

간략하게 숫자의 최대 공약수 에이그리고 비다음과 같이 작성하세요:

예: 글쿨(12, 36) = 12.

해 표기법에서 숫자의 제수는 다음을 나타냅니다. 대문자"디".

예:

GCD (7; 9) = 1

숫자 7과 9에는 단 하나의 공통 약수, 즉 숫자 1이 있습니다. 이러한 숫자를 호출합니다. 상호소수치 슬라미.

서로소수- 이것은 단 하나의 공통 약수, 즉 숫자 1을 갖는 자연수입니다. 이들의 gcd는 1입니다.

최대공약수(GCD), 속성.

• 기본 속성: 최대 공약수 중그리고 N이 숫자의 공약수로 나눌 수 있습니다. 예: 숫자 12와 18의 경우 최대 공약수는 6입니다. 이 숫자의 모든 공약수(1, 2, 3, 6)로 나뉩니다.
• 결과 1: 공약수 집합 중그리고 N GCD 제수 세트와 일치합니다( 중, N).
• 결과 2: 공배수 집합 중그리고 N여러 LCM 세트와 일치합니다( 중, N).

이는 특히 분수를 환원 불가능한 형태로 줄이려면 분수의 분자와 분모를 gcd로 나누어야 함을 의미합니다.

• 숫자의 최대공약수 중그리고 N모든 선형 조합 집합의 가장 작은 양수 요소로 정의될 수 있습니다.

따라서 이를 숫자의 선형 조합으로 표현합니다. 중그리고 N:

이 비율을 베주의 관계, 그리고 계수 유그리고 다섯 — 베주 계수. 베주 계수는 확장된 유클리드 알고리즘을 통해 효율적으로 계산됩니다. 이 진술은 자연수 집합으로 일반화됩니다. 그 의미는 집합에 의해 생성된 그룹의 하위 그룹이 순환적이고 하나의 요소에 의해 생성된다는 것입니다: GCD( 에이 1 , 에이 2 , … , 앤).

최대 공약수(GCD)를 계산합니다.

두 숫자의 gcd를 계산하는 효율적인 방법은 다음과 같습니다. 유클리드 알고리즘그리고 바이너리연산. 또한, gcd의 값( 중,N)은 숫자의 정규 확장이 알려진 경우 쉽게 계산할 수 있습니다. 중그리고 N소인수로:

여기서 는 별개의 소수이고 는 음이 아닌 정수입니다(해당 소수가 확장에 없으면 0이 될 수 있습니다). 그런 다음 GCD( 중,N) 및 NOC( 중,N)는 다음 공식으로 표현됩니다.

세 개 이상의 숫자가 있는 경우: , 다음 알고리즘을 사용하여 해당 gcd를 찾습니다.

- 원하는 GCD입니다.

또한, 찾기 위해서는 최대공약수, 주어진 숫자 각각을 소인수로 분해할 수 있습니다. 그런 다음 주어진 모든 숫자에 포함된 요소만 별도로 기록하십시오. 그런 다음 쓰여진 숫자를 함께 곱합니다. 곱셈의 결과는 최대 공약수입니다. .

최대 공약수의 계산을 단계별로 살펴보겠습니다.

1. 숫자의 제수를 소인수로 분해합니다.

수직 막대를 사용하여 계산을 작성하는 것이 편리합니다. 줄의 왼쪽에는 먼저 배당금을, 오른쪽에는 제수를 기록합니다. 다음으로 왼쪽 열에 몫의 값을 기록합니다. 예를 들어 바로 설명하겠습니다. 숫자 28과 64를 소인수분해해 봅시다.

2. 두 숫자 모두에서 동일한 소인수를 강조합니다.

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. 동일한 소인수의 곱을 찾아 답을 적으세요.

gcd (28; 64) = 2. 2 = 4

답: GCD (28; 64) = 4

열(위와 같이) 또는 "행"의 두 가지 방법으로 GCD 위치를 공식화할 수 있습니다.

GCD를 작성하는 첫 번째 방법:

gcd 48과 36을 찾으세요.

글쿨(48; 36) = 2. 2. 3 = 12

GCD를 작성하는 두 번째 방법:

이제 GCD 검색에 대한 솔루션을 한 줄에 적어 보겠습니다. gcd 10과 15를 찾으세요.

디(10) = (1, 2, 5, 10)

디(15) = (1, 3, 5, 15)

D (10, 15) = (1, 5)

이 기사는 최대 공약수를 찾는 문제에 대해 다룹니다. 먼저 그것이 무엇인지 설명하고 몇 가지 예를 제공하고 2, 3 또는 그 이상의 숫자의 최대 공약수에 대한 정의를 소개한 다음 일반적인 속성에 대해 설명합니다. 이 개념그리고 우리는 그것을 증명할 것입니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

공약수란 무엇입니까?

최대 공약수가 무엇인지 이해하기 위해 먼저 정수의 공약수가 일반적으로 무엇인지 공식화합니다.

배수와 제수에 관한 기사에서 정수에는 항상 여러 개의 제수가 있다고 말했습니다. 여기서 우리는 한 번에 특정 수의 정수의 제수, 특히 모두에게 공통(동일한) 제수에 관심이 있습니다. 주요 정의를 적어 보겠습니다.

정의 1

여러 정수의 공약수는 지정된 집합의 각 숫자의 약수가 될 수 있는 숫자입니다.

실시예 1

다음은 이러한 제수의 예입니다. 9 = 3 · 3 및 − 12 = 3 · (− 4) 등식이 참이므로 3은 숫자 12와 9의 공약수가 됩니다. 숫자 3과 - 12에는 1, − 1 및 − 3과 같은 다른 공통 인수가 있습니다. 또 다른 예를 들어보겠습니다. 네 개의 정수 3, − 11, − 8 및 19는 2개의 공통 인수인 1과 - 1을 갖습니다.

나눗셈의 속성을 알면 모든 정수는 1과 빼기 1로 나눌 수 있다고 말할 수 있습니다. 이는 모든 정수 집합에 이미 두 개 이상의 공약수가 있다는 의미입니다.

또한 여러 숫자에 대한 공약수 b가 있으면 동일한 숫자를 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 반대 숫자, 즉, -b에 있습니다. 원칙적으로 양의 약수만 취할 수 있으며, 그러면 모든 공약수도 0보다 커집니다. 이 접근 방식도 사용할 수 있지만 완전히 무시됩니다. 음수해서는 안됩니다.

최대 공약수(GCD)란 무엇입니까?

나눗셈의 특성에 따르면, b가 0이 아닌 정수 a의 약수라면 b의 계수는 a의 계수보다 클 수 없으므로 0과 같지 않은 모든 숫자는 유한한 수의 약수를 갖습니다. . 이는 여러 정수의 공약수(그 중 적어도 하나가 0과 다름)의 수도 유한하며 전체 집합에서 항상 가장 많은 것을 선택할 수 있음을 의미합니다. 큰 수(우리는 이전에 가장 큰 정수와 가장 작은 정수의 개념에 대해 이야기했습니다. 이 자료를 반복하는 것이 좋습니다.)

추가 논의에서는 최대 공약수를 찾는 데 필요한 숫자 집합 중 적어도 하나가 0과 다를 것이라고 가정합니다. 모두 0이면 제수는 임의의 정수일 수 있으며, 그 수가 무한히 많기 때문에 가장 큰 것을 선택할 수 없습니다. 즉, 0과 같은 숫자 집합에 대한 최대 공약수를 찾는 것은 불가능합니다.

주요 정의의 공식화로 넘어 갑시다.

정의 2

여러 숫자의 최대 공약수는 모든 숫자를 나누는 가장 큰 정수입니다.

서면으로, 최대 공약수는 약어 GCD로 가장 자주 표시됩니다. 두 숫자의 경우 gcd(a, b)로 쓸 수 있습니다.

실시예 2

두 정수에 대한 gcd의 예는 무엇입니까? 예를 들어 6과 - 15의 경우 3이 됩니다. 이것을 정당화해 봅시다. 먼저 6의 약수인 ± 6, ± 3, ± 1을 모두 적고, 그런 다음 15의 모든 약수인 ± 15, ± 5, ± 3, ± 1을 적습니다. 그 후에 우리는 공통적인 것을 선택합니다: 이들은 − 3, − 1, 1 및 3입니다. 이 중에서 가장 큰 숫자를 선택해야 합니다. 이는 3이 됩니다.

3개 이상의 숫자에 대해 최대공약수를 결정하는 방법은 거의 동일합니다.

정의 3

세 개 이상의 숫자의 최대 공약수는 이 모든 숫자를 동시에 나누는 가장 큰 정수가 됩니다.

숫자 a 1, a 2, …, an n의 경우 제수를 GCD(a 1, a 2, …, an n)로 표시하는 것이 편리합니다. 제수 자체의 값은 GCD (a 1, a 2, ..., an n) = b로 작성됩니다.

실시예 3

다음은 여러 정수의 최대 공약수의 예입니다: 12, - 8, 52, 16. 이는 4와 같으며, 이는 GCD (12, - 8, 52, 16) = 4라고 쓸 수 있음을 의미합니다.

이 숫자의 모든 제수를 기록한 다음 가장 큰 것을 선택하여 이 진술의 정확성을 확인할 수 있습니다.

실제로 최대 공약수가 숫자 중 하나와 같은 경우가 종종 있습니다. 이는 다른 모든 숫자를 주어진 숫자로 나눌 수 있을 때 발생합니다(기사의 첫 번째 단락에서 이 진술에 대한 증거를 제공했습니다).

실시예 4

따라서 숫자 60, 15 및 - 45의 최대 공약수는 15입니다. 왜냐하면 15는 60과 - 45뿐만 아니라 그 자체로도 나누어지고 이 모든 숫자에 대해 더 큰 약수가 없기 때문입니다.

특별한 경우는 서로소(coprime) 수로 구성됩니다. 최대 공약수가 1인 정수입니다.

GCD 및 유클리드 알고리즘의 기본 속성

최대 공약수에는 몇 가지 특징적인 속성이 있습니다. 이를 정리의 형태로 공식화하고 각각을 증명해 보겠습니다.

이러한 속성은 0보다 큰 정수에 대해 공식화되었으며 양의 제수만 고려할 것입니다.

정의 4

숫자 a와 b는 b와 a에 대한 gcd와 동일한 최대 공약수를 갖습니다. 즉, gcd(a, b) = gcd(b, a)입니다. 숫자를 뒤집어도 최종 결과에는 영향을 미치지 않습니다.

이 속성은 GCD의 정의를 따르며 증명이 필요하지 않습니다.

정의 5

숫자 a를 숫자 b로 나눌 수 있으면 이 두 숫자의 공약수 집합은 숫자 b의 약수 집합, 즉 gcd(a, b) = b와 유사합니다.

이 진술을 증명해 봅시다.

증거 1

숫자 a와 b에 공약수가 있으면 둘 중 하나를 공약수로 나눌 수 있습니다. 동시에, a가 b의 배수라면 b의 모든 약수는 또한 a의 약수가 될 것입니다. 왜냐하면 나눗셈은 이행성과 같은 속성을 갖기 때문입니다. 이는 임의의 제수 b가 숫자 a와 b에 공통이라는 것을 의미합니다. 이는 a를 b로 나눌 수 있으면 두 숫자의 모든 약수 집합이 한 숫자 b의 약수 집합과 일치한다는 것을 증명합니다. 그리고 모든 숫자의 최대 약수는 이 숫자 자체이므로 숫자 a와 b의 최대 공약수도 b와 같습니다. GCD(a,b)=b. a = b이면 gcd (a, b) = gcd (a, a) = gcd (b, b) = a = b입니다. 예를 들어 gcd (132, 132) = 132입니다.

이 속성을 사용하면 두 숫자 중 하나를 다른 숫자로 나눌 수 있는 경우 두 숫자의 최대 공약수를 찾을 수 있습니다. 이 제수는 두 번째 숫자를 나눌 수 있는 두 숫자 중 하나와 같습니다. 예를 들어, 24는 8의 배수이므로 gcd (8, 24) = 8입니다.

정의 6 증명 2

이 속성을 증명해 봅시다. 처음에는 a = b · q + c 등식을 가지며 a와 b의 모든 공약수도 c를 나눌 것입니다. 이는 해당 분할성 속성으로 설명됩니다. 따라서 b와 c의 공약수는 a를 나눌 것입니다. 이는 공약수 a와 b의 집합이 가장 큰 약수를 포함하여 b와 c의 집합과 일치한다는 것을 의미하며, 이는 gcd (a, b) = gcd (b, c) 등식이 참임을 의미합니다.

정의 7

다음 속성을 유클리드 알고리즘이라고 합니다. 도움을 받으면 두 숫자의 최대 공약수를 계산할 수 있을 뿐만 아니라 GCD의 다른 속성도 증명할 수 있습니다.

속성을 공식화하기 전에 나눗셈에 관한 기사에서 증명한 정리를 나머지와 함께 반복하는 것이 좋습니다. 이에 따르면, 나눗셈 가능한 수 a는 b · q + r로 표시될 수 있습니다. 여기서 b는 약수이고, q는 정수(불완전 몫이라고도 함)이고, r은 조건 0 ≤ r ≤를 충족하는 나머지입니다. 비.

0보다 큰 두 개의 정수가 있다고 가정해 보겠습니다. 이에 대해 다음 등식이 성립합니다.

a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

이러한 등식은 r k + 1이 0과 같을 때 종료됩니다. 수열 b > r 1 > r 2 > r 3, ...은 유한한 수의 정수만 포함할 수 있는 일련의 감소하는 정수이기 때문에 이런 일이 확실히 일어날 것입니다. 이는 r k가 a와 b의 최대 공약수, 즉 r k = gcd(a, b)임을 의미합니다.

우선, r k가 숫자 a와 b의 공약수라는 것을 증명해야 하며, 그 다음에는 r k가 단순한 약수가 아니라 주어진 두 숫자의 최대공약수라는 것을 증명해야 합니다.

위의 평등 목록을 아래에서 위로 살펴보겠습니다. 마지막 평등에 따르면,
r k − 1 은 r k 로 나눌 수 있습니다. 이 사실과 이전에 입증된 최대 공약수 속성을 바탕으로 rk − 2는 rk 로 나눌 수 있다고 주장할 수 있습니다.
r k − 1 은 r k 로 나누고 r k 는 r k 로 나눕니다.

아래의 세 번째 등식을 통해 r k − 3은 r k 등으로 나눌 수 있다는 결론을 내릴 수 있습니다. 밑에서 두 번째는 b가 r k로 나누어진다는 것이고, 첫 번째는 a가 r k로 나누어진다는 것입니다. 이 모든 것으로부터 우리는 r k가 a와 b의 공약수라는 결론을 내립니다.

이제 r k = GCD (a , b) 임을 증명해 보겠습니다. 이를 위해 무엇을 해야 합니까? a와 b의 공약수는 r k를 나눌 것임을 보여주세요. 이를 r 0 으로 표시해 보겠습니다.

동일한 평등 목록을 위에서 아래로 살펴보겠습니다. 이전 속성을 기반으로 r 1은 r 0으로 나눌 수 있다고 결론을 내릴 수 있습니다. 이는 두 번째 동일성에 따라 r 2가 r 0으로 나누어진다는 것을 의미합니다. 우리는 모든 등식을 살펴보고 마지막부터 r k 가 r 0 으로 나누어진다는 결론을 내립니다. 따라서 r k = gcd(a,b) 입니다.

이 속성을 고려한 결과, 공약수 a와 b의 집합이 이 숫자의 GCD 제수 집합과 유사하다는 결론을 내렸습니다. 유클리드 알고리즘의 결과인 이 진술을 통해 우리는 주어진 두 숫자의 모든 공약수를 계산할 수 있습니다.

다른 속성으로 넘어 갑시다.

정의 8

a와 b가 0이 아닌 정수인 경우, 동등 GCD (a, b) = a · u 0 + b · v 0이 유효한 두 개의 다른 정수 u 0 및 v 0이 있어야 합니다.

속성 설명에 주어진 동등성은 a와 b의 최대 공약수를 선형으로 표현한 것입니다. 이를 Bezout 관계라고 하며, u 0 과 v 0 을 Bezout 계수라고 합니다.

증거 3

이 속성을 증명해 봅시다. 유클리드 알고리즘을 사용하여 등식 시퀀스를 적어 보겠습니다.

a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

첫 번째 등식은 r 1 = a − b · q 1 임을 알려줍니다. 1 = s 1 및 − q 1 = t 1을 표시하고 이 등식을 r 1 = s 1 · a + t 1 · b 형식으로 다시 작성하겠습니다. 여기서 숫자 s 1과 t 1은 정수입니다. 두 번째 등식을 통해 r 2 = b − r 1 · q 2 = b − (s 1 · a + t 1 · b) · q 2 = − s 1 · q 2 · a + (1 − t 1)이라는 결론을 내릴 수 있습니다. · q 2) ㄴ. − s 1 · q 2 = s 2 및 1 − t 1 · q 2 = t 2를 표시하고 등식을 r 2 = s 2 · a + t 2 · b로 다시 작성하겠습니다. 여기서 s 2 및 t 2도 다음과 같습니다. 정수. 정수의 합, 곱, 차이도 정수이기 때문입니다. 정확히 같은 방식으로 세 번째 등식에서 r 3 = s 3 · a + t 3 · b를 얻고, 다음 등식에서 r 4 = s 4 · a + t 4 · b 등을 얻습니다. 결국 우리는 정수 s k 및 t k에 대해 r k = s k · a + t k · b라는 결론을 내립니다. r k = GCD (a, b)이므로 s k = u 0 및 t k = v 0을 나타냅니다. 결과적으로 필요한 형식으로 GCD의 선형 표현을 얻을 수 있습니다. GCD (a, b) = a · u 0 +b·v0.

정의 9

m의 자연값에 대한 GCD(m a, m b) = m GCD(a, b)입니다.

증명 4

이 속성은 다음과 같이 정당화될 수 있습니다. 유클리드 알고리즘의 각 등식의 양변에 숫자 m을 곱하고 GCD(m · a, m · b) = m · r k를 얻고 r k는 GCD(a, b)입니다. 이는 gcd(m a, m b) = m gcd(a, b)를 의미합니다. 인수분해 방법을 사용하여 GCD를 찾을 때 사용되는 것은 최대 공약수의 속성입니다.

정의 10

숫자 a와 b에 공통 약수 p가 있으면 gcd (a: p, b: p) = gcd (a, b): p입니다. p = GCD (a, b)인 경우 GCD (a: GCD (a, b), b: GCD (a, b) = 1을 얻습니다. 따라서 숫자 a: GCD (a, b) 및 b : GCD(a,b)는 상대적으로 소수입니다.

a = p (a: p) 및 b = p (b: p)이므로 이전 속성을 기반으로 gcd (a, b) = gcd (p (a: p), p 형식의 등식을 만들 수 있습니다. · (b: p)) = p · GCD (a: p , b: p) , 그 중 증명은 다음과 같습니다. 이 부동산의. 우리는 줄 때 이 표현을 사용합니다. 공통 분수환원 불가능한 형태로.

정의 11

a 1, a 2, …, a k의 최대 공약수는 d k가 되며, 이는 GCD (a 1, a 2) = d 2, GCD (d 2, a 3) = d 3을 순차적으로 계산하여 찾을 수 있습니다. , GCD (d 3 , a 4) = d 4 , … , GCD (d k - 1 , a k) = d k .

이 속성은 세 개 이상의 숫자의 최대 공약수를 찾을 때 유용합니다. 이를 사용하면 이 작업을 두 개의 숫자를 사용하는 작업으로 줄일 수 있습니다. 그 기초는 유클리드 알고리즘의 결과입니다. 공약수 a 1, a 2 및 a 3의 집합이 d 2 및 a 3 집합과 일치하면 제수 d 3과도 일치합니다. 숫자 a 1, a 2, a 3 및 a 4의 약수는 d 3의 약수와 일치합니다. 즉, d 4의 약수와도 일치한다는 의미입니다. 결국 우리는 숫자 a 1, a 2, ..., a k의 공약수가 약수 d k와 일치한다는 것을 알게 됩니다. 최대제수숫자 d k 는 이 숫자 자체가 되며 gcd (a 1 , a 2 , ... , a k) = d k 입니다.

이것이 최대 공약수의 속성에 대해 말씀드리고 싶은 전부입니다.

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이 기사는 최대 공약수(GCD) 찾기두 개 그리고 더숫자. 먼저, 두 숫자의 gcd를 찾을 수 있는 Euclid 알고리즘을 살펴보겠습니다. 그런 다음 공통 소인수의 곱으로 숫자의 gcd를 계산할 수 있는 방법에 중점을 둘 것입니다. 다음으로, 세 개 이상의 숫자의 최대 공약수를 찾는 방법을 살펴보고, 음수의 gcd를 계산하는 예도 제시하겠습니다.

페이지 탐색.

GCD를 찾기 위한 유클리드 알고리즘

처음부터 소수 표를 살펴보면 661과 113이라는 숫자가 소수라는 것을 알 수 있으며, 이로부터 최대 공약수는 1이라고 즉시 말할 수 있습니다.

답변:

GCD(661, 113)=1 .

숫자를 소인수로 분해하여 GCD 찾기

GCD를 찾는 또 다른 방법을 고려해 보겠습니다. 최대 공약수는 숫자를 소인수로 나누어 구할 수 있습니다. 규칙을 만들어 봅시다: 두 정수의 GCD 양수 a와 b는 a와 b의 소인수분해에서 발견된 모든 공통 소인수의 곱과 같습니다..

GCD를 찾는 규칙을 설명하는 예를 들어 보겠습니다. 숫자 220과 600을 소인수로 분해하면 220=2·2·5·11과 600=2·2·2·3·5·5의 형태를 갖습니다. 숫자 220과 600을 인수분해하는 데 사용되는 일반적인 소인수는 2, 2, 5입니다. 따라서 gcd(220, 600)=2·2·5=20입니다.

따라서 숫자 a와 b를 소인수로 인수분해하고 모든 공통 인수의 곱을 찾으면 숫자 a와 b의 최대 공약수를 찾을 수 있습니다.

명시된 규칙에 따라 GCD를 찾는 예를 살펴보겠습니다.

예.

숫자 72와 96의 최대 공약수를 찾으세요.

해결책.

숫자 72와 96을 소인수로 분해해 보겠습니다.

즉, 72=2·2·2·3·3이고 96=2·2·2·2·2·3이다. 공통 소인수는 2, 2, 2, 3입니다. 따라서 gcd(72, 96)=2·2·2·3=24이다.

답변:

글쿨(72, 96)=24 .

이 단락의 결론에서 우리는 GCD를 찾기 위한 위 규칙의 타당성은 최대 공약수의 속성에 따른다는 점에 주목합니다. GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), 여기서 m은 양의 정수입니다.

세 개 이상의 숫자의 gcd 찾기

세 개 이상의 숫자의 최대 공약수를 찾는 것은 두 숫자의 gcd를 순차적으로 찾는 것으로 축소될 수 있습니다. 우리는 GCD의 속성을 연구할 때 이것을 언급했습니다. 거기서 우리는 다음 정리를 공식화하고 증명했습니다. 여러 숫자 a 1, a 2, …, a k의 최대 공약수 숫자와 같다 d k 는 GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a 3)=d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k )를 순차적으로 계산하여 구합니다. - 1 , a k)=d k .

예제에 대한 해법을 살펴보며 여러 숫자의 gcd를 찾는 과정이 어떤지 살펴보겠습니다.

예.

78, 294, 570, 36이라는 네 숫자의 최대공약수를 찾아보세요.

해결책.

이 예에서는 a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36입니다.

먼저 유클리드 알고리즘을 사용하여 처음 두 숫자 78과 294의 최대 공약수 d 2 를 결정합니다. 나누면 294=78·3+60 등식을 얻습니다. 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 및 18=6·3. 따라서 d 2 =GCD(78, 294)=6입니다.

이제 계산해보자 d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). 유클리드 알고리즘을 다시 적용해 보겠습니다: 570=6·95, 따라서 d 3 = GCD(6, 570)=6입니다.

계산이 남았다 d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). 36은 6으로 나누어질 수 있으므로 d 4 = GCD(6, 36) = 6입니다.

따라서 주어진 네 숫자의 최대 공약수는 d 4 =6, 즉 gcd(78, 294, 570, 36)=6입니다.

답변:

글쿨(78, 294, 570, 36)=6 .

숫자를 소인수로 분해하면 세 개 이상의 숫자에 대한 gcd를 계산할 수도 있습니다. 이 경우 최대 공약수는 주어진 숫자의 모든 공통 소인수의 곱으로 구됩니다.

예.

소인수분해를 사용하여 이전 예제의 숫자의 gcd를 계산합니다.

해결책.

78, 294, 570, 36을 소인수분해하면 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2가 된다. ·3· 3. 이 네 숫자의 공통 소인수는 숫자 2와 3입니다. 따라서, 글쿨(78, 294, 570, 36)=2·3=6.