움직임에 대한 벡터 설명은 하나의 그림에서 항상 다양한 벡터를 묘사하고 눈앞에서 움직임의 시각적 "그림"을 얻을 수 있기 때문에 유용합니다. 그러나 벡터 작업을 수행하기 위해 매번 눈금자와 각도기를 사용하는 것은 매우 노동 집약적입니다. 따라서 이러한 작업은 양수 및 음수를 사용하는 작업(벡터 투영)으로 축소됩니다.
벡터를 축에 투영투영된 벡터의 모듈러스와 벡터 방향과 선택한 좌표축 사이의 각도 코사인의 곱과 동일한 스칼라 수량이라고 합니다.
왼쪽 그림은 모듈이 50km이고 방향이 형성되는 변위 벡터를 보여줍니다. 둔각 X축 방향으로 150° 정의를 사용하여 X축에 대한 변위 투영을 찾습니다.
sx = s cos(α) = 50km cos(150°) = –43km
축 사이의 각도가 90°이므로 이동 방향이 Y축 방향과 60°의 예각을 이루는 것으로 계산하기 쉽습니다. 정의를 사용하여 Y축에서 변위 투영을 찾습니다.
sy = s cos(β) = 50km cos(60°) = +25km
보시다시피, 벡터 방향이 축 방향과 예각을 형성하면 투영은 양수입니다. 벡터 방향이 축 방향과 둔각을 형성하면 투영은 음수입니다.
오른쪽 그림은 모듈이 5m/s이고 방향이 X축 방향과 30°의 각도를 이루는 속도 벡터를 보여줍니다.
υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4.3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2.5 m/s
투영된 벡터가 선택한 축에 평행하거나 수직인 경우 축에서 벡터 투영을 찾는 것이 훨씬 쉽습니다. 평행성의 경우 두 가지 옵션이 가능하다는 점에 유의하십시오. 벡터는 축과 같은 방향이고 벡터는 축의 반대이며, 수직성의 경우에는 하나의 옵션만 있습니다.
축에 수직인 벡터의 투영은 항상 0입니다(왼쪽 그림의 sy 및 y, 오른쪽 그림의 sx 및 υx 참조). 실제로 축에 수직인 벡터의 경우 벡터와 축 사이의 각도는 90°이므로 코사인은 0입니다. 이는 투영이 0임을 의미합니다.
축과 같은 방향의 벡터 투영은 양수이고 절대값과 같습니다(예: sx = +s(왼쪽 그림 참조)). 실제로 축과 같은 방향인 벡터의 경우 축과 축 사이의 각도는 0이고 코사인은 "+1"입니다. 즉, 투영은 벡터의 길이와 같습니다. sx = x – xo = + s .
축 반대쪽 벡터의 투영은 음수이며 빼기 기호를 사용하여 취한 절대값과 같습니다(예: sy = –s(오른쪽 그림 참조)). 실제로 축 반대쪽 벡터의 경우 벡터와 축 사이의 각도는 180°이고 코사인은 "-1"입니다. 즉, 투영은 음수 기호로 취한 벡터의 길이와 같습니다. sy = y – 요 = –s .
두 도면의 오른쪽은 벡터가 좌표축 중 하나에 평행하고 다른 좌표축에 수직인 다른 경우를 보여줍니다. 이러한 경우에도 이전 단락에 명시된 규칙을 준수하는지 직접 확인하시기 바랍니다.
정의 1. 평면에서 점 A를 l 축에 평행하게 투영하는 점은 점입니다. l 축과 설계 방향을 지정하는 벡터에 평행한 점 A를 통해 그려진 직선의 교차점입니다.
정의 2. l 축(벡터에 대한)에 대한 벡터의 평행 투영은 기저에 대한 벡터의 좌표입니다. 축 l, 여기서 점 과 는 점 A와 B를 각각 l 축에 평행하게 투영합니다(그림 1).
정의에 따르면 우리는
정의 3. 만약 l 축 기준 데카르트(Cartesian), 즉 벡터를 l 축으로 투영하는 것입니다. 직교라고 합니다(그림 2).
공간에서는 축에 대한 벡터 투영의 정의 2가 그대로 유지되며 투영 방향만 두 개의 비공선형 벡터에 의해 지정됩니다(그림 3).
축에 대한 벡터 투영의 정의에 따르면 벡터의 각 좌표는 해당 기본 벡터에 의해 정의된 축에 대한 이 벡터의 투영입니다. 이 경우 설계 방향은 설계가 공간에서 수행(고려)되는 경우 두 개의 다른 기저 벡터로 지정되고, 설계가 평면에서 고려되는 경우 다른 기저 벡터로 지정됩니다(그림 4).
정리 1. l 축에 대한 벡터의 직교 투영은 벡터의 계수와 l 축의 양의 방향 사이의 각도의 코사인의 곱과 같습니다.
반대편에는
우리가 찾는 것에서
AC를 평등 (2)로 대체하면 다음을 얻습니다.
숫자부터 엑스고려중인 두 경우 모두 동일한 부호 ((그림 5, a) ; (그림 5, b), 평등 (4)에서 다음과 같습니다.
논평. 다음에서는 축에 대한 벡터의 직교 투영만 고려하므로 "ort"(직교)라는 단어는 표기법에서 생략됩니다.
나중에 문제를 해결하는 데 사용되는 여러 공식을 제시해 보겠습니다.
a) 벡터를 축에 투영합니다.
그렇다면 공식 (5)에 따른 벡터에 대한 직교 투영은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
c) 점에서 평면까지의 거리.
b는 법선 벡터를 갖는 주어진 평면이고, M은 주어진 점이며,
d는 점 M에서 평면 b까지의 거리입니다(그림 6).
N이 평면 b의 임의의 점이고, 가 축에 대한 점 M과 N의 투영이면,
- G) 교차하는 선 사이의 거리입니다.
a와 b에 교차선이 주어지고, 이들에 수직인 벡터이고, A와 B가 각각 선 a와 b의 임의의 점이라고 가정하고(그림 7) 점 A와 B를 투영한다고 가정합니다.
e) 점에서 선까지의 거리.
허락하다 엘- 방향 벡터 M을 갖는 주어진 직선, M - 주어진 점,
N - 라인에 투영 엘, 그런 다음 - 필요한 거리 (그림 8).
A가 직선 위의 임의의 점인 경우 엘, 직각 삼각형 MNA에서 빗변 MA와 다리를 찾을 수 있습니다. 수단,
f) 직선과 평면 사이의 각도.
이 선의 방향 벡터를 이라고 하자 엘, - 주어진 평면의 법선 벡터 b, - 직선의 투영 엘평면 b로(그림 9).
알려진 바와 같이, 직선 사이의 각도 μ 엘평면 b에 대한 투영을 선과 평면 사이의 각도라고 합니다. 우리는
벡터 좌표 방법을 사용하여 미터법 문제를 해결하는 예를 들어 보겠습니다.
이 기사에서는 축에 대한 벡터의 투영을 이해하고 벡터의 수치 투영을 찾는 방법을 배웁니다. 먼저 축에 대한 벡터 투영의 정의를 제공하고 표기법을 소개하며 그래픽 일러스트레이션도 제공합니다. 그런 다음 축에 대한 벡터의 수치 투영에 대한 정의를 말하고 이를 찾는 방법을 고려하며 축에서 벡터의 수치 투영을 찾는 데 필요한 몇 가지 예에 대한 솔루션을 보여줍니다.
페이지 탐색.
벡터를 축에 투영 – 정의, 지정, 일러스트레이션, 예.
몇 가지 일반적인 정보부터 시작해 보겠습니다.
축은 방향을 나타내는 직선입니다. 따라서 벡터를 축에 투영하는 것과 벡터를 방향이 있는 선에 투영하는 것은 하나이며 동일합니다.
축에 대한 벡터의 투영은 기하학과 대수라는 두 가지 의미로 간주될 수 있습니다. 기하학적 의미에서 벡터를 축에 투영하는 것은 벡터이고, 대수적 의미에서는 숫자입니다. 종종 이러한 구별은 명시적으로 언급되지 않지만 문맥을 통해 이해됩니다. 우리는 이 구별을 무시하지 않을 것입니다. 기하학적 의미에서 벡터의 투영에 대해 말할 때 ""라는 용어를 사용하고 대수적 의미에서 벡터의 투영에 대해 말할 때 ""라는 용어를 사용합니다( 이 기사의 다음 단락은 축에 대한 벡터의 수치 투영에 대해 설명합니다.
이제 축에 대한 벡터 투영을 결정하는 단계로 넘어갑니다. 이렇게 하려면 반복해도 문제가 되지 않습니다.
평면이나 3차원 공간에 L축과 0이 아닌 벡터가 있다고 가정해 보겠습니다. 점 A와 B의 선 L에 대한 투영을 각각 A 1 및 B 1로 표시하고 벡터를 구성합시다. 벡터를 L축으로 투영한 벡터라고 가정해 보겠습니다.
정의.
축에 벡터 투영는 시작과 끝이 각각 주어진 벡터의 시작과 끝을 투영한 벡터입니다.
L 축에 대한 벡터의 투영은 다음과 같이 표시됩니다.
L 축에 벡터 투영을 구성하려면 점 A와 B에서 방향이 있는 직선 L로 수직선을 낮춰야 합니다. 이러한 수직선의 밑면은 원하는 투영의 시작과 끝을 제공합니다.
축에 대한 벡터 투영의 예를 들어보겠습니다.
평면에 직교좌표계 Oxy를 도입하고 특정 점을 지정합니다. 점 M 1의 반경 벡터를 묘사하고 좌표축 Ox 및 Oy에 대한 투영을 구성해 보겠습니다. 분명히 그들은 각각 좌표가 있는 벡터입니다.
한 벡터를 0이 아닌 다른 벡터에 투영하거나 벡터 방향에 벡터를 투영하는 것에 대해 자주 들을 수 있습니다. 이 경우 벡터의 방향이 벡터의 방향과 일치하는 특정 축에 벡터를 투영하는 것을 의미합니다 (일반적으로 방향이 벡터의 방향과 일치하는 축이 무한히 많습니다). 벡터에 의해 방향이 결정되는 직선에 벡터를 투영하는 것을 로 표시합니다.
벡터 와 사이의 각도가 예각이면 벡터 와 는 같은 방향입니다. 벡터 와 사이의 각도가 둔각이면 벡터 와 는 반대 방향을 향합니다. 벡터가 0이거나 벡터에 수직인 경우 벡터에 의해 지정되는 방향인 직선에 대한 벡터의 투영은 0 벡터입니다.
축에 대한 벡터의 수치 투영 - 정의, 지정, 위치 예.
축에 대한 벡터 투영의 수치적 특성은 이 벡터를 주어진 축에 대한 수치 투영입니다.
정의.
축에 대한 벡터의 수치 투영는 주어진 벡터의 길이와 이 벡터와 축 방향을 결정하는 벡터 사이의 각도의 코사인을 곱한 것과 같은 숫자입니다.
L 축에 대한 벡터의 수치 투영은 (상단에 화살표 없음)로 표시되고, 벡터에 의해 정의된 축에 대한 벡터의 수치 투영은 로 표시됩니다.
이 표기법에서 벡터로 향하는 선에 벡터를 수치 투영하는 정의는 다음과 같은 형식을 취합니다. 
, 여기서 벡터의 길이는 벡터와 사이의 각도입니다.
그래서 우리는 첫 번째 벡터의 수치 투영을 계산하는 공식: . 이 공식은 벡터의 길이와 벡터 사이의 각도를 알고 있을 때 적용됩니다. 의심할 여지 없이 이 공식은 벡터의 좌표와 주어진 직사각형 좌표계에 대한 상대 좌표를 알고 있을 때 적용될 수 있지만 이 경우 아래에서 얻을 수 있는 다른 공식을 사용하는 것이 더 편리합니다.
예.
벡터의 길이가 8이고 벡터와 사이의 각도가 와 같은 경우 벡터로 향하는 선에 대한 벡터의 수치 투영을 계산합니다.
해결책.
우리가 가지고 있는 문제 상황에서 
. 남은 것은 벡터의 필요한 수치 투영을 결정하기 위해 공식을 적용하는 것입니다. 
답변:
우리는 그것을 알고 있습니다 
, 벡터와 의 스칼라 곱은 어디에 있습니까? 그런 다음 공식 , 벡터로 향하는 선에 대한 벡터의 수치 투영을 찾을 수 있는 형식은 다음과 같습니다. 
. 즉, 벡터의 축에 대한 수치 투영에 대한 또 다른 정의를 공식화할 수 있으며, 이는 이 단락의 시작 부분에 제공된 정의와 동일합니다.
정의.
축에 대한 벡터의 수치 투영, 방향이 벡터의 방향과 일치하는 것은 벡터의 스칼라 곱과 벡터의 길이의 비율입니다.
벡터의 좌표가 알려진 경우 방향이 벡터의 방향과 일치하는 직선에 대한 벡터의 수치 투영을 찾기 위해 형식의 결과 공식을 사용하는 것이 편리합니다. 예제를 풀 때 이를 보여드리겠습니다.
예.
벡터는 L축의 방향을 지정하는 것으로 알려져 있습니다. L축에 대한 벡터의 수치 투영을 찾습니다.
해결책.
좌표 형식의 공식은 다음과 같습니다. 
, 어디서 그리고 . 우리는 이를 사용하여 L축에 대한 벡터의 필요한 수치 투영을 찾습니다. 
답변:
예.
직교좌표계 Oxyz에 대하여 3차원 공간에 두 개의 벡터가 주어진다. 
그리고 
. 벡터의 방향과 일치하는 방향인 L 축에 대한 벡터의 수치 투영을 찾습니다.
해결책.
벡터 좌표별 
그리고 
다음 벡터의 스칼라 곱을 계산할 수 있습니다. 
. 좌표에서 벡터의 길이는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다. 
. 그런 다음 좌표에서 L 축에 대한 벡터의 수치 투영을 결정하는 공식은 다음과 같습니다. 
.
적용해보자:
답변:
이제 L 축에 대한 벡터의 수치 투영(방향은 벡터에 의해 결정됨)과 벡터의 L 축에 대한 투영 길이 사이의 연결을 살펴보겠습니다. 이를 위해 L 축을 묘사하고 벡터를 플로팅하고 L에 있는 점에서 벡터 끝에서 직선 L까지 수직선을 낮추고 L 축에 벡터 투영을 구성합니다. 벡터 사이의 각도 측정에 따라 다음 5가지 옵션이 가능합니다. 
첫 번째 경우에는 다음이 분명합니다. 
.
두 번째 경우에는 표시된 직각 삼각형에서 각도의 코사인 정의로부터 
, 따라서, 
.
세 번째 경우에는 다음이 분명합니다. 
, 그러므로, 그리고 
.
네 번째 경우에는 각도의 코사인 정의에 따라 다음과 같습니다. 
, 어디 
.
그러므로 후자의 경우에는 
.
축에 대한 벡터의 수치 투영에 대한 다음 정의는 얻은 결과를 결합합니다.
정의.
L 축에 대한 벡터의 수치 투영, 벡터로 지시되는 것은 다음과 같습니다.
예.
벡터에 의해 지정되는 방향인 L 축에 대한 벡터 투영의 길이는 와 같습니다. 벡터와 사이의 각도가 라디안과 같은 경우 L축에 대한 벡터의 수치 투영은 무엇입니까?
투사축에 대한 벡터는 이 축에 대한 벡터의 스칼라 투영과 이 축의 단위 벡터를 곱하여 얻은 벡터입니다. 예를 들어 x – 스칼라 투영벡터 에이 X축으로 이동한 다음 x 나- 이 축에 대한 벡터 투영입니다.
나타내자 벡터 투영벡터 자체와 동일하지만 벡터가 투영되는 축의 인덱스가 있습니다. 따라서 벡터의 벡터 투영은 에이 X 축에서 우리는 에이 x ( 지방벡터를 나타내는 문자와 축 이름의 첨자) 또는 (벡터를 나타내는 낮은 굵은 문자, 상단에 화살표(!)와 축 이름의 첨자가 있음).
스칼라 투영축당 벡터를 호출합니다. 숫자, 절대값은 벡터의 시작점과 끝점의 투영 사이에 포함된 (선택한 스케일에서) 축 세그먼트의 길이와 같습니다. 일반적으로 표현 대신 스칼라 투영그들은 단지 이렇게 말합니다 - 투사. 투영은 투영된 벡터와 동일한 문자(대체로 굵은 글씨가 아닌 문자)로 표시되며 일반적으로 이 벡터가 투영되는 축 이름의 색인이 더 낮습니다. 예를 들어 벡터가 X축에 투영된 경우 에이,그 투영은 x로 표시됩니다. 동일한 벡터를 다른 축에 투영할 때 축이 Y이면 해당 투영은 y로 표시됩니다.
투영을 계산하려면 벡터축(예: X축)에서는 끝점 좌표에서 시작점 좌표를 빼야 합니다.
x = xk − xn.
축에 대한 벡터의 투영은 숫자입니다.게다가 x k 값이 x n 값보다 크면 투영은 양수일 수 있습니다.
값 x k가 값 x n보다 작은 경우 음수
x k가 x n과 같으면 0과 같습니다.
축에 대한 벡터의 투영은 벡터의 모듈러스와 이 축과 이루는 각도를 알면 알 수 있습니다.
그림에서 a x = a Cos α라는 것이 분명합니다.
즉, 축에 대한 벡터의 투영은 벡터의 계수와 축 방향 사이의 각도의 코사인의 곱과 같습니다. 벡터 방향. 각도가 예각이면
Cos α > 0 및 a x > 0, 둔각인 경우 둔각의 코사인은 음수이고 축에 대한 벡터의 투영도 음수가 됩니다.
축에서 시계 반대 방향으로 측정된 각도는 양수로 간주되고 축을 따라 측정된 각도는 음수로 간주됩니다. 그러나 코사인은 짝수 함수, 즉 Cos α = Cos (− α)이므로 투영을 계산할 때 시계 방향과 시계 반대 방향 모두 각도를 계산할 수 있습니다.
축에 대한 벡터의 투영을 찾으려면 이 벡터의 계수에 축 방향과 벡터 방향 사이의 각도의 코사인을 곱해야 합니다.
벡터 좌표— 선택된 좌표계에서 주어진 벡터와 동일한 기저 벡터의 유일한 선형 조합 계수.
벡터의 좌표는 어디에 있습니까?
벡터의 내적
벡터의 스칼라 곱[- 유한차원에서 벡터 공간동일한 성분의 곱을 곱한 값의 합으로 정의됩니다. 벡터.
예를 들어, S.p.v. 에이 = (에이 1 , ..., 앤) 그리고 비 = (비 1 , ..., 비엔):
(에이 , 비 ) = 에이 1 비 1 + 에이 2 비 2 + ... + 앤 비 앤
먼저 그것이 무엇인지 기억해 봅시다. 좌표축, 축에 점 투영그리고 축 위의 한 점의 좌표.
좌표축- 이것은 어떤 방향이 부여된 직선입니다. 무한히 큰 모듈러스를 갖는 벡터로 생각할 수 있습니다.
좌표축문자로 표시: X, Y, Z, s, t... 일반적으로 원점이라고 하는 축에서 점이 (임의로) 선택되며 일반적으로 문자 O로 표시됩니다. 우리가 관심 있는 다른 지점까지의 거리가 측정됩니다.
축에 점 투영- 이것은 이 지점에서 이 축으로 내려간 수직선의 기준입니다(그림 8). 즉, 점을 축에 투영하는 것이 점입니다.
축의 점 좌표- 이는 절대값이 축의 원점과 이 축에 대한 점의 투영 사이에 연결된 축 세그먼트(선택한 스케일에서)의 길이와 동일한 숫자입니다. 이 숫자는 점 투영이 원점에서 축 방향에 있는 경우 플러스 기호로 표시되고, 반대 방향이면 마이너스 기호로 표시됩니다.
축에 대한 벡터의 스칼라 투영- 이것 숫자, 절대값은 벡터의 시작점과 끝점의 투영 사이에 포함된 (선택한 스케일에서) 축 세그먼트의 길이와 같습니다. 중요한! 일반적으로 표현 대신 축에 대한 벡터의 스칼라 투영그들은 단지 이렇게 말합니다 - 벡터를 축에 투영, 즉, 단어 스칼라낮아졌습니다. 벡터 투영투영된 벡터와 동일한 문자로 표시되며(대체로 굵은 글씨가 아닌 경우) 이 벡터가 투영되는 축 이름의 인덱스가 더 낮습니다. 예를 들어 벡터가 X축에 투영된 경우 에이,그 투영은 x로 표시됩니다. 동일한 벡터를 다른 축(예: Y축)에 투영할 때 해당 투영은 y로 표시됩니다(그림 9).
계산하려면 벡터를 축에 투영(예를 들어 X축) 끝점 좌표에서 시작점 좌표를 빼야 합니다.
x = xk − xn.
우리는 다음을 기억해야 합니다: 축에 대한 벡터의 스칼라 투영(또는 간단하게 축에 대한 벡터의 투영)은 숫자입니다(벡터가 아님)!더욱이, x k 값이 x n 값보다 크면 투영은 양수일 수 있고, x k 값이 x n 값보다 작으면 음수일 수 있으며, x k가 x n과 같으면 0이 될 수 있습니다(그림 10).
축에 대한 벡터의 투영은 벡터의 모듈러스와 이 축과 이루는 각도를 알면 알 수 있습니다.
그림 11에서 a x = a Cos α라는 것이 분명합니다.
즉, 축에 대한 벡터의 투영은 벡터의 계수와 각도의 코사인의 곱과 같습니다. 축 방향과 벡터 방향 사이. 각도가 예각이면 Cos α > 0이고 a x > 0이고 둔각이면 둔각의 코사인은 음수이고 축에 대한 벡터의 투영도 음수입니다.
축에서 시계 반대 방향으로 측정된 각도는 양수로 간주되고 축을 따라 측정된 각도는 음수로 간주됩니다. 그러나 코사인은 짝수 함수, 즉 Cos α = Cos (− α)이므로 투영을 계산할 때 시계 방향과 시계 반대 방향 모두 각도를 계산할 수 있습니다.
문제를 해결할 때 다음과 같은 투영 속성이 자주 사용됩니다.
에이 = 비 + 기음 +…+ 디, a x = b x + c x +…+ d x (다른 축과 유사),
에이=m 비, a x = mb x (다른 축의 경우에도 유사).
공식 a x = a Cos α는 다음과 같습니다. 매우 자주문제를 해결할 때 발생하므로 반드시 알고 있어야 합니다. 투영을 결정하는 규칙을 알아야 합니다. 마음으로!
기억하다!
축에 대한 벡터의 투영을 찾으려면 이 벡터의 계수에 축 방향과 벡터 방향 사이의 각도의 코사인을 곱해야 합니다.
다시 한번 - 마음으로!
