1은 소수이다. 소수: 풀리지 않은 수수께끼의 평범함

하나를 제외한 모든 자연수는 소수와 합성수로 나뉜다. 소수(Prime Number)는 약수가 2개(약수 1과 자기 자신)뿐인 자연수입니다.. 나머지는 모두 복합이라고 합니다. 소수의 속성에 대한 연구는 수학의 특수 분야인 숫자 이론에 의해 수행됩니다. 고리 이론에서 소수는 환원 불가능한 원소와 관련이 있습니다.

다음은 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73으로 시작하는 소수의 시퀀스입니다. , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... 등.

산술의 기본 정리에 따르면, 1보다 큰 모든 자연수는 소수의 곱으로 표현될 수 있습니다. 동시에 이는 유일한 방법제출물 자연수요인의 순서까지. 이를 바탕으로 소수는 자연수의 기본 부분이라고 말할 수 있습니다.

자연수를 이렇게 표현하는 것을 자연수를 소수로 분해하는 것 또는 숫자의 인수분해라고 합니다.

소수를 계산하는 가장 오래되고 효과적인 방법 중 하나는 "에라스토페네스의 체"입니다.

실습에 따르면 에라스토페네스 체를 사용하여 소수를 계산한 후 주어진 숫자가 소수인지 확인해야 합니다. 이러한 목적으로 설계됨 특수 테스트, 소위 소수성 테스트. 이러한 테스트의 알고리즘은 확률적입니다. 이는 암호화에 가장 자주 사용됩니다.

그건 그렇고, 일부 숫자 클래스에는 전문화된 효과적인 소수성 테스트가 있습니다. 예를 들어, 메르센 수의 소수성을 확인하려면 Luc-Lehmer 테스트를 사용하고, 페르마 수의 소수성을 확인하려면 Pepin 테스트를 사용합니다.

우리 모두는 숫자가 무한히 많다는 것을 알고 있습니다. 문제는 당연히 발생합니다. 그렇다면 소수는 몇 개입니까? 소수의 개수도 무한합니다. 이 명제의 가장 오래된 증거는 원소론에 나와 있는 유클리드의 증명입니다. 유클리드의 증명은 다음과 같습니다.

소수의 개수가 유한하다고 가정해보자. 곱하고 하나를 더해 봅시다. 결과 숫자는 소수의 유한 집합으로 나눌 수 없습니다. 왜냐하면 소수로 나눈 나머지가 1이 되기 때문입니다. 따라서 숫자는 이 집합에 포함되지 않은 일부 소수로 나누어져야 합니다.

소수 분포 정리는 π(n)으로 표시되는 n보다 작은 소수의 수는 n / ln(n)으로 증가한다고 명시합니다.

수천 년 동안 소수를 연구한 끝에 알려진 가장 큰 소수는 243112609 − 1입니다. 이 숫자는 12,978,189개의 십진수를 가지며 메르센 소수(M43112609)입니다. 이 발견은 2008년 8월 23일 uCLA 대학 수학부에서 메르센 소수 프로젝트 GIMPS에 대한 분산 검색의 일부로 이루어졌습니다.

집 독특한 특징메르센 수는 매우 효과적인 Luc-Lemaire 소수 테스트의 존재입니다. 그것의 도움으로 메르센 소수는 오랜 기간 동안 알려진 가장 큰 소수가 되었습니다.

그러나 오늘날까지 소수에 관한 많은 질문에 정확한 답변을 얻지 못했습니다. 제5차 국제 수학 회의에서 Edmund Landau는 소수 분야의 주요 문제를 공식화했습니다.

골드바흐의 문제 또는 란다우의 첫 번째 문제는 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현될 수 있고, 5보다 큰 모든 홀수는 합으로 표현될 수 있다는 것을 증명하거나 반증해야 한다는 것입니다. 세 가지 간단한숫자.
Landau의 두 번째 문제는 질문에 대한 답을 찾는 것입니다. "소수 쌍둥이"(차이가 2인 소수)의 무한한 집합이 있습니까?
Legendre의 추측 또는 Landau의 세 번째 문제는 다음과 같습니다. n2와 (n + 1)2 사이에 항상 소수가 있다는 것이 사실입니까?
Landau의 네 번째 문제: n2 + 1 형식의 소수 집합은 무한합니까?
위의 문제 외에도 피보나치수, 페르마수 등 많은 정수열에서 무한수의 소수를 구하는 문제가 있다.

고대 그리스 시대부터 소수는 수학자들에게 매우 매력적인 존재였습니다. 그들은 끊임없이 찾고 있다 다른 방법위치이지만 대부분 효율적인 방법으로소수를 '잡는' 방법은 알렉산드리아의 천문학자이자 수학자 에라토스테네스가 발견한 방법으로 간주됩니다. 이 방법은 이미 2000년 정도 됐습니다.

어떤 숫자가 소수인가

소수를 결정하는 방법은 무엇입니까? 많은 숫자는 나머지를 남기지 않고 다른 숫자로 나눌 수 있습니다. 정수를 나누는 숫자를 제수라고 합니다.

이 경우에는 나머지가 없는 나눗셈에 대해 이야기하고 있습니다. 예를 들어, 숫자 36은 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18로 나눌 수 있고 그 자체로 즉 36으로 나눌 수 있습니다. 이는 36에 9개의 약수가 있음을 의미합니다. 숫자 23은 자신과 1로만 나눌 수 있습니다. 즉, 이 숫자에는 2개의 약수가 있습니다. 이 숫자는 소수입니다.

약수가 2개만 있는 수를 소수라고 합니다. 즉, 나머지 없이 자기 자신과 1로만 나누어 떨어지는 수를 소수라고 합니다.

수학자에게 가설을 세우는 데 사용할 수 있는 일련의 숫자에서 패턴을 발견하는 것은 매우 보람 있는 경험입니다. 그러나 소수는 어떤 패턴도 따르기를 거부합니다. 그러나 소수를 결정하는 방법이 있습니다. 이 방법은 에라토스테네스에 의해 발견되었으며, 이를 "에라토스테네스의 체"라고 합니다. 최대 48까지의 숫자 표 형태로 제공되는 이러한 "체"의 버전을 살펴보고 그것이 어떻게 컴파일되는지 이해해 보겠습니다.

이 표에는 48보다 작은 모든 소수가 표시되어 있습니다. 주황색 . 그들은 다음과 같이 발견되었습니다:

1 – 단일 제수가 있으므로 소수가 아닙니다.
2는 가장 작은 소수이고 유일한 짝수입니다. 다른 모든 짝수는 2로 나누어지기 때문에, 즉 최소한 3개의 약수가 있으므로 이 숫자는 다음과 같이 줄어듭니다. 보라색 기둥;
3은 소수이고 두 개의 약수가 있으며 3으로 나눌 수 있는 다른 모든 숫자는 제외됩니다. 이 숫자는 노란색 열에 요약되어 있습니다. 보라색과 노란색으로 표시된 열에는 2와 3으로 나누어지는 숫자가 포함되어 있습니다.
5는 소수이며, 5로 나누어지는 모든 숫자는 제외됩니다. 이 숫자는 녹색 타원으로 둘러싸여 있습니다.
7은 소수입니다. 7로 나눌 수 있는 모든 숫자는 빨간색 타원으로 표시됩니다. 이는 소수가 아닙니다.

소수가 아닌 모든 숫자는 파란색으로 표시됩니다. 그런 다음 이 테이블을 이미지와 모양으로 직접 컴파일할 수 있습니다.

소수 2000년 이상 동안 과학자와 일반 시민들의 관심을 끌었던 가장 흥미로운 수학적 현상 중 하나를 나타냅니다. 우리는 현재 컴퓨터와 가장 현대적인 정보 프로그램 시대에 살고 있음에도 불구하고 소수에 대한 많은 수수께끼가 아직 해결되지 않았습니다. 과학자들이 접근하는 방법을 모르는 것도 있습니다.

소수는 초등 산술 과정에서 알 수 있듯이 나머지 없이 1과 자기 자신으로만 나누어지는 숫자입니다. 그런데 자연수가 위에 나열된 숫자 외에도 다른 숫자로 나누어지면 합성수라고 합니다. 가장 유명한 정리 중 하나는 모든 합성수는 소수의 고유한 곱으로 표현될 수 있다는 것입니다.

몇 가지 흥미로운 사실. 첫째, 이 단위는 실제로 소수나 합성수에 속하지 않는다는 점에서 독특합니다. 동시에 과학계에서는 공식적으로 요구 사항을 완전히 충족하기 때문에 첫 번째 그룹에서 구체적으로 분류하는 것이 여전히 관례입니다.

둘째, "소수" 그룹에 압착된 유일한 짝수는 당연히 2개입니다. 다른 짝수는 여기에 올 수 없습니다. 정의에 따라 자신과 1 외에 2로도 나눌 수 있기 때문입니다.

위에서 언급한 것처럼 목록이 1로 시작될 수 있는 소수는 일련의 자연수만큼 무한한 무한 계열을 나타냅니다. 산술의 기본 정리에 기초하여 우리는 소수는 결코 중단되지 않고 끝나지 않는다는 결론에 도달할 수 있습니다. 그렇지 않으면 자연수 계열이 필연적으로 중단될 것이기 때문입니다.

소수는 첫눈에 보일 수 있으므로 자연 계열에서 무작위로 나타나지 않습니다. 주의 깊게 분석하면 몇 가지 기능을 즉시 확인할 수 있으며 그 중 가장 흥미로운 것은 소위 "쌍둥이"숫자와 관련이 있습니다. 그들은 이해할 수 없는 방식으로 짝수 구분 기호(5와 7, 17과 19)로만 구분되어 서로 옆에 있게 되었기 때문에 그렇게 불립니다.

자세히 살펴보면 이 숫자들의 합이 항상 3의 배수라는 것을 알 수 있습니다. 또한 왼쪽을 3으로 나누면 나머지는 항상 2로 남고 오른쪽은 항상 1로 남습니다. 또한, 이 전체 계열을 진동 정현파 형태로 상상하면 자연 계열에 대한 이러한 숫자의 분포 자체를 예측할 수 있으며, 그 주요 지점은 숫자를 3과 2로 나눌 때 형성됩니다.

소수는 전 세계 수학자들의 면밀한 고려 대상일 뿐만 아니라 무엇보다도 암호학의 기초가 되는 다양한 일련의 숫자를 편집하는 데 오랫동안 성공적으로 사용되어 왔습니다. 이러한 놀라운 요소와 관련된 수많은 미스터리가 여전히 해결되기를 기다리고 있다는 점을 인식해야 합니다. 많은 질문은 철학적일 뿐만 아니라 실제적인 중요성도 가지고 있습니다.

소수란 자기 자신과 1로만 나누어 떨어지는 자연수를 말합니다.

나머지 숫자를 합성수라고 합니다.

소수의 자연수

하지만 모든 자연수가 소수인 것은 아닙니다.

소수 자연수는 자신과 1로만 나누어 떨어지는 숫자입니다.

소수의 예:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

소수 정수

자연수만이 소수라는 결론이 나옵니다.

이는 소수가 반드시 자연수라는 것을 의미합니다.

그러나 모든 자연수는 정수이기도 합니다.

따라서 모든 소수는 정수이다.

소수의 예:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

소수라도

짝수는 단 하나, 즉 숫자 2뿐입니다.

다른 모든 소수는 홀수입니다.

왜 2보다 큰 짝수는 소수가 될 수 없나요?

그러나 2보다 큰 짝수는 1이나 2로 나누어지는 것이 아니라 그 자체로 나누어지기 때문에, 그러한 수는 항상 3개의 약수를 가지게 되며 그 이상도 가능하게 됩니다.

이 기사에서는 소수와 합성수의 개념에 대해 설명합니다. 그러한 숫자의 정의는 예와 함께 제공됩니다. 우리는 소수의 개수가 무제한이라는 증거를 제공하고 이를 에라토스테네스의 방법을 사용하여 소수 표에 기록할 것입니다. 숫자가 소수인지 합성수인지를 결정하는 증거가 제공됩니다.

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소수와 합성수 - 정의 및 예

소수와 합성수는 양의 정수로 분류됩니다. 1보다 커야 합니다. 제수는 또한 단순 및 복합으로 나뉩니다. 합성수의 개념을 이해하려면 먼저 제수와 배수의 개념을 공부해야 합니다.

정의 1

소수는 1보다 크고 두 개의 양의 약수, 즉 자신과 1을 갖는 정수입니다.

정의 2

합성수는 1보다 크고 양의 약수가 3개 이상 있는 정수입니다.

하나는 소수도 아니고 합성수도 아니다. 양수 제수는 하나만 있으므로 다른 모든 양수와 다릅니다. 모든 양의 정수를 자연수라고 하며, 즉 계산에 사용됩니다.

정의 3

소수양의 약수가 2개만 있는 자연수입니다.

정의 4

합성수양의 약수가 2개 이상인 자연수입니다.

1보다 큰 숫자는 소수이거나 합성수입니다. 나눗셈의 법칙에 따르면 1과 숫자 a는 항상 임의의 숫자 a에 대한 약수가 됩니다. 즉, 그 자체로나 1로도 나누어질 수 있습니다. 정수의 정의를 봅시다.

정의 5

소수가 아닌 자연수를 합성수라고 합니다.

소수: 2, 3, 11, 17, 131, 523. 그들은 자기 자신과 1로만 나눌 수 있습니다. 합성수: 6, 63, 121, 6697. 즉, 숫자 6은 2와 3으로, 63은 1, 3, 7, 9, 21, 63, 121은 11, 11로 분해될 수 있습니다. 즉, 약수는 1, 11, 121이 됩니다. 숫자 6697은 37과 181로 분해됩니다. 소수와 상호소수의 개념은 서로 다른 개념이라는 점에 유의하세요.

소수를 더 쉽게 사용하려면 테이블을 사용해야 합니다.

기존의 모든 자연수에 대한 표는 무한한 수가 있기 때문에 비현실적입니다. 숫자가 10000 또는 1000000000의 크기에 도달하면 에라토스테네스의 체 사용을 고려해야 합니다.

마지막 진술을 설명하는 정리를 고려해 봅시다.

정리 1

1보다 큰 자연수의 1 이외의 가장 작은 양의 약수는 소수이다.

증거 1

a가 1보다 큰 자연수이고, b가 a의 1이 아닌 최소 약수라고 가정해 보겠습니다. 모순의 방법을 이용하여 b가 소수임을 증명해야 한다.

b가 합성수라고 가정해보자. 여기서 우리는 b에 대한 약수가 있다는 것을 알 수 있는데, 이는 1뿐만 아니라 b와도 다릅니다. 이러한 제수는 b 1로 표시됩니다. 조건 1이 필요합니다.< b 1 < b 완료되었습니다.

조건으로부터 a는 b로 나누어지고, b는 b 1로 나누어진다는 것이 분명하며, 이는 가분성의 개념이 다음과 같이 표현된다는 것을 의미합니다. a = bq그리고 b = b 1 · q 1 , 여기서 a = b 1 · (q 1 · q) , 여기서 q와 q 1정수입니다. 정수 곱셈의 규칙에 따르면 정수의 곱은 a = b 1 · (q 1 · q) 형식의 정수가 됩니다. b1임을 알 수 있다. 는 숫자 a의 제수입니다. 불평등 1< b 1 < b 아니다왜냐하면 b는 a의 가장 작은 양수이고 1이 아닌 약수이기 때문입니다.

정리 2

소수의 개수는 무한합니다.

증거 2

아마도 우리는 유한한 수의 자연수 n을 취하여 이를 p 1, p 2, …, p n으로 표시합니다. 표시된 것과 다른 소수를 찾는 옵션을 고려해 보겠습니다.

p 1, p 2, ..., p n + 1과 같은 숫자 p를 고려해 보겠습니다. p 1, p 2, ..., p n 형식의 소수에 해당하는 각 숫자와 동일하지 않습니다. 숫자 p는 소수입니다. 그러면 정리가 증명된 것으로 간주됩니다. 합성인 경우 p n + 1 표기법을 사용해야 합니다. 그리고 제수가 p 1, p 2, ..., p n 중 어느 것과도 일치하지 않음을 보여줍니다.

그렇지 않다면, 곱의 분할성 속성에 기초하여 p 1, p 2, ..., p n , 우리는 그것이 pn + 1로 나누어질 수 있음을 발견했습니다. 표현 p n + 1 숫자 p를 나누면 합이 p 1, p 2, ..., p n + 1과 같습니다. 우리는 표현 p n + 1을 얻습니다. 이 합의 두 번째 항인 1은 나누어져야 하지만 이는 불가능합니다.

주어진 소수 중에서 임의의 소수를 찾을 수 있음을 알 수 있습니다. 소수는 무한히 많다는 것을 알 수 있습니다.

소수가 많기 때문에 테이블은 100, 1000, 10000 등의 숫자로 제한됩니다.

소수 테이블을 컴파일할 때 이러한 작업에는 2부터 100까지 숫자를 순차적으로 확인해야 한다는 점을 고려해야 합니다. 제수가 없으면 표에 기록되고, 합성이면 표에 입력되지 않습니다.

단계별로 살펴보겠습니다.

숫자 2로 시작하면 약수는 2개(2와 1)만 있으므로 테이블에 입력할 수 있습니다. 숫자 3과 동일합니다. 숫자 4는 합성수입니다. 2와 2로 분해되어야 합니다. 숫자 5는 소수이므로 표에 기록할 수 있습니다. 100번까지 이렇게 해보세요.

이 방법은 불편하고 시간이 많이 걸립니다. 테이블을 만들 수 있지만 비용이 많이 듭니다 큰 수시간. 제수를 찾는 과정을 가속화하는 나눗셈 기준을 사용할 필요가 있습니다.

에라토스테네스의 체를 이용하는 방법이 가장 편리한 것으로 여겨진다. 아래 표를 예시로 살펴보겠습니다. 우선 숫자 2, 3, 4, ..., 50이 기록됩니다.

이제 2의 배수인 모든 숫자를 지워야 합니다. 연속 취소선을 수행합니다. 우리는 다음과 같은 테이블을 얻습니다.

5의 배수인 숫자를 지우는 작업으로 넘어갑니다. 우리는 다음을 얻습니다:

7, 11의 배수인 숫자를 지웁니다. 결국 테이블은 다음과 같습니다.

정리의 공식화로 넘어 갑시다.

정리 3

밑수 a의 가장 작은 양수이자 1이 아닌 약수는 a를 초과하지 않습니다. 여기서 a는 산술 루트주어진 숫자.

증거 3

b로 지정되어야 함 최소 제수합성수 가. a = b · q인 정수 q가 있고, b ≤ q가 됩니다. 형식의 불평등은 허용되지 않습니다. 비 > q,조건을 위반했기 때문이다. 부등식 b ≤ q의 양변에 임의의 값을 곱해야 합니다. 정수 b는 1과 같지 않습니다. 우리는 b · b ≤ b · q를 얻습니다. 여기서 b 2 ≤ a이고 b ≤ a입니다.

입증된 정리에 따르면 표의 숫자를 지우면 b 2와 동일한 숫자로 시작하고 부등식 b 2 ≤ a를 충족해야 한다는 사실이 분명해집니다. 즉, 2의 배수인 숫자를 지우면 프로세스는 4로 시작하고 3의 배수는 9로 시작하여 100까지 계속됩니다.

에라토스테네스의 정리를 사용하여 이러한 표를 작성하면 모든 합성수를 지울 때 n을 초과하지 않는 소수가 유지된다는 것을 알 수 있습니다. n = 50인 예에서는 n = 50입니다. 여기에서 에라토스테네스의 체는 의미가 없는 모든 합성수를 걸러낸다는 것을 알 수 있습니다. 더 큰 가치 50의 루트. 숫자 검색은 줄을 그어서 수행됩니다.

문제를 풀기 전에 숫자가 소수인지 합성인지 확인해야 합니다. 분할성 기준이 자주 사용됩니다. 아래 예에서 이를 살펴보겠습니다.

실시예 1

숫자 898989898989898989가 합성수임을 증명하세요.

해결책

주어진 숫자의 자릿수 합은 9 8 + 9 9 = 9 17입니다. 이는 9의 나눗셈 테스트에 따르면 숫자 9 · 17이 9로 나누어진다는 의미입니다. 따라하니 합성이네요.

그러한 기호는 숫자의 소수를 증명할 수 없습니다. 확인이 필요한 경우 다른 조치를 취해야 합니다. 가장 적합한 방법은 숫자를 열거하는 것입니다. 이 과정에서 소수와 합성수를 찾을 수 있습니다. 즉, 숫자는 in 값을 초과해서는 안 됩니다. 즉, 숫자 a는 다음으로 분해되어야 합니다. 소인수. 이것이 만족되면 숫자 a는 소수로 간주될 수 있습니다.

실시예 2

합성수 또는 소수 11723을 결정합니다.

해결책

이제 숫자 11723에 대한 모든 제수를 찾아야 합니다. 11723을 평가해야 합니다.

여기에서 우리는 11723을 볼 수 있습니다.< 200 , то 200 2 = 40 000 및 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 적은 수 200 .

숫자 11723을 더 정확하게 추정하려면 108 2 = 11 664라는 표현식을 작성해야 합니다. 109 2 = 11 881 , 저것 108 2 < 11 723 < 109 2 . 11723이 나옵니다.< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

확장하면 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 은 모두 소수입니다. 모두 이 과정열에 의한 구분으로 묘사될 수 있습니다. 즉, 11723을 19로 나눕니다. 숫자 19는 나머지 없이 나눗셈을 하기 때문에 그 인수 중 하나입니다. 나누기를 열로 표현해 보겠습니다.