Što znači funkcija f od x. Što je funkcija i njena svojstva. Translacija duž x-osi

1) Opseg funkcije i raspon funkcija.

Opseg funkcije je skup svih valjanih valjanih vrijednosti argumenta x(promjenjivo x) za koje je funkcija y = f(x) definiran. Raspon funkcije je skup svih realnih vrijednosti y da funkcija prihvaća.

U osnovnoj matematici funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.

2) Nule funkcije.

Nula funkcije je vrijednost argumenta kod koje je vrijednost funkcije jednaka nuli.

3) Intervali konstantnosti predznaka funkcije.

Intervali konstantnog predznaka funkcije su takvi skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.

4) Monotonost funkcije.

Povećana funkcija (u određenom intervalu) je funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Opadajuća funkcija (u nekom intervalu) - funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

5) Parne (neparne) funkcije.

Parna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje x iz domene definicije jednakost f(-x) = f(x). Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na y-os.

Neparna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje x iz domene definicije jednakost f(-x) = - f(x). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

6) Ograničene i neograničene funkcije.

Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takvog broja nema, funkcija je neograničena.

7) Periodičnost funkcije.

Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T koji nije nula takav da je za bilo koji x iz domene funkcije f(x+T) = f(x). Ovaj najmanji broj naziva se period funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodične. (Trigonometrijske formule).

19. Osnovne elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi. Primjena funkcija u gospodarstvu.

Osnovne elementarne funkcije. Njihova svojstva i grafovi

1. Linearna funkcija.

Linearna funkcija naziva se funkcija oblika , gdje je x varijabla, a i b su realni brojevi.

Broj a nazvan nagibom ravne, jednak je tangenti kuta nagiba ove ravne na pozitivan smjer osi x. Graf linearne funkcije je ravna linija. Definiran je s dvije točke.

Svojstva linearne funkcije

1. Domena definicije - skup svih realnih brojeva: D (y) \u003d R

2. Skup vrijednosti je skup svih realnih brojeva: E(y)=R

3. Funkcija uzima nultu vrijednost za ili.

4. Funkcija raste (opada) u cijeloj domeni definicije.

5. Linearna funkcija je kontinuirana na cijeloj domeni definicije, diferencibilna i .

2. Kvadratna funkcija.

Funkcija oblika, gdje je x varijabla, a koeficijenti a, b, c su realni brojevi, naziva se kvadratna.

Funkcija y=f(x) je takva ovisnost varijable y o varijabli x kada svaka valjana vrijednost varijable x odgovara jednoj vrijednosti varijable y.

Opseg funkcije D(f) je skup svih mogućih vrijednosti varijable x.

Raspon funkcija E(f) je skup svih valjanih vrijednosti varijable y.

Grafikon funkcije y=f(x) je skup ravninskih točaka čije koordinate zadovoljavaju zadanu funkcionalnu ovisnost, odnosno točaka oblika M (x; f(x)) . Graf funkcije je pravac na ravnini.

Ako je b=0, tada će funkcija poprimiti oblik y=kx i bit će pozvana izravna proporcionalnost.

D(f) : x \u R;\enprostor E(f) : y \u R

Graf linearne funkcije je ravna linija.

Nagib k ravne linije y=kx+b izračunava se pomoću sljedeće formule:

k= tg \alpha , gdje je \alpha kut nagiba ravne linije prema pozitivnom smjeru osi Ox.

1) Funkcija monotono raste za k > 0 .

Na primjer: y=x+1

2) Funkcija monotono opada kao k< 0 .

Na primjer: y=-x+1

3) Ako je k=0, tada dajući b proizvoljnih vrijednosti, dobivamo obitelj ravnih linija paralelnih s osi Ox.

Na primjer: y=-1

Obrnuta proporcionalnost

Obrnuta proporcionalnost naziva se funkcija oblika y=\frac (k)(x), gdje je k realni broj različit od nule

D(f) : x \in \lijevo \( R/x \neq 0 \desno \); \: E(f) : y \in \lijevo \(R/y \neq 0 \desno \).

Grafikon funkcije y=\frac (k)(x) je hiperbola.

1) Ako je k > 0, tada će se graf funkcije nalaziti u prvoj i trećoj četvrtini koordinatne ravnine.

Na primjer: y=\frac(1)(x)

2) Ako je k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Na primjer: y=-\frac(1)(x)

Funkcija snage

Funkcija snage je funkcija oblika y=x^n , gdje je n realni broj različit od nule

1) Ako je n=2, tada je y=x^2. D(f): x \u R; \: E(f) : y \in; glavni period funkcije T=2 \pi

Po mišljenju nekih znanstvenika, glavna svrha grafova je njihov značaj za heurističke aktivnosti – ilustracije za prikaz teorije i prije svega navođenje primjera i protuprimjera za dokazivanje ili pobijanje povezanosti između različitih svojstava funkcija, tj. korištenje matematičke dvojezičnosti razvijeno u skladu sa zahtjevima standarda "dvojezičnog" mišljenja.

Logaritamska funkcija našla je široku primjenu u astronomiji : Na primjer, svjetlina zvijezda se mijenja duž njega, ako usporedimo karakteristike svjetline označene okom i uz pomoć instrumenata, onda možemo nacrtati sljedeći grafikon: Ovdje, duž okomite osi, crtamo sjaj zvijezda u Hiparhovim jedinicama (raspodjela zvijezda prema subjektivnim karakteristikama (okom) u 6 skupina) , a na horizontalnim - očitanja instrumenta. Grafikon pokazuje da objektivne i subjektivne karakteristike nisu proporcionalne, a uređaj bilježi povećanje svjetline ne za isti iznos, već za 2,5 puta. Ova ovisnost se izražava logaritamskom funkcijom.

Razmotrite kako su izgrađeni.

Odaberemo pravokutni koordinatni sustav na ravnini i iscrtamo vrijednosti argumenta na osi apscise x, a na y-osi - vrijednosti funkcije y = f(x) .

Grafikon funkcije y = f(x) poziva se skup svih točaka za koje apscise pripadaju domeni funkcije, a ordinate su jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije.

Drugim riječima, graf funkcije y \u003d f (x) je skup svih točaka u ravnini, koordinata X, na koji zadovoljavaju odnos y = f(x) .

Na sl. 45 i 46 su grafovi funkcija y = 2x + 1 i y \u003d x 2 - 2x .

Strogo govoreći, treba razlikovati graf funkcije (čija je točna matematička definicija data gore) i nacrtanu krivulju, koja uvijek daje samo manje ili više točnu skicu grafa (a čak i tada, u pravilu, ne cijelog grafa, već samo njegovog dijela koji se nalazi u završnim dijelovima ravnine). Međutim, u onome što slijedi obično ćemo se pozivati ​​na "grafikon", a ne na "skicu grafikona".

Pomoću grafa možete pronaći vrijednost funkcije u točki. Naime, ako je točka x = a spada u opseg funkcije y = f(x), zatim da biste pronašli broj fa)(tj. vrijednosti funkcije u točki x = a) trebao bi to učiniti. Treba kroz točku s apscisom x = a nacrtati ravnu liniju paralelnu s y-osi; ova linija će presijecati graf funkcije y = f(x) u jednom trenutku; ordinata ove točke bit će, na temelju definicije grafa, jednaka fa)(slika 47).

Na primjer, za funkciju f (x) \u003d x 2 - 2x pomoću grafa (slika 46) nalazimo f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, itd.

Funkcijski graf vizualno ilustrira ponašanje i svojstva funkcije. Na primjer, iz razmatranja Sl. 46 jasno je da funkcija y \u003d x 2 - 2x uzima pozitivne vrijednosti kada x< 0 i na x > 2, negativan - na 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x prihvaća na x = 1 .

Za crtanje funkcije f(x) trebate pronaći sve točke ravnine, koordinate x , na koji zadovoljavaju jednadžbu y = f(x). U većini slučajeva to je nemoguće, jer takvih točaka ima beskonačno mnogo. Stoga je graf funkcije prikazan približno - s većom ili manjom točnošću. Najjednostavnija je metoda crtanja u više točaka. Sastoji se u tome da argument x dajte konačan broj vrijednosti - recimo, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k i napravite tablicu koja uključuje odabrane vrijednosti funkcije.

Tablica izgleda ovako:

Nakon što smo sastavili takvu tablicu, možemo ocrtati nekoliko točaka na grafu funkcije y = f(x). Zatim, povezujući ove točke glatkom linijom, dobivamo približan prikaz grafa funkcije y = f(x).

Međutim, treba napomenuti da je metoda crtanja u više točaka vrlo nepouzdana. Zapravo, ponašanje grafa između označenih točaka i njegovo ponašanje izvan segmenta između uzetih ekstremnih točaka ostaje nepoznato.

Primjer 1. Za crtanje funkcije y = f(x) netko je sastavio tablicu vrijednosti argumenata i funkcija:

Odgovarajućih pet točaka prikazano je na Sl. 48.

Na temelju položaja tih točaka zaključio je da je graf funkcije ravna crta (na slici 48. prikazana točkastom linijom). Može li se ovaj zaključak smatrati pouzdanim? Osim ako nema dodatnih razmatranja u prilog ovom zaključku, teško se može smatrati pouzdanim. pouzdan.

Da bismo potkrijepili našu tvrdnju, razmotrimo funkciju

.

Proračuni pokazuju da su vrijednosti ove funkcije u točkama -2, -1, 0, 1, 2 upravo opisane gornjom tablicom. Međutim, graf ove funkcije uopće nije ravna crta (prikazano je na slici 49). Drugi primjer je funkcija y = x + l + sinx; njegova su značenja također opisana u gornjoj tablici.

Ovi primjeri pokazuju da je u svom "čistom" obliku metoda crtanja u više točaka nepouzdana. Stoga, za crtanje zadane funkcije, obično postupaju na sljedeći način. Najprije se proučavaju svojstva ove funkcije, uz pomoć kojih je moguće konstruirati skicu grafa. Zatim se izračunavanjem vrijednosti funkcije u nekoliko točaka (čiji izbor ovisi o zadanim svojstvima funkcije) pronalaze odgovarajuće točke grafa. I, konačno, kroz izgrađene točke se crta krivulja koristeći svojstva ove funkcije.

Kasnije ćemo razmotriti neka (najjednostavnija i najčešće korištena) svojstva funkcija koje se koriste za pronalaženje skice grafa, ali sada ćemo analizirati neke najčešće korištene metode za crtanje grafova.

Grafikon funkcije y = | f(x) |.

Često je potrebno iscrtati funkciju y = |f(x)|, gdje f(x) - zadanu funkciju. Prisjetite se kako se to radi. Po definiciji apsolutne vrijednosti broja, može se pisati

To znači da je graf funkcije y= | f(x) | može se dobiti iz grafa, funkcije y = f(x) kako slijedi: sve točke grafa funkcije y = f(x), čije ordinate nisu negativne, treba ostaviti nepromijenjene; dalje, umjesto točaka grafa funkcije y = f(x), s negativnim koordinatama, treba konstruirati odgovarajuće točke grafa funkcije y = -f(x)(tj. dio grafa funkcije
y = f(x), koji leži ispod osi X, treba reflektirati simetrično oko osi x).

Primjer 2 Nacrtajte funkciju y = |x|.

Uzimamo graf funkcije y = x(Sl. 50, a) i dio ovog grafa s x< 0 (leži ispod osi x) se simetrično reflektira oko osi x. Kao rezultat, dobivamo graf funkcije y = |x|(Slika 50, b).

Primjer 3. Nacrtajte funkciju y = |x 2 - 2x|.

Prvo crtamo funkciju y = x 2 - 2x. Graf ove funkcije je parabola, čije su grane usmjerene prema gore, vrh parabole ima koordinate (1; -1), njen graf siječe os apscise u točkama 0 i 2. Na intervalu (0; 2 ) funkcija poprima negativne vrijednosti, stoga se ovaj dio grafa odražava simetrično oko osi x. Slika 51 prikazuje graf funkcije y \u003d |x 2 -2x |, na temelju grafa funkcije y \u003d x 2 - 2x

Grafikon funkcije y = f(x) + g(x)

Razmotrimo problem crtanja funkcije y = f(x) + g(x). ako su dati grafovi funkcija y = f(x) i y = g(x) .

Imajte na umu da je domena funkcije y = |f(x) + g(h)| je skup svih onih vrijednosti x za koje su definirane obje funkcije y = f(x) i y = g(x), tj. ovo područje definicije je sjecište domena definicije, funkcija f(x) ) i g(x).

Pustite bodove (x 0, y 1) i (x 0, y 2) pripadaju grafovima funkcija y = f(x) i y = g(x), tj. g 1 \u003d f (x 0), y 2 = g (x 0). Tada točka (x0;. y1 + y2) pripada grafu funkcije y = f(x) + g(x)(za f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. i bilo koja točka grafa funkcije y = f(x) + g(x) može se dobiti na ovaj način. Dakle, graf funkcije y = f(x) + g(x) može se dobiti iz grafova funkcija y = f(x). i y = g(x) zamjenom svake točke ( x n, y 1) funkcionalna grafika y = f(x) točka (x n, y 1 + y 2), gdje y 2 = g(x n), tj. pomicanjem svake točke ( x n, y 1) graf funkcije y = f(x) duž osi na po iznosu y 1 \u003d g (x n). U ovom slučaju razmatraju se samo takve točke. x n za koji su definirane obje funkcije y = f(x) i y = g(x) .

Ova metoda crtanja grafa funkcije y = f(x) + g(x) naziva se zbrajanjem grafova funkcija y = f(x) i y = g(x)

Primjer 4. Na slici se metodom zbrajanja grafova konstruira graf funkcije
y = x + sinx .

Prilikom crtanja funkcije y = x + sinx pretpostavili smo da f(x) = x, a g(x) = sinx. Za izgradnju grafa funkcije odabiremo točke s apscisama -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5, , 1,5, 2. vrijednosti f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx izračunat ćemo na odabranim točkama i rezultate smjestiti u tablicu.

Na temelju dobivenih rezultata konstruirat ćemo točke koje ćemo povezati glatkom krivuljom koja će biti skica grafa funkcije y = x + sinx .

Funkcijski grafovi mogu se graditi ne samo ručno na točkama, već i uz pomoć raznih programa (excel, maple), kao i programiranjem u Pascalu. Proučavajući jezik Pascal, istovremeno ćete unaprijediti svoje znanje iz informatike, ali ćete također brzo moći graditi različite grafove funkcija. primjeri funkcija u Pascalu pomoći će vam razumjeti sintaksu jezika i sami izgraditi prve grafove.

Osnovna svojstva funkcija.

1) Opseg funkcije i raspon funkcija .

Opseg funkcije je skup svih valjanih valjanih vrijednosti argumenta x(promjenjivo x) za koje je funkcija y = f(x) definiran.
Raspon funkcije je skup svih realnih vrijednosti y da funkcija prihvaća.

U osnovnoj matematici funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.

2) Nule funkcije .

Funkcija nula je vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.

3) Intervali konstantnosti predznaka funkcije .

Intervali predznaka konstante funkcije su oni skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.

4) Monotonost funkcije .

Povećajuća funkcija (u nekom intervalu) – funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Opadajuća funkcija (u nekom intervalu) - funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

5) Parne (neparne) funkcije .

Parna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje x iz domene definicije jednakost f(-x) = f(x). Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na y-os.

Neparna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje x iz domene definicije jednakost f(-x) = - f(x). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

6) Ograničene i neograničene funkcije .

Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takvog broja nema, funkcija je neograničena.

7) Periodičnost funkcije .

Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T koji nije nula takav da je za bilo koji x iz domene funkcije f(x+T) = f(x). Ovaj najmanji broj naziva se period funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodične

Ako je zadan skup brojeva x i način f, čime za svaku vrijednost xЄ x odgovara samo jednom broju na. Tada se razmatra zadanu funkciju y = f(x), u kojem domena x(obično se spominje D(f) = x). Gomila Y sve vrijednosti na, za koji postoji barem jedna vrijednost xЄ x, takav da y = f(x), takav skup se zove skup vrijednosti funkcije f(najčešće se spominje E(f)= Y).

Ili ovisnost o jednoj varijabli na od drugog x, za koje je svaka vrijednost varijable x iz određenog skupa D odgovara jednoj vrijednosti varijable na, Zove se funkcija.

Funkcionalna ovisnost varijable y o x često se naglašava notacijom y(x), koja se čita pomoću y iz x.

Domena funkcije na(x), tj. skup vrijednosti njegovog argumenta x, označena simbolom D(y), koji se čita de od y.

Raspon vrijednosti funkcije na(x), tj. skup vrijednosti koje preuzima funkcija y označava se simbolom E(na), koji glasi e od Y.

Glavni načini definiranja funkcije su:

a) analitički(pomoću formule y = f(x)). Ova metoda također uključuje slučajeve kada je funkcija dana sustavom jednadžbi. Ako je funkcija dana formulom, tada su njezina domena definicije sve one vrijednosti argumenta za koje izraz napisan na desnoj strani formule ima vrijednosti.

b) tabelarni(koristeći tablicu odgovarajućih vrijednosti x i na). Na taj se način često postavlja temperaturni režim ili tečajevi, ali ova metoda nije tako jasna kao sljedeća;

u) grafički(pomoću grafikona). Ovo je jedan od najvizuelnijih načina postavljanja funkcije, budući da se promjene odmah "čitaju" prema grafikonu. Ako je funkcija na(x) je zadan grafom, a zatim njegova domena definicije D(y) je projekcija grafa na os x i raspon vrijednosti E(na) - projekcija grafa na os y (vidi sliku).

G) verbalni. Ova metoda se često koristi u problemima, odnosno u opisu njihovih stanja. Obično se ova metoda zamjenjuje jednom od gore navedenih.

Funkcije y = f(x), xЄ x, i y = g(x), xЄ x, se zovu identično jednaki na podskupu M S x ako za svaku x 0 Є M pravedna jednakost f(x 0) = g(x 0).

Grafikon funkcije y = f(x) može se predstaviti kao skup takvih točaka ( x; f(x)) na koordinatnoj ravnini, gdje x je proizvoljna varijabla od D(f). Ako je a f(x 0) = 0, gdje je x 0 zatim točka s koordinatama ( x 0; 0) je točka u kojoj je graf funkcije y = f(x) siječe se s O osi x. Ako je 0Ê D(f), zatim točka (0; f(0)) je točka u kojoj je graf funkcije na = f(x) siječe se s O osi na.

Broj x 0 od D(f) funkcije y = f(x) je nula funkcije, kada f(x 0) = 0.

jaz M S D(f) Ovo interval konstantnosti funkcije y = f(x) ako bilo za proizvoljno xЄ M pravo f(x) > 0, ili za proizvoljan xЄ M pravo f(x) < 0.

Tamo je uređaji, koji crtaju grafove ovisnosti između veličina. To su barografi - uređaji za fiksiranje ovisnosti atmosferskog tlaka o vremenu, termografi - uređaji za fiksiranje ovisnosti temperature o vremenu, kardiografi - uređaji za grafičko bilježenje aktivnosti srca. Termograf ima bubanj, ravnomjerno se okreće. Papir namotan na bubanj dodiruje se rekorderom koji se, ovisno o temperaturi, diže i spušta te povlači određenu crtu na papiru.

Od prikaza funkcije formulom, možete prijeći na njen prikaz u tablici i grafikonu.

Prilikom proučavanja matematike vrlo je važno razumjeti što je funkcija, njezina područja i značenja. Uz pomoć istraživanja funkcija do ekstrema mogu se riješiti mnogi problemi u algebri. Čak se i problemi u geometriji ponekad svode na razmatranje jednadžbi geometrijskih likova na ravnini.

Paralelni prijenos.

PRIJENOS UZ Y-OSI

f(x) => f(x) - b
Neka je potrebno nacrtati funkciju y \u003d f (x) - b. Lako je vidjeti da su ordinate ovog grafa za sve vrijednosti x na |b| jedinice manje od odgovarajućih ordinata grafa funkcija y = f(x) za b>0 i |b| jedinica više - na b 0 ili gore na b Za crtanje funkcije y + b = f(x), nacrtajte funkciju y = f(x) i pomaknite x-os na |b| jedinice gore za b>0 ili za |b| jedinice dolje na b

PRIJENOS UZ X-OSI

f(x) => f(x + a)
Neka je potrebno nacrtati funkciju y = f(x + a). Razmotrimo funkciju y = f(x), koja u nekoj točki x = x1 poprima vrijednost y1 = f(x1). Očito će funkcija y = f(x + a) poprimiti istu vrijednost u točki x2, čija je koordinata određena iz jednakosti x2 + a = x1, t.j. x2 = x1 - a, a razmatrana jednakost vrijedi za ukupnost svih vrijednosti iz domene funkcije. Stoga se graf funkcije y = f(x + a) može dobiti paralelnim pomicanjem grafa funkcije y = f(x) duž osi x ulijevo za |a| jedinice za a > 0 ili udesno za |a| jedinice za a Za crtanje funkcije y = f(x + a), nacrtajte funkciju y = f(x) i pomaknite y-os na |a| jedinice desno za a>0 ili |a| jedinice lijevo za a

primjeri:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Odraz.

GRAFIKANJE FUNKCIJE POGLEDA Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Očito, funkcije y = f(-x) i y = f(x) imaju jednake vrijednosti u točkama čije su apscise jednake po apsolutnoj vrijednosti, ali suprotne po predznaku. Drugim riječima, ordinate grafa funkcije y = f(-x) u području pozitivnih (negativnih) vrijednosti x bit će jednake ordinatama grafa funkcije y = f(x) s negativnim (pozitivnim) x vrijednostima koje odgovaraju apsolutnoj vrijednosti. Tako dobivamo sljedeće pravilo.
Da biste nacrtali funkciju y = f(-x), trebali biste nacrtati funkciju y = f(x) i prikazati je duž y-osi. Dobiveni graf je graf funkcije y = f(-x)

GRAFICANJE FUNKCIJE POGLEDA Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Ordinate grafa funkcije y = - f(x) za sve vrijednosti argumenta jednake su apsolutnoj vrijednosti, ali suprotne po predznaku od ordinata grafa funkcije y = f(x) za iste vrijednosti argumenta. Tako dobivamo sljedeće pravilo.
Da biste nacrtali funkciju y = - f(x), trebali biste nacrtati funkciju y = f(x) i odraziti je oko x-osi.

primjeri:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformacija.

DEFORMACIJA GRAFIKA UZ Y-OSI

f(x) => kf(x)
Razmotrimo funkciju oblika y = k f(x), gdje je k > 0. Lako je vidjeti da će za jednake vrijednosti argumenta ordinate grafa ove funkcije biti k puta veće od ordinata graf funkcije y = f(x) za k > 1 ili 1/k puta manje od ordinata grafa funkcije y = f(x) za k ) ili smanjiti njezine ordinate za 1/k puta za k
k > 1- koji se proteže od osi Ox
0 - kompresija na os OX

DEFORMACIJA GRAFIKA UZ X-OSI

f(x) => f(kx)
Neka je potrebno nacrtati funkciju y = f(kx), gdje je k>0. Razmotrimo funkciju y = f(x), koja uzima vrijednost y1 = f(x1) u proizvoljnoj točki x = x1. Očito, funkcija y = f(kx) uzima istu vrijednost u točki x = x2, čija je koordinata određena jednakošću x1 = kx2, a ova jednakost vrijedi za ukupnost svih vrijednosti x iz domenu funkcije. Posljedično, graf funkcije y = f(kx) je komprimiran (za k 1) duž osi apscise u odnosu na graf funkcije y = f(x). Tako dobivamo pravilo.
Da biste nacrtali funkciju y = f(kx), nacrtajte funkciju y = f(x) i smanjite njezinu apscisu za k puta za k>1 (smanjite graf duž apscise) ili povećajte njezinu apscisu za 1/k puta za k
k > 1- kompresija na os Oy
0 - koje se proteže od osi OY