Još uvijek jednakokraki trapez. Zapamtite i primijenite svojstva trapeza. Svojstva trapeznog kuta

Odsječak koji povezuje sredine dijagonala trapeza jednak je polovici razlike baza
Trokuti formirani od baza trapeza i odsječaka dijagonala do točke njihova sjecišta su slični
Trokuti formirani segmentima dijagonala trapeza, čije stranice leže na stranicama trapeza - jednaka površina (imaju istu površinu)
Produžimo li stranice trapeza prema manjoj osnovici, one će se u jednoj točki sijeći s ravnom linijom koja spaja sredine baza
Segment koji povezuje baze trapeza i prolazi kroz točku presjeka dijagonala trapeza, podijeljen je ovom točkom u omjeru jednakom omjeru duljina baza trapeza
Segment paralelan bazama trapeza i povučen kroz točku presjeka dijagonala prepolovljen je ovom točkom, a njegova duljina je 2ab / (a + b), gdje su a i b osnove trapeza

Svojstva segmenta koji povezuje sredine dijagonala trapeza

Spojite sredine dijagonala trapeza ABCD, kao rezultat toga ćemo imati segment LM.
Segment koji spaja sredine dijagonala trapeza leži na središnjoj liniji trapeza.

Ovaj segment paralelno s bazama trapeza.

Duljina segmenta koji povezuje sredine dijagonala trapeza jednaka je polurazlici njegovih baza.

LM = (AD - BC)/2
ili
LM = (a-b)/2

Svojstva trokuta formiranih dijagonalama trapeza

Trokuti koje tvore osnove trapeza i točka presjeka dijagonala trapeza - su slični.
Trokuti BOC i AOD su slični. Budući da su kutovi BOC i AOD okomiti, jednaki su.
Kutovi OCB i OAD su unutarnji poprečno koji leže na paralelnim linijama AD i BC (baze trapeza su međusobno paralelne) i sekanti AC, dakle, jednaki su.
Kutovi OBC i ODA jednaki su iz istog razloga (unutarnje križno ležanje).

Budući da su sva tri kuta jednog trokuta jednaka odgovarajućim kutovima drugog trokuta, ti su trokuti slični.

Što iz ovoga slijedi?

Za rješavanje problema iz geometrije koristi se sličnost trokuta na sljedeći način. Ako znamo duljine dvaju odgovarajućih elemenata sličnih trokuta, tada nalazimo koeficijent sličnosti (dijelimo jedan s drugim). Odakle su duljine svih ostalih elemenata međusobno povezane potpuno istom vrijednošću.

Svojstva trokuta koji leže na bočnoj strani i dijagonala trapeza

Promotrimo dva trokuta koja leže na stranicama trapeza AB i CD. To su trokuti AOB i COD. Unatoč činjenici da veličine pojedinih stranica ovih trokuta mogu biti potpuno različite, ali površine trokuta koje čine stranice i točka presjeka dijagonala trapeza su, odnosno trokuti su jednaki.

Ako su stranice trapeza proširene prema manjoj osnovici, tada će točka presjeka stranica biti podudaraju se s ravnom crtom koja prolazi središtem baza.

Dakle, svaki se trapez može produžiti na trokut. pri čemu:

Slični su trokuti koje čine osnove trapeza sa zajedničkim vrhom u točki presjeka proširenih stranica
Prava linija koja spaja sredine baza trapeza je ujedno i medijan konstruiranog trokuta

Svojstva segmenta koji povezuje osnovice trapeza

Ako nacrtate segment čiji krajevi leže na bazama trapeza, koji leži u točki presjeka dijagonala trapeza (KN), tada je omjer njegovih sastavnih segmenata od strane baze do točke presjeka trapeza dijagonale (KO / ON) bit će jednak omjeru baza trapeza(pr. Kr./Kr. Kr.).

KO/ON=BC/AD

Ovo svojstvo proizlazi iz sličnosti odgovarajućih trokuta (vidi gore).

Svojstva segmenta paralelnog s bazama trapeza

Ako nacrtate segment paralelan s bazama trapeza i koji prolazi kroz točku presjeka dijagonala trapeza, tada će imati sljedeća svojstva:

Unaprijed postavljena udaljenost (KM) prepolovi točku presjeka dijagonala trapeza
Dužina rezanja, prolazi točkom presjeka dijagonala trapeza i paralelno s bazama, jednaka je KM = 2ab/(a + b)

Formule za pronalaženje dijagonala trapeza

a, b- osnovice trapeza

c, d- stranice trapeza

d1 d2- dijagonale trapeza

α β - kutovi s većom bazom trapeza

Formule za pronalaženje dijagonala trapeza kroz osnovice, stranice i kutove u bazi

Prva skupina formula (1-3) odražava jedno od glavnih svojstava dijagonala trapeza:

1. Zbroj kvadrata dijagonala trapeza jednak je zbroju kvadrata stranica plus dvostruki umnožak njegovih baza. Ovo svojstvo dijagonala trapeza može se dokazati kao zaseban teorem

2 . Ova formula se dobiva transformacijom prethodne formule. Kvadrat druge dijagonale baca se preko znaka jednakosti, nakon čega se kvadratni korijen izdvaja iz lijeve i desne strane izraza.

3 . Ova formula za pronalaženje duljine dijagonale trapeza slična je prethodnoj, s tom razlikom što je na lijevoj strani izraza ostavljena još jedna dijagonala

Sljedeća skupina formula (4-5) slična je po značenju i izražava sličan odnos.

Grupa formula (6-7) omogućuje vam da pronađete dijagonalu trapeza ako znate veću bazu trapeza, jednu stranu i kut na bazi.

Formule za pronalaženje dijagonala trapeza u smislu visine

Bilješka. U ovoj lekciji dano je rješenje zadataka iz geometrije o trapezu. Ako niste pronašli rješenje za problem geometrije tipa koji vas zanima - postavite pitanje na forumu.

Zadatak.
Dijagonale trapeza ABCD (AD | | BC) sijeku se u točki O. Nađite duljinu osnovice BC trapeza ako je baza AD = 24 cm, duljina AO = 9 cm, duljina OS = 6 cm.

Odluka.
Rješenje ovog zadatka je ideologijski apsolutno identično prethodnim zadacima.

Trokuti AOD i BOC su slični u tri kuta - AOD i BOC su okomiti, a ostali kutovi su parno jednaki, jer nastaju presjekom jednog pravca i dvaju paralelnih pravaca.

Budući da su trokuti slični, sve su njihove geometrijske dimenzije međusobno povezane, kao što su nam poznate geometrijske dimenzije segmenata AO i OC prema uvjetu zadatka. tj

AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / pr.
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Odgovor: 16 cm

Zadatak .
U trapezu ABCD poznato je da je AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Pronađite površinu trapeza.

Odluka .
Da bismo pronašli visinu trapeza iz vrhova manje baze B i C, spuštamo dvije visine na veću bazu. Budući da je trapez nejednak, označavamo duljinu AM = a, duljinu KD = b ( ne smije se miješati sa simbolima u formuli pronalaženje površine trapeza). Budući da su osnovice trapeza paralelne i da smo izostavili dvije visine okomite na veću bazu, onda je MBCK pravokutnik.

Sredstva
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Trokuti DBM i ACK su pravokutni, pa su njihovi pravi kutovi formirani visinama trapeza. Označimo visinu trapeza sa h. Zatim po Pitagorinom teoremu

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
i
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Uzmite u obzir da je a \u003d 16 - b, zatim u prvoj jednadžbi
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Vrijednost kvadrata visine zamjenjujemo u drugu jednadžbu, dobivenu Pitagorinim teoremom. dobivamo:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Dakle, KD = 12
Gdje
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

Nađite površinu trapeza koristeći njegovu visinu i polovicu zbroja baza
, gdje je a b - osnovice trapeza, h - visina trapeza
S = (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2

Odgovor: površina trapeza je 80 cm2.

Trapez je poseban slučaj četverokuta u kojem je jedan par stranica paralelan. Izraz "trapez" dolazi od grčke riječi τράπεζα, što znači "stol", "stol". U ovom ćemo članku razmotriti vrste trapeza i njegova svojstva. Osim toga, shvatit ćemo kako izračunati pojedinačne elemente ovog primjera, dijagonalu jednakokračnog trapeza, srednju liniju, površinu itd. Materijal je predstavljen u stilu elementarne popularne geometrije, odnosno na lako dostupnom oblik.

Opće informacije

Prvo, shvatimo što je četverokut. Ova slika je poseban slučaj poligona koji sadrži četiri strane i četiri vrha. Dva vrha četverokuta koji nisu susjedni nazivaju se suprotnim. Isto se može reći i za dvije nesusjedne strane. Glavne vrste četverokuta su paralelogram, pravokutnik, romb, kvadrat, trapez i deltoid.

Dakle, vratimo se na trapez. Kao što smo već rekli, ova figura ima dvije strane koje su paralelne. Zovu se baze. Druge dvije (neparalelne) su stranice. U materijalima za ispite i razne testove često se mogu pronaći zadaci vezani uz trapeze, čije rješavanje često zahtijeva od studenta znanja koja nisu predviđena programom. Školski kolegij geometrije upoznaje učenike sa svojstvima kutova i dijagonala, kao i središnje linije jednakokračnog trapeza. No uostalom, osim ovoga, spomenuti geometrijski lik ima i druge značajke. Ali o njima kasnije...

Vrste trapeza

Postoji mnogo vrsta ove figure. Međutim, najčešće je uobičajeno uzeti u obzir dva od njih - jednakokračne i pravokutne.

1. Pravokutni trapez je lik kod kojeg je jedna od stranica okomita na osnovice. Ima dva kuta koja su uvijek devedeset stupnjeva.

2. Jednakokraki trapez je geometrijski lik čije su stranice jednake jedna drugoj. To znači da su kutovi na bazama također u paru jednaki.

Glavna načela metodologije za proučavanje svojstava trapeza

Glavno načelo je korištenje tzv. pristupa zadatku. Zapravo, nema potrebe uvoditi nova svojstva ove figure u teorijski tečaj geometrije. Mogu se otkriti i formulirati u procesu rješavanja raznih problema (boljih od sistemskih). Pritom je vrlo važno da učitelj zna koje zadatke treba postaviti učenicima u jednom ili drugom trenutku obrazovnog procesa. Štoviše, svako svojstvo trapeza može se predstaviti kao ključni zadatak u sustavu zadataka.

Drugi princip je takozvana spiralna organizacija proučavanja "izvanrednih" svojstava trapeza. To podrazumijeva povratak u procesu učenja na pojedinačne značajke zadanog geometrijskog lika. Tako ih učenici lakše pamte. Na primjer, svojstvo četiri točke. Može se dokazati kako u proučavanju sličnosti, tako i naknadno uz pomoć vektora. A jednaka površina trokuta koji su susjedni stranicama figure može se dokazati primjenom ne samo svojstava trokuta jednakih visina povučenih na stranice koje leže na istoj pravoj liniji, već i korištenjem formule S= 1/ 2(ab*sinα). Osim toga, možete vježbati na upisanom trapezu ili pravokutnom trokutu na opisanom trapezu itd.

Korištenje "vanprogramskih" značajki geometrijskog lika u sadržaju školskog predmeta je tehnologija zadatka za njihovo podučavanje. Stalno pozivanje na proučavana svojstva prilikom prolaska kroz druge teme omogućuje studentima dublje poznavanje trapeza i osigurava uspješnost rješavanja zadataka. Dakle, počnimo proučavati ovu divnu figuru.

Elementi i svojstva jednakokračnog trapeza

Kao što smo već primijetili, strane ove geometrijske figure su jednake. Također je poznat kao desni trapez. Zašto je tako izvanredan i zašto je dobio takvo ime? Značajke ove figure uključuju činjenicu da su ne samo stranice i kutovi u bazama jednaki, već i dijagonale. Također, zbroj kutova jednakokračnog trapeza je 360 stupnjeva. Ali to nije sve! Od svih poznatih trapeza samo se oko jednakokračnog može opisati kružnica. To je zbog činjenice da je zbroj suprotnih kutova ove figure 180 stupnjeva, a samo pod tim uvjetom može se opisati krug oko četverokuta. Sljedeće svojstvo geometrijskog lika koji se razmatra je da će udaljenost od osnovnog vrha do projekcije suprotnog vrha na ravnu liniju koja sadrži ovu bazu biti jednaka središnjoj liniji.

Sada ćemo shvatiti kako pronaći kutove jednakokračnog trapeza. Razmotrimo rješenje ovog problema, pod uvjetom da su poznate dimenzije stranica figure.

Odluka

Obično se četverokut obično označava slovima A, B, C, D, gdje su BS i AD baze. U jednakokračnom trapezu stranice su jednake. Pretpostavit ćemo da je njihova veličina X, a veličine baza Y i Z (manje, odnosno veće). Za izračun je potrebno povući visinu H iz kuta B. Rezultat je pravokutni trokut ABN, gdje je AB hipotenuza, a BN i AN kraci. Izračunavamo veličinu noge AN: od veće baze oduzimamo manju, a rezultat dijelimo s 2. Zapisujemo ga u obliku formule: (Z-Y) / 2 \u003d F. Sada, za izračunavanje oštri kut trokuta, koristimo funkciju cos. Dobivamo sljedeći zapis: cos(β) = H/F. Sada izračunavamo kut: β=arcos (H/F). Nadalje, znajući jedan kut, možemo odrediti drugi, za to izvodimo elementarnu aritmetičku operaciju: 180 - β. Svi kutovi su definirani.

Postoji i drugo rješenje za ovaj problem. Na početku spuštamo visinu H od kuta B. Izračunavamo vrijednost BN noge. Znamo da je kvadrat hipotenuze pravokutnog trokuta jednak zbroju kvadrata kateta. Dobivamo: BN \u003d √ (X2-F2). Zatim koristimo trigonometrijsku funkciju tg. Kao rezultat, imamo: β = arctg (BN / F). Pronađen oštar kut. Zatim određujemo na isti način kao i prva metoda.

Svojstvo dijagonala jednakokračnog trapeza

Zapišimo prvo četiri pravila. Ako su dijagonale jednakokračnog trapeza okomite, tada:

Visina figure bit će jednaka zbroju baza podijeljenih s dva;

Njegova visina i srednja linija su jednake;

Središte kružnice je točka u kojoj je ;

Ako je bočna strana podijeljena točkom dodira na segmente H i M, tada je jednaka kvadratnom korijenu umnoška tih segmenata;

Četverokut, koji su tvorile dodirne točke, vrh trapeza i središte upisane kružnice, je kvadrat čija je stranica jednaka polumjeru;

Površina lika jednaka je umnošku baza i umnoška polovice zbroja baza i njegove visine.

Slični trapezi

Ova tema je vrlo zgodna za proučavanje svojstava ove.Na primjer, dijagonale dijele trapez na četiri trokuta, a oni uz baze su slični, a oni uz stranice jednaki. Ovu tvrdnju možemo nazvati svojstvom trokuta na koje je trapez podijeljen svojim dijagonalama. Prvi dio ove tvrdnje dokazuje se kroz kriterij sličnosti u dva kuta. Za dokazivanje drugog dijela, bolje je koristiti metodu danu u nastavku.

Dokaz teorema

Prihvaćamo da je lik ABSD (AD i BS - baze trapeza) podijeljen dijagonalama VD i AC. Njihova točka presjeka je O. Dobivamo četiri trokuta: AOS - na donjoj bazi, BOS - na gornjoj bazi, ABO i SOD na stranicama. Trokuti SOD i BOS imaju zajedničku visinu ako su im segmenti BO i OD osnovice. Dobivamo da je razlika između njihovih površina (P) jednaka razlici između ovih segmenata: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Dakle, PSOD = PBOS / K. Slično, BOS i AOB trokuti imaju zajedničku visinu. Za baze uzimamo segmente CO i OA. Dobivamo PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K i PAOB \u003d PBOS / K. Iz ovoga slijedi da je PSOD = PAOB.

Za konsolidaciju gradiva učenicima se savjetuje da pronađu odnos između površina dobivenih trokuta na koje je dijagonala podijeljen trapez, rješavanjem sljedećeg zadatka. Poznato je da su površine trokuta BOS i AOD jednake, potrebno je pronaći površinu trapeza. Budući da je PSOD \u003d PAOB, to znači da je PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Iz sličnosti trokuta BOS i AOD slijedi da je BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Stoga je PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Dobivamo PSOD = √ (PBOS * PAOD). Tada je PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

svojstva sličnosti

Nastavljajući razvijati ovu temu, možemo dokazati druge zanimljive značajke trapeza. Dakle, koristeći sličnost, možete dokazati svojstvo segmenta koji prolazi kroz točku formiranu presjekom dijagonala ovog geometrijskog lika, paralelno s bazama. Da bismo to učinili, rješavamo sljedeći problem: potrebno je pronaći duljinu odsječka RK, koji prolazi točkom O. Iz sličnosti trokuta AOD i BOS slijedi da je AO/OS=AD/BS. Iz sličnosti trokuta AOP i ASB, slijedi da je AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Odavde dobivamo da RO \u003d BS * AD / (BS + AD). Slično, iz sličnosti trokuta DOK i DBS, slijedi da je OK \u003d BS * AD / (BS + AD). Odavde dobivamo da je RO=OK i RK=2*BS*AD/(BS+AD). Segment koji prolazi točkom presjeka dijagonala, paralelno s bazama i povezuje dvije stranice, podijeljen je točkom presjeka na pola. Njegova duljina je harmonijska sredina baza figure.

Razmotrimo sljedeće svojstvo trapeza, koje se naziva svojstvom četiri točke. Točke sjecišta dijagonala (O), sjecišta nastavka stranica (E), kao i sredine baza (T i W) uvijek leže na istoj liniji. To se lako dokazuje metodom sličnosti. Rezultirajući trokuti BES i AED su slični, a u svakom od njih medijani ET i EZH dijele kut na vrhu E na jednake dijelove. Prema tome, točke E, T i W leže na istoj pravoj liniji. Na isti se način na istoj pravoj liniji nalaze točke T, O i G. Sve to proizlazi iz sličnosti trokuta BOS i AOD. Iz ovoga zaključujemo da će sve četiri točke - E, T, O i W - ležati na jednoj pravoj liniji.

Koristeći slične trapeze, od učenika se može tražiti da pronađu duljinu segmenta (LF) koji lik dijeli na dva slična. Ovaj segment bi trebao biti paralelan s bazama. Budući da su rezultirajući trapezi ALFD i LBSF slični, onda je BS/LF=LF/BP. Iz toga slijedi da je LF=√(BS*BP). Dobivamo da segment koji dijeli trapez na dva slična ima duljinu jednaku geometrijskoj sredini duljina baza lika.

Razmotrite sljedeće svojstvo sličnosti. Temelji se na segmentu koji dijeli trapez na dvije figure jednake veličine. Prihvaćamo da je trapez ABSD segmentom EN podijeljen na dva slična. Iz vrha B izostavlja se visina, koja je segmentom EH podijeljena na dva dijela - B1 i B2. Dobivamo: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (AD + EH) * B2 / 2 i PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Zatim sastavljamo sustav čija je prva jednadžba (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2, a druga (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Iz toga slijedi da je B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) i BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). Dobivamo da je duljina segmenta koji dijeli trapez na dva jednaka jednaka srednjem kvadratu duljina baza: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Zaključci o sličnosti

Tako smo dokazali da:

1. Odsječak koji povezuje sredine stranica trapeza paralelan je s AD i BS i jednak je aritmetičkoj sredini BS i AD (dužina baze trapeza).

2. Pravac koji prolazi točkom O presjeka dijagonala paralelnih AD i BS bit će jednak harmonijskoj sredini brojeva AD i BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Odsječak koji dijeli trapez na slične ima duljinu geometrijske sredine baza BS i AD.

4. Element koji dijeli lik na dva jednaka ima duljinu srednjih kvadrata brojeva AD i BS.

Za konsolidaciju gradiva i razumijevanje veze između razmatranih segmenata učenik ih treba izgraditi za određeni trapez. Lako može prikazati srednju crtu i segment koji prolazi točkom O - presjecište dijagonala lika - paralelno s bazama. Ali gdje će biti treći i četvrti? Ovaj odgovor će učenika dovesti do otkrića željene veze između prosjeka.

Segment koji spaja sredine dijagonala trapeza

Razmotrite sljedeće svojstvo ove slike. Prihvaćamo da je segment MH paralelan s bazama i da prepolovi dijagonale. Nazovimo tocke sjecista W i W. Ovaj ce segment biti jednak polurazlici baza. Analizirajmo ovo detaljnije. MSH - srednja linija trokuta ABS, jednaka je BS / 2. MS - srednja linija trokuta ABD, jednaka je AD / 2. Tada dobivamo da je ShShch = MShch-MSh, dakle, Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Centar gravitacije

Pogledajmo kako se ovaj element određuje za dati geometrijski lik. Da biste to učinili, potrebno je proširiti baze u suprotnim smjerovima. Što to znači? Potrebno je dodati donju bazu na gornju bazu - na bilo koju stranu, na primjer, s desne strane. A dno je produženo za duljinu vrha lijevo. Zatim ih povezujemo dijagonalom. Točka presjeka ovog segmenta sa srednjom linijom figure je težište trapeza.

Upisani i opisani trapezi

Nabrojimo značajke takvih figura:

1. Trapez se može upisati u kružnicu samo ako je jednakokračan.

2. Trapez se može opisati oko kružnice, pod uvjetom da je zbroj duljina njihovih baza jednak zbroju duljina stranica.

Posljedice upisane kružnice:

1. Visina opisanog trapeza uvijek je jednaka dvama polumjerima.

2. Bočna strana opisanog trapeza promatra se iz središta kružnice pod pravim kutom.

Prvi zaključak je očigledan, a za dokazivanje drugog potrebno je utvrditi da je kut SOD pravi, što, zapravo, također neće biti teško. Ali poznavanje ovog svojstva omogućit će nam korištenje pravokutnog trokuta u rješavanju problema.

Sada specificiramo ove posljedice za jednakokraki trapez, koji je upisan u krug. Dobivamo da je visina geometrijska sredina baza lika: H=2R=√(BS*AD). Uvježbavajući glavnu tehniku rješavanja zadataka za trapeze (princip crtanja dvije visine), učenik mora riješiti sljedeći zadatak. Prihvaćamo da je BT visina jednakokračne figure ABSD. Potrebno je pronaći segmente AT i TD. Koristeći gore opisanu formulu, to neće biti teško učiniti.

Sada ćemo shvatiti kako odrediti polumjer kružnice pomoću površine opisanog trapeza. Spuštamo visinu od vrha B do baze AD. Budući da je krug upisan u trapez, tada je BS + AD \u003d 2AB ili AB \u003d (BS + AD) / 2. Iz trokuta ABN nalazimo sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Dobivamo PABSD \u003d (BS + HELL) * R, slijedi da je R \u003d PABSD / (BS + HELL).

Sve formule srednje linije trapeza

Sada je vrijeme da prijeđemo na zadnji element ove geometrijske figure. Shvatimo koliko je jednaka srednja crta trapeza (M):

1. Kroz baze: M \u003d (A + B) / 2.

2. Kroz visinu, bazu i kutove:

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Kroz visinu, dijagonale i kut između njih. Na primjer, D1 i D2 su dijagonale trapeza; α, β - kutovi između njih:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. Kroz površinu i visinu: M = P / N.

U ovom članku pokušat ćemo što potpunije prikazati svojstva trapeza. Posebno ćemo govoriti o općim znakovima i svojstvima trapeza, kao i o svojstvima upisanog trapeza i o kružnici upisanoj u trapez. Dotaknut ćemo se i svojstava jednakokračnog i pravokutnog trapeza.

Primjer rješavanja problema pomoću razmatranih svojstava pomoći će vam da posložite stvari u glavi i bolje zapamtite gradivo.

Trapez i sve-sve-sve

Za početak, prisjetimo se ukratko što je trapez i koji su drugi pojmovi povezani s njim.

Dakle, trapez je četverokutni lik čije su dvije strane paralelne jedna s drugom (ovo su baze). A dvije nisu paralelne - to su stranice.

U trapezu se visina može izostaviti - okomito na baze. Izvučena je srednja linija i dijagonale. I također iz bilo kojeg kuta trapeza moguće je nacrtati simetralu.

O raznim svojstvima povezanim sa svim tim elementima i njihovim kombinacijama, sada ćemo govoriti.

Svojstva dijagonala trapeza

Da bi bilo jasnije, dok čitate, skicirajte ACME trapez na komad papira i nacrtajte dijagonale u njemu.

Ako pronađete sredine svake od dijagonala (nazovimo te točke X i T) i spojite ih, dobit ćete segment. Jedno od svojstava dijagonala trapeza je da segment XT leži na srednjoj crti. A njegova se duljina može dobiti dijeljenjem razlike baza s dva: XT \u003d (a - b) / 2.
Pred nama je isti ACME trapez. Dijagonale se sijeku u točki O. Razmotrimo trokute AOE i IOC koje čine segmenti dijagonala zajedno s bazama trapeza. Ovi trokuti su slični. Koeficijent sličnosti k trokuta izražava se omjerom baza trapeza: k = AE/KM.
Omjer površina trokuta AOE i IOC opisuje se koeficijentom k 2 .
Sve isti trapez, iste dijagonale koje se sijeku u točki O. Samo ovaj put ćemo razmotriti trokute koje su dijagonalni segmenti formirali zajedno sa stranicama trapeza. Površine trokuta AKO i EMO su jednake - površine su im iste.
Još jedno svojstvo trapeza uključuje konstrukciju dijagonala. Dakle, ako nastavimo stranice AK i ME u smjeru manje baze, tada će se prije ili kasnije presijecati do neke točke. Zatim povucite ravnu liniju kroz središnje točke baza trapeza. Presijeca baze u točkama X i T.
Ako sada produžimo pravac XT, tada će on spojiti točku presjeka dijagonala trapeza O, točku u kojoj se sijeku produžeci stranica i središta baza X i T.
Kroz točku presjeka dijagonala povlačimo segment koji će spojiti osnove trapeza (T leži na manjoj osnovici KM, X - na većoj AE). Točka presjeka dijagonala dijeli ovaj segment u sljedećem omjeru: TO/OH = KM/AE.
A sada kroz točku presjeka dijagonala crtamo segment paralelan s bazama trapeza (a i b). Točka presjeka će ga podijeliti na dva jednaka dijela. Duljinu segmenta možete pronaći pomoću formule 2ab/(a + b).

Svojstva srednje linije trapeza

Nacrtajte srednju crtu u trapezu paralelno s njegovim bazama.

Duljina središnje linije trapeza može se izračunati zbrajanjem duljina baza i dijeljenjem na pola: m = (a + b)/2.
Ako povučete bilo koji segment (visinu, na primjer) kroz obje baze trapeza, srednja linija će ga podijeliti na dva jednaka dijela.

Svojstvo simetrale trapeza

Odaberite bilo koji kut trapeza i nacrtajte simetralu. Uzmimo, na primjer, kut KAE našeg trapeza ACME. Nakon što ste sami dovršili konstrukciju, lako možete vidjeti da simetrala odsijeca od baze (ili njenog nastavka na ravnoj liniji izvan same figure) segment iste duljine kao i stranica.

Svojstva trapeznog kuta

Koji god od dva para kutova uz stranu odaberete, zbroj kutova u paru je uvijek 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0 .
Spojite sredine baza trapeza sa segmentom TX. Pogledajmo sada kutove na bazama trapeza. Ako je zbroj kutova za bilo koji od njih 90 0, duljinu TX segmenta je lako izračunati na temelju razlike u duljinama baza, podijeljenih na pola: TX \u003d (AE - KM) / 2.
Ako se kroz stranice kuta trapeza povuku paralelne linije, one će podijeliti stranice kuta na proporcionalne segmente.

Svojstva jednakokračnog (jednakokračnog) trapeza

U jednakokračnom trapezu kutovi na bilo kojoj osnovici su jednaki.
Sada ponovno napravite trapez kako biste lakše zamislili o čemu se radi. Pažljivo pogledajte bazu AE - vrh suprotne baze M projicira se na određenu točku na liniji koja sadrži AE. Udaljenost od vrha A do točke projekcije vrha M i srednja crta jednakokračnog trapeza jednake su.
Nekoliko riječi o svojstvu dijagonala jednakokračnog trapeza - njihove su duljine jednake. I također su kutovi nagiba ovih dijagonala prema bazi trapeza isti.
Samo u blizini jednakokračnog trapeza može se opisati kružnica, budući da je zbroj suprotnih kutova četverokuta 180 0 preduvjet za to.
Svojstvo jednakokračnog trapeza slijedi iz prethodnog stavka – ako se kružnica može opisati u blizini trapeza, to je jednakokračna.
Iz karakteristika jednakokračnog trapeza slijedi svojstvo visine trapeza: ako se njegove dijagonale sijeku pod pravim kutom, tada je duljina visine jednaka polovici zbroja baza: h = (a + b)/2.
Ponovno povucite liniju TX kroz sredine baza trapeza - u jednakokračnom trapezu ona je okomita na osnovice. A u isto vrijeme, TX je os simetrije jednakokračnog trapeza.
Ovaj put spustite na veću bazu (nazovimo je a) visinu od suprotnog vrha trapeza. Dobit ćete dva reza. Duljinu jednog možemo pronaći ako se duljine baza zbroje i podijele na pola: (a+b)/2. Drugi dobijemo kada od veće baze oduzmemo manju i dobivenu razliku podijelimo s dva: (a – b)/2.

Svojstva trapeza upisanog u kružnicu

Budući da već govorimo o trapezu upisanom u krug, zadržimo se na ovom pitanju detaljnije. Konkretno, gdje je središte kružnice u odnosu na trapez. I ovdje se preporučuje da ne budete previše lijeni uzeti olovku i nacrtati ono o čemu će biti riječi u nastavku. Tako ćete brže razumjeti i bolje zapamtiti.

Položaj središta kruga određen je kutom nagiba dijagonale trapeza na njegovu stranu. Na primjer, dijagonala može izaći iz vrha trapeza pod pravim kutom u odnosu na stranu. U ovom slučaju, veća baza siječe središte opisane kružnice točno u sredini (R = ½AE).
Dijagonala i strana također se mogu sastati pod oštrim kutom - tada je središte kruga unutar trapeza.
Središte opisane kružnice može biti izvan trapeza, izvan njegove velike baze, ako između dijagonale trapeza i bočne strane postoji tupi kut.
Kut koji čine dijagonala i velika baza trapeza ACME (upisani kut) je polovica središnjeg kuta koji mu odgovara: MAE = ½MY.
Ukratko o dva načina pronalaženja polumjera opisane kružnice. Prvi način: pažljivo pogledajte svoj crtež - što vidite? Lako ćete primijetiti da dijagonala dijeli trapez na dva trokuta. Polumjer se može pronaći kroz omjer stranice trokuta i sinusa suprotnog kuta, pomnoženog s dva. Na primjer, R \u003d AE / 2 * sinAME. Slično, formula se može napisati za bilo koju stranu oba trokuta.
Metoda dva: nalazimo polumjer opisane kružnice kroz područje trokuta kojeg čine dijagonala, stranica i baza trapeza: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Svojstva trapeza opisanog oko kružnice

Možete upisati krug u trapez ako je ispunjen jedan uvjet. Više o tome u nastavku. A zajedno ova kombinacija figura ima niz zanimljivih svojstava.

Ako je kružnica upisana u trapez, duljina njegove središnje linije može se lako pronaći zbrajanjem duljina stranica i dijeljenjem dobivenog zbroja na pola: m = (c + d)/2.
Za trapez ACME, opisan oko kružnice, zbroj duljina baza jednak je zbroju duljina stranica: AK + ME = KM + AE.
Iz ovog svojstva baza trapeza slijedi obrnuta tvrdnja: u taj se trapez može upisati kružnica čiji je zbroj baza jednak zbroju stranica.
Točka tangente kružnice polumjera r upisanog u trapez dijeli bočnu stranu na dva segmenta, nazovimo ih a i b. Polumjer kružnice može se izračunati pomoću formule: r = √ab.
I još jedna nekretnina. Kako se ne biste zbunili, sami nacrtajte ovaj primjer. Imamo stari dobri ACME trapez, opisan oko kružnice. U njemu su nacrtane dijagonale koje se sijeku u točki O. Trokuti AOK i EOM formirani segmentima dijagonala i stranica su pravokutni.
Visine ovih trokuta, spuštene na hipotenuze (tj. stranice trapeza), podudaraju se s polumjerima upisane kružnice. A visina trapeza jednaka je promjeru upisane kružnice.

Svojstva pravokutnog trapeza

Trapez se naziva pravokutnim, čiji je jedan ugl pravi. I njegova svojstva proizlaze iz ove okolnosti.

Pravokutni trapez ima jednu od stranica okomitu na osnovice.
Visina i stranica trapeza uz pravi kut jednake su. To vam omogućuje da izračunate površinu pravokutnog trapeza (opća formula S = (a + b) * h/2) ne samo kroz visinu, već i kroz stranu koja se nalazi uz pravi kut.
Za pravokutni trapez relevantna su opća svojstva dijagonala trapeza već opisana.

Dokazi nekih svojstava trapeza

Jednakost kutova pri osnovici jednakokračnog trapeza:

Vjerojatno ste već pogodili da ovdje opet trebamo ACME trapez - nacrtajte jednakokraki trapez. Povucite pravac MT iz vrha M paralelan sa stranicom AK (MT || AK).

Rezultirajući četverokut AKMT je paralelogram (AK || MT, KM || AT). Budući da je ME = KA = MT, ∆ MTE je jednakokračan i MET = MTE.

AK || MT, dakle MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Gdje je AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Sada, na temelju svojstva jednakokračnog trapeza (jednakost dijagonala), to dokazujemo trapez ACME je jednakokračan:

Za početak, nacrtajmo ravnu MH – MH || KE. Dobivamo paralelogram KMHE (baza - MX || KE i KM || EX).

∆AMH je jednakokračan, budući da je AM = KE = MX, a MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, dakle MAE = MXE.

Pokazalo se da su trokuti AKE i EMA međusobno jednaki, jer je AM \u003d KE i AE zajednička strana dvaju trokuta. I također MAE \u003d MXE. Možemo zaključiti da je AK = ME, pa iz toga slijedi da je trapez AKME jednakokračan.

Zadatak za ponavljanje

Osnove trapeza ACME su 9 cm i 21 cm, stranica KA, jednaka 8 cm, tvori kut od 150 0 s manjom bazom. Morate pronaći područje trapeza.

Rješenje: Od vrha K spuštamo visinu na veću bazu trapeza. I počnimo gledati kutove trapeza.

Kutovi AEM i KAN su jednostrani. Što znači da njihov zbroj iznosi 1800. Prema tome, KAN = 30 0 (na temelju svojstva kutova trapeza).

Razmotrimo sada pravokutni ∆ANK (mislim da je ova točka očita čitateljima bez daljnjeg dokaza). Iz nje nalazimo visinu trapeza KH - u trokutu je to krak, koji leži nasuprot kuta od 30 0. Dakle, KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Površina trapeza nalazi se po formuli: S AKME = (KM + AE) * KN / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Pogovor

Ako ste pažljivo i promišljeno proučili ovaj članak, niste bili previše lijeni nacrtati trapeze za sva gore navedena svojstva olovkom u rukama i analizirati ih u praksi, trebali ste dobro svladati materijal.

Naravno, ovdje ima puno informacija, raznolikih, a ponekad čak i zbunjujućih: nije tako teško pomiješati svojstva opisanog trapeza sa svojstvima upisanog. Ali i sami ste vidjeli da je razlika ogromna.

Sada imate detaljan sažetak svih općih svojstava trapeza. Kao i specifična svojstva i značajke jednakokračnih i pravokutnih trapeza. Vrlo je prikladan za pripremu za testove i ispite. Isprobajte sami i podijelite link sa svojim prijateljima!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i obavijestimo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikacije.
Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

U slučaju da je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.