Las fórmulas de reducción son relaciones que permiten pasar del seno, coseno, tangente y cotangente con ángulos `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` a las mismas funciones del ángulo `\alpha`, que se ubica en el primer cuarto del círculo unitario. Así, las fórmulas de reducción nos “llevan” a trabajar con ángulos en el rango de 0 a 90 grados, lo cual es muy conveniente.
En total hay 32 fórmulas de reducción. Sin duda, serán útiles durante el Examen Estatal Unificado, exámenes y pruebas. ¡Pero permítanos advertirle inmediatamente que no es necesario memorizarlos! Debe dedicar un poco de tiempo y comprender el algoritmo para su aplicación, entonces no le resultará difícil obtener la igualdad necesaria en el momento adecuado.
Primero, anotemos todas las fórmulas de reducción:
Para ángulo (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) o (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Para ángulo (`\pi \pm \alpha`) o (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Para ángulo (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) o (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Para ángulo (`2\pi \pm \alpha`) o (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
A menudo puedes encontrar fórmulas de reducción en forma de tabla donde los ángulos están escritos en radianes:
Para usarlo, debemos seleccionar la fila con la función que necesitamos y la columna con el argumento deseado. Por ejemplo, para saber mediante una tabla a qué será igual ` sin(\pi + \alpha)`, basta con encontrar la respuesta en la intersección de la fila ` sin \beta` y la columna ` \pi + \alfa`. Obtenemos ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
Y la segunda tabla similar, donde los ángulos se escriben en grados:
Regla mnemotécnica para fórmulas de reducción o cómo recordarlas
Como ya mencionamos, no es necesario memorizar todas las relaciones anteriores. Si los miraste con atención, probablemente notaste algunos patrones. Nos permiten formular una regla mnemotécnica (mnemotécnica, recuerde), con la ayuda de la cual podemos obtener fácilmente cualquier fórmula de reducción.
Notemos de inmediato que para aplicar esta regla es necesario ser bueno identificando (o recordando) los signos de funciones trigonométricas en diferentes cuartos del círculo unitario. 
La vacuna en sí contiene 3 etapas:
- El argumento de la función debe representarse como `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, y `\alpha` es necesariamente un ángulo agudo (de 0 a 90 grados).
- Para los argumentos `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` la función trigonométrica de la expresión transformada cambia a una cofunción, es decir, lo opuesto (seno a coseno, tangente a cotangente y viceversa). Para los argumentos `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` la función no cambia.
- Se determina el signo de la función original. La función resultante del lado derecho tendrá el mismo signo.
Para ver cómo se puede aplicar esta regla en la práctica, transformemos varias expresiones:
1. `cos(\pi + \alfa)`.
La función no se invierte. El ángulo `\pi + \alpha` está en el tercer cuarto, el coseno en este cuarto tiene el signo “-”, por lo que la función transformada también tendrá el signo “-”.
Respuesta: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.
Según la regla mnemotécnica, la función se invertirá. El ángulo `\frac (3\pi)2 - \alpha` está en el tercer cuarto, el seno aquí tiene un signo “-”, por lo que el resultado también tendrá un signo “-”.
Respuesta: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi )2-\alfa))`. Representemos `3\pi` como `2\pi+\pi`. `2\pi` es el período de la función.
Importante: Las funciones `cos \alpha` y `sin \alpha` tienen un período de `2\pi` o `360^\circ`, sus valores no cambiarán si el argumento aumenta o disminuye en estos valores.
En base a esto, nuestra expresión se puede escribir de la siguiente manera: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Aplicando la regla mnemotécnica dos veces, obtenemos: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Respuesta: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
regla del caballo
El segundo punto de la regla mnemotécnica descrita anteriormente también se denomina regla del caballo de las fórmulas de reducción. Me pregunto ¿por qué caballos?
Entonces, tenemos funciones con argumentos `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, los puntos `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` son claves, están ubicados en los ejes de coordenadas. `\pi` y `2\pi` están en el eje x horizontal, y `\frac (\pi)2` y `\frac (3\pi)2` están en la ordenada vertical.
Nos hacemos la pregunta: “¿Una función se transforma en una cofunción?” Para responder a esta pregunta, debe mover la cabeza a lo largo del eje en el que se encuentra el punto clave.
Es decir, para argumentos con puntos clave ubicados en el eje horizontal, respondemos "no" moviendo la cabeza hacia los lados. Y para las esquinas con puntos clave ubicados en el eje vertical, respondemos "sí" asintiendo con la cabeza de arriba a abajo, como un caballo :)
Recomendamos ver un vídeo tutorial en el que el autor explica detalladamente cómo recordar fórmulas de reducción sin memorizarlas.
Ejemplos prácticos de uso de fórmulas de reducción.
El uso de fórmulas reductoras comienza en los grados 9 y 10. Muchos problemas al usarlos se presentaron al Examen Estatal Unificado. Estos son algunos de los problemas en los que tendrás que aplicar estas fórmulas:
- problemas para resolver un triángulo rectángulo;
- transformación de expresiones trigonométricas numéricas y alfabéticas, cálculo de sus valores;
- Tareas estereométricas.
Ejemplo 1. Calcule usando fórmulas de reducción a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Solución: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
Ejemplo 2. Habiendo expresado el coseno a través del seno usando fórmulas de reducción, compare los números: 1) `sin \frac (9\pi)8` y `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` y `cos \frac (3\pi)10`.
Solución: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`
`pecado \frac (\pi)8 `pecado \frac (\pi)8 Primero demostremos dos fórmulas para el seno y el coseno del argumento `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` y ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. El resto se deriva de ellos. Tomemos un círculo unitario y apuntemos A con coordenadas (1,0). Dejar después de girar a Partiendo de la definición de tangente y cotangente, obtenemos ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` y ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, lo que demuestra la fórmulas de reducción para la tangente y la cotangente del ángulo `\frac (\pi)2 + \alpha`. Para probar fórmulas con el argumento `\frac (\pi)2 - \alpha`, basta con representarlo como `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` y seguir el mismo camino que el anterior. Por ejemplo, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`. Los ángulos `\pi + \alpha` y `\pi - \alpha` se pueden representar como `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` y `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` respectivamente. Y `\frac (3\pi)2 + \alpha` y `\frac (3\pi)2 - \alpha` como `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` y `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`. Cómo no memorizar fórmulas de reducción. Al resolver ecuaciones trigonométricas o realizar transformaciones trigonométricas, el primer paso es minimizar el número de argumentos diferentes de funciones trigonométricas. Para hacer esto, debes llevar todos los ángulos a los ángulos del primer cuarto, usando fórmulas de reducción. Quiero presentarles una regla mnemotécnica que les permite evitar memorizar. Esta regla se llama en broma "la regla del caballo". En este VIDEO TUTORIAL te contaré cómo utilizar esta regla: reducir la función trigonométrica de un ángulo arbitrario al ángulo del primer cuarto, liberándote de la necesidad de recordar fórmulas reductoras: Entonces, " regla del caballo
"suena así: Si trazamos el ángulo desde eje vertical, el caballo dice “sí” (asentimos con la cabeza a lo largo del eje OY) y la función reducible cambia su nombre: seno a coseno, coseno a seno, tangente a cotangente, cotangente a tangente.
Si trazamos el ángulo desde eje horizontal, el caballo dice “no” (asentimos con la cabeza según el eje del BUEY) y la función reducida no cambia su nombre.
El signo del lado derecho de la igualdad coincide con el signo de la función reducible del lado izquierdo de la igualdad.
A continuación se muestran algunos ejemplos del uso de fórmulas de reducción: 1
. Encuentra el significado de la expresión: 1. Selecciona la parte entera en la fracción: 2. Como el período de la función es igual a , resaltemos el “ralentí”: Ahora nuestro argumento está en el rango de cero a , y es hora de aplicar la "regla del caballo": Para llegar al punto correspondiente al ángulo de rotación en , primero hacemos una rotación en radianes, y luego desde este punto trazamos un ángulo de radianes: 2
. Encuentra el significado de la expresión: Veamos cada función por separado: Primero rotamos un radian y luego formamos un ángulo de 1 radian desde el eje vertical en dirección negativa y terminamos en el tercer cuarto: Hay dos reglas para usar fórmulas de reducción. 1. Si el ángulo se puede representar como (π/2 ±a) o (3*π/2 ±a), entonces cambios de nombre de función pecado a cos, cos a pecado, tg a ctg, ctg a tg. Si el ángulo se puede representar en la forma (π ±a) o (2*π ±a), entonces El nombre de la función permanece sin cambios. Mira la imagen de abajo, muestra esquemáticamente cuándo debes cambiar el letrero y cuándo no. 2. La regla “como eras, así permaneces”. El signo de la función reducida sigue siendo el mismo. Si la función original tenía un signo más, entonces la función reducida también tiene un signo más. Si la función original tenía un signo menos, entonces la función reducida también tiene un signo menos. La siguiente figura muestra los signos de las funciones trigonométricas básicas según el trimestre. Calcular el pecado (150˚) Usemos las fórmulas de reducción: Sin(150˚) está en el segundo cuarto; en la figura vemos que el signo de pecado en este cuarto es igual a +. Esto significa que la función dada también tendrá un signo más. Aplicamos la segunda regla. Ahora 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ es π/2. Es decir, estamos ante el caso π/2+60, por lo tanto, según la primera regla, cambiamos la función de sin a cos. Como resultado, obtenemos Sin(150˚) = cos(60˚) = ½. Si lo desea, todas las fórmulas de reducción se pueden resumir en una tabla. Pero aún es más fácil recordar estas dos reglas y utilizarlas. Materiales adicionales Material didáctico y simuladores en la tienda online de Integral para 10º grado Qué estudiaremos: Repaso de funciones trigonométricas.
Chicos, ya se han topado con fórmulas fantasma, pero aún no las han llamado así. ¿Qué piensas: dónde? Mira nuestros dibujos. Correctamente, cuando se introdujeron las definiciones de funciones trigonométricas. Introduzcamos la regla básica: si bajo el signo de la función trigonométrica hay un número de la forma π×n/2 + t, donde n es cualquier número entero, entonces nuestra función trigonométrica se puede reducir a una forma más simple, que contendrá sólo el argumento t. Estas fórmulas se denominan fórmulas fantasma. Recordemos algunas fórmulas: hay muchas fórmulas fantasma, hagamos una regla mediante la cual determinaremos nuestras funciones trigonométricas cuando usemos fórmulas fantasma: ¡Estas reglas también se aplican cuando el argumento de la función se da en grados! También podemos crear una tabla de transformaciones de funciones trigonométricas: 1. Transformar cos(π + t). El nombre de la función permanece, es decir. obtenemos cos(t). Supongamos además que π/2 2. Transformar sen(π/2 + t). El nombre de la función cambia, es decir. obtenemos cos(t). A continuación, supongamos que 0 sin(t + π/2) = cos(t) 3. Transforma tg(π + t). El nombre de la función permanece, es decir. obtenemos bronceado(t). Supongamos además que 0 4. Transforme ctg(270 0 + t). El nombre de la función cambia, es decir, obtenemos tg(t). Supongamos además que 0 Chicos, conviértanlo ustedes mismos usando nuestras reglas: 1) tg(π + t), Este artículo está dedicado a un estudio detallado de las fórmulas de reducción trigonométrica. Se proporciona una lista completa de fórmulas de reducción, se muestran ejemplos de su uso y se proporciona prueba de la exactitud de las fórmulas. El artículo también proporciona una regla mnemotécnica que le permite derivar fórmulas de reducción sin memorizar cada fórmula. Yandex.RTB R-A-339285-1 Las fórmulas de reducción le permiten reducir funciones trigonométricas básicas de ángulos de magnitud arbitraria a funciones de ángulos que se encuentran en el rango de 0 a 90 grados (de 0 a π 2 radianes). Operar con ángulos de 0 a 90 grados es mucho más conveniente que trabajar con valores arbitrariamente grandes, razón por la cual las fórmulas de reducción se usan ampliamente para resolver problemas de trigonometría. Antes de escribir las fórmulas en sí, aclaremos varios puntos importantes para su comprensión. Ahora pasemos directamente a las fórmulas de reducción. Las fórmulas de reducción le permiten pasar de trabajar con ángulos arbitrarios y arbitrariamente grandes a trabajar con ángulos que oscilan entre 0 y 90 grados. Escribamos todas las fórmulas en forma de tabla. Fórmulas de reducción sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sen α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sen 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α En este caso las fórmulas se escriben en radianes. Sin embargo, también puedes escribirlos usando grados. Basta con convertir radianes a grados, reemplazando π por 180 grados. Mostraremos cómo utilizar fórmulas de reducción y cómo se utilizan estas fórmulas para resolver ejemplos prácticos. El ángulo bajo el signo de una función trigonométrica se puede representar no de una, sino de muchas formas. Por ejemplo, el argumento de una función trigonométrica se puede representar en la forma ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Demostremos esto. Tomemos el ángulo α = 16 π 3. Este ángulo se puede escribir así: α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π Dependiendo de la representación del ángulo se utiliza la fórmula de reducción adecuada. Tomemos el mismo ángulo α = 16 π 3 y calculemos su tangente Ejemplo 1: uso de fórmulas de reducción α = 16 π 3 , t gramo α = ? Representemos el ángulo α = 16 π 3 como α = π + π 3 + 2 π 2 Esta representación del ángulo corresponderá a la fórmula de reducción. t gramo (π + α + 2 π z) = t gramo α t gramo 16 π 3 = t gramo π + π 3 + 2 π 2 = t gramo π 3 Usando la tabla, indicamos el valor de la tangente. Ahora usamos otra representación del ángulo α = 16 π 3. Ejemplo 2: uso de fórmulas de reducción α = 16 π 3 , t gramo α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3 Finalmente, para la tercera representación del ángulo escribimos Ejemplo 3. Usar fórmulas de reducción α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3 Ahora demos un ejemplo del uso de fórmulas de reducción más complejas. Ejemplo 4: uso de fórmulas de reducción Imaginemos sen 197° a través del seno y el coseno de un ángulo agudo. Para poder aplicar fórmulas de reducción, es necesario representar el ángulo α = 197 ° en una de las formas ± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Según las condiciones del problema, el ángulo debe ser agudo. En consecuencia, tenemos dos formas de representarlo: 197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73° Obtenemos sen 197° = sen (180° + 17°) sen 197° = sen (270° - 73°) Ahora veamos las fórmulas de reducción de senos y elijamos las adecuadas. sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = pecado (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 ° Existen muchas fórmulas de reducción y, afortunadamente, no es necesario memorizarlas. Existen regularidades mediante las cuales se pueden derivar fórmulas de reducción para diferentes ángulos y funciones trigonométricas. Estos patrones se denominan reglas mnemotécnicas. La mnemónica es el arte de la memorización. La regla mnemotécnica consta de tres partes o contiene tres etapas. regla mnemotécnica 1. El argumento de la función original se representa en una de las siguientes formas: ± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz El ángulo α debe estar entre 0 y 90 grados. 2. Se determina el signo de la función trigonométrica original. La función escrita en el lado derecho de la fórmula tendrá el mismo signo. 3. Para los ángulos ± α + 2 πz y π ± α + 2 πz, el nombre de la función original permanece sin cambios, y para los ángulos π 2 ± α + 2 πz y 3 π 2 ± α + 2 πz, respectivamente, cambia a “cofunción”. Seno - coseno. Tangente - cotangente. Para utilizar la guía mnemotécnica para fórmulas de reducción, debe poder determinar los signos de funciones trigonométricas basándose en los cuartos del círculo unitario. Veamos ejemplos del uso de la regla mnemotécnica. Ejemplo 1: uso de una regla mnemotécnica Anotemos las fórmulas de reducción para cos π 2 - α + 2 πz y t g π - α + 2 πz. α es el log del primer trimestre. 1. Dado que por condición α es el log del primer trimestre, nos saltamos el primer punto de la regla. 2. Determine los signos de las funciones cos π 2 - α + 2 πz y t g π - α + 2 πz. El ángulo π 2 - α + 2 πz es también el ángulo del primer cuarto, y el ángulo π - α + 2 πz está en el segundo cuarto. En el primer cuarto, la función coseno es positiva y la tangente en el segundo cuarto tiene signo menos. Anotemos cómo se verán las fórmulas requeridas en esta etapa. cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = - 3. Según el tercer punto, para el ángulo π 2 - α + 2 π el nombre de la función cambia a Confucio, y para el ángulo π - α + 2 πz sigue siendo el mismo. Anotemos: cos π 2 - α + 2 πz = + pecado α t g π - α + 2 πz = - t g α Ahora veamos las fórmulas dadas anteriormente y asegurémonos de que la regla mnemotécnica funcione. Veamos un ejemplo con un ángulo específico α = 777°. Reduzcamos el seno alfa a la función trigonométrica de un ángulo agudo. Ejemplo 2: uso de una regla mnemotécnica 1. Imagine el ángulo α = 777 ° en la forma requerida. 777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2 2. El ángulo original es el ángulo del primer cuarto. Esto significa que el seno del ángulo tiene signo positivo. Como resultado tenemos: 3. sen 777° = sen (57° + 360° 2) = sen 57° sen 777° = sen (90° - 33° + 360° 2) = cos 33° Ahora veamos un ejemplo que muestra lo importante que es determinar correctamente el signo de la función trigonométrica y representar correctamente el ángulo cuando se usa la regla mnemotécnica. Repitámoslo de nuevo. ¡Importante! ¡El ángulo α debe ser agudo! Calculemos la tangente del ángulo 5 π 3. De la tabla de valores de las principales funciones trigonométricas, puedes tomar inmediatamente el valor t g 5 π 3 = - 3, pero aplicaremos la regla mnemotécnica. Ejemplo 3: uso de una regla mnemotécnica Imaginemos el ángulo α = 5 π 3 en la forma requerida y usemos la regla t gramo 5 π 3 = t gramo 3 π 2 + π 6 = - c t gramo π 6 = - 3 t gramo 5 π 3 = t gramo 2 π - π 3 = - t gramo π 3 = - 3 Si representamos el ángulo alfa en la forma 5 π 3 = π + 2 π 3, entonces el resultado de aplicar la regla mnemotécnica será incorrecto. t gramo 5 π 3 = t gramo π + 2 π 3 = - t gramo 2 π 3 = - (- 3) = 3 El resultado incorrecto se debe a que el ángulo 2 π 3 no es agudo. La prueba de las fórmulas de reducción se basa en las propiedades de periodicidad y simetría de las funciones trigonométricas, así como en la propiedad de desplazamiento de los ángulos π 2 y 3 π 2. La prueba de la validez de todas las fórmulas de reducción se puede realizar sin tener en cuenta el término 2 πz, ya que denota un cambio de ángulo en un número entero de revoluciones completas y refleja con precisión la propiedad de periodicidad. Las primeras 16 fórmulas se derivan directamente de las propiedades de las funciones trigonométricas básicas: seno, coseno, tangente y cotangente. Aquí hay una prueba de las fórmulas de reducción de senos y cosenos. pecado π 2 + α = cos α y cos π 2 + α = - pecado α Consideremos un círculo unitario, cuyo punto inicial, después de una rotación en un ángulo α, va al punto A 1 x, y, y después de una rotación en un ángulo π 2 + α, a un punto A 2. Desde ambos puntos trazamos perpendiculares al eje de abscisas. Dos triángulos rectángulos O A 1 H 1 y O A 2 H 2 son iguales en hipotenusa y ángulos adyacentes. De la ubicación de los puntos en el círculo y la igualdad de los triángulos, podemos concluir que el punto A 2 tiene coordenadas A 2 - y, x. Usando las definiciones de seno y coseno, escribimos: pecado α = y, cos α = x, pecado π 2 + α = x, cos π 2 + α = y pecado π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - pecado α Teniendo en cuenta las identidades básicas de la trigonometría y lo que se acaba de demostrar, podemos escribir t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - t g α Para probar fórmulas de reducción con argumento π 2 - α, se debe presentar en la forma π 2 + (- α). Por ejemplo: cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - pecado (- α) = pecado α La prueba utiliza las propiedades de funciones trigonométricas con argumentos de signos opuestos. Todas las demás fórmulas de reducción se pueden probar basándose en las escritas anteriormente. Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter
ángulo `\alpha` irá al punto `A_1(x, y)`, y después de girar por el ángulo `\frac (\pi)2 + \alpha` al punto `A_2(-y, x)`. Al soltar las perpendiculares desde estos puntos a la recta OX, vemos que los triángulos `OA_1H_1` y `OA_2H_2` son iguales, ya que sus hipotenusas y ángulos adyacentes son iguales. Luego, basándonos en las definiciones de seno y coseno, podemos escribir `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. ¿Dónde podemos escribir que ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` y ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, lo que demuestra la reducción fórmulas para ángulos seno y coseno `\frac (\pi)2 + \alpha`.
Trazamos el ángulo desde el eje horizontal (el caballo dice "no"); no cambia de nombre, el ángulo está ubicado en el tercer cuarto, en el que el coseno es negativo, por lo tanto la función reducida es negativa. Obtenemos:
En consecuencia, la función reducible cambia de nombre, la función reducible es mayor que cero (la tangente del tercer cuarto de ángulo es mayor que cero): 
.
Primero hacemos un giro de un radian, y luego desde este punto nos movemos 1 radian en dirección negativa. Apartamos un ángulo de 1 radianes del eje horizontal (el seno no cambia de nombre) y nos encontramos en el segundo cuarto, en el que el seno es mayor que cero:
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Tema anterior: Lección y presentación sobre el tema: "Aplicación de fórmulas de reducción en la resolución de problemas"
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1C: Escuela. Tareas de construcción interactivas para los grados 7-10.
1C: Escuela. Resolvemos problemas de geometría. Tareas interactivas sobre construcción en el espacio para los grados 10 y 11
1. Repitamos un poco.
2. Reglas para fórmulas de reducción.
3. Tabla de conversión de fórmulas de reducción.
4. Ejemplos.Regla para fórmulas de reducción
3π/2 + t y 3π/2 - t, entonces la función cambiará a una relacionada, es decir, el seno se convertirá en coseno, la cotangente se convertirá en tangente.
Ejemplos de uso de fórmulas de reducción.
Problemas con fórmulas de reducción para solución independiente.
2) tg(2π - t),
3) cuna(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) cotg(3π + t),
6) pecado(2π + t),
7) pecado(π/2 + 5t),
8) pecado(π/2 - t),
9) pecado(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).Fórmulas de reducción. Lista
Ejemplos de uso de fórmulas de reducción.
regla mnemotécnica
